1 5因式分解定理

高等代数II 第一章多项式

第5节.因式分解定理

教学大纲

.素因子的个数

小学算术就学了正整数的因子分解，学了质数合数.初中学了多项式的因式 分解.因子分解是你们熟悉的.很多人就认为因式分解很容易，就凭那三招(提取 公因子，用乘法公式，分组分解法)就可以纵横天下。

其实，正整数的因子分解都是世界难题。多项式就更不可能容易。

先别去碰难题。还有些入门的小儿科都没有搞清楚。

比如,1不能分解,为什么不是质数？

学了负整数,2=(-2)(-1)可以分解,2还是质数吗？

-6的分解式是 3冬-2)还是(-3)X2还是(-1) X 3X 2

2X+4在有理系数范围内能不能分解？ 2x+4=2(x+2)不就分解了吗？

还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。你分到不知道怎么分就结 束了。为什么不想一下，你不知道怎么分，不能断定它就不能分。有可能是它还能 分，你水平不够没有发现它的分解式。

因此，不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。 最简单的情况：全部因式都是一次，肯定到底了。大部分时候不能分到一次，怎 么知道它到底没有。比如 x 10+x 5+1, x 12+x 9+x 6+x 3

+1在有理数范围内能不能分？ 1. 正整数的分解：

不能分解的正整数叫做 质数(也叫素数)，能分解的叫合数.

1是质数还是合数？

1不能分解，是质数.

1既不是合数，也不是质数.

既不是合数，也不是质数，是什么呢？

它就是1. 为什么不说“ 2既不是合数，也不是质数，它就是2”？

例1. 学生 老师 学生 老师 点评

1和2都不能分解，它们有什么区别？

例2.如下正整数是多少个素因子的乘积？

(1)24; (2) 24 X 2X 1X 3X(3)1;24 2 1 3 1; (4) 23X32; (5) 210 210。

解.⑴24=2 X 2X,X个素因子。

(2)24X 2X 1X 2X214, 含4 个素因子, 乘2 乘3 各增加一个素因子变成6 个.

乘1 不变, 素因子不增加, 仍是6 个.

(3)24 2 3, 24 含4 个素因子,除以2,3 能够整除,各减少一个素因子变成2 个.

除以1 不变, 素因子不减少, 仍是6 个.

(4)23X32，3 个素因子乘2 个素因子，共5 个素因子。

(5)210 210, 10 个素因子除以10 个素因子，减少10 个,变成0 个素因子. 因此规定

210 210 =210-10=20=1

点评：两个整数相乘, 素因子个数相加. 相除，素因子个数相减.

乘1 不增加, 除以1 不减少, 说明1 是0 个素因子。

素数幕p n自己除以自己等于1,素因子个数n-n=0,说明P°=1, 也说明1 是0 个

素因子。

结论. 1 个素因子叫做素数, 2 个或更多个素因子的乘积叫做合数.

0 个素因子的乘积是1 ．这种分类言之成理了.

如果将1也规定为素因子,2=2 X 1X1XX 1X的分解就永远分不完了。

2.整数的分解：整数包括正整数、0、负整数. 0 不能作因子，只考虑正负整数.

例3. 如下整数是几个素因子的乘积.

(1)-1; (2) 1; (3) -2; (4) 6; (5) - 6.

解. (1) -1=(-1)(-1)(-1)=(-1)5=(-1)2019. -1 是不是素因子？

如果是, 它也是3 个,5个,2019个, 任意奇数个素因子的乘积. 显然不合理。

(2)1=(-1)(-1)=(-1)2020。 1 是2 个-1 的乘积,也是2020个-1 的乘积.

既然1 是0 个素因子个数为0, - 1 的素因子个数就是0 2 = 0 2020 = 0。

(3)-2=(-1)X2 的素因子个数= 0+1=1 。素因子个数为1 的, 自己就应该是素数。但是-2=(-1)X2 可以分解,能够称为素数吗？

2=2X1=(-2)(-1) 也可以分解, 是素数吗？

如果说前一种分解2X1 的因子是2 自己和1,不算是分解。

后一种分解的因子-2,-1 既不是2 自己也不是1,算不算分解？

如果也算分解，每个素数p=(- p)(- 1) 都可以分解为既非p 也非1的因子的乘积，就都不是素数，就没有素数了。p=(- p)(-1)2k+1的因子个数2k+2可以任意大。

就永远分不完了。

由此可见，整数P因子分解p=bc的因子b,c不但不应该是1,也不应该是1 的因子-1.

不应该是P自己，也不应该是P的-1倍-P。-1应该看成与1同样都是0个素因子。P的-1倍(-1)P应该看成与P是同一个素因子，同样都是素数。虽然它们不相等，但是可以把它身上的倍数-1 随时拿走或添上， (拿走.可以乘另外一个素因子，添上可以在另外一个素因子也添一个, 不改变乘积，也不改变素因子个数。)不能说(-1)p与P相等，但称它们相伴。

⑷6=2 X3=(-2)(-3)两种分解都正确，素因子都是2个。

(5)-6=(-2)3=2(-3), 2个素因子。

3.数域上多项式的分解：

可逆元. 与整数的分解同理，1 的因子是每个多项式的因子, 可以无穷地往外提取，不能算是一个独立的因子，只能算是“ 0个素因子”，不能充当因式分解的因式。因式分解f(x)=g(x)h(x) 的每一个因式都不能是1 的因子，这样的分解才算是真正的分解。

哪些多项式g(x) 是1 的因子，满足1= q(x)g(x) ? 多项式q(x), g(x) 乘积

g(x)h(x)=1 的次数等于q(x),g(x) 次数之和. 但1 的次数等于零, 多项式次数不能为负, 因此1 的因子q(x), g(x) 的次数都是0，都是非零常数。g(x)=c 0 是非零常数，它的逆c-1=1/c也就是c的倒数，也是非零常数，也是多项式。因此我们称c是多项式集合中的可逆元。如果g(x)次数至少是1,含有字母X,它的逆

g(x)-1=1/g(x) 就是分式而不是多项式，这样的g(x) 就不是多项式集合的可逆元，而是分式集合的可逆元。分式集合的可逆元很多, 除了0以外的分式都是可逆元。有理数集合也是除了0 以外都是可逆元，所以称有理数集合Q 是数域。分式集合也是域，但其中大量的元素不是数，因此不是数域，而称为分式域。

正整数集合只有1 才是可逆元。因子分解只要两个因子都不是1，就是真正的分解，只有a=aX1不算是分解,算是没有分解。整数集合Z有两个可逆元1,-1, a=a X1=(-a)(-1) 都算是没有分解。

多项式集合P[x] 中所有的非零常数c 都是可逆元, c-1都是多项式，就有无穷多个可逆元。从多项式f(x)提取可逆元作为因子得到的分解

f(x)= c(c-1f(x))

都不算是分解，而算是没有分解。如2x+4=2(x+2), 2x+3=2(x+1.5)都不算分解。

但如果不在有理系数多项式集合内而在整系数多项式集合内分解，也只有1,-1 是可逆元，2 不是可逆元，2x+4=2(x+2) 就是真分解。2x+3 就不能分解了。

只要一个运算系统对加减乘封闭, 就可以考虑元素的因子分解。不过，如果乘法不交换，就不好办。例如同一数域上的全体n 阶方阵对加减乘封闭，但乘法不交换，你就难以分解。还存在两个非零方阵A,B 的乘积为零，这也会给因式分解制造麻烦。我们学过因式分解的整数集合Z, 数域P 上多项式集合P[x] 都没有这些奇怪现象，很规矩，适合做因式分解。