二次函数图像平移,对称与旋转 课件
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
二次函数平移变换课件
二次函数平移变换的数学表达式
总结词
二次函数平移变换的数学表达式包括水平平移和垂直平移。水平平移是 $f(x-h)$ ，垂直平移是 $f(x) pm k$。
详细描述
水平平移表示将函数图像沿 x 轴移动，移动距离为 $h$。垂直平移表示将函数图 像沿 y 轴移动，移动距离为 $k$。这两种平移都可以通过改变函数表达式来实现 。
总结词
函数值整体上移
详细描述
对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，向上平移一个单位后，新的函数 为 $f(x) + 1 = ax^2 + bx + c + 1$ 。图像上每一个点的纵坐标增加1。
一次向下平移的二次函数
总结词
函数值整体下移
VS
详细描述
对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$， 向下平移一个单位后，新的函数为 $f(x) - 1 = ax^2 + bx + c - 1$。图像上每一 个点的纵坐标减少1。
综合练习题
题目
将二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图象先向左平移3个单位 ，再向下平移5个单位，所得图象对应的函数解析式是 ____．
解析
原函数$f(x) = x^2 - 2x$的顶点坐标为$(1, -1)$。向左 平移3个单位后，顶点坐标变为$( -2, -1)$；再向下平移 5个单位，顶点坐标变为$( -2, -6)$。因此，平移后的函 数解析式为$y = (x + 2)^2 - 6$。
一次向左平移的二次函数
总结词
函数图像向左平移
详细描述
对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，向左平移一个单位后，新的函数为 $f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$。图像上每一个点 $(x, y)$ 对应到新的函数上变为 $(x+1, y)$。
二次函数图象的变换-人教新课标版PPT课件
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考点y研究3： 旋转
9
8 7
6
zxxkw
5 4 3
2
2.将抛物线y 1 (x 4)2 4 2
绕原点旋转180度，
会得到哪条抛物线？
（4，4）
y 1 (x 4)2 4 2
1
3 2 1 0 1 2 3 4 5
x
1
2
（－4，－4）
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三、方法小结
的图象是抛
物线,若抛物线不动,把x轴、y轴分别向上、向右平
移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是
zxxkw
_y_=_2_(_x_+_2__)2_-_2_.
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(-2，-2)
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4、（2007.德阳市）如图 已知 与x轴交于点
A(1,0)和B(5,0)的抛物线 l1 的顶点为 C(3,4)，抛物线 l2 与 l1 关于x轴对称，顶
zxxkw
学.科.网
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1
课前检测：
1、抛物线y=－(x－1)2+3的开口方向是向下 ； 顶点坐标是（1，3） ，对称轴为直线x=1 。
2、 抛物线 是
y
；
1 x2 2x 1 （2 －2，－3）
的开口方向 向上
直线x=－2
顶点坐标是
为
。
，对称轴
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二：考点研究1： 平移
y 3(x 1)2 1
x (-1,-1)
（草图）
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四、巩固知识：
y 2(x 1)2 3
二:轴对称、旋转 已知抛物线C1:y=2x2+4x+5 (1).抛物线C2与C1关于x轴对称,求抛物线C2的解析式. (2).抛物线C3与C1关于y轴对称,求抛物线C3的解析式. (3)将抛物线C1 绕原点在平面内旋转180度得抛物线C4, 求抛物线C4的解析式 (4)将抛物线 C1绕其顶点在平面内旋转180度,得到抛物
函数图像变换(平移、对称)PPT课件
1
的图象。
x2
练习
(1)
y
1 图象向左平移 2x
1 2
个单位得到
。
(2)f (x)图象恒过点(1,1),则f (x - 4)图象过
点。
(3)f (x)图像关于x 1对称，则f (x - 4) 图象关于 对称。
函数图象的变换
例2. 设f(x)= 1 (x>0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、y=-f(-x)
小结 (对称变换） ： 1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称 2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对 称
函数图象的变换
例3. 设f(x)= x2 2x 求函数y=|f(x)|、y=f(|x|)
的解 析式及其定义域，并分别作出它们的图象。
我们可将函数的图象先沿x轴向左平移2个单位再沿y轴向上平移3个单位得到函数横坐标不变纵坐标取相反数横坐标取相反数纵坐标不变横坐标纵坐标同时取相反数图象关于x轴对称图象关于y轴对称图象关于原点对称绿色食品的开发和生产不仅是为了满足人民群众对优质安全食品的需求更重要的是保护我国农业资源改善农业生态环境维持我国农业持续发展基础的生产条件小结对称变换
提示语
·为方便使用本课件，可在课后 下载使用PowerPoint软件进行修 改调整
For the convenience of using this courseware, you can download it after class and use PowerPoint software to modify and adjust it
得y=f(x) +k的图象。
人教版数学九年级上册《二次函数的图像和性质》课件PPT
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b
2
,
如果a＜0，当
x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1
用配方法把 y 1 x2 3x 5
2
2
化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
分析：我们可以用顶点坐标公式求出图 象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就 是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找 两个点，则根据对称性很容易找出另两 个点，这四个点连同顶点共五个点，过 这五个点画出图像．
二次函数图像变换
二次函数图像变换
二次函数图像变换有3种：平移、对称、旋转。
一、专用解法
1、平移：左加右减自变量，上加下减常数项
2、对称、旋转：取原抛物线上一点（x,y），然后根据对称或旋转规律找到对应点，
将对应点坐标代入原抛物线解析式，然后化解得到的解析式即所求。
例1：原抛物线上y=ax^2+bx+c有一点（x,y），其关于x轴对称的点坐标为（x,-y），将（x,-y）代入到原解析式得到-y=ax^2+bx+c，即y=-ax^2-bx-c
例2：原抛物线上y=x^2+2x绕点（1,0）旋转180°，求旋转后的解析式解：设点（x,y）是原抛物线y=x^2+2x上一点，（x,y）绕点（1,0）旋转180°，通过中点坐标公式得出对应点为（2-x,-y），将（2-x,-y）代入y=x^2+2x得到
-y=(2-x)^2+2(2-x)，即y=-x^2+6x-8
注意：以上方法也适用于一次函数
二、通用解法
①将解析式化顶点式y=a(x-h)^2+k，得到顶点（h,k）
②将顶点（h,k）按照要求进行平移、对称、旋转，得到新的顶点（h’,k’）
③平移a不变；X轴对称a变号，Y轴对称a不变；旋转a变号，特别的原点对称就是绕（0,0）旋转180
注意：这里的旋转肯定是180°，因为如果不是180°得到的就不是二次函数了
④知道了a和顶点，设顶点式就可以得到新抛物线的解析式
注意：无论平移、对称、旋转都可以用，如果是一次函数可以将顶点（h,k）替换为直线与y轴交点，a替换为k，整体思路是一样的。
二次函数图像平移,对称与旋转 课件
简称：“左加右减”
小试牛刀
1.将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下 平移2个单位后，则所得抛物线解析式为 （ A ） A．y=-3(x-1)2-2； B．y=-3(x-1)2+2； C．y=-3(x+1)2-2； D．y=-3(x+1)2+2． 2.将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单 位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式? y= -2(x+1)2+4(x+1)+6-2 y= -2x2+6
3．与y=x2-2x-3的图象关于原点O（0，0）对称 的函数图象的解析式是（ D ） A．y=（x-1）2-4 B．y=-（x+1）2-4 C．y=（x+1）2+4 D．y=-（x+1）2+4 分析：根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐 标都互为相反数”得变化后解析式: - y=（-x）2-2（-x）-3 即： y=-（x+1）2+4 答案：D
2012河南5题3分在平面直角坐标系中将抛物线4先向右平移2个单位再向上平移2个单位得到的抛物线解析式是向上平移3个单位再向左平移2个单位那么得到的抛物线解析式是2x3的图像关于原点o00对称的图像解析式3
二次函数图像平移,对称与旋转
------ 大路李初级中学：
侯群霞
图像平移
沿Y轴平移
向上平移n个单位： y=a(x-h)2+k+n 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为___________ y=ax2+bx+c+n 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为 ___________ 向下平移n个单位： 2+k-n y=a(x-h) 2 二次函数y=a(x-h) +k(a ≠0)变为___________ y=ax2+bx+c-n 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为 ___________
2024年九年级数学中考专题：二次函数平移对称旋转 课件
(x,y +b)
(x,y -b)
口诀：上加下减，左减右加
坐
标
旋
转
变
换
一、坐标平移旋转对称
点(x,y) 绕着（m,n）旋转180° ，求旋转后的
点的坐标？
中点坐标公式：
A(1 , 1 ), B(2 , 2 ),
1 +2 1 +2
AB中点 (
,
)
2
2
旋转后的点的坐标( − ,2n-y)
中考专题：
二次函数平移旋转对称
目录
一
二
三
坐标平移旋
转对称
二次函数
表达式
例题讲解
四
方法归纳
五
学以致用
一、坐标平移
旋转对称
坐
标
平
移
变
换
一、坐标平移旋转对称
x轴 向左平移a个单位(x,y)
向右平移a个单位(x,y)
(x-a,y)
(x+a,y)
y轴 向上平移b个单位(x,y)
向下平移b个单位(x,y)
坐
标
对
称
变
换
一、坐标平移旋转对称
关于x轴对称 (x,y)
关于y轴对称 (x,y)
(x, -y)
(- x, y)
口诀:关于谁对称，谁不变，另一个互为相反数
关于原点O对称 (x,y部互为相反数
二 、二次函数
表达式
二、二次函数表达式
一般式：y = 2 + + ( ≠ 0, , 均为常数)
变式2
(3)抛物线2 与抛物线1 关于原点O对称，求抛物线 2 的表达
式
三、例题讲解
二次函数图象的平移和对称变换
2二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题有关图象的变换一般可采用两种基本的方法，其一是利用特殊点进行变换，其二是利用坐标变换的规律进行变换。
所谓利用特殊点进行变换，即选取原图象上一些特殊的点，把这些点按指定的要求进行变换，再把变换后的点代入到新的解析式中，从而求出变换后的解析式，利用特殊点进行变换，又可以从一般形式入手，选取图象上的三个特殊的点进行变换，也可以把一般形式化为顶点式，选取顶点作为特殊点，然后进行变换。
利用坐标变换的方法，根据题目的要求，利用坐标变换的规律，从而进行变换。
下面由具体的例子进行说明。
一 、 平 移 。
例1、 把抛物线 y=x -4x+6 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位后，求其图象的解析式。
法（一）选取图象上三个特殊的点，如（0， 6），（ 1， 3），（ 2，2）【选取使运算最简单的点】，然后把这三个点按要求向左平移3 个单位，再向下平移4 个单位后得到三个新点（ -3 ， 2），（ -2 ， -1 ），（-1 ，-2 ），把这三个新点代入到新的函数关 系式的一般形式 y=ax 2+bx+c 中，求出各项系数即可。
例 2、已知抛物线 y=2x 位，求其解析式。
法（二）2-8x+5, 求其向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单先利用配方法把二次函数化成y a( x h)2 k 的形式，确定其顶点（ 2，-3 ），然后把顶点（ 2， -3 ）向上平移 4 个单位，再向右平移 3 个单位后得到新抛物线的顶点为（ 5， 1），因为是抛物线的平移，因此平移前后 a 的值应该相等，这样我们就得到新的抛物线的解析式中 a=2，且顶点为（ 5， 1），就可以求出其解析式了。
22222【平移规律：在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】 .法（三）根据平移规律进行平移，不论哪种抛物线的形式，平移规律为 “左右平移即把解析式中自变量 x 改为 x 加上或减去一个常数，左加右减，上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数，上加下减。
二次函数的图像与性质ppt课件
二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线.
y
位置不同; 最小值不同: 分别是1和0.
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).
二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是
y轴;增减性与也相同.
y=-2x2+1
y=-2x2
你能描述二次函数
y=ax2+c和y=ax2的图象和
抛物线
y=ax2 +c(a>0)
y=ax2 +c(a<0)
顶点坐标
（0，c）
（0，c）
对称轴
y轴
当c>0时,在x轴的上方 图像位置 当c<0时,与x轴相交.
开口方向
向上
y轴
当c<0时,在x轴的下方 当c>0时,与x轴相交
向下
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x<0时,y随着x的增大而减小. x<0时,y随着x的增大而增大.
增减性 x>0时,y随着x的增大而增大. x>0时,y随着x的增大而减小.
最值 当x=0时,最小值为c. 当x=0时,最大值为c6.
例3、如图，函数y ax2与y ax a在同一坐标系中的图像大致是
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二次函数y=ax²+c与y=ax²的关系
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平 移|c|个单位得到的. (c>0时向上平移;c<0时,向下平移).
1
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.图像位置与开口方向 ３.增减性与最值
二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题
二次函数中的平移、翻折、对称、旋转、折叠问题目录题型01二次函数平移问题题型02二次函数翻折问题题型03二次函数对称问题题型04二次函数旋转问题题型05二次函数折叠问题题型01二次函数平移问题1. 二次函数的平移变换平移方式(n>0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n下减2.平移与增加性变化如果平移后对称轴不发生变化，则不影响增减性，但会改变函数最大(小)值.只对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值.只对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.1(2023·上海杨浦·统考一模)已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a≠0与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB=4．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BC 上一点，如果∠PAC =45°，求点P 的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D 平移至点E 处，过点E 作EF ⊥直线AP ，垂足为点F ，如果tan ∠PEF =12，求平移后抛物线的表达式．【答案】(1)y =x 2-2x -3(2)P 53,-43(3)y =x +1792-4【分析】(1)设点A 的横坐标为x A ，点B 的横坐标为x B ，根据对称轴，AB =4，列式x A +x B2=1,x B -x A =4，利用根与系数关系计算确定a 值即可．(2)过点C 作AC ⊥MN 于点C ，交AC 右侧的AP 的延长线于点M ，交AC 左侧的AP 的延长线于点N ，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可．(3)设抛物线向左平移了t 个单位，则点E 1-t ,-4 ，过点F 作x 轴的平行线交过点P 和y 轴的平行线于点H ，交过点E 和y 轴的平行线于点G ，证明Rt △FGE ∽Rt △PHF ，根据相似三角形的性质得出GEHF=GF HP =EF FP =1tan ∠PEF =2即可求解．【详解】(1)解：∵抛物线y =ax 2-2ax -3a ≠0 与x 轴交于点A 、点B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，且AB =4，∴x A +x B 2=1,x B -x A =4，解得x B =3,x A =-1，∴-3a=3×-1 ，解得a=1，故抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．(2)过点C 作AC ⊥MN 于点C ，交AC 右侧的AP 的延长线于点M ，∵∠PAC =45°，∴AC =CM ，过点M 作MT ⊥y 轴于点T ，∴∠ACO =90°-∠ECM =∠CMT ∵∠ACO =∠CMT ∠AOC =∠CTM AC =CM，∴△AOC ≌△CTM AAS ，∴AO =CT ,OC =EM ，∵抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，x B =3,x A =-1，∴AO =CT =1,OC =TM =3，A -1,0 ,C 0,-3 ,B 3,0 ，∴OE =2,TM =3∴M 3,-2 ，设AM 的解析式为y =kx +b ，BC 的解析式为y =px +q ∴-k +b =03k +b =-2 ,3p +q =0q =-3 ，解得k =-12b =-12,p =1q =-3 ∴AM 的解析式为y =-12x -12，BC 的解析式为y =x -3，∴y =x -3y =-12x -12 ，解得x =53y =-43，故P 53,-43；(3)∵y =x 2-2x -3=x -1 2-4，点D 1,-4 ,设抛物线向左平移了t 个单位，则点E 1-t ,-4 ，过点F 作x 轴的平行线交过点P 和y 轴的平行线于点H ，交过点E 和y 轴的平行线于点G ，由(2)知，直线AP 的表达式为：y =-12x -12，P 53,-43设F m ,-12m -12 ∵∠EFP =90°，∴∠GFE +∠HFP =90°，∵∠GFE +∠GEF =90°，∴∠GEF =∠HFP ，∴Rt △FGE ∽Rt △PHF ，∴GE HF =GF HP =EF FP =1tan ∠PEF=2，∵GE =y F -y E =-12m -12+4，HF =x P -x F =53-m ，GF =x F -x G =m -1-t ，HP=y F -y P =-12m-12+43，∴-12m -12+453-m =m -1-t -12m -12+43=2，解得：t =269，∴y =x -1+269 2-4=x +179 2-4．【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键．2(2023·广东湛江·校考一模)如图1，抛物线y =36x 2+433x +23与x 轴交于点A ，B (A 在B 左边)，与y 轴交于点C ，连AC ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE ∥AC 交抛物线于点E ，交y 轴于点P．(1)点F 是直线AC 下方抛物线上点一动点，连DF 交AC 于点G ，连EG ，当△EFG 的面积的最大值时，直线DE 上有一动点M ，直线AC 上有一动点N ，满足MN ⊥AC ，连GM ，NO ，求GM +MN +NO 的最小值；(2)如图2，在(1)的条件下，过点F 作FH ⊥x 轴于点H 交AC 于点L ，将△AHL 沿着射线AC 平移到点A 与点C 重合，从而得到△A H L (点A ，H ，L 分别对应点A ，H ，L )，再将△A H L 绕点H 逆时针旋转α(0°<α<180°)，旋转过程中，边A L 所在直线交直线DE 于Q ，交y 轴于点R ，求当△PQR 为等腰三角形时，直接写出PR 的长．【答案】(1)4+23975(2)1733-3或833【分析】(1)作FH ∥y 轴交DE 于H ．设F m ,36m 2+433m +23 ，求出直线DE 的解析式，联立方程得到x =-3时，FH 的值最大，求出答案；作点G 关于DE 的对称点T ，TG 交DE 于R ，连接OR 交AC 于N ，作NM ⊥DE 于M ，连接TM ，GM ，此时GM +MN +NO 的值最小，求出答案即可；(2)当△PQR 是等腰三角形时，易知∠QPR =120°，易知直线RQ 与x 轴的夹角为60°，得到直线RQ 的解析式为y =3x +3-3，进而求出答案，当△QPR 是等腰三角形，同理求出答案．【详解】(1)如图1中，作FH ∥y 轴交DE 于H ．设F m ,36m 2+433m +23 ．由题意可知A (-6,0)，B (-2,0)，C (0,23)，∵抛物线的对称轴x =-4，C ，D 关于直线x =-4对称，∴D (-8,23)，∴直线AC 的解析式为y =33x +23，∵DE ∥AC ，∴直线DE 的解析式为y =33x +1433，由y =33x +23y =33x +1433，解得x =8y=23 或x =2y =1633，∴E 2,1633 ，H m ,33m +1433，∵S △DEF =S △DEG +S △EFG ，△DEG 的面积为定值，∴△DEG 的面积最大时，△EFG 的面积最大，∵FH 的值最大时，△DEF 的面积最大，∵FH 的值最大时，△EFG 的面积最大，∵FH =-36m 2-3m +833，∵a <0．开口向下，∴x =-3时，FH 的值最大，此时F -3,-32．如图2中，作点G 关于DE 的对称点T ，TG 交DE 于R ，连接OR 交AC 于N ，作NM ⊥DE 于M ，连接TM ，GM ，此时GM +MN +NO 的值最小．∵直线DF 的解析式为：y =-32x -23，由y =-32x -23y =33x +23，解得x =-245y =235，∴G -245,232 ，∵TG ⊥AC ，∴直线GR 的解析式为y =-3x -2235，由y =33x +1433y =-3x -2235 ，解得x =-345y =1235，∴R -345,1235，∴RG =4,OR =23975，∵GM =TM =RN ，∴GM +MN +ON =RN +ON +RG =RG +ON =4+23975．∴GM +MN +NO 的最小值为4+23975．(2)如图3中，如图当△PQR 是等腰三角形时，易知∠QPR =120°，PQ =PR易知直线RQ 与x 轴的夹角为60°，L 3-32,23+32，直线RQ 的解析式为y =3x +3-3，∴R (0,3-3)，∴PR =1433-(3-3)=1733-3．如图4中，当△QPR 是等腰三角形，∵∠QPR =60°，∴△QPR 是等边三角形，同法可得R (0,23)，∴PR =OP -OC =1433-23=833综上所述，满足条件的PR 的值为1733-3或833．【点睛】本题属于二次函数证明题，考查了二次函数的性质，一次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论的思想思考问题．3(2023·广东潮州·校考一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接OP 交BC 于点Q ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当PQ OQ 的值最大时，求点P 的坐标和PQ OQ的最大值；(3)把抛物线y =-12x 2+bx +c 沿射线AC 方向平移5个单位得新抛物线y ，M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N 点的坐标，并把求其中一个N 点坐标的过程写出来．【答案】(1)抛物线的函数表达式为y =-12x 2+x +4(2)当m =2时，PQ OQ取得最大值12，此时，P (2,4)(3)N 点的坐标为N 12,52 ,N 22,-112 ,N 32,-52.其中一个N 点坐标的解答过程见解析【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案；(2)运用待定系数法求得直线BC 的解析式为y =-x +4，如图1，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D (m ,-m +4)，证明△PDQ ∽△OCQ ，得出：PQ OQ =PD OC=-12m 2+2m 4=-18(m -2)2+12，运用求二次函数最值方法即可得出答案；(3)设M t -12t 2+2t +92,N (2,s )，分三种情况：当BC 为▱BCN 1M 1的边时；当BC 为▱BCM 2N 2的边时；当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案．【详解】(1)∵抛物线y =-12x 2+bx +c 与x 轴交于A (-2,0),B (4,0)两点(点A 在点B 的左侧)，∴-12×(-2)2-2b +c =0-12×42+4b +c =0,解得：b =1c =4 ，∴抛物线的函数表达式为y =-12x 2+x +4；(2)∵抛物线y =-12x 2+x +4与y 轴交于点C ，∴C (0,4)，∴OC =4，设直线BC 的解析式为y =kx +d ，把B (4,0),C (0,4)代入，得：4k +d =0,d =4 解得：k =-1d =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4，如图1，过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D ，设P m ,-12m 2+m +4 ，则D (m ,-m +4)，∴PD =-12m 2+2m ，∵PD ∥OC ，∴△PDQ ∽△OCQ ，∴PQ OQ =PD OC=-12m 2+2m 4=-18(m -2)2+12,∴当m =2时，PQ OQ取得最大值12，此时，P (2,4)．(3)如图2，沿射线AC 方向平移5个单位，即向右平移1个单位，向上平移2个单位，∴新的物线解析式为y =-12(x -2)2+132=-12x 2+2x +92，对称轴为直线x =2，设M t ,-12t 2+2t +92,N (2,s )，当BC 为▱BCN 1M 1的边时，则BC ∥MN ,BC =MN ，∴t -2=4s =-12t 2+2t +92+4解得：t =6s =52，∴N 12,52;当BC 为▱BCM 2N 2的边时，则BC ∥MN ,BC =MN ，∴t -2=-4s =-12t 2+2t +92-4 ,解得：t =-2s =-112，∴N 22,-112;当BC 为▱BM 3CN 3的对角线时，则t +2=4-12t 2+2t +92+s =4，解得：t =2s =-52，∴N 32,-52;综上所述，N 点的坐标为：N 12,52 ,N 22,-112 ,N 32,-52.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键．4(2023·湖北襄阳·校联考模拟预测)坐标综合：(1)平面直角坐标系中，抛物线C 1：y 1=x 2+bx +c 的对称轴为直线x =3，且经过点6,3 ，求抛物线C 1的解析式，并写出其顶点坐标；(2)将抛物线C 1在平面直角坐标系内作某种平移，得到一条新的抛物线C 2：y 2=x 2-2mx +m 2-1，①如图1，设自变量x 在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1．此时，若y 2的最大值比最小值大12m ，求m 的值；②如图2，直线l ：y =-12x +n n >0 与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点.过点A 、点C 分别作两坐标轴的平行线，两平行线在第一象限内交于点B ．设抛物线C 2与x 轴交于E 、F 两点(点E 在左边)．现将图中的△CBA 沿直线l 折叠，折叠后的BC 边与x 轴交于点M ．当8≤n ≤12时，若要使点M 始终能够落在线段EF (包括两端点)上，请通过计算加以说明：抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向左还是向右平移？最少要平移几个单位？最多能平移几个单位？【答案】(1)抛物线C 1的解析式为y 1=x 2-6x +3，抛物线C 1的顶点坐标为3,-6(2)①m 的值为2或9-154；②抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位【分析】(1)根据对称轴为直线x =3，可得b =-6，再把把6,3 代入，即可求解；(2)①根据配方可得当x =m 时，函数有最小值-1，再由自变量x 在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1，可得1≤m ≤2，然后两种情况讨论，即可求解；②先求出点A ，C 的坐标，可得点B 的坐标，再根据图形折叠的性质可得CM =AM ，在Rt △COM 中，根据勾股定理可得CM =54n ，从而得到点M 的坐标，继而得到n 的取值范围，然后根据点M 始终能够落在线段EF (包括两端点)上，可得m 取值范围，即可求解．【详解】(1)解：∵y 1=x 2+bx +c 的对称轴为直线x =3，∴-b2=3，解得：b =-6，把6,3 代入y 1=x 2-6x +c ，得3=62-6×6+c ，解得：c =3，∴抛物线C 1的解析式为y 1=x 2-6x +3，当x =3时，y 1=32-6×3+3=-6，∴抛物线C 1的顶点坐标为3,-6 ；(2)解：①∵y 2=x 2-2mx +m 2-1=x -m 2-1，∴抛物线C 2的对称轴为直线x =m ，当x =m 时，函数有最小值-1，∵在1≤x ≤2的范围内取值时，函数y 2的最小值始终等于-1，∴1≤m ≤2，当1≤m ≤32时，x =2时y 2有最大值为m 2-4m +3，∴m 2-4m +3+1=12m ，解得m =9±154，∴m =9-154；当32≤m ≤2时，x =1时y 2有最大值为m 2-2m ，∴m 2-2m +1=12m ，解得m =2或m =12(舍)，综上所述：m 的值为2或9-154；②直线l ：y =-12x +n 与x 轴的交点A 2n ,0 ，与y 轴的交点C 0,n ，∴B 2n ,n ，∵△CBA 沿直线l 折叠，∴∠BCA =∠ACM ，∵∠BCA =∠CAM ，∴∠ACM =∠MAC ，∴CM =AM ，在Rt △COM 中，CM 2=CO 2+OM 2，即CM 2=n 2+2n -CM 2，解得CM =54n ，∴OM =34n ，∴M 34n ,0 ，∵8≤n ≤12，∴6≤34n ≤9，当x 2-2mx +m 2-1=0时，解得：x =m +1或x =m -1，∴E m -1,0 ，F m +1,0 ，∵点M 始终能够落在线段EF 上，∴m +1≥6，m -1≤9，∴5≤m ≤10，∵y 1=x 2-6x +3=x -3 2-6，y 2=x -m 2-1，当m =5时，抛物线C 1沿x 轴向右平移2个单位，向上平移5个单位，当m =10时，抛物线C 1沿x 轴向右平移7个单位，向上平移5个单位，∴抛物线C 1在向抛物线C 2平移时，沿x 轴的方向上需要向右平移，最少平移2个单位，最多平移7个单位．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，轴对称图形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．5(2023·浙江湖州·统考中考真题)如图1，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =x 2-4x +c 的图象与y 轴的交点坐标为0,5 ，图象的顶点为M ．矩形ABCD 的顶点D 与原点O 重合，顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，顶点B 的坐标为1,5 ．(1)求c 的值及顶点M 的坐标，(2)如图2，将矩形ABCD 沿x 轴正方向平移t 个单位0<t <3 得到对应的矩形A B C D ．已知边C D ，A B 分别与函数y =x 2-4x +c 的图象交于点P ，Q ，连接PQ ，过点P 作PG ⊥A B 于点G ．①当t =2时，求QG 的长；②当点G 与点Q 不重合时，是否存在这样的t ，使得△PGQ 的面积为1？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)c =5，顶点M 的坐标是2,1(2)①1；②存在，t =12或52【分析】(1)把0,5 代入抛物线的解析式即可求出c ，把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；(2)①先判断当t =2时，D ，A 的坐标分别是2,0 ，3,0 ，再求出x =3，x =2时点Q 的纵坐标与点P 的纵坐标，进而求解；②先求出QG =2，易得P ，Q 的坐标分别是t ,t 2-4t +5 ，t +1,t 2-2t +2 ，然后分点G 在点Q 的上方与点G 在点Q 的下方两种情况，结合函数图象求解即可．【详解】(1)∵二次函数y =x 2-4x +c 的图象与y 轴的交点坐标为0,5 ，∴c =5， ∴y =x 2-4x +5=x -2 2+1，∴顶点M 的坐标是2,1 ．(2)①∵A 在x 轴上，B 的坐标为1,5 ，∴点A 的坐标是1,0 ．当t =2时，D ，A 的坐标分别是2,0 ，3,0 ．当x =3时，y =3-2 2+1=2，即点Q 的纵坐标是2，当x =2时，y =2-2 2+1=1，即点P 的纵坐标是1．∵PG ⊥A B ，∴点G 的纵坐标是1， ∴QG =2-1=1． ②存在．理由如下：∵△PGQ 的面积为1，PG =1，∴QG =2．根据题意，得P ，Q 的坐标分别是t ,t 2-4t +5 ，t +1,t 2-2t +2 ．如图1，当点G 在点Q 的上方时，QG =t 2-4t +5-t 2-2t +2 =3-2t =2，此时t =12(在0<t <3的范围内)，如图2，当点G 在点Q 的下方时，QG =t 2-2t +2-t 2-4t +5 =2t -3=2，此时t =52(在0<t <3的范围内)．∴t =12或52．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．6(2023·江苏·统考中考真题)如图，二次函数y =12x 2+bx -4的图像与x 轴相交于点A (-2,0)、B ，其顶点是C ．(1)b =；(2)D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，tan ∠AOD =52；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D ，过点(k ,0)作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k 的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，且其顶点P 落在原抛物线上，连接PC 、QC 、PQ ．已知△PCQ 是直角三角形，求点P 的坐标．【答案】(1)-1；(2)k ≤-3；(3)3,-52 或-1,-52 ．【分析】(1)把A (-2,0)代入y =12x 2+bx -4即可求解；(2)过点D 作DM ⊥OA 于点M ，设D m ,12m 2-m -4 ，由tan ∠AOD =DM OM=-12m 2+m +4-m =52，解得D -1,-52，进而求得平移后得抛物线，平移后得抛物线为y =12x +3 2-92，根据二次函数得性质即可得解；(3)先设出平移后顶点为P p ,12p 2-p -4 ，根据原抛物线y =12x -1 2-92，求得原抛物线的顶点C 1,-92 ，对称轴为x =1，进而得Q 1,p 2-2p -72，再根据勾股定理构造方程即可得解．【详解】(1)解：把A (-2,0)代入y =12x 2+bx -4得，0=12×-2 2+b ×-2 -4，解得b =-1，故答案为-1；(2)解：过点D 作DM ⊥OA 于点M ，∵b =-1，∴二次函数的解析式为y =12x 2-x -4设D m ,12m 2-m -4 ，∵D 是第三象限抛物线上的一点，连接OD ，tan ∠AOD =52，∴tan ∠AOD =DM OM=-12m 2+m +4-m =52，解得m =-1或m =8(舍去)，当m =-1时，12m 2-m -4=12+1-4=-52，∴D -1,-52，∵y =12x 2-x -4=12x -1 2-92，∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为y =12x +a 2-92，把D -1,-52 代入y =12x +a 2-92得-52=12-1+a 2-92，解得a =3或a =-1(舍去)，∴平移后得抛物线为y =12x +3 2-92∵过点(k ,0)作x 轴的垂线l ．已知在l 的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，在y =12x +3 2-92的对称轴x =-3的左侧，y 随x 的增大而减小，此时原抛物线也是y 随x 的增大而减小，∴k ≤-3；(3)解：由y =12x -1 2-92，设平移后的抛物线为y =12x -p 2+q ，则顶点为P p ,q ，∵顶点为P p ,q 在y =12x -1 2-92上，∴q =12p -1 2-92=12p 2-p -4，∴平移后的抛物线为y =12x -p 2+12p 2-p -4，顶点为P p ,12p 2-p -4 ，∵原抛物线y =12x -1 2-92，∴原抛物线的顶点C 1,-92，对称轴为x =1，∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q ，∴Q 1,p 2-2p -72，∵点Q 、C 在直线x =1上，平移后的抛物线顶点P 在原抛物线顶点C 的上方，两抛物线的交点Q 在顶点P 的上方，∴∠PCQ 与∠CQP 都是锐角，∵△PCQ 是直角三角形，∴∠CPQ =90°，∴QC 2=PC 2+PQ 2，∴p 2-2p -72+92 2=p -1 2+12p 2-p -4+922+p -1 2+12p 2-p -4-p 2+2p +722化简得p -1 2p -3 p +1 =0，∴p =1(舍去)，或p =3或p =-1，当p =3时，12p 2-p -4=12×32-3-4=-52，当p =-1时，12×-1 2+1-4=-52，∴点P 坐标为3,-52 或-1,-52．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．7(2023·湖北宜昌·统考模拟预测)如图，过原点的抛物线y 1=ax (x -2n )(a ≠0,a ,n 为常数)与x 轴交于另一点A ，B 是线段OA 的中点，B -4,0 ，点M (-3,3)在抛物线y 1上．(1)点A 的坐标为；(2)C 为x 轴正半轴上一点，且CM =CB ．①求线段BC 的长；②线段CM 与抛物线y 1相交于另一点D ，求点D 的坐标；(3)将抛物线y 1向右平移(4-t )个单位长度，再向下平移165个单位长度得到抛物线y 2，P ，Q 是抛物线y 2上两点，T 是抛物线y 2的顶点．对于每一个确定的t 值，求证：矩形TPNQ 的对角线PQ 必过一定点R ，并求出此时线段TR 的长．【答案】(1)-8,0(2)①BC =5；②D -54,2716 (3)证明见解析，RT =5【分析】(1)根据中点公式求C 点坐标即可；(2)①设C x ,0 ，根据CM =CB ，建立方程(x +3)2+9=x +4，求出C 点坐标即可求BC ；②求出直线CM 的解析式为y =-34x +34，将A -8,0 代入y 1=ax (x -2n )，求出n =-4，将M 点代入y 1=ax (x +8)，求出a =-15，从而求出抛物线y 1=-15x (x +8)，直线CM 与抛物线的交点即为点D -54,2716；(3)根据平移的性质可求y 2=-15(x +t )2，则T (-t ,0)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，P m ,-15(m +t )2 ，Q n ,15(n +t )2 当kx +b =-15(x +t )2时，整理得x 2+(2t +5k )x +5b +t 2=0，由根与系数的关系可得m +n =-2t -5k ，mn =5b +t 2，过点P 作PF ⊥x 轴交于F 点，过Q 点作QE ⊥x 轴交于E 点，证明△FPT ∽△ETQ ，则PF TE =FT EQ ，即15(m +t )2n +t =-t -m 15(n +t )2，整理得，(m +t )(n +t )=-25，求出b =kt -5，所以直线PQ 的解析式为y =kx +kt -5=k (x +t )-5，对于每一个确定的t 值，直线PQ 必经过定点R (-t ,-5)，RT =5．【详解】(1)∵B 是线段OA 的中点，B -4,0 ，∴OA =8，∴A -8,0 ，故答案为：-8,0 ；(2)①设C x ,0 ，∵CM =CB ，∴(x +3)2+9=x +4，解得x =1，∴BC =5；②设直线CM 的解析式为y =k 'x +b '，∴k '+b '=0-3k '+b '=3 ，解得k '=-34b '=34，∴直线CM 的解析式为y =-34x +34，将A -8,0 代入y 1=ax (x -2n )，∴-8a (-8-2n )=0，∵a ≠0，∴-8-2n =0，解得n =-4，∴y 1=ax (x +8)，将M 点代入y 1=ax (x +8)，∴-3a (-3+8)=3，解得a =-15，∴抛物线y 1=-15x (x +8)，当-34x +34=-15x (x +8)时，解得x =-3或x =-54，∴D -54,2716；(3)证明：∵y 1=-15x (x +8)=-15(x +4)2+165，∴y 2=-15(x +t )2，∴T (-t ,0)，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，P m ,-15(m +t )2 ，Q n ,15(n +t )2 ，当kx +b =-15(x +t )2时，整理得x 2+(2t +5k )x +5b +t 2=0，∴m +n =-2t -5k ，mn =5b +t 2，过点P 作PF ⊥x 轴交于F 点，过Q 点作QE ⊥x 轴交于E 点，∵四边形TPNQ 是矩形，∴∠PTQ =90°，∴∠FTP +∠ETQ =90°，∵∠FTP +∠TPF =90°，∴∠ETQ =∠TPF ，∴△FPT ∽△ETQ ，∴PF TE =FTEQ，即15(m +t )2n +t=-t -m15(n +t )2，整理得，(m +t )(n +t )=-25，∴mn +t (m +n )+t 2=-25，∴b -kt =-5，即b =kt -5，∴直线PQ 的解析式为y =kx +kt -5=k (x +t )-5，∴对于每一个确定的t 值，直线PQ 必经过定点R (-t ,-5)，∴RT =5．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，题型02二次函数翻折问题二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值。
小学数学二次函数的基本概念与图像课件
二次函数的图像
二次函数图像的形状：抛物线 二次函数图像的顶点：最低点或最高点 二次函数图像的对称性：关于x轴对称 二次函数图像与x轴的交点：求根公式或因式分解法
二次函数的性质
二次函数的一般
形
式
为
y=ax^2+bx+c，
其中a、b、c为
常数且a≠0
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的极值问题
二次函数的极值条件 极值点的计算方法 极值与函数图像的关系 极值在实际问题中的应用
二次函数的实际应用价 值
在数学竞赛中的应用
二次函数在数学竞赛中常作为压轴题出现，考察学生的综合解题能力。 通过解决二次函数问题，学生可以锻炼数学思维能力，提高数学素养。 二次函数在数学竞赛中具有较高的区分度，能够选拔出优秀的学生。 掌握二次函数的基本概念和图像是解决数学竞赛中相关问题的关键。
二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)
二次函数的开口方向由系数a决定，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线 开口向下
二次函数的对称轴为x=-b/2a
二次函数的表达式
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c a、b、c为常数，且a≠0 a的符号决定了抛物线的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下 b和c决定了抛物线的位置
图像的对称性
二次函数图像的对称轴是直线x=-b/2a 二次函数图像的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 二次函数图像的对称性可以根据对称轴和顶点进行判断 二次函数图像的对称性对于理解函数的性质和解决实际问题具有重要意义
二次函数的图像与性质PPT课件
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就越小.
在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 －1的图像
x
y=x2+1 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/
顶点坐标、增减性和最值?
-2
-3 -4
y 1 (x 1)2 2
(2)抛物线 y 1 (x 1)2
-5 -6
2
的开口方向、对称轴、
-7 -8
顶点坐标、 增减性和最值?
-9
x=－1-10
y 1 (x 1)2 2
抛物线 y 1 (x 1)2 与抛物线 y 1 (x 1)2
什么关系? 2
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向上平移 7 个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。
y=ax2 (a≠0) 图 象
开口方向
a>0 y
Ox 向上
a<0 y
O
二次函数图像与性质(共44张PPT)
相同,可以看作是抛
物线y=3x2整体沿x轴 向右平移了1 个单位
图象是轴对称图形
对称轴是平行于
y轴的直线:x=1.
二次项系数相同
a>0,开口都向上.
顶点坐标
是点(1,0).
想一想,在同一坐标系中作二次函数
y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?
(4)x取哪些值时,函数y=3(x1)2的值随x值的增大而增大 ?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2 的值随x的增大而减少？
2 (4)当x<0时,随着x的值增大,y 的1 值如何变化？当x>0呢？
(5)当x取-4什么-值3时,-y2的值最-1小?最0 小值1是什么2？你是3如何4知道的x ？ -2
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴.
二次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形 式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们先作二次函数 y=3(x-1)2的图象．
在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象．
想一想
比较函数y 3x2与y 3x1的2 图象
右侧, y随着x的增大而减小.
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
y
在同一坐标系中作出函数 y=x2和y=-x2的图象
y=x2
y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1
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简称“上加下减”
沿x轴平移
向左平移m个单位： y=a(x-h+m)2+k 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为__________ 2+b(x+m)+c 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为 y=a(x+m) __________ 向右平移m个单位： y=a(x-h-m)2+k 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为__________ 2+b(x-m)+c 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为 y=a(x-m) __________
变式训练
1. 将二次函数y=x2+2x+6的图象向右平移1个单位，再 向上平移3个单位，求平移后的解析式? 分析： y=（x-1）2+2（x-1）+6+3 即:y=x2+8 2.已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把 x轴、 y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新的坐标系 下抛物线的解析式为( B ）. Ａ. y=2（x-2）2+2 Ｂ. y=2（x+2）2-2 Ｃ. y=2（x-2）2-2 Ｄ. y=2（x+2）2+2 分析： 若抛物线不动，把x、y轴分别向上、向右平移2 个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移 两个单位，由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为 y=2（x+2）2-2 答案：B
3.（2012)与抛物线y=-x2-2x-4关于x轴对称的图象表示为 ____ Y=x2+2x+4 4.（2012)与抛物线y=-2x2+x-1关于y轴对称的图象表示为—— Y= -2x2-x-1 5（2009•黔东南州）二次函数y=x2-2x-3的图像关于原点 O（0，0）对称的图像解析式—— Y=-x2-2x+3
图像对称
对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
小试牛刀
1.与抛物线y=x2-2x-4关于x轴对称的图象表示为( A ) A．y=-x2+2x+4 B．y=-x2+2x-4 C．y=x2-2x+6 D．y=x2-2x-4
图像旋转
绕原点旋转180°顶点纵横坐标与a全部符号变相反 绕顶点旋转180°顶点坐标符号不变，a符号变相反
小试牛刀
1.将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°,则旋 2-1 y= -x 转后的抛物线解析式是 _________ 2.将抛物线y=x2-2x+3绕它的顶点旋转180°，所得 2+2x+1 y= -x 抛物线的解析式是 _____________
简称：“左加右减”
小试牛刀
1.将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下 平移2个单位后，则所得抛物线解析式为 （ A ） A．y=-3(x-1)2-2； B．y=-3(x-1)2+2； C．y=-3(x+1)2-2； D．y=-3(x+1)2+2． 2.将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单 位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式? y= -2(x+1)2+4(x+1)+6-2 y= -2x2+6
回顾中考
1.（2012河南5题3分）在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的 抛物线解析式是（ B ） (A)Y=(X+2)2+2 (B) Y=(X-2)2-2 (C) Y=(X-2)2+2 (D) Y=(X+2)2+2 2.（2013枣庄）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再 向左平移2个单位，那么得到的抛物线解析式是（ A ） (A)Y=3(X+2)2+3 (B) Y=3(X-2) 2 +3 (C) Y=3(X+2)2-3 (D) Y=3(X-2)2-3
二次函数图像平移,对称与旋转
------ 大路李初级中学：
侯群霞
图像平移
沿Y轴平移
向上平移n个单位： y=a(x-h)2+k+n 二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)变为___________ y=ax2+bx+c+n 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)变为 ___________ 向下平移n个单位： 2+k-n y=a(x-h) 2 二次函数y=a(x-h) +k(a ≠0)变为___________ y=ax2+bx+c-n 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 变为 ___________
6（2012宁波）把二次函数y=(x-1)2+2的图像绕原点旋转1800 得到的抛物线解析式是——
y=-(x+1)2-2 7（2009）把二次函数Y=(X+2)2+2的图像绕顶点旋转1800得到 的抛物线解析式为—— Y=-(X+2)2+2
思考探讨
抛物线的图像平移可以类比点的平移规律吗？如 果可以，请试试动脑找出来吧。
3．与y=x2-2x-3的图象关于原点O（0，0）对称 的函数图象的解析式是（ D ） A．y=（x-1）2-4 B．y=-（x+1）2-4 C．y=（x+1）2+4 D．y=-（x+1）2+4 分析：根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐 标都互为相反数”得变化后解析式: - y=（-x）2-2（-x）-3 即： y=-（x+1）2+4 答案：D
4.在平面直角坐标系中，函数图象A与二次函数y=x2+x-2 的图象关于x轴对称，而函数图象B与图象A关于y轴对称， y=-x2+x+2 那么函数图象B对应的函数关系式为_________________ 分析：∵函数图象A与二次函数y=x2+x-2的图象关于x 轴对称， ∴函数图象A的解析式为：y=-x2-x+2， ∵函数图象B与图象A关于y轴对称 ∴函数图象B的解析式为： y=-x2+x+2
分析：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐 标互为相反数”得变后解析式为：-y=x2-2x-4 即： y=-x2+2x+4 答案：A
2.如果某二次函数的图象与已知二次函数y=x2-2x的图象 关于y轴对称，那么这个二次函数的解析式是（ B ） A．y=-x2+2x B．y=x2+2x C．y=-x2-2x D．y=x2−2 分析：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为 相反数∴ y=（-x）2-2（-x）即：y=x2+2x 答案：B