2019届高三数学(文)一轮复习阶段滚动检测卷全套含答案
山东省泰安市2019届3月高三第一轮复习质量检测数学文科试题(解析版)
2019年山东省泰安市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题）1.若集合，0，1，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用交集运算得答案．【详解】解：集合，0，1，，，故选：C．【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题．2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A. 3B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可. 【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲，乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，已知甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则的值为A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，结合平均数与中位数的概念，求出x、y的值．【详解】解：根据茎叶图中的数据，得；甲班5名同学成绩的平均数为，解得；又乙班5名同学的中位数为73，则；．故选：D．【点睛】本题考查了平均数与中位数的概念与应用问题，是基础题．4.从抛物线在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，从且，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先设出P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案．【详解】解：设，依题意可知抛物线准线，，，，．直线PF的斜率为，【点睛】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．5.如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出，即可得到输出条件.详解：输入，第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环，输出，此时应满足退出循环的条件，故的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值是A. 0B. 1C. 5D. 6【答案】D【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线z＝x+2y过点A时z最大，求出A的坐标，代入z＝x+2y得答案．【详解】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（0，3），此时直线y x z在y轴上的截距最大，所以目标函数z＝x+2y的最大值为z max＝0+2×3＝6．故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查数形结合的思想，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．7.九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，几何体的表面积，故选：D．【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．8.等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前10项和为A. 65B. 75C. 90D. 110【答案】A【解析】【分析】由的首项，前项和为，，求出，可得，再求数列前10项和．【详解】∵的首项，前项和为，，解得故数列的前项和为故选A.【点睛】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．9.函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】B【解析】试题分析：由图象知，，，，，得，所以，为了得到的图象，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D．考点：三角函数图象.10.已知函数等于A. 2B.C.D. 3【答案】A【解析】【分析】利用已知推导出，由此能求出结果．【详解】解：函数，．故选：A．【点睛】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.设，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用对数的运算法则即可得出．【详解】，，，，则.故选D.【点睛】本题考查了对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．12.若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，得，当时，由，可得，从而极值点问题转化为了与y=-2m的交点问题,结合图像即可得出m范围；当，由，可得<0,可得m的范围.【详解】由题可知，当时，令，可化为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当，即时，有两个不同的解；当，令，，解得，综上，.【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的极值点问题，分别研究分段函数在不同范围的单调性，结合图像即可得出结果.二、填空题（本大题共4小题）13.已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝__________.【答案】3【解析】试题分析：由条件知是的重心，设是边的中点，则，而，所以，故选B.考点：平面向量.14.若数列满足：，，则______．【答案】234【解析】【分析】由，可得，，可得故为等比数列，且，可得，可得答案.故为等比数列.，故.【点睛】本题主要考查数列的性质及数列前n的项的和，得出为等比数列，且是解题的关键.15.已知直三棱柱外接球的表面积为，，若外接圆的圆心在AC上，半径，则直三棱柱的体积为______．【答案】3【解析】【分析】由题意可得，直三棱柱的底面为直角三角形，由其外接球的表面积求得侧棱长，代入体积公式得答案．【详解】解：如图，外接圆的圆心在AC上，为AC的中点，且是以为直角的直角三角形，由半径，得，又，．把直三棱柱补形为长方体，设，则其外接球的半径．又直三棱柱外接球的表面积为，，即．，解得．直三棱柱的体积为．故答案为：3．【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．16.已知双曲线的左焦点为F，A，B分别是C的左、右顶点，P为C上一点，且轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为______．【答案】3【解析】【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用的关系建立方程进行求解即可．【详解】解：因为轴，所以设，则，，AE的斜率，则AE的方程为，令，则，即，BN的斜率为，则BN的方程为，令，则，即，因为，所以，即，即，则离心率．故答案为：3．【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键．三、解答题（本大题共7小题）17.已知函数．求函数的单调递减区间；在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边AB上一点，，，为锐角，且，求b的值．【答案】(1)．(2)【解析】【分析】直接利用三角恒等变换公式，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．利用的结论，进一步利用正弦定理和余弦定理求出结果．【详解】解：函数．，，令，解得：，所以函数的单调递减区间为：．由于：，即：，解得：①当时，∠BDC为锐角，则为钝角，不适合题意，舍去；②当时，在中，．，由于为锐角，则：，所以：，解得：则：．【点睛】本题考查的知识要点：三角恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，E、F分别为和BC的中点．求证：平面平面；求证：平面ABE．【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】通过证明平面，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面；取AC的中点G，连结G、FG，通过证明平面平面EAB，利用平面与平面平行的性质定理证明平面ABE．【详解】证明：平面ABC，平面ABC，又，，平面而平面ABE，平面平面取AC的中点G，连结G、FG，为BC的中点，又E为的中点，且四边形为平行四边形，，因为AB AE=A,=G,平面平面EAB，而平面，平面EAB．【点睛】本题考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理以及平面与平面平行的判定和性质定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．19.某老师是省级课题组的成员，主要研究课堂教学目标达成度，为方便研究，从实验班中随机抽取30次的随堂测试成绩进行数据分析已知学生甲的30次随堂测试成绩如下满分为100分：88 58 50 36 75 39 57 62 72 5185 39 57 53 72 46 64 74 53 5044 83 70 63 71 64 54 62 61 42把学生甲的成绩按，，，，，分成6组，列出频率分布表，并画出频率分布直方图；为更好的分析学生甲存在的问题，从随堂测试成绩50分以下不包括50分的试卷中随机抽取3份进行分析，求恰有2份成绩在内的概率．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】先作出频率分布表，由此能画出频率分布直方图．成绩在内的有3个数据，记为A，B，C，成绩在内的有3个数据，记为a，b，c，从，共6个数据中任意抽取3个，利用列举法能求出恰有2份成绩在内的概率．【详解】解：频率分布表为：画出频率分布直方图如下：成绩在内的有3个数据，记为A，B，C，成绩在内的有3个数据，记为a，b，c，则从，共6个数据中任意抽取3个，基本事件有20个，分别为：B，，B，，B，，B，，C，，C，，C，，C，，C，，C，，a，，a，，b，，a，，a，，b，，a，，a，，b，，b，，其中恰好有两份成绩在内共有9个，恰有2份成绩在内的概率．【点睛】本题考查频率分布表、频率分布图的作法，考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.已知椭圆的离心率，且经过点．求椭圆C的方程；过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于不同的两点，，过右焦点F的直线AF，BF分别交椭圆C于点M、N，设，的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】由题意可得，解得，，即可求出椭圆方程，设直线l的斜率为k，，，，则，，分两种情况，求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得范围，即可得答案．【详解】解：由题意可得，解得，，则椭圆方程为，设直线l的斜率为k，，，，则，，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，由，可得，则，当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为，即，代入曲线C的方程又，整理可得，，，当AM与x轴垂直时，A点横坐标为，，显然也成立，，同理可得，设直线l的方程为，，联立，消去y整理得，由，解得，又，，即的取值范围是．【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键依据向量关系找出坐标之间的关系.21.已知，函数，直线l：．讨论的图象与直线l的交点个数；若函数的图象与直线l：相交于，两点，证明：．【答案】（1）见解析（2）见证明【解析】【分析】根据函数与方程的关系，设，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，结合极值与0的关系进行判断即可．构造函数，求函数的导数，结合与l的交点坐标，进行证明即可．【详解】解：由題意，令，则，令，解得．所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减，则当时，函数取得极小值，同时也是最小值，当，即时，的图象与直线l无交点，当，即时的图象与直线l只有一个交点．当，即时的图象与直线l有两个交点．综上所述，当时，的图象与直线l无交点；时的图象与直线l只有一个交点，时的图象与直线l有两个交点．证明：令，，，，即在上单调递增，，时，恒成立，又，，，又，在上单调递增，即．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值是解决本题的关键综合性较强，难度较大．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的方程为以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．求直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；直线与直线l交于点A，点B是曲线C上一点，求面积的最大值．【答案】（1）直线l的普通方程为，曲线C的极坐标方程为（2）．【解析】【分析】用代入法消去t可得直线l的普通方程；利用，代入可得曲线C的极坐标方程；先求得，再利用B的极径求出三角形的面积，再求最值．【详解】解：由得代入整理得，直线l的普通方程为，又，，，曲线C的极坐标方程为，由得，，设，则，的面积，．【点睛】此题主要考查曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，以及极坐标方程在求最值中的应用等方面的知识与运算能力，属于中档题型.23.已知函数．当时，求不等式的解集；当时，不等式恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】代入m的值，得到关于x的不等式组，解出即可；问题转化为恒成立，当时，，令，求出的最大值，求出m的范围即可．【详解】解：当时，，由，得或或，解得：或，故不等式的解集是；当时，，恒成立，即恒成立，整理得：，当时，成立，当时，，令，，，，，故，故【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。
2019届高三文科数学一轮复习滚动检测卷(全套打包答案)
高三文科数学一轮复习滚动检测卷滚动检测一第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{3,4}，则(∁U A )∪B 等于( ) A ．{4} B ．{2,3,4} C ．{3,4,5}D ．{2,3,4,5}2．“x <0”是“xx ＋1<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知命题p 与命题q ，若命题(綈p )∨q 为假命题，则下列说法正确的是( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假D ．p 假，q 假4．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －m －1为减函数，则实数m 的取值集合为( )A ．{2}B ．{－1}C ．{2，－1}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≠1＋52 5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥5，f (x ＋2)，x <5，则f (2)的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (2 015)＋f (2 018)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．28．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )9．若a>0，b>0，ab>1，log12a＝ln 2，则log a b与log12a的关系是()A．log a b<log12aB．log a b＝log12aC．log a b>log12aD．log a b≤log12a10．已知f(x)是偶函数，x∈R，若将f(x)的图象向右平移一个单位得到一个奇函数，若f(2)＝－1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)等于()A．－1 003 B．1 003C．1 D．－111．(2017·天津市河西区模拟)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2] B ．(－∞，e] C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，lg x ，x >1，g (x )＝3－x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．0第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知g (x )是定义在[－2,2]上的偶函数，当x ≥0时，函数g (x )单调递减，当g (1－m )－g (m )<0时，实数m 的取值范围为________．14．(2018·保定模拟)已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，那么函数y ＝f (x )的图象关于点(3,0)对称，则命题p ∨q 为________(填“真”或“假”)命题．15．如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________．16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届衡水市武邑中学月考)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．18．(12分)已知p ：函数f (x )＝x 2－2mx ＋4在[2，＋∞)上单调递增；q ：关于x 的不等式mx 2＋4(m－2)x＋4>0的解集为R.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．19.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－1,3)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在(－1,2)内的值域；(2)若方程f (x )＝c 在[0,3]上有两个不相等实根，求c 的取值范围．20．(12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？21.(12分)已知函数f (x )＝22x －52·2x ＋1－6.(1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)若存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)(2017·广东深圳一模)已知函数f(x)满足f(log a x)＝aa2－1(x－x－1)(其中a>0，a≠1)．(1)求f(x)的表达式；(2)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的取值范围；(3)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值为负数，求a的取值范围．答案精析1．C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.B7．B [根据f (x ＋2)＝－f (x )可知，函数的最小正周期为4，故f (2 015)＋f (2 018)＝f (3)＋f (2)＝－f (1)－f (0)＝－1.]8．A [因为f (－x )＝f (x )，所以函数图象关于y 轴对称，排除C ；又f (x )＝ln(x 2＋1)≥ln 1＝0，所以排除B ，D ，故选A.]9．A [由log 12a ＝ln 2>0，得0<a <1，b >1，log a b <0.]10．D [f (x －1)是奇函数，而f (x )是偶函数，∴f (x )的最小正周期是4， f (－1)＝f (1)＝f (3)＝0，f (0)＝－f (2)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝－1.] 11．B [由命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0， ∴a ≤(e x )min ＝e ，若綈p 是假命题，∴p 是真命题，∴a ≤e. 则实数a 的取值范围为(－∞，e]．]12．A [函数h (x )的零点满足f (x )－g (x )＝0，即f (x )＝g (x )，绘制函数f (x )与g (x )的图象，如图 所示，交点的个数即函数h (x )零点的个数，观察可得，函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是2.故选A.] 13.⎣⎡⎭⎫－1，12 解析 根据题意， 由g (1－m )<g (m )，得⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，1－m ∈[－2，2]，m ∈[－2，2]，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <12，－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，即－1≤m <12.14．真解析 ∵y ＝log a []a ×(－1)＋2a ＝1，∴命题p 为真；∵y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则函数y ＝f (x )的图象关于点(－3,0)对称，∴命题q 为假，因此命题p ∨q 为真． 15．4解析 根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，12上单调递减， 则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. 16.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－x )，解得m ＝－1，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－x ，x >1，2－x －2x ，x ≤1，作出函数g (x )的图象(如图所示)．当x >1时，g (x )单调递增，此时g (x )>32；当x ≤1时，g (x )单调递减，此时g (x )≥－32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－32，32时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点． 17．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x ≤10}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)当P ≠∅时，由P ⊆Q ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2；当P ＝∅时，2a ＋1<a ＋1，解得a <0，此时有P ＝∅⊆Q ， 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．18．解 若命题p 为真，因为函数f (x )的图象的对称轴为x ＝m ，则m ≤2；若命题q 为真，当m ＝0时，原不等式为－8x ＋4>0，显然不成立．当m ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝16(m －2)2－16m <0，解得1<m <4. 由题意知，命题p ，q 一真一假，故⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤2，m ≤1或m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1<m <4， 解得m ≤1或2<m <4.19．解 (1)由题意知，－1,3是方程ax 2＋bx －a －ab ＝0的两根， 可得a ＝－1，b ＝2，则f (x )＝－x 2＋2x ＋3在(－1,2)内的值域为(0,4]．(2)方程－x 2＋2x ＋3＝c ，即x 2－2x ＋c －3＝0在[0,3]上有两个不相等实根， 设g (x )＝x 2－2x ＋c －3，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (0)≥0，g (3)≥0，解得3≤c <4.20．解 (1)每吨平均成本为yx (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．所以当年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．因为R (x )在[0,210]上是增函数，所以当x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1660.所以当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 21．解 (1)f (x )＝(2x )2－5·2x －6，设2x ＝t ，∵x ∈[0,4]，则t ∈[1,16]，∴h (t )＝t 2－5t －6，t ∈[1,16]． ∵当t ∈⎝⎛⎦⎤1，52时函数h (t )单调递减； 当t ∈⎝⎛⎦⎤52，16时函数h (t )单调递增， ∴f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫52＝－494，f (x )max ＝h (16)＝170. (2)∵存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，而t ＝2x >0， ∴存在t ∈[1,16]，使得a ≤t ＋6t－5成立．令g (t )＝t ＋6t －5，则g (t )在[1，6]上单调递减，在[6，16]上单调递增，而g (1)＝2<g (16)＝918，∴g (t )max ＝g (16)＝918， ∴a ≤g (t )max ＝g (16)＝918， ∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，918. 22．解 (1)设log a x ＝t ，则x ＝a t ， 代入原函数，得f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )， 则f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(其中a >0，a ≠1)．(2)当a >1时，a x 是增函数，a －x 是减函数，且a a 2－1>0，所以f (x )是定义域R 上的增函数，同理，当0<a <1时，f (x )也是R 上的增函数， 又f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 由f (1－m )＋f (1－m 2)<0得f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<1－m 2<1，1－m <m 2－1，解得1<m < 2.则实数m 的取值范围是(1，2)． (3)因为f (x )是增函数，所以当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4∈(－∞，f (2)－4)， 又当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值为负数， 所以f (2)－4≤0，则f (2)－4＝a a 2－1(a 2－a －2)－4＝a a 2－1·a 4－1a 2－4＝a 2＋1a －4≤0，解得2－3≤a ≤2＋3且a ≠1，所以a 的取值范围是{a |2－3≤a ≤2＋3且a ≠1}．滚动检测二考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝x －1＋lg(x ＋1)的定义域是( ) A ．(－1,1] B ．(－1,1) C ．[－1,1]D ．[1，＋∞)2．设集合A ，B ，则“A ⊆B ”是“A ∪B ＝B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2018·大同调研)给定函数：①y ＝x 12，②y ＝1x ，③y ＝|x |－1，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ，其中既是奇函数又在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④4．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－1，则f ⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫13的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫13B ．f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32C ．f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫23>f ⎝⎛⎭⎫13D ．f ⎝⎛⎭⎫13>f ⎝⎛⎭⎫32>f ⎝⎛⎭⎫235．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－2，－1]时，f (x )的最小值为( ) A ．－116 B ．－18 C ．－14D ．06．在f (x )＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为( ) A ．3x ＋y －11＝0 B ．3x －y ＋6＝0 C ．x －3y －11＝0D ．3x －y －11＝07．(2017·哈尔滨市九中二模)函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( )8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(4a －3c )cos B ＝3b cos C ，a ，b ，c 成等差数列，若b ＝22，则△ABC 的面积为( ) A.677 B.72 C.776 D.4759．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的一条对称轴的方程是( ) A ．x ＝π6B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π1210．(2018届大庆实验中学期中)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π8个单位长度，得到的图象关于原点对称，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C ．0D ．－π411．己知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，已知当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－(x ＋1)2＋1，函数y 1＝f (x )的图象和函数y 2＝lg|x |的图象的交点个数为( )A ．8B ．9C ．16D ．1812．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪{1} 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2017·安徽皖西教学联盟)命题“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的否定为____________________．14．(2017·揭阳联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝________. 15．(2017·唐山一模)将函数f (x )＝cos ωx 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的图象，则正数ω的最小值为________． 16．定义：如果函数f (x )在[m ，n ]上存在x 1，x 2(m <x 1<x 2<n )满足f ′(x 1)＝f (n )－f (m )n －m ，f ′(x 2)＝f (n )－f (m )n －m.则称函数f (x )是[m ，n ]上的“双中值函数”，已知函数f (x )＝x 3－x 2＋a 是[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪18≤2x －2≤16，B ＝{x |2m ＋1≤x ≤3m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．18．(12分)(2018届重庆一中月考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3(0<φ<2π)，若f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)． (1)求y ＝f (x )的解析式和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2时，求y ＝f (x )的值域．19．(12分)(2018·葫芦岛调研)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本25万元，此外每生产1件这样的产品，还需增加投入0.5万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎫5t －1200t 2 万元． (1)设该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大．20．(12分)已知函数f (x )＝(ax －1)e x ，a ∈R ，e 是自然对数的底数． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数f (x )在区间(0,1)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围．21.(12分)在△ABC 中，设边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .A ，B ，C 都不是直角，且ac cos B ＋bc cos A ＝a 2－b 2＋8cos A . (1)若sin B ＝2sin C ，求b ，c 的值； (2)若a ＝6，求△ABC 面积的最大值．22．(12分)(2017·沈阳大东区质检)已知函数f(x)＝2x－1x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝3时，求f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝f(x)－x＋2a ln x，且g(x)有两个极值点x1，x2，其中x1<x2，若g(x1)－g(x2)>t恒成立，求t的取值范围．答案精析1．D 2.C 3.D 4.A 5.A6．D [由题意得，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3，则当x ＝－1时，f ′(x )min ＝3.又f (－1)＝－14，则曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为y －(－14)＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.] 7．D [∵函数f (x )＝2x －4sin x ，∴f (－x )＝－2x －4sin(－x )＝－(2x －4sin x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，所以函数f (x )＝2x －4sin x 的图象关于原点对称，排除A ，B ；函数f ′(x )＝2－4cos x ，由f ′(x )＝0，得cos x ＝12，故x ＝2k π±π3(k ∈Z )，所以当x ＝±π3时函数取得极值，排除C ，故选D.]8．A [由题意可知，4sin A cos B －3sin C cos B ＝3sin B cos C ， 可得4sin A cos B ＝3sin(B ＋C )＝3sin A ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝34，∴sin B ＝1－cos 2B ＝74.∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－b 2－2ac 2ac ＝34，∴ac ＝487，则S △ABC ＝12ac sin B ＝677.]9．A [将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的函数解析式为 y ＝cos ⎣⎡⎦⎤π6－2⎝⎛⎭⎫x －π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为函数在函数图象的对称轴处取得最值，经检验x ＝π6成立，故选A.]10．B [将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π8个单位长度，可得sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋φ. ∵图象关于原点对称，∴－π4＋φ＝k π，k ∈Z .解得φ＝k π＋π4.当k ＝0时，可得φ＝π4.]11．D [函数y 1＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故f (1＋x )＝f (1－x )．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，故f (1－x )＝f (x －1)， 因此f (x ＋1)＝f (x －1)，从而函数f (x )是周期为2的函数．可根据函数性质作出函数y 1＝f (x )的图象和函数y 2＝lg|x |的图象，因为函数f (x )的值域为[0,1]，所以只需要考虑区间[－10,10]，数形结合可得交点个数为18.故选D.]12．C [函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )恰有两个零点，转化为ln x －ax 2＋ax ＝0，即方程ln x x ＝a (x －1)恰有两解，设g (x )＝ln xx ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e)上是增函数， 在(e ，＋∞)上是减函数，且g (1)＝0，当x >e 时，g (x )>0，g ′(1)＝1，作出函数y 1＝g (x )和函数y 2＝a (x －1)的图象如图所示，由图可知，两个函数有两个交点的充要条件是0<a <1或a >1，故选C.] 13．若ab ＝0，则a ≠0且b ≠0解析 若“ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的否定为“若ab ＝0，则a ≠0且b ≠0”． 14．－435解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝45，－π2<α<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝35， 而sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋2π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3· cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3sin π3＝3－4310， ∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋2π3－2π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋2π3cos 2π3－cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3sin 2π3＝－3－4310， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝3－4310＋－3－4310＝－435. 15.32解析 f (x )向右平移π2个单位长度后得g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2ω. ∵sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －3π4， ∴ωx －π2ω＝ωx －3π4＋2k π(k ∈Z )，∴ω＝32－4k (k ∈Z )，∴正数ω的最小值为32.16.⎝⎛⎭⎫12，1解析 因为f (x )＝x 3－x 2＋a ，所以由题意可知，f ′(x )＝3x 2－2x 在区间[0，a ]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<a )，满足f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f (a )－f (0)a －0＝a 2－a ，所以方程3x 2－2x ＝a 2－a 在区间(0，a )上有两个不相等的实根． 令g (x )＝3x 2－2x －a 2＋a (0<x <a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12(－a 2＋a )>0，g (0)＝－a 2＋a >0，g (a )＝2a 2－a >0，解得12<a <1.17．解 (1)18≤2x －2≤16,2－3≤2x －2≤24，∴－3≤x －2≤4，∴－1≤x ≤6，∴A ＝{x |－1≤x ≤6}． (2)若B ＝∅，则2m ＋1>3m －1，解得m <2，此时满足题意；若B ≠∅且B ⊆A ，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≤3m －1，－1≤2m ＋1，3m －1≤6，解得2≤m ≤73.综上所述，m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≤73. 18．解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3， 由f (x )－f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝0可知，x ＝π8为函数的对称轴， 则2×π8＋φ＋π3＝k π＋π2，φ＝－π12＋k π，k ∈Z ，由0<φ<2π可知，φ＝11π12或φ＝23π12.又由f ⎝⎛⎭⎫π2>f (0)可知，－sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3>sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3， 则sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π3<0， 验证φ＝11π12和φ＝23π12，则φ＝11π12符合，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π， 得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π12，5π4， 则f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－1，22. 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 19．解 (1)当0＜x ≤500时，f (x )＝5x －1200x 2－x2－25；当x ＞500时，f (x )＝5×500－1200×5002－x2－25，故f (x )＝⎩⎨⎧－1200x 2＋92x －25，0<x ≤500，－12x ＋1 225，x >500.(2)当0＜x ≤500时，f (x )＝－1200(x －450)2＋19752. 故当x ＝450时，f (x )max ＝1 9752＝987.5； 当x ＞500时，f (x )<－12×500＋1 225＝975，故当该公司的年产量为450件时，当年获得的利润最大． 20．解 (1)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ， 所以当a ＝1时，f ′(x )＝x e x ， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0，所以当x 变化时f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：↘↗所以当x ＝0时，f (x )取得极小值f (0)＝－1.(2)因为f ′(x )＝(ax ＋a －1)e x ，函数f (x )在区间(0,1)上是单调递增函数， 所以f ′(x )≥0对x ∈(0,1)恒成立，又e x >0，所以只要ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立， 要使ax ＋a －1≥0对x ∈(0,1)恒成立， 因为x >0，所以a ≥1x ＋1对x ∈(0,1)恒成立，因为函数g (x )＝1x ＋1在(0,1)上单调递减，所以只要a ≥g (0)＝10＋1＝1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．21．解 (1)∵ac ·a 2＋c 2－b 22ac ＋bc ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2－b 2＋8cos A ，∴b 2＋c 2－a 2＝8cos A ，∴2bc cos A ＝8cos A ， ∵cos A ≠0，∴bc ＝4. 又∵sin B ＝2sin C ，由正弦定理，得b ＝2c ，∴b ＝22，c ＝ 2. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ≥2bc －2bc cos A ， 即6≥8－8cos A ，∴cos A ≥14，当且仅当b ＝c 时取等号．∴sin A ≤154，∴S ＝12bc sin A ≤152， ∴△ABC 面积的最大值为152. 22．解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝3时，f (x )＝2x －1x －3ln x ，f ′(x )＝2＋1x 2－3x ＝2x 2－3x ＋1x 2，令f ′(x )>0，得0<x <12或x >1，令f ′(x )<0，得12<x <1.∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)， 单调递减区间是⎝⎛⎭⎫12，1.(2)由已知得g (x )＝x －1x ＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋1x 2＋a x ＝x 2＋ax ＋1x 2，令g ′(x )＝0，得x 2＋ax ＋1＝0， ∵g (x )有两个极值点x 1，x 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4>0，x 1＋x 2＝－a >0，x 1x 2＝1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－2，x 2＝1x 1，a ＝－(x 1＋x 2).又∵x 1<x 2，∴x 1∈(0,1)， ∴g (x 1)－g (x 2)＝g (x 1)－g ⎝⎛⎭⎫1x 1＝x 1－1x 1＋a ln x 1－⎝⎛⎭⎫1x 1－x 1＋a ln 1x 1 ＝2⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1＋2a ln x 1＝2⎝⎛⎭⎫x 1－1x 1－2⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1ln x 1. 设h (x )＝2⎝⎛⎭⎫x －1x －2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln x ，x ∈(0,1)， ∵h ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－1x 2ln x ＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 1x＝2(1＋x )(1－x )ln xx 2，当x ∈(0,1)时，恒有h ′(x )<0，∴h (x )在(0,1)上单调递减， ∴h (x )>h (1)＝0，∴g (x 1)－g (x 2)>0，又∵g (x 1)－g (x 2)>t 恒成立，∴t ≤0.滚动检测三考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·云南河州统一检测)已知集合A ＝{x |x 2≤1}，B ＝{x |0<x <1}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,1) B ．[－1,1) C ．[－1,1]D ．(－1,1)2．(2018届中原名校质量考评)函数y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3在x ∈[－2π，2π]上的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤－5π3，π3 B.⎣⎡⎦⎤－2π，5π3 C.⎣⎡⎦⎤π3，2πD.⎣⎡⎦⎤－2π，5π3和⎣⎡⎦⎤π3，2π 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 等于( ) A ．－14B.14C.78D.11164．(2018·新余模拟)在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.则满足条件的三角形的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．05．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b6．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]7．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝cos xD ．y ＝x 2＋2x8．(2017·重庆三诊)已知a ＝(2,1)，b ＝(m ，－1)，且a ⊥(a －b )，则实数m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．(2018届洛阳联考)已知点O 是锐角△ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则( ) A ．m ＋n ≤－2 B ．－2≤m ＋n <－1 C ．m ＋n <－1D ．－1<m ＋n <010．(2017·河南第一高级中学适应性测试)已知向量a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝a ＋λb (λ∈R )，向量d 如图所示，则( )A ．∃λ0>0，使得c ⊥dB ．∃λ0>0，使得〈c ，d 〉＝60°C ．∃λ0<0，使得〈c ，d 〉＝30°D ．∃λ0>0，使得c ＝m d (m 是不为0的常数)11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，若f (x )满足f (x ＋π)＝－f (x )，且f (0)＝12，则函数h (x )＝2cos(ωx ＋φ)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．[－1，3] B ．[－2，3] C ．[－3，2]D ．[1，3]12．对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12e B.⎝⎛⎭⎫－∞，12e C.⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞D.⎝⎛⎭⎫12e ，1第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2018届四川绵阳丰谷中学月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3e x －1，x <3，log 3(x 2－6)，x ≥3，则f (f (3))的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为______．15．(2017·石嘴山三模)给出下列命题： ①已知a ，b 都是正数，且a ＋1b ＋1＞a b，则a ＜b ；②已知f ′(x )是f (x )的导函数，若∀x ∈R ，f ′(x )≥0，则f (1)＜f (2)一定成立；③命题“∃x 0∈R ，使得x 20－2x 0＋1＜0”的否定是真命题； ④“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充要条件． 其中正确的命题的序号是________．16．(2018·九江模拟)已知f (x )＝x 3－3x ＋m ，若在区间[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则实数m 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届河南信阳高级中学考试)已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C . (1)求∠A 的大小；(2)若f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x2，求f (B )的取值范围．18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(sin C －sin A )＝sin B . (1)求bc －a的值； (2)若b ＝2，BA →·BC →＝32，求△ABC 的面积．19.(12分)已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)分别求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14的值； (2)归纳猜想一般性结论，并给出证明；(3)求值：f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)．20．(12分)已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，设向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12. (1)若m ∥n ，求x 的值；(2)若m·n ＝35，求sin ⎝⎛⎭⎫x －π12的值．21.(12分)某河道中过度滋长一种藻类，环保部门决定投入生物净化剂净化水体. 因技术原因，第t 分钟内投放净化剂的路径长度p (t )＝140－|t －40|(单位：m)，净化剂净化水体的宽度q (单位：m)是时间t (单位：分钟)的函数：q (t )＝1＋a 2t (a 由单位时间投放的净化剂数量确定，设a为常数，且a ∈N *)．(1)试写出投放净化剂的第t 分钟内净化水体面积S (t )(1≤t ≤60，t ∈N *)的表达式； (2)求S (t )的最小值．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)若f(x)有极值0，求实数a，并确定该极值为极大值还是极小值；(2)在(1)的条件下，当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥mx ln(x＋1)恒成立，求实数m的取值范围．答案精析1．A 2.A 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B8．C [由a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0,6－2m ＝0，解得m ＝3，故选C.] 9．C [∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1， 又OC →＝mOA →＋nOB →，∴|OC →|＝|mOA →＋nOB →|， 可得OC →2＝m 2OA →2＋n 2OB →2＋2mnOA →·OB →， 而OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|cos ∠AOB <|OA →|·|OB →|＝1. ∴1＝m 2＋n 2＋2mnOA →·OB →<m 2＋n 2＋2mn ，∴m ＋n <－1或m ＋n >1，如果m ＋n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m ＋n <－1，故选C.]10．D [由图知d ＝(5,5)－(1,2)＝(4,3)，则c ＝a ＋λb ＝(1，λ)，若c ⊥d ，则4＋3λ＝0，得λ＝－43，故A 错；若夹角为60°，则有4＋3λ＝51＋λ2cos 60°，即11λ2＋96λ＋39＝0，有两个负根，故B 错；若夹角为30°，则有4＋3λ＝51＋λ2cos 30°，即39λ2－96λ＋11＝0有两个正根，故C 错；若两个向量共线，则有4λ＝3，解得λ＝34，故D 对．]11．A [因为f (x ＋π)＝－f (x )，所以函数f (x )的周期为2π，ω＝1，由f (0)＝sin φ＝12且|φ|＜π2，得φ＝π6，所以h (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2知π6≤x ＋π6≤2π3， 所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32，h (x )∈[－1，3]， 故选A.]12．A [由x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0(x ＞0，y ＞0)，得a ＝x 2(ln y －ln x )y 2＝ln y x⎝⎛⎭⎫y x 2，令t ＝yx (t ＞0)，所以a ＝ln t t 2.设g (t )＝ln tt 2(t >0)，g ′(t )＝1t ·t 2－(ln t )2t t 4＝1－2ln t t 3，令g ′(t )＞0，得0＜t ＜e ，g (t )单调递增；令g ′(t )＜0，得t ＞e ，g (t )单调递减．所以g (t )最大值为g (e)＝12e.又当t ＞1时，g (t )＞0；当0＜t ＜1时，g (t )＜0，故当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12e 时，存在两个正数t ，使a ＝ln tt 2成立，即对任意的正数x ，都存在两个不同的正数y ，使x 2(ln y －ln x )－ay 2＝0成立，故选A.] 13．3解析 因为f (3)＝log 3(32－6)＝log 33＝1， 所以f (f (3))＝f (1)＝3e 1－1＝3. 14.13解析 ∵AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理可得BC ＝19，又根据余弦定理可得cos ∠ABC ＝419，AM →·BC →＝(BM →－BA →)·BC →＝λBC →2－BA →·BC →＝19λ－3×19×419＝－173，解得λ＝13.15．①③解析 ①已知a ，b 都是正数，a ＋1b ＋1＞ab ，ab ＋b ＞ab ＋a ，则a ＜b 正确；②若f (x )是常函数，则f (1)＜f (2)不成立，③命题“∃x 0∈R ，使得x 20－2x 0＋1＜0”是假命题，则它的否定是真命题；④“x ≤1且y ≤1”⇒“x ＋y ≤2”，反之不成立，则“x ≤1且y ≤1”是“x ＋y ≤2”的充分不必要条件．正确的命题序号为①③. 16．(6，＋∞)解析 三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[0,2]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解． 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 则x 1＝1，x 2＝－1(舍去)，∵函数的定义域为[0,2]，∴当x ∈[0,1)时，f ′(x )＜0， 当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间[0,1)上单调递减，在区间(1,2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (1)＝m －2，f (x )max ＝f (2)＝m ＋2，f (0)＝m ， 由题意知，f (1)＝m －2＞0；①由f (1)＋f (1)＞f (2)，得－4＋2m ＞2＋m ，② 由①②得m >6.17．解 (1)由(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 及正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 化为b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)f (x )＝3sin x 2·cos x 2＋cos 2x2＝32sin x ＋1＋cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋12， 在锐角△ABC 中，由A ＝π3，知π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤32，1， ∴f (B )的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1＋32，32.18．解 (1)由正弦定理，得2(c －a )＝b ，即bc －a ＝2；(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2(c －a )＝b ，b ＝2，BA →·BC →＝ca cos B ＝32，即⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，ca ·a 2＋c 2－b 22ac ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝2，所以cos B ＝34，所以sin B ＝74，所以S ＝12ac sin B ＝74. 19．解 (1)∵f (x )＝x 21＋x 2，∴f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝221＋22＋122＋1＝1， 同理可得f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1. (2)由(1)猜想f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1.证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝1. (3)令S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2 011)＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f ⎝⎛⎭⎫12 010＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)， 则S ＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 011＋f (2 011)＋f (2 010)＋…＋f (2)＋f (1)， 则2S ＝4 022，故S ＝2 011.20．解 (1)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m ∥n ，所以sin x ·12＝cos x ·32，即tan x ＝3，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，所以x ＝π3. (2)因为m ＝(sin x ，cos x )，n ＝⎝⎛⎭⎫32，12，且m·n ＝35， 所以32sin x ＋12cos x ＝35， 即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝35，令θ＝x ＋π6， 则x ＝θ－π6，且sin θ＝35，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， 所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π12＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6－π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin θcos π4－cos θsin π4 ＝35×22－45×22＝－210.21．解 (1)由题意， 得S (t )＝p (t )·q (t )＝(140－|t －40|)⎝⎛⎭⎫1＋a 2t ＝⎩⎨⎧100＋a 2＋t ＋100a 2t，1≤t ＜40，t ∈N *，180－a 2－t ＋180a2t，40≤t ≤60，t ∈N *.(2)当40≤t ≤60且t ∈N *时，S (t )＝180－a 2－t ＋180a 2t， 当t 增加时180a 2t 减小，所以S (t )在40≤t ≤60上单调递减，所以当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 当1≤t ＜40且t ∈N *时，S (t )＝100＋a 2＋t ＋100a 2t≥100＋a 2＋20a (当且仅当t ＝10a 时，等号成立)，①若a ＝1或2或3；当t ＝10a 时，上述不等式中的等号成立， S (t )在1≤t ＜40范围中有最小值a 2＋20a ＋100. 又在40≤t ≤60时S (t )有最小值2a 2＋120.当a ＝1时，100＋a 2＋20a ＝121＜122＝2a 2＋120， 故S (t )有最小值121；当a ＝2或a ＝3时，100＋a 2＋20a ＞2a 2＋120， 故S (t )有最小值2a 2＋120. ②若a ≥4且1≤t ＜40时，因为S (t ＋1)－S (t )＝1＋100a 2t ＋1－100a 2t ＝1－100a 2t (t ＋1)<0，所以S (t ＋1)<S (t )，故S (t )在1≤t <40时单调递减；又S (t )在40≤t ≤60时单调递减，且100＋a 2＋40＋100a 240＝180－a 2－40＋180a 240， 所以S (t )在1≤t ≤60时单调递减． 所以，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 综上，若a ＝1，当t ＝10时，S (t )有最小值121； 若a ≥2且a ∈N *，当t ＝60时，S (t )有最小值2a 2＋120. 22．解 (1)f ′(x )＝e x －a .①若a ≤0，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，不符合题意； ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减；当x ∈(ln a ，＋∞)时， f ′(x )＞0，f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增．所以，当x ＝ln a 时，f (x )取到极小值，f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝0，即a ln a －a ＋1＝0. 令φ(a )＝a ln a －a ＋1(a >0)， 则φ′(a )＝ln a ＋a ·1a－1＝ln a ，当0＜a ＜1时，φ′(a )＜0，φ(a )单调递减； 当a ＞1时，φ′(a )＞0，φ(a )单调递增． 又φ(1)＝0，所以a ln a －a ＋1＝0有唯一解a ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝e x －x －1， 当x ≥0时，f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立，即e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0(x ∈[0，＋∞))恒成立． 令g (x )＝e x －x －mx ln(x ＋1)－1(x ∈[0，＋∞))， 则g ′(x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ∈[0，＋∞))，令h (x )＝e x －1－m ln(x ＋1)－mxx ＋1(x ∈[0，＋∞))， 则h ′(x )＝e x －m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1，h ′(0)＝1－2m,0＜1(x ＋1)2＋1x ＋1≤2(当且仅当x ＝0时取“＝”)．①当m ≤0时，h ′(x )＞0，h (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即h (x )≥0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以g (x )min ＝g (0)＝0，所以g (x )≥0， 所以e x －x －mx ln(x ＋1)－1≥0， 即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立．②当0＜m ≤12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ≥0，所以h ′(x )＞0，故h (x )在[0，＋∞)上单调递增， 所以h (x )min ＝h (0)＝0，即g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (0)＝0， 所以g (x )≥0，即f (x )≥mx ln(x ＋1)恒成立． ③当m ＞12时，h ′(x )是增函数，h ′(x )min ＝h ′(0)＝1－2m ＜0，当x →＋∞时，e x →＋∞，－m ⎣⎡⎦⎤1(x ＋1)2＋1x ＋1→0，所以h ′(x )→＋∞，则∃x 0＞0，使得h ′(x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )＜0，h (x )在(0，x 0)上单调递减， 此时h (x 0)＜h (0)＝0，即g ′(x )＜0，x ∈(0，x 0)，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，g (x 0)＜g (0)＝0，不符合题意． 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12.滚动检测四考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{x |lg x ＜1}，N ＝{x |－3x 2＋5x ＋12＜0}，则( ) A ．N ⊆M B ．∁R N ⊆MC ．M ∩N ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(3,10) D ．M ∩(∁R N )＝(0,3]2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ－sin 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C. 35D. 453．已知函数f (x )＝12x ，则( ) A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)<0 B ．∀x ∈[0，＋∞)，f (x )≥0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)4．(2018·济宁模拟)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1，－1)D ．(1,3)5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,1)，若向量a －λb 与向量c ＝(5，－2)共线，则λ的值为( ) A.43 B.413 C ．－49D ．46．(2017·贵阳适应性考试)设命题p ：若y ＝f (x )的定义域为R ，且函数y ＝f (x －2)图象关于点(2,0)对称，则函数y ＝f (x )是奇函数，命题q ：∀x ≥0，x 12≥x 13，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∨q C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )7．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1312，b ＝log 1213，c ＝log 312，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >b >cD ．b >a >c8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则b 等于( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 39．(2017·大连模拟)设向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝|a ＋b |＝3，则|a ＋2b |等于( ) A ．6 B ．3 2 C ．10 D ．4 210．已知{a n }是等差数列，其公差为非零常数d ，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n ，当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B ．(－3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－3，－52 D ．(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 11．(2017·河北衡水中学摸底)若以2为公比的等比数列{b n }满足log 2b n ·log 2b n ＋1－2＝n 2＋3n ，则数列{b n }的首项为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．412．对任意的n ∈N *，数列{a n }满足|a n －cos 2n |≤13且|a n ＋sin 2n |≤23，则a n 等于( )A.23－sin 2n B ．sin 2n －23C.13－cos 2n D ．cos 2n ＋13第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝1－2x 的定义域为________．14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝⎛⎭⎫－12n －1，若对于任意的n ∈N *都有1≤x (S n －4n )≤3恒成立，则实数x 的取值范围是________．15. (2017·佛山质检)某沿海四个城市A ，B ，C ，D 的位置如图所示，其中∠ABC ＝60°，∠BCD ＝135°，AB ＝80 n mile ，BC ＝(40＋303) n mile ，CD 现在有一艘轮船从A 出发以50 n mile/h 的速度向D 直线航行， 60 min 因收到指令改向城市C 直线航行，则收到指令时该轮船到城市C 的距离是16．(2017·陆川二模)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0,2)，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数b 的取值范围是______．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＞0}． (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集是A ∩B ，求ax 2＋x －b ＜0的解集．18．(12分)已知函数f (x )＝4cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋1. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．19.(12分)(2018届山西五校联考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a sin B ＋3b cos A ＝3c . (1)求B ；(2)若△ABC 的面积为332，b ＝7，a ＞c ，求a ，c .。
2019-2020年高三上学期一轮复习检测一数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期一轮复习检测一数学（文）试题含答案一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的）1．已知全集M={﹣2，﹣1，0，1，2}，N={x|＜2 x+1＜8，x∈R}，则M∩N=( )A．{﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0，1，2} C．{0，1} D．{﹣1，0}2．已知复数z=1﹣i，则=( )A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A．f（x）=x2 B．f（x）= C．f（x）=e x D．f（x）=sinx4．设原命题：若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题5．公差不为零的等差数列{a n}中，2a3﹣a72+2a11=0，数列{b n}是等比数列，且b 7 = a 7则b6 b8=( )A．2 B．4 C．8 D．166．函数y=tan（x﹣）的部分图象如图所示，则（+）=( ) A．6B．4 C．﹣4 D．﹣67．已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2km，B船在灯塔C西偏北25°且B到C的距离为，则A，B两船的距离为( )A．km B．km C．km D．km8．已知a＞0，直线a2x+y+2=0与直线bx﹣（a2+1）y﹣1=0互相垂直，则ab的最小值为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 9．下列四个结论正确的是（）A．若组数据的散点都在上，则相关系数B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C．已知点A（-l，0），B（l，0），若|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹为椭圆D．设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2.5个单位10．已知函数f（x）=，则方程f 2（x）﹣f（x）=0的不相等的实根个数( ) A．5 B．6 C．7 D．811．已知F为椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点，A1、A2为椭圆长轴的两个端点，P为椭圆上任一点，分别以PF、A1A2为直径作圆，则两圆的位置关系为( )A．相交B．相切C．相离D．内含12．已知函数f（x）=，函数g（x）=x2﹣x+1，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）有两个零点的充要条件为( ) A．a≤0B．a≥0C．a≤1D．a≥1二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．曲线y=2x+sinx在点（π，2π）处的切线斜率为__________．14．在约束条件下，当2≤t≤4时，则函数z=3x+2y的最大值的范围是__________．15．图2中实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是__________．16．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为.三、解答题：（本大题共有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，=（b，2a﹣c），=（cosB，cosC），且∥（1）求角B的大小；（2）设f（x）=cos（ωx﹣）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．18．（本小题满分12分）如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA1′分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1中（Ⅰ）求证：AB⊥PQ；（Ⅱ）在底边AC上是否存在一点M，满足BM∥平面APQ，若存在试确定点M的位置，若不存在请说明理由19．（本小题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3：8：19，且第二组的频数为8．（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为，且过点（，).（1）求椭圆方程；（2）设不过原点的直线：，与该椭圆交于、两点，直线、的斜率依次为、，满足，试问：当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=+cx+d（a，c，d∈R）满足f（0）=0，f ′（1）=0，且f ′（x）≥ 0在R上恒成立．（1）求a，c，d的值；（2）若，解不等式f ′（x）+ h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）= f′（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．22. （本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为,若曲线与相交于、两点．(1)求的值；(2)求点到、两点的距离之积．一轮检测（一）数学试卷（文科）答案一、选择题A．B．D．A D A．D．C．A C．B．A．二、填空题13．1．14．[6，8]．15．3．16．6三、解答题：17．解：（1）由m∥，得bcosC=（2a﹣c）cosB，∴bcosC+ccosB=2acosB．由正弦定理，得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB．……..2分又B+C=π﹣A，∴sinA=2sinAcosB．又sinA≠0，∴．……4分又B∈（0，π），∴．………6分（2）由已知，∴ω=2.……….8分当….10分因此，当时，；……11分当，……..12分18．解：（Ⅰ）证明：因为AB=3，BC=4，所以AC=5，从而AC2=AB2+BC2，即AB⊥BC．又因为AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，所以AB⊥平面BC1，又PQ⊂平面BC1所以AB⊥PQ …………6分（Ⅱ）在底边AC上存在一点M，使得AM：MC=3：4，满足BM∥平面APQ，证明：过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，∵AM：MC=3：4，∴AM：AC=MN：CQ=3：7∴MN=PB=3，∵PB∥CQ，∴MN∥PB，∴四边形PBMN为平行四边形，∴BM∥PN，∴BM∥平面APQ，∴BM∥平面APQ，此时有=．…..12分19．解：（Ⅰ）百米成绩在[16，17）内的频率为0.32×1=0.32，则共有1000×0.32=320人；………4分（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x依题意，得3x+8x+19x+0.32+0.08=1，∴x=0.02设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，∴n=50∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．……8分（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50=3，记他们的成绩为a，b，c百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50=4，记他们的成绩为m，n，p，q．则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21个其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12个，∴P= ………….12分20．解：（1）依题意可得()22222222221,32a bcaa b c⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭+=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪=+⎩解得所以椭圆C的方程是…………..4分（2）当变化时，为定值，证明如下：由2214y kx mxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2221484(1)0k x kmx m+++-=.设P，Q.则，…………..8分直线OP、OQ的斜率依次为，且,121212124y y kx m kx mkx x x x++=+=+，得,将代入得：，经检验满足. …………..12分21．解：（1）∵f（0）=0，∴d=0∴x+c及f'（1）=0，有∵f'（x）≥0在R上恒成立，即恒成立显然a=0时，上式不能恒成立∴a≠0，函数f'（x）=a是二次函数由于对一切x∈R，都有f'（x）≥0，于是由二次函数的性质可得即，即，解得：a=，．……4分（2）∵．∴．∴由f '（x ）+h （x ）＜0，即即＜0，即当 时，解集为（，b ），当b ＜ 时，解集为（b ，），当b=时，解集为．….8分 （3）∵，∴f'（x ）= ∴．该函数图象开口向上，且对称轴为x=2m+1． 假设存在实数m 使函数区间[m ．m+2]上有最小值﹣5．①当m ＜﹣1时，2m+1＜m ，函数g （x ）在区间[m ，m+2]上是递增的． ∴g （m ）=﹣5，即．解得．∵，∴舍去②当﹣1≤m ＜1时，m≤2m+1＜m+2，函数g （x ）在区间[m ，2m+1]上是递减的， 而在区间[2m+1，m+2]上是递增的，∴g （2m+1）=﹣5． 即解得或m=﹣，均应舍去③当m≥1时，2m+1≥m +2，函数g （x ）在区间[m ，m+2]上递减的∴g （m+2）=﹣5 即．解得或m=﹣1+2．其中m=﹣1﹣2应舍去．综上可得，当m=﹣3或m=﹣1+2 时，函数g （x ）= f '（x ）﹣mx 在区间[m ，m+2]上有最小值﹣5．……..12分22. 解(1) 曲线的普通方程为，,则的普通方程为，则的参数方程为：()212222x t t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数 2分 代入得，212121242()43AB t t t t t t =-=+-=. 6分 (2) . 10分。
2019届高三文科数学(人教B版)一轮复习滚动测试卷(全套含解析)
滚动测试卷一(第一~三章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2017辽宁沈阳一模)若P={x|x<4},Q={x|x2<4},则()A.P⊆QB.Q⊆PC.P⊆∁R QD.Q⊆∁R P2.不等式-x2+|x|+2<0的解集是()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2,或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-2,或x>1}3.若幂函数的图象经过点(3,33),则该函数的解析式为()A.y=x3B.y=x 13C.y=13D.y=x-14.下列判断错误的是()A.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题B.命题“∀x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“∂x0∈R,x03−x02-1>0”C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题D.命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的充分不必要条件5.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)内单调递增的是()A.y=sin xB.y=-x2+1xC.y=x3+3xD.y=e|x|6.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,则m的取值范围是() A.(0,4] B.3,4C.3,3D.3,+∞7.设函数f(x)=5x-m,x<1,2x,x≥1,若f f4=8,则m=()A.2B.1C.2或1D.128.(2017福建宁德一模)已知函数f(x)=e x+e-x,则y=f'(x)的图象大致为()9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(-1)+f(-2 017)=()A.0B.12C.1D.210.(2017辽宁鞍山一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2.当x>1时,f(x)=1x-1,则关于x 的方程f(x)+2a=0没有负实根时实数a的取值范围是()A.(-∞,-1]∪-1,+∞B.(0,1)C.-1,-1∪-1,+∞D.-2,-1∪-1,011.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c=log21·f log21,则a,b,c的大小关系为()A.c>b>aB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b12.已知函数f(x)=xx-1+sin πx在[0,1)内的最大值为m,在(1,2]上的最小值为n,则m+n=()A.-2B.-1C.1D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为.14.(2017江苏,11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-1e x,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.15.已知函数f(x)=log2(1-x)+1,-1≤x<0,x3-3x+2,0≤x≤a的值域是[0,2],则实数a的取值范围是.16.已知函数f(x)=x2+2,g(x)=1x-m.若∀x1∈[1,2],∂x2∈[-1,1],使f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知a∈R,函数f(x)=log21+a .(1)当a=5时,解不等式f(x)>0;(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围;(3)设a>0,若对任意t∈12,1,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.18.(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.19.(12分)如图,在半径为30 cm的四分之一圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.(1)写出体积V关于x的函数解析式;(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?20.(12分)(2017安徽合肥一模)已知函数f(x)=2a-x 2x(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若∀x∈[1,+∞),不等式f(x)>-1恒成立,求实数a的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)=e xax2+x+1,其中a∈R.(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.22.(12分)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)≥2x+m在1e,e上有解,求实数m的取值范围;(2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求证:f'x1+x2<0(其中f'(x)是f(x)的导函数).参考答案滚动测试卷一(第一~三章)1.B 解析由P={x|x<4},Q={x|x 2<4}={x|-2<x<2},可得∁R P={x|x ≥4},∁R Q={x|x ≤-2或x ≥2},结合选项可知只有Q ⊆P 成立,故选B .2.B 解析由-x 2+|x|+2<0,得x 2-|x|-2>0,即(|x|+1)(|x|-2)>0,故|x|-2>0,解得x>2或x<-2.3.B 解析设幂函数解析式为y=x α,则 33α,故α=13,即y=x 13.故选B .4.D 解析A 中,当m=0时,满足am 2≤bm 2,但a 可以大于b ,故命题是假命题,故正确;B 显然正确;C 中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;D 中,p ∨q 为真命题,可知p ,q 至少有一个为真,但推不出p ∧q 为真命题,故错误.故选D . 5.C 解析选项A,C 中函数为奇函数,又函数y=sin x 在(0,+∞)内不是单调函数,故选C . 6.C 解析y=x2-3x-4= x -32−25.当x=0或x=3时,y=-4,故3≤m ≤3.7.B 解析∵f f 45 =8,∴f (4-m )=8.若4-m<1,即3<m ,可得5(4-m )-m=8,解得m=2,舍去. 若4-m ≥1,即m ≤3,可得24-m =8,解得m=1.故选B .8.D 解析函数f (x )=e x +e -x ,则y=f'(x )=e x -e -x ,因为y=e x 是增函数,y=-1e x 是增函数,所以导函数是增函数.故选D .9.D 解析∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x ≤1时,f (x )=x ,∴f (-1)=f (1)=1,f (-2017)=f (2017)=f (1)=1,∴f (-1)+f (-2017)=1+1=2.10.A 解析∵f (x )满足f (x+1)+f (1-x )=2,∴f (x )的图象关于点(1,1)中心对称,作出其图象如图.∵f (x )+2a=0没有负实根,∴-2a ≤1或-2a ≥2,解得a ≥-12或a ≤-1.故选A .11.A 解析设F (x )=xf (x ),当x>0时,F'(x )=[xf (x )]'=f (x )+xf'(x )<0,即函数F (x )在(0,+∞)内单调递减,又y=f (x )在R 上是偶函数,则F (x )在R 上是奇函数,从而F (x )在R 上单调递减,又30.2>1,0<log π2<1,log 214<0,即30.2>log π2>log 214,所以F (30.2)<F (log π2)<F log 214 ,即a<b<c. 12.D 解析可知f (x )=x x -1+sin πx=1+1x -1+sin πx. 记g (x )=1x -1+sin πx ,则当x ∈[0,1)时,g (2-x )=12-x -1+sin π(2-x )=11-x -sin πx=- 1x -1+sin πx =-g (x ), 即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f (x )关于点(1,1)中心对称,故m+n=2. 13.e 2 解析因为函数f (x )的导数为f'(x )=1x ,所以切线斜率k=f'(x 0)=10, 所以切线方程为y-ln x 0=10(x-x 0).因为切线过点(0,1),所以代入切线方程得ln x 0=2,解得x 0=e 2.14. -1,12 解析因为f (-x )=(-x )3-2(-x )+e -x -1e-x =-f (x ),所以f (x )为奇函数.因为f'(x )=3x 2-2+e x +e -x ≥3x 2-2+2 e x ·e -x ≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f (x )在R 上单调递增.因为f (a-1)+f (2a 2)≤0可化为f (2a 2)≤-f (a-1),即f (2a 2)≤f (1-a ),所以2a 2≤1-a ,2a 2+a-1≤0,解得-1≤a ≤1,故实数a 的取值范围是 -1,1. 15.[1, 解析先作出函数f (x )=log 2(1-x )+1,-1≤x<0的图象,再研究f (x )=x 3-3x+2,0≤x ≤a 的图象.由f (x )=x 3-3x+2(0≤x ≤a )可知f'(x )=3x 2-3=0,得x=1(x=-1舍去). 由f'(x )>0,得x>1;由f'(x )<0,得0<x<1. 故当x=1时,f (x )在x ∈[0,a ]上有最小值f (1)=0, 又f ( =2.所以1≤a ≤ .16. -52,+∞ 解析∀x 1∈[1,2],∂x 2∈[-1,1],使f (x 1)≥g (x 2),只需f (x )=x 2+2x 在[1,2]上的最小值大于等于g (x )= 12 x-m 在[-1,1]上的最小值. 因为f'(x )=2x-22=2(x 3-1)2≥0在[1,2]上恒成立,且f'(1)=0,所以f (x )=x 2+2在[1,2]上单调递增,所以f (x )min =f (1)=12+21=3. 因为g (x )= 12 x-m 在[-1,1]上单调递减,所以g (x )min =g (1)=12-m ,所以12-m ≤3,即m ≥-52. 17.解(1)由log 2 1x +5 >0,得1x +5>1,解得x ∈ -∞,-14 ∪(0,+∞).(2)1x +a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x 2+(a-5)x-1=0,当a=4时,x=-1,经检验,满足题意. 当a=3时,x 1=x 2=-1,经检验,满足题意. 当a ≠3且a ≠4时,x 1=1a -4,x 2=-1,x 1≠x 2. x 1是原方程的解当且仅当1x 1+a>0,即a>2;x 2是原方程的解当且仅当1x 2+a>0,即a>1.于是满足题意的a ∈(1,2]. 综上,a 的取值范围为(1,2]∪{3,4}. (3)当0<x 1<x 2时,1x 1+a>1x 2+a ,log 2 1x 1+a >log 2 1x 2+a ,所以f (x )在(0,+∞)内单调递减.函数f (x )在区间[t ,t+1]上的最大值与最小值分别为f (t ),f (t+1).f (t )-f (t+1)=log 2 1t +a -log 2 1t +1+a ≤1即at 2+(a+1)t-1≥0,对任意t ∈ 12,1 成立. 因为a>0,所以函数y=at 2+(a+1)t-1在区间 1,1 上单调递增,当t=1时,y 有最小值3a-1, 由34a-12≥0,得a ≥23.故a 的取值范围为 23,+∞ . 18.(1)证明因为f (x+2)=-f (x ),所以f (x+4)=-f (x+2)=f (x ). 所以f (x )是周期为4的周期函数. (2)解当x ∈[-2,0]时,-x ∈[0,2].由已知得f (-x )=2(-x )-(-x )2=-2x-x 2, 又f (x )是奇函数, 所以f (-x )=-f (x )=-2x-x 2, 所以f (x )=x 2+2x.又当x ∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], 所以f (x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f (x )是周期为4的周期函数,所以f (x )=f (x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x 2-6x+8.从而求得当x ∈[2,4]时,f (x )=x 2-6x+8. (3)解f (0)=0,f (2)=0,f (1)=1,f (3)=-1.又f (x )是周期为4的周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)=0. 19.解(1)连接OB,因为AB=x cm,所以OA=900-x2cm.设圆柱的底面半径为r cm,则900-x2=2πr,即4π2r2=900-x2,所以V=πr2x=π·900-x 22·x=900x-x3,其中0<x<30.(2)由(1)知V=900x-x 3(0<x<30),则V'=900-3x 2 .由V'=900-3x 2=0,得x=103,可知V=900x-x 3在(0,103)内是增函数,在(103,30)内是减函数.所以当x=103时,V有最大值.20.解(1)f'(x)=x 2-2x-2ax,当Δ=4+8a≤0,即a≤-1时,x2-2x-2a≥0,f'(x)≥0,∴函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.当a>-12时,令x2-2x-2a=0,解得x1=1-2a+1,x2=1+2a+1.∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1-2a+1)和(1+2a+1,+∞),单调递减区间为(1-2a+1,1+2a+1).(2)∵f(x)>-1⇔2a-x 2e x>-1⇔2a>x2-e x, ∴由条件知,2a>x2-e x对∀x≥1成立.令g (x )=x 2-e x ,h (x )=g'(x )=2x-e x ,∴h'(x )=2-e x . 当x ∈[1,+∞)时,h'(x )=2-e x ≤2-e <0,∴h (x )=g'(x )=2x-e x 在[1,+∞)上单调递减, ∴h (x )=2x-e x ≤2-e <0,即g'(x )<0, ∴g (x )=x 2-e x 在[1,+∞)上单调递减, ∴g (x )=x 2-e x ≤g (1)=1-e,故f (x )>-1在[1,+∞)上恒成立,只需2a>g (x )max =1-e,∴a>1-e,即实数a 的取值范围是1-e2,+∞ . 21.解(1)当a=0时,函数f (x )=e xx +1的定义域为{x|x ∈R ,且x ≠-1},f'(x )=x e x(x +1)2.令f'(x )=0,得x=0.当x 变化时,f'(x )和f (x )的变化情况如下:所以f (x )的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+∞).故当x=0时,函数f (x )有极小值f (0)=1.函数f (x )无极大值.(2)函数g (x )存在两个零点.证明过程如下: 由题意,函数g (x )=e x2-1.因为x 2+x+1= x +122+34>0,所以函数g (x )的定义域为R .求导,得g'(x )=e x (x 2+x +1)-e x (2x +1)(x 2+x +1)2=e x x (x -1)(x 2+x +1)2,令g'(x )=0,得x =0,x =1,当x 变化时,g (x )和g'(x )的变化情况如下:故函数g (x )的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞).当x=0时,函数g (x )有极大值g (0)=0; 当x=1时,函数g (x )有极小值g (1)=e 3-1.因为函数g (x )在(-∞,0)内单调递增,且g (0)=0,所以对于任意x ∈(-∞,0),g (x )≠0. 因为函数g (x )在(0,1)内单调递减,且g (0)=0,所以对于任意x ∈(0,1),g (x )≠0.因为函数g (x )在(1,+∞)内单调递增,且g (1)=e 3-1<0,g (2)=e 27-1>0, 所以函数g (x )在(1,+∞)内有且仅有一个x 0,使得g (x 0)=0, 故函数g (x )存在两个零点(即0和x 0).22.(1)解由f'(x )=2x -2x+a ,可知切线的斜率k=f'(2)=a-3=-1,故a=2.因此f (x )=2ln x-x 2+2x. 由f (x )≥2x+m ,得m ≤2ln x-x 2.∵不等式f (x )≥2x+m 在 1,e 上有解, ∴m ≤(2ln x-x 2)max .令g (x )=2ln x-x 2, 则g'(x )=2-2x=-2(x +1)(x -1). ∵x ∈ 1,e ,∴当g'(x )=0时,x=1.当1e <x<1时,g'(x )>0;当1<x<e 时,g'(x )<0.故g (x )在x=1处取得最大值g (1)=-1,因此m ≤-1,即m 的取值范围为(-∞,-1). (2)证明∵f (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0),B (x 2,0),∴方程2ln x-x 2+ax=0的两个根为x 1,x 2,∴ 2ln x 1-x 12+ax 1=0,2ln x 2-x 22+ax 2=0,∴a=(x 1+x 2)-2(ln x 1-ln x 2)x 1-x 2. 又f'(x )=2x -2x+a ,∴f'x 1+x 22=4x1+x 2-(x 1+x 2)+a =4x1+x 2−2(ln x 1-ln x 2)x 1-x 2. 下证4x 1+x 2−2(ln x 1-ln x 2)x 1-x 2<0, 即证2(x 2-x 1)x 1+x 2+ln x 1x 2<0. 设t=x12,∵0<x 1<x 2,∴0<t<1.即证μ(t )=2(1-t )+ln t<0在t ∈(0,1)内恒成立,∵μ'(t )=1t −4(t +1)2=(t -1)2t (t +1)2,又0<t<1,∴μ'(t )>0,∴μ(t )在(0,1)内是增函数,∴μ(t )<μ(1)=0,从而知2(x 2-x 1)x 1+x 2+ln x1x 2<0, 故4x1+x 2−2(ln x 1-ln x 2)x 1-x 2<0, 即f'x 1+x 22<0成立. 滚动测试卷二(第一~五章)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合A= 1,2,12,集合B={y|y=x 2,x ∈A },则A ∩B=( )A. 12B.{2}C.{1}D.⌀2.复数1+3ii -1=( )A.1-2iB.1+2iC.-1+2iD.-1-2i3.下列结论正确的是( )A.若命题p :∀x>0,都有x 2>0,则p :∂x 0≤0,使得x 02≤0B.若命题p 和p ∨q 都是真命题,则命题q 也是真命题C.在△ABC 中,a ,b ,c 是内角A ,B ,C 所对的边,则a<b 的充要条件是cos A>cos BD.命题“若x 2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x ≠-2或x ≠1,则x 2+x-2≠0” 4.命题“存在x ∈[0,2],x 2-x-a ≤0为真命题”的一个充分不必要条件是( ) A.a ≤0B.a ≥-1C.a ≥-14D.a ≥35.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,当x<0时,f (x )=-log 2(-2x ),则f (32)=( ) A.-32B.-6C.6D.646.(2017山西实验中学3月模拟)已知函数f (x )=ln x-x 2与g (x )=(x-2)2+12(2-x )-m (m ∈R )的图象上存在关于(1,0)对称的点,则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,1-ln 2) B .(-∞,1-ln 2] C .(1-ln 2,+∞)D .[1-ln 2,+∞)7.设x 0是函数f (x )= 1 x-log 2x 的零点.若0<a<x 0,则f (a )的值满足( )A.f (a )=0B.f (a )<0C.f (a )>0D.f (a )的符号不确定8.在四边形ABCD 中,AC ⊥BD ,且AC=2,BD=3,则AB ·CD 的最小值为( ) A.134B.-134C.154D.-1549.若不等式tt 2+9≤a ≤t +2t2在t ∈(0,2]上恒成立,则a 的取值范围是( )A. 16,1B. 213,1 C. 16,413D. 16,2 210.(2017山东临沂一模)函数f (x )=10ln |x +1|x +1的图象可能是( )11.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.若cos B=14,sin Csin A =2,且S △ABC = 154,则b=( ) A.4B.3C.2D.112.定义在R 上的函数f (x )满足f (1)=1,且对任意的x ∈R ,都有f'(x )<1,则不等式f (log 2x )>log 2x +1的解集为 ( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,+∞)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知|a |= 3,|b |=2,若(a +b )⊥a ,则a 与b 的夹角是 .14.已知函数f (x )= -2e x ,x ≤0,ln x ,x >0(其中e 为自然对数的底数),则函数y=f (f (x ))的零点是 .15.已知非零向量a ,b 的夹角为60°,且|a -b |=1,则|a +b |的最大值是 .16.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若AB·AC =BA ·BC =1,则c= . 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)设向量a =(4cos α,sin α),b =(sin β,4cos β),c =(cos β,-4sin β). (1)若a 与b -2c 垂直,求tan(α+β)的值; (2)求|b +c |的最大值;(3)若tan αtan β=16,求证:a ∥b .18.(12分)请你设计一个包装盒,如图所示,四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,且E,F是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.19.(12分)函数f(x)=A sin(ωx+φ) A>0,ω>0,0<φ<π的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)设g(x)= f x-π2,求函数g(x)在x∈-π,π上的最大值,并确定此时x的值.20.(12分)(2017辽宁沈阳三模)如图,已知△ABC中,D为BC上一点,∠DAC=π4,cos∠BDA=-35,AC=42.(1)求AD的长;(2)若△ABD的面积为14,求AB的长.21.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f'2.(1)求a的值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)设函数g(x)=(f(x)-x3)·e x,若函数g(x)在x∈[-3,2]上单调递增,求实数c的取值范围.x2-a ln x(a∈R).22.(12分)已知函数f(x)=12(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围;(3)讨论方程f(x)=0的解的个数,并说明理由.参考答案滚动测试卷二(第一~五章)1.C 解析当x=1时,y=1;当x=2时,y=4;当x=12时,y=14;故B= 1,4,14 ,因此A ∩B={1}.故选C . 2.A 解析1+3i i -1=(1+3i )(-1-i )(i -1)(-1-i )=2-4i2=1-2i,故选A .3.C 解析若命题p :∀x>0,都有x 2>0,则¬p :∂x 0>0,使得x 02≤0.故A 错误;若命题p 和p ∨q 都是真命题,则命题q 可能是真命题,也可能是假命题.故B 错误; 在△ABC 中,由a<b 可知0<A<B<π,而y=cos x 在(0,π)内单调递减,故cos A>cos B ,C 正确; 命题“若x 2+x-2=0,则x=-2或x=1”的逆否命题是“x ≠-2且x ≠1,则x 2+x-2≠0”.故D 错误.故选C .4.D 解析∵存在x ∈[0,2],x 2-x-a ≤0为真命题,∴a ≥(x 2-x )min = x -12 2-14min=-14.因此上述命题的一个充分不必要条件是a ≥3.故选D .5.B 解析因为当x<0时,f (x )=-log 2(-2x ),且函数f (x )是R 上的偶函数,所以f (32)=f (-32)=-log 264=-6,故选B .6.D 解析∵f (x )=ln x-x 2与g (x )=(x-2)2+12(2-x )-m (m ∈R )的图象上存在关于(1,0)对称的点, ∴f (x )+g (2-x )=0有解,∴ln x-x 2=-x 2-12x +m ,∴m=ln x+12x 在(0,+∞)内有解.∵m'=2x -12x 2,∴函数在 0,12 内单调递减,在 12,+∞ 内单调递增,∴m ≥ln 12+1=1-ln2.7.C 解析f (x )= 13 x -log 2x 为减函数,f (x 0)= 13 x 0-log 2x 0=0,由0<a<x 0,可知f (a )>f (x 0)=0.8.B 解析设AC 与BD 相交于点O ,以O 为原点,AC ,BD 为坐标轴建立平面直角坐标系,设C (a ,0),D (0,b ),则A (a-2,0),B (0,b-3), 故AB=(2-a ,b-3),CD =(-a ,b ). ∴AB ·CD =a (a-2)+b (b-3)=(a-1)2+ b -3 2−13. ∴当a=1,b=32时,AB ·CD 取得最小值-134.9.B 解析∵函数y=t +2t 2=1+2t2在t ∈(0,2]上为减函数,∴当t=2时,y=t +2t 2的最小值为1.令f (t )=tt 2+9,则f'(t )=9-t 2(t +9)2.当t ∈(0,2]时,f'(t )>0,故f (t )在区间(0,2]上为增函数. 故当t=2时,f (t )=t t 2+9的最大值为213.故由题意知tt 2+9max≤a ≤t +2t 2 min,即213≤a ≤1. 10.C 解析函数f (x )=10ln |x +1|x +1的图象,可以看作f (x )=10ln |x |x向左平移1个单位长度得到的,∵f (x )=10ln |x |x是奇函数,∴函数f (x )=10ln |x +1|x +1的图象关于(-1,0)中心对称,排除A,D;当x>0时,函数f (x )=10ln |x +1|x +1没有零点,所以排除B,故选C .11.C 解析由cos B=14,0<B<π得sin B=154.又sin C sin A =2得ca=2,即c=2a.由S △ABC =15=1ac sin B=a 2· 15,得a=1.所以c=2.由b 2=a 2+c 2-2ac cos B=1+4-2×1×2×14=4,得b=2. 12.C 解析设g (x )=f (x )-12x.∵f'(x )<12,∴g'(x )=f'(x )-12<0. ∴g (x )是R 上的减函数.又f (1)=1,∴f (log 2x )>log 2x +12=12log 2x+12,即g (log 2x )=f (log 2x )-12log 2x>12 =g (1)=f (1)-12=g (log 22).∴log 2x<log 22.又y=log 2x 是定义域上的增函数,∴0<x<2.∴不等式f (log 2x )>log 2x +12的解集为(0,2).故选C .13.150° 解析因为(a +b )⊥a ,所以(a +b )·a =0⇔a 2+b ·a =0⇔3+b ·a =0,所以b ·a =-3,可知a 与b 的夹角的余弦值为a ·b|a ||b |=2 3=- 32.则a 与b 的夹角为150°.14.e 解析令f (x )=t ,则y=f (t ).由f (t )=0,可得t=1; 由f (x )=1,可得x=e . 故函数y=f (f (x ))的零点是e . 15. 解析∵|a -b |=1,∴a 2+b 2-2|a ||b |cos60°=1,即a 2+b 2=1+|a ||b |≥2|a ||b |.∴|a ||b |≤1,当且仅当|a |=|b |=1时等号成立.∴|a +b |=2+b 2+2a ·b =2+b 2+2|a ||b |cos60°= 2|a ||b |+1. ∴2|a ||b |+1≤3.∴|a +b |的最大值是16. 解析由内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,可知AB=c ,AC=b ,BC=a.由AB·AC =BA ·BC ,得cb cos A=ca cos B.故由正弦定理,得sin B cos A=cos B sin A, 即sin(B-A)=0.因为-π<B-A<π,所以B=A,从而b=a.由已知BA·BC=1,得ac cos B=1.故由余弦定理知ac·a 2+c2-b22ac=1,即a2+c2-b2=2,故c=2.17.(1)解因为a与b-2c垂直,所以a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,因此tan(α+β)=2.(2)解由b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ),得|b+c|=(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2=17-15sin2β≤42.又当β=kπ-π4(k∈Z)时,等号成立,所以|b+c|的最大值为4(3)证明由tanαtanβ=16,得16cosαcosβ=sinαsinβ,故a∥b.18.解设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm,则a=,h=-x),0<x<30.(1)由题意知S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,故当x=15时,S取最大值.(2)由题意知V=a2h=2-x3+30x2),则V'=6(20-x).由V'=0得x=20(x=0舍去).当x∈(0,20)时,V'>0;当x∈(20,30)时,V'<0;故当x=20时,包装盒容积V最大,此时ℎa =12,即此时包装盒的高与底面边长的比值是12.19.解(1)由题图知A=2,T4=π3,则2πω=4×π3,即ω=32.又f-π6=2sin32×-π6+φ =2sin-π4+φ =0,∴sin φ-π4=0,∵0<φ<π2,-π4<φ-π4<π4,∴φ-π4=0,即φ=π4,∴f (x )的解析式为f (x )=2sin 32x +π4 .(2)由(1)可得f x -π12 =2sin 32 x -π12 +π4=2sin 32x +π8 ,g (x )= f x -π12 2=4×1-cos 3x +π4 2 =2-2cos 3x +π4 , ∵x ∈ -π6,π3 ,∴-π4≤3x+π4≤5π4, ∴当3x+π4=π,即x=π4时,g (x )max =4.20.解(1)∵cos ∠BDA=-35,∴sin ∠BDA=45,sin C=sin ∠BDA -π4 =sin ∠BDA·cos π4-cos ∠BDA·sin π4=45× 22+35× 22=7 210,由正弦定理,得AC sin∠ADC =AD sin C , 即4 245=7 210,得AD=7. (2)S △ABD =12·AD·BD·sin ∠ADB=12×7×BD×45=14,得BD=5,由余弦定理,得AB 2=AD 2+BD 2-2AD·BD·cos ∠ADB=49+25+2×7×5×35=116,∴AB=2 29.21.解(1)由f (x )=x 3+ax 2-x+c ,得f'(x )=3x 2+2ax-1.当x=2时,得a=f' 2 =3× 2 2+2a×2-1,解得a=-1.(2)由(1)可知f (x )=x 3-x 2-x+c ,则f'(x )=3x 2-2x-1=3 x +13 (x-1),由f'(x )>0,得x<-13或x>1;由f'(x )<0,得-13<x<1.所以f (x )的单调递增区间是 -∞,-13 和(1,+∞),f (x )的单调递减区间是 -13,1 .(3)函数g (x )=(f (x )-x 3)·e x =(-x 2-x+c )·e x ,有g'(x )=(-2x-1)e x +(-x 2-x+c )e x =(-x 2-3x+c-1)e x ,因为函数g (x )在x ∈[-3,2]上单调递增,所以h (x )=-x 2-3x+c-1≥0在x ∈[-3,2]上恒成立.故只要h (x )在[-3,2]上的最小值h (2)≥0即可,解得c ≥11,所以c 的取值范围是[11,+∞).22.解(1)因为f'(x )=x-a x (x>0),又f (x )在x=2处的切线方程为y=x+b ,所以 2-a =1,2-a ln2=2+b ,解得a=2,b=-2ln2. (2)若函数f (x )在(1,+∞)上为增函数,则f'(x )=x-a x ≥0在(1,+∞)上恒成立,即a ≤x 2在(1,+∞)上恒成立,所以a ≤1.(3)当a=0时,f (x )在定义域(0,+∞)上恒大于0,此时方程无解.当a<0时,f'(x )=x-a x >0在(0,+∞)上恒成立,所以f (x )在(0,+∞)上为增函数.因为f (1)=12>0,f (e 1a )=12e 2a -1<0, 所以方程有唯一解.当a>0时,f'(x )=x-a =x 2-a =(x + a )(x - a ). 因为当x ∈(0, a )时,f'(x )<0,则f (x )在(0, a )上为减函数;当x ∈( a ,+∞)时,f'(x )>0,则f (x )在( a ,+∞)上为增函数.所以当x= a 时,f (x )有极小值,即最小值为f ( a )=12a-a ln a =12a (1-ln a ).当a ∈(0,e)时,f ( a )=12a (1-ln a )>0,方程无解;当a=e 时,f ( a )=12a (1-ln a )=0,此方程有唯一解x= e .当a ∈(e,+∞)时,f ( a )=12a (1-ln a )<0,因为f 12 >0且 a >1,所以方程f (x )=0在区间(0, a )上有唯一解.因为当x>1时,(x-ln x )'>0,所以x-ln x>1,所以x>ln x.所以f (x )=12x 2-a ln x>12x 2-ax.因为2a> a >1,所以f (2a )>12(2a )2-2a 2=0,所以方程f (x )=0在区间( a ,+∞)上有唯一解. 所以方程f (x )=0在区间(e,+∞)上有两解.综上,当a ∈[0,e)时,方程无解;当a<0或a=e 时,方程有唯一解;当a>e 时,方程有两解.滚动测试卷三(第一~七章)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合M={x|x 2+x ≤0},N= x 2x >14 ,则M ∪N 等于( )A.[-1,0]B.(-1,0)C.(-2,+∞)D.(-2,0]2.3+i1-i 的虚部为( )A.2B.-2C.-2iD.2i3.设命题p :∀x>0,ln x>lg x ,命题q :∂x>0, x =1-x 2,则下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.(p )∧(q )C.p ∧(q )D.(p )∧q4.已知数列{b n }是等比数列,b 9是1和3的等差中项,则b 2b 16=( )A.16B.8C.2D.45.曲线y=x 3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.120°6.已知sin 2α=23,则tan α+1tan α=( )A.1B.2C.4D.37.函数f (x )= 1 x-log 2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为( )A.2B.3C.6D.98.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2a 6=a 8+6,则S 7等于( )A.49B.42C.35D.249.已知实数a ,b 满足2a =3,3b =2,则函数f (x )=a x +x-b 的零点所在的区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)10.已知函数f (x )=2sin (2x+φ) φ <π 的图象过点(0, 3),则函数f (x )的图象的一个对称中心是()A.-π,0B.-π,0C.π,0D.π,011.已知x,y满足约束条件x-y≥0,x+y-4≤0,y≥1,则z=-2x+y的最大值是()A.-1B.-2C.-5D.112.如图,半径为2的☉O切直线MN于点P,射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM,在旋转过程中,PK交☉O于点Q,设∠POQ=x,弓形PTQ的面积为S=f(x),则f(x)的图象大致是()二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a>0,b>0,ab=8,则当a的值为时,log2a·log2(2b)取得最大值.14.已知函数f(x)=2x-2,x≤1,-log2(x+1),x>1,且f(a)=-3,则f(5-a)=.15.(2017湖南邵阳一模)设θ∈0,π,向量a=(cos θ,2),b=(-1,sin θ),若a⊥b,则tan θ=.16.(2017北京,文14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(ⅰ)男学生人数多于女学生人数;(ⅱ)女学生人数多于教师人数;(ⅲ)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;②该小组人数的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b cos C=a-12c.(1)求角B的大小;(2)若b=1,求a+c的最大值.18.(12分)已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且a 2+b 2=c 2+ab ,c= 3.数列{a n }是等比数列,且首项a 1=12,公比为sin A a .(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =12n ·log 2n +1,求数列{b n }的前n 项和S n .19.(12分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=b cos C+3c sin B.3(1)若a=2,b=7,求c;(2)若sin2A-π-2sin2 C-π=0,求A.20.(12分)已知在递增等差数列{a n}中,a1=1,a1,a4,a10成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n·3n}的前n项和S n.21.(12分)为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1 600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为1 000 m2,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数).经测算,若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元..注:每平方米平均综合费用=购地费用+所有建筑费用所有建筑面积(1)求k的值;(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元?22.(12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.参考答案滚动测试卷三(第一~七章) 1.C解析由x2+x≤0,得x(x+1)≤0,即-1≤x≤0,故M=[-1,0];=2-2,即x>-2,故N=(-2,+∞);由2x>14因此,M ∪N=(-2,+∞),故选C .2.A 解析∵3+i1-i =(3+i )(1+i )(1-i )(1+i )=1+2i,∴3+i 1-i 的虚部是2,故选A .3.D 解析当x=1时,ln x=lg x=0.故命题p 是假命题.画出y= x 与y=1-x 2的图象(图略),可知在x ∈(0,+∞)上两个图象有交点,故命题q 是真命题. 因此(¬p )∧q 是真命题.故选D .4.D 解析∵b 9是1和3的等差中项,∴2b 9=1+3,∴b 9=2.由等比数列{b n }的性质可得b 2b 16=b 92=4,故选D .5.B 解析由y'=3x 2-2,得y'=1,即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1,故切线的倾斜角为45°.6.D 解析∵sin2α=2sin αcos α=23,即sin αcos α=13, ∴tan α+1tan α=sin αcos α+cos αsin α=1sin αcos α=3.故选D .7.B 解析因为y= 13 x 在R 上单调递减,y=log 2(x+2)在[-1,1]上单调递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,所以f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.8.B 解析设等差数列{a n }的公差为d.∵2a 6=a 8+6,∴2(a 1+5d )=a 1+7d+6,即a 1+3d=6,即a 4=6.又a 1+a 7=2a 4,∴S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=7×6=42.故选B .9.B 解析∵实数a ,b 满足2a =3,3b =2,∴a=log 23>1,0<b=log 32<1.∴函数f (x )=a x +x-b=(log 23)x +x-log 32在R 上单调递增,且其图象是连续的.∵f (0)=1-log 32>0,f (-1)=log 32-1-log 32=-1<0,∴f (x )=a x +x-b 的零点所在的区间为(-1,0),故选B .10.B 解析由题意,得 =2sin φ.又|φ|<π2,故φ=π3.因此f (x )=2sin 2x +π3 .所以f (x )的图象的对称中心的横坐标满足2x+π3=k π,k ∈Z ,即x=-π6+kπ2,k ∈Z . 所以结合选项可知f (x )的图象的一个对称中心是 -π6,0 .故选B .11.A 解析作出约束条件的可行域如图阴影部分所示,平移直线l 0:y=2x ,可得在点A (1,1)处z 取得最大值,最大值为-1.12.D 解析由题意可知弓形PTQ 的面积f (x )=x2ππ×22-12×22sin x=2x-2sin x.因为f'(x )=2-2cos x>0在(0,2π)上恒成立,所以f (x )在(0,2π)上为增函数. 令g (x )=2-2cos x.由g'(x )=2sin x ≥0在x ∈(0,π]上恒成立,可知函数f (x )在(0,π]上为凹函数; 由g'(x )=2sin x ≤0在x ∈[π,2π)上恒成立,故函数f (x )在[π,2π)上为凸函数.故选D . 13.4 解析由题意知log 2a·log 2(2b )≤log 2a +log 2(2b ) 2= log 2(2ab ) 2=log 216 2=4,当且仅当log 2a=log 2(2b ),即a=2b 时等号成立. 又因为ab=8,且a>0,所以a=4.14.-74 解析当a ≤1时,f (a )=2a -2=-3,即2a =-1,不符合题意,舍去;当a>1时,f (a )=-log 2(a+1)=-3,解得a=7. 故f (5-a )=f (-2)=2-2-2=-74.15.12 解析∵a ⊥b ,∴a ·b =0,即-cos θ+2sin θ=0,∴sin θcos θ=tan θ=12.16.①6 ②12 解析设男学生人数为x ,女学生人数为y ,教师人数为z ,则有2z>x>y>z ,x ,y ,z ∈N +.①教师人数为4,即z=4,8>x>y>4,所以y 的最大值为6,故女学生人数的最大值为6. ②由题意知2z>x>y>z ,x ,y ,z ∈N +.当z=1时,2>x>y>1,x ,y 不存在; 当z=2时,4>x>y>2,x ,y 不存在;当z=3时,6>x>y>3,x=5,y=4,此时该小组人数最小,最小值为5+4+3=12. 17.解(1)∵b cos C=a-12c ,∴b a 2+b 2-c 22ab =a-12c ,∴b2-c2=a2-ac,∴b2=a2+c2-ac,∴cos B=12.又B∈(0,π),∴B=π3.(2)∵b2=a2+c2-2ac cos B,∴1=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.∵ac≤(a+c)24,当且仅当a=c时等号成立,∴14(a+c)2≤1,即a+c≤2,∴a+c的最大值为2.18.解(1)∵a2+b2=c2+ab,∴cos C=a 2+b2-c22ab=12.又C为三角形的内角,∴C=π3.∵sin Aa =sin Cc=12,∴a n=12n.(2)∵b n=1log2a n·log2a n+1=1log212n·log212n+1=1=1−1,∴S n=1-12+12−13+…+1n−1n+1=1-1n+1=nn+1.19.解(1)∵a=b cos C+3c sin B,∴sin A=sin B cos C+3sin C sin B,∴cos B sin C=3sin C sin B,∴tan B=∴B=π3.∵b2=a2+c2-2ac cos B,∴c2-2c-3=0,∴c=3.(2)∵B=π3,∴3sin2A-π6-2sin2 C-π12=3sin2A-π6-1+cos2C-π6=3sin2A-π6+cos4π3-2A-π6-1=3sin2A-π6-cos2A-π6-1=2sin 2A -π3 -1=0, 又π6<A<π2,∴A=π4.20.解(1)∵a 1,a 4,a 10成等差数列,a 1=1,∴a 42=a 10,即(1+3d )2=1+9d ,解得d=13(d=0舍去),∴a n =13n+23.(2)∵a n ·3n =(n+2)·3n-1,∴S n =3×30+4×3+5×32+…+(n+2)·3n-1,① 3S n =3×31+4×32+5×33+…+(n+2)·3n .②∴①-②得-2S n =3+3+32+…+3n-1-(n+2)·3n=32−2n +32·3n. ∴S n =2n +34·3n -34. 21.解(1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为(10×1000×5)m 2,则所有建筑费用为[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1000×10, 因此1270={16000000+[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1000×10}÷(10×1000×5),解得k=50.(2)设小区每幢为n (n ∈N +)层,每平方米平均综合费用为f (n ), 由题设可知f (n )={16000000+[(50+800)+(100+800)+…+(50n+800)]×1000×10}÷(10×1000×n )=1600n+25n+825≥2 1600×25+825=1225,当且仅当1600n=25n ,即n=8时,等号成立.故该小区每幢建8层时,每平方米平均综合费用最低,此时每平方米平均综合费用为1225元. 22.解(1)由题意可知f'(x )=e x (ax+a+b )-2x-4.由已知得f (0)=4,f'(0)=4. 故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4. (2)由(1)知,f (x )=4e x (x+1)-x 2-4x , f'(x )=4e x (x+2)-2x-4=4(x+2)· e x -12 . 令f'(x )=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f'(x )>0; 当x ∈(-2,-ln2)时,f'(x )<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)内单调递增,在(-2,-ln2)内单调递减.当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).滚动测试卷四(第一~九章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.集合M= x1x≥1,N={x|y=lg(x+2)},则M∩N等于()A.[0,+∞)B.(-2,0]C.(-2,+∞)D.(-∞,-2)∪[0,+∞)2.全称命题:∀x∈R,x2>0的否定是()A.∀x∈R,x2≤0B.∂x∈R,x2>0C.∂x∈R,x2<0D.∂x∈R,x2≤03.将函数f(x)=sin2x+π的图象向右平移π个单位,则所得的图象对应的函数解析式是()A.y=sin 2xB.y=cos 2xC.y=sin2x+2πD.y=sin2x-π4.已知函数y=f(x)的定义域为{x|x≠0},满足f(x)+f(-x)=0,当x>0时,f(x)=ln x-x+1,则函数y=f(x)的大致图象是()5.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,则λ=()A.23B.13C.-13D.-236.已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.x 2−y2=1 B.x2−y2=1 C.3x2−3y2=1 D.3x2−3y2=17.如图,在△ABC中,点D在AC上,AB⊥BD,BC=33,BD=5,sin∠ABC=23,则CD的长为()A.14B.4C.25D.5(第7题图)(第8题图)8.某几何体的三视图如图所示,其中左视图为半圆,则该几何体的体积是( ) A. 23πB.π2C.2 2π3D.π9.已知抛物线方程为y 2=8x ,直线l 的方程为x-y+2=0,在抛物线上有一动点P 到y 轴距离为d 1,P 到l 的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为( ) A.2 3-2B.2 2C.2 2-2D.2 2+210.设m ,n 是不同的直线,α,β是不同的平面,下列命题正确的是( ) A.若m ∥α,n ⊥β,m ⊥n ,则α⊥β B.若m ∥α,n ⊥β,m ⊥n ,则α∥β C.若m ∥α,n ⊥β,m ∥n ,则α⊥β D.若m ∥α,n ⊥β,m ∥n ,则α∥β 11.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=-11,a 5+a 9=-2,则当S n 取最小值时,n 等于( )A.9B.8C.7D.612.已知直线l :y=kx+2(k 为常数)过椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的上顶点B 和左焦点F ,且被圆x 2+y 2=4截得的弦长为L ,若L ≥45 5,则椭圆离心率e 的取值范围是( )A. 0,5B. 0,2 5C. 0,3 5D. 0,4 5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用[x ]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lg x ]-2=0的实根个数是 . 14.若变量x ,y 满足约束条件 x +y -2≥0,3x -2y -6≤0,y ≥k ,且z=x+3y 的最小值为4,则k= .15.正四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2 6,则这个球的表面积为 . 16.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线垂直于直线l :x-2y-5=0,双曲线的一个焦点在l 上,则双曲线的方程为 .三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数f(x)=sin2x-π+cos2x-π+2cos2x-1.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)若α∈π4,π2且f(α)=325,求cos 2α.18.(12分)(2017全国Ⅰ,文18改编)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求该四棱锥的高及四棱锥的侧面积.。
2019届新课标高考数学(文)一轮复习质量检测试题【1】及答案
质量检测(一)测试内容：集合常用逻辑用语与函数导数及应用时间：90分钟分值：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2018·陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁R M为( )A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：从函数定义域切入，∵1－x2≥0，∴－1≤x≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D2．(2018·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆BD⇒/a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A3．(2018·山东烟台诊断)下列说法错误的是( )A．B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p∧q为假D．解析：若p∧q为假答案：C4．(2018·西安长安区第一次质检)下列函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A．y＝m 1|x|B．y＝x3C．y＝2|x|D．y＝cos x解析：f(x)＝x3，f(－x)＝－x3＝－f(x)，∴f(x)＝x3为奇函数．且f(x)＝x3在R上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递增，故选B.答案：B5．若函数f(x)＝ax2＋(a2－1)x－3a为偶函数，其定义域为[4a＋2，a2＋1]，则f(x)的最小值为( ) A．3 B．0 C．2 D．－1解析：由f(x)为偶函数知a2－1＝0，即a＝±1，又其定义域需关于原点对称，即4a ＋2＋a 2＋1＝0必有a ＝－1. 这时f(x)＝－x 2＋3，其最小值为f(－2)＝f(2)＝－1. 故选D. 答案：D6．(2018·河北名校名师俱乐部二调)曲线y ＝12x 2＋x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A ．1B ．2 C.43 D.23解析：y′＝x ＋1，所以切线在点(2,4)处的斜率为3，切线方程为y －4＝3(x －2)，令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝23，所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×|－2|×23＝23.答案：D7．(2018·重庆卷)已知函数f(x)＝ax 3＋bsin x ＋4(a ，b ∈R)，f[lg(log 210)]＝5，则f[lg(lg 2)]＝( ) A ．－5 B ．－1 C ．3 D ．4解析：因为f[lg(log 210)]＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg2＝f[－lg(lg 2)]＝5，又f(x)＋f(－x)＝8，所以f[－lg(lg 2)]＋f[lg(lg 2)]＝8，所以f[lg(lg 2)]＝3，故选C.答案：C8．(2018·青岛市统一质检)已知函数f(x)对定义域R 内的任意x 都有f(x)＝f(4－x)，且当x≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2<a<4则( )A ．f(2a)<f(3)<f(log 2a) B ．f(3)<f(log 2a)<f(2a) C ．f(log 2a)<f(3)<f(2a ) D ．f(log 2a)<f(2a)<f(3)解析：由f(x)＝f(4－x)知函数f(x)关于x ＝2对称，x≠2时，有(x －2)f′(x)>0，∴x>2时f′(x)>0，x<2时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，2)上单调减，在(2，＋∞)上单调增，2<a<4时4<2a<16，klog 2a<2，∴log 2a<2<2a，知f(log 2a)<f(3)<f(2a)，选C.答案：C9．(2018·南平市质检)已知函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x ＋a e x ，(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2)∪[e 2，＋∞)解析：当a ＝1时，f(x)＝e x＋1exf′(x)＝e x－1e x ＝e x－1ex 在[0,1]上f′(x)≥0，所以f(x)在区间[0,1]上单调递增．a ＝－1时f(x)＝e x－1e很显然在区间[0,1]上单调递增，故选C.答案：C10．(2018·河北名校名师俱乐部二调)下图中，有一个是函数f(x)＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a≠0)的导函数f ′(x)的图象，则f(－1)等于( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－13或53 解析：∵f ′(x)＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)， ∴导函数f ′(x)的图象开口向上． 又∵a≠0，∴其图象必为第(3)个图．由图象特征知f ′(0)＝0，且－a>0，∴a ＝－1， ∴f(x)＝13x 3－x 2＋1，故f(－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(2018·重庆市九校联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x>02x，x≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝－2，f(－2)＝14， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f(－2)＝14.答案：1412．f(x)＝xn 2－3n(n ∈Z)是偶函数，且y ＝f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________.解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n<0，即0<n<3，又因为f(x)是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或213．(2018·山东菏泽模拟)设函数f(x)＝x m＋ax 的导函数f′(x)＝2x ＋1，则⎠⎛12f(－x)dx 的值等于________．解析：由于f(x)＝x m ＋ax 的导函数f′(x)＝2x ＋1，所以f(x)＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f(－x)dx ＝⎠⎛12(x 2－x)dx ＝(13x 3－12x 2)|21＝56.答案：5614．(2018·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．解析：如图，过A 作AH⊥BC 于H ，交DE 于F ，易知DE BC ＝x 40＝AD AB ＝AF AH ⇒AF ＝x ⇒FH ＝40－x.则S ＝x(40－x)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4022，当且仅当40－x ＝x ，即x ＝20时取等号．所以满足题意的边长x 为20(m)．答案：20三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(满分12分)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a≤0，若解：由2x 2＋ax －a 2＝0，得(2x －a)(x ＋a)＝0，∴x＝a 2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. 又“只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a≤0”， 即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a＝0或a ＝2. ∴当 ∴ ∵即a 的取值范围为{a|a>2或a<－2}．16．(满分12分)(2018·丰台区期末练习)已知函数f(x)＝(ax 2＋bx ＋c)e x(a>0)的导函数y ＝f ′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－1，求f(x)的极大值．解：(1)f ′(x)＝(2ax ＋b)e x＋(ax 2＋bx ＋c)e x＝[ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c]e x. 令g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c ， ∵e x>0，∴y＝f′(x)的零点就是g(x)＝ax 2＋(2a ＋b)x ＋b ＋c 的零点，且f′(x)与g(x)符号相同． 又∵a>0，∴当x<－3，或x>0时，g(x)>0，即f ′(x)>0， 当－3<x<0时，g(x)<0，即f ′(x)<0，∴f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)． (2)由(1)知，x ＝0是f(x)的极小值点，所以有 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，b ＋c ＝0，9a －＋＋b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝1，c ＝－1.所以函数的解析式为f(x)＝(x 2＋x －1)e x.又由(1)知，f(x)的单调增区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，单调减区间是(－3,0)． 所以，函数f(x)的极大值为f(－3)＝(9－3－1)e －3＝5e3.17．(满分12分)2019年8月31日第十二届全运会在辽宁沈阳开幕，历时13天．某小商品公司以此为契机，开发了一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y 元．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大． 解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件， 则月平均利润为y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15]元，所以y 与x 的函数关系式为y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)． (2)由y′＝5a(4－2x －12x 2)＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍去)，所以当0<x<12时，y′>0；当12<x<1时，y′<0.所以函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值．故改进工艺后，纪念品的销售价为20×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大． 18．(满分14分)(2018·山西省第三次四校联考)已知函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x. (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a 的取值范围； (3)若对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1<x 2，且f(x 1)＋2x 1< f(x 2)＋2x 2恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f(x)＝2x －3＋1x .因为f′(1)＝0，f(1)＝－2. 所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f(x)＝2ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)． 当a>0时，f′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x＝2ax 2－＋－1x(x>0)令f′(x)＝0，即f′(x)＝2ax 2－＋＋1x＝－－x＝0，所以x ＝12或x ＝1a.当0<1a ≤1，即a≥1时，f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；当1<1a <e 时，f(x)在[1，e]上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(1)＝－2，不合题意； 当1a≥e 时，f(x)在(1，e)上单调递减， 所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(e)<f(1)＝－2，不合题意． ∴综上a≥1.(3)设g(x)＝f(x)＋2x ，则g(x)＝ax 2－ax ＋ln x ， 只要g(x)在(0，＋∞)上单调递增即可． 而g′(x)＝2ax －a ＋1x ＝2ax 2－ax ＋1x当a ＝0时，g′(x)＝1x>0，此时g(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≠0时，只需g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，因为x∈(0，＋∞)，只要2ax 2－ax ＋1≥0， 则需要a>0，对于函数y ＝2ax 2－ax ＋1，过定点(0,1)，对称轴x ＝14>0，只需Δ＝a 2－8a≤0，即0<a≤8.综上0≤a≤8.。
2019年高三阶段考试-文科数学-参考答案
2019年高三阶段考试-文科数学参考答案一、单选题：每小题5分二、填空题：每小题5分13．3 14．()12n n+15．π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭16．12±三、解答题17．(本小题满分10分)【解析】（Ⅰ）由2171272128a a dS a d=+=⎧⎨=+=⎩，解得111ad=⎧⎨=⎩，所以n a n=.（Ⅱ）14nnb-=，所以{}n b的前n项和1441143n nnT--==-.18．(本小题满分12分)【解析】（Ⅰ22sinB B=，所以2cos2sinB B B=.因为0πB<<，所以sin0B≠，所以tan B=，所以π3B=.（Ⅱ）由ABCS∆=，4a=，π3B=，得1π4sin23c⋅⋅⋅=解得6c=.由余弦定理可得222π46246cos283b=+-⨯⨯⨯=，解得b=19．(本小题满分12分) 【解析】（Ⅰ） ()=2f x ax b '+，依题设，有(3)=5(3)=7f f '⎧⎨⎩，即6=5931=7a b a b +⎧⎨++⎩，解得=1=1a b ⎧⎨-⎩ 2()=1f x x x -+.（Ⅱ）方程()e xf x k =，即21e xx x k -+=，可化为21e xx x k -+=，记21g()exx x x -+=，则(1)(2)g ()e x x x x ---'=， 令g ()0x '=，得121,2x x ==当x 变化时，g ()x '、g()x 的变化情况如下表：所以当1x =时，g()x 取极小值e ；当2x =时，g()x 取极大值23e， 方程()e xf x k =恰有两个不同的实根，即直线y k =和函数21g()e xx x x -+=图象有两个不同的交点，作出图象可知1e k =或23ek =．20．(本小题满分12分)【解析】（Ⅰ）21(cos cos +2f x x x x -1=2cos 222x x - π=sin(2)6x -，由ππ3π2π22π262k x k +≤-≤+解得π5πππ36k x k +≤≤+，k ∈Z所以()f x 单调减区间为π5π[π,π]36k k ++，k ∈Z . （Ⅱ）因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤， 所以1sin 226x π-≤-≤（）1. 由不等式()2c f x c <<+恒成立，得1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112c -<<-.所以实数c 的取值范围为1(1,)2--.21．(本小题满分12分) 【解析】（Ⅰ）∵1n n S a =-+ ①111n n S a ++=-+ ②②-①得11n n n a a a ++=-+ 即112n n a a +=∴数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列 ∴1111222n n n a -⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭（Ⅱ）由12n n a =，∴2n nn n b n a ==⨯ ∴23222322nn T n =+⨯+⨯++⨯ ③左右两边乘于2得()2312222122n n n T n n +=+⨯++-+⨯ ④③-④得23122222n n n T n +-=++++-⨯()1212212nn n +-=-⨯-()1122n n +=-⋅-∴()1122n n T n +=-⋅+22．(本小题满分12分) 【解析】 （I ） ()2ln xf x x -'=故切线的斜率为()21e e f '=-，又2(e)=e f ∴切线方程为：()221e e ey x -=--，即2e 3e 0x y +-=（II ）.当01x <<时，()0,f x '>当x >l 时，()0f x '<()f x 在（0，1）上单调递增,在（1.+∞）上单调递减。
(北师大)2019届高考数学文科一轮复习单元评估检测全套试卷有答案(9套)
单元评估检测(一) 集合与常用逻辑用语(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，则∁U M ＝( ) A ．{2,4,6} B ．{1,3,5} C ．{1,2,4} D ．UA2．(2017·武汉模拟)已知集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，B ＝{x ∈Z |x 2＜9}，则A ∩B ＝( ) A ．{2} B ．(－3,3) C ．(1,3) D ．{1,2}D3．命题“存在x 0∈∁R Q ，x 20∈Q ”的否定是( )【导学号：00090384】A ．存在x 0∉∁R Q ，x 20∈Q B ．存在x 0∈∁R Q ，x 20∉Q C ．任意x ∉∁R Q ，x 2∈Q D ．任意x ∈∁R Q ，x 2∉QD4．设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜5，x ∈Z，B ＝{x |x ≥a }．若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜12B ．a ≤12C ．a ≤1D ．a ＜1C5．使x 2＞4成立的充分不必要条件是( ) A ．2＜x ＜4 B ．－2＜x ＜2 C ．x ＜0 D ．x ＞2或x ＜－2A6．(2017·郑州模拟)已知集合A ＝{x |ax ＝1}，B ＝{x |x 2－x ＝0}，若A ⊆B ，则由a 的取值构成的集合为( ) A ．{1} B ．{0} C ．{0,1} D ．∅C7．已知原命题：已知ab ＞0，若a ＞b ，则1a ＜1b，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4D8．(2017·广州模拟)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1d ＞0是数列(3a 1a n )为递增数列的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件A9．已知命题p ：存在x 0∈R ，x 0＜x 20＋1，命题q ：任意x ∈R ，sin 4x －cos 4x ≤1，则p 或q ，p 且q ，(綈p )或q ，p 且(綈q )中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C10．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，则“c ＜0”是“存在x 0∈R ，使f (x 0)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件A11．(2017·阜阳模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x，x ∈R }，则A ⊕B 等于( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) C12．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )【导学号：00090385】A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合Q ＝{m ∈Z |mx 2＋mx －2＜0对任意实数x 恒成立}，则Q 用列举法表示为________． {－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}14．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素的个数是________． 415．下列3个命题：①“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”； ②“如果x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题；③在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞12”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________． ②16．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－1＜0}，B ＝{x |x ＋a ＞0}． (1)若a ＝－12，求A ∩B .(2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围． [解] A ＝{x |－1＜x ＜1}．(1)当a ＝－12时，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －12＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞12，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜1. (2)若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为B ＝{x |x ＞－a }，所以－a ≤－1，即a ≥1.18．(12分)设集合A ＝{x |x 2＋ax －12＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求a ，b ，c 的值．[解] 因为A ∩B ＝{－3}，所以－3∈A ，且－3∈B ， 所以(－3)2－3a －12＝0，解得a ＝－1，A ＝{x |x 2－x －12＝0}＝{－3,4}．因为A ∪B ＝{－3,4}，且A ≠B ， 所以B ＝{－3}，即方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个等根为－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋－＝－b ，－3－＝c ，即b ＝6，c ＝9.综上，a ，b ，c 的值分别为－1,6,9.19．(12分)已知c ＞0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围． [解] 命题p 为真时，因为函数y ＝c x在R 上单调递减，所以0＜c ＜1. 即p 真时，0＜c ＜1.因为c ＞0且c ≠1，所以p 假时，c ＞1.命题q 为真时，因为f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，所以c ≤12.即q 真时，0＜c ≤12，因为c ＞0且c ≠1，所以q 假时，c ＞12，且c ≠1.又因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， 所以p 真q 假或p 假q 真． (1)当p 真，q 假时，{c |0＜c ＜1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪c ＞12且c ≠1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. (2)当p 假，q 真时，{c |c ＞1}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪0＜c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12＜c ＜1. 20．(12分)(2017·保定模拟)已知p ：x 2≤5x －4，q ：x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0. (1)若p 是真命题，求对应x 的取值范围． (2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． [解] (1)因为x 2≤5x －4， 所以x 2－5x ＋4≤0，即(x －1)(x －4)≤0，所以1≤x ≤4， 即对应x 的取值范围为1≤x ≤4. (2)设p 对应的集合为A ＝{x |1≤x ≤4}． 由x 2－(a ＋2)x ＋2a ≤0， 得(x －2)(x －a )≤0.当a ＝2时，不等式的解为x ＝2，对应的解集为B ＝{2}；当a ＞2时，不等式的解为2≤x ≤a ，对应的解集为B ＝{x |2≤x ≤a }； 当a ＜2时，不等式的解为a ≤x ≤2，对应的解集为B ＝{x |a ≤x ≤2}．若p 是q 的必要不充分条件，则B A ， 当a ＝2时，满足条件；当a ＞2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |2≤x ≤a }，要使B A ，则满足2＜a ≤4；当a ＜2时，因为A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |a ≤x ≤2}，要使B A ，则满足1≤a ＜2. 综上，a 的取值范围为1≤a ≤4.21．(12分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3. (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B .【导学号：00090386】[解] A ＝{y |y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，解得3≤a ≤2或a ≤－ 3. 即a ∈(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2. 所以a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y ＜－2或y ＞5}． 所以∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}， 故(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．22．(12分)求证：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1. 【证明】 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，其根为x ＝－12，方程只有一负根．当a ＝1时，方程为x 2＋2x ＋1＝0，其根为x ＝－1，方程只有一负根． 当a ＜0时，Δ＝4(1－a )＞0，方程有两个不相等的根， 且1a＜0，方程有一正一负两个根．所以充分性得证．必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一负根． 当a ＝0时，符合条件．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根， 则Δ＝4－4a ≥0，所以a ≤1，当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1. 当a ＜1时，若方程有且只有一负根，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，1a＜0，所以a ＜0.所以必要性得证．综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.单元评估检测(二) 函数、导数及其应用(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·长沙模拟)设函数f (x )＝1－3x＋1log12x ＋，则函数的定义域为( )【导学号：00090387】A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 A2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C ．19D ．9C3．(2017·太原模拟)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜bD4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝2x－1 C ．y ＝x 2－2 D ．y ＝－x 3B5．(2017·洛阳模拟)函数y ＝a －a x(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4C6．(2017·珠海模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，则g (f (－7))＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2D7．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：( ) A ．4 B ．5.5 C ．8.5 D ．10C8．函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为( )D9．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0D10．(2017·厦门模拟)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则函数g (x )＝|a x －2|的图象可能是( )图1D11．若函数f (x )＝1＋2x ＋12x ＋1＋sin x 在区间[－k ，k ](k ＞0)上的值域为[m ，n ]，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4D12．(2017·商丘模拟)设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)·x m ＋1为奇函数，则不等式f (2x －3)＋f (x )＞0的解集为________．(1，＋∞)14．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a ＝0恰有4个互异的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________. －615．已知函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m ，若函数g (x )＝(3－10m )x 是单调增函数，则a ＝________.【导学号：00090388】1816．(2017·岳阳模拟)某同学在研究函数f (x )＝x 2＋1＋x 2－6x ＋10的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f (x )变形为f (x )＝x －2＋－2＋x －2＋＋2，则f (x )表示|PA |＋|PB |(如图2)，下列关于函数f (x )的描述正确的是________(填上所有正确结论的序号)图2①f (x )的图象是中心对称图形； ②f (x )的图象是轴对称图形； ③函数f (x )的值域为[13，＋∞)； ④方程f (f (x ))＝1＋10有两个解． ②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x ＞0，－f x ，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立． (1)求F (x )的表达式．(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．(1)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞) 18．(12分)已知实数x 满足32x －4－103·3x －1＋9≤0且f (x )＝log 2x 2·log 2x2. (1)求实数x 的取值范围．(2)求f (x )的最大值和最小值，并求此时x 的值． [解] (1)由32x －4－103·3x －1＋9≤0， 得32x －4－10·3x －2＋9≤0，即(3x －2－1)(3x －2－9)≤0，所以1≤3x －2≤9,2≤x ≤4.(2)因为f (x )＝log 2x 2·log 2x 2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －322－14，当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )min ＝－14.当log 2x ＝1或log 2x ＝2，即x ＝2或x ＝4时，f (x )max ＝0.19．(12分)(2017·咸宁模拟)设函数f (x )＝(ax ＋b )e x，g (x )＝－x 2＋cx ＋d ，若函数f (x )和g (x )的图象都过点P (0,1)，且在点P 处有相同的切线y ＝2x ＋1. (1)求a ，b ，c ，d 的值．(2)当x ∈[0，＋∞)时，判断函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调性． [解] (1)f ′(x )＝(ax ＋a ＋b )e x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝b ＝1，f＝a ＋b ＝2，所以a ＝b ＝1，g ′(x )＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＝d ＝1，g＝c ＝2，所以c ＝2，d ＝1.(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝(x ＋1)e x －(－x 2＋2x ＋1)＝(x ＋1)e x ＋x 2－2x －1，所以h ′(x )＝(x ＋2)e x ＋2x －2＝(x ＋2)e x ＋2x ＋4－6＝(x ＋2)(e x＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h (x )在[0，＋∞)上为增函数．20．(12分)设函数f (x )＝a x －(k －1)a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)求k 的值．(2)若f (1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0恒成立的t 的取值范围． (3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．[解] (1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝a 0－(k －1)a 0＝1－(k －1)＝0，所以k ＝2. (2)由(1)知f (x )＝a x－a －x(a ＞0且a ≠1)． 因为f (1)＜0，所以a －1a＜0，又a ＞0且a ≠1，所以0＜a ＜1，所以y ＝a x 在R 上单调递减，y ＝a －x在R 上单调递增， 故f (x )＝a x －a －x在R 上单调递减．不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )＜0可化为f (x 2＋tx )＜f (x －4)，所以x 2＋tx ＞x －4， 所以x 2＋(t －1)x ＋4＞0恒成立，所以Δ＝(t －1)2－16＜0，解得－3＜t ＜5. (3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x＋2－2x－2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x)＋2.令n ＝f (x )＝2x －2－x，因为f (x )＝2x－2－x为增函数，x ≥1， 所以n ≥k (1)＝32.令h (n )＝n 2－2mn ＋2＝(n －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ≥32. 若m ≥32时，则当n ＝m 时，h (n )min ＝2－m 2＝－2，所以m ＝2.若m ＜32，则当n ＝32时，h (n )min ＝174－3m ＝－2，所以m ＝2512＞32(舍去)．综上可知，m ＝2.21．(12分)(2017·大同模拟)已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值．(2)当a ＜1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)＜g (x 2)恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －x －ax2.①当a ≤1时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，f (x )min ＝f (1)＝1－A ．②当1＜a ＜e 时，x ∈[1，a ]时，f ′(x )≤0，f (x )为减函数； x ∈(a ，e]时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．所以x ∈[1，e]时，f (x )min ＝f (a )＝a －(a ＋1)·ln a －1. ③当a ≥e 时，x ∈[1，e]时，f ′(x )≤0，f (x )在[1，e]上为减函数． f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae.综上，在x ∈[1，e]上，当a ≤1时，f (x )min ＝1－a ； 当1＜a ＜e 时，f (x )min ＝a －(a ＋1)ln a －1； 当a ≥e 时，f (x )min ＝e －(a ＋1)－ae.(2)由题意知，当a ＜1时，f (x )(x ∈[e ，e 2])的最小值小于g (x )(x ∈[－2,0])的最小值．由(1)可知，当a ＜1时，f (x )在[e ，e 2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (e)＝e －(a ＋1)－ae ，又g ′(x )＝(1－e x)x ，当x ∈[－2,0]时，g ′(x )≤0，g (x )为减函数，g (x )min ＝g (0)＝1， 所以e －(a ＋1)－ae ＜1，即a ＞e 2－2ee ＋1，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2－2e e ＋1，1.22．(12分)(2017·石家庄模拟)设函数f (x )＝x 2＋a ln(x ＋1)(a 为常数)． (1)若函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，求实数a 的取值范围． (2)若函数y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2. 【导学号：00090389】[解] (1)根据题意知：f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立．即a ≥－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝－2x 2－2x ， 因为g (x )＝－2x 2－2x 在区间[1，＋∞)上的最大值为－4，所以a ≥－4. 经检验：当a ＝－4时，f ′(x )＝2x 2＋2x －4x ＋1＝x ＋x －x ＋1≥0，x ∈[1，＋∞)．所以a 的取值范围是[－4，＋∞)．(2)f ′(x )＝2x 2＋2x ＋ax ＋1＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根，即方程2x 2＋2x ＋a ＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根． 记g (x )＝2x 2＋2x ＋a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－12＞－1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，g －＞0，解得0＜a ＜12.所以x 1＋x 2＝－1,2x 22＋2x 2＋a ＝0，x 2＝－12＋1－2a 2，－12＜x 2＜0. 所以f x 2x 1＝x 22－x 22＋2x 2x 2＋－1－x 2.令k (x )＝x 2－x 2＋2xx ＋－1－x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.k ′(x )＝x 2＋x＋2ln(x ＋1)， 记p (x )＝x 2＋x2＋2ln(x ＋1)．所以p ′(x )＝2x 2＋6x ＋2＋x3，p ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，p ′(0)＝2.所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0使得p ′(x 0)＝0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0时，p ′(x )＜0； 当x ∈(x 0,0)时，p ′(x )＞0.所以k ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，x 0上单调递减，在(x 0,0)上单调递增，因为k ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－2ln 2＜0，k ′(0)＝0. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，k ′(x )＜0， 所以k (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减， 即0＜f x 2x 1＜－12＋ln 2. 单元评估检测(三) 三角函数、解三角形(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A ．1－k2k B ．－1－k2k C ．k1－k2D ．－k1－k2B2．(2017·九江模拟)已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A ．p 且q B ．p 或q C ．(綈p )且(綈q )D ．p 或(綈q )B3．(2017·衡水模拟)已知sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－α＋cos α＝2，则tan α＝( )A ．15 B ．－23C ．12 D ．－5D4．(2017·太原模拟)将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π3的图象向左平移π18个单位后，得到的图象可能为( ) 【导学号：00090390】D5．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( ) A ．－125B ．512C ．177D ．－717D6．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( ) A ．3＋226B ．3－226 C ．1＋266D ．1－266A7．(2017·淄博模拟)使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数的θ 的一个值是( ) A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．5π3B8．(2017·太原模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图1A ．±223B ．223C ．－223D ．13C9．(2017·襄阳模拟)在△ABC 中，6sin A ＋4cos B ＝1，且4sin B ＋6cos A ＝53，则cos C ＝( ) A ．12 B ．±32 C ．32D ．－32 C10．(2017·济宁模拟)已知函数f (x )＝3sin 2x －2cos 2x ，下面结论中错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )的图象关于x ＝π3对称 C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝2sin 2x －1的图象向右平移π6个单位长度得到D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数C11．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图2)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )图2A ．6平方米B ．9平方米C ．12平方米D ．15平方米B12．(2017·上饶模拟)已知定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的函数f (x )＝sin x (cos x ＋1)－ax ，若该函数仅有一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤2π，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2π∪[2，＋∞) C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π D ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π，＋∞B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________. 014．如图3，某人在山脚P 处测得甲山山顶A 的仰角为30°，乙山山顶B 的仰角为45°，∠APB 的大小为45°，山脚P 到山顶A 的直线距离为2 km ，在A 处测得山顶B 的仰角为30°，则乙山的高度为________km. 2图3 图415．如图4在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________． 516．(2017·太原模拟)若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋x2x 2＋cos x(t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则实数t 的值为________．1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)如图5，两同心圆(圆心在原点)分别与OA ，OB 交于A ，B 两点，其中A (2，1)，|OB |＝6，阴影部分为两同心圆构成的扇环，已知扇环的面积为π2.图5(1)设角θ的始边为x 轴的正半轴，终边为OA ，求－θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π2θ－的值．(2)求点B 的坐标． (1)34 (2)B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－62，2＋232 18．(12分)(2016·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin 2B ＝3b sinA ．(1)求B ．(2)若cos A ＝13，求sin C 的值．(1)B ＝π6 (2)26＋1619．(12分)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32. 【导学号：00090391】图6(1)求ω和φ的值．(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． (3)求使f (x )＜32成立的x 的取值集合． (1)ω＝2，φ＝－π3(2)描点画出图象(如图)．(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π＋π4＜x ＜k π＋13π12，k ∈Z 20.(12分)已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，(1)若x ∈R ，求f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 集合． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) (2)1(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π621．(12分)已知如图7，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，∠BAC ＝120°，且AB →·AC →＝－152.图7(1)求△ABC 的面积． (2)若AB ＝5，求AD 的长． (1)1534 (2)19222．(12分)(2017·石家庄模拟)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013海里的位置C ．图8(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)．(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． [解] (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626，由于0°＜θ＜90°， 所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫26262＝52626. 由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时)．(2)设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q . 在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.从而sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010.在△ABQ 中，由正弦定理得，AQ ＝AB sin ∠ABC－∠ABC ＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·sin∠PQE ＝QE ·sin∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．单元评估检测(四) 平面向量、数系的扩充与复数的引入(120分钟 150分) (对应学生用书第224页)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝1＋2i2－i (i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A ．－1B ．0C ．1D ．iC2．(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝4＋3i ，则z|z |＝( ) A ．1 B ．－1 C ．45＋35i D ．45－35i D3．(2017·珠海模拟)若复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的虚部为( ) A ．－1 B ．－i C ．i D ．1A4．复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－iD5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)B6．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D7．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5A8．在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2 3B ．－23iC ．3－3iD ．3＋3i B9．与向量a ＝(3,4)同方向的单位向量为b ，又向量c ＝(－5，5)，则b·c ＝( ) A ．(－3,4) B ．(3，－4) C ．1 D ．－1 C10．如图1，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( )图1A ．AC →＝AB →＋AD → B ．BD →＝AD →－AB →C ．AO →＝12AB →＋12AD →D ．AE →＝53AB →＋AD →D11．复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3＋2i ，则z 2＝( ) A ．3－2i B ．2－3i C ．－3－2i D ．2＋3iD12．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )【导学号：00090392】A ．－8B ．－6C ．6D ．8D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 214．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________. 215．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________. 216．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为________． 32＋32i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，AB →·AD →＝5，|AD →|＝10. (1)求D 点坐标．(2)若D 点在第二象限，用AB →，AD →表示AC →.(3)AE →＝(m,2)，若3AB →＋AC →与AE →垂直，求AE →的坐标． (1)D(2,1)或D(－2,3) (2)AC →＝－AB →＋AD → (3)AE →＝(－14,2)18．(12分)如图2，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，求BE →·CE →的值. 【导学号：00090393】图27819．(12分)已知复数z ＝1＋i ，ω＝z 2－3z ＋6z ＋1.(1)求复数ω.(2)设复数ω在复平面内对应的向量为OA →，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量OA →的位置，求θ的最小值． (1)1－i (2)54π20．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，C ．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos A2，sin A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A 2，－2sin A 2，m·n ＝－1.(1)求cos A 的值．(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． (1)－12(2)221．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(a,2c －b )，且m∥n . (1)求角A 的大小．(2)若a ＝4，求△ABC 面积的最大值． [解] (1)因为m∥n ，所以a cos B －(2c －b )cos A ＝0， 由正弦定理得sin A cos B －(2sin C －sin B )cos A ＝0， 所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， 所以sin(A ＋B )＝2sin C cos A ， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝2sin C cos A ， 因为0＜C ＜π，所以sin C ＞0， 所以cos A ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 所以16＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ， 因此bc ≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，等号成立； 因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ≤43，因此△ABC 面积的最大值为4 3.22．(12分)已知平面上的两个向量OA →，OB →满足|OA →|＝a ，|OB →|＝b ，且OA →⊥OB →，a 2＋b 2＝4.向量OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，且a 2⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝1.(1)如果点M 为线段AB 的中点，求证：MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)求|OP →|的最大值，并求出此时四边形OAPB 面积的最大值． [解] (1)证明：因为点M 为线段AB 的中点， 所以OM →＝12(OA →＋OB →)．所以MP →＝OP →－OM →＝(xOA →＋yOB →)－12(OA →＋OB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12OA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12OB →.(2)设点M 为线段AB 的中点，则由OA →⊥OB →，知|M A →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1.又由(1)及a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1， 得|MP →|2＝|OP →－OM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122OA →2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122OB →2 ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1. 所以|MP →|＝|MA →|＝|MB →|＝|MO →|＝12|AB →|＝1，所以P ，O ，A ，B 四点都在以M 为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP 是直径时，|OP →|max ＝2，这时四边形OAPB 为矩形，则S 四边形OAPB ＝|OA →|·|OB →|＝ab ≤a 2＋b 22＝2，当且仅当a ＝b ＝2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为2.单元评估检测(五) 数 列(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2017·唐山模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( ) A ．41 B ．48 C ．49 D ．56C2．(2017·青岛模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n＋a (n ∈N *)，则实数a 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．－1D ．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于( )A ．－54B ．54C ．516D ．2516D4．(2017·太原模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，a n ＞0，则数列{log 2a n }的前n 项和为( )【导学号：00090394】A ．n n －2 B ．n －22C ．n n ＋2D ．n ＋22A5．已知在数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( ) A ．1－4nB ．4n－1 C ．1－4n 3D ．4n－13B6．若{a n }是由正数组成的等比数列，其前n 项和为S n ，已知a 1a 5＝1且S 3＝7，则S 7＝( ) A ．1516 B ．78 C ．12716D ．638C7．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·(2n －1)cos n π2＋1，其前n 项和为S n ，则S 60＝( )A ．－30B ．－60C ．90D ．120D8．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A ．1210 B ．129 C ．110D ．159．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，－1为第7项的等差数列的公差，tan B 是以12为第3项，4为第6项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形D ．以上均错B 10.(2017·厦门模拟)在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2＞19的最大正整数n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6B11．若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n ＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8B12．(2017·淄博模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1－2，数列{b n }满足b n ＝3n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和为( ) A ．5－0 B ．5－3n ＋52nC ．5－3n －52nD ．5－3n ＋52n －1B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．(2017·唐山模拟)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________． 3n－114．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________. 【导学号：00090395】 10 10015．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加________尺．162916．(2017·保定模拟)如图1所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1 023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为________．图1132三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2017·承德模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝16(a 2n ＋3a n ＋2)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式．(2)若ak n ∈{a 1，a 2，…，a n ，…}，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…成等比数列，当k 1＝1，k 2＝4时，求k n . (1)a n ＝3n －2，n ∈N *(2)k n ＝10n －1＋23，n ∈N *18．(12分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20. (1)求数列{b n }的通项公式．(2)若c n ＝a n ·b n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)b n ＝23n (2)T n ＝72－12·3n －2－3n －13n19．(12分)(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n＋3. (1)求数列{a n }的通项公式．(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)T n ＝1312－⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －120．(12分)(2015·全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式．(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．(1)a n ＝2n ＋1 (2){b n }的前n 项和T n ＝n n ＋21．(12分)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式． (2)设b n ＝(4－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .【导学号：00090396】(1)a n ＝4－n(2)S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2，q ＝1，nq n ＋1－n ＋q n ＋1q －2，q ≠1.22．(12分)(2017·石家庄模拟)在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，并且S n ＝a n ＋1－12(n ∈N *)．(1)求a n ，S n .(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值． [解] (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n ≥2)，两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，因为a 1＝S 1＝a 2－12，所以a 2＝1，所以a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，则a n ＝12·2n －1＝2n －2，n ∈N *，S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12，n ∈N *. (2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n－2＝n －2， 所以c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ， 即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2，c n ＝1n ＋n ＋＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2， T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋(2－1＋20＋…＋2n －2)＝12－1n ＋2＋12－2n1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1＝2n －1－1n ＋2. 由4T n ＞2n ＋1－1504，得 4⎝⎛⎭⎪⎫2n －1－1n ＋2＞2n ＋1－1504， 即4n ＋2＜1504，n ＞2 014. 所以使4T n ＞2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值为2 015. 单元评估检测(六) 不等式、推理与证明(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A ．1ab ≥12 B ．1a ＋1b≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18D2．(2017·新乡模拟)若集合A ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，则A ∩B ＝( ) 【导学号：00090397】A ．(－1,3)B ．(－1,5)C ．(2,5)D ．(2,3)D3．已知a ，b ，x ，y 都是正实数，且1a ＋1b＝1，x 2＋y 2＝8，则ab 与xy 的大小关系为( )A ．ab ＞xyB ．ab ≥xyC ．ab ＜xyD ．ab ≤xyB4．(2017·唐山模拟)不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b 的值是( )A ．10B ．－10C ．14D ．－14D5．(2017·济宁模拟)在坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥2|x |－1，y ≤x ＋1所表示的平面区域的面积为( )A ．2 2B ．83C ．223D ．2B6．若－1＜a ＜0，则关于x 的不等式(x －a )·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是( )A ．{x |x ＞a }B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1a C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞a 或x ＜1a D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1a 或x ＜aC7．已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n ＞0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝( )A ．(n －m )(nd －mc )B ．(nd －mc )n －mC ．n －m d n c mD ．n －md n ·c mC8．已知函数f (x )＝16x 2－28x ＋114x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜54，则函数f (x )的最大值为( )A ．114B ．54C ．1D ．14C9．(2017·临汾模拟)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≥0，则ω＝y －1x ＋1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1D10．当x ＞0时，x 2＋1≥2x ，在用分析法证明该不等式时执果索因，最后索的因是( ) A ．x ＞0 B ．x 2≥0 C ．(x －1)2≥0 D ．(x ＋1)2≥0C11．已知实数x ，y 满足x ＞y ＞0且x ＋y ＝14，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．6＋4 2D ．8＋4 2C12．(2017·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．已知a ＞b ＞0，则a ，b ，ab ，a ＋b2四个数中最大的一个是________．a14．已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值． 415．(2017·福州模拟)设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝________；当n ＞4时，f (n )＝________(用n 表示)．12(n ＋1)(n －2) 16．已知A (－1,0)，B (0，－1)，C (a ，b )三点共线，若a ＞－1，b ＞－1，则1a ＋1＋1b ＋1的最小值为________． 4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－n .(1)证明{a n }是等差数列． (2)若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，试证明T n ＜14. 【导学号：00090398】 【证明】 (1)因为S n ＝2n 2－n . 所以a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －2(n －1)2＋(n －1)＝4n －3. 对n ＝1也成立．所以a n ＝4n －3.a n ＋1－a n ＝4(n ＋1)－3－4n ＋3＝4，是常数．所以数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1n －n ＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1所以T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －3－14n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋1＜14. 18．(12分)如图1，在四棱锥P ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AB 的中点．图1求证：(1)直线EF ∥平面PBC ． (2)平面DEF ⊥平面PAB ． 略19．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋B ． (1)求f (1)＋f (3)－2f (2)．(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.[解] (1)因为f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4，f (3)＝3a ＋b ＋9，所以f (1)＋f (3)－2f (2)＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则－12＜f (1)＜12，－12＜f (2)＜12，－12＜f (3)＜12.所以－1＜－2f (2)＜1，－1＜f (1)＋f (3)＜1，。
高三数学文科2019年暑期一轮复课检测试题附答案和分析
高三2019年暑期一轮复课检测试题高三数学（理）试题命题人 审题人一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，12i z =+，则12zz =( ) A ．1i + B ．34i 55+ C ．41i 5+ D ．41i 3+ 2．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a ，a ∈M}，则集合M ∩N=（ ） A ．{0} B ．{0，1} C ．{1，2} D ．{0，2}3．对某商店一个月30天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ）A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，53 4．已知△ABC 中，a=4，b=4，A=30°，则B 等于（ ）A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120° 5．已知p ：，q ：，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．为了解某公司员工的年收入和年支出的关系，随机调查了5名员工，得到如下统计数据表：收入x （万元） 8.0 8.6 10.0 11.4 12.0 支出y （万元） 4.1 5.2 6.16.77.9根据上表可得回归本线方程，其中，，据此估计，该公司一名员工年收入为15万元时支出为（ ）A ．9.05万元B ．9.25万元C ．9.75万元D ．10.25万元 7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设函数，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，C ．（﹣∞，）D ．9．在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．10.已知)(x f 是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数)()12(2x f x f y -++=λ只有一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．41 B ．81 C ．87- D ．83- 11．椭圆=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ． 12．已知、为单位向量，||=||，则在的投影为（ ）A ．B ．﹣C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．袋中有形状、大小都相同的6只球，其中1只白球，2只红球，3只黄球，从中随机先后摸出2只球，在已知摸出第一只球为白球的情况下，第二只球为黄球的概率为 ． 14．若定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+1）=﹣f （x ），且在区间[0，1]上单调递减，则将，f （7），f （4）从小到大顺序排列为 ．15．若不等式组，所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k 的值是 ．16、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为y ＝34x ，则此双曲线的离心率为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在数列｛n a ｝中，1a =1，122nn n a a +=+．⑴ 设 12nn n a b -=． 证明：数列{}n b 是等差数列； ⑵ 求数列{}n a 的前n 项和n S ．18．从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个． (1)记性质r ：集合中的所有元素之和为10.求所取出的非空子集满足性质r 的概率． (2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ.19、(本题满分12分)已知三棱锥ABC P -中，ABC PA ⊥，AC AB ⊥，AB AC PA 21==，N 为AB 上一点，AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. （Ⅰ）证明：CM ⊥SN ；（Ⅱ）求SN 与平面CMN 所成角的大小.20、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点坐标为(2,0)，短轴长为4 3. (1)求椭圆C 的标准方程及离心率；(2)设P 是椭圆C 上一点，且点P 与椭圆C 的两个焦点F 1、F 2构成一个以∠PF 2F 1为直角的直角三角形，求|PF 1||PF 2|的值．21．设函数f (x )＝23xx axe+(a ∈R ) (Ⅰ)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(Ⅱ)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为：1,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数，且0πϕ≤≤)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)直线l 1的极坐标方程是π2sin()03ρθ++=，直线l 2：π(R)3θρ=∈与曲线C 的交点为P ，与直线l 1的交点为Q ，求线段PQ 的长.高三数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，2}【解答】解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．3.【解答】解：由题意知茎叶图中共有30个数值，按从小到大排列第15个数是45，第16个数是47，∴中位数为： =46．∵这30个数中出现次数最多的数是45，∴众数是45．∵这30个数中最小的是12，最大的是68，∴极差为：68﹣12=56．故选：A．4．已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选D．5．已知p：，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：由得x2﹣3x＞4，即x2﹣3x﹣4＞0，得x＞4或x＜﹣1，即p：x＞4或x＜﹣1，由得：x＞4或x＜﹣1，即q：x＞4或x＜﹣1，则p是q的充要条件，故选：C6．为了解某公司员工的年收入和年支出的关系，随机调查了5名员工，得到如下统计数据表：收入x（万元）8.0 8.6 10.0 11.4 12.0支出y（万元） 4.1 5.2 6.1 6.7 7.9根据上表可得回归本线方程，其中，，据此估计，该公司一名员工年收入为15万元时支出为（）A．9.05万元B．9.25万元C．9.75万元D．10.25万元【解答】解：，代入，得，得回归本线方程：取x=15，得故选：B7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD．其中PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是边长为1的正方形．∴该四棱锥外接球的直径为PC==．∴该四棱锥外接球的体积V=×=π．故选：C．8．设函数，若数列{a n}是单调递减数列，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，C．（﹣∞，）D．【解答】解：数列{a n}是单调递减数列，即有a1＞a2＞a3＞…＞a n＞a n+1＞…，也即f（1）＞f（2）＞f（3）＞…，所以函数f（x）在x∈N+上是减函数，故有，解得a ＜．所以实数a 的取值范围是（﹣∞，）．故选C ．9．在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵方程表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m ＞n ，∵在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m 和n ， ∴m ＞n 对应的平面区域如下图中阴影部分所示： 则方程表示焦点在x 轴上的椭圆的概率：P===．故选：B ．10【答案】C【解析】令0)()12(2=-++=x f x f y λ，且)(x f 是奇函数，则)()()12(2λλ-=--=+x f x f x f ，又因为)(x f 是R 上的单调函数，所以λ-=+x x 122只有一个零点，即0122=-+-λx x 只有一个零点，则0)1(81=--=∆λ，解得87-=λ，故选C ． 11．椭圆=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：设线段PF 1的中点为M ，另一个焦点F 2，由题意知，OM=b，又OM是△FPF1的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知 PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率 e==，故选：D．12【解答】解：∵||=||，∴（）2=2（）2，即2+2=4﹣4，∴ =．∴||==， ==，∴在的投影为==．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．袋中有形状、大小都相同的6只球，其中1只白球，2只红球，3只黄球，从中随机先后摸出2只球，在已知摸出第一只球为白球的情况下，第二只球为黄球的概率为．【解答】解：设事件A表示“摸出第一只球为白球”，事件B表示“摸出第二只球为黄球”，∵袋中有形状、大小都相同的6只球，其中1只白球，2只红球，3只黄球，从中随机先后摸出2只球，∴P（A）=，P（AB）=，∴摸出第一只球为白球的情况下，第二只球为黄球的概率：P（B|A）===故答案为：．14．若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在区间[0，1]上单调递减，则将，f （7），f （4）从小到大顺序排列为 ．【解答】解：由f （x+1）=﹣f （x ），得f （x+2）=﹣f （x+1）=f （x ）， 即函数的周期是2， 则=f （﹣）=f （﹣），f （7）=f （7﹣6）=f （1），f （4）=f （0），∵在区间[0，1]上单调递减， ∴f （1）＜f （）＜f （0）， 即， 故答案为：15．若不等式组，所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k 的值是 ．【解答】解：不等式组，所表示的平面区域如图示：由图可知，直线y=kx+恒经过点A （0，），当直线y=kx+再经过BC 的中点D （，）时，平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分， 当x=，y=时，代入直线y=kx+的方程得：k=； 故答案为：16、54三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在数列｛n a ｝中，1a =1，122nn n a a +=+．⑴ 设 12nn n a b -=． 证明：数列{}n b 是等差数列；⑵ 求数列{}n a 的前n 项和n S ．18解：(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A.因为基本事件总数n ＝C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55＝31，事件A 包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}，故事件A 包含的基本事件数m ＝3.所以P(A)＝m n ＝331.(2)依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5. 又P(ξ＝1)＝C 1531＝531，P(ξ＝2)＝C 2531＝1031，P(ξ＝3)＝C 3531＝1031， P(ξ＝4)＝C 4531＝531， P(ξ＝5)＝C 5531＝131，故ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P53110311031531131从而E ξ＝1×531＋2×1031＋3×1031＋4×531＋5×131＝8031.20、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点坐标为(2,0)，短轴长为4 3. (1)求椭圆C 的标准方程及离心率；(2)设P 是椭圆C 上一点，且点P 与椭圆C 的两个焦点F 1、F 2构成一个以∠PF 2F 1为直角的直角三角形，求|PF 1||PF 2|的值． 20、解： (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1. 由题意得c ＝2，b ＝23，∴a ＝4.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1，离心率e ＝c a ＝12. (2)∵∠PF 2F 1＝90°. ∴|PF 2|＝b 2a ＝124＝3. 又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，∴|PF 1|＝5，∴|PF 1||PF 2|＝53. 21．解析：(I)f ′(x )＝22(6)(3)()x x x x a e x ax e e +-+＝23(6)xx a x a e -+-+， ∵f (x )在x ＝0处取得极值，∴f ′(0)＝0，解得a ＝0．当a ＝0时，f (x )＝23x x e ，f ′(x )＝236x x x e -+，∴f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e， ∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为33(1)y x e e-=-，化为：3x －ey ＝0； (II)解法一：由(I)可得：f ′(x )＝23(6)xx a x a e -+-+， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0，解得x 1，x 2． 当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，此时函数f (x )为减函数；当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，此时函数f (x )为增函数；当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，此时函数f (x )为减函数．由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，可知：x 2＝6a 6-≤3，解得a ≥－92． 因此a 的取值范围为：9[,)2-+∞． 解法二：由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0，可得a ≥2361x x x -+-，在[3，＋∞)上恒成立． 令u (x )＝2361x x x -+-，u ′(x )＝223[(1)1](1)x x --+-＜0， ∴u (x )在[3，＋∞)上单调递减，∴a ≥u (3)＝－92． 因此a 的取值范围为：9[,)2-+∞． 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为：1,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数，且0πϕ≤≤)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)直线l 1的极坐标方程是π2sin()03ρθ++=，直线l 2：π(R)3θρ=∈与曲线C 的交点为P ，与直线l 1的交点为Q ，求线段PQ 的长.22．解析：(1)曲线C 的普通方程为22(1)3x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==， 所以曲线C 的极坐标方程为22cos 20,0ρρθθπ--=≤≤.(2)设11(,)P ρθ，则有22cos 20,3ρρθπθ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，解得112,3πρθ==， 设22(,)Q ρθ，则有π2sin()0,33ρθπθ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得223,3πρθ=-=， 所以12||||5PQ ρρ=-=．。
高考数学第一轮复习测试题(含答案)
2019年高考数学第一轮复习测试题（含答案）世界上没有不付出就成功的可能，想要高考取得好成绩，扎实的第一轮复习必不可少，查字典数学网小编带来了2019年高考数学第一轮复习测试题(含答案)，希望能够让更多的高三学生更好的复习。
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1.(2019?合肥质检)集合A={1,2,3}，B={x∈R|x2-ax+1=0，a∈A}，则A∩B=B时a的值是()A.2B.2或3C.1或3D.1或2[答案] D[解析] 由A∩B=B知B?A，a=1时，B={x|x2-x+1=0}=??A;a=2时，B={x|x2-2x+1=0}={1}?A;a=3时，B={x|x2-3x+1=0}={3+52，3-52}?A，故选D.2.(文)(2019?合肥质检)在复平面内，复数i3-i(i是虚数单位)对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] B[解析] z=i3-i=i?3+i?3-?-1?=-14+34i的对应点-14，34在第二象限.(理)(2019?蚌埠二中质检)如果复数2-bi1+2i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于() A.2 B.23C.-23D.2[答案] C[解析] ∵2-bi1+2i=?2-bi??1-2i?5=2-2b5+-b-45i的实部与虚部互为相反数，∴2-2b5+-b-45=0，∴b=-23，故选C. 3.(文)(2019?日照调研)若e1，e2是夹角为π3的单位向量，且a=2e1+e2，b=-3e1+2e2，则a?b等于()A.1B.-4C.-72D.72[答案] C[解析] e1?e2=1×1×cosπ3=12，a?b=(2e1+e2)?(-3e1+2e2)=-6e21+2e22+e1?e2=-6+2+12=-7 2，故选C.(理)(2019?河南豫州九校联考)若A、B是平面内的两个定点，点P为该平面内动点，且满足向量AB→与AP→夹角为锐角θ，|PB→||AB→|+PA→?AB→=0，则点P的轨迹是()A.直线(除去与直线AB的交点)B.圆(除去与直线AB的交点)C.椭圆(除去与直线AB的交点)D.抛物线(除去与直线AB的交点)[答案] D[解析] 以AB所在直线为x轴，线段AB中点为原点，建立平面直角坐标系，设A(-1,0)，则B(1,0)，设P(x，y)，则PB→=(1-x，-y)，PA→=(-1-x，-y)，AB→=(2,0)，∵|PB→|?|AB→|+PA→?AB→=0，∴2?1-x?2+?-y?2+2(-1-x)=0，化简得y2=4x，故选D.4.(2019?黑龙江哈六中期末)为了了解甲，乙，丙三所学校高三数学模拟考试的情况，现采取分层抽样的方法从甲校的1260份，乙校的720份，丙校的900份模拟试卷中抽取试卷进行调研，如果从丙校抽取了50份，那么这次调研一共抽查的试卷份数为()A.150B.160C.200D.230[答案] B[解析] 依据分层抽样的定义，抽样比为50900=118，故这次调研一共抽查试卷(1260+720+900)×118=160份.5.(文)(2019?福州市期末)设函数y=f(x)的定义域为实数集R，对于给定的正数k，定义函数fk(x)=f?x? ?f?x?≤k?k ?f?x?>k?，给出函数f(x)=-x2+2，若对于任意的x∈(-∞，+∞)，恒有fk(x)=f(x)，则()A.k的最大值为2B.k的最小值为2C.k的最大值为1D.k的最小值为1[答案] B[解析] ∵x∈(-∞，+∞)时，f(x)=-x2+2≤2，且fk(x)=f(x)恒成立，且当f(x)>k时，fk(x)=k，故k的最小值为2. (理)(2019?丰台区期末)用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f(x)=max{x2，x}(x≥14)，那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=14和直线x=2所围成的封闭图形的面积是()A.3512B.5924C.578D.9112[答案] A[解析] 如图，平面区域的面积为6.(2019?北京丰台区期末)下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[-2，12]内，则输入的实数x的取值范围是()A.(-∞，-1]B.[14，2]C.(-∞，0)∪[14，2]D.(-∞，-1]∪[14，2][答案] D[解析] ∵x0得，14≤x≤2，故选D.7.(文)(2019?潍坊一中期末)下列有关命题的说法错误的是()A.命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2-3x+2≠0”B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件C.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D.对于命题p：?x∈R使得x2+x+11”;④命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的逆否命题为“若x+y0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] y=cosx-3sinx=2cosx+π3左移m个单位得y=2cosx+m+π3为偶函数，∴m+π3=kπ，k∈Z.∵m>0，∴m的最小值为2π3.(理)(2019?咸阳模拟)将函数y=sin2x+π4的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，则所得图像的函数解析式是()A.y=2+sin2x+3π4B.y=2+sin2x-π4C.y=2+sin2xD.y=2+cos2x[答案] A[解析] y=sin2x+π4――――――――→图象再向上平移π4个单位用x+π4代替xy=sin2x+π4+π4―――――――→图象再向上平移2个单位用y-2代替yy-2=sin2x+π4+π4，即得y=sin2x+3π4+2，故选A.9.(2019?陕西咸阳模拟)如图所示的程序框图，其输出结果是()A.341B.1364C.1365D.1366[答案] C[解析] 程序运行过程依次为：a=1，a=4×1+1=5，a0，b>0，(a+1)2+(b+1)2=8，∴a2+b2+2a+2b=6，∴2ab+4ab≤6，∵ab>0，∴0[点评] 作出图形可见，点(a，b)为⊙C在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a，b)为直线y=x与⊙C的交点(1,1)时，ab取最大值1.15.(2019?重庆南开中学期末)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n-1，则当n≥2时，1a1+1a2+…+1an=________. [答案] 2-12n-1[解析] a1=S1=1，n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，∴an=2n-1(n∈N*)，∴1an=12n-1，∴1a1+1a2+…+1an=1-12n1-12=2-12n-1.16.(文)(2019?北京学普教育中心)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l，使得对于任意x∈M(M?D)，有x+l∈D，且f(x+l)≥f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.如果定义域为[-1，+∞)的函数f(x)=x2为[-1，+∞)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是________.[答案] [2，+∞)[解析] f(x)=x2(x≥-1)的图象如图所示，要使得f(-1+m)≥f(-1)=1，应有m≥2;故x≥-1时，恒有f(x+m)≥f(x)，只须m≥2即可.(理)(2019?四川资阳模拟)下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M，如图①;将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②;再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)，在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③.图③中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)=n.给出下列命题：①f14=1;②f(x)是奇函数;③f(x)在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是________.(填出所有真命题的序号)[答案] ③[解析] 由m的象是n的定义知，f140，∴0∴实数a的取值范围是(0,1].(2)当a=1时，h(x)=f(x)g(x)=-x2+2x+mx=-x+mx+2;当m≥0时，显然h(x)在(0，+∞)上单调递减，∴h(x)无最大值;当m0)F′(x)=1x-x+32=2-2x2+3x2x=-?2x+1??x-2?2x，∵x>0，∴当0∴F(x)的增区间为(0,2)，减区间为(2，+∞).(2)令h(x)=f(x)-g(x) (x>0)则由h′(x)=f′(x)-g′(x)=1x+2-2ax-a=-?2x+1??ax-1?x=0，解得x=1a，∵h(x)在0，1a上增，在1a，+∞上减，∴当x=1a时，h(x)有最大值h1a=ln1a+2a-a1a2+1a=ln1a+1a-1，∵a≥1，∴ln1a≤0，1a-1≤0，∴h(x)≤h1a≤0，所以f(x)≤g(x).19.(本小题满分12分)(文)(2019?厦门期末)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a2，a4成等比数列.(1)求通项an;(2)令bn=an+2an，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析] (1)设数列{an}的公关差为d，则d≠0，∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22=a1?a4，∴(a1+d)2=a1?(a1+3d)，整理得：a1=d，又a1=1，∴d=1，∴an=a1+(n-1)?d=1+(n-1)?1=n.即数列{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)可得bn=an+2an=n+2n，∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=(1+21)+(2+22)+(3+23)+…+(n+2n)=(1+2+3+…+n)+(21+22+23+…+2n)=n?n+1?2+2?1-2n?1-2=n?n+1?2+2(2n-1)=2n+1+12n2+12n-2.故数列{bn}的前n项和为Sn=2n+1+12n2+12n-2.(理)(2019?河北冀州期末)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{Sn}是公差为d的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式(用n，d表示);(2)设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立，求c的最大值.[解析] (1)由题意知：d>0，Sn=S1+(n-1)d=a1+(n-1)d2a2=a1+a3?3a2=S3?3(S2-S1)=S3,3[(a1+d)2-a1]2=(a1+2d) 2，化简得：a1-2a1?d+d2=0，∴a1=d，∴a1=d2Sn=d+(n-1)d=nd，Sn=n2d2，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2，适合n=1的情形.故an=(2n-1)d2.(2)Sm+Sn>cSk?m2d2+n2d2>c?k2d2?m2+n2>c?k2，∴c又m+n=3k且m≠n,2(m2+n2)>(m+n)2=9k2?m2+n2k2>92，故c≤92，即c的最大值为92.20.(本小题满分12分)(2019?山西太原调研)已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，它的一个顶点为M(0,1)，离心率e=63.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB的面积的最大值.[解析] (1)依题意得b=1e=ca=a2-b2a=63解得a=3，b=1，∴椭圆的方程为x23+y2=1.(2)①当AB⊥x轴时，|AB|=3，②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知|m|1+k2=32得，m2=34(k2+1)，把y=kx+m代入椭圆方程整理得，(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，∴x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3?m2-1?3k2+1.当k≠0时，|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)36k2m2?3k2+1?2-12?m2-1?3k2+1=12?1+k2??3k2+1-m2??3k2+1?2=3?k2+1??9k2+1??3k2+1?2 =3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+6≤3+122×3+6=4.当且仅当9k2=1k2，即k=±33时等号成立，此时|AB|=2.当k=0时，|AB|=3.综上所述：|AB|max=2，此时△AOB面积取最大值S=12|AB|max×32=32.21.(本小题满分12分)(文)一个多面体的三视图及直观图如图所示，M、N分别是A1B、B1C1的中点.(1)求证：MN∥平面ACC1A1;(2)求证：MN⊥平面A1BC.[证明] 由题意，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1.(1)由直三棱柱的性质知，四边形ABB1A1为矩形，对角线交点M为A1B的中点，又∵N为B1C1的中点，∴△AB1C1中，MN∥AC1.又∵AC1?平面ACC1A1，MN?平面ACC1A1.∴MN∥平面ACC1A1.(2)∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，交线为AC，又AC⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，又∵AC1?平面ACC1A1，∴BC⊥AC1.在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C.又BC∩A1C=C，∴AC1⊥平面A1BC，∵MN∥AC1，∴MN⊥平面A1BC.[点评] 将几何体的三视图与线面平行垂直的位置关系判断融合在一起是立体几何新的命题方向.解答这类问题首先要通过其三视图确定几何体的形状和主要几何量，然后利用几何体的性质进行推理或计算.请再练习下题：已知四棱锥P-ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)若点F在线段BD上，且DF=3BF，则当PEEC等于多少时，有EF∥平面PAB?并证明你的结论;(3)试证明P、A、B、C、D五个点在同一球面上.[解析] (1)由四棱锥的三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.∴VP-ABCD=13S正方形ABCD?PC=23.(2)当PEEC=13时，有EF∥平面PAB.连结CF延长交AB于G，连结PG，在正方形ABCD中，DF=3BF. 由△BFG∽△DFC得，GFFC=BFDF=13.在△PCG中，PEEC=13=GFFC，∴EF∥PG.又PG?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB.(3)证明：取PA的中点O.在四棱锥P-ABCD中，侧棱PC⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，可知△PCA、△PBA、△PDA均是直角三角形，又O为PA中点，∴OA=OP=OB=OC=OD.∴点P、A、B、C、D在以点O为球心的球面上.(理)(2019?湖南长沙一中期末)如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O⊥平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BC⊥A1D;(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.[解析] (1)因为A1O⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥A1O，因为BC⊥CD，A1O∩CD=O，∴BC⊥平面A1CD.因为A1D?平面A1CD，∴BC⊥A1D.(2)连结BO，则∠A1B O是直线A1B与平面BCD所成的角. 因为A1D⊥BC，A1D⊥A1B，A1B∩BC=B，∴A1D⊥平面A1BC，∵A1C?平面A1BC，∴A1D⊥A1C.在Rt△DA1C中，A1D=3，CD=5，∴A1C=4.根据S△A1CD=12A1D?A1C=12A1O?CD，得到A1O=125，在Rt△A1OB中，sin∠A1BO=A1OA1B=1255=1225.所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为1225.选做题(22至24题选做一题)22.(本小题满分12分)几何证明选讲(2019?北京学普教育中心联考)如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，求DE的长.[解析] 设CB=AD=x，则由割线定理得：CA?CD=CB?CE，即4(4+x)=x(x+10)化简得x2+6x-16=0，解得x=2或x=-8(舍去)即CD=6，CE=12.因为CA为直径，所以∠CBA=90°，即∠ABE=90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D=90°，则CD2+DE2=CE2，∴62+DE2=122，∴DE=63.23.(本小题满分12分)极坐标与参数方程(2019?辽宁省实验中学期末)已知直线l经过点P12，1，倾斜角α=π6，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ-π4.(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程;(2)设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积.[解析] (1)直线l的参数方程为x=12+tcosπ6y=1+tsinπ6即x=12+32ty=1+12t(t为参数)由ρ=2cosθ-π4得ρ=cosθ+sinθ，所以ρ2=ρcosθ+ρsinθ，∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴x-122+y-122=12.(2)把x=12+32ty=1+12t代入x-122+y-122=12得t2+12t-14=0，|PA|?|PB|=|t1t2|=14.故点P到点A、B两点的距离之积为14.24.(本小题满分12分)不等式选讲(2019?大连市联考)已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=-|x+3|+m.(1)解关于x的不等式f(x)+a-1>0(a∈R);(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围.[解析] (1)不等式f(x)+a-1>0，即|x-2|+a-1>0，当a=1时，解集为x≠2，即(-∞，2)∪(2，+∞);当a>1时，解集为全体实数R;当a1-a，∴x-2>1-a或x-2故解集为(-∞，a+1)∪(3-a，+∞).(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x-2|>-|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x-2|+|x+3|>m恒成立.又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5，于是得m。
2019届高考综合能力滚动卷检测卷(一)数学(文)试题
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2019-2020年高三一轮复习阶段测试卷(第1周)数学文 含答案
2019-2020年高三一轮复习阶段测试卷（第1周）数学文 含答案一.选择题.(共12题，每题4分)1. 已知集合，，那么集合 A. B. C.D.2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是A. B. C. D. 3.“”是“”的.A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．35．函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)6. 在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，347．若函数f (x )＝x2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝A.12B.23C.34 D ．18．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是 A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝9.曲线y ＝－x 3＋3x 2在点()1，2处的切线方程为 A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x10.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．911. 函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是12. 设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ，则A ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称C ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称D ．y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称二．填空题。
最新中学2019届高三第一轮复习第五次阶段性过关考试数学(文)试题(附答案)
武威六中 2018—2019学年度高三一轮复习过关考试（五）数 学 试 题（文）第I 卷（选择题，共60分）一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合},32|{A x x y y B ∈-==，则=B A （ ） A ．}1,0,1{- B ．}1,1{- C ．}2,1,1{- D ．}2,1,0{ 2.若复数z 满足(12)1i z i +=-，则复数z 为( )A ．1355i + B ．1355i -+ C ．1355i - D ．1355i -- 3.函数24x ++=x y 的定义域是（ ） A.()+∞-,4 B.()2,∞- C.[)()+∞-⋃--,22,4 D.()()+∞⋃-,22,44.“3m =”是“椭圆222125x y m+=的焦距为8”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.执行右面的程序框图，则输出K 的值为（ ）A.98B.99C.100D.1016.曲线y=x 3-2x+1在点（1,0）处的切线方程为( )A ．1y x =-+B ．1y x =-C ．22y x =-D ．22y x =-+7.已知等比数列{}n a 满足11a =，1357a a a ++=，则357a a a ++=（ ）A.7B.14C.21D.268.已知双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，21,F F 为双曲线的左右焦点，P 为渐近线上一点且在第一象限，且满足021=⋅PF ，若02130=∠F PF ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．22 C ．2 D ．39.已知,l m 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，l α⊥，m β≠⊂，则有下面四个命题：①若//αβ，则l m ⊥；②若αβ⊥，则//l m ；③若//l m ，则αβ⊥；④若l m ⊥，则//αβ.其中所有正确的命题是（ ） A.②③B.①④C.①③D.①②③④10.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为2π， 将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则（ ） A.函数()f x 的周期为2πB.函数()f x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C.函数()f x 图象关于直线12x π=对称D.函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调 11．函数x x y sin 2-=的图象大致是（ ）12．已知函数x x x f a +=log )(，)1(4log )1ln()(>+--=a a x x g x ，若存在实数0x 使得)()(00x g x f =，则=a （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知命题:6p x π∀≤，1sin 2x ≤，则命题:p ⌝ ． 14.已知满足，则.15.已知圆C 与y 轴相切，圆心在x 轴的正半轴上，并且截直线10x y -+=所得的弦长为2，则圆C 的标准方程是________.16. 函数⎩⎨⎧>+-≤-+=,0,ln 1,0,2)(2x x x x x x f 的零点为 ．三、解答题：共70分。
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阶段滚动检测(一)检测范围：第一单元至第四单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U 是实数集R ，Venn 图表示集合M ＝{x |x >2}与N ＝{x |1<x <3}的关系，那么阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >3}D ．{x |x ≤1}解析：选D 由Venn 图可知，阴影部分表示(∁U M )∩(∁U N )，因为M ＝{x |x >2}，N ＝{x |1<x <3}，所以∁U M ＝{x |x ≤2}，∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}，则阴影部分表示的集合为(∁U M )∩(∁U N )＝{x |x ≤1}．2．函数f (x )＝x lg(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(0,2]D ．[0,2)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2－x >0，解得0≤x <2.3．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪ 14≤⎝⎛⎭⎫12m ≤4，m ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x －1≥1，则M ∩N ＝( ) A ．∅B ．{2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：选B 由题意知，M ＝{m |－2≤m ≤2，m ∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，N ＝{x |1<x ≤3}，故M ∩N ＝{2}．4．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－lg |x |D ．y ＝－2x解析：选C y ＝x 2为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，排除A ；y ＝x ＋1，y ＝－2x为非奇非偶函数，故排除B 、D ，只有选项C 符合．5．设m ∈R 且m ≠0，“不等式m ＋4m >4”成立的一个充分不必要条件是( )A ．m >0B ．m >1C ．m >2D ．m ≥2解析：选C 当m >0时，m ＋4m ≥4，当且仅当m ＝2时，等号成立，所以m >0且m ≠2是“不等式m ＋4m >4”成立的充要条件，因此，“不等式m ＋4m >4”成立的一个充分不必要条件是m >2，故选C.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，而－x <0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，而－x >0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.7．(2018·重庆一测)设曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2＋a (x >0)关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＝2f (－1)，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23D ．1解析：选C 依题意得，曲线y ＝f (x )即为－x ＝(－y )2＋a (其中－y >0，即y <0，注意到点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点是点(－y 0，－x 0))，化简后得y ＝－－x －a ，即f (x )＝－－x －a ，于是有－2－a ＝－21－a ，由此解得a ＝23，选C.8．函数y ＝x 3x 2－1的图象大致是( )解析：选A 由x 2－1≠0，得x ≠±1，当x >1时，y ＝x 3x 2－1>0，排除D ；当x <－1时，y ＝x 3x 2－1<0，排除C ；当0<x <1时，y ＝x 3x 2－1<0，排除B ，故选A.9．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 设g (x )＝e x f (x )－e x ＋1，因为f (x )>1－f ′(x )，所以g ′(x )＝e x (f (x )＋f ′(x )－1)>0，所以函数g (x )是R 上的增函数，又因为f (0)＝0，g (0)＝e 0f (0)－e 0＋1＝0，所以不等式e x f (x )>e x －1的解集为(0，＋∞)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34解析：选C 由y ＝log a (x ＋1)＋1在[0，＋∞)上递减，得0＜a ＜1. 又由f (x )在R 上单调递减，则⎩⎨⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥1，3－4a 2≥0⇒13≤a ≤34.如图所示，在同一坐标系中作出函数y ＝|f (x )|和y ＝2－x 的图象． 由图象可知，在[0，＋∞)上|f (x )|＝2－x 有且仅有一个解，故在(－∞，0)上|f (x )|＝2－x 同样有且仅有一个解．当3a ＞2，即a ＞23时，由x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x (其中x ＜0)，得x 2＋(4a －2)x ＋3a －2＝0(其中x ＜0)，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，由图象可知，符合条件．综上所述，a ∈⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.故选C.11．已知奇函数f (x )是定义在R 上的连续函数，满足f (2)＝53，且f (x )在(0，＋∞)上的导函数f ′(x )<x 2，则不等式f (x )>x 3－33的解集为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，2) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B 令g (x )＝f (x )－x 3－33，因为奇函数f (x )是定义在R 上的连续函数，所以函数g (x )是定义在R 上的连续函数，则g ′(x )＝f ′(x )－x 2<0，所以函数g (x )＝f (x )－x 3－33在R 上是减函数，又g (2)＝f (2)－23－33＝0，所以不等式f (x )>x 3－33的解集为(－∞，2)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数g (x )＝f (f (x ))－12的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，所以g (x )＝f (f (x ))－12＝0等价于f (x )＋1＝12或log 2f (x )＝12，则f (x )＝－12或f (x )＝2，当f (x )＝－12时，x ＝－32或x ＝22；当f (x )＝2时，x ＝22，故函数g (x )＝f (f (x ))－12的零点个数是3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知a ＝log 2.10.6，b ＝2.10.6，c ＝log 0.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：由指数函数与对数函数的性质可知，a ＝log 2.10.6<0，b ＝2.10.6>1，c ＝log 0.50.6∈(0,1)，所以b >c >a .答案：b >c >a14．函数y ＝log 12(－x 2＋4x －3)的单调增区间为________．解析：设t ＝－x 2＋4x －3，则函数可化为y ＝log 12t 是减函数．由－x 2＋4x －3>0，得1<x <3.因为函数t ＝－x 2＋4x －3在(2,3)上是减函数，所以由复合函数的单调性可得函数y ＝log 12(－x 2＋4x －3)的单调增区间为(2,3)．答案：(2,3)15．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x ， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2. 答案：(－1,2)16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f (x ＋1)＝f (x －1)，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________. 解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)可知函数f (x )是周期为2的周期函数，又因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当0<x <1时，f (x )＝4x ，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2，令x ＝0，则f (x ＋1)＝f (x －1)可化为f (1)＝f (－1)＝－f (1)，所以f (1)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝lg(x 2－x －2)的定义域为集合A ，函数g (x )＝3－|x |的定义域为集合B .(1)求A ∩B ；(2)若C ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，C ⊆B ，求实数m 的取值范围． 解：(1)要使函数f (x )有意义，则x 2－x －2>0， 解得x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}． 要使函数g (x )有意义，则3－|x |≥0， 解得－3≤x ≤3，即B ＝{x |－3≤x ≤3}． 故A ∩B ＝{x |－3≤x <－1或2<x ≤3}． (2)若C ＝∅，则m ≤－2，C ⊆B 恒成立；若C ≠∅，则m >－2，要使C ⊆B 成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧m >－2，m －1≥－3，2m ＋1≤3，解得－2<m ≤1.综上，m ≤1，即实数m 的取值范围为(－∞，1]． 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值； (2)当a <0时，求函数f (x )的单调增区间．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝2时，f (x )＝1x ＋4x ，则f ′(x )＝－1x 2＋4.令f ′(x )＝－1x 2＋4＝0，得x ＝12或x ＝－12(舍去)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝4，无极大值． (2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1a .当－2<a <0时，由f ′(x )>0，得12<x <－1a ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12，－1a 上单调递增； 当a ＝－2时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )无单调递增区间；当a <－2时，由f ′(x )>0，得－1a <x <12，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，12上单调递增． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 图象上的点P (1，－2)处的切线方程为y ＝－3x ＋1.(1)若函数f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的表达式；(2)若函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .因为函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－3， 所以f ′(1)＝－3＋2a ＋b ＝－3， 即2a ＋b ＝0.①又f (1)＝－1＋a ＋b ＋c ＝－2， 即a ＋b ＋c ＝－1.②因为函数f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝－12－4a ＋b ＝0，即4a －b ＝－12.③ 由①②③解得a ＝－2，b ＝4，c ＝－3， 所以f (x )＝－x 3－2x 2＋4x －3.(2)由(1)知a ＝－b2，所以f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b ，因为函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，所以f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b 在区间[－2,0]上的值恒大于等于零，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－2)＝－12＋2b ＋b ≥0，f ′(0)＝b ≥0，解得b ≥4，所以实数b 的取值范围为[4，＋∞)． 20．(本小题满分12分)已知函数g (x )＝a ln x ＋12x 2＋(1－b )x .(1)若g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为8x －2y －3＝0，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，x 1，x 2是函数g (x )的两个极值点，试比较－4与g (x 1)＋g (x 2)的大小． 解：(1)由题意可得，g ′(x )＝ax ＋x ＋(1－b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝52，g ′(1)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－b ＝52，a ＋1＋1－b ＝4，解得a ＝1，b ＝－1. (2)∵b ＝a ＋1，∴g (x )＝a ln x ＋12x 2－ax ，则g ′(x )＝ax ＋x －a ＝x 2－ax ＋a x. 根据题意可得x 2－ax ＋a ＝0在(0，＋∞)上有两个不同的根x 1，x 2.则⎩⎪⎨⎪⎧a2>0，a 2－4a >0，a >0，解得a >4，且x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝a .∴g (x 1)＋g (x 2)＝a ln(x 1x 2)＋12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＝a ln a －12a 2－a . 令f (x )＝x ln x －12x 2－x (x >4)，则f ′(x )＝ln x ＋1－x －1＝ln x －x .令h (x )＝ln x －x ，则当x >4时，h ′(x )＝1x －1<0， ∴h (x )在(4，＋∞)上为减函数， 即h (x )<h (4)＝ln 4－4<0，f ′(x )<0， ∴f (x )在(4，＋∞)上为减函数， 即f (x )<f (4)＝8ln 2－12， ∴g (x 1)＋g (x 2)<8ln 2－12.又∵8ln 2－12－(－4)＝8ln 2－8＝8(ln 2－1)<0， ∴8ln 2－12<－4， ∴g (x 1)＋g (x 2)<－4.21．(本小题满分12分)(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝13x 3－12(a ＋2)x 2＋x (a ∈R)．(1)当a ＝0时，记f (x )图象上动点P 处的切线斜率为k ，求k 的最小值；(2)设函数g (x )＝e －e xx (e 为自然对数的底数)，若对于∀x ＞0，f ′(x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－(a ＋2)x ＋1.设P (x ，y )，由于a ＝0，∴k ＝x 2－2x ＋1≥0，即k min ＝0.(2)由g (x )＝e －e xx ，得g ′(x )＝e x (1－x )x 2，易知g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，由条件知f ′(1)≥g (1)，可得a ≤0.当a≤0时，f′(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－1)2－ax≥(x－1)2≥0.∴f′(x)≥g(x)对∀x∈(0，＋∞)成立．综上，实数a的取值范围为(－∞，0]．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2e x＋2ax－a2，a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若x≥0时，f(x)≥x2－3恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝2e x＋2a，①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在R上单调递增．②当a<0时，由f′(x)>0，得x>ln(－a)；由f′(x)<0，得x<ln(－a)，∴函数f(x)在(－∞，ln(－a))上单调递减，在(ln(－a)，＋∞)上单调递增．综合①②知，当a≥0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(ln(－a)，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln(－a))．(2)令g(x)＝f(x)－x2＋3＝2e x－(x－a)2＋3，x≥0，则g′(x)＝2(e x－x＋a)．又令h(x)＝2(e x－x＋a)，则h′(x)＝2(e x－1)≥0，∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝2(a＋1)．①当a≥－1时，h(x)≥0，即g′(x)≥0恒成立，∴函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而需满足g(0)＝5－a2≥0，解得－5≤a≤5，又a≥－1，∴－1≤a≤5；②当a<－1时，则∃x0>0，使h(x0)＝0，且x∈(0，x0)时，h(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0，x0)上单调递减，x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(x0，＋∞)上单调递增．∴g(x)min＝g(x0)＝2e x0－(x0－a)2＋3≥0，又h(x0)＝2(e x0－x0＋a)＝0，从而2e x0－(e x0)2＋3≥0，解得0<x0≤ln 3，又由h (x 0)＝0，得a ＝x 0－e x 0. 令M (x )＝x －e x,0<x ≤ln 3，则M ′(x )＝1－e x <0，∴M (x )在(0，ln 3]上单调递减， ∴M (x )≥M (ln 3)＝ln 3－3，又M (x )<M (0)＝－1， 故ln 3－3≤a <－1，综上，实数a 的取值范围为[]ln 3－3，5.阶段滚动检测(二)检测范围：第一单元至第八单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－11x －12<0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{2,8} C ．{4,10}D ．{2,4,8,10}解析：选B A ＝{x |－1<x <12}，B ＝{x |x ＝6n ＋2，n ∈Z}，则A ∩B ＝{2,8}． 2．下列说法正确的是( )A ．a ∈R ，“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件B ．“p 且q 为真命题”是“p 或q 为真命题”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋2x 0＋3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”D ．若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋c os x ≤2”，则綈p 是真命题解析：选A 若1a <1，则a >1或a <0，所以“1a <1”是“a >1”的必要不充分条件，故A 正确．3．(2018·广州模拟)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．c <b <aD ．c <a <b解析：选D 1＝log 33<a ＝log 37<log 39＝2，b ＝21.1>21＝2，c ＝0.83.1<0.80＝1，所以c <a <b . 4．已知曲线f (x )＝ax 2x ＋1在点(1，f (1))处切线的斜率为1，则实数a 的值为( )A.32B ．－32C ．－34D.43解析：选D f ′(x )＝ax 2＋2ax(x ＋1)2，由题意可得f ′(1)＝a ＋2a 4＝1，则a ＝43.5．若cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值为( ) A .78 B ．－78C .716D ．－716解析：选A 因为sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝78. 6．(2018·重庆模拟)若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝( ) A ．e-12B ．2e-12C ．e 12D ．2e 12解析：选B 依题意，设直线y ＝a x 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′|x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1，解得x 0＝e ，a ＝2x 0＝2e －12，选B .7．函数f(x)＝xx 2＋a的图象可能是( )A ．①③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④解析：选C 因为f(－x )＝－xx 2＋a ＝－f(x)，所以函数f(x)＝xx 2＋a 是奇函数，图象关于原点对称，若a ＝0，则f(x)＝1x ，④符合题意；若a >0，且x>0时，f(x)＝1x ＋a x ≤12a，故－12a ≤f(x)≤12a，②符合题意；当a <0时，取a ＝－1，f(x)＝xx 2－1是奇函数且定义域为{x|x ≠±1}，故③符合题意，故选C .8．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n ＋3，且∀n ∈N *，a n ＋2n 2≥0，则a 3的取值范围是( )A ．[－2,15]B ．[－18,7]C ．[－18,19]D ．[2,19]解析：选D 因为a n ＋2n 2≥0，所以a 1≥－2，a 2≥－8，由a n ＋1＋a n ＝4n ＋3，得a 1＋a 2＝7，a 2＋a 3＝11，所以a 3＝a 1＋4≥－2＋4＝2，a 2＝11－a 3≥－8，即a 3≤19，综上可得，a 3的取值范围为[2,19]．9．已知函数f (x )＝(e x －e －x )x ，f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤15，1 B ．[1,5]C.⎣⎡⎦⎤15，5D.⎝⎛⎤－∞，15∪[5，＋∞) 解析：选C ∵f (x )＝(e x －e －x )x ， ∴f (－x )＝－x (e －x －e x )＝(e x －e －x )x ＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数．∵f ′(x )＝(e x －e －x )＋x (e x ＋e －x )＞0在(0，＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵f (log 5x )＋f (log 15x )≤2f (1)，∴2f (log 5x )≤2f (1)，即f (log 5x )≤f (1)， ∴|log 5x |≤1，∴15≤x ≤5.故选C.10．若函数y ＝k sin(kx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2与函数y ＝kx －k 2＋6的部分图象如图所示，则函数f (x )＝sin(kx －φ)＋c os(kx －φ)图象的一条对称轴的方程可以为( )A ．x ＝－π24B ．x ＝37π24C ．x ＝17π24D ．x ＝－13π24解析：选B 由图象可知－k 2＋6＝k (k >0)，则k ＝2，又2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0，|φ|<π2，则φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋c os ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12，令2x ＋5π12＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π24＋k π2，k ∈Z ，令k ＝3，得x ＝37π24，故选B. 11．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法一定正确的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 017<0 B ．若a 4>0，则a 2 018<0 C ．若a 3>0，则S 2 017>0 D ．若a 4>0，则S 2 018>0解析：选C 设首项为a 1，公比为q ，若a 3＝a 1q 2>0，则a 1>0，所以a 2 017＝a 1q 2 016>0，S 2 017＝a 1(1－q 2 017)1－q>0，若a 4＝a 1q 3>0，则a 2 018＝a 1q 2 017＝a 4q 2 014>0. S 2 018＝a 1(1－q 2 018)1－q ＝a 4(1－q 2 018)(1－q )q 3，因为q 值不确定，所以S 2 018的值不一定大于0，如q ＝－1时，S 2 018＝0，故选C. 12．已知函数g (x )＝a －x 21e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2－2] B.⎣⎡⎦⎤1，1e 2＋2 C.⎣⎡⎦⎤1e 2＋2，e 2－2 D ．[e 2－2，＋∞)解析：选A 令f (x )＝h (x )＋g (x )＝2ln x ＋a －x 2，因为函数g (x )＝a －x 2⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e 与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，所以函数f (x )有零点，f ′(x )＝2x －2x ＝2－2x 2x ，当1e ≤x <1时，f ′(x )>0；当1<x ≤e 时，f ′(x )<0，又f (e )－f ⎝⎛⎭⎫1e ＝2－e 2＋2＋1e 2<0，即f (e )<f ⎝⎛⎭⎫1e ，所以f (e )≤0且f (1)≥0，解得1≤a ≤e 2－2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．向量AB ―→，AC ―→的夹角为60°，且AB ―→·AC ―→＝2，点D 是线段BC 的中点，则|AD ―→|的最小值为________．解析：由题意可得AD ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，因为AB ―→·AC ―→＝2，所以|AB ―→|·|AC ―→|＝4， 所以|AD ―→|＝12AB ―→2＋2AB ―→·AC ―→＋AC ―→2＝12|AB ―→|2＋4＋|AC ―→|2≥124＋2|AB ―→|·|AC ―→|＝3，当且仅当|AB ―→|＝|AC ―→|＝2时，等号成立，故|AD ―→|的最小值为 3. 答案： 314．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数f (x )的单调递增区间为________________．解析：因为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，且f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝3π，所以ω＝23，由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，则函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z 15．数列{a n }满足a 1＝1且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为________．解析：因为a 1＝1且a n ＋1－a n ＝n ＋1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 答案：201116．已知函数f (x )＝e 2x ，g (x )＝ln x ＋12，对∀a ∈R ，∃b ∈(0，＋∞)，使得f (a )＝g (b )，则b －a 的最小值为________．解析：因为f (x )＝e 2x，g (x )＝ln x ＋12，所以f －1(x )＝12ln x ，g －1(x )＝e 1-2x ，令h (x )＝g －1(x )－f －1(x )＝e1-2x －12ln x ，则b －a 的最小值即为h (x )的最小值，h ′(x )＝e 1-2x －12x，令h ′(x )＝ex －12－12x ＝0，得x ＝12，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，h ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，h ′(x )>0，故当x ＝12时，h (x )取得最小值1＋ln 22. 答案：1＋ln 22三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝2c os 2x ＋23sin x ·c os x ＋a ，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为2.(1)求a 的值，并求f (x )的单调区间；(2)先将函数y ＝f (x )的图象上的点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得到的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上所有根之和．解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 所以f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝2， 解得a ＝2.由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ， 同理可得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z. (2)由题意，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＋3， 当g (x )＝4时，sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝12， 所以4x －π6＝2k π＋π6或4x －π6＝2k π＋5π6，k ∈Z.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以解得x 1＝π12，x 2＝π4， 所以g (x )＝4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上所有根之和为x 1＋x 2＝π3. 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝n 2a n －n 2(n －1)，且a 1＝12. (1)令b n ＝n ＋1n S n，证明：b n －b n －1＝n (n ≥2)； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为S n ＝n 2(S n －S n －1)－n 2(n －1)， 所以nn －1S n －1＝n ＋1n S n －n ，即b n －b n －1＝n (n ≥2)．(2)由已知及(1)得，b 1＝1，b n －b n －1＝n ，b n －1－b n －2＝n －1，…，b 2－b 1＝2， 累加得b n ＝n 2＋n2，∴S n ＝n 22，a n ＝S n －S n －1＝2n －12(n ≥2)，经检验a 1＝12符合a n ＝2n －12，∴a n ＝2n －12.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三内角A ，B ，C 的对边，且3cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋A ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋2sin 2A . (1)求角B 的值；(2)若b ＝23，求三角形ABC 的周长l 的最大值．解：(1)因为3cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋A ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＋2sin 2A ＝2⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A ⎝⎛⎭⎫32cos A －12sin A ＋2sin 2A ＝32c os 2A ＋32sin 2A ＝32，所以c os B ＝12，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ＝23sinπ3＝4，所以a ＝4sin A ，c ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ，因此三角形ABC 的周长l ＝4sin A ＋4sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＋23＝43sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋2 3. 因为0<A <2π3，所以当A ＝π3时，l m a x ＝6 3.20．(本小题满分12分)(2018·兰州诊断)设函数f (x )＝1x ＋2ln x .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)如果对所有的x ≥1，都有f (x )≤ax ，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －1x 2，所以当0<x <12时，f ′(x )<0，当x >12时，f ′(x )>0，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增． (2)当x ≥1时，f (x )≤ax ⇔a ≥2ln x x ＋1x2， 令h (x )＝2ln x x ＋1x2(x ≥1)，则h ′(x )＝2－2ln x x 2－2x 3＝2(x －x ln x －1)x 3，令m (x )＝x －x ln x －1(x ≥1)，则m ′(x )＝－ln x ，当x ≥1时，m ′(x )≤0，所以m (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以m (x )≤m (1)＝0，因此h ′(x )≤0，于是h (x )在[1，＋∞)上为减函数， 所以当x ＝1时，h (x )有最大值h (1)＝1，故a ≥1， 即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＝3，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)(n ≥2，n ∈N *)，又b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n ＝a n ，对任意n ∈N *都成立．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解：(1)∵当n ≥2时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)， ∴S n ＋2＋S n ＝2(S n ＋1＋1)， 两式相减得：a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时， 数列{a n }是公差为2的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －2)＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，∴a n ＝2n －1. ∵b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＋2n －1b n ＝a n ， ∴b 1＋2b 2＋22b 3＋…＋2n －2b n －1＝a n －1，两式相减得2n －1b n ＝a n －a n －1＝2，∴b n ＝22－n (n ≥2)．∵b 1＝1不满足b n ＝22－n，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，22－n ，n ≥2.(2)设c n ＝a n ·b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，(2n －1)·22－n，n ≥2，则T n ＝1＋3＋5×2－1＋7×2－2＋…＋(2n －1)×22－n ， 12T n ＝12＋3×2－1＋5×2－2＋7×2－3＋…＋(2n －1)×21－n ， 两式相减得12T n ＝72＋2×(2－1＋2－2＋2－3＋…＋22－n )－(2n －1)×21－n ＝72＋2×2－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －21－12－(2n －1)×21－n ＝112－(2n ＋3)×21－n ，∴T n ＝11－(2n ＋3)×22－n .22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x .(1)当a ＝1时，求函数f (x )在[1，e]上的最小值和最大值；(2)是否存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a 恒成立．若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－2ln x －x .则f ′(x )＝x －2x －1＝(x ＋1)(x －2)x ，x ∈[1，e]， ∴当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，e)时，f ′(x )>0. ∴f (x )在(1,2)上单调递减，在(2，e)上单调递增．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，其最小值为f (2)＝－2ln 2. 又f (1)＝－12，f (e)＝e 22－e －2.f (e)－f (1)＝e 22－e －2＋12＝e 2－2e －32<0，∴f (e)<f (1)， ∴f (x )max ＝f (1)＝－12.(2)假设存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a 恒成立，不妨设0<x 1<x 2，若f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>a ，则f (x 2)－ax 2>f (x 1)－ax 1.设g (x )＝f (x )－ax ＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x －ax ＝12x 2－2a ln x －2x .要满足题意，只需g (x )在(0，＋∞)为增函数即可， ∵g ′(x )＝x －2ax －2＝x 2－2x －2a x ＝(x －1)2－1－2a x.要使g ′(x )≥0在(0，＋∞)恒成立，只需－1－2a ≥0，解得a ≤－12.故存在a ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12满足题意． 阶段滚动检测(三)检测范围：第一单元至第十二单元(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设命题p ：∀x ＞0，log 2x ＜2x ＋3，则綈p 为( ) A ．∀x ＞0，log 2x ≥2x ＋3 B ．∃x 0＞0，log 2x 0≥2x 0＋3 C ．∃x 0＞0，log 2x 0＜2x 0＋3 D ．∀x ＜0，log 2x ≥2x ＋3解析：选B 由全称命题否定的定义可知，答案为B.2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．[0,2] B ．{0,1,2} C ．(－1,2)D ．{－1,0,1}解析：选B 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{－1,0,1,2}，则A ∩B ＝{0,1,2}．3．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．22B ．4C ．32D ．6解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得C (2，－2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得D (－1,1)． 所以|AB |＝|CD |＝(2＋1)2＋(－2－1)2＝3 2.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ的值为( ) A.13 B ．±13C ．－19D.19解析：选B 因为c os ⎝⎛⎭⎫2π3－2θ＝－79，即c osπ－⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝－79， 所以c os ⎝⎛⎭⎫π3＋2θ＝79， 由二倍角公式可得1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝79， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝±13. 5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )A ．64－16π3B ．64－32π3C ．64－16πD ．64－64π3解析：选A 由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V 锥＝13Sh ＝13×π×22×4＝163π，∴V ＝V 正方体－V 锥＝43－163π＝64－163π. 6．若a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( )A.5－1B.5＋1 C ．25＋2D ．25－2解析：选D 因为a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，所以(2a ＋b ＋c )2＝4a 2＋b 2＋c 2＋4ab ＋4ac ＋2bc ≥4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )＝4(6－25)＝4(5－1)2，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，即2a ＋b ＋c 的最小值是25－2.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A ．15B ．16 C.503D.533解析：选C 由三视图可知，该几何体是如图所示的以俯视图为底面、高为5的四棱锥P -ABCD ，则该几何体的体积V ＝13×12×4×4＋12×2×2×5＝503.8．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围为( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0) C.⎝⎛⎭⎫－1e 2，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 解析：选Df ′(x )＝a －1e x ＋xe x ，因为曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，所以f ′(x )＝a －1e x ＋x e x ＝0有两个不同的解．即a ＝1e x －xe x 有两个不同的解，令g (x )＝1e x －x e x ，g ′(x )＝－2e x ＋xex ，由g ′(x )>0，得x >2，由g ′(x )<0，得x <2，所以g (x )在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以当x ＝2时，函数g (x )取得极小值g (2)＝－1e 2，当x →－∞时，g (x )→＋∞，当x →＋∞时，g (x )→0，画出函数g (x )的大致图象如图所示，要满足题意，则需－1e2<a <0.9．已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210C.132D ．310解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132.10.如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP ―→·BP ―→的取值范围是( )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：选A 取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA ―→＋CB ―→＝2CD ―→，所以AP ―→·BP ―→＝(CP ―→－CA ―→)·(CP ―→－CB ―→)＝CA ―→·CB ―→－2CD ―→·CP ―→＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos 〈CD ―→，CP ―→〉＋1＝7－6cos 〈CD ―→，CP ―→〉，所以当c os 〈CD ―→，CP ―→〉＝1时，AP ―→·BP ―→取得最小值为1；当cos 〈CD ―→，CP ―→〉＝－1时，AP ―→·BP ―→取得最大值为13，因此AP ―→·BP ―→的取值范围是[1,13]．11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1ω>0,0≤φ≤π2的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，且在x ＝π3时取得最大值2，若f (α)＝85，且π3<α<5π6，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( ) A.1225 B ．－1225C.2425D ．－2425解析：选D 由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋1ω>0,0≤φ≤π2的图象相邻两条对称轴之间的距离为π可知，函数的周期T ＝2π，则ω＝1.又因为函数在x ＝π3时取得最大值2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，且0≤φ≤π2，所以φ＝π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，又f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋1＝85，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，又π3<α<5π6，所以π2<α＋π6<π，则c os ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin α＋π6·c os ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－2425.12．对于函数f (x )，若关于x 的方程f (2x 2－4x －5)＋sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝0只有9个根，则这9个根之和为( )A ．9B ．18C ．πD ．0解析：选A 因为函数y ＝2x 2－4x －5的对称轴为x ＝1，所以f (2x 2－4x －5)关于直线x ＝1对称．由f (2x 2－4x －5)＋sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6＝0可得f (2x 2－4x －5)＝－sin π3x ＋π6关于直线x ＝1对称，因为方程f (2x 2－4x －5)＋sin π3x ＋π6＝0只有9个根，且其中一个根是1，其余8个根关于x＝1对称，所以这9个根之和为9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知向量|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1，且|AB ―→－2CD ―→|＝23，则向量AB ―→和CD ―→的夹角为________．解析：因为向量|AB ―→|＝2，|CD ―→|＝1，且|AB ―→－2CD ―→|＝23，所以AB ―→2－4|AB ―→||CD ―→|c os 〈AB ―→，CD ―→〉＋4CD ―→2＝12，则c os 〈AB ―→，CD ―→〉＝－12，所以〈AB ―→，CD ―→〉＝2π3.答案：2π314．已知函数f (n )＝n 2c os(n π)，数列{a n }满足a n ＝f (n )＋f (n ＋1)(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝________.解析：因为f (n )＝n 2c os(n π)，a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，所以a 1＝f (1)＋f (2)＝－12＋22，a 2＝22－32，a 3＝－32＋42，a 4＝42－52，…，当n 是偶数时，a n ＝n 2－(n ＋1)2，当n 是奇数时，a n ＝－n 2＋(n ＋1)2，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(－12＋22)＋(22－32)＋(－32＋42)＋(42－52)＋…＋[－(2n －1)2＋(2n )2]＋[(2n )2－(2n ＋1)2]＝1×3－1×5＋1×7－1×9＋...＋(4n －1)－(4n ＋1) ＝－2－2－ (2)个－2＝－2n .答案：－2n15．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3BC ，则△ABC 面积的最大值是________． 解析：令BC ＝x ，则AC ＝3x ，角A 是锐角，由余弦定理可得c os A ＝123⎝⎛⎭⎫x ＋2x ，则sin A ＝1238－x 2－4x 2，S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝128x 2－x 4－4，当x ＝2时，△ABC 的面积最大，最大值为 3.答案： 316．若对任意m ∈(－2，－1)，f (x )＝mx 2－(5m ＋n )x ＋n 在x ∈(3,5)上存在零点，则实数n 的取值范围是________．解析：由f (x )＝0，可得x ＝5m ＋n ±25m 2＋6mn ＋n 22m.易知x ＝5m ＋n ＋25m 2＋6mn ＋n 22m<0，舍去，所以x ＝5m ＋n －25m 2＋6mn ＋n 22m∈(3,5)，化简可得n －5m >25m 2＋6mn ＋n 2>n －m .由n －5m >25m 2＋6mn ＋n 2两边平方，化简可得n >0，由25m 2＋6mn ＋n 2>n －m 两边平方，化简可得n <－3m 恒成立，所以n ≤3，综上可得，0<n ≤3. 答案：(0,3]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．解：(1)由正弦定理可得sin A ＝2sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin B ＝12.因为B 是锐角，所以B ＝π6.(2)c os A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A＝3⎝⎛⎭⎫sin A cos π3＋cos A sin π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 因为C ＝5π6－A <π2，所以π3<A <π2，所以2π3<A ＋π3<5π6，12<sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3<32，所以32<3sin A ＋π3<32， 所以c os A ＋sin C ∈⎝⎛⎭⎫32，32.18．(本小题满分12分)如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝1，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°.(1)求三棱锥P -ABC 的体积；(2)证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PMMC 的值．解：(1)由题设AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°， 可得S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin 60°＝32.由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P -ABC 的高． 又PA ＝1，所以三棱锥P -ABC 的体积V ＝13·S △ABC ·PA ＝36.(2)证明：在平面ABC 内，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N .在平面PAC 内，过点N 作MN ∥PA 交PC 于点M ，连接BM .由PA ⊥平面ABC 知PA ⊥AC ，所以MN ⊥AC . 由于BN ∩MN ＝N ，故AC ⊥平面MBN . 又BM ⊂平面MBN ，所以AC ⊥BM . 在Rt △BAN 中，AN ＝AB ·cos ∠BAC ＝12，从而NC ＝AC －AN ＝32.由MN ∥PA ， 得PM MC ＝AN NC ＝13.19．(本小题满分12分)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4.即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2.所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)． (2)因为a n ＝2n ，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1. 所以a n b n ＝(2n －1)2n .则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)2n ，① 2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －1)2n ＋1.②①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，△PCD 为等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝2BC ＝2，AB ＝3，点E ，F 分别为AD ，CD 的中点．(1)求证：BE ∥平面PCD ； (2)求证：平面PAF ⊥平面PCD .证明：(1)∵AD ＝2BC ＝2，且E 为AD 的中点， ∴BC ＝ED .又∵AD ∥BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD .∵CD ⊂平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，∴BE ∥平面PCD .(2)∵在等边△PCD 中，F 是CD 的中点，∴CD ⊥PF . 又BC ∥AD ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥BC ，连接AC ， ∵AB ＝3，BC ＝1，∴AC ＝2， 又AD ＝2，∴AC ＝AD ，∴CD ⊥AF ，又∵PF ∩AF ＝F ，∴CD ⊥平面PAF . ∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PAF ⊥平面PCD .21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －ax ，当x 0∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝1ex －e.(1)求a 的值；(2)求证：函数f (x )在定义域内单调递增． 解：(1)由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1x ＋1－a ，所以函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)， 即y －(x 0＋1)ln x 0＋ax 0＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a (x －x 0)， 即y ＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a x ＋ln x 0－x 0－1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，x 0－ln x 0＋1＝e.令g (x )＝x －ln x ＋1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递增． 又因为g (e)＝e ，所以x 0＝e ，将x 0＝e 代入ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，得a ＝2.(2)证明：由a ＝2，得f ′(x )＝ln x ＋1x －1(x >0)． 令h (x )＝ln x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故当x ∈(0,1)时，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，故h (x )≥h (1)＝1. 因此当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝h (x )－1≥0，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0. 所以f (x )在定义域内单调递增．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ln x ＋(x －c )2，x ≥c ，a ln x －(x －c )2，0＜x ＜c (其中a ＜0，c ＞0)． (1)当a ＝2c －2时，若f (x )≥14对任意x ∈(c ，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设函数f (x )的图象在两点P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))处的切线分别为l 1，l 2，若x 1＝ －a 2，x 2＝c ，且l 1⊥l 2，求实数c 的最小值．解：(1)当x ＞c ，a ＝2c －2时， f ′(x )＝ax ＋2(x －c )＝2x 2－2cx ＋a x ＝2(x －1)[x －(c －1)]x .∵a ＜0，c ＞0，且c ＝a2＋1，∴0＜c ＜1.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴函数f (x )在(c ，＋∞)上的最小值为f (1)＝(1－c )2＝14a 2.∴要使f (x )≥14恒成立，只需14a 2≥14恒成立，即a ≤－1或a ≥1(舍去)． 又∵c ＝a2＋1＞0，∴a ＞－2.∴实数a 的取值范围是(－2，－1]． (2)由l 1⊥l 2可得，f ′⎝⎛⎭⎫－a 2·f ′(c )＝－1，。