高三高考数学复习 等差数列、等比数列PPT课件

(4)在等比数列中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则 am·an＝ap·aq.特别地，若 m＋n＝2p 则 am·an＝ap2
(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列(n 为偶
数且 q＝－1 除外)．
高三数学名师课程
4.判断和证明数列是等差(比)数列的两种方法
小结：等差(比)数列基本运算的求解策略
(1)抓住基本量a1和公差d(公比q)． (2)把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解， 注意整体计算，以减少运算量.
如：由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在 指数位置，所以常采用两式相除(即比值的方式)或整体 化思想进行相关计算.
变式 1-1(2019·无锡调研)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，
解：{an}为等差数列，设其公差为d.由a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，得d＝3 ，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2. {bn}为等比数列，设其公比为q，由b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，得q＝－2，
∴b2＝b1·q＝2.则ab22＝22＝1.
变式1-3(2018·全国Ⅰ卷改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝ 2，则a5＝__-1__0____. 解：法一 设等差数列{an}的公差为 d，
法二 设等差数列{an}的公差为 d，
∵3S3＝S2＋S4，
∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，
∴3a1＋3×2 2d＝d.
∴S3＝a4－a3，
∵a1＝2，∴d＝－3，
∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
方法归纳 (1)在等差(比)数列中，首项 a1 和公差 d(公比 q)是两个最基本 的元素，在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间 的联系不明显，则均可化成关于 a1 和 d(q)的方程组求解，但要注 意消元法及整体计算，以减少计算量． (2)解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意， 即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型， 即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是 “解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、 公比(或公差)、项数、通项公式或前 n 项和等．
∵3S3＝S2＋S4，
∴3 3a1＋3×2 2d ＝2a1＋d＋4a1＋4×2 3d，
解得 d＝－32a1.
∵a1＝2，∴d＝－3，
∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
变式1-3(2018·全国Ⅰ卷改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝ 2，则a5＝_-_1_0_____.
若q 1,则S 2S 已知 S3＝74，S6＝643，则 a8＝__3__2____．
解：设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)，
6
3
则SS36＝ ＝aa11（ （1111－－－ －qqqq36） ）＝＝67443，，解得aq1＝＝214，，
所以 a8＝a1q7＝14×27＝32.
等比数列基本量法
法二 同法一得a5＝3.
等差数列的等差中项
∴又da＝2a5a＋5－3a8a＝2＝d0⇒2，3anana21＋＝mamaa82＝－0d⇒＝2－a25＋. 2a5＝0a⇒n aa2＝m －(n3. m)d
故 S8＝8a1＋8×（82－1）d＝16.
例 1-2(2017·江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn，
又a2a5＋a8＝0⇒2a1＋5d＝0，解得a1＝－5，d＝2.
故 S8＝8a1＋8×（82－1）d＝16.
等差数列的基 本量运算
例其前1-1n(2项01和9·．江若苏a卷2a)5已＋知a8数＝列0，{aSn9}＝(n2∈7，N*则)是S等8 的差值数是列_，_1_S6_n_是___．a2 a8 2a5
若 a2＋a4＝2，S2＋S4＝1，则 a10＝_____8___.
解：
(1)设首项为
a1,公差为
d，则
a1＋d＋a1＋3d＝2， 2a1＋d＋4a1＋6d＝1，
解得
a1＝－1， d＝1.
所以 a10＝a1＋9d＝8.
变式 1-2 (2017·北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足 a1＝b1＝－1，a4＝b4＝ 8，则a2＝__1______. b2
等差数列、等比数列
扬大附中东部分校
一、知识梳理
1．等差数列的通项公式及前 n 项和公式
an＝a1＋(n－1)d；
Sn＝na1＋2 an＝na1＋nn－2 1d.
d 2
n2
(a1
d )n 2
2．等比数列的通项公式及前 n 项和公式
an＝a1qn-1(－－qqn＝a11－－aqnqq≠1.
解：依题意得，数列{an}是以 2 为公比的等比数列，因为最 下层的浮雕的数量为 a1，所以 S7＝a111－－227＝1016，解得 a1＝8， 所以 an＝8×2n-1＝2n+2(1≤n≤7，n∈N*)，所以 a3＝25，a5＝27， 从而 a3×a5＝25×27＝212，所以 log2(a3a5)＝log2212＝12．
例 1-1(2019·江苏卷)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn 是
其前 n 项和．若 a2a5＋a8＝0，S9＝27，则 S8 的值是__1_6_____．
解析 (1)法一 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d.由 S9＝27⇒9（a1＋ 2 a9）＝ 27⇒a1＋a9＝6⇒2a5＝6⇒a5＝3，即 a1＋4d＝3.
(1)定义法：对于
n≥1
的任意自然数，验证
an＋1－an
或an＋1 an
为同一常数.
(2)中项公式法：①若 2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列；
②若 a2n＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2，an≠0)，则{an}为等比数列.
二、例题分析 题组一 等差、等比数列的基本运算
例 1-3 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗 产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现 有一石窟的某处浮雕共 7 层，每上层的数量是下层的 2 倍，总共有 1016 个浮雕，这些浮雕构成一幅优美的图案，若从最下层往上，浮雕的数 量构成一个数列{an}，则 log2(a3a5)的值为__1_2_________
3．等差、等比数列的常用性质
(1)在等差数列中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则 am＋an＝ap＋aq.特别地，若 m＋n＝2p 则 am＋an＝2ap
(2)若{an}是等差数列
，则
Sn n
也是等差数
列．
(3)在等差数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列．