最新二次根式重点难点

二次根式中中考题错解示例

—、在取值范围上只考虑二次根式，不考虑分母

例1(2010绵阳中考)要使3_x d —1有意义，则x应满足( )

J2x—1

(A)丄< x< 3

2(B) x < 3 且X M1

2(D) 1v x < 3

错解：选A.由3-x>0且2x-1 >0,可知x< 3且x>丄，即丄< x

2 2

< 3.

错解分析：错解在取值范围上死板地应用二次根式的性质，思维单一，不顾整体.只考虑到二次根式中被开方数的取值范围，不考虑分母,结果扩大了代数式的取值范围，造成了错解?在1中,既要考

J2x-1

虑(2x-1)是被开方数，须使其值是非负数，又要考虑是分母,还

必须使2x-1不为0.综上可知2x-1 > 0.

正解：选D.由3-x>0且2x-1 >0,可知x< 3且x> -,即1v x

2 2

< 3.

二、平方根与算术平方根的概念相混淆

例2 (2010 -济宁中考)4的算术平方根是( )

(A) 2 ( B)—2 (C) 士2 ( D 4

错解：选C.由-2 2= 4,可知4的算术平方根是士2.

错解分析：错解对算术平方根和平方根的概念模糊不清，误以为一个正数的算术平方根有两个，它们互为相反数.事实上,一个正数的平方根有两个，且互为相反数.另外,正数的那个正的平方根叫算术平方根.因为4的平方根是士2,所以4的算术平方根是2.

正解:选A.

三、不会把非负因式移到根号里面

例3（2010 ?绵阳中考）下列各式计算正确的是（）

2 3 6

（A）m ? m =

（C）3 2 3 =2 3=5（ D）（a「1）［a =n2；a 1「a（。

< 1）

错解：选A.由m2m3二m2 3二m6,可知选A.

错解分析：m2m3= m2 3= m5,故选项A错误.有些同学在D选项中不会把非负因式往根号里面移.在（a -1）, 1中,使被开方数十 > 0,则必有分子、分母同号.由于分子1是正数,所以分母1- a必为正数.所以有隐含条件a< 1.另外,要注意把根号外的因式往根号内移时只有非负因式才能往里移.要把负因式a1往根号里面移，必须变形为-（1- a,然后把括号前面的负号留在外面.把正因式1- a加平方后移入根号里面.所以（a 一1）；丄=一：（1 —a）'丄一J仁a .

\1_a \ 1 -a

正解：选D.

四、不会比较根式的大小

例4（2010 ?天津中考）比较2，5，37的大小，正确的是（）（A） 2 ：：：..5 ：：：：7 （B） 2：：：37—5

（C）：：：2 ：：：.5 （D）.5「37：：：2

错解：选A.在2（即“），圧,命中，因被开方数4v 5V7,故2 V 5 V

错解分析：错解在变形2, 5 , 37后,比较被开方数4,5,7得到错误答案A.实际上，在折，弱,衍中，由于它们不是同次根式，所以不能直接利用被开方数比较大小.可以这样想，由于在变形2,5 , 37后，根指数2和3的最小公倍数是6,所以可把它们分别六次方：26=（2叮=64, （75）=125, （^7）=49.由49v 64V 125,可知曲V 2V 書, 也可以把2, 5，-. 7都化成六次根式：2 = 626 = 664 , ? 5 = 6 53= 6 125 , 37 =6尹=649.由49V 64V 125,可知污：：：2 ：：：? 5 .

正解:选C.

五、不会利用二次根式的非负性

例5（ 2010 -成都中考）若x,y为实数，且x?2 ?. y_3=0，则（x -°y）2

的值为 ___________ :

错解：由x?2 ?.厂3=°,可知x+2与y-3互为相反数，即x+2+y-3=°,于是x y 2 01°=12 010=1.

错解分析:考查,a（a>0）的非负性，常与数的绝对值、a2的性质一起出现.本题因为两个非负数的和为0,所以每一个非负数都为0, 即| x+2| = 0, y - 3 = 0,解得x=-2,y=3,贝卩x y ] : [3-2i；=1 .错解虽然结果也恰巧是1,但解题过程是错误的.

正解:1.

六、对最简二次根式的条件掌握不牢

例6（2010 ?湛江中考）下列二次根式是最简二次根式的是（）

(A) a 寸(B).4 (C) ,3 (D) , 8

错解：选A.因为选项A中4的次数是1,小于根指数2,所以￡是最简

二次根式.

错解分析：最简二次根式要同时满足两个条件：⑴被开方数不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.错解只考虑了以上第⑵个条件，把被开方数不含分母这个条件忘了.而盲「22, 、I - 23,被开方数的指数都大于或等于根指数，故也不是最简二次根式.只有3是最简二次根式.

正解:选C.