高考热点题型：圆锥曲线中的探索性问题
圆锥曲线中的探究(存在)性问题-(通用版)(解析版)
圆锥曲线中的探究（存在）性问题圆锥曲线中探究（存在）性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索（存在）性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神.圆锥曲线中探索问题的求解策略1).此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．2)．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 题型1 探究点线关系问题1．（2020·上海市七宝中学高三期末）已知直线过椭圆：的右焦点，且直线交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；（3）连接，试探究当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，；（3）是，定点，证明见解析 【分析】（1）根据直线过定点，可求出椭圆的右焦点坐标，从而可求出椭圆中的值，再结合椭圆中，可求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，并结合及，可得到:1l x my =+C 22213x y a +=F lC ,A B ,,A F B :4l x '=,,D KE C l y M 12,MA AF MB BF λλ==m 12λλ+12λλ+,AE BD m AE BD 22143x y +=1283λλ+=-5(,0)2l ()1,0c 23b =a l ()()1122,,,A x y B x y 221431x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩y 1MA AF λ=2MB BF λ=的表达式，进而可证明；（3）令，可知直线与相交于，进而讨论时，直线与也相交于即可. 【详解】（1）直线过定点，所以椭圆的右焦点为，即，又椭圆中，所以，∴椭圆：.（2）易知，且直线与轴的交点为，直线交椭圆于， 联立，得，所以，所以，， 又，可得，所以，又，同理可得，所以， 因为， 所以，故的值是定值，且. （3）若，则直线为，此时四边形为矩形，根据对称性可知直线与相交于的中点，易知； 若，由（2）知，可知， 所以直线的方程为，12λλ+1283λλ+=-0m =AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭0m ≠AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭:1l x my =+()1,0C ()1,0F 1c =C 23b =222314a b c =+=+=C 22143x y+=0m ≠l y 10,M m ⎛⎫-⎪⎝⎭l ()()1122,,,A x y B x y 221431x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=()()22236363414410m m m ∆=++=+>122634m y y m +=-+122934y y m =-+1MA AF λ=111111(,)(1,)x y x y mλ+=--1111my λ=--2MB BF λ=2211my λ=--12121112()m y y λλ+=--+212212121163423493y y m m my y y y m ⎛⎫+++==-⋅-=⎪+⎝⎭12121111282()233m m y y m λλ+=--+=--⋅=-12λλ+1283λλ+=-0m =l 1x =ABED AE BD ,F K N 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭0m ≠()()1122,,,A x y B x y ()()124,,4,D y E y AE 2121(4)4y y y y x x --=--当时，， 所以点在直线上，同理可知，点也在直线上. 所以时，直线与也相交于定点. 综上所述，变化时，直线与相交于定点. 【点睛】求定值问题，常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2．（2021·江苏高三）如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左､右顶点，.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线与直线的交点落在定直线上.【分析】（1）根据题中条件，求出，即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得52x =211221122121112(4)3()2(41)3()3()422(4)2(4)y y x y y y my y y y y y x x x --------=+-==---211213()22(4)y y my y x +-=-2221169321818343402(4)2(4)(34)m m m m m m x x m --⨯-⨯-+++===--+5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭AE 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭BD 0m ≠AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭m AE BD 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭xOy A B 22221(0)x y a b a b+=>>AB =2e =F F l M N AM BN P 2212x y +=AM BN P 2x =,a b MN 1x my =+()11,M x y ()22,N x y到，，表示出直线和为定值，即可得出结果.【详解】（1），设焦距为，离心率，，，因此所求的椭圆方程为（2）设直线方程为，设，，由得，，，直线方程是，直线方程是，由，解得：此直线与直线的交点落在定直线上.【点睛】求解本题第二问的关键在于根据点为两直线交点，联立两直线方程，结合直线与椭圆联立12y y +12y y AMBN 2AB =2a ∴=a =2c 2e =2c a ∴=1c ∴=2221b a c ∴=-=2212x y +=MN 1x my =+()11,M x y ()22,N x y 22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222210m y my ++-=12222m y y m ∴+=-+12212y y m =-+AM y x =+BN y x =y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩212112211y x y my my y y ++++===212211212(1122221(12m m y m m m y m m m y m ⎛⎫⎛⎫-++--⎡⎤ ⎪ ⎪-+--+++⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭21312m m y -+-++=((()(()()()21213121121m m y m m y ⎡⎤-+-++⎣⎦=⎡⎤-++⎣⎦()213121m m y ⎡⎤-+-++=()221121m m y ⎡⎤-+-++=(213=+=+3=+2x =AM BN P 2x =P MN，确定点横坐标为定值，即可求解.3．（2020·重庆八中高三月考）在直角坐标系内，点A ，B 的坐标分别为，，P 是坐标平面内的动点，且直线，的斜率之积等于.设点P 的轨迹为C .（1）求轨迹C 的方程；（2）某同学对轨迹C 的性质进行探究后发现：若过点且倾斜角不为0的直线与轨迹C 相交于M ，N 两点，则直线，的交点Q 在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.【答案】（1）；（2）正确，证明见解析，直线. 【分析】（1）设点P 的坐标为，利用直接法，列方程即可求解.（2）根据题意，可设直线的方程为：，将直线与椭圆方程联立，整理可得，利用韦达定理可得，，直线的方程与直线的方程，直线，的交点的坐标满足：，整理可得，即证.【详解】（1）设点P 的坐标为， 由，得，即. 故轨迹C 的方程为：（2）根据题意，可设直线的方程为：，由，消去x 并整理得 其中，. 设，，则，. 因直线的倾斜角不为0，故，不等于（，不为0），P ()2,0-()2,0PA PB 14-()1,0l AM BN ()22104x y y +=≠4x =(),x y MN 1x my =+()224230m y my ++-=12224m y y m +=-+12234y y m =-+AM BN AM BN ()00,Q x y ()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--04x =(),x y 1224y y x x ⋅=-+-2244y x =-()22104x y y +=≠()22104x y y +=≠MN 1x my =+22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()224230m y my ++-=()222412416480m m m ∆=++=+>()11,M x y ()22,N x y 12224m y y m +=-+12234y y m =-+l 1x 2x 2±1y 2y从而可设直线的方程为∴，直线的方程为∴， 所以，直线，的交点的坐标满足：而， 因此，，即点Q 在直线上. 所以，探究发现的结论是正确的.【点睛】本题主要考查轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力和创新意识；考查化归与转化等思想方法，属于中档题.4．（2020·江苏南通市·海安高级中学高三期中）古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积．即椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在x 轴上，椭圆的面积为，且短轴长为．椭圆与椭圆有相同的离心率．（1）求m 的值与椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左顶点A 作直线l ，交椭圆于另一点B ，交椭圆于P ，Q 两点（点P 在A ，Q 之间）．∴求面积的最大值（O 为坐标原点）；∴设PQ 的中点为M ，椭圆的右顶点为C ，直线OM 与直线BC 的交点为N ，试探究点N 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．AM ()1122y y x x =++BN ()2222yy x x =--AM BN ()00,Q x y ()()()2100122222y x x x y x ++=⋅--()()()()2121122121212123321y x y my my y y y x y my my y y +++==---()()2122121123239344433344m m y m m y m m m m m y y m -⎛⎫+-- ⎪--+++⎝⎭===---+-+04x =4x =1C 1F 2F 1C222:1(03)3x y C m m +=<<1C 1C 1C 1C 2C OPQ △1C【答案】（1）；；（2）∴；∴点N 在定直线运动． 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求椭圆的标准方程，再根据两个椭圆有相同的离心率，求；（2）∴设直线AB 的方程为：且，与椭圆联立方程，利用韦达定理表示，转化为关于的函数求最值；∴首先求点的坐标，并求直线的方程，并利用直线与椭圆方程联立，求点的坐标，联立直线OM 和BC 的方程，求交点的坐标.【详解】（1）由题意可得解得， 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以的标准方程为椭圆的离心率为，椭圆得焦点在y 轴上，则 则 （2）∴当直线AB 与x 轴重合时，O ，P ，Q 三点共线，不符合题意 故设直线AB 的方程为：且 设，由（1）知椭圆的方程为：联立方程消去x 得： 由韦达定理得：； 又令 此时 ∴94m =22143x y +=4187x =-,a b 1C m 2x ty =-0t ≠2C OPQSt M OM PQ B 2ab b π⎧=⎪⎨⎪=⎩2a =b =1C 1C 22143x y +=1C 122C 12=94m =2x ty =-0t ≠()11,P x y ()22,Q x y 2C 224193x y +=2241932x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22431670t y ty +-+=1221643t y y t +=+122743y y t =+12121||2POQ AOQ AOPS S S AO y y y y =-=⋅-=-△△△==243(3)t s s +=>==≤3233s =>OPQ △∴由∴知：，则∴ ∴直线OM 的斜率： 则直线OM 的方程为： 联立方程消去x 得：，解得： ∴ ∴则直线BC 的方程为： 联立直线OM 和BC 的方程解得：∴点N 在定值直线运动. 【点睛】定点问题解决步骤：（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程； （2）韦达定理列出两根和及两根积；（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积； （4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件.题型2 探究平面图形存在问题1.（2018·上海高考真题）设常数．在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：．与轴交于点、与交于点．、分别是曲线与线段上的动点．（1）用表示点到点距离；（2）设，，线段的中点在直线，求的面积；（3）设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．1221643t y y t +=+1221243x x t -+=+2268,4343t M t t -⎛⎫ ⎪++⎝⎭43OM t k =-43ty x =-222143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234120t y ty +-=21234B t y t =+222126823443B t t x t t t -=⋅-=++222121233468164234BC tt t t kt t +==-=---+3(2)4t y x =--433(2)4t y x t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩1824,77t N ⎛⎫- ⎪⎝⎭187x =-2t >xOy ()20F ，l x t =Γ()2800y x x t y =≤≤≥，l x A ΓB P Q ΓAB t B F 3t =2FQ =OQ FP AQP△8t =FP FQ FPEQ E ΓP【答案】（1）；（2）；（3）见解析. 【解析】（1）方法一：由题意可知：设，则，∴；方法二：由题意可知：设，由抛物线的性质可知：，∴； （2），，，则， ∴，设的中点，，，则直线方程：， 联立，整理得：，解得：，（舍去）， ∴的面积（3）存在，设，，则，， 直线方程为，∴，， 根据，则，∴，解得：， 2BF t =+1723S ==()B t 2BF t ==+2BF t =+()B t 22pBF t t =+=+2BF t =+()20F ，2FQ =3t =1FA =AQ =(3Q OQ D 322D ⎛ ⎝⎭，02322QFk ==-PF )2y x =-)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩2320120x x -+=23x =6x =AQP 1723S ==28y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，28m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2281628PF y y k y y ==--2168FQ y k y -=QF ()21628y y x y -=-()22164838284Q y y y y y --=-=248384y Q y ，⎛⎫- ⎪⎝⎭FP FQ FE +=2248684y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2165y =∴存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且． 2．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>1C 的上顶点与抛物线2C ：()220x py p =>的焦点F 重合，且抛物线2C 经过点()2,1P ，O 为坐标原点．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的标准方程；（2）已知直线l ：y kx m =+与抛物线2C 交于A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D 两点，若直线PF 平分APB ∠，四边形OCPD 能否为平行四边形？若能，求实数m 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）2214x y +=；24x y =；（2）四边形OCPD 不是平行四边形，理由见解析. 【分析】（1）由抛物线2C 经过点()2,1P ，可得抛物线方程为24x y =，其焦点为()0,1F ，可知1b =，再利用椭圆的离心率即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，由已知得120k k +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用两点求斜率公式求得直线l ：y x m =-+且1m >-，联立直线与椭圆方程得2258440x mx m -+-=，求得1m -<<OCPD 为平行四边形，则OP OC OD =+，即()()34342,1,x x y y =++，推出矛盾即可得结论.【详解】（1）由抛物线2C 经过点()2,1P ，得42p =，2p ∴=，故抛物线方程为24x y =．抛物线2C ：24x y =的焦点为()0,1F ，1b ∴=．又椭圆1C的离心率c e a ====解得：2a =所以椭圆1C 的标准方程为2214xy +=．（2）四边形OCPD 不是平行四边形，理由如下：将y kx m =+代入24x y =，消去y 并整理得：2440x kx m --=由题意知，216160k m ∆=+>，即2m k >-设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k因为直线PF 平分APB ∠，所以120k k += 设()11,A x y ，()22,B x y ，则121211022y y x x --+=-- FP FQ FPEQ EΓ25P ⎛ ⎝⎭又2114x y =，2224x y =，则22121212114440224x x x x x x --+++==--，124x x ∴+=- 2212121212124414ABx x y y x x k x x x x --+∴====---，所以直线l ：y x m =-+且1m >- 由2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 并整理得：2258440x mx m -+-= 由题意知()()2226445441650m m m ∆=-⨯⨯-=->解得：m <<1m -<<设()33,C x y ，()44,D x y ，则3485m x x +=，()3434225my y x x m +=-++=若四边形OCPD 为平行四边形，则OP OC OD =+，即()()34342,1,x x y y =++825215mm ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，显然方程组无解，所以四边形OCPD 不是平行四边形．【点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．3．（2021·湖南长沙市高三月考）如图，椭圆2222x y C :1(a b 0)a b +=>>的离心率e=2，且椭圆C 的短轴长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P M N ，，椭圆C 上的三个动点.（i ）若直线MN 过点D 10,2⎛⎫-⎪⎝⎭，且P 点是椭圆C 的上顶点，求PMN ∆面积的最大值；（ii ）试探究：是否存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.【答案】(1) 椭圆C 的方程是22 1.4x y +=()()i 2PMN ∆()()ii 2不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.【分析】(1) 利用离心率以及短轴长,求出椭圆中a b c 、、.即可求椭圆C 的方程;()()i 2由已知,直线MN 的斜率存在,设直线MN 方程，联立直线与椭圆方程,利用韦达定理,弦长公式,推出面积的表达式,通过换元,利用导数求出面积的最大值.()()ii 2假设存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.()1当P 在y 轴上时,推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.()2当P 在x 轴上时,推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.()3当P 不在坐标轴时，推出与PMN ∆为等边三角形矛盾.故得解.【详解】（1）由已知得22222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ，所以椭圆C 的方程是22 1.4x y +=()2i （）由已知可知直线MN 的斜率定存在，设直线MN 的方程为12y kx =-，()()1122,,,M x y N x y ，由221.412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2214430k x kx +--=，所以122122414314k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 所以()()22212121224163414k x x x x x x k+-=+-=+，又32PD =，所以()12212214PMN S PD x x k ∆=⋅-=+，令22316m m k -=≥=，所以2361321416PMN m S m m m ∆==⎛⎫-++⋅ ⎪⎝⎭， 令())1,g m m m m =+∈+∞，则()2'221110m g m m m-=-=> 所以()g m在)+∞上单调递增，所以当m 时，此时0k =，()g m此时PMN S ∆有最大值2.故得解. ()2ii （）不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.理由如下： 假设存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形.()1当P 在y 轴上时,P 的坐标为()0,1,则,M N 关于y 轴对称,MN 的中点Q 在y 轴上.又O 为PMN ∆的中心,所以2PO OQ =,可知1110,,,222Q M N ⎛⎫⎛⎫⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭,从而2MN PM ==即MN PM ≠.所以与PMN ∆为等边三角形矛盾. ()2当P 在x 轴上时,P 的坐标为()2,0,则,M N 关于x 轴对称,MN 的中点Q 在x 轴上.又O 为PMN ∆的中心,所以2PO OQ =,可知()1,0,1,,1,22Q M N ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而MN PM ==,即MN PM ≠.所以与PMN ∆为等边三角形矛盾. ()3当P 不在坐标轴时,设()00,P x y ,MN 的中点为Q ,则0OP y k x =, 又O 为PMN ∆的中心,则2PO OQ =,可知00,22x y Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设()()1122,,,M x y N x y ,则12012022Q Q x x x x y y y y +==-⎧⎨+==-⎩, 又222112244,44x y x y +=+=,两式相减得01212121201144MN xy y x x k x x y y y -+==-⋅=-⋅-+,从而MN k =0014x y -⋅，所以000011144PO MN y x k k x y ⎛⎫⋅=⋅-⋅=-≠- ⎪⎝⎭, 所以OP 与MN 不垂直,与等边PMN ∆矛盾. 综上所述,不存在PMN ∆是以O 为中心的等边三角形. 【点睛】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想,属于难度题.4．（2021·四川绵阳市·（文））已知椭圆，直线交椭圆于两点，为坐标原点.（1）若直线过椭圆的右焦点，求的面积；（2）若，试问椭圆上是否存在点，使得四边形为平行四边形若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在， 22:12x C y +=:l y x m =+C ,A B O l C F AOB (0)OM tOB t =>C P OAPM t 23(0,2)【分析】（1）根据直线过右焦点求出直线方程，联立直线与椭圆方程，求出或，利用面积公式即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，根据四边形为平行四边形，且.又，，求出点的坐标为，代入椭圆方程，结合韦达定理计算求解.【详解】（1）设.直线过椭圆的右焦点，则，直线的方程为.联立得，解得或.的面积为. （2）联立得，，解得.由韦达定理得，. . 四边形为平行四边形，，且. 又，，点的坐标为.又点在椭圆上，即， 整理得.又，，即，，即. ，，综上所述，的取值范围是.113y =21y =-121||2S OF y y =-OAPM OP OA OM =+(0)OM tOB t =>()1212,OP OA tOB x tx y ty =+=++P ()1212,x tx y ty ++()()1122,,,A x y B x y l C F 1m =l 1x y =+2222,1,x y x y ⎧+=⎨=+⎩23210y y +-=113y =21y =-AOB ∴121112||1(1)2233S OF y y =-=⨯⨯--=2222,,x y y x m ⎧+=⎨=+⎩2234220x mx m ++-=()22(4)12220m m ∴∆=-->203m <1243m x x +=-212223m x x -=()()()221212121223m y y x m x m x x m x x m -∴=++=+++=OAPM 0m ∴≠OP OA OM =+(0)OM tOB t =>()1212,OP OA tOB x tx y ty ∴=+=++∴P ()1212,x tx y ty ++P ()()22121222x tx y ty +++=()()222221122121222242x y txy tx x ty y +++++=221122x y +=222222x y +=12122x x y y t +=-22222233m m t --∴+⨯=-2643m t -=20,03t m ><<02t ∴<<t (0,2)【点睛】此题考查根据直线与椭圆关系求三角形面积，将几何关系转化为代数关系，利用点的坐标结合韦达定理求解，综合性强.题型3 探究长度、面积（周长）相关问题1．（2020·山西高三月考（理））已知中心为坐标原点的椭圆C的一个焦点为)F，且经过点1,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）若不经过点F 的直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切，试探究ABF 的周长是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y += ；（2）ABF 的周长为定值4 . 【分析】（1）由椭圆的定义可知'42MF MF a +==，可得2a =，因为c =222b a c =-，所以1b =可得答案；（2）因为直线l 与圆相切，可得m 与k 的关系，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理可得弦长公式AB ，再利用两点间的距离公式可得AF 12x =-，22BF x =，所以AF BF AB ++可得答案.【详解】（1）设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由题可知另一个焦点为()'F .由椭圆的定义可知'42MF MF a +===，所以2a =，因为c =222b ac =-，所以1b =，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）是定值，理由如下：因为直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与圆221x y +=相切，1=，即221m k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得 ()222418440kx kmx m +++-=，所以()2221641480k m k ∆=-+=>，122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，所以AB ====，又221m k =+，所以241AB k -=+.由于0,0k m <>，所以1202,02x x <<<<，因为AF =122x ==-，同理22BF x =，所以()1242AF BF x x +=-+2284424141km k k =+⨯=+++，所以44AF BF AB ++=+=，故ABF 的周长为定值4. 【点睛】本题考查了直线与圆、直线与椭圆的位置关系，第二问的关键点是利用韦达定理可得AB 和AF BF +，考查了分析问题、解决问题的能力.2．（2021·山西运城市·高三期末（理））已知A ，B 是椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，C 为E 的上顶点，3AC BC ⋅=-．（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N ，P 是椭圆E 上不同的三点，且坐标原点O 为MNP △的重心，试探究MNP △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=；（2）MNP △ 【分析】（1）分别写出点,,A B C 三点的坐标，求出AC 、BC 的坐标，利用数量积的坐标运算即可求解； （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率不存在时计算MNP △的面积，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，与2214xy +=联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得12x x +，12x x ，计算弦长||MN ，点P 到直线MN 的距离d ，计算1||2MNPS MN d =⋅即可求解. 【详解】（1）(,0),(,0),(0,1)A a B a C -，则(,1),(,1)AC a BC a ==-，因为3AC BC ⋅=-，所以213a -+=-，得24a =．所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x x =，设()11,M x y ，则()11,N x y -，因为O 为MNP △的重心，所以()12,0P x -．由M ，N ，P 在椭圆上，所以221114x y +=且21414x =，解得221131,4x y ==．易知1232MNPS =⨯=， 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2214x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x kmx m +++-=，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+， ()121222241m y y k x x m k +=++=+．因为O 为MNP △的重心，所心2282,4141kmm P k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 因为P 在椭圆上，故2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22441m k =+．||MN =点P 到直线MN 的距离d 等于O 到直线MN距离的3倍，所以d =，所以11||22MNPSMN d =⋅=26|42m m ==，综上，MNP △的面积为定值2． 【点睛】本题解题的关键点是设直线MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，计算弦长||MN ，点P 到直线MN 的距离d ，计算1||2MNPSMN d =⋅，注意计算直线MN 的斜率不存在时，MNP △的面积. 3．（2021·河北保定市·高三二模）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、22:13y C x -=1F 2F P C 128PF PF +=P C PA与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由. 【答案】（1（2）是，且定值为.【分析】（1）求出点、的坐标，计算出点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得四边形的面积；（2）设点，求出点的坐标，计算出点到直线的距离，利用平行四边形的面积公式化简可得结果.【详解】（1）因为双曲线，由双曲线的定义可得，又因为，，， 因为，所以，，轴，点的横坐标为，所以，，，可得，即点，过点且与渐近线平行的直线的方程为，PB A B OAPB ()2222:10,0x y C a b ab'-=>>P 'C 'P 'C 'P A ''P B ''A 'B 'OA P B '''a b 12ab P B B OP OAPB ()00,P x y 'B 'B 'OP 'd 22:13y C x -=122PF PF -=128PF PF +=15PF ∴=23PF =124F F ==2222121PF F F PF +=2PF x ∴⊥∴P 2P x =22213P y -=0P y >3P y =()2,3P P y =)32y x -=-联立，解得，即点，直线的方程为，点到直线的距离为， 且，因此，四边形的面积为； （2）四边形的面积为定值，理由如下： 设点，双曲线的渐近线方程为，则直线的方程为， 联立，解得，即点， 直线的方程为，即， 点到直线的距离为，且因此，（定值）. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．（2020·安徽淮南市·高三二模）在平面直角坐标系中，动点到直线的距离与到定点的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于，两点，线段的中)32y y x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩132x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩312B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭OP 320x y -=B OP d ==OP =OAPB 22OAPBOBP S S OP d ==⋅=△OA P B '''12ab ()00,P x y '22221x ya b-=b y x a =±P B ''()00by y x x a-=--()00b y y x x a b y x a ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00002222x a x y b y b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩0000,2222x y a b B y x ba ⎛⎫++ ⎪⎝⎭'OP '0y y x x =000y x x y -=B 'OP 'd ==22==OP '=22OA P B OB P abSS OP d ''''''==⋅=△xOy P 4x =(1,0)F 2P E F E A B AB垂线与交于点，与直线交于点，设直线的方程为，请用含的式子表示，并探究是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）；存在； 【分析】（1）设，动点到直线的距离与到定点的距离之比为，列出方程求解即可；（2）设，联立，消去，得，利用韦达定理，结合弦长公式，求出，，然后求解即可. 【详解】（1）设，动点到直线的距离与到定点的距离之比为，化简整理得.动点的轨迹的方程为. （2）设，联立，消去x ，得，根据韦达定理可得：，， ，又，于是，令，解得存在，使. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决，属于难题.题型4 探究角度相关问题1．（2020·江苏省苏州高三月考）已知双曲线的方程22:21C x y -=．（1）求点(0,1)P 到双曲线C 上的点的AB C 4x =-D AB 1x my =+m AB CDm 35ABCD =m 22143x y +=AB CD =0m =(,)P x y P 4x =(1,0)F 2()()1122,,,A x y B x y 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x ()2234690m y my ++-=AB CD (,)P x y P 4x =(1,0)F 2∴2=22143x y +=∴P E 22143x y +=()()1122,,,A x y B x y 221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my ++-=122634m y y m +=-+122934y y m =-+∴()212212134m AB y y m +=-==+2243,3434m C m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()(22435434m CD m +=-=+∴ABCD =35AB CD ==0m =∴0m =35AB CD =距离的最小值；（2）已知直线:l y kx t =+与圆22:1M x y +=相切，①求k 和t 的关系②若l 与双曲线C 交于A 、B 两点，那么AOB ∠是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）（i ）221t k =+；（ii ）AOB ∠为定值90︒． 【分析】（1）设(,)Q a b 为双曲线上的点，代入双曲线的方程，结合两点的距离公式和二次函数的最值，可得最小值；（2）设直线l 的方程为y kx t =+，由直线和圆相切可得221t k =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立双曲线的方程，消去y 可得x 的二次方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算可得AOB ∠为定值．【详解】解：（1）设()00,Q x y 为双曲线上的点，则220021-=x y ，则||===PQ 当023y =时||PQ 最小，且为6，所以点(0,1)P 到从曲线C 上点的距离的最小值为6； （2）①设直线线l 的方程为y kx t =+，由直线l与圆相切，可得1==d ，即221t k =+，②设()()1122,,,A x y B x y ，联立得()22222221021y kx t k x ktx t x y =+⎧⇒----=⎨-=⎩， 则222121222221220,,222++-≠+==-=----kt t k k x x x x k k k， 所以()()()2212121212=++=+++y y kx t kx t k x x kt x x t 222222222222222222222--++--+===---k t k k t t k t t k k k k k， 所以2212122222022++⋅=+=-+=--k k OA OB x x y y k k，所以AOB ∠为定值90︒． 【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，以及直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和向量的坐标运算，考查方程思想和运算能力、推理能力．2．（2021·湖南高三三模）已知椭圆的右焦点为，离心率．（1）若为椭圆上一动点，证明到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出该定值；（2）设，过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴始终平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；定值；（2）存在；． 【分析】（1）根据两点距离公式，结合已知进行证明即可；（2）根据求出椭圆的方程，将直线方程与椭圆方程联立得到一元二次方程，根据一元二次方程的根与系数关系，结合直线的斜率公式进行求解即可.【详解】解：（1）设点，则．因为， 点到直线的距离，所以， 即到的距离与到直线的距离之比为定值．（2）因为，，所以，的方程为．假设存在这样的一点，设，直线，联立方程组，消去得，． 设，，则，．因为轴平分，所以直线与的斜率互为相反数， 即，2222:1(0)x y C a b a b+=>>(c,0)F 12e =P C P F P 2a x c=1c =(0,)c k l C M N y Q y MQN ∠Q 12(0,3)Q 1c =()00,P x y 2200221x y a b+=||PF ===0c a x a=-P 2a x c =20a d x c =-020||12c a x PF c a e a d a x c-====-P F P 2a x c=121c =12e =2a =b =C 22143x y +=Q (0,)Q t :1l y kx =+221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y ()2234880k x kx ++-=()296210k ∆=+>()11,M x y ()22,N x y 122834k x x k -+=+122834x x k-=+y MQN ∠QM QN 121211QM QN kx t kx t k k x x +-+-+=+()1212122(1)0kx x t x x x x +-+==所以， 因为与无关，所以．故在轴上存在一点，使得轴始终平分．【点睛】由轴平分，得到直线与的斜率互为相反数，这是解题的关键. 3．（2021·天津高三二模）已知抛物线：与离心率为的椭圆：的一个交点为，点到抛物线的焦点的距离为2.（∴）求与的方程；（∴）设为坐标原点，在第一象限内，椭圆上是否存在点，使过作的垂线交抛物线于点，直线交轴于点，且？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（∴），；（∴）不存在点. 【分析】（∴）由抛物线的定义可知到焦点的距离等于到准线的距离，代入准线方程可求出值，从而求出抛物线方程；代入抛物线方程可求出点坐标，代入椭圆方程，结合离心率联立可解出，从而求出椭圆方程；（∴）直线与轴交于点，因为，且有，可得出，，即为线段中点，则有，设直线的方程为：，求出直线的方程，分别与椭圆和抛物线联立，求出点坐标，代入求解即可.【详解】解：（∴）因为抛物线方程为，则准线方程为：，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以有，解得：，抛物线方程为：. 则或，且点在椭圆上，有，又椭圆离心率为，即，即，联立求解：，所以椭圆方程为. （∴）由题意，直线斜率存在且大于0，设直线的方程为：，因为，则有22882(1)3434k k t k k --⋅+-⋅++22168(1)8(3)03434k k t k t k k----===++8(3)0k t -=k 3t =y (0,3)Q y MQN ∠y MQN ∠QM QN 1C ()220y px p =>22C ()222211x y a b a b+=>>()1,P t Р1C 1C 2C O 2C A O OA 1C B AB y E OAE EOB ∠=∠A 21:4C y x =222:1992x y C +=A p P ,a b AB x D OAE EOB ∠=∠90OAB EOD ∠=∠=OAD DOA ∠=∠DOB DBO ∠=∠D AB A B y y =-OA ()0y kx k =>OB ()220y px p =>2px =-()1,P t 122p+=2p =24y x =()1,2P ()1,2P -P 22141a b +=22212c a =2212b a =22992a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩221992x y +=OA OA ()0y kx k =>OA OB ⊥直线的方程为：， 由得：，即； 由得：，即. 设直线与轴交于点，因为在第一象限内，满足，又，所以有，，所以，即为线段中点，所以，无解，所以不存在点的坐标使得.【点睛】（1）抛物线经常利用定义转化，将到焦点的距离转化为到准线的距离，减少变量求解；（2）直线与圆锥曲线的问题，经常将所求问题转化为与根有关的问题，此题中将转化为，联立解出点坐标，代入等式可判断是否存在.4．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆，是的下焦点，过点的直线交于、两点，（1）求的坐标和椭圆的焦距；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；（3）在轴上是否存在定点，使得恒成立若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），焦距为；（2），此时直线的方程为；（3）存在定点，使得恒成立．【分析】（1）利用椭圆方程求出，，然后求解，即可得到结果．（2）设直线，与椭圆方程联立．利用判别式以及韦达定理，结合弦长公式点到直线的距离公式，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可推出直线方程．（3）由（2）得，，推出直线系方程，然后求解定点坐标．验证当直线的斜率不存在时，直线也过定点，即可．【详解】（1）椭圆，可得，，所以，焦距为；OB xy k=-221992x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A ⎛⎫241y xy xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩244x k y k ⎧=⎨=-⎩()24,4B k k -AB x D OAE EOB ∠=∠90OAB EOD ∠=∠=OAD DOA ∠=∠DOB DBO ∠=∠AD OD BD ==D AB A B y y =-4k =314=<A OAE EOB ∠=∠OAE EOB ∠=∠A B y y =-22:1126y x Γ+=F Γ()0,6R l ΓM N F ΓMNF l y S RSM RSN π∠+∠=S (0,F 2c =MNF l 6y =+()0,2S RSM RSN π∠+∠=a b c :6l y kx =+122122kx x k -+=+122242x x k =+l l (0,2)S 22:1126y x Γ+=a =b =c =(0,F 2c =（2）由题意得直线的斜率存在，设直线，由得，所以，故， 设，，则，， 所以(或用） 点到直线的距离所以，令，则， 所以，当且仅当时取等号，所以，此时直线的方程为；（3）当直线的斜率存在时，由（2）得，， 因为，所以，即，所以， 所以，所以， 所以，因为，所以，所以， 当直线的斜率不存在时，直线也过定点，故轴上存在定点，使得恒成立．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，解决本题的关键点是将l :6l y kx =+2211266y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()22212240k x kx +++=()()2221449624840k k k ∆=-+=->240k ->()11,M x y ()22,N x y 122122kx x k -+=+122242x x k =+12MN x =-=====MN =F l d =)21622MNFS MN d k =⋅==+△0t =>))216666MNF tS t t t==++△6MNF S ≤=△k =MNF l 6y =+l 122122kx x k -+=+122242x x k =+RSM RSN π∠+∠=0MS NS k k +=12120y t y tx x --+=()()21120x y t x y t -+-=()()2112660x kx t x kx t +-++-=()()1212260kx x t x x +-+=()()2222412122620222k kkt t k k k -+-=-=+++0k ≠2t =()0,2S l l ()0,2S y ()0,2S RSM RSN π∠+∠=。
圆锥曲线中地探索性问题
专题 圆锥曲线中的探索性问题1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．2．(2016·)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值．高考必会题型题型一 定值、定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．变式训练1已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(5，－2)的动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为－1时，点M恰为AB的中点．(1)求抛物线的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．题型二定直线问题例2在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点．(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．变式训练2 椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C 过点(0,1)，且离心率e ＝223.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 的方程为x ＝4，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点，求F 1D →·F 2E →的值；(3)过点Q (1,0)任意作直线m (与x 轴不垂直)与椭圆C 交于M 、N 两点，与l 交于R 点，RM →＝xMQ →，RN →＝yNQ →，求证：4x ＋4y ＋5＝0.题型三 存在性问题例3 (1)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值围为________．(2)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2 (r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M ，N .①求椭圆C 的方程；②求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；③设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点．试问：是否存在使S △POS ·S △POR 最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练3 (2015·)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．高考题型精练1.(2015·)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P (1，32)在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值围；(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－53＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2＝43的两条切线，切点分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：13m 2＋1n 2为定值．3．(2016·)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B . ①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k 为定值；②求直线AB 的斜率的最小值．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．圆锥曲线中的探索性问题1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．2．(2016·)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值． 解 (1)由已知，得a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2,1)．(2)由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2－2m 3，1＋2m 3，|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.题型一 定值、定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵直线l 与y 轴相交于点M ，故斜率存在，又F 坐标为(1,0)，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，设l 交椭圆A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)，∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2，∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－2(4k 2－12)3＋4k 21－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝－83.∴当直线l 的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－83.点评 (1)定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)定值问题的求解策略在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值．变式训练1 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点M (5，－2)的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，当直线l 的斜率为－1时，点M 恰为AB 的中点．(1)求抛物线的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．解 (1)当直线l 的斜率为－1时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，即x ＝3－y ，代入y 2＝2px (p >0)得y 2＋2py －6p ＝0，y 1＋y 22＝－p ＝－2，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线l 的方程为x ＝m (y ＋2)＋5，代入y 2＝4x 得y 2－4my －8m －20＝0， 设点A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8m －20，假设存在点P (y 204，y 0)总是在以弦AB 为直径的圆上，则P A →·PB →＝(y 214－y 204)(y 224－y 204)＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0，当y 1＝y 0或y 2＝y 0时，等式显然成立；当y 1≠y 0或y 2≠y 0时，则有(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－16，即4my 0＋y 20－8m －20＝－16， (4m ＋y 0＋2)(y 0－2)＝0，解得y 0＝2，x 0＝1，所以存在点P (1,2)满足题意． 题型二 定直线问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点．(1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值； (2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．解 方法一 (1)依题意，点N 的坐标为(0，－p )，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋p ，与x 2＝2py 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p ，消去y 得x 2－2pkx －2p 2＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p 2.于是S △ABN ＝S △BCN ＋S △ACN ＝12·2p |x 1－x 2|＝p |x 1－x 2|＝p (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝p 4p 2k 2＋8p 2＝2p 2k 2＋2，∴当k ＝0时，(S △ABN )min ＝22p 2.(2)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝a ，AC 的中点为O ′，l 与以AC 为直径的圆相交于点P ，Q ，PQ 的中点为H ， 则O ′H ⊥PQ ，O ′点的坐标为(x 12，y 1＋p 2)．∵|O ′P |＝12|AC |＝12x 21＋(y 1－p )2＝12y 21＋p 2，|O ′H |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －y 1＋p 2＝12|2a －y 1－p |，∴|PH |2＝|O ′P |2－|O ′H |2＝14(y 21＋p 2)－14(2a －y 1－p )2＝(a －p 2)y 1＋a (p －a )，∴|PQ |2＝(2|PH |)2 ＝4[(a －p 2)y 1＋a (p －a )]．令a －p 2＝0，得a ＝p2，此时|PQ |＝p 为定值，故满足条件的直线l 存在， 其方程为y ＝p2，即抛物线的通径所在的直线．方法二 (1)前同方法一，再由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·4p 2k 2＋8p 2＝2p1＋k 2·k 2＋2， 又由点到直线的距离公式得d ＝2p 1＋k 2.从而S △ABN ＝12·d ·|AB |＝12·2p 1＋k 2·k 2＋2·2p1＋k 2＝2p 2k 2＋2.∴当k ＝0时，(S △ABN )min ＝22p 2.(2)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝a ，则以AC 为直径的圆的方程为 (x －0)(x －x 1)＋(y －p )(y －y 1)＝0，将直线方程y ＝a 代入得x 2－x 1x ＋(a －p )(a －y 1)＝0， 则Δ＝x 21－4(a －p )(a －y 1)＝4[(a －p 2)y 1＋a (p －a )]． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)， 则有|PQ |＝|x 3－x 4|＝4[(a －p2)y 1＋a (p －a )]＝2(a －p 2)y 1＋a (p －a ).令a －p 2＝0，得a ＝p2，此时|PQ |＝p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝p2，即抛物线的通径所在的直线．点评 (1)定直线由斜率、截距、定点等因素确定．(2)定直线为特殊直线x ＝x 0，y ＝y 0等． 变式训练2 椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C 过点(0,1)，且离心率e ＝223.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 的方程为x ＝4，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点，求F 1D →·F 2E →的值； (3)过点Q (1,0)任意作直线m (与x 轴不垂直)与椭圆C 交于M 、N 两点，与l 交于R 点，RM →＝xMQ →，RN →＝yNQ →，求证：4x ＋4y ＋5＝0. (1)解 由题意可得b ＝1，c a ＝223，∴a ＝3，椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1.(2)解 设P (x 0，y 0)，则直线P A 、PB 的方程分别为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，y ＝y 0x 0－3(x －3)， 将x ＝4分别代入可求得D ，E 两点的坐标分别为D (4，7y 0x 0＋3)，E (4，y 0x 0－3)．由(1)知，F 1(－22，0)，F 2(22，0)，∴F 1D →·F 2E →＝(4＋22，7y 0x 0＋3)·(4－22，y 0x 0－3)＝8＋7y 20x 20－9，又∵点P (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 209＋y 20＝1⇒y 20x 20－9＝－19，∴F 1D →·F 2E →＝659.(3)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，R (4，t )，由RM →＝xMQ →得(x 1－4，y 1－t )＝x (1－x 1，－y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4＋x 1＋x ，y 1＝t 1＋x(x ≠－1)，代入椭圆方程得(4＋x )2＋9t 2＝9(1＋x )2，①同理由RN →＝yNQ →得(4＋y )2＋9t 2＝9(1＋y )2，② ①－②消去t ，得x ＋y ＝－54，∴4x ＋4y ＋5＝0. 题型三 存在性问题例3 (1)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值围为________．解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋(y －a )2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1. (2)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2 (r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M ，N .①求椭圆C 的方程；②求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程； ③设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点．试问：是否存在使S △POS ·S △POR 最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 ①由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a ＝2，解之，得a ＝2，c ＝3，由c 2＝a 2－b 2，得b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.②点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0，由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214.由已知T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 214＝54⎝⎛⎭⎫x 1＋852－15. 由于－2<x <2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15，当x 1＝－85时，y 1＝35，故M ⎝⎛⎭⎫－85，35.又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325， 故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325.③假设存在满足条件的点P ，设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)， 得x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4，∴|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．∵S △POS ·S △POR ＝12|OS ||y P |·12|OR ||y P |＝14×4×y 2P ＝y 2P ，又P 为椭圆上的一点， ∴要使S △POS ·S △POR 最大，只要y 2P 最大，而y 2P 的最大值为1，故满足条件的P 点存在，其坐标为P (0,1)和P (0，－1)．点评 存在性问题求解的思路及策略(1)先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 变式训练3 (2015·)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，得点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )，又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD→＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.高考题型精练1.(2015·)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程； (2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2. 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P (1，32)在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值围；(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－53＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2＝43的两条切线，切点分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：13m 2＋1n2为定值．(1)解 由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，又因为点P (1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1，可解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)解 设直线l 方程为y ＝kx ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0，因为Δ＝12k 2－3>0，所以k 2>14，又x 1＋x 2＝－16k4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3，因为∠AOB 为锐角，所以OA →·OB →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0，所以(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0，即－12k 2＋164k 2＋3>0，所以k2<43，所以14<k 2<43， 解得－233<k <－12或12<k <233.(3)证明 由题意：C 1：x 24＋3y 24＝1，设点P (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，N (x 3，y 3)，因为M ，N 不在坐标轴上，所以k PM ＝－1k OM ＝－x 2y 2，直线PM 的方程为y －y 2＝－x 2y 2(x －x 2)，化简得x 2x ＋y 2y ＝43，①同理可得直线PN 的方程为x 3x ＋y 3y ＝43， ②把P 点的坐标分别代入①、②得⎩⎨⎧x 2x 1＋y 2y 1＝43，x 3x 1＋y 3y 1＝43，所以直线MN 的方程为x 1x ＋y 1y ＝43，令y ＝0，得m ＝43x 1，令x ＝0，得n ＝43y 1，所以x 1＝43m ，y 1＝43n ，又点P 在椭圆C 1上， 所以(43m )2＋3(43n )2＝4，即13m 2＋1n 2＝34为定值．3．(2016·)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k为定值；②求直线AB 的斜率的最小值．(1)解 设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4,2c ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)．由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )． 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k 为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由①知直线P A 的方程为y ＝kx ＋m .直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0，由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2(m 2－2)(2k 2＋1)x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k (m 2－2)(2k 2＋1)x 0＋m .同理x 2＝2(m 2－2)(18k 2＋1)x 0，y 2＝－6k (m 2－2)(18k 2＋1)x 0＋m .所以x 2－x 1＝2(m 2－2)(18k 2＋1)x 0－2(m 2－2)(2k 2＋1)x 0＝－32k 2(m 2－2)(18k 2＋1)(2k 2＋1)x 0，y 2－y 1＝－6k (m 2－2)(18k 2＋1)x 0＋m －2k (m 2－2)(2k 2＋1)x 0－m ＝－8k (6k 2＋1)(m 2－2)(18k 2＋1)(2k 2＋1)x 0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0， 所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0,2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 0＝4－8m 2，故此时2m －m4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，短轴一个端点B 到F 的距离等于焦距．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知得c ＝1，a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)S △BFMS △BFN ＝2等价于FM FN ＝2，当直线l 斜率不存在时，FMFN＝1，不符合题意，舍去；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去x 并整理得，(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－6k 3＋4k2， ①y 1y 2＝－9k 23＋4k2，② 由FMFN ＝2得y 1＝－2y 2， ③ 由①②③解得k ＝±52，因此存在直线l ：y ＝±52(x －1)使△BFM 与△BFN 的面积比值为2.。
剖析圆锥曲线中的探索性问题
ʏ南通大学附属中学张敏圆锥曲线中的探索性问题,一直是历年高考数学试卷考查的重点与难点之一㊂此类问题可以很好地考查圆锥曲线中的基础知识㊁基本技能等,同时还能重点考查考生的数学运算与逻辑推理素养,难度为中高档,具有很好的选拔性与区分度,备受命题者的青睐,常考常新,创新新颖㊂一、定值或定点的探索性问题圆锥曲线中的定值或定点的探索性问题,主要是涉及定值或定点的存在性问题,一般采用假设法,首先根据所解决的问题设出参数,然后假设定值成立或定点存在,再根据定值或定点问题的解决方法,列出参数所满足的等式关系,则可转化为方程或方程组的解的存在性问题㊂例1已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a> b>0)的左顶点和右顶点分别为A,B,O为坐标原点㊂以O B为对角线的正方形O P B Q 的顶点P,Q在椭圆C上㊂(1)求椭圆C的离心率㊂(2)当a=2时,过点(1,0)作与x轴不重合的直线l与椭圆C交于M,N两点(M在x轴上方),直线A M,B N的斜率分别为k1, k2㊂试判断:k1k2是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由㊂分析:(1)通过正方形的构建来确定参数之间的关系,进而利用离心率的变形公式加以分析与求解;(2)结合过定点的直线与椭圆相交于两点,进而研究这两点与对应的椭圆顶点的连线所对应的直线的斜率的比值为定值㊂解:(1)不妨设P点在第一象限,则以O B为对角线的正方形O P B Q的顶点坐标分别为B(a,0),P a2,a2,Q a2,-a2㊂因为P,Q在椭圆上,所以a24a2+a24b2=1,整理可得a2=3b2㊂所以椭圆的离心率e=ca=1-b2a2=63㊂(2)当a=2时,b=233,所以椭圆C的方程为x2+3y2=4㊂设直线l的方程为x=m y+1,mʂ0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y2<0<y1㊂联立x=m y+1,x2+3y2=4,消去x整理得(m2+ 3)y2+2m y-3=0,由根与系数的关系得y1+y2=-2mm2+3,y1y2=-3m2+3,所以y1+y2y1y2=2m3,即2m y1y2=3(y1+y2)㊂所以k1k2=y1x1+2y2x2-2=y1x1+2㊃x2-2y2=y1(m y2-1)(m y1+3)y2=m y1y2-y1m y1y2+3y2= 32(y1+y2)-y132(y1+y2)+3y2=12y1+32y232y1+92y2=13㊂综上所述,k1k2为定值13㊂点评:研究参数或代数式的定值问题,关键是设置对应的动直线或动曲线,结合直线与圆锥曲线的位置关系,借助函数与方程思6 2解题篇创新题追根溯源高考数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.想的转化,通过参数关系式的整体代换与变形,巧妙转化所求参数或代数式的定值问题,实现定值的探索性问题,这是解决此类问题最常用的技巧方法㊂需要特别注意的是:在利用整体代换法处理解析几何中的相关代数式时,由于变量比较多,运算量比较大,所以需要注意合理的整体化思维及变量代换㊂二、位置关系的探索性问题圆锥曲线中的位置关系的探索性问题,主要是涉及直线与圆锥曲线的位置关系的探索与开放问题,关键是利用代数法或几何法将直线和圆锥曲线的位置关系,转化为相关数量之间的关系,进而转化为数量关系的探究问题来分析与解决㊂例2在平面直角坐标系x O y中,O 为坐标原点,F(0,1),N(t,-1)(tɪR),已知әM F N是以F N为底边,且边MN平行于y轴的等腰三角形㊂(1)求动点M的轨迹C的方程㊂(2)已知直线l交x轴于点P,且与曲线C相切于点A,点B在曲线C上,且直线P B ʊy轴,点P关于点B的对称点为Q,试判断A,Q,O三点是否共线?并说明理由㊂分析:(1)根据题目条件,设出动点M的坐标,结合等腰三角形的性质确定MN= M F,由两点间的距离公式构建关系,加以变形转化来确定轨迹方程;(2)设出直线l的方程,与抛物线方程联立,利用直线与抛物线相切的条件结合判别式为零加以转化,确定参数之间的关系,得以确定点P的坐标,利用条件及中点坐标公式分别确定点B,Q的坐标,结合切线的几何意义得到点A的坐标,进而结合k A O=k O Q来判断三点共线问题㊂解:(1)设动点M(x,y),因为MNʊy 轴,所以MN与直线y=-1垂直,则MN= |y+1|㊂因为әM F N是以F N为底边的等腰三角形,所以MN=M F,即|y+1|= x2+(y-1)2,即x2+(y-1)2=(y+1)2,化简得x2=4y㊂因为当M为坐标原点时,M,F,N三点共线,无法构成三角形,所以动点M的轨迹C的方程为x2=4y(yʂ0)㊂(2)A,Q,O三点共线,理由如下:因为直线l与曲线C相切,所以直线l 的斜率必存在且不为零㊂设直线l的方程为y=k x+m,联立y=k x+m,x2=4y,消去y整理得x2-4k x-4m= 0,由Δ=16k2+16m=0,可得m=-k2,所以直线l的方程为y=k x-k2㊂令y=0,得x=k,则P(k,0)㊂因为点B在曲线C上,且直线P Bʊy 轴,所以B k,k24㊂结合点P关于点B的对称点为Q,可得Q k,k22㊂由x2-4k x+4k2=0,可得x=2k,所以A(2k,k2)㊂因为k A O=k22k=k2,k O Q=k22k=k2,所以k A O=k O Q㊂所以A,Q,O三点共线㊂点评:解决圆锥曲线中的位置关系的探索性问题,关键是回归问题本质,抓住所探究的位置关系中的特殊结构问题,根据题目条件分别确定相应点的坐标㊁直线或曲线的方程等,由几何直观特征转化为代数性质形式,结合代数与几何之间的关系,实现此类特殊结构问题的化归与转化,进而得以解决圆锥曲线中的位置关系的探索性问题㊂圆锥曲线中的探索性问题,由于没有明确的结论,需要通过探究后才能明确得到对应的结论,看似方向不明,自由度大,但具体的研究方向也有一定目的性,要有针对性地加以探索与研究㊂借助圆锥曲线中的探索性问题的分析与解决,在考查基本知识的同时,又能够很好地培养同学们的创新意识和应用能力㊂(责任编辑王福华)72解题篇创新题追根溯源高考数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
圆锥曲线中的探索性问题归纳通关
圆锥曲线中的探索性问题归纳通关一、椭圆中的探索性问题1．已知椭圆Ã：22143x y +=的右焦点为F ，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆Ã交于A(x 1， y 1)、B(x 2， y 2)两点(点A 在x 轴上方)，点A 关于坐标原点的对称点为P ，直线PA 、PB 分别交直线l ：x=4于M 、N 两点，记M 、N 两点的纵坐标分别为y M 、y N ．(1) 求直线PB 的斜率(用k 表示)；(2) 求点M 、N 的纵坐标y M 、y N (用x 1， y 1表示) ，并判断y My N 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且椭圆C 过点23,2-⎭．过点()1,0做两条相互垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆C 交于P 、Q 、M 、N 四点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若MS SN =， PT TQ =，探究：直线ST 是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．3．如图， ,A B 是椭圆22:12x C y +=长轴的两个端点， ,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直线,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k ．(1)求23k k ⋅的值；(2)若直线MN 过点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求证： 1316k k ⋅=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(),0t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．4．已知椭圆222:9x y m Ω+= (0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴， l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上， 1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点,3m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，射线OM 与Ω交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．5．已知椭圆G :22221(0)x y a b a b +=>>过点61,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和点()0,1B -． （Ⅰ）求椭圆G 的方程;（Ⅱ）设直线y x m =+与椭圆G 相交于不同的两点M ， N ，是否存在实数m ，使得BM BN =?若存在，求出实数m ;若不存在，请说明理由．6．已知点P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点， P 到椭圆C 的两个焦点12,F F 的距离之和为23，1222F F =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率;（Ⅱ）设直线2y kx =+交椭圆于,M N 两点，是否存在实数k ，使以MN 为直径的圆过点()1,0F -，若存在，求k 的值，若不存在，请说明理由．7．已知点()()0,1,0,1A B -， P 为椭圆:2212x y +=上异于点A ，B 的任意一点． （Ⅰ）求证：直线PA 、PB 的斜率之积为12--； （Ⅱ）是否存在过点()2,0Q -的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，使得BM BN =？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率22e =，且椭圆C 与圆224:3O x y +=的4个交点恰为一个正方形的4个顶点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A 为椭圆C 的下顶点， ,D E 为椭圆C 上与A 不重合的两点，若直线AD 与直线AE 的斜率之和为2a ，试判断是否存在定点G ，使得直线DE 恒过点G ，若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知椭圆22:14x C y +=，如图所示点112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y 为椭圆上任意三点．（Ⅰ）若0OA OB OP ++=，是否存在实数λ，使得代数式1212x x y y λ+为定值．若存在，求出实数λ和1212x x y y λ+的值；若不存在，说明理由．（Ⅱ）若0OA OB ⋅=，求三角形OAB 面积的最大值；（Ⅲ）满足（Ⅱ），且在三角形OAB 面积取得最大值的前提下，若线段,PA PB 与椭圆长轴和短轴交于点,E F （,E F 不是椭圆的顶点）．判断四边形ABFE 的面积是否为定值．若是，求出定值；若不是，说明理由．10．如图，已知圆(22:316E x y +=，点()3,0,F P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)已知,,A B C 是轨迹Γ的三个动点，点A 在一象限， B 与A 关于原点对称，且CA CB =，问ABC ∆的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>， 其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ， AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，且1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列．（1）求椭圆C 的方程；（2）记1GF D ∆的面积为1S ， OED ∆（O 为原点）的面积为2S ，试问：是否存在直线AB ，使得1212S S =？说明理由．12．椭圆中心为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且过M （2，2） ，6，1)两点， （I ）求椭圆的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由．13．在平面直角坐标系xoy 中，动点P 到两点()()3,0,3,0-的距离之和等于4，设动点P 的轨迹为曲线C ，直线L 过点E (-1，0)且与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的方程;(2) ΔAOB 的面积是否存在最大值?若存在，求此时ΔAOB 的面积，若不存在说明理由．14.在平面直角坐标平面中， ABC ∆的两个顶点为()()0,1,0,1B C -，平面内两点P 、Q 同时满足：①PA PB PC 0++=；②QA QB QC ==；③PQ //BC ．（1）求顶点A 的轨迹E 的方程；（2）过点)2,0F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线12,l l 与点A 的轨迹E 相交弦分别为1122,A B A B ，设弦1122,A B A B 的中点分别为,M N ．①求四边形1212A A B B 的面积S 的最小值；②试问：直线MN 是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由．15．如图，直线l 与圆 224:5O x y +=且与椭圆22x :14C y +=相交于,A B 两点．(1)若直线l 恰好经过椭圆的左顶点，求弦长AB ，(2)设直线,OA OB 的斜率分别为12k k ，判断12k k ⋅是否为定值，并说明理由(3)求OAB ∆，面积的最小值．16．如图所示，椭圆E 的中心为坐标原点，焦点12,F F 在x 轴上，且1F 在抛物线24y x =的准线上，点P 是椭圆E 上的一个动点，12PF F 面积的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过焦点12,F F 作两条平行直线分别交椭圆E 于,,,A B C D 四个点．①试判断四边形ABCD 能否是菱形，并说明理由；②求四边形ABCD 面积的最大值．17．已知点C 为圆(22316x y +=， )3,0F ， P 是圆上的动点，线段FP 的垂直平分线交CP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹D 的方程；（2）设()2,0A ， ()0,1B ，过点A 的直线1l 与曲线D 交于点M （异于点A ），过点B 的直线2l 与曲线D 交于点N ，直线1l 与2l 倾斜角互补．①直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；②设AMN ∆与BMN ∆的面积之和为S ，求S 的取值范围． 二、双曲线中的探索性问题1．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，右焦点F 到它的一条渐近线的距离为3 ． （1）求双曲线的标准方程；（2）是否存在过点F 且与双曲线的右支角不同的,P Q 两点的直线l ，当点满足()12OM OP OQ =+时，使得点M 在直线2x =-上的射影点N 满足0PN QN ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．2．平面内一动点P 与两定点()()1,0,1,0-斜率之积为2．（1）求动点P 的曲线C 的方程；（2）过点()1,1M 能否作一条直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且M 为线段AB 中点，若能，求出l 的方程，不能请说明理由．三、抛物线中的探索性问题1．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0，c ＞0）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且以AB 为直径的圆经过点C ．（1）若点A （﹣2，0），点B （8，0），求ac 的值；（2）若点A （x 1，0），B （x 2，0），试探索ac 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．（3）若点D 是圆与抛物线的交点（D 与 A 、B 、C 不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P ，使得以P 、B 、C 为顶点的三角形与△CBD 相似？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．2．已知抛物线2:4C y x =，点M 与抛物线C 的焦点F 关于原点对称，过点M 且斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于不同两点,A B ，线段AB 的中点为P ，直线PF 与抛物线C 交于两点,E D ．（Ⅰ）判断是否存在实数k 使得四边形AEBD 为平行四边形．若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅱ）求22PFPM 的取值范围．3．直线l 与抛物线22y x =相交于,A B （异于坐标原点）两点．（1）若直线l 的方程为2y x =-，求证： OA OB ⊥；（2）若OA OB ⊥，则直线l 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；如不是，请说明理由．4．已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上， 1C 的中心和2C 的顶点均为原点O ，且椭圆1C 经过点22,2A ⎭， ()2,0B -，抛物线2C 过点()1,2D -． （Ⅰ）求1C 、2C 的标准方程;（Ⅱ）请问是否存在直线l 满足条件:①过2C 的焦点F ;②与1C 交不同两点M 、N 且满足OM ON ⊥．若存在，求出直线l 的方程;若不存在，说明理由．5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，点()2,1A ． （1）求抛物线的焦点坐标和准线l 方程．（2）问在抛物线的准线上是否存在点B ，使线段AB 的中点到准线l 的距离正好等于到焦点F 的距离？如果存在，求出所有满足条件的点B ，如果不存在说明理由．6．已知直线1l 是抛物线2:2(0)C x py p =>的准线，直线2:3460l x y --=，且2l 与抛物线C 没有公共点，动点P 在抛物线C 上，点P 到直线1l 和2l 的距离之和的最小值等于2．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）点M 在直线1l 上运动，过点M 做抛物线C 的两条切线，切点分别为12,P P ，在平面内是否存在定点N ，使得12MN PP ⊥恒成立？若存在，请求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．7．已知动圆M 过定点()0,P m (0)m >，且与定直线1:l y m =-相切，动圆圆心M 的轨迹方程为C ，直线2l 过点P 交曲线C 于,A B 两点．（1）若2l 交x 轴于点S ，求SPSPSA SB +的取值范围；（2）若2l 的倾斜角为030，在1l 上是否存在点E 使ABE ∆为正三角形？若能，求点E 的坐标；若不能，说明理由．8．在直角坐标系xOy 中，已知抛物线C :24y x =，抛物线C 的准线与x 交于点P ．（1）过P 作曲线C 的切线，设切点为1Q ， 2Q ，证明：以12Q Q 为直径的圆经过点P ；（2）过点()1,0作互相垂直的两条直线1l 、2l ， 1l 与曲线C 交于A 、B 两点， 2l 与曲线C 交于E 、F 两点，线段AB ， EF 的中点分别为M 、N ，试讨论直线MN 是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．9．已知M 是抛物线2:2C y ax =（a 为常数）上一点， F 是抛物线的焦点， MF x ⊥轴且2FM =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 的焦点在x 轴正半轴，点P 在y 轴正半轴，直线PF 交抛物线C 于,A B 两点，其中A 在PF 线段上，试问是否存在点P 使得·PA PB FA FB的值等于4？若是存在，求出该点P ；若不存在，请说明理由． 10．已知点()0,2F ，过点()0,2P -且与y 轴垂直的直线为1l ， 2l x ⊥轴，交1l 于点N ，直线l 垂直平分FN ，交2l 于点M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，且2211x x m-=+（m 为常数），直线l '与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问ABC ∆的面积是否为定值．若为定值，求出ABC ∆的面积；若不是定值，说明理由．11．已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为1x =-，直线l 与抛物线相交于不同的A ， B 两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线l 过抛物线的焦点，求OA OB ⋅的值；（3）如果4OA OB ⋅=-，直线l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为C ．（Ⅰ）求C 得方程；（Ⅱ）设点A 在曲线C 上， x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AF FB =．平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 13．已知抛物线2:2(0)C y px p =>与直线240x y -+=相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，使得2211AM BM +为定值．如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．14．已知抛物线2:2(0)C y px p =>在第一象限内的点()2,P t 到焦点F 的距离为52． （1）若1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点M ， P 的直线1l 与抛物线相交于另一点Q ，求QF PF 的值； （2）若直线2l 与抛物线C 相交于,A B 两点，与圆()22:1M x a y -+=相交于,D E 两点， O 为坐标原点， OA OB ⊥，试问：是否存在实数a ，使得DE 的长为定值？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．15．已知动点(),P x y 到点()1,0F 的距离比到直线3x =- 的距离小2，（1）求动点(),P x y 的轨迹方程；（2）若直线l 过点(),0(0)M m m >且与的轨迹交于A B 、两点，则是否存在常数使得5OA OB ⋅=恒成立？若存在，求出常数，不存在，说明理由．16．如图所示，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0），其焦点为F ，C 上的一点M （4，m ）满足|MF|=4．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点E （﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA ，EB 分别与抛物线C 和圆F ：x 2+（y ﹣2）2=4相切于点A ，B ，试判断直线AB 是否经过焦点F ．17．已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，斜率为2的直线交抛物线于()()112212,,,()A x y B x y x x <两点，且6AB =．（1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由． 18．如图，已知抛物线1:C 22(0)y px p =>，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，且当倾斜角为60的直线l 经过抛物线1C 的焦点F 时，有13AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知圆()2221:116C x y -+=，是否存在倾斜角不为90的直线l ，使得线段AB 被圆2C 截成三等分？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．19．已知抛物线C ： 24y x =，定点(),0D m （常数0m >）的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点． （1）若点E 的坐标为(),0m -，求证： AED BED ∠∠=（2）若4m =，以AB 为直径的圆的位置是否恒过一定点？若存在，求出这个定点，若不存在，请说明理由．20．已知椭圆E :22221x y a b += (0a b >>)的离心率为23， 1F ， 2F 分别是它的左、右焦点，且存在直线l ，使1F ， 2F 关于l 的对称点恰好是圆C ： 22242540x y mx my m +--+-=（m R ∈， 0m ≠）的一条直径的两个端点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A 、B 两点，射线1F A 、1F B 与椭圆E 分别相交于M 、N ．试探究：是否存在数集D ，当且仅当p D ∈时，总存在m ，使点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D ；若不存在，请说明理由．21．已知直线()y k x a =-与抛物线2:2C y px =切于点()2,2A ，直线l '经过点(),0B a 且垂直于x 轴． （1）求a 值；（2）设不经过点,A B 的动直线:l x my b =+交抛物线C 于点,M N ，交直线l '于点P ，若直线,,AM AP AN 的斜率依次成等差数列，试问：直线l 是否过定点？若是请求出该定点坐标，若不是，请说明理由．22．已知过点的直线与抛物线相交于、两点．（Ⅰ）求直线倾斜角的取值范围；（Ⅱ）是否存在直线，使、两点都在以为圆心的圆上，若存在，求出此时直线及圆的方程，若不存在，请说明理由．23．已知抛物线的方程为C ： 24x y =，过点()0,2Q 的一条直线与抛物线C 交于,A B 两点，若抛物线在,A B 两点的切线交于点P ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设直线PQ 的斜率存在，取为PQ k ，取直线AB 的斜率为AB k ，请验证PQ AB k k 是否为定值？若是，计算出该值；若不是，请说明理由．24．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线():0l y kx a a =+>与抛物线C 交于A ， B 两点． （1）若直线l 过焦点F ，且与圆()2211x y +-=交于D ， E （其中A ， D 在y 轴同侧）两点，求证： AD BE ⋅是定值；（2）设抛物线C 在点A 和点B 处的切线交于点P ，试问在y 轴上是否存在点Q ，使得四边形APBQ 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率和点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知抛物线E 的顶点为原点O ，焦点为圆22430F x y x +-+=：的圆心F ．经过点F 的直线l 交抛物线E 于,A D 两点，交圆F 于,B C 两点， ,A B 在第一象限， ,C D 在第四象限．（1）求抛物线E 的方程；（2）是否存在直线l ，使2BC 是AB 与CD 的等差中项？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【总结】（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．（2）定点的探索与证明问题：①探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点；②从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关．。
圆锥曲线的热点问题—定点、定值、探索性问题
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1.定点问题 圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个 难点.解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的， 定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变量表示问 题中的直线方程、数量积、比例关系等，而这些直线方程、数量积、比例关 系中不受变量影响的某个点，就是要求的定点.求解这类难点问题的关键就是 引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式恒成立、数 式变换等寻找不受参数影响的量.
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思维升华
圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变 化的量与参数何时没有关系，找到定点. (2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与 变量无关.
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类型二 定值问题
例 2 已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 →→
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代入椭圆方程整理得 λ2(x21＋3y21)＋μ2(x22＋3y22)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2. 又∵x21＋3y21＝3b2，x22＋3y22＝3b2， x1x2＋3y1y2＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2＝32c2－92c2＋3c2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故 λ2＋μ2 为定值.
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又∵O→N∥a，∴13＝ba22，∴a2＝3b2， 故椭圆方程为 x2＋3y2＝3b2. 又过右焦点的直线 AB 的方程为 y＝x－c. 联立yx＝2＋x3－y2c＝，3b2， 得 4x2－6cx＋3c2－3b2＝0. ∴x1＋x2＝32c，x1x2＝3c2－4 3b2＝38c2. 设 M(x，y)，则由O→M＝λO→A＋μO→B可得xy＝＝λλyx11＋＋μμyx22，，
2020年高考圆锥曲线综合-定点、定值、探索性问题
专题 圆锥曲线综合应用（3）- 定点、定值、探索性问题一、 高考题型特点：定点、定值、探索性问题是高考圆锥曲线大题中的常考题型，难度中等偏上。
二、重难点：1. 定点的探索与证明问题：(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b ， k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况． 2. 解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值．3. 存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)． (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论． 三、易错注意点：本部分对学生的能力要求较高，解题中主要数形结合及各种方法的综合应用，同时对数学推理运算能力有很高的要求。
解决定值、定点问题，不要忘记特值法。
四、典型例题：例1.（2019北京卷）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程；(II) 设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点. 【解析】（I ）由抛物线2:2C x py =-经过点()2,1-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （II ）抛物线C 的焦点为()0,1-，设直线l 的方程为()10y kx k =-≠.由241x y y kx ⎧=-⎨=-⎩，得2440x kx +-=. 设()()1122,,,,Mx y N x y 则124x x=-.直线OM 的方程为11y y x x =，令1y =-，得点A 的横坐标为11A x x y =- 同理可得点B 的横坐标22B x x y =-. 设点()0,D n ，则()()2212122212121144x x x x DA DB n n y y x x ⋅=++=++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r ()()221216141n n x x =++=-++. 令0,DA DB ⋅=uu u r uu u r 即()2410n -++=，得1n =或3n =-.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点()()0,10,-3和．例2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP =u u u r u u u r错误!未找到引用源。
例析圆锥曲线中的证明与探索性问题
解题篇经典题突破方法高考数学2021年4月■浙江省吴兴高级中学刘晓东■浙江省湖州市菱湖中学吴凯圆锥曲线中的证明和探索性问题是高考中解答题的常考题型，难度比较大，这类问题往往是以解析几何知识为载体，在函数、不等式、向量等知识交汇处设计问题，涉及的知识点较多，对考生处理综合问题能力的要求也较高，是近几年高考中的热点和难点。
证明题的设计通常与位置、角度、长度、面积等相关，在高考题中，证明的方法通常以直接证明为主，即从题目已知条件出发来验证结论的正确性，题型也主要包括三点共线问题、长度问题、角度问题、直线过定点问题等。
而探索性问题则是在同等条件下，开放式设问，通常以存在或不存在来提问，而非直接给出需要证明的结论，以问题的不确定性来制造悬念，要求考生能独立判断其结论，并给出相应的证明过程。
一、圆锥曲线中的证明问题侧/（2020年北京市西城区二模）已知椭圆E：£+£=l（a>6>0）经过点a b/3C（0,l）,离心率为分，o为坐标原点。
（1）求椭圆E的标准方程；（2）设分别为椭圆E的左顶点和右顶点，D为椭圆E上一点（不在坐标轴上），直线CD交工轴于点P,Q为直线AD 上一点，且3?•OQ=4,求证：C,B,Q三点共线。
分析：（1）将点C的坐标代入椭圆E的方程,可求出b的值，再根据椭圆E的离心率可列出方程组解得a和c的值，进一步写出椭圆E的标准方程；（2）设D（工。
，久）（工2。
工0）,得4—云=4样，写出直线CD的方程，解得点P 的坐标，再由OP•OQ=4,可得点Q的横坐标，代入直线AD的方程可求得点Q的坐标，最后验证k BQ=k BC，即可证得结论成立。
解将点c的坐标代入椭圆E的方程可得b=1,由题意可得ya=2,c=◎，故椭圆（2）如图1,易知椭圆E的左顶点和右顶点分别为A（—2,0）,B（2,0）,设D（s,y0）Ec/T221解得a——c=1,上＞0,2的标准方程为脊+图1■JC匸二L5%工0),则亍'+3^=1,即4—Xo=4^0o 直线CD的斜率为k CD乎则直线Vn—1CD的方程为丿=二厂’+1，令）=。
专题14 圆锥曲线中的探索性问题【解析版】
第三章 解析几何专题14 圆锥曲线中的探索性问题【压轴综述】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等. 1. 探究性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别． 2.解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立.（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. （3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解.【压轴典例】例1.（2019·湖北高三开学考试（文））设O 为坐标原点，动点M 在椭圆E :22142x y +=上，过点M 作x轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u vu u u v.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设()1,0A ，在x 轴上是否存在一定点B ，使2BP AP =总成立？若存在，求出B 点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) 224x y +=； (2) 存在点()4,0B 满足条件.【解析】（1）设(),P x y ，()11,M x y ，则()1,0N xM Q 在椭圆E 上 2211142x y ∴+=…① 由2NP NM =u u u v u u u u v 知：112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，即：1122x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入①得：224x y +=即点P 的轨迹方程为：224x y +=…② （2）假设存在点(),0B m 满足条件，设(),P x y 由2BP AP =得：()()222221x m y x y -+=-+即：()22233284x y m x m ++-=-此方程与(1)中②表示同一方程，故：2280412m m -=⎧⎨-=⎩，解得：4m =∴存在点()4,0B 满足条件例2.（江西省新余市第四中学2019届10月月考）已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴.（1）求的方程；（2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否构成等差数列？请说明理由.【答案】(1) ；(2) 直线的斜率成等差数列【解析】(Ⅰ) 因为点在上，且轴，所以．设椭圆左焦点为，则，．中，，所以．所以，．又，故椭圆的方程为.(Ⅱ) 由题意可设直线的方程为，令得，的坐标为．由得，．设，，则有，…①．记直线的斜率分别为，从而，，．因为直线的方程为，所以，所以…②．①代入②得，又，所以，故直线的斜率成等差数列例3.（广东省华南师范大学附属中学2019届高三上第二次月考）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、．试探究与的关系，并证明你的结论．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，因为，所以．故可设椭圆的方程为：，因为点在椭圆上，所以将其代入椭圆的方程得．所以椭圆的方程为．（2）依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：，即，，为与椭圆的两个交点．将代入方程化简得：．所以，．所以．又由，解得，，即点的坐标为，所以．因此，与的关系为：.例4.（2019·云南师大附中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，短袖长为4.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）设直线l 过点（2,0）且与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，直线6x =与x 轴交于点D ,E 是直线6x =上异于D 的任意一点，当0AE DE ⋅=u u u r u u u r时，直线BE 是否恒过x 轴上的定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【答案】（1）221124x y +=（2）直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0)，详见解析【解析】（1）由题意得2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩.解得2a b ==，所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=（2）直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0) 证明如下：因为0AE DE ⋅=u u u r u u u r.所以AE DE ⊥，因为直线l 过点(2,0)①当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =，不妨设2,,2,,.33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭则6,3E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭此时，直线BE的方程为(4)3y x =-， 所以直线BE 过定点(4,0)；②直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，所以()16,E y .直线2112:(6)6y y BE y y x x --=--，令0y =，得()122166y x x y y --=-- 即1212166y x y x y y -+=+-，又222x my =+所以()12121266y my y x y y -++=+-即证()121212664y my y y y -+++=-即证()()121220*y y my y +-=联立2211242x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消x 得()223480m y my ++-=，因为点(2,0)在C 内，所以直线l 与C 恒有两个交点，由韦达定理得，12122248,33my y y y m m +=-=-++代入（*）中得()121222882033m my y my y m m -+-=--=++ 所以直线BE 过定点(4,0)，综上所述，直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0).例5.（2019·湖南衡阳市八中高三月考（理））已知椭圆22:14x C y +=的左右顶点为A ，B ，点P ，Q 为椭圆上异于A ，B 的两点，直线AP 与直线BQ 的斜率分别记为12,k k ，且214k k =． （Ⅰ）求证：BP BQ ⊥；（Ⅱ）设APQ ∆，BPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，判断12S S 是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）12S S 为定值4，详见解析【解析】（Ⅰ）设()11,P x y ，∵(2,0),(2,0)A B -， 则21112111224AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅=+--， 又221114x y +=，则221114x y =-，代入上式，得14AP BP k k ⋅=-,由已知：14AP BQ k k =，则1144AP BP BQ BP k k k k ⋅=-=⋅， 从而1BO BP k k ⋅=-，即BP BQ ⊥． （Ⅱ）设直线PQ 的方程为：y kx b =+，联立得：22222(14)84(1)044y kx bk x kbx b x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩， 由22041k b >⇒+>V ，由韦达定理：122814kb x x k +=-+，21224(1)14b x x k -=+，由（1）BP BQ ⊥，则0BP BQ ⋅=u u u r u u u r，则()()()()()()12121212220220x x y y x x kx b kx b --+=⇒--+++=， 即：221212(1)(2)()40k x x kb x x b ++-+++=， 所以：22121650k kb b ++=， 得：12k b =-或56k b =-， 当12k b =-时，直线1:(1)2PQ y b x =-+，不合题意， 当56k b =-时，直线5:(1)6PQ y b x =-+，过定点6(,0)5M ，又1211||||2S AM y y =-，2211||2||S MB y y =-，则126(2)||546||25S AM S MB --===-，为定值．例6.（2019·天津高三开学考试）已知椭圆()222210y x a b a b +=>>，以椭圆的上焦点F 为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线40x y +-=截得的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线1l ，2l ，且分别交椭圆于M ，N 两点（M ，N 不是椭圆的顶点），探究直线MN 是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.【答案】(1) 22184y x += (2) MN 恒过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，见解析【解析】（1）∵2e =，∴b c ==， 设圆F 的方程为()222x y c c +-=，圆心为()0,c ，半径为c ，设d 为圆心到直线40x y +-=的距离，则d ，∵2222d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，∴()22422c c -+=，即28200c c +-=，()()2100c c -+=，∵0c >，∴2c =.所以椭圆的方程为22184y x +=.（2）设1l 的方程为2x ty =-，2l 的方程为12x y t=--，联立222802y x x ty ⎧+-=⎨=-⎩，可得()222280y ty +--=，整理()222180t y ty +-=，设()11,M x y ，∵M 不是椭圆的顶点，∴12821ty t =+， 代入2x ty =-，得2124221t x t -=+，222428,2121t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 联立 2228012y x x y t ⎧+-=⎪⎨=--⎪⎩，设()22,N x y ， ∴222882121t t y t t --==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 带入12x y t =--，得2222214242=2121t t x t t ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 222428,22t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，①若MN 斜率存在，()()()()()()2222222222228882821212=42424224221212MNt t t t t t t t k t t t t t t t t --+++++=---+--+-++ 34224243=881t t tt t +=--， MN l ：22228342=212t t t y x t t t ⎛⎫---- ⎪+-+⎝⎭22222334281122t t t ty x t t t t -=-⋅---++ ()()()()22222342813112t t t t t y x t t t -+-=---+()()3222324112t t t y x t t t +=---+ 223211t ty x t t =--- 23213t y x t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭恒过2,03⎛⎫⎪⎝⎭. ②若MN 斜率不存在，1l 的方程为2x y =-，2l 的方程为2x y =--，28,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，28,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时MN l ：23x =，亦过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上，直线MN 恒过2,03⎛⎫⎪⎝⎭. 例7. （2018·上海高考真题）设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()20F ，，直线l ：x t =，曲线Γ：()2800y x x t y =≤≤≥，．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP ，求AQP △的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）2BF t =+；（2）1723S ==；（3）见解析. 【解析】（1）方法一：由题意可知：设()B t ，则2BF t ==+，∴2BF t =+；方法二：由题意可知：设()B t ， 由抛物线的性质可知：22pBF t t =+=+，∴2BF t =+； （2）()20F ，，2FQ =，3t =，则1FA =，∴AQ =(3Q ，设OQ 的中点D ，32D ⎛ ⎝⎭，02322QFk ==-，则直线PF 方程：)2y x =-，联立)228y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得：2320120x x -+=， 解得：23x =，6x =（舍去），∴AQP V 的面积1723S ==（3）存在，设28y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，28m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则2281628PF y y k y y ==--，2168FQ y k y -=， 直线QF 方程为()21628y y x y -=-，∴()22164838284Q y y y y y --=-=，248384y Q y ，⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据FP FQ FE +=u u u v u u u v u u u v ，则2248684y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，，∴222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2165y =， ∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且2455P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，．例8. （2014·山东高考真题（理））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（I ）24y x =.（II ）（ⅰ）直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）ABE ∆的面积的最小值为16. 【解析】 （I ）由题意知(,0)2PF 设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4p t+， 因为FA FD =，由抛物线的定义知：322p p t +=-， 解得3t p =+或3t =-（舍去）.由234p t+=，解得2p =. 所以抛物线C 的方程为24y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>， 因为FA FD =，则011D x x -=+， 由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +， 故直线AB 的斜率为02AB y k =-， 因为直线1l 和直线AB 平行， 设直线1l 的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880b y y y y +-=， 由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =-. 设(,)E E E x y ，则04E y y =-，204E x y =. 当204y ≠时，0000220002044444E ABE y y y y y k y x x y y +-==-=---， 可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y -=--， 由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =--， 直线AE 恒过点(1,0)F .当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，所以直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ， 所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++， 设直线AE 的方程为+1x my =， 因为点00(,)A x y 在直线AE 上， 故001x m y -=， 设11(,)B x y ，直线AB 的方程为000()2y y y x x -=--， 由于00y ≠， 可得0022x y x y =-++， 代入抛物线方程得2008840y y x y +--=， 所以0108y y y +=-， 可求得1008y y y =--，10044x x x =++， 所以点B 到直线AE 的距离为d ===.则ABE ∆的面积0000114()(2)162S x x x x =⨯+++≥， 当且仅当001x x =即01x =时等号成立. 所以ABE ∆的面积的最小值为16.【压轴训练】1．（2018届江西省重点中学协作体第二次联考）已知椭圆：的离心率为，短轴为.点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）.（2）答案见解析.【解析】 （1），所以从而的方程为. （2）当不为轴时，设：，、.联立与的方程可得，所以，，.因为为定值，所以，解得.此时定值为.当为轴时，，..综上，存在使得为定值.2. (2018届山东省威海市二模)已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，面积的最大值为.（1）求椭圆的标准方程； （2）设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断是否为定值，并说明理由. 【答案】（1）（2）3【解析】 （1）由题意可知，解得所以椭圆的方程为（2）由（1）可知， 因为过与圆相切的直线分别切于两点，所以，所以，设点，则，圆的半径为则直线的方程为的方程设为，则化简得由，得所以点,所以点在椭圆上， ∴，即.3．（2019·云南师大附中高三月考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>6，短轴长为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知不经过点P （0，2）的直线l ：()0,x my n m n R =+≠∈交椭圆C 于A ，B 两点，M 在AB 上满足()12PM PA PB =+u u u u r u u u r u u u r且2AB PM =，问直线是否过定点，若过求定点坐标；若不过，请说明理由.【答案】（1）221124x y +=（2）直线l 恒过定点(01)-，，详见解析【解析】（1）由题意得22232c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，，解得a =2b =，所以椭圆C 的标准方程为221124x y +=．（2）设11()A x y ，，22()B x y ，，又(02)P ，，所以11(2)PA x y =-u u u r ，，22(2)PB x y =-u u u r，，因为M 在AB 上满足1()2PM PA PB =+u u u u r u u u r u u u r，所以M 为AB 的中点． 又||2||AB PM =，即||||||MA MB MP ==， 所以线段AB 为PAB △外接圆的直径， 即0PA PB =u u u r u u u rg ，所以1212(2)(2)0x x y y +--=． 又A B ，在直线l 上，所以1212()()(2)(2)0my n my n y y +++--=， 即221212(1)(2)()40m y y mn y y n ++-+++=，()*联立221124x y x my n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，消x 得222(3)2120m y mny n +++-=， 因为直线l 与椭圆C 交于不同的A B ，两点，所以222244(3)(12)0m n m n ∆=-+->， 即22412n m <+，由韦达定理得122212223123mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，，代入（*）中，得2220n mn m +-=， 解得2n m =-或n m =，所以直线l ：2(2)x my m m y =-=-或(1)x my m m y =+=+， 所以直线l 过定点(01)-，或(02)，（舍去）， 综上所述：直线l 恒过定点(01)-，． 4．(2018届上海市徐汇区二模)如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.(1)求的值； (2)若直线过点，求证：；(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）落在定直线上【解析】 (1)设，由于，所以，因为在椭圆上，于是，即，所以.(2)设直线，，由得，于是，．(3)由于直线与轴的交点为，于是，联立直线与椭圆的方程，可得，于是因为直线，直线，两式相除，可知，于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上．5.(2018届辽宁省部分重点中学协作体模拟)已知是椭圆上的一点，是该椭圆的左右焦点，且.（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为，且.试探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.【答案】(1) 椭圆;(2)见解析.【解析】 （1）由题意，，根据椭圆定义，所以所以，因此，椭圆.（用待定系数法，列方程组求解同样给分） （2）设直线，，由 消去y 得因为，所以即，解得所以，6．（2017·湖南高考模拟（理））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EA EB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2212x y +=；（2）定点为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意知，222b c a b c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得11b a c =⎧⎪=⎨⎪=⎩则椭圆C 的方程是2212x y +=（2）①当直线的斜率存在时，设直线()()10y k x k =-≠联立()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k +-+-=∆=+>所以2222422,1212A B A B k k x x x x k k-+==++ 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，使得EA EB ⋅u u u v u u u v为定值.所以()()()20000,,A A B B A B A B A B EA EB x x y x x y x x x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++u u u v u u u v()()220011A B A B x x x x k x x =-++--()()()2222001A B AB k x x x k xx x k =+-++++()()2220002241212x x k x k -++-=+要使EA EB ⋅u u u v u u u v 为定值，则EA EB ⋅u u u v u u u v的值与k 无关， 所以()2200024122x x x -+=- 解得054x =， 此时716EA EB ⋅=-u u u v u u u v 为定值，定点为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭②当直线的斜率不存在时，1,,1,22A B ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，716EA EB ⋅=-u u u v u u u v 也成立 所以，综上所述，在x 轴上存在定点5,04E ⎛⎫⎪⎝⎭，使得EA EB ⋅u u u v u u u v 为定值716-7．（2016·湖南高三月考（文））已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）224x y +=；（2）存在，且(4,0)N ． 【解析】(1)设圆心C(a ，0)52a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则410205a a +=⇒=或a ＝－5(舍)，所以圆C ：x 2＋y 2＝4. (2)当直线AB⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k(x －1)，N(t ，0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由()2241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=-，若x 轴平分∠ANB，则AN BN k k =-⇒()()121212121100k x k x y y x t x t x t x t--+=⇒+=----⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒()()2222242120411k k t t t k k -+-+=⇒=++，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．8.(河北省衡水中学2019届高三上期中)已知椭圆C ：的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设直线经过点且与交于不同的两点，试问：在x 轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，求出点的坐标及定值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ； （2）Q （2，0），1 .【解析】 （1）依题意，，P （2，-1），所以=（-a-2,1）·(a -2,1)=5-a 2,由=1，a>0,得a=2,因为e =，所以c=，b 2=a 2-c 2=1，结果为，进而得到最终结果.故椭圆C的方程为.（2）假设存在满足条件的点Q（t，0），当直线l与x轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，因此直线l的斜率k存在，设l：y+1=k（x-2），由消y，得（1+4k2）x2-（16k2+8k）x+16k2+16k=0，△=-64k>0,所以k<0,设，则x1+x2=,x1x2=,因为===，所以要使对任意满足条件的k，为定值，则只有t=2，此时=1.故在x轴上存在点Q（2，0）使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值1.9．(陕西省汉中市汉中中学2019届第三次月考)已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与交于、两点，线段的中点为．（1）证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求的斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）见解析；（2）四边形能为平行四边形，当的斜率为或时，四边形为平行四边形．【解析】（1）设直线，，，，将代入，得，故，，于是直线的斜率，即，所是命题得证．（2）四边形能为平行四边形．∵直线过点，∴不过原点且与C有两个交点的充要条件是且．由（1）得的方程为．设点的横坐标为．由，得，即．将点的坐标代入直线的方程得，因此，四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分， 即．于是．解得，．∵，，，2，∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．10．（2019·黑龙江高三月考（文））已知圆C 经过(2,0),(1,3)A B -两点，且圆心C 在直线1:l y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）已知过点(1,2)P 的直线2l 与圆C 相交截得的弦长为232l 的方程；（3）已知点(1,1)M ，在平面内是否存在异于点M 的定点N ，对于圆C 上的任意动点Q ，都有QNQM为定值?若存在求出定点N 的坐标，若不存在说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）1x =或3450x y -+=；（3）见解析 【解析】（1）因为圆C 经过(2,0),3)A B -两点，且圆心C 在直线1:l y x =上 设圆C ：220x y Dx Ey F ++++=所以2(2)20D F --+=，221(3)0D E F ++++=，22D E -=-所以0D E ==，4F =- 所以圆22:4C x y +=（2）当斜率不存在的时候，1x =，弦长为 当斜率存在的时候，设2:2(1)l y k x -=-，即20kx y k -+-=1,43k ==所以直线2l 的方程为：1x =或3450x y -+=（3）设()00,,(,)Q x y N m n ，且22004x y +=QN QM ==因为QN QM 为定值，设220000(2)(2)4(2)(2)6m x n y m n x y λ-+-+++=-+-+ 化简得：2200(22)(22)460m x n y m n λλλ-+-+++-=，与Q 点位置无关，所以22220220460m n m n λλλ-=⎧⎪-=⎨⎪++-=⎩解得：1m n ==或2m n == 所以定点为(2,2).11．（2019·安徽高三月考（理））已知圆C 的圆心C 的坐标为()1,2，且圆C 与直线l ：270x y --=相切，过点()2,0A 的动直线m 与圆C 相交于M ，N 两点，直线m 与直线l 的交点为B . （1）求圆C 的标准方程； （2）求MN 的最小值；（3）问：()AM AN AB +⋅uuu r uuu r uu u r是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) ()()221220x y -+-=. (2) (3) ()AM AN AB +⋅uuu r uuu r uu u r是定值，定值为-10.【解析】（1）∵圆C 与直线l ：270x y --=相切，圆心为()1,2，∴半径r ==∴圆C 的方程为()()221220x y -+-=.（2）∵MN ==d 是圆心C 到直线m 的距离， ∴d 最大时，MN 最小.∵当()2,0A 是弦MN 中点时，d 最大，且max d AC ===∴MN的最小值为=（3）设MN 中点为P ，则CP MN ⊥即CP AB ⊥，∴0CP AB ⋅=uu r uu u r， 且2AM AN AP +=uuu r uuu r uu u r，∴()()22AM AN AB AP AB AC CP AB +⋅=⋅=+⋅uuu r uuu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu r uu u r 222AC AB CP AB AC AB =⋅+⋅=⋅uuu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r.当m 与x 轴垂直时，m 方程为2x =，代入圆C 方程得2y =±∴MN 中点P 的坐标为()2,2，直线2x =与直线l 的交点B 坐标为52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴50,2AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u r .∵()1,2AC =-uu u r ，∴5AC AB ⋅=-uuu r uu u r ，∴()10AM AN AB +⋅=-uuu r uuu r uu u r；当MN 与x 轴不垂直时，设m 方程为()2y k x =-，由()2270y k x x y ⎧=-⎨--=⎩，得475,2121k k B k k -⎛⎫-⎪--⎝⎭， ∴55,2121k AB k k --⎛⎫= ⎪--⎝⎭uu u r ， ∴()551,2,2121k AC AB k k --⎛⎫⋅=-⋅ ⎪--⎝⎭uuu r uu u r ()5125105212121k k k k k -=-==----， ∴()10AM AN AB +⋅=-uuu r uuu r uu u r，∴()AM AN AB +⋅uuu r uuu r uu u r是定值，定值为-10.12．（2019·广东高三开学考试（理））已知离心率为3的椭圆()22211x y a a +=>，与直线l 交于,P Q 两点，记直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . (1)求椭圆方程; (2)若1219k k ⋅=-，则三角形OPQ 的面积是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，请说明理由. 【答案】（1）2219x y +=；（2）是定值且为32，详见解析. 【解析】(1)由题意可知2221b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得3,a c ==所以椭圆方程为2219x y +=.(2)设()()1122,,,P x y Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+, 联立椭圆方程得()2229118990k x kmx m +++-=，则21212221899,9191km m x x x x k k --+==++， 点O到直线的距离d =所以12POQS PQ d ∆=⋅= 由()221212*********9k x x km x x m y y k k x x x x +++===-， 化简得222222222991891k m k k m k m m m --++=-， 整理得到22921k m =-，入上式得32POQ S ∆=.若直线斜率不存在易算得32POQS∆=.综上得，三角形POQ的面积是定值32.13．(山西省太原市第五中学2019届10月月考)已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）若的中点为，在线段上是否存在点，使得？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由得，，，由余弦定理得，，解得，，，所以椭圆的方程为．（2）存在这样的点符合题意.设，，，由，设直线的方程为，由得，由韦达定理得，故，又点在直线上，，所以.因为，所以，整理得，所以存在实数，且的取值范围为.14．（2019·重庆巴蜀中学高三月考（理））已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的短轴长为4斜率不为0的直线l 与椭圆恒交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点M （A ，B 两点不与点M 重合）.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.【答案】(1) 221164x y +=. (2) 直线过定点12,05⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题2b =，4c a a =⇒=， 所以椭圆的标准方程为221164x y +=.（2）由题设直线l ：x ty m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()4,0M ， 联立直线方程和椭圆方程得()22242160t y tmy m +++-=，()22164160t m ∆=-+>，12224tm y y t -+=+，2122164m y y t -=+.因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点M ，所以()()121244MA MB x x y y ⋅=--+u u u v u u u v()()()()2212121440t y y t m y y m =++-++-=，即2125324805m m m -+=⇒=，4， 经验证125m =，所以直线过定点12,05⎛⎫ ⎪⎝⎭. 15．（2019·山东高三月考）已知定点()30A -,，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为19-，记动点M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ()22139x y x +=≠± ；(2) 存在定点()3,0S ±，见解析【解析】（1）设动点(),M x y ，则()33MA yk x x =≠-+， ()33MB yk x x =≠-， 19MA MB k k ⋅=-Q ，即1339y y x x ⋅=-+-，化简得：2219x y +=.由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为()22139x y x +=≠±.（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，则联立方程组221,19x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()229280m y my ++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1221222,98.9m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩又直线SP 与SQ 斜率分别为1110101SP y y k x x my x ==-+-，2220201SQ y y k x x my x ==-+-，则()()()()12222102000811991SP SQ y y k k my x my x x m x -⋅==+-+--+-.当03x =时，m R ∀∈，()2082991SP SQ k k x -⋅==--；当03x =-时，m R ∀∈，()20811891SP SQ k k x -⋅==--.所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值.16．（2019·湖南高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）P M N 、、是椭圆C 上不同的三点，若直线,PM PN 的斜率之积为13-，试问从M N 、两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2213x y +=（2）M N 、两点的横坐标之和为0，详见解析 【解析】（1）由椭圆的右焦点0)得c =又离心率3c e a ==得1a b =∴=， 所以椭圆的标准方程为：2213x y += （2）M N 、两点的横坐标之和为0，理由如下设P M N 、、三点坐标分别为()()(),,,,,P P M M N N x y x y x y ，直线PM PN 、的斜率分别为12,k k ， 则直线PM 的方程为：()1p p y y k x x -=-， 由方程组()22113p p x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，消去y 得：()()()2221111136330p p p p k x k k x y x k x y +--+-+-=， ()1121613p p M p k k x y x x k -∴+=+， 故211213613p p pM k x k y x x k --=+，同理可得：222223613p p p N k x k y x x k --=+， 又1213k k ⋅=-，即2113k k =-，221111221111366333131133P p p p p p N x y x x k y k x k k x k k ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∴==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭从而0M N x x +=，即M N 、两点的横坐标之和为常数零。
高考数学一轮总复习第九章解析几何专题研究4圆锥曲线中的探索性问题课件理
(2018·湖南湘西自治州一检)已知抛物线 C：x2＝2py(p>0) 的焦点为 F，直线 2x－y＋2＝0 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是 线段 AB 的中点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.
(1)D 是抛物线 C 上的动点，点 E(－1，3)，若直线 AB 过焦 点 F，求|DF|＋|DE|的最小值；
(2)问：是否存在实数 p，使|2Q→A＋Q→B|＝|2Q→A－Q→B|？若存在， 求出 p 的值；若不存在，请说明理由．
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【解析】 (1)∵直线 2x－y＋2＝0 与 y 轴的交点为(0，2)， ∴F(0，2)，
∴抛物线 C 的方程为 x2＝8y，准线 l：y＝－2. 过点 D 作 DG⊥l 于点 G，则|DF|＋|DE|＝|DG|＋|DE|， 当 E，D，G 三点共线时，|DE|＋|DG|取得最小值，即|DE|＋ |DF|取得最小值，最小值为 2＋3＝5.
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(2)假设存在实数 p，使得|2Q→A＋Q→B|＝|2Q→A－Q→B|. 将抛物线 x2＝2py 与直线 y＝2x＋2 的方程联立并消去 y，得 x2－4px－4p＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p，∴Q(2p， 2p)． ∵|2Q→A＋Q→B|＝|2Q→A－Q→B|， ∴Q→A·Q→B＝0，即(x1－2p)(x2－2p)＋(y1－2p)(y2－2p)＝0，
(1)求曲线 C 的方程； (2)试探究|MN|和|OQ|2 的比值能否为一个常数．若能，求出 这个常数；若不能，请说明理由．
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【解析】 (1)设圆 P 的坐标为(x，y)，半径为 r，
高考数学专题复习-圆锥曲线中的探究性问题
专题九 圆锥曲线中的探究性问题近年来，在圆锥曲线考查的题型中经常会出现探究性问题．探究性问题是一种开放性问题，是指命题中缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型．圆锥曲线的考题主要是结论探究的开放性问题，有探究位置关系的，有探究点是否存在直线是否存在圆是否存在的，有探究圆是否过定点直线是否过定点的，等等，有结论存在和结论不存在两种情形．这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时，能很好地考查学生的运算求解、推理论证等数学能力，对学生的综合能力要求较高．模块1 整理方法 提升能力圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略有2种：一是先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；另一种方法是在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证．例1椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率12e =．过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，且△2ABF 的周长为8．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线l ：y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）因为228AB AF BF ++=，即11228AF BF AF BF +++=，而12122AF AF BF BF a +=+=，所以48a =，2a =．又因为12c e a ==，所以1c =，2223b a c =-=，所以椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）法1：假设平面内存在定点M 满足条件，由对称性可知点M 必在x 轴上，设(),0M t ．由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=，因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以()()2222644434120k m k m ∆=-+-=，即22430k m -+=．设()00,P x y ，则024443km k x k m =-=-+，003y kx m m =+=，所以43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．联立4y kx m x =+⎧⎨=⎩，可得()4,4Q k m +．因为43,kMP t mm ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()4,4MQ t k m =-+，由0MP MQ ⋅=可得()()43440k t t k m m m ⎛⎫---+⋅+= ⎪⎝⎭，整理可得()244430k t t t m -+-+=，由2440430t t t -=⎧⎨-+=⎩解得1t =，所以存在定点()1,0M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．法2：假设平面内存在定点M 满足条件，由对称性可知点M 必在x 轴上．若直线l为y =(P，(Q ，以PQ 为直径的圆为()(40x x y y -+-=，与x轴交于点()11,0M 和()23,0M ．下面进行验证．由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=，因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，所以()()2222644434120k m k m ∆=-+-=，即22430k m -+=．设()00,P x y ，则024443km k x k m =-=-+，003y kx m m =+=，所以43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．联立4y kx m x =+⎧⎨=⎩，可得()4,4Q k m +．因为1431,k M P m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()13,4M Q k m =+，所以()433140k k m m m ⎛⎫--+⋅+= ⎪⎝⎭．因为2433,k M P m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,4M Q k m =+，所以()431340k k m m m⎛⎫⋅--+⋅+≠ ⎪⎝⎭．综上所述，存在定点()1,0M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．【点评】由对称性得到：如果存在定点M ，则M 一定在x 轴上，由此可减少未知数的引点：()11,0M 和()23,0M ，此时只需对这两个点进行检验，如果有满足条件的，则表示点M 存在，如果都不满足，则表示点M 不存在．椭圆22221x y a b +=（0a b >>）经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =．（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA 、PB 、PM 的斜率分别为1k 、2k 、3k ．问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）由31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b +=．又因为12c e a ==，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）显然直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为()1y k x =-．联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()()2222438430k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有2122843k x x k +=+，()21224343k x x k -=+．点M 的坐标为()4,3k ，所以111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==--．于是1212121212333322221111y y kx k kx k k k x x x x ------+=+=+---- ()()()()2212122222121222433338322222222432432143814343k k kx x k x x k k k k k k x x x x k kk k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++⋅-+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-++--+++ 21k =-，又因为312k k =-，所以1232k k k +=．所以存在常数2λ=符合题意．【点评】引进直线AB 的斜率k ，然后用k 去表示1k 、2k 、3k ，将123k k k λ+=转化为k 的方程，该方程有解，则说明实数λ存在，否则λ不存在．我们也可以考虑特殊情况，让直线AB 的斜率0k =，则有()2,0A -，()2,0B ，()4,0M ，112k =，232k =-，312k =-，此时2λ=．也就是说，要么常数λ不存在，要么常数2λ=．该猜测能使解题方向更为清晰明确．椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为32，x 轴被曲线2C ：2y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长．（1）求1C 、2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ，直线MA 、MB 分别与1C 相交于D 、E ．（i ）证明：MD ME ⊥；（ii ）记△MAB 、△MDE 的面积分别是1S 、2S ．问：是否存在直线l ，使得121732S S =？请说明理由．【解析】（1）由题意知32c e a ==，又因为2b a =，222a b c =+，解得2a =，1b =，所以1C 、2C 的方程分别为2214x y +=，21y x =-．【证明】（2）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx =，()11,A x y ，()22,B x y ，由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=，于是12x x k +=，121x x =-．又点M 的坐标为()0,1-，所以()()()21212121212121211111MA MBkx kx k x x k x x y y k k x x x x x x +++++++⋅=⋅===22111k k -++=--，所以MA MB ⊥，即MD ME ⊥．【解析】（ii ）设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11y k x =-，由1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩可得0x =或1x k =，所以点A 的横坐标为1k ．设直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的横坐标为11k -，于是22111121111111111222k S MA MB k k k k k +=⋅=++⋅=．由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩可得()22111480k x k x +-=，解得0x =或121814k x k =+，所以点D 的横坐标为121814k k +．同理可得点E 的横坐标为12184k k -+，于是11222118812144k k S MD ME k k =⋅=++ ()()()2112211321144k k k k +⋅=++，因此42111221417464S k k S k ++=．由题意知，4211214174176432k k k ++=，解得214k =或2114k =．于是直线l 的斜率为2111111k k k k k -==-，解得32k =±，所以满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x =和32y x =-． 【点评】引入直线MA 的斜率1k ，则A 、B 、D 、E 的坐标都能用1k 去表示，进而用1k 表不存在，直线l 也不存在．模块2 练习巩固 整合提升练习1：在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线y kx a =+（0a >）交于M 、N两点．（1）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．【解析】（1）不妨设()Ma ，()N a -．因为12y x '=，所以24x y =在x=C 在()Ma处的切线方程为y a x -=-，即0y a --=．24x y =在x=-C 在()N a-处的切线方程为y a x -=+0y a ++=．所以C 在点M 和N 处的切线方程为0y a--=0y a ++=．（2）存在符合题意的点．设点()0,P b 为符合题意得点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM 、PN 的斜率分别为1k 、2k ，则()()1212121212122kx x a b x x y b y b k k x x x x +-+--+=+=．联立24y kx ax y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消去y ，可得2440x kx a --=，所以124x x k +=，124x x a =-，于是()()()()()122444k a a b k k a b k k a a-+-++==-．当b a =-时，有120k k +=，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，所以OPM OPN ∠=∠，所以()0,P a -符合题意．练习2：如图，C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点为1A 、2A 、1B 、2B ，焦点为1F 、2F ，117A B =112211222A B A B B F B F S S =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A 、B 两点的直线，1OP =，是否存在上述直线l ，使1AP PB ⋅=成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由117A B =227a b +=，由112211222A B A B B F B F S S =可得2a c =，又因为222a b c =+，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设()11,A x y 、()22,B x y ．当l 垂直于x 轴时，P 点就是右焦点()1,0，此时94AP PB ⋅=，直线l 不满足条件．当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+．由l 与n 垂直相交于P 点且1OP =可得211m k =+，即221m k =+．因为1AP PB ⋅=且1OP =，所以OA OB ⊥，于是12120x x y y +=．由22143x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 可得()2223484120k x kmx m +++-=，于是122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，于是()()()()221212*********x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++ ()222224128103434m km k km m k k -⎛⎫=+⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭，即22712120m k --=．因为方程组22227121201m k m k ⎧--=⎪⎨=+⎪⎩无解，所以不存在满足条件的直线l ． 综上所述，不存在直线l ，使1AP PB ⋅=成立．练习3：已知定点()1,0A -，()2,0F ，定直线l ：12x =，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍．设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N ．（1）求E 的方程；（2）试判断以线段MN 为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）设(),P x y ，122x -，化简可得2213y x -=（0y ≠）． （2）法1：假设以线段MN 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x 轴上，设(),0D t ．设直线BC 的方程为2x my =+，由22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()22311290my my -++=，由题意知2310m -≠．设()11,B x y ，()22,C x y ，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-．因为直线AB 的方程为()1111y y x x =++，所以点M 的坐标为()1131,221y x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，于是()1131,221y DM t x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，()2231,221y DN t x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭．由0DM DN ⋅=可得()()212129102411y y t x x ⎛⎫-+= ⎪++⎝⎭，即()212212129102439y y t m y y m y y ⎛⎫-+= ⎪⎡⎤+++⎝⎭⎣⎦，即2222228113102936493131m t m m m m ⎛⎫--+= ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪--⎝⎭，即219024t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得2t =或1t =-，所以以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-． 法2：假设以线段MN 为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在x 轴上．若BC 垂直于x 轴，则()2,3B ，直线AB 方程为1y x =+，所以点M 坐标为13,22⎛⎫⎪⎝⎭，此时以MN 为直径的圆的方程为21330222x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该圆与x 轴交于点()12,0D 和()21,0D -．下面进行验证．设直线BC 的方程为2x my =+，由22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()22311290m y my -++=，由题意知2310m -≠．设()11,B x y ，()22,C x y ，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-．因为直线AB 的方程为()1111y y x x =++，所以点M 的坐标为()1131,221y x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y N x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭． 因为()11133,221y D M x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，()21233,221y D N x ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，所以()()()1212112121212999944114439y y y y D M D N x x m y y m y y ⋅=+=+=++⎡⎤+++⎣⎦222228193104936493131m m mm m -=+=⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭．同理220D M D N ⋅=．所以以线段MN 为直径的圆过定点()2,0和()1,0-．。
圆锥曲线中的定点、定值、定线与探索性问题-专题突破
证明：点 P 在定直线上．
解 (1)设双曲线 C 的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由焦点坐标可知 c＝2 5，
则由 e＝ac＝ 5可得 a＝2，b＝ c2－a2＝4， 故 C 的方程为x42－1y62 ＝1.
所以 y1y2＝－8，又yy2122＝＝22xx12，， 所以 y21y22＝4x1x2＝64，
即 x1x2＝16，则 k1k2＝yx11·yx22＝－168＝－12.
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解
②设直线 PQ 的方程为 x＝ty＋n(n≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
因为 A(－2，0)，则直线 AP：y＝x1y＋1 2(x＋2)，
令 x＝0，解得 y＝x12＋y12，即 M0，x12＋y12，
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解
同理可得 N0，x22＋y22，
则x12＋y12＋2 x22＋y22＝k（x1x＋1＋2）2 ＋3＋k（x2x＋2＋2）2 ＋3
解 (1)易知直线 2x＋4y－1＝0 与 x 轴交于点12，0， 即焦点坐标为12，0，所以p2＝12，p＝1，则抛物线 C 的标准方程为 y2＝2x.
(2)证明：①设直线 MN 的方程为 x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程组yx2＝＝m2yx＋，4，得 y2－2my－8＝0，Δ＝4m2＋32>0，
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解
二、模拟大题 3.(2024·四川巴蜀中学高三适应性月考(二))如图 所示，点 F1，A 分别为椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的 左焦点和右顶点，点 F 为抛物线 C：y2＝16x 的焦点， 且|OF|＝2|OA|＝4|OF1|(O 为坐标原点)． (1)求椭圆 E 的方程； (2)过点 F1 作直线 l 交椭圆 E 于 B，D 两点，连接 AB，AD 并延长交抛物线的准线于点 M，N，求证：∠MF1N 为定值．
圆锥曲线中地探索性问题
专题 圆锥曲线中的探索性问题1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．2．(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值．高考必会题型题型一 定值、定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．变式训练1 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(5，－2)的动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为－1时，点M恰为AB的中点．(1)求抛物线的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．题型二定直线问题例2 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点．(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．变式训练2 椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C 过点(0,1)，且离心率e ＝223.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 的方程为x ＝4，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点，求F 1D →·F 2E →的值；(3)过点Q (1,0)任意作直线m (与x 轴不垂直)与椭圆C 交于M 、N 两点，与l 交于R 点，RM →＝xMQ →，RN →＝yNQ →，求证：4x ＋4y ＋5＝0.题型三 存在性问题例3 (1)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．(2)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M ，N .①求椭圆C 的方程；②求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程；③设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点．试问：是否存在使S △POS ·S △POR 最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．变式训练3 (2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．高考题型精练1.(2015·陕西)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P (1，32)在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围；(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－53＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2＝43的两条切线，切点分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：13m 2＋1n2为定值．3．(2016·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．圆锥曲线中的探索性问题1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x＝2t p(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．2．(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值．解 (1)由已知，得a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2,1)．(2)由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m 3，y ＝1＋2m3.P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2－2m3，1＋2m 3，|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|PA |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|PA |·|PB |＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|PA |·|PB |.题型一 定值、定点问题例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵直线l 与y 轴相交于点M ，故斜率存在，又F 坐标为(1,0)，设直线l 方程为y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，设l 交椭圆A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，∴x 1＋x 2＝8k23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)，∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2， ∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21x 1＋x 2x 1x 2＝8k 23＋4k 2－24k 2－123＋4k 21－8k 23＋4k 2＋4k 2－123＋4k 2＝－83. ∴当直线l 的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－83.点评 (1)定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)定值问题的求解策略在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值．变式训练1 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点M (5，－2)的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，当直线l 的斜率为－1时，点M 恰为AB 的中点．(1)求抛物线的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．解 (1)当直线l 的斜率为－1时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，即x ＝3－y ， 代入y 2＝2px (p >0)得y 2＋2py －6p ＝0，y 1＋y 22＝－p ＝－2，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x .(2)设直线l 的方程为x ＝m (y ＋2)＋5，代入y 2＝4x 得y 2－4my －8m －20＝0， 设点A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8m －20，假设存在点P (y 204，y 0)总是在以弦AB 为直径的圆上，则PA →·PB →＝(y 214－y 204)(y 224－y 24)＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0，当y 1＝y 0或y 2＝y 0时，等式显然成立；当y 1≠y 0或y 2≠y 0时，则有(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－16，即4my 0＋y 20－8m －20＝－16， (4m ＋y 0＋2)(y 0－2)＝0，解得y 0＝2，x 0＝1，所以存在点P (1,2)满足题意． 题型二 定直线问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点．(1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；(2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．解 方法一 (1)依题意，点N 的坐标为(0，－p )，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋p ，与x 2＝2py 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p ，消去y 得x 2－2pkx －2p 2＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p 2.于是S △ABN ＝S △BCN ＋S △ACN ＝12·2p |x 1－x 2|＝p |x 1－x 2|＝p x 1＋x 22－4x 1x 2＝p 4p 2k 2＋8p 2＝2p2k 2＋2，∴当k ＝0时，(S △ABN )min ＝22p 2.(2)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝a ，AC 的中点为O ′，l 与以AC 为直径的圆相交于点P ，Q ，PQ 的中点为H ， 则O ′H ⊥PQ ，O ′点的坐标为(x 12，y 1＋p 2)．∵|O ′P |＝12|AC |＝12x 21y 1－p2＝12y 21＋p 2， |O ′H |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －y 1＋p 2＝12|2a －y 1－p |，∴|PH |2＝|O ′P |2－|O ′H |2＝14(y 21＋p 2)－14(2a －y 1－p )2＝(a －p 2)y 1＋a (p －a )，∴|PQ |2＝(2|PH |)2＝4[(a －p 2)y 1＋a (p －a )]．令a －p 2＝0，得a ＝p2，此时|PQ |＝p 为定值，故满足条件的直线l 存在， 其方程为y ＝p2，即抛物线的通径所在的直线．方法二 (1)前同方法一，再由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·4p 2k 2＋8p 2＝2p 1＋k 2·k 2＋2，又由点到直线的距离公式得d ＝2p 1＋k2.从而S△ABN＝12·d ·|AB |＝12·2p 1＋k 2·k 2＋2· 2p 1＋k 2 ＝2p2k 2＋2.∴当k ＝0时，(S △ABN )min ＝22p 2.(2)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝a ，则以AC 为直径的圆的方程为(x －0)(x －x 1)＋(y －p )(y －y 1)＝0，将直线方程y ＝a 代入得x 2－x 1x ＋(a －p )(a －y 1)＝0，则Δ＝x 21－4(a －p )(a －y 1)＝4[(a －p2)y 1＋a (p －a )]．设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)， 则有|PQ |＝|x 3－x 4|＝4[a －p2y 1＋a p －a ]＝ 2a －p 2y 1＋a p －a .令a －p 2＝0，得a ＝p2，此时|PQ |＝p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝p2，即抛物线的通径所在的直线．点评 (1)定直线由斜率、截距、定点等因素确定．(2)定直线为特殊直线x ＝x 0，y ＝y 0等．变式训练2 椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点(0,1)，且离心率e ＝223.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 的方程为x ＝4，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点，求F 1D →·F 2E →的值； (3)过点Q (1,0)任意作直线m (与x 轴不垂直)与椭圆C 交于M 、N 两点，与l 交于R 点，RM →＝xMQ →，RN →＝yNQ →，求证：4x ＋4y ＋5＝0. (1)解 由题意可得b ＝1，c a ＝223，∴a ＝3，椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1. (2)解 设P (x 0，y 0)，则直线PA 、PB 的方程分别为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，y ＝y 0x 0－3(x －3)， 将x ＝4分别代入可求得D ，E 两点的坐标分别为D (4，7y 0x 0＋3)，E (4，y 0x 0－3)． 由(1)知，F 1(－22，0)，F 2(22，0)，∴F 1D →·F 2E →＝(4＋22，7y 0x 0＋3)·(4－22，y 0x 0－3)＝8＋7y 20x 20－9，又∵点P (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 209＋y 20＝1⇒y 20x 20－9＝－19，∴F 1D →·F 2E →＝659.(3)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，R (4，t )，由RM →＝xMQ →得(x 1－4，y 1－t )＝x (1－x 1，－y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4＋x1＋x ，y 1＝t1＋x(x ≠－1)，代入椭圆方程得(4＋x )2＋9t 2＝9(1＋x )2，①同理由RN →＝yNQ →得(4＋y )2＋9t 2＝9(1＋y )2，② ①－②消去t ，得x ＋y ＝－54，∴4x ＋4y ＋5＝0. 题型三 存在性问题例3 (1)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 解析 以AB为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2y －a 2＝a ，得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1.(2)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M ，N .①求椭圆C 的方程；②求TM →·TN →的最小值，并求此时圆T 的方程； ③设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x轴交于点R ，S ，O 为坐标原点．试问：是否存在使S △POS ·S △POR 最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 ①由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a ＝2，解之，得a ＝2，c ＝3，由c 2＝a 2－b 2，得b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.②点M 与点N 关于x 轴对称， 设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0，由于点M 在椭圆C 上，∴y 21＝1－x 214.由已知T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN →＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15.由于－2<x <2，故当x 1＝－85时，TM →·TN →取得最小值为－15，当x 1＝－85时，y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35.又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325，故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325.③假设存在满足条件的点P ，设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，得x R ·x S ＝41－y 21y 20－41－y 20y 21y 20－y 21＝4y 20－y 21y 20－y 21＝4，∴|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．∵S △POS ·S △POR ＝12|OS ||y P |·12|OR ||y P |＝14×4×y 2P ＝y 2P ，又P 为椭圆上的一点，∴要使S △POS ·S △POR 最大，只要y 2P 最大，而y 2P 的最大值为1，故满足条件的P 点存在，其坐标为P (0,1)和P (0，－1)．点评 存在性问题求解的思路及策略(1)先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．变式训练3 (2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，得点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )，又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD→＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx－2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝2λ－4k22λ－12k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，此时OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.高考题型精练1.(2015·陕西)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程； (2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4kk －11＋2k 2，x 1x 2＝2k k －21＋2k2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －12k k －2＝2k －2(k －1)＝2. 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P (1，32)在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围；(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－53＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2＝43的两条切线，切点分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：13m 2＋1n2为定值．(1)解 由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，又因为点P (1，32)在椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1，可解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)解 设直线l 方程为y ＝kx ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0，因为Δ＝12k 2－3>0，所以k 2>14，又x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2＋3，因为∠AOB 为锐角，所以OA →·OB →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0， 所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0，所以(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0，所以(1＋k 2)·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0，即－12k 2＋164k 2＋3>0，所以k 2<43，所以14<k 2<43， 解得－233<k <－12或12<k <233.(3)证明 由题意：C 1：x 24＋3y 24＝1，设点P (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，N (x 3，y 3)，因为M ，N 不在坐标轴上，所以k PM ＝－1k OM＝－x 2y 2，直线PM 的方程为y －y 2＝－x 2y 2(x －x 2)，化简得x 2x ＋y 2y ＝43，①同理可得直线PN 的方程为x 3x ＋y 3y ＝43， ②把P 点的坐标分别代入①、②得⎩⎪⎨⎪⎧x 2x 1＋y 2y 1＝43，x 3x 1＋y 3y 1＝43，所以直线MN 的方程为x 1x ＋y 1y ＝43，令y ＝0，得m ＝43x 1，令x ＝0，得n ＝43y 1，所以x 1＝43m ，y 1＝43n，又点P 在椭圆C 1上， 所以(43m )2＋3(43n )2＝4，即13m 2＋1n 2＝34为定值．3．(2016·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k为定值；②求直线AB 的斜率的最小值．(1)解 设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4,2c ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)．由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )． 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0.此时k ′k ＝－3.所以k ′k为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由①知直线PA 的方程为y ＝kx ＋m .直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0，由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2m 2－22k 2＋1x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k m 2－22k 2＋1x 0＋m . 同理x 2＝2m 2－218k 2＋1x 0，y 2＝－6k m 2－218k 2＋1x 0＋m . 所以x 2－x 1＝2m 2－218k 2＋1x 0－2m 2－22k 2＋1x 0＝－32k2m 2－218k 2＋12k 2＋1x 0， y 2－y 1＝－6k m 2－218k 2＋1x 0＋m －2k m 2－22k 2＋1x 0－m ＝－8k 6k 2＋1m 2－218k 2＋12k 2＋1x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎪⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0,2m )在椭圆x 24＋y22＝1上，所以x 0＝4－8m 2，故此时2m －m4－8m 2－0＝66，即m ＝147，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为62. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，短轴一个端点B 到F 的距离等于焦距．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知得c ＝1，a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)S △BFM S △BFN＝2等价于FM FN ＝2，当直线l 斜率不存在时，FM FN＝1，不符合题意，舍去；当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1x 24＋y23＝1消去x 并整理得，(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6k 3＋4k 2，①y 1y 2＝－9k 23＋4k 2，② 由FMFN＝2得y 1＝－2y 2， ③由①②③解得k ＝±52，因此存在直线l ：y ＝±52(x －1)使△BFM 与△BFN 的面积比值为2.。
2025届高中数学高考复习学案：圆锥曲线中的证明与探索性问题
圆锥曲线中的证明与探索性问题会用直线与圆锥曲线中有关知识解决证明与探索性问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．关键能力·题型剖析题型一证明问题例1(12分)[2023·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－25，0)，离心率为5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．思路导引(1)由题意求出a，b→C的方程(2)设直线方程→与C联立→消去y→韦达定理→写出直线MA1，NA2的方程→联立消去y→解得x，即交点的横坐标为定值→点P在定直线上．[满分答卷·评分细则]解析：(1)设双曲线方程为x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由焦点坐标得c＝25，由e＝c a＝5得a＝2，b＝c2−a2＝4，→正确求出a，b，c得2分∴双曲线方程为x24−y216＝1.→正确写出双曲线方程得1分2由1可得A1−2，0，A22，0，→正确写出左、右顶点A1，A2的坐标得1分设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x＝my－4，且－12＜m＜12.→正确设出直线MN的方程得1分my−4−y216=1得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)＞0，则y1＋y2＝32m4m2−1，y1y2＝484m2−1，→正确消去x得到关于y的一元二次方程，写出Δ及y1＋y2、y1y2的表达式得2分直线MA1的方程为y＝y1x1+2(x＋2)，直线NA2的方程为y＝y2x2−2(x－2)→正确写出直线MA1，NA2的方程得1分联立直线方程y=+2，y2消去y得x+2x−2＝121＝m·484m2−1−2·32m4m2−1+2y1m×484m2−1−6y1＝−16m4m2−1+2y148m4m2−1−6y1＝－13，→正确得出x+2x−2＝－13得3分可得x=−1，即x p=−1，@所以点P在定直线x=−1上．→正确解出x＝－1，下结论得1分题后师说圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何要素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系相等或不等．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．巩固训练1[2023·北京卷]已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|＝4.(1)求E的方程；(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD.题型二探索性问题例2[2024·河南郑州模拟]已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，F为椭圆的右焦点，A 为椭圆的下顶点，A与圆x2＋(y－2)2＝1上任意点距离的最大值为3＋3.(1)求椭圆的方程；(2)设点D在直线x＝1上，过D的两条直线分别交椭圆于M，N两点和P，Q两点，点F到直线MN和PQ的距离相等，是否存在实数λ，使得|DM|·|DN|＝λ|DP|·|DQ|？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．题后师说存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．巩固训练2[2024·江西南昌模拟]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A，B分别为C上两个不同的动点，O为坐标原点，当△OAB为等边三角形时，|AB|＝83.(1)求C的标准方程；(2)抛物线C在第一象限的部分是否存在点P，使得点P满足PA +PB ＝4PF ，且点P到直线AB的距离为2？若存在，求出点P的坐标及直线AB的方程；若不存在，请说明理由．高考大题研究课十圆锥曲线中的证明与探索性问题关键能力·题型剖析巩固训练1解析：依题意，得e ＝ca＝53，则c ＝53a ，又A ，C 分别为椭圆上、下顶点，|AC |＝4，所以2b ＝4，即b ＝2，所以a 2－c 2＝b 2＝4，即a 2－59a 2＝49a 2＝4，则a 2＝9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24＝1.解析：因为椭圆E 的方程为x 29+y 24＝1，所以A (0，2)，C (0，－2)，B (－3，0)，D (3，0)，因为P 为第一象限E 上的动点，设P (m ，n )(0<m <3，0<n <2)，则m 29+n 24＝1，易得k BC ＝0+2−3−0＝－23，则直线BC 的方程为y ＝－23x －2，k PD ＝n−0m−3＝nm−3，则直线PD 的方程为y ＝n(x －3)，联立y 23−2，y 3解得x =3n+2m−6y =−12n 3n+2m−6，即而k P A ＝n−2m−0＝n−2m，则直线PA 的方程为y ＝n−2mx ＋2，令y ＝－2，则－2＝n−2mx ＋2，解得x ＝−4m n−2，即−2，又m 29+n 24＝1，则m 2＝9－9n 24，8m 2＝72－18n 2，所以k MN −12n3n+2m−6+2＝−6n 2+4mn−8m+249n 2+8m 2+6mn−12m−36＝−6n 2+4mn−8m+249n 2+72−18n 2+6mn−12m−36＝−6n2+4mn−8m+242＝23，又k CD＝0+23−0＝23，即k MN＝k CD，显然，MN与CD不重合，所以MN∥CD.例2解析：由题意可知e＝c a＝12，A(0，－b)，又A到圆上距离最大值为2－(－b)＋1＝3＋b＝3＋3，∴b＝3.又a2=b2+c2，c a=12，解得a2＝4，b2＝3.故椭圆方程为x24+y23＝1.解析：若D点与F点重合，则λ不存在，若D点与F点不重合，∵点F到直线MN和PQ的距离相等，且F在直线x＝1上，∴k MN＋k PQ＝0，设D(1，m)，由题意可知直线MN，PQ的斜率均存在且不为0，设直线MN的方程为y－m＝k1(x－1)，(k1≠0)，由y−m=k1x−1，3x2+4y2=12，得412+3x2＋(8k1m－8k2)x＋412＋4m2－8k1m－12＝0，设M(x M，y M)，N(x N，y N)，则x M＋x N＝812−812，x M·x N＝412+42－81－12412+3，又|DM|－1，D＝1+12|x N－1|，|DM|·|DN|＝(1+k12)|(x M－1)(x N－1)|＝(1+k12)|x M x N－(x M＋x N)＋1|＝1+12设直线PQ的方程为y－m＝k2(x－1)(k2≠0)，同理可得|DP|·|DQ|＝1+22又k1＝－k2，∴|DM|·|DN|＝|DP|·|DQ|，故λ＝1.所以存在这样的λ＝1，使得|DM |·|DN |＝λ|DP |·|DQ |.巩固训练2解析：由对称性可知当△OAB 为等边三角形时，A ，B 两点关于x 轴对称，当△OAB 为等边三角形时，△OAB |＝12，由题意知点(12，43)在C 上，代入y 2＝2px ，得(43)2＝24p ，解得p ＝2，所以C 的标准方程为y 2＝4x .解析：由(1)知F (1，0)，根据题意可知直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x ＝ky ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，联立x =ky +m ，y 2=4x ，得y 2－4ky －4m ＝0，所以Δ＝16k 2＋16m >0，即k 2＋m >0，且y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4m ，所以x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)＋2m ＝4k 2＋2m ，由PA +PB ＝4PF ，得(x 1－x 0，y 1－y 0)＋(x 2－x 0，y 2－y 0)＝4(1－x 0，－y 0)，所以x 1+x 2−4=−2x 0，y 1+y 2=−2y 0，所以x 0=2−m −2k 2，y 0=−2k ，即P (2－m －2k 2，－2k )，又点P 在C 上，所以4k 2＝4(2－m －2k 2)，即3k 2＋m ＝2，①所以k 2＋m ＝k 2＋2－3k 2＝2(1－k 2)>0，解得－1<k <1，又点P 在第一象限，所以－2k >0，所以－1<k <0.又点P 到直线AB 的距离d 1+k 2，化简得m 2－2m ＝k 2，②联立①②解得m 13，k 或m 13k =(舍去)，或m =2k =0(舍去)．此时点P (79，直线AB 的方程为3x ＋7y ＋1＝0.。
(复习指导)高考大题专项(五)突破3 圆锥曲线中的证明与探索性问题含解析
突破3圆锥曲线中的证明与探索性问题题型一圆锥曲线中的证明问题突破策略一直接法【例1】已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,焦距为2√3.(1)求椭圆C的方程.(2)若斜率为-12的直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),O为坐标原点.①证明:直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列.②若点Q'与点Q关于x轴对称,证明:tan ∠POQ'>43.解题心得对于证明问题,一般是根据已知条件,运用所涉及的知识通过运算化简,利用定义、定理、公理等,直接推导出所证明的结论即可,证明不等式常用不等式的性质,或基本不等式求得最值.本题易错点是忽略对于取等号时条件能否成立的验证.对点训练1(2020河北张家口二模,19)已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4,且过点(-1,√142).(1)求椭圆E的方程;(2)设A(0,b),B(0,-b),C(a,b),过点B且斜率为k(k>0)的直线l交E于另一点M,交x轴于点Q,直线AM与直线x=a相交于点P.证明:PQ∥OC(O为坐标原点).突破策略二转化法x2+1上任意一点,A(0,-1),且P为线段AB的中点.【例2】已知B是抛物线y=18(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若F为点A关于原点O的对称点,过F的直线交曲线C于M,N两点,直线OM交直线y=-1于点H,求证:|NF|=|NH|.解题心得圆锥曲线中的证明问题涉及证明的范围比较广,但无论证明什么,其常用方法有直接法和转化法,对于转化法,先是对已知条件进行化简,根据化简后的情况,将证明的问题转化为另一问题.本题证明的关键是能够利用抛物线的定义将所证结论转化为证明HN∥y轴.通过直线与抛物线联立得到韦达定理的形式,利用韦达定理的结论证得HN∥y轴.对点训练2(2020河南开封三模,文19)已知抛物线C:x2=2py(p>0),F为抛物线C的焦点.以F为圆心,p为半径作圆,与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2.(1)求抛物线C的方程;(2)直线y=kx+1与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,设切线l1,l2的交点为P,求证:△PAB为直角三角形.题型二圆锥曲线中的探究性问题(多方向探究)突破策略一肯定顺推法【例3】已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,过点F的动直线交抛物线C于A,B两点,当直线与x轴垂直时,|AB|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线C的准线l相交于点M,抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列,求点P的坐标.解题心得存在性问题通常用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化,其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程(组),若方程(组)有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在.对点训练3(2020陕西咸阳二模,理20)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,32),且其离心率为12,过坐标原点O作两条互相垂直的射线与椭圆C分别相交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在圆心在原点的定圆与直线MN总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.突破策略二探究转化法【例4】(2019全国2,文20)已知F1,F2是椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.解题心得转化探究方向,是指将所探究的问题转化为其他明确的问题,使所探究的问题更加具体,易求.对于范围最值的探究,一般转化为对函数性质的研究,或对不等式的研究问题.对点训练4(2020山西晋城一模,理20)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,圆O:x2+y2=c2与椭圆C有且仅有两个公共点,直线y=2与椭圆C只有一个公共点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ,且与椭圆C 分别交于P ,Q 两点,试问:x 轴上是否存在定点R ,使得RP⃗⃗⃗⃗⃗ ·RQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在,求出该定值和点R 的坐标;若不存在,请说明理由.突破策略三 利用假设法【例5】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),且椭圆过点(1,32).(1)求椭圆C 的方程;(2)若A ,B 为椭圆的左、右顶点,P (x 0,y 0)(y 0≠0)为椭圆上一动点,设直线AP ,BP 分别交直线l :x=6于点M ,N ,判断以线段MN 为直径的圆是否恒过定点,若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,说明理由.解题心得1.利用假设法一般地先假设定点存在,并设出定点坐标,再把其作为已知条件,求解定点坐标.2.探索直线过定点时,可设直线方程为y=kx+b ,然后利用条件建立关于k ,b 的等量关系,再借助于直线系的思想找出定点.3.从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.对点训练5(2020河北保定一模,理20)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F (c ,0),离心率为√22,且经过点(1,√62),点M 为椭圆上的动点.(1)求点M 到点D (1,0)的最短与最长距离;(2)设直线l :y=x+n 与椭圆C 相交于A ,B 两点,则是否存在点P (√2,m ),使得△ABP 的内切圆恰好为x 2+y 2=1?并说明理由.突破3 圆锥曲线中的 证明与探索性问题例1(1)解由题意可得{ca=√32,2c =2√3,解得{a =2,c =√3,∴b 2=a 2-c 2=1,故椭圆C的方程为x 24+y 2=1.(2)证明①设直线l 的方程为y=-12x+m ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).由{y =-12x +m ,x 24+y 2=1消去y ,得x 2-2mx+2(m 2-1)=0.则Δ=4m 2-8(m 2-1)=4(2-m 2)>0,且x 1+x 2=2m ,x 1x 2=2(m 2-1), ∴y 1y 2=(-12x 1+m)(-12x 2+m)=14x 1x 2-12m (x 1+x 2)+m 2=m 2-12,∴k OP k OQ =y 1y 2x 1x 2=m 2-122(m 2-1)=14=k PQ 2,即直线OP ,PQ ,OQ 的斜率依次成等比数列.②由题可知∠xOQ'=∠xOQ ,由①可知tan ∠xOQ'·tan ∠xOP=14,tan ∠xOQ'>0,tan ∠xOP>0, ∴tan ∠POQ'=tan(∠xOQ'+∠xOP )=tan∠xOQ '+tan∠xOP1-tan∠xOQ '·tan∠xOP =43(tan ∠xOQ'+tan ∠xOP )≥43×2√tan∠xOQ '·tan∠xOP =43.当且仅当∠xOQ'=∠xOP 时,等号成立,此时P ,Q 两点重合,不符合题意,可知无法取得等号.∴tan ∠POQ'>43. 对点训练1(1)解由题可知2c=4,c=2,∴椭圆的左、右焦点分别为(-2,0),(2,0). (方法1)由椭圆的定义知2a=√(-1+2)2+(√142)2+√(-1-2)2+(√142)2=4√2,∴a=2√2,b 2=a 2-c 2=4, ∴椭圆E 的方程为x 28+y 24=1. (方法2)由题可知{1a 2+72b 2=1,a 2-b 2=4,解得{b 2=4,a 2=8.∴椭圆E 的方程为x 28+y 24=1. (2)证明由(1)得A (0,2),B (0,-2),C (2√2,2).直线l :y=kx-2与椭圆x 2+2y 2=8联立,得(2k 2+1)x 2-8kx=0.∴x M =8k 2k 2+1,从而M8k2k 2+1,4k 2-22k 2+1,Q (2k ,0).∴直线AM 的斜率为4k 2-22k 2+1-28k2k 2+1=-12k ,直线AM 的方程为y=-12kx+2. 令x=2√2,得P 2√2,-√2k +2,∴直线PQ 的斜率k PQ =-√2k +22√2-2k=√2+2k 2√2k -2=√2(√2k 2(√2k -1)=√22.∵直线OC 的斜率k OC =2√2=√22,∴k PQ =k OC ,从而PQ ∥OC.例2(1)解设P (x ,y ),B (x 0,y 0),∵P 为AB 中点,∴{x 0=2x ,y 0=2y +1.∵B 为曲线y=18x 2+1上任意一点,∴y 0=18x 02+1,代入得x 2=4y ,∴点P 的轨迹C 的方程为x 2=4y.(2)证明依题意得F (0,1),直线MN 的斜率存在,其方程可设为y=kx+1.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立{y =kx +1,x 2=4y ,得x 2-4kx-4=0,则Δ=16k 2+16>0,∴x 1x 2=-4.∵直线OM 的方程为y=y1x 1x ,H 是直线OM 与直线y=-1的交点,∴H (-x1y 1,-1).根据抛物线的定义|NF|等于点N 到准线y=-1的距离.∵H 在准线y=-1上,∴要证明|NF|=|NH|,只需证明HN 垂直于准线y=-1,即证HN ∥y 轴.∵H 的横坐标-x 1y 1=-x 1x 124=-4x 1=x 1x 2x 1=x 2,∴HN ∥y 轴成立,∴|NF|=|NH|成立.对点训练2(1)解记抛物线C 与圆F 在第一象限的交点为M.由题意,圆F 与抛物线C 的准线相切,且M 到抛物线C 准线的距离等于圆F 的半径p.所以点M 的坐标为(2,p 2).代入抛物线方程,得4=p 2(p>0),所以p=2. (2)证明设A (x 1,x 124),B (x 2,x 224),由x 2=4y 得y=14x 2,求导得y'=12x ,所以A ,B 两点处的切线斜率分别为k 1=12x 1,k 2=12x 2. 由{y =kx +1,x 2=4y ,得x 2-4kx-4=0, 所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4, 所以k 1k 2=14x 1x 2=-1.所以PA ⊥PB ,即△PAB 为直角三角形.例3解(1)由题可知F (p 2,0),在抛物线方程y 2=2px 中,令x=p 2,可得y=±p.于是当直线与y 轴垂直时,|AB|=2p=4,解得p=2.所以抛物线的方程为y 2=4x.(2)因为抛物线y 2=4x 的准线方程为x=-1,直线AB 的方程为y=x-1,所以M (-1,-2). 联立{y 2=4x ,y =x -1消去x ,得y 2-4y-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4,y 1y 2=-4.若点P (x 0,y 0)满足条件,则2k PM =k PA +k PB ,即2·y 0+2x 0+1=y 0-y 1x0-x 1+y 0-y 2x 0-x 2,因为点P ,A ,B 均在抛物线上,所以x 0=y 024,x 1=y 124,x 2=y 224.代入化简可得2(y 0+2)y 02+4=2y 0+y 1+y 2y 02+(y 1+y 2)y 0+y 1y 2,将y 1+y 2=4,y 1y 2=-4代入,解得y 0=±2.将y 0=±2代入抛物线方程,可得x 0=1.于是点P (1,±2)为满足题意的点. 对点训练3解(1)∵椭圆C 经过点(1,32),∴1a 2+94b 2=1,又ca =12,∴a 2=4,b 2=3. ∴椭圆C的方程为x 24+y 23=1.(2)存在.①当直线MN 的斜率不存在时,由对称性,设M (x 0,x 0),N (x 0,-x 0). ∵M ,N 在椭圆C上,∴x 024+x 023=1, ∴x 02=127. ∴O 到直线MN 的距离为d=|x 0|=2√217,∴圆的方程为x 2+y 2=127. ②当直线MN 的斜率存在时,设MN 的方程为y=kx+m , 联立{y =kx +m ,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2.∵OM ⊥ON ,∴x 1x 2+y 1y 2=0,∴x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0. ∴(k 2+1)·4m 2-123+4k2−8k 2m 23+4k2+m 2=0,即7m 2=12(k 2+1). ∴O 到直线MN 的距离为d=|m |√k +1=√127=2√217, ∴圆的方程为x 2+y 2=127.综上所述,存在定圆x 2+y 2=127与直线MN 总相切.例4解(1)连接PF 1.由△POF 2为等边三角形可知在△F 1PF 2中,∠F 1PF 2=90°,|PF 2|=c ,|PF 1|=√3c ,于是2a=|PF 1|+|PF 2|=(√3+1)c ,故C 的离心率e=c a=√3-1.(2)由题意可知,满足条件的点P (x ,y )存在,则12|y|·2c=16,yx+c ·yx -c =-1,x 2a 2+y 2b 2=1,即c|y|=16,① x 2+y 2=c 2,② x 2a 2+y 2b 2=1.③由②③及a 2=b 2+c 2得y 2=b 4c 2,又由①知y 2=162c 2,故b=4.由②③得x2=a 2c 2(c 2-b 2),所以c 2≥b 2,从而a 2=b 2+c 2≥2b 2=32,故a ≥4√2.当b=4,a ≥4√2时,存在满足条件的点P.所以b=4,a 的取值范围为[4√2,+∞). 对点训练4解(1)依题意,得c=b=2,则a 2=b 2+c 2=4+4=8,故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1. (2)存在.①当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=k (x+2),代入椭圆C 的方程,可得(2k 2+1)x 2+8k 2x+8k 2-8=0. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k 22k 2+1,x 1x 2=8k 2-82k 2+1.设R (m ,0),则RP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-m ,y 1),RQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-m ,y 2).RP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·RQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-m )(x 2-m )+y 1y 2=(x 1-m )(x 2-m )+k 2[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]=(k 2+1)8k 2-82k 2+1−8k 2(2k 2-m )2k 2+1+4k 2+m 2=(2m 2+8m+4)k 2+2-82k 2+1=(2m 2+8m+4)(k 2+m 2-82m 2+8m+4)2k 2+1,当m 2-82m 2+8m+4=12,即m=-52时,RP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·RQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2m 2+8m+4)(k 2+m 2-82m 2+8m+4)2k 2+1=-74为定值,此时R 点的坐标为R (-52,0).②当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=-2,联立{x =-2,x 28+y 24=1,得{x =-2,y =±√2.不妨设P (-2,√2),Q (-2,-√2),若R (-52,0),则RP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√2),RQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-√2),RP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·RQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-74. 综上所述,在x 轴上存在点R (-52,0),使得RP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·RQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值-74. 例5解(1)由已知c=1,∴a 2=b 2+1,①∵椭圆过点(1,32),∴1a2+94b2=1,②联立①②得a 2=4,b 2=3,∴椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)以线段MN 为直径的圆恒过定点.设P (x 0,y 0),已知A (-2,0),B (2,0),∵y 0≠0,∴x 0≠±2,∴直线AP ,BP 都有斜率,∴k AP =y 0x 0+2,k BP =y 0x 0-2,∴k AP ·k BP =y 02x 02-4, ③ ∵x 024+y 023=1,∴y 02=3(1-x 024). ④ 将④代入③得k AP ·k BP =3(1-x 024)x 02-4=-34,设直线AP 方程为y=k (x+2), ∴直线BP 方程为y=-34k (x-2),∴M (6,8k ),N (6,-3k ),由对称性可知,若存在定点,则该定点必在x 轴上,设该定点为T (t ,0),则TM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥TN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴TM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·TN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6-t ,8k )·(6-t ,-3k )=(6-t )2+(-24)=0,∴(6-t )2=24,∴t=6±2√6.∴存在定点(6+2√6,0)或(6-2√6,0)以线段MN 为直径的圆恒过该定点.对点训练5解(1)依题意得{ 1a 2+32b 2=1,c a =√22,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,c =b =√2,所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1. 设M (x 0,y 0)(x 0∈[-2,2])到点D 的距离为d ,因为x 024+y 022=1,所以y 02=2-x 022, 所以d 2=(x 0-1)2+y 02=12x 02-2x 0+3,其对称轴为x=2,所以该函数在[-2,2]上单调递减,所以当x 0=2时,d 取得最小值1;当x 0=-2时,d 取得最大值3.(2)假设存在点P (√2,m ),使得△ABP 的内切圆恰好为x 2+y 2=1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为直线AB 与圆x 2+y 2=1相切,所以圆心(0,0)到直线l :y=x+n 的距离为√2=1,所以n=±√2,所以当n=√2时,直线AB 的方程为y=x+√2,联立{y =x +√2,x 24+y 22=1,得3x 2+4√2x=0,解得x 1=0,x 2=-4√23, 所以A (0,√2),B (-4√23,-√23). (方法1)因为AO 为∠BAP 的角平分线,所以k AP =-k AB =-1,所以k AP =√2-0-√2=-1,所以m=0,即P (√2,0),所以直线BP 的方程为x-7y-√2=0,因为圆心到直线BP 的距离为√2|√1+(-7)=15≠1,所以此时BP 不是圆的切线.同理,当n=-√2时,BP也不是圆的切线,综上所述,P不存在.(方法2)因为A(0,√2),P(√2,m),所以k AP=√2√2,所以直线AP的方程为(m-√2)x-√2y+2=0.由原点O到直线AP的距离为1,得√2+(m-√2)=1,解得m=0,或m=2√2,当m=0时,P(√2,0),此时直线BP的斜率为k BP=17,所以直线BP的方程为x-7y-√2=0,因为圆心到直线BP的距离为√2|√1+(-7)=15≠1,所以BP不是圆的切线.当m=2√2时,P(√2,2√2),此时直线BP的斜率为k BP=1,所以直线BP的方程为x-y+√2=0,与直线AB重合,故舍去.同理,当n=-√2时,BP也不是圆的切线.综上所述,P不存在.。
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圆锥曲线中的探索性问题【必备知识】1．将直线y kx m =+代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>方程，化为关于x 的二次方程，即为222222()b x a kx m a b ++=，亦即222222222()20b a k x kma x a m a b +++-=．2．将直线y kx m =+代入抛物线22(0)y px p =>方程，得 2222()0k x km p x m +-+=，注意对k 分0k =（对应于直线与对称轴平行）与0k ≠（对应于直线与对称轴不平行）两类进行讨论．3．过点1112212(,),(,,)()P x y P x y x x ≠的直线斜率为122121P P y y k x x -=-．4．点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为0022d A B=+．5．直线l ：y kx m =+与圆锥曲线相交所得弦长2221212121||1()4L k x x k x x x x =+-=+⋅+-＝21||k a ∆+⋅． 【技巧点拨】解答圆锥曲线中探索性问题，一般可分为以下步骤： （1）假设结论成立；（2）以假设为条件，进行推理求解；（3）明确规范结论，若能推出合理结论，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设； （4）回顾反思解题过程． 【典例展示】【题型一】探索直线、曲线间的位置关系问题【例1】已知椭圆C :2233x y +=，过点()1,0D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅱ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．【解析】（Ⅰ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -． 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--．令3x =，得1(3,2)M y -． 所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-．（Ⅱ）直线BM 与直线DE 平行．证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅰ）可知1BM k =．高考热点题型又因为直线DE 的斜率10121DE k -==-，所以BM DE ．当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--． 令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--．由2233(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(13)6330k x k x k +-+-=．直线BM 的斜率11212323BMy x y x k x +---=- 因为()()()()()()()11122121131232132k x x k x x x x k x x BM -+--------=--()()()()12122112332k x x x x x x --++-⎡⎤⎣⎦=--()()()222221331213131332k k k k k x x ⎛⎫-+-+- ⎪++⎝⎭=--0=，所以D 1k k BM E ==．所以BMDE ．综上可知，直线BM 与直线DE 平行．【思维导图】【特别点拨】围绕点的坐标确定是解答本题的关键．1．已知圆C 的圆心为)3)(0,(<m m C ，半径为，圆C 与椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>有一个交点为(3,1)A ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若点P 的坐标为()4,4，试探究斜率为k 的直线1PF 与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线1PF 的方程；若不能，请说明理由．1．【解析】（1）由已知可设圆C 的方程为22()5(3)x m y m -+=<，将点A 的坐标代入圆C 的方程，得22(3)15m -+=，即2(3)4m -=，解得1m =或5m =.∵3m <，∴1m =，∴圆C 的方程为22(1)5x y -+=.(2)依题意，可得直线1PF 的方程为(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=. 若直线1PF 与圆C 相切，则251k =+0112442=+-∴k k ，解得112k =或12k = .当112=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为36011>，不合题意，舍去．当12=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为－4， ∴124,(4,0),(4,0)c F F =-，∴由椭圆的定义得2222122||||(34)1(34)152262a AF AF =+=+++-+=+=∴32a =，即218a =，2222b a c =-=．直线1PF 能与圆C 相切，直线1PF 的方程为240x y -+=，椭圆E 的方程为221182+=x y ． 【题型二】探索与平面图形形状相关的问题【例2】设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 恰是2QF 的中点，若过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线:330l x y --=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线2:1+=x y l 与椭圆C 交于H G ,两点，在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得以PH PG ,为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c >，由1F 为线段2F Q 中点，2AQ AF ⊥， 所以2,,A Q F 三点圆的圆心为()1,0F c -，半径为2c a =． 又因为该圆与直线l 相切，所以3212c c c --=∴=．所以224,3a b ==，故所求椭圆方程为22143x y +=； （2）将直线2:1+=x y l 代入22143x y +=得041672=++x x ． 设),(),,(2211y x H y x G ，则74,7162121=-=+x x x x ， ∴712422212121=++=+++=+x x x x y y ，∴GH 的中点)76,78(-M ，由于菱形对角线互相垂直，则1-=⋅CM PM k k ，∴1178076-=⨯---m ，解得72-=m ．即存在满足题意的点P ，且m 的值为72-．【思维导图】（13．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P Q ，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ ∆的面积；（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点)0,(m M ，使得以MP MQ ，为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．3．【解析】（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为)0(12222>>=+b a by a x ．因为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，所以2,1===a c b ．所求椭圆方程为1222=+y x ． （Ⅱ）因为直线l 过椭圆右焦点)0,1(F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1-=x y ．设),(),,(2211y x Q y x P ．由⎩⎨⎧-==+,1,2222x y y x 得01232=-+y y ，解得31,121=-=y y ，所以32||21||||212121=-=-⋅=∆y y y y OF S POQ ． （Ⅲ）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线l 与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．由⎩⎨⎧-==+),1(,2222x k y y x 可得0224)21(2222=-+-+k x k x k ， 因为0)1(8)22)(21(4162224>+=-+-=∆k k k k ，所以222122212122,214kk x x k k x x +-=+=+． 设PQ y x Q y x P ),,(),,(2211的中点为),(00y x N ，所以2022021,212kk y k k x +-=+=， 因为以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以MN ⊥PQ ，1-=⋅k k MN ，所以121221222-=⋅-++-=⋅k mk kk kk k MN，整理得m k k k k ++-=+-222221221， 2222221212kk k k k m +=++-=，所以)0(2122≠+=k k k m ，所以210<<m ． 【题型三】探索与平面图形面积相关的问题【例3】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，短轴长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若,A B 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，,OA OB 的斜率分别为12,k k ，问是否存在非零常数λ使12k k λ⨯=时，AOB ∆的面积S 为定值？若存在，求λ的值；否则说明理由．【解析】（1）∵,222c e b a ===，∴222a b c =+，∴2,1,a b ==椭圆C 的方程为：2214x y +=；（2）假设存在这样的常数λ使12k k λ=时AOB S ∆为定值，设直线的方程为： ,y kx m =+且AB 与2214x y +=的交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ． 因为12,k k λ=所以，()()121212120,x x y y x x kx m kx m λλ-=-+++0=， 化为()221212()0k x x km x x m λ-+++=．将,y kx m =+代入2214x y +=，消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=．由韦达定理得：12x x +2814kmk-=+，12x x 224414m k -=+， ∴()221212()0k x x km x x m λ-+++=，可化为()22414k m λλ-=-．因为点O 到直线AB的距离为d =，所以121122AOBSd AB x x m ==-= 22AOBS ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭()()()()()2222222(14)41441414k k k k λλλλ⎡⎤+⋅----⎢⎥⎣⎦-+＝()()4222426416141168114k k k k λλλλ-++⋅-⨯++- 要使上式为定值，只需26411641681λλλ-+-==，得，14λ=-，此时22AOB S ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭14，即1AOB S ∆=， 故存在非零常数14λ=-，此时1AOB S ∆=． 【思维导图】（1（23．已知平面直角坐标系上一动点(,)P x y 到点(2,0)A -的距离是点P 到点(1,0)B的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程；（2）过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于,E F 两点，点(2,0)M ，则是否存在直线l ，使EFM S △取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由．3．【解析】（1= ∴2240x x y -+=，即22(2)4x y -+=，（2）由题意知l 的斜率一定存在，不妨假设存直线l 的斜率为k ，且1122(,),(,)E x y F x y 。