湖南省永州市九年级(上)期末数学试卷(附解析)
湖南省永州市2022-2023学年九年级数学第一学期期末联考试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠A=36°，∠C=28°，则∠B=（ ）A ．100°B ．72°C ．64°D ．36° 2．如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，2DE =，8AB =，则O 的半径为（ ）A ．5B ．8C ．3D ．103．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是 ( )A ．2210x x +=B ．20ax bx c ++=C ．(1)(2)1x x -+=D ．223250x xy y --=4．小思去延庆世界园艺博览会游览，如果从永宁瞻胜、万芳华台、丝路花雨、九州花境四个景点中随机选择一个进行参观，那么他选择的景点恰为丝路花雨的概率为（ ）A ．12B ．14C ．18D ．1165．对于反比例函数1y x =，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点()1,1- B ．图象位于第二、四象限C ．图象是中心对称图形D ．当0x <时，y 随x 的增大而增大 6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）A ．球体B ．圆锥C ．棱柱D ．圆柱7．对于二次函数y ＝﹣2x 2，下列结论正确的是（ ）A ．y 随x 的增大而增大B ．图象关于直线x ＝0对称C ．图象开口向上D ．无论x 取何值，y 的值总是负数8．某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，设这两次提价的年平均增长率为x ，那么下面列出的方程正确的是（ ）A ．180（1+x ）＝300B ．180（1+x ）2＝300C ．180（1﹣x ）＝300D ．180（1﹣x ）2＝3009．以下A 、B 、C 、D 四个三角形中，与左图中的三角形相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，二次函数y=ax 1+bx+c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，1）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＜0；②9a+3b+c ＞0；③若点M （12，y 1），点N （52，y 1）是函数图象上的两点，则y 1＜y 1；④﹣35＜a ＜﹣25；⑤c-3a ＞0其中正确结论有（ ）A ．1个B ．3个C ．4个D ．5个 11．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式为（ ）A ．2(1)4y x =-+B ．2(4)4y x =-+C ．2(2)6y x =++D ．2(4)6y x =-+ 12．在ABC ∆中，90C ∠=︒，4sin 5A =，则cos B 的值为( ) A ．43 B ．34 C ．35 D ．45二、填空题（每题4分，共24分）13．在一个不透明的盒子中装有除了颜色以外没有任何其他区别的1个黑球和2个红球，从盒子中任意取出1个球，取出红球的概率是____.14．抛物线y=3x 2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是____．15．已知某品牌汽车在进行刹车测试时发现，该品牌某款汽车刹车后行驶的距离 S （单位：米）与行驶时间 t （单位：秒）满足下面的函数关系：2124(0)S t t t =-≥ ．那么测试实验中该汽车从开始刹车到完全停止，共行驶了_________米．16．将二次函数y ＝2x 2的图像向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的图像所对应的函数表达式为____．17．若2sin 2α=，则锐角α的度数是_____． 18．一个圆锥的母线长为5cm ，底面圆半径为3 cm ，则这个圆锥的侧面积是____ cm ²．（结果保留）．三、解答题（共78分）19．（8分）某商店专门销售某种品牌的玩具，成本为30元/件，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）为了保证每天的利润不低于3640元，试确定该玩具销售单价的范围．20．（8分）用适当的方法解下列方程：(1)x 2－6x ＋1＝0(2)x 2－4＝2x ＋421．（8分）如图，已知抛物线25y ax bx =+-()0a ≠与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于C 点，对称轴为1x =-，直线3y x =-+与抛物线相交于A 、D 两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）P 为抛物线上一动点，且位于3y x =-+的下方，求出ADP ∆面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）设点Q 在y 轴上，且满足OQA OCA CBA ∠+∠=∠，求CQ 的长.22．（10分）已知12,x x 是关于x 的一元二次方程222(1)50x m x m -+++=的两个实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若()()121128x x --=，求m 的值；23．（10分）如图，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2,2)A -、(5,0)B -、(10)C -，，P （a ，b ）是△ABC 的边AC 上一点：（1）将ABC ∆绕原点O 逆时针旋转90°得到111A B C ∆,请在网格中画出111A B C ∆，旋转过程中点A 所走的路径长为 .（2）将△ABC 沿一定的方向平移后，点P 的对应点为P 2（a +6，b +2），请在网格画出上述平移后的△A 2B 2C 2，并写出点A 2、的坐标:A 2（ ）.（3）若以点O 为位似中心，作△A 3B 3C 3与△ABC 成2:1的位似，则与点P 对应的点P 3位似坐标为 （直接写出结果).24．（10分）如图，已知抛物线214y x bx c =++经过ABC 的三个顶点，其中点(0,3)A ，点(12,15)-B ，//AC x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交与点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.25．（12分）如图，一根竖直的木杆在离地面3.1m 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__________．（参考数据：sin380.62,cos380.79,tan380.78︒≈︒≈︒≈）26．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点O 在ABC ∆的内部，O 经过B ，C 两点，交AB 于点D ，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作GDEC．（1）判断DE与O的位置关系，并说明理由．（2）若点B是DBC的中点，O的半径为2，求BC的长．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【详解】试题分析：设AC和OB交于点D，根据同弧所对的圆心角的度数等于圆周角度数2倍可得：∠O=2∠A=72°，根据∠C=28°可得：∠ODC=80°，则∠ADB=80°，则∠B=180°-∠A-∠ADB=180°-36°-80°=64°，故本题选C．2、A【分析】作辅助线，连接OA，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r，再利用勾股定理求解即可.【详解】解：如图，连接OA，设圆的半径为r ，则OE=r-2，∵弦AB CD ⊥,∴AE=BE=4，由勾股定理得出：()22242r r =+-，解得：r=5，故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答.3、C【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】A 、2210x x +=不是整式方程，故本选项错误； B 、当a =0时，方程就不是一元二次方程，故本选项错误；C 、由原方程，得230x x +-=，符合一元二次方程的要求，故本选项正确；D 、方程223250x xy y --=中含有两个未知数，故本选项错误．故选C ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．4、B【分析】根据概率公式直接解答即可．【详解】∵共有四个景点，分别是永宁瞻胜、万芳华台、丝路花雨、九州花境， ∴他选择的景点恰为丝路花雨的概率为14；【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5、C【分析】根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可．【详解】解：A、∵当x=1时，y=1，∴函数图象过点(1，1)，故本选项错误；k=>，∴函数图象的每个分支位于第一和第三象限，故本选项错误；B、∵10C、由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，故本选项正确；k=>，∴在每个象限内，y随着x的增大而减小，故本选项错误；D、∵10故选：C．【点睛】本题重点考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．6、D【解析】试题分析：观察可知，这个几何体的俯视图为圆，主视图与左视图都是矩形，所以这个几何体是圆柱，故答案选D.考点：几何体的三视图.7、B【分析】根据二次函数的性质可判断A、B、C，代入x=0，可判断D.【详解】解：∵a＝﹣2＜0，b=0，∴二次函数图象开口向下；对称轴为x＝0；当x＜0时，y随x增大而增大，当x＞0时，y随x增大而减小，故A，C错误，B正确，当x=0时，y=0，故D错误，故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握基础知识是解题关键.8、B【分析】本题可先用x表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意表示出第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x的方程．【详解】当商品第一次提价后，其售价为：180（1+x）；当商品第二次提价后，其售价为：180（1+x）1．∴180（1+x）1＝2．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意表示出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于2即可．9、B【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．【详解】设小正方形的边长为1，所以三边之比为1:2A 、三角形的三边分别为2、2:B 、三角形的三边分别为2、4、1:2，故本选项正确；C 、三角形的三边分别为2、32:D 44，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键．10、D【分析】根据二次函数的图项与系数的关系即可求出答案.【详解】①∵图像开口向下，a 0∴< ，∵与y 轴的交点B 在(0,1)与(0,3)之间，0c ∴> ，∵对称轴为x=1，-22b a∴= ， ∴b=-4a ，∴b>0，∴abc<0，故①正确；②∵图象与x 轴交于点A(-1,0)，对称轴为直线x=1，∴图像与x 轴的另一个交点为(5,0)，∴根据图像可以看出，当x=3时，函数值y=9a+3b+c>0，故②正确； ③∵点1215y y 22M N （，），（，） ，∴点M 到对称轴的距离为13|2-|=22 ，点N 到对称轴的距离为51|2-|=22， ∴点M 到对称轴的距离大于点N 到对称轴的距离，∴12y y < ，故③正确；④根据图像与x 轴的交点坐标可以设函数的关系式为：y=a （x-5）(x+1)，把x=0代入得y=-5a ，∵图像与y 轴的交点B 在（0，1）与（0，3）之间，-5a 253a >⎧∴⎨-<⎩， 解不等式组得32-55a <<- ，故④正确； ⑤∵对称轴为x=1-22b a∴= ， ∴b=-4a ，当x=1时，y=a+b+c=a-4a+c=c-3a>0,故⑤正确；综上分析可知，正确的结论有5个，故D 选项正确.故选D .【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 1+bx+c （a≠0）的图象，当a ＞0，开口向上，函数有最小值，a ＜0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2b a-，a 与b 同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与b 异号，对称轴在y 轴的右侧；当c ＞0，抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方.11、B【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将223y x x =-+化为顶点式，得2(1)2y x =-+．将抛物线223y x x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为2(4)4y x =-+，故选B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．12、D【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cosB=sinA=45．故选：D．【点睛】本题考查了互余两角三角函数的关系，在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．二、填空题（每题4分，共24分）13、2 3【分析】根据概率的定义即可解题.【详解】解：一共有3个球,其中有2个红球,∴红球的概率=2 3 .【点睛】本题考查了概率的实际应用,属于简单题,熟悉概念是解题关键.14、y=3（x﹣1）2﹣2【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，即可得答案．【详解】抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x-1）2-2，故答案为y=3（x-1）2-2.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．15、1【分析】此题利用配方法求二次函数最值的方法求解即可；【详解】∵221243492⎛⎫=--+⎪-⎝=⎭tS t t，∴汽车刹车后直到停下来前进了1m．故答案是1．【点睛】本题主要考查了二次函数最值应用，准确化简计算是解题的关键．16、y ＝2(x －2)2＋3【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．【详解】解：将抛物线y=2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=2（x-2）2+3，故答案为：y ＝2(x －2)2＋3.【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．17、45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】解：∵sin α=， ∴α＝45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查的知识点特殊角的三角函数值，理解并熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.18、15π【分析】圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．【详解】解：圆锥的侧面积=π×3×5=15πcm 2故答案为：15π．【点睛】本题考查圆锥侧面积公式的运用，掌握公式是关键．三、解答题（共78分）19、（1）10700y x =-+；（2）销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元；（3）44≤x ≤56【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）利用w=销量乘以每件利润进而得出关系式求出答案；（3）利用w=3640，进而解方程，再利用二次函数增减性得出答案．【详解】解：（1）y 与x 之间的函数关系式为：y kx b =+把（35，350），（55，150）代入得：由题意得：3503515055k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：10700k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的函数关系式为：10700y x =-+．（2）设销售利润为W 元则W=（x ﹣30）•y =（x ﹣30）（﹣10x +700），W =﹣10x 2+1000x ﹣21000W =﹣10（x ﹣50）2+4000∴当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元．（3）令W =3640∴﹣10（x ﹣50）2+4000=3640∴x 1=44，x 2=56如图所示，由图象得：当44≤x ≤56时，每天利润不低于3640元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确掌握二次函数的性质是解题关键．20、（1）x 1＝3＋2，x 2＝3－2 ；（2）x 1＝－2，x 2＝4【分析】（1）利用配方法进行求解一元二次方程即可；（2）根据十字相乘法进行求解一元二次方程即可．【详解】解：（1）2610x x -+=2698x x +-=，()238x -=， 解得：12322,322x x =+=-；（2）2424x x -=+2280x x --=，()()240x x +-=，解得：122,4x x =-=．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．21、（1）212533y x x =+-； （2）当52t =-时，ADP S ∆取最大值133124，此时P 点坐标为555,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （3）7CQ =或17.【分析】（1）根据对称轴与点A 代入即可求解；（2）先求出()8,11D -，过P 点作y 轴的平行线，交直线AD 于点M ，设212,533P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，得到(),3M t t -+，215833PM t t =--+，表示出21111582233ADP A D S PM x x t t ∆⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意分①当Q 在y 轴正半轴上时， ②当Q 在y 轴负半轴上时利用相似三角形的性质即可求解.【详解】（1）∵对称轴为x ＝−1，∴−2b a＝−1， ∴b ＝2a ，∴y ＝ax 2＋2ax −5，∵y ＝−x ＋3与x 轴交于点A （3，0），将点A 代入y ＝ax 2＋2ax−5可得a ＝13∴212533y x x =+-. （2）令2125333x x x +-=-+，解得：13x =，28x =-， ∴()8,11D -，过P 点作y 轴的平行线，交直线AD 于点M ，设212,533P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则(),3M t t -+， ∴215833PM t t =--+，83t -<<， 则21111582233ADP A D S PM x x t t ∆⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭， ∵103-<， ∴当52t =-时，ADP S ∆取最大值133124， 此时P 点坐标为555,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （3）存在，理由：①当Q 在y 轴正半轴上时，如图，过点Q 作QN AC ⊥于N ，根据三角形的外角的性质得，OQA OCA QAN ∠+∠=∠，又∵45OQA OCA CBA ∠+∠=∠=︒，∴45QAN CBA ∠=∠=︒，∴AN QN =，∵3AO =，5CO =，∴AC =设AN QN m ==，则CN AC AN m =+=+又∵90QNA COA ∠=∠=︒，QCN ACO ∠=∠，∴COA CNQ ∆∆∽， ∴CO AO AC CN QN QC==，3m QC==，∴1732QC ==，②当Q 在y 轴负半轴上时，记作'Q ，由①知，17512OQ QC CO =-=-=，取'12OQ OQ ==，如图，则由对称知：'OQ A OQA ∠=∠，∴'45OQ A OCA OQA OCA CBA ∠+∠=∠+=∠=︒，因此点'Q 也满足题目条件，∴''1257Q C OQ OC =-=-=，综合以上得：7CQ =或17.【点睛】本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次与一次函数的图象及性质，掌握三角形相似、直角三角形的性质是解题的关键．22、（1）2m ≥；（2）6m =.【分析】（1）由方程有两个实数根可知0∆≥，代入方程的系数可求出m 的取值范围.（2）将等式左边展开，根据根与系数的关系12b x x a +=-，12c x x a =，代入系数解方程可求出m ，再根据m 的取值范围舍去不符合题意的值即可.【详解】解：（1）方程有两个实数根()()2221458160⎡⎤∴∆=-+-+=-≥⎣⎦m m m 2m ∴≥（2）由根与系数的关系，得：()1221x x m +=+，2125=+x x m()()121128x x --=()1212270x x x x -+-=()2521270m m ∴+-+-=126,4m m ∴==-2m ≥6m ∴=【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟记公式是解题的关键.23、（1）画图见解析，2π ；（2）画图见解析，（4,4）；（3）P 3 （2a ，2b ）或P 3 （-2a ，-2b ）【解析】（1）分别得出△ABC 绕点O 逆时针旋转90º后的对应点得到111A B C 、、的位置，进而得到旋转后的得到111A B C ∆，而点A 所走的路径长为以O 为圆心，以OA 长为半径且圆心角为90°的扇形弧长；（2）由点P 的对应点为P 2（a +6，b +2）可知△ABC 向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到的△A 2B 2C 2；（3）以位似比2：1作图即可，注意有两个图形，与点P 对应的点P 3的坐标是由P 的横、纵坐标都乘以2或－2得到的.【详解】解：（1）111ΔA B C 如图所示，∵22222OA =+=∴点A 90222ππ⨯⨯= 2π（2）∵由点P 的对应点为P 2（a +6，b +2）∴△A 2B 2C 2是△ABC 向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到的，∴点A 对应点A 2坐标为（4,4）△A 2B 2C 2如图所示，（3）∵P （a ，b ）且以点O 为位似中心，△A 3B 3C 3与△ABC 的位似比为2:1∴P 3 （2a ，2b ）或P 3 （-2a ，-2b ）△A 3B 3C 3如图所示，24、（1）21234y x x =++；（2）(6,0)P -；（3）存在，116(,3)3Q - ，2(4,3)Q 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）设点P （m ，21234m m ++），表示出PE ＝2134m m --，再用S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝12AC ×PE ，建立函数关系式，求出最值即可；（3）先判断出PF ＝CF ，再得到∠PCA ＝∠EAC ，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况计算即可．【详解】（1）∵点(0,3)A ，(12,15)-B 在抛物线上，∴3115144124c b c =⎧⎪⎨=⨯-+⎪⎩， ∴23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为21234y x x =++， （2）∵AC ∥x 轴，A （0，3） ∴21234x x ++＝3， ∴x 1＝−6，x 2＝0，∴点C 的坐标（−8，3），∵点(0,3)A ，(12,15)-B ，求得直线AB 的解析式为y ＝−x ＋3，设点P （m ，21234m m ++）∴E （m ，−m ＋3） ∴PE ＝−m ＋3−（21234m m ++）＝2134m m --， ∵AC ⊥EP ，AC ＝8，∴S 四边形AECP＝S △AEC ＋S △APC ＝12AC ×EF ＋12AC ×PF ＝12AC ×（EF ＋PF ） ＝12AC ×PE ＝12×8×（2134m m --） ＝−m 2−12m＝−（m ＋6）2＋36，∵−8＜m ＜0∴当m ＝−6时，四边形AECP 的面积的最大，此时点P （−6，0）；（3）∵21234y x x =++＝21(4)14x +-， ∴P （−4，−1），∴PF ＝y F −y P ＝4，CF ＝x F −x C ＝4，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°同理可得：∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的Q，设Q（t，3）且AB，AC＝8，CP=∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，∴CQ CP AC AB=，∴88t+=，∴t＝−163或t＝−323（不符合题意，舍）∴Q（−163，3）②当△CQP∽△ABC时，∴CQ CP AB AC=，=∴t＝4或t＝−20（不符合题意，舍）∴Q（4，3）综上，存在点116 (,3)3Q-2(4,3)Q.【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．25、8.1m【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【详解】解：如图：3.1,38AC m B =∠=︒， ∴ 3.15sin 0.62AC AB B ===， ∴木杆折断之前高度()3.158.1AC AB m =+=+=故答案为8.1m【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握运算法则是解题关键.26、（1）DE 是O 的切线；理由见解析；（2）BC 的长32π=． 【分析】（1）连接OD ，求得45ABC ∠=︒，根据圆周角定理得到290COD ABC ∠=∠=︒，根据平行四边形的性质得到//DE CG ，得到180EDO COD ∠+∠=︒，推出OD DE ⊥，于是得到结论；（2）连接OB ，由点B 是DBC 的中点，得到BC BD =，求得BOC BOD ∠=∠，根据弧长公式即可得到结论．【详解】（1）DE 是O 的切线；理由：连接OD ， 90ACB ∠=︒，CA CB =，45ABC ∴∠=︒，290COD ABC ∴∠=∠=︒，四边形GDEC 是平行四边形，//DE CG ∴，180EDO COD ∴∠+∠=︒，90EDO ∴∠=︒，OD DE ∴⊥，DE ∴是O 的切线；（2）连接OB ，点B 是DBC 的中点，∴BC BD =，BOC BOD ∴∠=∠，360BOC BOD COD ∠+∠+∠=︒，∴BC 的长135231802ππ⨯==．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，平行四边形的性质，正确的识别图形是解题的关键．。
湖南省永州市九年级上学期数学期末考试试卷
湖南省永州市九年级上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2016九上·宾县期中) 对抛物线：y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（）A . 与x轴有两个交点B . 开口向上C . 与y轴的交点坐标是（0，3）D . 顶点坐标是（1，﹣2）2. （2分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD为（）A .B .C .D .3. （2分）布袋中有红、黄、蓝三个球，它们除颜色不同以外，其他都相同，从袋中随机取出一个球后再放回袋中，这样取出球的顺序依次是“红-黄-蓝”的概率是（）A .B .C .D .4. （2分）设A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A . y1＞y2＞y3B . y1＞y3＞y2C . y3＞y2＞y1D . y3＞y1＞y25. （2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（）A . 5B .C .D . 66. （2分） (2016九上·江岸期中) 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .7. （2分）将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是（）A . y=2(x+1)2+3B . y=2(x－1)2－3C . y=2(x+1)2－3D . y=2(x－1)2+38. （2分）(2017·如皋模拟) 如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1 ， x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为（）A . 3B . ﹣3C . 13D . ﹣139. （2分）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为（）A .B .C .D . 1-10. （2分）同一圆中，对于下列命题：①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数是圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等。
永州市九年级(上)期末数学试卷含答案
九年级（上）期末数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知反比例函数的图象经过点，则k 的值为y =kx (1,2〕( )A. B. 1C. 2D. 40.52.已知，则的值是ab =23a−bb( )A. B. C. D. 2335−13133.方程的根的情况是x 2−2x +1=0( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根4.已知点，在函数的图象上，则，的大小关系是A(3,y 1)B(5,y 2)y =5x y 1y 2( )A. B. C. D. 不能确定y 1<y 2y 1>y 2y 1=y 25.下列各式中，不成立的是( )A. B. cos60°=2sin30°sin15°=cos75°C. D. tan30°⋅tan60°=1sin 230°+cos 230°=16.为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表：月用水量吨()456813户数45731则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是( )A. 中位数是5B. 平均数是5C. 众数是6D. 方差是67.在同一平面直角坐标系中，函数与为常数，的大致图象y =kx y =kx +1(k k ≠0)是( )A. B.C. D.8.如图，在中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，添加△ABC 以下条件，不能判断∽的是 △AED △ABC ()A. ∠AED =∠ABCB. ∠ADE =∠ACBC. ADAC =EDBCD. AD AC =AEAB9.如图，已知线段AB ，过点B 作AB 的垂线，并在垂线上取；连接AC ，BC =12AB 以点C 为圆心，CB 为半径画弧，交AC 于点D ；再以点A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于点P ，则的值是APAB ( )A.B.C.D.5−125+123−522210.式子“”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式1+2+3+4+…+100子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“”是求∑100n =1n ∑和符号，如，通过对以上材料的阅读，计算∑4n =1n 2=12+22+32+42=30的值是∑2019n=11n(n +1)( )A. B. C. D. 12201720182018201920192020二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.如图，在中，点D 是AB 的中点，交AC 于△ABC DE//BC 点E ，若，则DE 的长是______．BC =212.如图，点P 在反比例函数的图象上，过点P 作y =−4x 轴于点A ，则的面积是______．PA ⊥x △POA 13.如图，某商店营业大厅自动扶AB 的坡度为：，过B 点作垂足为i =1 2.5BC ⊥AC.点若大厅水平距离AC 的长为，则两层之间的高度BC 为______米．C.7.5m14.已知关于x 的方程的一个根为，则它的另一个根为______，x 2+3x +q =0−3q =______．15.两个相似三角形的最短边长分别为5cm 和3cm ，它们的周长之差为12cm ，那么较大三角形的周长为______cm ．16.如图，在矩形ABCD 中，，垂足为E ，且DE ⊥AC tan，，则AB 的长______．∠ADE =43AC =517.如图所示是小明家房子的侧面图，屋面两侧的斜坡米，屋顶，计划把图中AB =AC =6∠BAC =150°阴影部分涂上墙漆，若墙漆的造价每平方米为△ABC()100元，则这部分墙漆的造价共需______元．18.我们规定：等腰三角形的底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”如图，是以A 为顶点.△ABC的“特征值”为的等腰三角形，在外有一点D ，若，，12△ABC ∠ADB =∠ABC AD =4，则______度，CD 的长是______．BD =3∠ABC =三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.计算：．|−2|+(π+2019)0−2tan45°20.2018年全国青少年禁毒知识竞赛开始以来，永州市青少年学生跃参如，掀起了学习禁毒知识的热潮，禁毒知识竞赛的成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格．为了了解我市广大学生参加禁毒知识竞赛的成绩，抽取了部分学生的成绩，根据抽查结果，绘制了如下两幅不完整的计图本次抽查的人数是______；(1)扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为______度；(2)补全条形统计图；(3)若某校有2000名学生，请你估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”(4)两个等级共有多少人？21.为了预防“流感“，某学校对教室采用熏法进行消毒，已知药物燃烧时．室内每立方米空气中的含药量毫y(克立方米与药物点燃后的时间分钟成正比例；/)x()药物燃尽后，y 与x 成反比例如图所示已知药物点()燃后6分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为15毫克．(1)分别求出这两个函数的表达式：(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于3毫克时对人体没有危害，那么此次消毒后经过多长时间学生才可以安全进入教室？22.某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．(1)求平均每年生产成本下降的百分率；(2)假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．1.523.如图，某数学兴趣小组为测量教学楼CD的高，先在A处用高米的测角仪测得∠DEG30°教学楼顶端D的仰角为，再向前走20米到达B处，又测得教学楼顶端D ∠DFG60°(的仰角为，A、B、C三点在同一水平线上，求教学楼CD的高结果保留)根号．24.已知关于x 的方程有两个不相等的实数根．x 2−4x +3−a =0求a 的取值范围；(1)当a 取满足条件的最小整数值时，求方程的解；(2)在的条件下，若方程的两个根是等腰的两条边长，(3)(2)x 2−4x +3−a =0△ABC 求等腰的周长．△ABC 25.如图，在等腰中，，，点D 是BC 边上的一个动△ABC ∠BAC =90°AB =AC =1点不与B 、C 重合，在AC 上取一点E ，使．()∠ADE =45°求证：∽；(1)△ABD △DCE 设，，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出(2)BD =x AE =y 当BD 为何值时AE 取得最小值？在AC 上是否存在点E ，使是等腰三角形？若存在，求AE 的长；若不存(3)△ADE 在，请说明理由．26.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴、y 轴上，D 是对角线的交点，若反比例函数的图象经过点D ，且与矩形OABC 的两边AB ，BC 分y =kx 别交于点E ，F ．若D 的坐标为(1)(4,2)则OA 的长是______，AB 的长是______；①请判断EF 是否与AC 平行，井说明理由；②在x 轴上是否存在一点使的值最小，若存在，请求出点P 的坐标及此③P.PD +PE时的长；若不存在．请说明理由．PD +PE 若点D 的坐标为，且，，求的值．(2)(m,n)m >0n >0EFAC答案和解析1.【答案】C【解析】解：将点代入解析式得，(1,2)，2=k1．k =2故选：C ．将点代入解析式即可求出k 的值．(1,2)本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，点的坐标符合函数的解析式，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．2.【答案】C【解析】解：，∵ab =23，∴a−b b=a b −1=23−1=−13故选：C ．由，再代入计算可得．a−b b=ab −1本题主要考查比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．3.【答案】B【解析】解：，∵△=(−2)2−4×1×1=0方程有两个相等的实数根．∴故选：B ．先计算出，然后根据的意义进行判断方程根的情况．△=(−2)2−4×1×1=0△本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，ax 2+bx +c =0(a ≠0)△=b 2−4ac △>0方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有△=0△<0实数根．4.【答案】B【解析】解：把，代入中得，，A(3,y 1)B(5,y 2)y =5x y 1=53y 2=55=1所以．y 1>y 2故选：B ．把A 、B 两点坐标代入反比例函数解析式可分别计算出，，从而可比较它们的大小．y 1y 2本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图y =kx (k k ≠0)象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k ，即．(x,y)xy =k 5.【答案】A【解析】解：A 、，错误；cos60°=sin30°B 、，正确；sin15°=cos75°C 、，正确；tan30°⋅tan60°=1D 、，正确；sin 230°+cos 230°=1故选：A ．根据互余两角的三角函数关系判断即可．此题考查互余两角的三角函数关系，关键是根据互余两角的三角函数关系解答．6.【答案】C【解析】解：A 、根据按大小排列这组数据，第10，11个数据的平均数是中位数，，故本选项错误；(6+6)÷2=6B 、平均数，故本选项错误；=(4×4+5×5+6×7+8×3+13×1)÷20=6C 、6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6，故本选项正确；D 、方差是：，故本选S 2=120[4(4−6)2+5(5−6)2+7(6−6)2+3(8−6)2+(13−6)2]=4.1项错误；故选：C ．根据平均数、中位数、众数和方差的概念，对选项一一分析，选择正确答案．此题主要考查了平均数、中位数、众数和方差的概念．要掌握这些基本概念才能熟练解题．7.【答案】D【解析】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、k >0y =kx y =kx +1二、三象限，故选项C 错误，选项D 正确，当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，k <0y =kx y =kx +1故选项A 、B 错误，故选：D ．根据题意中的函数解析式和分类讨论的方法，可以判断哪个选项中的图象是正确的．本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】C【解析】解：A 、，，则可判断∽，故A 选项错误；∠ABC =∠AED ∠A =∠A △ADE △ACB B 、，，则可判断∽，故B 选项错误；∠ADE =∠ACB ∠A =∠A △ADE △ACB C 、不能判定∽，故C 选项正确；ADAC =EDBC △ADE △ACB D 、，且夹角，能确定∽，故D 选项错误．ADAC =AEAB ∠A =∠A △ADE △ACB 故选：C ．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．9.【答案】A【解析】解：，∵BC ⊥AB ，∴∠ABC =90°设，，则，AB =2a BC =a AC =5a ，∵CD =BC =a ，∴AD =AC−CD =(5−1)a ，∵AP =AD ，∴AP =(5−1)a ．∴APAB =5−12故选：A ．设，，则，利用勾股定理求得AP 的长，即可得出的值．AB =2a BC =a AC =5a APAB 本题考查了勾股定理以及黄金分割的运用，正确掌握勾股定理是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：；1n(n +1)=1n −1n+1则∑2019n=11n(n +1)=11×2+12×3+13×4+…+12019×2020=1−12+12−13+13−14+…+12019−12020．=1−12020=20192020故选：D ．根据，结合题意运算即可．1n(n+1)=1n −1n+1此题考查了分式的加减运算，解答本题的关键是运用，难度一般．1n(n +1)=1n −1n+111.【答案】1【解析】解：，，∵DE//BC AD =DB ，∴AE =EC ，∴DE =12BC =1故答案为1．利用三角形的中位线定理即可解决问题．本题考查三角形的中位线定理，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12.【答案】2【解析】解：设点P 的坐标为．(x,y)在反比例函数的图象上，∵P(x,y)y =−4x ，∴xy =−4，∴S △POA =12|xy|=2故答案为：2．设出点P 的坐标，的面积等于点P 的横纵坐标的积的一半，把相关数值代入即△OAP 可．题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过y =kx 这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．|k|13.【答案】3【解析】解：的坡度为：，过B 点作，垂足为点C ，大厅水平距∵AB i =1 2.5BC ⊥AC 离AC 的长为，7.5m ：：，∴BC AC =1 2.5则．BC =7.5÷2.5=3(m)故答案为：3．直接利用坡度的定义进而得出BC ：：，求出答案即可．AC =1 2.5此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．14.【答案】0 0【解析】解：根据题意，得，解得，；9−9+q =0q =0由韦达定理，知；x 1+x 2=−3则，−3+x 2=−3解得，．x 2=0故答案是：0，0．根据一元二次方程的解定义，将代入关于x 的方程，然后解关于x =−3x 2+3x +q =0q 的一元一次方程；再根据根与系数的关系解出方程的另一个根．x 1+x 2=−ba 本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．在利用根与系数的关系x 1+x 2、来计算时，要弄清楚a 、b 、c 的意义．=−ba x 1⋅x 2=ca 15.【答案】30【解析】解：两个相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，∵两个三角形的相似比为5：3，∴设大三角形的周长为5x ，则小三角形的周长为3x ，由题意得，，5x−3x =12解得，，x =6则，5x =30故答案为：30．根据题意求出两个三角形的相似比，再根据题意列出方程，解方程即可．本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的相似比即对应边的比，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．16.【答案】3【解析】解：四边形ABCD 是矩形，∵，，∴∠ADC =90°AB =CD ，∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，，∴∠ADE +∠DAE =90°∠DAE +∠ACD =90°，∴∠ADE =∠ACD ，∴tan ∠ACD =tan ∠ADE =43=ADCD 设，，则，AD =4k CD =3k AC =5k ，∴5k =5，∴k =1，∴CD =AB =3故答案为3证明，推出，设，，则∠ADE =∠ACD tan ∠ACD =tan ∠ADE =43=ADCD AD =4k CD =3k ，构建方程求出k 即可解决问题．AC =5k 本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．17.【答案】900【解析】解：如图，过点B 作BD 垂直于CA 延长线于点D ，，∵∠BAC =150°．∴∠BAD =30°米．∴BD =AB ⋅sin30°=12AB =3平方米∴S 阴影=12AC ⋅BD =12×6×3=9()则造价为：元9×100=900()故答案是：900．如图，过点B 作BD 垂直于CA 延长线于点D ，构造直角，通过解直角三角形求△ABD 得BD 的长度，利用三角形的面积公式求得阴影部分的面积，然后根据造价求解．考查了解直角三角形的应用，培养学生通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．18.【答案】45 41【解析】解：设等腰三角形的底角为x ，是以A 为顶点的“特征值”为的等腰三角∵△ABC 12形，根据定义可知顶角为2x ．，∴x +x +2x =180°，∴x =45°即，，∠ABC =45°∠BAC =90°过C 点作垂足为H ，交DB 延长线于E ，如图：CH ⊥DA ，，∵∠ADB +∠DAB =∠ABC +∠CBE ∠ADB =∠ABC =45°，，∴∠ADB =∠E =45°∠DAB =∠EBC ∽，∴△ADB △BEC ，∴ADBE =DBEC =ABBC 是等腰直角三角形，∵△ABC ，∴ABBC =12，，∵AD =4BD =3，，∴BE =42CE =32，∴DE =3+42是等腰直角三角形，∵△DHE ，∴DH =EH =22DE =4+322，∴CH =4−322在中，．Rt △DCH CD =DH 2+CH 2=41故答案为：45，．41由等腰三角形的“特征值”定义可知，“特征值”为的等腰三角形由三角形内角和可12计算出顶角为，底角为，故可知，由联想一线90°45°∠ABC =45°∠ADB =∠ABC =45°三等角构造相似三角形，过C 点作垂足为H ，交DB 延长线于E ，得∽CH ⊥DA △ADE ，再在中，由勾股定理即可求出CD ．△BEC Rt △AHE 本题综合考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、相似三角形判断和性质、勾股定理，运用一线三等角构造相似三角形是解题关键，和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出是解此题的关键．4∠BAC =180°19.【答案】解：原式=2+1−2．=1【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】120人 18【解析】解：本次抽查的人数为人，(1)24÷20%=120()故答案为：120人；扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为，(2)360°×6120=18°故答案为：18；良好的人数为人，(3)120−(24+54+6)=36()补全图形如下：估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有(4)2000×24+36120=1000(人．)由优秀的人数及其所占百分比可得总人数；(1)用乘以不及格人数所占比例即可得；(2)360°根据各等级人数之和等于总人数求得良好的人数，据此可补全条形图；(3)用总人数乘以样本中“优秀”和“良好”人数和占被调查人数的比例可得．(4)本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21.【答案】解：正比例函数的图象经过点，(1)∵(6,15)正比例函数的解析式为，∴y =52x 反比例函数的图象经过点，∵(6,15)反比例函数的解析式为：；∴y =90x 把代入中得，(2)y =3y =90xx =30此次消毒后经过30分钟学生才可以安全进入教室．∴【解析】由于在药物燃烧阶段，y 与x 成正比例，因此设函数解析式为(1)，然后由在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧时y y =kx(k ≠0)(6,15)与x 的函数解析式；由于在药物燃烧阶段后，y 与x 成反比例，因此设函数解析式为y =，然后由在函数图象上，利用待定系数法即可求得药物燃烧阶段后y 与xax(a ≠0)(6,15)的函数解析式；将分别代入反比例函数解析式，即可求得x 的值，则可求得答案．(2)y =3本题考查一次函数、反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．22.【答案】解：设每年生产成本的下降率为x ，(1)根据题意得：，100(1−x )2=81解得：，不合题意，舍去．x 1=0.1=10%x 2=1.1()答：每年生产成本的下降率为．10%万元．(2)81×(1−10%)=72.9()答：预测2019该公司的生产成本为万元．72.9【解析】设每年生产成本的下降率为x ，根据2017年、2018年的生产成本，即可得(1)出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；由2019年该公司的生产成本该公司的生产成本下降率，即可得出结(2)=2018×(1−)论．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二(1)次方程；根据数量关系，列式计算．(2)23.【答案】解：，，，∵∠DFG =∠DEF +∠EDF ∠DFG =60°∠DEF =30°，∴∠DEF =∠FDE =30°米，∴EF =FD =20在中，米，Rt △DFG DG =DF ⋅sin60°=20×32=103()四边形AEGC 是矩形，∵米，∴CG =AE =1.5米．∴CD =DG +CG =(1.5+103)【解析】首先证明米，解直角三角形求出DG 即可解决问题．FE =FD =20本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问−题，属于中考常考题型．24.【答案】解：根据题意得，(1)△=(−4)2−4(3−a)>0解得；a >−1的最小整数为0，(2)a 此时方程为，x 2−4x +3=0，(x−3)(x−1)=0或，x−3=0x−1=0所以，；x 1=3x 2=1方程的两个根是等腰的两条边长，(3)∵x 2−4x +3−a =0△ABC 等腰的腰长为3，底边长为1，∴△ABC 等腰的周长．∴△ABC =3+3+1=7【解析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；(1)△=(−4)2−4(3−a)>0在中a 的范围内确定a 的最小整数为0，此时方程为，利用因式分(2)(1)x 2−4x +3=0解法解方程；根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到等腰的腰长为3，底边长为1，(3)△ABC 从而得到等腰的周长．△ABC 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如ax 2+bx +c =0(a ≠0)△=b 2−4ac 下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数△>0△=0根；当时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．△<025.【答案】证明：(1)，∵∠BAC =90°AB =AC∴∠B =∠C =∠ADE =45°∵∠ADC =∠B +∠BAD =∠ADE +∠CDE∴∠BAD =∠CDE∽；∴△ABD △DCE 由得∽，(2)(1)△ABD △DCE ∴BD EC =ABCD，，∵∠BAC =90°AB =AC =1，，，∴BC =2CD =2−x EC =1−y ，，∴x1−y =12−x y =x 2−2x +1=(x−22)2+12当时，y 有最小值，最小值为；x =2212当时，≌，(3)AD =DE △ABD △CDE ，∴BD =CE ，即，∴x =1−y 2x−x 2=x ，∵x ≠0等式左右两边同时除以x 得：∴x =2−1，∴AE =1−x =2−2当时，，此时D 是BC 中点，E 也是AC 的中点，AE =DE DE ⊥AC 所以，；AE =12当时，，D 与B 重合，不合题意；AD =AE ∠DAE =90°综上，在AC 上存在点E ，使是等腰三角形，△ADE AE 的长为或．2−212【解析】根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证∽(1)△ABD ．△DCE 由∽，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y 与x 的函数关(2)△ABD △DCE 系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值．当是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分，(3)△ADE AD =DE ，三种情况讨论求出满足题意的AE 的长即可．AE =DE AD =AE此题综合考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，但难度适中，是一道好题．26.【答案】8 4【解析】解：点D 的坐标为，(1)①∵(4,2)点B 的坐标为，∴(8,4)，．∴OA =8AB =4故答案为：8；4．，理由如下：②EF//AC 反比例函数的图象经过点，∵y =kx D(4,2)．∴k =4×2=8点B 的坐标为，轴，轴，∵(8,4)BC//x AB//y 点F 的坐标为，点E 的坐标为，∴(2,4)(8,1)，，∴BF =6BE =3，，∴BFBC =34BEBA =34．∴BFBC =BE BA ，∵∠ABC =∠EBF ∽，∴△ABC △EBF ，∴∠BCA =∠BFE．∴EF//AC 作点E 关于x 轴对称的点，连接交x 轴于③E′DE′点P ，此时的值最小，如图所示．PD +PE 点E 的坐标为，∵(8,1)点的坐标为，∴E′(8,−1)．∴DE′=(8−4)2+(−1−2)2=5设直线的解析式为，DE′y =ax +b(a ≠0)将，代入，得：D(4,2)E′(8,−1)y =ax +b ，{4a +b =28a +b =−1解得：，{a =−34b =5直线的解析式为．∴DE′y =−34x +5当时，，y =0−34x +5=0解得：，x =203当点P 的坐标为时，的值最小，最小值为5．∴(203,0)PD +PE 点D 的坐标为，(2)∵(m,n)点B 的坐标为．∴(2m,2n)反比例函数的图象经过点，∵y =kx D(m,n)，∴k =mn 点F 的坐标为，点E 的坐标为，∴(12m,2n)(2m,12n)，，∴BF =32m BE =32n ，，∴BFBC =34BEBA =34．∴BFBC =BE BA 又，∵∠ABC =∠EBF ∽，∴△ABC △EBF ．∴EFAC =BFBC =34由点D 的坐标可得出点B 的坐标，再利用矩形的性质可得出OA ，AB 的长；(1)①由点D 的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k 的值，结合点B 的坐②标可得出点E ，F 的长度，进而可得出BE ，BF 的长，由各线段的长度可得出，BFBC =BEBA 结合可证出∽，再利用相似三角形的性质及平行线的判定∠ABC =∠EBF △ABC △EBF 定理可得出；EF//AC 作点E 关于x 轴对称的点，连接交x 轴于点P ，此时的值最小，由点E ③E′DE′PD +PE 的坐标可得出点的坐标，利用两点间的距离公式可求出的长，由点D ，的坐标，E′DE′E′利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出DE′当的值取最小值时点P 的坐标；PD +PE 由点D 的坐标可求出点B 的坐标及k 的值，利用反比例函数图象上点的坐标特征可(2)得出点E ，F 的长度，由各线段的长度可得出，结合可证出BFBC =BEBA ∠ABC =∠EBF △ABC ∽，再利用相似三角形的性质可求出的值．△EBF EF AC 本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及轴对称：最短路线问题，解题的关键是：由点B 的坐标利用矩(1)①形的性质求出OA ，AB 的长；利用相似三角形的判定定理找出∽；利②△ABC △EBF ③用两点之间线段最短，确定当的值最小时点P 的位置；利用相似三角形的PD +PE (2)判定定理找出∽．△ABC △EBF。
2018-2019学年湖南省永州市九年级上期末数学试卷及答案解析
2018-2019学年湖南省永州市九年级上期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答愿卡的空格上，）1．已知反比例函数的图象经过点（1，2〕，则k的值为（）A．0.5B．1C．2D．42．已知＝，则的值是（）A．B．C．﹣D．3．方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．已知点A（3，y1），B（5，y2）在函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定5．下列各式中，不成立的是（）A．cos60°＝2sin30°B．sin15°＝cos75°C．tan30°•tan60°＝1D．sin230°+cos230°＝16．为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表：则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是（）A．中位数是5B．平均数是5C．众数是6D．方差是67．在同一平面直角坐标系中，函数y＝与y＝kx+1（k为常数，k≠0）的大致图象是（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边ABAC上，下列条件中不能判断△AED∽△ABC 的是（）A．∠AED＝∠ABC B．∠ADE＝∠ACB C．D．9．如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；连接AC，以点C 为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P，则的值是（）A．B．C．D．10．式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号，如＝30，通过对以上材料的阅读，计算的值是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卷的答案栏内）11．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，若BC＝2，则DE的长是．。
湖南省永州市九年级上学期期末数学试卷
湖南省永州市九年级上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）关于x的方程kx2+2x-1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A . k≥1B . k≥－1C . k≥1且k≠0D . k≥－1且k≠02. （2分） (2019九上·珠海开学考) 用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（）A .B .C .D .3. （2分）(2019·五华模拟) 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2﹣4ac满足的条件是（）A . b2﹣4ac=0B . b2﹣4ac＞0C . b2﹣4ac＜0D . b2﹣4ac≥04. （2分）抛物线y=（x﹣1）2+2的对称轴是（）A . 直线x=2B . 直线x=﹣2C . 直线x=1D . 直线x=﹣15. （2分） (2020八下·南山期中) 下列图标中，是中心对称图形的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2015八下·镇江期中) 如图，□ABCD绕点A逆时针旋转32°，得到□AB′C′D′，若点B′与点B是对应点，若点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A . 106°B . 146°C . 148°D . 156°7. （2分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于E，连接BD，若∠D=30°，BD=2，则AE 的长为（）A . 2B . 3C . 4D . 58. （2分）下列五幅图是世博会吉祥物照片，质地大小、背面图案都一样，把它们充分洗匀后翻放在桌面上，则抽到2010年上海世博会吉祥物照片的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（）A . ∠AIB=∠AOBB . ∠AIB≠∠AOBC . 4∠AIB-∠AOB=360°D . 2∠AOB-∠AIB=180°10. （2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：其中正确的结论有（）①abc＞0；②8a+2b=-1；③4a+3b+c＞0；④4ac+24c＜b2 ．A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2018九上·武威月考) 当 ________时，关于的方程是一元二次方程.12. （1分）已知实数x，y满足xy=5，x+y=7，则代数式x2y+xy2的值是________ ．13. （1分） (2020九下·龙江期中) 在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为________14. （1分）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是________．15. （1分）(2018·绍兴模拟) 设0＜k＜1，关于x的一次函数，当1≤x≤2时y的最大值是 ________．16. （1分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B．若∠ABP=33°，则∠P=________°．三、解答题 (共9题；共90分)17. （10分） (2017九上·恩阳期中) 已知：关于x的方程x2-（m-1）x-2m2+m=0（1）求证：无论m为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1 ， x2 ，且 x12+x22=2 ，求m的值．18. （5分） (2015七下·茶陵期中) 大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米．求这两个正方形的边长．19. （10分）(2020·吉林模拟) 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y 轴的正半轴上，点A在反比例函数y= (x>0，k>0)的图像上，点D的坐标为(4，3)。
2023-2024学年湖南省永州市新田县九年级(上)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年湖南省永州市新田县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是一元二次方程的是( )A. B. C. D.2.下列计算正确的是( )A. B.C. D.3.若反比例函数的图象经过点，则k的值是( )A. 2B.C.D.4.空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是( )A. 条形图B. 折线图C. 扇形图D. 直方图5.已知点，，均在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )A. B. C. D.6.将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是( )A. B. C. D.7.如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是( )A.B.C.D.8.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则( )A. B. C. 0 D. 19.已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( )A. 3AB. 4AC. 6AD. 8A10.在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，则下列结论：①；②；③AB长的最小值为4；④若点，则其中正确的有( )A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ①②③④二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在函数中，自变量x的取值范围是______.12.若关于x的方程的一个根为1，则______.13.如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，若，则______.14.为了解某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉30只，戴上识别卡井放回，经过一段时间后观察发现，300只A种候鸟中有6只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______只A种候鸟.15.抛物线的顶点坐标为______.16.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C三点都在格点上，则______.17.1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为__________.18.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B都在反比例函数的图象上，延长AB交y轴于点C，过点A作轴于点D，连接BD并延长，交x轴于点E，连接若，的面积是4，则k的值为______.三、解答题：本题共8小题，共66分。
湖南省永州市九年级上学期数学期末考试试卷
湖南省永州市九年级上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019九上·秀洲期中) 二次函数经过点、和，则下列说法正确的是A . 抛物线的开口向下B . 当时，随的增大而增大C . 二次函数的最小值是D . 抛物线的对称轴是直线2. （2分）(2017·长清模拟) 东营市某学校组织知识竞赛，共设有20道试题，其中有关中国优秀传统文化试题10道，实践应用试题6道，创新能力试题4道．小婕从中任选一道试题作答，他选中创新能力试题的概率是（）A .B .C .D .3. （2分）反比例函数y=图象上有三个点（x1 ， y1），（x2 ， y2），（x3 ， y3），其中x1＜x2＜0＜x3 ，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是（）A . y1＜y2＜y3B . y2＜y1＜y3C . y3＜y1＜y2D . y3＜y2＜y14. （2分）(2019·九龙坡模拟) 如图，将半径为4，圆心角为90°的扇形BAC绕A点逆时针旋转60°，点B、C的对应点分别为点D、E且点D刚好在上，则阴影部分的面积为（）A .B .C .D .5. （2分）一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y＝(k≠0)的图像在同一直角坐标系下的大致图像如图所示，则k、b的取值范围是（）A . k＞0，b＞0B . k＞0，b＜0C . k＜0，b＜0D . k＜0，b＞06. （2分） (2020七上·山东月考) 下列图形中是轴对称图形的是（）A .B .C .D .7. （2分）方程x（x-2）+x-2=0的解是（）A . x=2B . x=-2或1C . x=－1D . x=2或－18. （2分）(2019·河北模拟) 用配方法解方程x2+4x+1=0，配方后的方程是（）A . (x+2)2=3B . (x-2)2=3C . （x-2)2=5D . (x+2）2=59. （2分） (2018九上·阜宁期末) 如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若，则AB长为（）A . 4B .C . 8D .10. （2分） (2019九上·台州期末) 如图，在5×5 的网格中，每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，矩形 ABCD 的边分别过格点 E，F，G，H，则当 OD 取最大值时，矩形 ABCD 的面积为（）A . 4B .C . 5D .11. （2分） (2015九上·郯城期末) 某方便面厂10月份生产方便面100吨，这样1至10月份生产量恰好完成全年的生产任务，为了满足市场需要，计划到年底再生产231吨方便面，这样就超额全年生产任务的21%，则11、12月的月平均增长率为（）A . 10%B . 31%C . 13%D . 11%12. （2分） (2018七上·从化期末) 下列说法正确的是（）A . 两点的所有连线中，直线最短B . 连接两点之间的线段，叫做这两点之间的距离C . 锐角的补角一定是钝角D . 一个角的补角一定大于这个角二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2017·仪征模拟) 若方程（m﹣x）（x﹣n）=3（m、n为常数，且m＜n）的两实数根分别为a、b （a＜b），则将m，n，a，b按从小到大的顺序排列为________．14. （1分）(2020·上海模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC=5，..，将△ABC绕点B逆时针旋转，得到，当点在线段CA延长线上时的面积为________．15. （1分）反比例函数y=﹣，当y的值小于﹣3时，x的取值范围是________．16. （1分） (2017七下·兴化月考) 若a－b＝1，ab=－2，则(a＋1)(b－1)＝________.17. （1分）如图，AB是半圆的直径，点C在半圆周上，连接AC，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动．则∠ACP 的度数可以是________．18. （1分） (2020九上·交城期中) 如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3 ，将Rt△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°得到△ADE，则线段BE的长度为________．三、解答题 (共9题；共84分)19. （10分） (2019九上·保定期中) 解方程：（1）（2）20. （5分） (2019九上·博白期中) △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度.①画出△ABC 关于原点 O 的中心对称图形△A1B1C1，并写出点 A1的坐标；②将△ABC 绕点 C 顺时针旋转90°得到△A2B2C，画出△A2B2C，求在旋转过程中，点 A所经过的路径长21. （15分） (2015九上·汶上期末) 如图，直线y1=﹣ x+2与x轴，y轴分别交于B，C，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）经过点A，B，C，点A坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，连接CD，点P是直线BC上方抛物线上的一动点（不与B，C重合），当点P运动到何处时，四边形PCDB的面积最大？求出此时四边形PCDB面积的最大值和点P坐标；（3）在抛物线上的对称轴上是否存在一点Q，使△QCD是以CD为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22. （5分）某市一楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产新政策的出台，大多购房者持币观望．为了加快资金周转，该楼盘开发商将价格下调两次后，决定以每平方米3840元的均价开盘销售，求平均每次下调的百分率．23. （5分）求证：等腰三角形的两底角相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC．求证：∠B=∠C．24. （9分）(2019·夏津模拟) “校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有________人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为________度；并补全条形统计图________。
2022-2023学年湖南省永州市名校九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin 的值是（）A．35B．34C．43D．452．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b(k、b是常数，且k≠0)与反比例函数y2＝cx(c是常数，且c≠0)的图象相交于A(﹣3，﹣2)，B(2，m)两点，则不等式y1＞y2的解集是()A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜23．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若OA=2，则四边形CODE的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．104．某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到1班和2班的概率是（）A ．B ．C ．D ．5．抛物线y ＝3（x ﹣2）2+5的顶点坐标是（ ）A ．（﹣2，5）B ．（﹣2，﹣5）C ．（2，5）D ．（2，﹣5）6．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转100°，得到△ADE ．若点D 在线段BC 的延长线上，则∠B 的大小为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°7．若2a ＝3b ，则下列比列式正确的是（ ）A ．23a b =B ．23a b =C ．23b a =D ．23a b= 8．下列说法：①概率为0的事件不一定是不可能事件；②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率；③事件发生的概率与实验次数无关；④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的概率为13，表示3次这样的试验必有1次针尖朝上．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 9．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．某射击运动员射击一次，命中靶心B ．抛一枚硬币，一定正面朝上C ．打开电视机，它正在播放新闻联播D ．三角形的内角和等于180°10．抛物线2y ax bx c =++如图所示，给出以下结论：①0ab <，②0c <，③0a b c -+=，④0a b c ++<，⑤240b ac ->，其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a 2+b 2+ab ，则方程（x+2）△x ＝1的实数根是（ ） A ．x 1＝x 2＝1 B ．x 1＝0，x 2＝1C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣212．方程x2＝3x的解为（）A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝3 二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝23，那么线段AB的长是_____．14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB+AD＝8cm．当BD取得最小值时，AC的最大值为_____cm．15．为了估计一个不透明的袋子中白球的数量(袋中只有白球)，现将5个红球放进去(这些球除颜色外均相同)随机摸出一个球记下颜色后放回(每次摸球前先将袋中的球摇匀)，通过多次重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.2，由此可估计袋中白球的个数大约为______．16．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD65EFGH的而积为1．问：当格点弦图中的正方形ABCD65EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括1）．17．如图是某小组同学做“频率估计概率”的实验时，绘出的某一实验结果出现的频率折线图，则符合图中这一结果的实验可能是_______（填序号）．①抛一枚质地均匀的硬币，落地时结果“正面朝上”；②在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀；③四张一样的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取出一张，数字是1．18．如图，矩形ABCD 中，2AB =，点E 在边CD 上，且BC CE =，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ，若CF AB =，则tan DAE ∠=______.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，直线112y x =+分别与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与双曲线(0)k y x x =>交于点(4,)m ． （1）求m 与k 的值；（2）已知P 是y 轴上的一点，当12APB S ∆=时，求点P 的坐标．20．（8分）如图，在△ABC 中，AB =5，AC =3，BC =4，将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到△ADE ，点B 经过的路线为弧BD 求图中阴影部分的面积．21．（8分）（1）2y 2+4y ＝y +2（用因式分解法）（2）x 2﹣7x ﹣18＝0（用公式法）（3）4x 2﹣8x ﹣3＝0（用配方法）22．（10分）如图，正方形FGHI 各顶点分别在△ABC 各边上，AD 是△ABC 的高， BC=10，AD=6.（1）证明：△AFI ∽△ABC ；（2）求正方形FGHI 的边长.23．（10分）快乐的寒假临近啦！小明和小丽计划在寒假期间去镇江旅游.他们选取金山（记为A ）、焦山（记为B ）、北固山（记为C ）这三个景点为游玩目标.如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），请用“画树状图”或“列表”的方法求他俩都选择金山为第一站的概率.24．（10分）在平面直角坐标系xOy 中的两个图形M 与N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果,P Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形,M N 间的“和睦距离”，记作(),d M N ，若图形,M N 有公共点，则(),0d M N =．(1)如图（1），()0,1A ，()3,4C ，⊙C 的半径为2，则(),d C C = ，(),d A C = ；(2)如图（2），已知ABC ∆的一边AC 在x 轴上，B 在y 上，且8AC =，7AB =，5BC =．①D 是ABC ∆内一点，若AC 、BC 分别且⊙D 于E 、F ，且()(),2,d C D d D AB =，判断AB 与⊙D 的位置关系，并求出D 点的坐标；②若以r 为半径，①中的D 为圆心的⊙D ，有(),1d B C >，()2d C D <,，直接写出r 的取值范围 ．25．（12分）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 上的一点，使CF ∥BD ．（1）求证：BE ＝CE ；（2）若BC ＝8，AD ＝10，求四边形BFCD 的面积．26．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ．用直尺和圆规作出AB 所在圆的圆心O （要求保留作图痕迹，不写作法）；参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】根据图形找到对边和斜边即可解题.【详解】解：由网格纸可知3 sinα5,故选A.【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,属于简单题,熟悉三角函数的概念是解题关键.2、C【分析】一次函数y1＝kx+b落在与反比例函数y1＝cx图像上方的部分对应的自变量的取值范围即为不等式的解集．【详解】解：∵一次函数y1＝kx+b(k、b是常数，且k≠0)与反比例函数y1＝cx(c是常数，且c≠0)的图象相交于A(﹣3，﹣1)，B(1，m)两点，∴不等式y1＞y1的解集是﹣3＜x＜0或x＞1．故答案为C．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图像与不等式的关系，从函数图像确定不等式的解集是解答本题的关键．3、C【分析】首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC＝OD＝2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．【详解】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC=2，OB＝OD，∴OD＝OC＝2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝1．故选：C．【点睛】此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．4、B【解析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到1班和2班的结果数，然后根据概率公式求解．解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和2班的结果数为2，所以恰好抽到1班和2班的概率=．故选B．5、C【分析】根据二次函数的性质y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标是(h，k)进行求解即可.【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5，∴二次函数图象的顶点坐标是(2，5)，故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．6、B【解析】∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的，∴∠BAD=100°，AD=AB，∵点D在BC的延长线上，∴∠B=∠ADB=180100402.故选B.点睛：本题主要考察了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°，对应边AB=AD及点D 在BC的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B的度数了.7、C【分析】根据比例的性质即可得到结论．【详解】解：∵2a＝3b，∴23 ba故选：C．【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知其变形.8、B【分析】根据概率和频率的概念对各选项逐一分析即可.【详解】①概率为0的事件是不可能事件，①错误；②试验次数越多，某情况发生的频率越接近概率，故②正确；③事件发生的概率是客观存在的，是确定的数值，故③正确；④根据概率的概念，④错误.故选：B【点睛】本题考查概率的意义，考查频率与概率的关系，本题是一个概念辨析问题．9、D【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．【详解】A.某射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故此选项错误；B.抛一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，故此选项错误；C.打开电视机，它正在播放新闻联播，是随机事件，故此选项错误；D.三角形的内角和等于180°，是必然事件．故选：D ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 10、D【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y 轴的交点位置可判断a 、b 、c 的符号，再根据与x 轴的交点坐标代入分析即可得到结果；【详解】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，∴c ＜0，∴ab ＜0，故①②正确；当x=-1时，0a b c -+=，故③正确；当x=1时，根据图象可得0a b c ++<，故④正确；根据函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->，故⑤正确；故答案选D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，准确分析每一个数据是解题的关键．11、C【解析】根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，整理成一般形式，左边化为完全平方式，用直接开平方的方法解方程即可．【详解】解：∵a △b ＝a 2+b 2+ab ，∴（x +2）△x ＝（x +2）2+x 2+x （x +2）＝1，整理得：x 2+2x +1＝0，即（x +1）2＝0，解得：x 1＝x 2＝﹣1．故选：C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．12、D【分析】根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】∵x 2﹣1x ＝0，∴x (x ﹣1)＝0，∴x ＝0或x ﹣1＝0，解得：x 1＝0，x 2＝1．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】在Rt BDC 中，根据直角三角形的边角关系求出CD ，根据勾股定理求出BD ，在在Rt ABD 中，再求出AB 即可．【详解】解：在Rt△BDC中，∵BC＝4，sin∠DBC＝23，∴28sin433 CD BC DBC=⨯∠=⨯=，∴2245 3BD BC CD=-=，∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，∴∠A＝∠DBC，在Rt△ABD中，∴45325sin32BDABA==⨯=，故答案为：25．【点睛】考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．14、42【分析】设AB＝x，则AD＝8﹣x，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB＝AD＝4时，BD 的值最小，根据条件可知A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．则AC为直径时最长，则最大值为42．【详解】解：设AB＝x，则AD＝8﹣x，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD2＝x2+(8﹣x)2＝2(x﹣4)2+1．∴当x＝4时，BD取得最小值为42．∵A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．如图，∴AC为直径时取得最大值．AC的最大值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了四边形的对角线问题，掌握勾股定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．15、20个【解析】∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是0.2，口袋中有5个红球，∵假设有x个白球，∴55x=0.2，解得：x=20，∴口袋中有白球约有20个．故答案为20个．16、9或2或3.【解析】分析：共有三种情况：①当DG2+CG2=CD2，此时EFGH的面积为2；②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为3；③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.详解：①当DG2+CG2=CD2，此时EFGH的面积为2．②当DG=8，CG=1时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=7，可得正方形EFGH的面积为3；③当DG=7，CG=4时，满足DG2+CG2=CD2，此时HG=3，可得正方形EFGH的面积为9.故答案为9或2或3．点睛：本题考查作图-应用与设计、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17、②【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的频率，约为0.33者即为正确答案．【详解】抛一枚硬币，出现正面朝上的频率是12=0.5，故本选项错误；在“石头，剪刀，布”的游戏中，小明随机出的是剪刀的概率是13，故本选项符合题意；四张一样的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取出一张，数字是1的概率是0.25故答案为②.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．18 【分析】设BC=EC=a,根据相似三角形得到222a a =+，求出a 的值，再利用tan DAE ∠=tanA 即可求解. 【详解】设BC=EC=a,∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△ECF ， ∴AB EC BF CF =,即222a a =+解得1（1舍去）∴tan DAE ∠=tanF=2EC a CF =. 【点睛】 此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义.三、解答题（共78分）19、（1）12；（2）(0,5)P 或(0,3)-．【解析】（1）把点（4，m ）代入直线112y x =+求得m ，然后代入与反比例函数(0)k y x x =>，求出k ； （2）设点P 的纵坐标为y ，一次函数112y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点C ，则A （-2，0），C （0，1），然后根据S △ABP =S △APC +S △BPC 列出关于y 的方程，解方程求得即可．【详解】解：（1）点(4,)m 在一次函数112y x =+上， 14132m ∴=⨯+=， 又点(4,3)在反比例函数k y x=上， 4312k ∴=⨯=；（2）设点P 的纵坐标为y ，一次函数112y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点C ，(2,0)A ∴-，(0,1)C ， 又点P 在y 轴上，12APB S ∆=，ABP APC BPC S S S ∆∆∆∴=+，即112|1|4|1|1222y y ⨯⨯-+⨯⨯-=， |1|4y ∴-=，5y ∴=或3y =-(0,5)P ∴或(0,3)-．【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，三角形的面积等知识，求出交点坐标，利用数形结合思想是解题的重点．20、2512π． 【分析】根据旋转的性质得到△AED 的面积=△ABC 的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB 的面积，根据扇形面积公式计算即可．【详解】∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到△ADE ，∴根据旋转可知：∠DAB =30°，△AED ≌△ACB ，∴S △AED =S △ACB ，∴图中阴影部分的面积S =S 扇形DAB +S △AED ﹣S △ACB =S 扇形DAB 23052536012π⨯==π． 【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB 的面积是解题的关键．21、（1）y 1＝﹣2，y 2＝12；（2）x 1＝9，x 2＝﹣2；（3）x 1＝x 2＝1． 【分析】（1）先变形为2y （y +2）﹣（y +2）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式法解方程；（3）先把二次项系数化为1，再两边加上一次项系数一半的平方，配方法得到（x ﹣1）2＝74，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：（1）2y （y +2）﹣（y +2）＝0，∴（y +2）（2y ﹣1）＝0，∴y +2＝0或2y ﹣1＝0，所以y 1＝﹣2，y 2＝12； （2）a ＝1，b ＝﹣7，c ＝﹣18，∴△＝（﹣7）2﹣4×（﹣18）＝121，∴x ＝71121±⨯， ∴x 1＝9，x 2＝﹣2；（3）x 2﹣2x ＝34， ∴x 2﹣2x +1＝34+1， ∴（x ﹣1）2＝74，∴x ﹣1＝∴x 1＝1+2，x 2＝1﹣2． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．22、（1）见解析；（2）正方形FGHI 的边长是154. 【分析】（1）由正方形得出//FI BC ，从而得出两组对应相等的角，由相似三角形的判定定理即可得证； （2）由题（1）的结论和AD 是ABC ∆的高可得FI AE BC AD=，将各值代入求解即可. 【详解】（1）四边形FGHI 是正方形 //FI GH ∴，即//FI BC,AFI B AIF C ∴∠=∠∠=∠（两直线平行，同位角相等）AFI ABC ∴∆~∆；（2）设正方形FGHI 的边长为x由题（1）得的结论和AD 是ABC ∆的高FI AE BC AD∴= ∴6106x x -=，解得154x =故正方形FGHI 的边长是154. 【点睛】 本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定定理与性质，熟记判定定理和性质是解题关键.23、 “画树状图”或“列表”见解析；P （都选金山为第一站）19=. 【分析】画树形图得出所有等可能的情况数，找出小明和小丽都选金山为第一站的情况数，即可求出所求的概率．【详解】画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明和小丽都选金山为第一站的只有1种情况，∴P （都选金山为第一站）19=． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24、（1）2，322；（2）①AB 是⊙D 的切线，132D ⎛ ⎝；②2371r <<71232r <<． 【分析】（1）根据图形M ，N 间的“和睦距离”的定义结合已知条件求解即可．（2）①连接DF ，DE ，作DH ⊥AB 于H ．设OC ＝x ．首先证明∠CBO ＝30︒，再证明DH ＝DE 即可证明AB 是⊙D 的切线，再求出OE,DE 的长即可求出点D 的坐标．②根据(),1d B C >，()2d C D <,得到不等式组解决问题即可．【详解】（1）∵A （0，1），C （3，4），⊙C 的半径为2，∴d （C ，⊙C ）＝2，d （O ，⊙C ）＝AC−222332322+=，故答案为2；322；（2）①连接DF DE ，，作DH AB ⊥于H .设OC x =．∵22222OB BC OC AB AO =-=-，∴()2222578x x -=--， 解得52x =， ∴2BC OC =，∴30CBO ∠=，60BCO ∠=，∵CE CF ，是⊙O 的切线，∴CD 平分BCA ∠，∴30DCE DCB ∠=∠=，∴2DC DE =，∵()()2d C D d D AB =，，，∴2CD DH =，∴DH DE =，∴AB 是⊙D 的切线． ∵533OB OC ==， 设DF DE DH y ===， ∵()1122ABC S AC OB AC BC AB y ∆=⋅⋅=⋅++⋅， ∴3y = ∴33CE DE ==，223CD DE == ∴51322OE =-=，∴12D ⎛ ⎝，②∵OB =∴B （0） ∴=由CD =，(),1d B C >，()2d C D <,得12r r ⎪⎩＞＜解得1r <<12r <<故答案为：1r <<12r <<． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了图形M ，N 间的“和睦距离”，解直角三角形的应用，切线的判定和性质，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．25、（1）见解析；（2）四边形BFCD 的面积为1．【分析】（1）由AB ＝AC 可得AB AC =，然后根据垂径定理的推论即可证得结论；（2）先根据ASA 证得△BED ≌△CEF ，从而可得CF ＝BD ，于是可推得四边形BFCD 是平行四边形，进一步即得四边形BFCD 是菱形；易证△AEC ∽△CED ，设DE ＝x ，根据相似三角形的性质可得关于x 的方程，解方程即可求出x 的值，再根据菱形面积公式计算即可.【详解】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴AB AC =，∵AE 过圆心O ，∴BE ＝CE ；（2）解：∵AB ＝AC ，BE ＝CE ，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ，∴∠BED =∠CEF =90°，∵CF ∥BD ，∴∠DBE ＝∠FCE ，∴△BED ≌△CEF （ASA ），∴CF ＝BD ，∴四边形BFCD 是平行四边形，∵AD ⊥BC ，∴平行四边形BFCD 是菱形；∴BD =CD ，∴BD CD =，∴∠CAE ＝∠ECD ，∵∠AEC ＝∠CED =90°，∴△AEC ∽△CED ，∴AE EC CE ED=，∴CE 2＝DE •AE ，设DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，∴CE=4，AE=10－x，∴42＝x（10﹣x），解得：x＝2或x＝8（舍去），∴DF＝2DE＝4，∴四边形BFCD的面积＝12×4×8＝1．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理的推论、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及一元二次方程的解法等知识，综合性强，具有一定的难度，熟练掌握上述基础知识是解题的关键.26、见解析.【分析】根据垂径定理的推论可知：弦的垂直平分线过圆心，只需连接AC、BC，尺规作线段AC和BC的垂直平分线，其交点即为所求.【详解】解：如图所示：圆心O即为圆弧所在圆的圆心．【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线和垂径定理，属于基础题型，熟练掌握垂径定理和线段垂直平分线的尺规作图是关键.。
2023-2024学年湖南省永州市道县九年级上学期期末数学试卷及参考答案
2023年永州市道县下期期末学业质量监测九年级数学本试卷共25道小题，考试时量120分钟，满分120分.一、选择题（每小题3分，共30分）1.若点()3,4M −在反比例函数ky x=（0k ≠，k 是常数）的图象上，则下列点中也在此反比例函数图象上的是（ ） A.()3,4−B.()4,3C.()3,4D.()3,4−−2.将一元二次方程2513x x −=化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） A.5，－1B.5，3C.5，－3D.25x ，－3x3.一元二次方程260x x +−=的根的情况是（ ） A.有两个正的实数根B.有两个负的实数C.两根的符号相反D.方程没有实数根4.如图，点P 在ABC △的边AC 上，要判断BCP ACB △∽△，需添加一个条件，其中不正确的是（ ）第4题图A.CBP A ∠=∠B.CPB CBA ∠=∠C.CP CB CB CA = D.CP BPCB AB=5.如图，直线AD BE CF ∥∥，若:1:2AB BC =，3DE =，则EF 的长是（ ）第5题图 A. 1.5B.6C.3D.46.如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直（A ，D ，B 在同一条直线上），设CAB α∠=，那么拉线BC 的长度为（ ）第6题图A.sin h αB.cos hαC.tan hαD.tan h α7.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由86元降为41.5元，设平均每次降价的百分率是x ，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A.()861241.5x −= B.()286141.5x −= C.()241.5186x +=D.()41.51286x +=8.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将AOB △扩大到原来的2倍，得到OA B ''△.若点A 的坐标是()2,1，则点A '的坐标是（ ）第8题图 A.()4,2B.()2,4−−C.()4,2−−D.()1,2−−9.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图，给出下列四个结论：①240ac b −<；②42a c b +<；③320b c +<；④()()1m am b b a m ++<≠−，其中正确结论的个数是（ ）第9题图 A.4个B.3个C.2个D. 1个10.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15︒时，如图.在Rt ACB △中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 使BD AB =，连接AD ，得15D ∠=︒，所以tan152AC CD ︒====.类比这种方法，计算tan 22.5︒的值为（ ）第10题图1B.121 二、填空题（每小题3分，共18分）11.如图，点A 是反比例函数ky x=图象上的一个点，过点A 作AB x ⊥轴，AC y ⊥轴，垂足分别为B ，C ，矩形ABOC 的面积为6，则k =______.12.已知0345a b c ==≠，则a bc+的值为______. 13.将二次函数221y x x =++的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新图象对应的解析式是______.14.已知点()11,A x y ，()22,B x y 都在反比例函数4y x=的图象上，且120x x <<，则1y 和2y 的大小关系为1y ______2y （填“＞”“＜”或“＝”）.15.如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为______米.16.如图，反比例函数()0ky x x=>的图象与矩形ABCO 相交于D ，E 两点，若D 是AB 的中点，5BDE S =△，则反比例函数的表达式为______.三、解答题（本大题共9小题，满分72分）17.（本题8分）解下列方程： （1）24830x x −−=；（2）()()2353x x +=+.18.（本题4分）计算：20113sin 30201822−⎛⎫−+−+︒+⨯ ⎪⎝⎭.19.（本题6分）已知关于x 的方程2320x x m +−=有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为－1，求方程的另一根.20.（本题8分）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，DF AE ⊥，垂足为F .（1）求证：ABE DFA △∽△； （2）若4AB =，2BC =，求DF 的长.21.（本题8分）道县西洲公园景区在2023年国庆法定节假日期间，共接待游客达20万人次，预计在2025年国庆法定节假日期间，将接待游客达33.8万人次.（1）求道县西洲公园景区2023至2025年国庆法定节假日期间接待游客人次的年平均增长率；（2）道县西洲公园一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？22.（本题8分）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，唐老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）此次调查的总人数为______；（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是______︒； （3）请将条形统计图补充完整；（4）为了共同进步，唐老师准备从被调查的A 类和D 类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习.请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率.23.（本题8分）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米，寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁.如图，以线段AB 代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN 上D 处为陈树湘雕拍照，相机支架CD 高0.9米，在相机C 处观测雕像顶端A 的仰角为45︒，然后将相机架移到MN 处拍照，在相机M 处观测雕像顶端A 的仰角为30︒，求C 、M 两点间的距离（结果精确到0.11.732≈）24.（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于()1,0A −，()4,0B ，()0,4C −三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使POC △是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；（3）动点P 运动到什么位置时，PBC △面积最大，求出此时P 点坐标和PBC △的最大面积.25.（本题12分）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 上的一个动点，连接DE ，交AC 于点F .图①图②图③ （1）如图①，当13CE EB =时，求CEF CDF S S △△的值；（2）如图②当DE 平分CDB ∠时，求证：AF =；（3）如图③，当点E 是BC 的中点时，过点F 作FG BC ⊥于点G ，求证：12CG BG =.2023年下期期末学业质量监测九年级数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11.－612.7513.()224y x =−+14.＞ 15.2 16.20y x=三、解答题（本大题共9小题，满分72分）17.（本题8分）解：（1）移项，得2483x x −=.方程两边都除以4，得2324x x −=， 方程两边都加1，得232114x x −+=+.配方，得27(1)4x −=.……2分开平方，得12x −=±.∴12x =±+，∴11x =+，21x =+.……4分 （2）移项，得()()23530x x +−+=. ∴()()3350x x ++−=，……6分 ∴()()320x x +−=， ∴13x =−，22x =.……8分【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键. 18.（本题4分） 解：原式11431201822=++⨯+⨯……2分 2024=……4分【点评】本题主要考查了绝对值，负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握绝对值，负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值是解题的关键. 19.（本题6分）（1）依题意得：224243()4120b ac m m ∆=−=−⨯⨯−=+>， 解得：13m >−. ∴若该方程有两个不相等的实数根，实数m 的取值范围为13m >−.……3分 （2）设方程的另一根为1x ， 由根与系数的关系得：1213b x a −+=−=−， 解得：113x =， ∴该方程的另一根为13.……6分 【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出关于1x 的一元一次方程. 20.（本题8分）（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴90ABC BAD ∠=∠=︒，∵DF AE ⊥，∴90AFD EBA ∠=︒=∠， ∴90BAE FAD FAD FDA ∠+∠=︒=∠+∠， ∴BAE FDA ∠=∠， ∴ABE DFA △∽△；……3分（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，2BC =， ∴2AD BC ==， ∵E 是BC 的中点，∴112BE BC ==，∵4AB =，∴AE ==，∵ABE DFA △∽△，∴AB AEDF AD=，即42DF =，∴DF =.……6分 【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，证明ABE DFA △∽△是解题的关键.21.（本题8分）（1）解：设年平均增长率为x ，根据题意得：()220133.8x +=，……2分解得：10.330%x ==，2 2.3x =−（不符合题意，舍去）， ∴年平均增长率为30%；……4分（2）解：设当每杯售价定为y 元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额， 由题意得：()()630030256300y y −+−=⎡⎤⎣⎦，……6分 整理得：2414200y y −+=， 解得：120y =，221y =，∵让顾客获得最大优惠，∴20y =，∴当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额.……8分【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键. 22.（本题8分）（1）由条形统计图知，B 类学生共有6410+=（人），由扇形统计图知，B 类学生所占的百分比为50%，则参与调查的总人数为：1050%20÷=（人） 故答案为：20人……2分（2）由扇形统计图知，D 类学生所占的百分比为：115%50%25%10%−−−=， 则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：36010%36︒⨯=︒ 故答案为：36……4分（3）C 类学生总人数为：2025%5⨯=（人），则C 类学生中女生人数为：523−=（人） D 类学生总人数为：2010%2⨯=（人），则C 类学生中男生人数为：211−=（人） 补充完整的条形统计图如下：……6分（4）记A 类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D 类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表如下：则选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3种，所以所选两位同学恰好是相同性别的概率为：3162=……8分 【点评】本题是统计图的综合，考查了条形统计图与扇形统计图，简单事件的概率，关键是读懂两个统计图并能从图中获取信息. 23.（本题8分）如图， 2.9AB =米，0.9CD =米四边形EBNM ，四边形EBDC 是矩形，四边形CDNM 是矩形 ∴0.9EB CD MN ===米，DN CM =， ∵Rt AEC △中，45ACE ∠=︒，∴ 2.90.92AE AB EB AB CD =−=−=−=米，……2分 ∴2EC AE ==米……3分 ∵Rt AEM △中，30AME ∠=︒，∴tan 303AE EM ︒==……4分∴EM ==米……5分∴22 1.7322 1.5CM EM EC =−=−≈⨯−≈米 ∴ 1.5DN CM ==米……8分【点评】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，观察图形，确定组合图形中，通过直角三角形、矩形之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键. 24.（本题10分）（1）设抛物线解析式为2y ax bx c =++，把A 、B 、C 三点坐标代入可得016404a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=−⎩，解得134a b c =⎧⎪=−⎨⎪=−⎩，∴抛物线解析式为234y x x =−−；……3分（2）作OC 的垂直平分线DP ，交OC 于点D ，交BC 下方抛物线于点P ，如图1， ∴PO PD =，此时P 点即为满足条件的点， ∵()0,4C −，∴()0,2D −， ∴P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可得2342x x −−=−，解得x =0，舍去）或x =，∴存在满足条件的P 点，其坐标为322⎛⎫−⎪ ⎪⎝⎭；……6分图1（3）∵点P 在抛物线上，∴可设()2,34P t t t −−， 过P 作PE x ⊥轴于点E ，交直线BC 于点F ，如图2， ∵()4,0B ，()0,4C −，∴直线BC 解析式为4y x =−，∴(),4F t t −， ∴()22(4)344PF t t t t t =−−−−=−+，……7分 ∴1122PBC PFC PFB S S S PF OE PF BE =+=⋅+⋅△△△ 11()22PF OE BE PF OB =⋅+=⋅ ()221442(2)82t t t =−+⨯=−−+，……9分 ∴当2t =时，PBC S △最大值为8，此时2346t t −−=−， ∴当P 点坐标为()2,6−时，PBC △的最大面积为8.……10分图225.（本题12分）（1）14；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）利用相似三角形的性质求得EF 与DF 的比值，依据CEF △和CDF △同高，则面积的比就是EF 与DF 的比值，据此即可求解；（2）利用角之间的关系到证得ADF AFD ∠=∠，可以证得AD AF =，在Rt AOD △中，利用勾股定理可以证得；（3）连接OE ，易证OE 是BCD △的中位线，然后根据FGC △是等腰直角三角形，易证EGF ECD △∽△，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得.解：（1）∵13CE EB =，∴14CE BC =. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴CEF ADF △∽△， ∴EF CE DF AD=，∴14EF CE DF BC ==， ∴14CEF CDF S EF S DF ==△△.……4分 （2）证明：∵DE 平分CDB ∠，∴ODF CDF ∠=∠，又∵AC 、BD 是正方形ABCD 的对角线，∴45ADO FCD ∠=∠=︒，90AOD ∠=︒，OA OD =，又∵ADF ADO ODF ∠=∠+∠，AFD FCD CDF ∠=∠+∠，∴ADF AFD ∠=∠，∴AD AF =，在Rt AOD △中，根据勾股定理得：AD ==，∴AF =.……8分（3）证明：连接OE ，∵点O 是正方形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，∴点O 是BD 的中点，又∵点E 是BC 的中点，∴OE 是BCD △的中位线，∴OE CD ∥，12OE CD =，∴OFE CFD △∽△， ∴13GF EF CD ED ==，∴12CG BG =， 又∵FG BC ⊥，CD BC ⊥， ∴FG CD ∥，∴EGF ECD △∽△， ∴13GF CG CD BC ==. 在Rt FGC △中，∵45GCF ∠=︒，∴CG GF =，又∵CD BC =，∴13GF CG CD BC ==，∴12CGBG=，∴12CG BG=.……12分【点评】本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键.。
2022-2023学年永州市重点中学数学九上期末复习检测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，反比例函数y ＝16x（x ＞0）的图象经过Rt △BOC 斜边上的中点A ，与边BC 交于点D ，连接AD ，则△ADB 的面积为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．24 2．二次函数223y x =+的顶点坐标为（ ）A ．()2,0B ．()2,3C ．()3,0D ．()0,33．27的立方根是（ ）A ．±3B ．±3C ．3D ．34．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ）A ．平均数B ．方差C ．中位数D ．极差 5．二次函数2(1)3y x =-+图象的顶点坐标是（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)-D ．(1,3)--6．已知抛物线y =﹣x 2+bx +4经过（﹣2，﹣4），则b 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣4C ．2D ．47．如图，该图形围绕点O 按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )A ．72︒B ．108︒C ．144︒D ．216︒8．方程23x x =的解是（ ）A ．3x =B ．13x =，20x =C ．13x =，20x =D ．3x =9．平面直角坐标系中，抛物线(1)(3)y x x =-+经变换后得到抛物线(3)(1)y x x =-+，则这个变换可以是（ ） A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位10．如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知线段a =4，b =9，则a ，b 的比例中项线段长等于________．12．两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为______．13．一元二次方程2x 2x m 0-+=配方后得()21x n -=，则m n +的值是__________．14．已知如图，ABO 中，60AOB ∠=︒，点P 在AB 上，10OP =，点M 、N 分别在边OA 、OB 上移动，则PMN 的周长的最小值是__________．15．用长24m 的铁丝做一个长方形框架，设长方形的长为x ，面积为y ，则y 关于x 的函数关系式为__________.16．在Rt ABC 中，390,,85C cosA BC ∠=︒==，则ABC 的面积是__________． 17．如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME ⊥AM ，ME 交CD 于点F ，交AD 的延长线于点E ，若AB ＝4，BM ＝2，则DEF 的面积为_____________．18．抛物线y ＝x 2+2x 与y 轴的交点坐标是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）小李在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考，请你帮他完成如下问题：（1）他认为该定理有逆定理：“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立.即如图①，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，若AD BD CD ==，求证：90BAC ∠=︒.（2）如图②，已知矩形ABCD ，如果在矩形外存在一点E ，使得AE CE ⊥，求证：BE DE ⊥.（可以直接用第（1）问的结论）（3）在第（2）问的条件下，如果AED ∆恰好是等边三角形，请求出此时矩形的两条邻边AB 与BC 的数量关系.20．（6分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，DAC B ∠=∠．点E 在AD 边上，CD CE =．（1）求证：ABDCAE ∆∆； （2）若96,,32AB AC BD ===，求AE 的长．21．（6分）已知抛物线y ＝x 2+（1﹣2a ）x ﹣2a （a 是常数）．（1）证明：该抛物线与x 轴总有交点；（2）设该抛物线与x 轴的一个交点为A （m ，0），若2＜m ≤5，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若a 为整数，将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象G ，请你结合新图象，探究直线y ＝kx +1（k 为常数）与新图象G 公共点个数的情况．22．（8分）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，过点A 作AE CD ⊥，垂足为M ，交BC 于点E ，2AM CM =．（1）求sin B 的值：（2）若5CD =，求BC 的长．23．（8分）解方程：（1）(x +1)2﹣9＝0（2）x 2﹣4x ﹣45＝024．（8分）我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式,如113=3+23.同样的,我们也可以把某些分式写成类似的形式,如33-333(1)3-1-1-1+-+==x x x x x x =3+3-1x .这种方法我们称为“分离常数法”. (1)如果-31x x +=1+1a x +,求常数a 的值; (2)利用分离常数法,解决下面的问题:当m 取哪些整数时,分式-3-1m m 的值是整数? (3)我们知道一次函数y=x-1的图象可以看成是由正比例函数y=x 的图象向下平移1个单位长度得到,函数y=21x +的图象可以看成是由反比例函数y=2x的图象向左平移1个单位长度得到.那么请你分析说明函数y=3-2-2x x 的图象是由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?25．（10分）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成.为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x 天生产的粽子数量为y 只，y 与x 满足如下关系：y=34(06)2080(620)x x x x ≤≤⎧⎨+<≤⎩（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？（2）如图，设第x 天生产的每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）26．（10分）某果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】过A作AE⊥OC于E，设A（a，b），求得B（2a，2b），ab＝16，得到S△BCO＝2ab＝32，于是得到结论．【详解】过A作AE⊥OC于E，设A（a，b），∵当A是OB的中点，∴B（2a，2b），∵反比例函数y＝16x（x＞0）的图象经过Rt△BOC斜边上的中点A，∴ab＝16，∴S△BCO＝2ab＝32，∵点D在反比例函数数y＝16x（x＞0）的图象上，∴S△OCD＝16÷2=8，∴S△BOD＝32﹣8＝24，∴△ADB的面积＝12S△BOD＝12，故选：A．【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与三角形的综合，掌握反比例函数的比例系数k的几何意义，添加合适的辅助线，是解题的关键.2、D【分析】已知二次函数y＝2x2＋3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．【详解】∵y＝2x2＋3＝2（x−0）2＋3，∴顶点坐标为（0，3）．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，则解析式为y＝a（x−k）2＋h的顶点坐标为（k，h），3、C【分析】由题意根据如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，据此定义进行分析求解即可．【详解】解：∵1的立方等于27，∴27的立方根等于1．故选：C．【点睛】本题主要考查求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．4、C【解析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选：C ．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、极差、方差的意义，掌握相关知识点是解答此题的关键． 5、A【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.【详解】∵2(1)3y x =-+，∴二次函数图像顶点坐标为：(1,3).故答案为A.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．6、C 【分析】将点()24--，的坐标代入抛物线的解析式求解即可． 【详解】因为抛物线y =﹣x 1+bx +4经过(﹣1，﹣4)，所以﹣4=﹣(﹣1)1﹣1b +4，解得：b =1．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质．解题的关键是掌握二次函数的性质，明确抛物线经过的点的坐标满足抛物线的解析式是解题的关键．7、B【解析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是360725︒=．根据旋转的性质，当该图形围绕点O 旋转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合．故选B ．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．8、B【分析】用因式分解法求解即可得到结论．【详解】∵x 2﹣3x =0，∴x (x ﹣3)=0，则x =0或x ﹣3=0，解得：13x =，20x =．故选：B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键．9、B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：2(1)(3)(1)4y x x x =-+=+-，顶点坐标是（-1，-4）． 2(3)(1)(1)4y x x x =-+=--，顶点坐标是（1，-4）．所以将抛物线(1)(3)y x x =-+向右平移2个单位长度得到抛物线(3)(1)y x x =-+，故选：B ．【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律和变化特点.10、D【解析】试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D.考点：简单几何体的三视图.二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积， ∴2x ab =，即24936x =⨯=，解得6x =，6c =-（不合题意，舍去）故答案为：1．【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．12、2：1．【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可；【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9，∴它们对应中线的比23==． 故答案为：2：1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.13、1【分析】将原方程进行配方，然后求解即可.【详解】解：2x 2x m 0-+= 2211x x m -+=-+2(1)1x m -=-+∴-m+1=nm+n=1故答案为：1【点睛】本题考查配方法，掌握配方步骤正确计算是本题的解题关键.14、【分析】作P 关于AO,BO 的对称点E,F ，连接EF 与OA ，OB 交于MN,此时△PMN 周长最小；连接OE,OF,作OG ⊥EF,利用勾股定理求出EG ，再根据等腰三角形性质可得EF.【详解】作P 关于AO,BO 的对称点E,F ，连接EF 与OA ，OB 交于MN,此时△PMN 周长最小；连接OE,OF,作OG ⊥EF根据轴对称性质：PM=EM,PN=NF,OE=OP,OE=OF=OP=10,∠EOA=∠AOP,∠BOF=∠POB∵∠AOP+∠POB=60°∴∠EOF=60°×2=120°∴∠OEF=180120302-= ∵OG ⊥EF∴OG=12OE=11052⨯= ∴EG=222210553OE OG -=-=所以EF=2EG=103由已知可得△PMN 的周长=PM+MN+PN=EF=103故答案为：3【点睛】考核知识点：轴对称，勾股定理.根据轴对称求最短路程，根据勾股定理求线段长度是关键.15、12y x x =-（）或212y x x =-+【分析】易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相邻两边长的积．【详解】由题意得：矩形的另一边长=24÷2−x =12−x ，则y =x (12−x )=−x 2+12x . 故答案为12y x x =-（）或212y x x =-+【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形周长与面积的关系是解题的关键.16、24【分析】如图，由三角函数的定义可得3cos 5AC A AB ==，可得AB=5AC 3，利用勾股定理可求出AC 的长，根据三角形面积公式求出△ABC 的面积即可．【详解】∵3cos 5AC A AB ==， ∴AB=5AC 3， ∴(5AC 3)2=AC 2+BC 2， ∵BC=8，∴25AC 2=9AC 2+9×64， 解得：AC=6（负值舍去），∴△ABC 的面积是12×8×6=24，故答案为：24【点睛】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是角的邻边与斜边的比值；正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．17、1【分析】先根据正方形的性质可得4,90,//CD BC AB B C ADC AD BC ===∠=∠=∠=︒，从而可得2CM =，再根据相似三角形的判定与性质可得CM CF AB BM=，从而可得CF 的长，又根据线段的和差可得DF 的长，然后根据相似三角形的判定与性质可得DE DF CM CF =，从而可得出DE 的长，最后根据直角三角形的面积公式即可得． 【详解】四边形ABCD 是正方形，4,2AB BM ==4,90,//CD BC AB B C ADC AD BC ===∠=∠=∠=︒∴2CM BC BM ∴=-=ME AM ⊥，即90AME ∠=︒90AMB CMF ∴∠+∠=︒90B ∠=︒90AMB BAM ∴∠+∠=︒CMF BAM ∴∠=∠在CMF 和BAM 中，90CMF BAM C B ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩CMF BAM ∴~CM CF AB BM ∴=，即242CF = 解得1CF =3DF CD CF ∴=-=又//AD BC ，即//DE CMDEF CMF ∴~ DE DF CM CF ∴=，即321DE = 解得6DE =90ADC ∠=︒ 90EDF ∴∠=︒则DEF 的面积为1163922DE DF ⋅=⨯⨯= 故答案为：1．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定定理与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键．18、（0，0）【解析】令x=0求出y 的值，然后写出即可．【详解】令x=0，则y=0，所以，抛物线与y 轴的交点坐标为（0，0）．故答案为（0，0）．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BC =【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可得出结论；（2）先判断出OE=12AC ，即可得出OE=12BD ，即可得出结论；（3）先判断出△ABE 是底角是30°的等腰三角形，即可构造直角三角形即可得出结论．【详解】（1）∵AD=BD，∴∠B=∠BAD，∵AD=CD，∴∠C=∠CAD，在△ABC 中，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°∴∠B+∠C=90°，∴∠BAC=90°，（2）如图②，连接AC 与BD ，交点为O ，连接OE四边形ABCD 是矩形 1122OA OB OC OD AC BD ∴===== AE CE ⊥90AEC ∴∠=︒12OE AC ∴=12OE BD ∴= 90BED ∴∠=︒BE DE ∴⊥（3）如图3，过点B 做BF AE ⊥于点F四边形ABCD 是矩形AD BC ∴=，90BAD ∠=︒ADE ∆是等边三角形AE AD BC ∴==，60DAE AED ∠=∠=︒由（2）知，90BED ∠=︒30BAE BEA ∴∠=∠=︒2AE AF ∴=在Rt ABF ∆中，30BAE ∠=︒2AB AF ∴=，AF =AE ∴=AE BC =BC ∴=【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形是性质，直角三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内角和公式，解（1）的关键是判断出∠B=∠BAD ，解（2）的关键是判断出OE=12AC ，解（3）的关键是判断出△ABE 是底角为30°的等腰三角形，进而构造直角三角形．20、（1）证明见解析；（2）94． 【分析】（1）先通过平角的度数为180°证明ADB CEA ∠=∠，再根据B DAC ∠=∠即可证明ABDCAE ∆∆； （2）根据ABD CAE ∆∆得出相似比，即可求出AE 的长．【详解】（1）证明：CD CE =EDC DEC ∴∠=∠180,180EDC ADB CED CEA ∠+∠=︒∠+∠=︒，ADB CEA ∴∠=∠又B DAC ∠=∠ABD CAE ∴∆∆（2）ABD CAE ∆∆AB BD CA AE ∴= 6392AE ∴=94AE ∴= 【点睛】本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．21、（1）见解析；（2）1＜a ≤52；（3）新图象G 公共点有2个． 【分析】（1）令抛物线的y 值等于0，证所得方程的△＞0即可；（2）将点A 坐标代入可求m 的值，即可求a 的取值范围；（3）分k ＞0和k ＜0两种情况讨论，结合图象可求解．【详解】解：（1）设y ＝0，则0＝x 2+（1﹣2a ）x ﹣2a ，∵△＝（1﹣2a ）2﹣4×1×（﹣2a ）＝（1+2a ）2≥0，∴x 2+（1﹣2a ）x ﹣2a ＝0有实数根，∴该抛物线与x 轴总有交点；（2）∵抛物线与x 轴的一个交点为A （m ，0），∴0＝m 2+（1﹣2a ）m ﹣2a ，∴m ＝﹣1，m ＝2a ，∵2＜m ≤5，∴2＜2a ≤5，∴1＜a ≤52； （3）∵1＜a ≤52，且a 为整数， ∴a ＝2，∴抛物线解析式为：y ＝x 2﹣3x ﹣4，如图，当k ＞0时，若y＝kx+1过点（﹣1，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，即k＝1，当0＜k＜1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，当k＞1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，如图，当k＜0时，若y＝kx+1过点（4，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，即k＝﹣14，当﹣14＜k＜0时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，当k＜﹣14时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，【点睛】本题考查了二次函数与一次函数相结合的综合题：熟练掌握二次函数的性质；会利用根的判别式确定抛物线与x轴的交点个数；理解坐标与图形性质，会利用分类讨论的方法解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用数形结合的方法是解题的关键．22、（1（2）4 【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，可得出CD=BD ，则∠B=∠BCD ，再由AE ⊥CD ，可证明∠B=∠CAM ，由AM=2CM ，可得出CM ：AC=1sinB 的值；（2）根据sinB 的值，可得出AC ：AB=1AB=AC=2，根据勾股定理即可得出结论．【详解】（1）∵90ACB ∠=︒，CD 是斜边AB 的中线，∴CD BD =，∴B DCB ∠=∠，∵AE CD ⊥，∴90ACD CAM ∠+∠=︒．∵90DCB ACD ∠+∠=︒，∴DCB CAM ∠=∠．∴B CAM ∠=∠．在Rt ACM 中，∵2AM CM =，∴AC ===．∴sin sin5CM B CAM AC =∠====．（2）∵CD =，∴2AB CD ==．由（1）知sin 5B =，∴sin 25AC AB B =⨯==．∴4BC ===．【点睛】 本题主要考查了勾股定理和锐角三角比，熟练掌握根据锐角三角比解直角三角形是解题的关键．23、（1）12x =，24x =-；（2）19x =，25x =-．【分析】（1）先移项，再利用直接开平方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案．【详解】（1）（x+1）2﹣9＝0（x+1）2=9x+1＝±3x1＝2或x2＝﹣1．（2）x2﹣1x﹣12＝0（x﹣9）（x+2）＝0x＝9或x＝﹣2．【点睛】本题考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．24、（1）a=-4；（2）m=4或m=-2或m=2或m=0；（3）y=3-2 -2 xx.【解析】（1）依据定义进行判断即可；（2）首先将原式变形为-3-3m-3，然后依据m-1能够被3整数列方程求解即可；（3）先将函数y=322xx--化为y=42x-+3，再结合平移的性质即可得出结论．【详解】(1)∵-31-411x xx x+=++=1+-41x+,∴a=-4.(2)-3-33-3-3(-1)-3-1-1-1m m mm m m+===-3-3-1m,∴当m-1=3或-3或1或-1时,分式的值为整数,解得m=4或m=-2或m=2或m=0.(3)y=3-23-643(-2)4-2-2-2x x xx x x++===3+4-2x,∴将y=4x的图象向右移动2个单位长度得到y=4-2x的图象,再向上移动3个单位长度得到y-3=4-2x,即y=3-2-2xx.【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质和找出图象平移的性质是解题的关键．25、（1）李明第1天生产的粽子数量为280只.（2）第13天的利润最大，最大利润是2元.【解析】分析：（1）把y=280代入y=20x+80，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答.详解：（1）设李明第x天生产的粽子数量为280只，由题意可知：20x+80=280，解得x=1．答：第1天生产的粽子数量为420只．（2）由图象得，当0≤x＜1时，p=2；当1≤x≤20时，设P=kx+b ，把点（1，2），（20，3）代入得，102203k b k b ＝＝+⎧⎨+⎩， 解得0.11k b ⎧⎨⎩＝＝， ∴p=0.1x+1，①0≤x≤6时，w=（4-2）×34x=68x ，当x=6时，w 最大=408（元）；②6＜x≤1时，w=（4-2）×（20x+80）=40x+160， ∵x 是整数，∴当x=1时，w 最大=560（元）；③1＜x≤20时，w=（4-0.1x-1）×（20x+80）=-2x 2+52x+240， ∵a=-3＜0，∴当x=-2b a=13时，w 最大=2（元）； 综上，当x=13时，w 有最大值，最大值为2．点睛：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．26、（1）1802y x =-+；（2）增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克. 【分析】（1）设(0)y kx b k =+≠，将点（12，74）、（28，66）代入即可求出k 与b 的值，得到函数关系式； （2）根据题意列方程，求出x 的值并检验即可得到答案.【详解】（1）设(0)y kx b k =+≠，将点（12，74）、（28，66）代入，得12742866k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1280k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴y 与x 的函数关系式为1802y x =-+； （2）由题意得： 1(80)(80)67502x -++=， 解得： 110x =， 270x =，∵投入成本最低，∴x=10，答：增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克.【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意中的x、y的实际意义是解题的关键.。
永州市九年级上学期期末数学试卷
永州市九年级上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、仔细选一选 (共10题；共20分)1. （2分）(2012·营口) 下列事件中，属于必然事件的是（）A . 打开电视，正在播放《新闻联播》B . 抛掷一次硬币正面朝上C . 袋中有3个红球，从中摸出一球是红球D . 阴天一定下雨2. （2分） (2018九下·游仙模拟) 如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（-4，m），B（-1，n）,平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A .B .C .D .3. （2分）某物体三视图如图，则该物体形状可能是（）A . 长方体B . 圆锥体C . 正方体D . 圆柱体4. （2分）(2018·牡丹江模拟) 如图，AC是⊙O的切线，切点为C，BC是⊙O的直径，AB交⊙O于点D，连接OD，若∠A=50°，则∠COD的度数为（）A . 40°B . 50°C . 60°D . 80°5. （2分） (2020九上·沈河期末) 若＝＝≠0，则下列各式正确的是（）A . 2x＝3y＝4zB . ＝C . ＝D . ＝6. （2分）(2019·封开模拟) 如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB ＝（）A .B .C .D .7. （2分）在一个不透明的口袋中，装有a个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回口袋中，摸到黄球的概率是0.2，则a的值是（）A . 16B . 20C . 25D . 308. （2分） (2016九上·苏州期末) 二次函数（a，b，c为常数，且）中的与的部分对应值如表：…－1013……－1353…下列结论：① ；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的个数为（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个9. （2分）点C是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），若AC＝2，则CB＝（）A . +1B . +3C .D .10. （2分）(2019·余杭模拟) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若以AC为底面圆半径、BC为高的圆锥的侧面积为S1 ，以BC为底面圆半径、AC为高的圆锥的侧面积为S2 ，则（）A . S1＝S2B . S1＞S2C . S1＜S2D . S1、S2的大小关系不确定二、认真填一填 (共6题；共7分)11. （1分）计算：cot44°•cot45°•cot46°=________12. （1分）(2018·资阳) 一口袋中装有若干红色和白色两种小球，这些小球除颜色外没有任何区别，袋中小球已搅匀，蒙上眼睛从中取出一个白球的概率为．若袋中白球有4个，则红球的个数是________个13. （1分）(2016·泸州) 若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1 ， 0）、B（x2 ， 0）两点，则的值为________．14. （1分）(2016·海南) 如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧上，AB=8，BC=3，则DP=________15. （2分）选择-1,A,2,4这四个数构成比例式，则A等于________或________．（只要求写出两个值）16. （1分） (2017八下·西城期中) 如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，，是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．三、解答题 (共8题；共72分)17. （5分）(2017·个旧模拟) 计算：（﹣）﹣2+（ 1.414）0﹣3tan30°﹣．18. （5分）(2017·黄岛模拟) 已知：如图，线段a，∠α．求作：Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=∠α，AC=a．19. （5分）(2010·华罗庚金杯竞赛) 如图，设ABCD是正方形，P是CD边的中点，点Q在BC边上，且∠APQ=90°，AQ与BP相交于点T，则的值为多少？20. （10分） (2019九上·上海月考) 如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0）、B（0，6），过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．（1）求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式；（2）求直线l的解析式；21. （10分）已知二次函数y=﹣ x2+k的图象经过点（﹣，）与x轴交于A、B两点，且A在点B的左侧．（1）求k的值．（2）求△ABC的面积．22. （10分） (2018九上·杭州期末) 如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E，G两点，CE，BG相交于点O（1）求证：AG=DE.（2）已知AB=4，AD=5，①求的值.②求四边形ABOE的面积与△BOC的面积之比.23. （15分） (2019八下·洛川期末) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于点.（1）求该抛物线的解析式；（2） P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标；（3）作直线BC，若点Q是直线BC下方抛物线上的一动点，三角形QBC面积是否有最大值，若有，请求出此时Q点的坐标；若没有，请说明理由.24. （12分）(2020·重庆模拟)（1）方法选择如图①，四边形是的内接四边形，连接，， .求证： .小颖认为可用截长法证明：在上截取，连接…小军认为可用补短法证明：延长至点，使得…请你选择一种方法证明.（2）类比探究（探究1）如图②，四边形是的内接四边形，连接，，是的直径， .试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论.（3）（探究2）如图③，四边形是的内接四边形，连接， .若是的直径，，则线段，，之间的等量关系式是________.（4）拓展猜想如图④，四边形是的内接四边形，连接， .若是的直径，，则线段，，之间的等量关系式是________.参考答案一、仔细选一选 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、认真填一填 (共6题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共72分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、24-4、。
2021-2022学年湖南省永州市道县九年级(上)期末数学试卷(附详解)
2021-2022学年湖南省永州市道县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.一元二次方程2x2+3x=7的一般形式为()A. 2x2−7=−3xB. 2x2+3x+7=0C. 2x2+3x−7=0D. 2x2=7−3x2.对于反比例函数y=2，下列说法正确的是()xA. 图象经过点(1,−2)B. 图象在二、四象限C. 当x>0时，y随x的增大而增大D. 当x<0时，y随x的增大而减小3.如图，点P在反比例函数y=k的图象上，PA⊥x轴于点A，x若△PAO的面积为4，那么k的值为()A. 2B. 4C. 8D. −44.某药品经过两次降价，每瓶零售价由128元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得()A. 128(1+x)2=108B. 128(1−x2)=108C. 128(1+x2)=108D. 128(1−x)2=1085.若关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围是()A. k>−1B. k≥−1C. k>−1且k≠0D. k≥−1且k≠06.下列说法正确的是()A. 相似图形一定是位似图形B. 一条线段的黄金分割点只有一个C. 两个边数相同的正多边形是相似图形D. 相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比的平方7.如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△BCF的面积为4，则△DEF的面积为()A. 1B. 2C. 3D. 48. 如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1:√3(坡比是坡面的垂直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高，则坡面AB 的长度是( )A. 9mB. 6mC.D.9. 已知A 、B 两点的坐标分别为(−6,3)、(−12,8)，△ABO 与△A′B′O 是以原点O 为位似中心的位似图形，若点A′的坐标为(2,−1)，则点B′的坐标为( )A. (−4,83)B. (−6,4)C. (4,−83)D. (6,−4)10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =30°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =15°，所以tan15°=ACCD=12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3.类比这种方法，计算tan22.5°的值为( )A. √2+1B. √2−1C. √2D. 12二、填空题（本大题共8小题，共32.0分） 11. 已知2a =3b ，则ab 的值为______． 12. 一元二次方程x 2−3x =0的根是______．13. 已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a =3cm ，b =2cm ，c =6cm ，则d = ______cm ．14. 已知关于x 的一元二次方程(m +1)x 2−3x +m 2−1=0有一个根是0，则m 的值为______．15.已知一个三角形的两边长为3和4，若第三边长是方程x2−12x+35=0的一个根，则第三条边是______．16.如图，在△ABC中，DE//BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为______ ．17.已知某实验区甲、乙品种水稻的平均产量相等．且甲、乙品种水稻产量的方差分别为S甲2=79.6，S乙2=68.5.由此可知：在该地区______种水稻更具有推广价值．18.如图，在△ABC中，点D为边AC上的一点，选择下列条件：①∠2=∠A；②∠1=∠CBA；③BCAC =CDAB；④BCAC=CD BC =DBAB中的一个，不能得出△ABC和△BCD相似的是：______(填序号)．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）19.计算：(√3−1)0+(−1)2021−√3tan30°−4sin260°．20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，若AD=1，BD=4，求CD的长．21.为了庆祝“建党100周年”，道县某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)德育处一共随机抽取了______名学生的竞赛成绩；(2)将条形统计图补充完整；(3)该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？22.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m的图象交于A(−2,1)、B(1,a)两点．x(1)分别求出反比例函数与一次函数的关系式；(2)观察图象，直接写出当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．23.某店只销售某种进价为40元/kg的特产．已知该店按60元/kg出售时，平均每天可售出100kg，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10kg.若该店销售这种特产计划平均每天获利2240元．(1)每千克该特产应降价多少元？(2)为尽可能让利于顾客，则该店应按原售价的几折出售？24.为缅怀北宋著名哲学家、宋明理学的开山鼻祖周敦颐(1017−1073)，弘扬道州优秀的传统文化，道州人民在敦颐广场塑了一座周敦颐铜像．小聪为了测量铜像的高度，如图，先在敦颐广场的地面E处用高为1.51米的测角仪AE，测得塔顶C的仰角为30°，再向塔身前进10米到达H处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你计算出铜像的高度CF.(√3≈1.732，结果精确到0.01m)25.如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的点A沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，折痕交AB边于点F．(1)若BE=1，EC=2，则sin∠EDC=______；(2)若BE：EC=1：4，CD=9，求BF的长；(3)若BE：EC=m：n，求AF：FB(用含有m、n的代数式表示)．26.已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点(不与B，C点重合)，∠ADE=45°．(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：方程2x2+3x=7，移项得：2x2+3x−7=0．故选：C．方程移项，整理为一般形式即可．此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0(其中a，b，c为常数且a≠0)．2.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，根据解析式确定函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质得出函数增减性以及所在象限和经过的点的特点分别分析得出即可．【解答】解：A、∵反比例函数y=2x，∴xy=2，故图象经过点(1,2)，故此选项错误；B、∵k>0，∴图象在第一、三象限，故此选项错误；C、∵k>0，∴x>0时，y随x的增大而减小，故此选项错误；D、∵k>0，∴x<0时，y随x增大而减小，故此选项正确．故选：D．3.【答案】C【解析】解：∵S△PAO=4，∴12|x⋅y|=4，即12|k|=4，则|k|=8，∵图象经过第一、三象限，∴k>0，∴k=8，故选：C．|k|=4，再结合图象经过的是第一、三象限，从而可以确定k 由△PAO的面积为4可得12值．本题主要考查了反比例函数y=k中k的几何意义，解题的关键是要明确过双曲线上任意x|k|．一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为124.【答案】D【解析】解：依题意得：128(1−x)2=108．故选：D．利用该药品经过两次降价后的价格=原价×(1−每次降价的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：∵△=b2−4ac=22−4×k×(−1)≥0，解上式得，k≥−1，∵二次项系数k≠0，∴k≥−1且k≠0．故选：D．方程有实数根，则根的判别式△≥0，且二次项系数不为零．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．6.【答案】C【解析】解：A、位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，本选项说法错误，不符合题意；B、一条线段的黄金分割点有两个，本选项说法错误，不符合题意；C、两个边数相同的正多边形是相似图形，本选项说法正确，符合题意；D、相似三角形对应角的平分线的比等于对应边上高的比，本选项说法错误，不符合题意；故选：C．根据位似图形的概念、黄金分割的概念、相似多边形的判定、相似三角形的性质判断即可．本题考查的是位似图形的概念、黄金分割的概念、相似多边形的判定、相似三角形的性质，掌握相关的概念和性质是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴△DEF∽△BCF，∵E为AD的中点，AD，∴DE=12∴DE：BC=1：2，∴S△DEF：S△BCF=1：4，∵△BCF的面积为4，∴△DEF的面积为1．故选：A．由四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，AD=BC，即可证得△DEF∽△BCF，又由E为AD的中点，△BCF的面积为4，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△DEF的面积．此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查坡度坡角问题，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，解直角三角形即可求出斜面AB 的长．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC =3m ，tanA =1：√3； ，∴AB =√32+(3√3)2=6m ．故选B ．9.【答案】C【解析】解：∵△ABO 与△A′B′O 是以原点O 为位似中心的位似图形，点A 的坐标为(−6,3)、点A′的坐标为(2,−1)，∴△ABO 与△A′B′O 的相似比为13，且两个三角形在不同象限，∵点B 的坐标为(−12,8)，∴点B′的坐标为(−12×(−13),8×(−13))，即点B′的坐标为(4,−83)，故选：C ．根据题意求出△ABO 与△A′B′O 的相似比，根据位似变换的性质计算即可．本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．10.【答案】B【解析】解：在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =45°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =22.5°，设AC =BC =1，则AB =BD =√2，∴tan22.5°=AC CD =1+√2=√2−1，故选：B ．在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =45°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =22.5°，设AC =BC =1，则AB =BD =√2，根据tan22.5°=AC CD 计算即可．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．11.【答案】32【解析】解：∵2a=3b，∴ab =32，故答案为：32．根据比例的基本性质进行计算即可．本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．12.【答案】x1=0，x2=3【解析】解：x2−3x=0，x(x−3)=0，∴x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．13.【答案】4【解析】解；已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad=cb，代入a=3，b=2，c=6，解得：d=4，则d=4cm．故答案为：4如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad=cb，将a，b及c的值代入即可求得d．本题主要考查比例线段的定义．要注意考虑问题要全面．14.【答案】1【解析】解：把x=0代入方程(m+1)x2−3x+m2−1=0得m2−1=0，解得m1=1，m2=−1，根据一元二次方程的定义得：m+1≠0，所以m=1．故答案为1．先把x=0代入方程得到m2+m=0，然后解关于m的方程，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．15.【答案】5【解析】解：x2−12x+35=0，(x−5)(x−7)=0，x−5=0或x−7=0，所以x1=5，x2=7，当三角形第三边为7时，因为3+4=7不符合三角形三边的关系，所以三角形第三边为5．故答案为：5．先利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=7，然后根据三角形三边的关系确定第三边的长．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．16.【答案】2【解析】解：∵DE//BC ，∴AD DB=AE EC ， ∴63=4CE ，∴CE =2．故答案为：2．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键．17.【答案】乙【解析】解：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，∵68.5<79.6，∴S 乙2<S 甲2，即乙种水稻的产量稳定，∴产量稳定，适合推广的品种为乙种水稻．故答案为：乙首先根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，然后比较出它们的方差的大小，再根据方差越小，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出产量稳定，适合推广的品种为哪种即可．此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．18.【答案】③【解析】解：①当∠2=∠A ，∠C =∠C 时，△ABC∽△BDC ，故①不符合题意； ②当∠1=∠CBA ，∠C =∠C 时，△ABC∽△BDC ，故②不符合题意；③当BC AC =CD AB ，∠C =∠C 时，不能推出△ABC∽△BDC ，故③符合题意；④当BC AC =CD BC =DB AB ，∠C =∠C 时，△ABC∽△BDC ，故④不符合题意；故答案为：③．根据相似三角形的判定定理可得出答案．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．19.【答案】解：(√3−1)0+(−1)2021−√3tan30°−4sin260°=1+(−1)−√3×√33−4×(√32)2=1−1−1−3=−4．【解析】先化简各式，然后再进行计算即可．本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．20.【答案】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∵∠ADC=∠CDB=90°，∴△ACD∽△CBD，∴ADCD =CDBD，即1CD=CD4，解得：CD=2．【解析】根据同角的余角相等得到∠ACD=∠B，证明△ACD∽△CBD，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21.【答案】40【解析】解：(1)德育处一共随机抽取的学生人数为：16÷40%=40(名)，故答案为：40；(2)在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：40−10−16−2=12(名)， 把条形统计图补充完整如下：(3)1400×1040=350(名)，即估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀．(1)由成绩“良好”的学生人数除以所占百分比求出德育处一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；(2)把条形统计图补充完整即可；(3)由该校共有学生人数乘以在这次竞赛中成绩优秀的学生所占的比例即可．本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体的思想等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵反比例函数y =m x 的图象过点A(−2,1)，∴m =−2×1=−2，∴反比例函数为y =−2x ，∵B(1,a)在反比例函数y =−2x 图象上，∴a =−21=−2，∴B(1,−2)，把A 、B 代入y =kx +b 得{−2k +b =1k +b =−2， 解得{k =−1b =−1， ∴一次函数的解析式为y =−x −1．(2)∵A(−2,1)，B(1,−2)，观察图象可知，当−2<x<0或x>1时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，∴当反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围−2<x<0或x>1．【解析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出m，即可得到反比例函数的解析式，把B(−1,n)代入即可求得n，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式．(2)根据A、B的横坐标结合图象即可得出答案．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．23.【答案】(1)解：设每千克山药应降价x元，根据题意，得：(60−x−40)(100+10x)=2240，解得：x1=4，x2=6，答：每千克山药应降价4元或6元；(2)由(1)可知每千克山药可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克山药应降价6元．此时，售价为：60−6=54(元)，54×100%=90%．60答：该店应按原售价的九折出售．【解析】(1)设每千克山药应降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；(2)为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．24.【答案】解：由题意得：∠CAB=30°，∠CBD=60°，AB=10m，DF=AE=1.51m，∵∠CBD=∠CAB+∠ACB，∴∠ACB=∠CAB=30°，∴BC=AB=10，，在Rt△CBD中，sin∠CBD=CDBC=5√3(m)，∴CD=BC⋅sin60°=10×√32∴CF=CD+DF=5√3+1.51≈5×1.732+1.51≈10.71(m)，答：铜像的高度CF约10.71m．【解析】首先证明AB=BC=10，在Rt△BCD中，求出CD即可解决问题．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．25.【答案】23【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=BE+CE=3，∠C=90°，∵将矩形纸片ABCD(AD>DC)的点A沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，∴DE=AD=3，∴sin∠EDC=CEDE =23；故答案为：23；(2)解：∵BE：EC=1：4，CD=9，设BE=x，则EC=4x，BC=5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=5x，由翻折得DE=AD=5x，∴DC=√DE2−CE2=3x=9，解得：x=3，∴CE=12，BE=3，∵△FEB∽△EDC，∴FBEC =BEDC，∴BF=39×12=4；(3)解：∵△FEB∽△EDC，∴EFFB =DEEC，∵BE：EC=m：n，设BE =mk ，EC =nk ，则DE =AD =BC =(m +n)k ， ∴EF FB =DE EC =(m+n)k nk =m+n n ， 由翻折得，AF =EF ，∴AF FB =m+nn ．(1)根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论；(2)根据矩形的性质和相似三角形的性质解答即可；(3)根据相似三角形的判定和性质解答即可．此题考查了翻折变换(折叠问题)，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．26.【答案】(1)证明：∵∠BAC =90°，AB =AC∴∠B =∠C =∠ADE =45°∵∠ADC =∠B +∠BAD =∠ADE +∠CDE∴∠BAD =∠CDE∴△ABD∽△DCE ；(2)由(1)得△ABD∽△DCE ，∴BDEC =ABCD ，∵∠BAC =90°，AB =AC =1，∴BC =√2，CD =√2−x ，EC =1−y ，∴x 1−y =1√2−x ，∴y =x 2−√2x +1=(x −√22)2+12； (3)当AD =DE 时，△ABD≌△DCE ，∴BD =CE ，∴x =1−y ，即√2x −x 2=x ，∵x ≠0，∴等式左右两边同时除以x 得：x =√2−1∴AE=1−x=2−√2，当AE=DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，；所以，AE=12当AD=AE时，∠DAE=90°，D与B重合，不合题意；综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，AE的长为2−√2或1．2【解析】本题考查相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．(1)根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．(2)由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；(3)当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE= DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．。
2021-2022学年湖南省永州市冷水滩区九年级(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年湖南省永州市冷水滩区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知点A(2,3)在双曲线y =kx 上，则下列哪个点也在该双曲线上( )A. (−1,6)B. (6,−1)C. (−2,−3)D. (−2,3)2. 若关于x 的一元二次方程kx 2−2x −1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A. k >−1B. k >−1且k ≠0C. k <1D. k <1且k ≠03. 某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每名队员的平均成绩x .与方差S 2如下表所示，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则应该选( ) 选手 甲 乙丙丁 平均数x .8.5 9 9 8.5 方差S 211.211.3A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4. 在反比例函数y =4x 的图象中，阴影部分的面积不等于4的是( )A.B.C.D.5. 将方程2x 2−4x −3=0配方后所得的方程正确的是( )A. (2x −1)2=0B. (2x −1)2=4C. 2(x −1)2=1D. 2(x −1)2=56. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )A.B.C.D.7.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是()A. 520(1−x)2=312B. 520(1+x)2=312C. 520(1−2x)2=312D. 520(1−x2)=3128.把1米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为()A. 3−√52B. √5−12C. 1+√52D. 3+√529.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则cosB的值是()A. 12B. √32C. √55D. 2√5510.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的有()①∠BAE=30°；②CE2=AB⋅CF；③CF=53CD；④△ABE∽△AEF．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.若m是方程x2+x−2021=1的一个根，则代数式m(m+1)的值等于______．12.如果两个相似三角形的周长分别是10cm、15cm，小三角形的面积是24cm2，那么大三角形的面积是______cm2．13.一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为______ 海里/小时．14.如图，在菱形ABCD中，E是BC边上的点，AE交BD于的值是______．点F，若EC=2BE，则BFFD15.如图，直线y=x+2与反比例函数y=k的图象在第一象限交于点P，若OP=√10，x则k的值为______．16.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为______．17.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B(1,0)，则点C的坐标为______．18.下面是马虎同学在一次测验中解答的填空题：①若x2=a2，则x=a；②方程2x(x−1)=x−1的解为x=1；③若x4−2x2−3=0，令x2=a，则a=3或−1.④经计算整式x+1与x−4的积为x2−3x−4，则一元二次方程x2−3x−4=0的所有根是x1=−1，x1=4.则其中答案完全正确的题目为______(将正确结论的序号填写在横线上)三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）)0+2−1+√3⋅tan30°．19.计算：−12021+(1202120.解下列方程：(1)2x2−4x+1=0；(2)(x−1)2−2x(x−1)=0．21.今年是中国共产党建党100周年，为了更好地对于中学生开展党史学习教育活动，甲、乙两校进行了相关知识测试．在两校各随机抽取20名学生的测试成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a.甲校20名学生成绩的频数分布表和频数分布直方图；表1甲校学生样本成绩频数分布b.甲校成绩在80≤m<90的这一组的具体成绩是：8386878488898989c.甲、乙两校成绩的统计数据如表2所示：根据以如图表提供的信息，解答下列问题：(1)表1中a=______；表2中m=______；并补全图1甲校学生样本成绩频数分布直方图；(2)在此次测试中，某学生的成绩是86分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是______校的学生(填“甲”或“乙”)，理由______；(3)若甲校共有2200人，成绩不低于85分为“优秀”，则甲校成绩“优秀”的人数约为多少人？22.城南大桥是永州市第一座大型斜拉桥，横跨湘江连通冷水滩区与经开区，主桥结构为矮塔斜拉桥，主桥长380米．图2是从图1引申出的平面图．假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．(结果精确到0.1米，√3=1.732)．23.某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%.据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价x元，则可卖出(320−10x)件．如果商店计划要获利400元，则每件商品的售价应定为多少元？需要卖出这种商品多少件？24.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=AC，点E，F分别在AB，BC上，且∠EFB=∠D．(1)求证：△EFB∽△CDA；(2)若AB=20，AD=5，BF=4，求EB的长．25.已知如图，反比例函数y1=4的图象与一次函数y2=x+3的图象交于点A(1,n)，x点B(m,−1)．(1)求m，n的值；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出y1≥y2时x的取值范围．26.已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．(1)如图①，若AB//CD，AB=CD，∠A=90°，且AD⋅DF=AE⋅DC，求证：∠CGE=90°；(2)如图②，若AB//CD，AB=CD，且∠A=∠EGC时，求证：DE⋅CD=CF⋅DA；(3)如图③，若BA=BC=3，DA=DC=4，设DE⊥CF，当∠BAD=90°时，试是否为定值，并证明．判断DECF答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵点A(2,3)在双曲线y =kx 上， ∴k =xy =2×3=6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为6的点在函数图象上．A 、因为−1×6=−6≠6，所以该点不在双曲线y =kx 上．故A 选项错误；B 、因为6×(−1)=−6≠6，所以该点不在双曲线y =k x 上．故B 选项错误；C 、因为−2×(−3)=6，所以该点在双曲线y =kx 上．故C 选项正确；D 、因为−2×3=−6≠6，所以该点不在双曲线y =k x 上．故D 选项错误．故选：C ．只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是6的，就在此函数图象上．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．2.【答案】B【解析】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2−2x −1=0有两个不相等的实数根， ∴{k ≠0△>0，即{k ≠0△=4+4k >0， 解得k >−1且k ≠0． 故选：B ．根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k 的不等式组，求出k 的取值范围即可． 本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．3.【答案】C【解析】解：观察图形可知甲、丙方差相等，都小于乙、丁， ∴只要比较甲、丙就可得出正确结果， ∵甲的平均数小于丙的平均数，∴丙的成绩高且发挥稳定；故选C．看图识图，先计算平均数、方差，选择平均数大，方差小的人参赛即可．本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．4.【答案】B【解析】解：A、图形面积为|k|=4；B、阴影是梯形，面积为6；|k|)=4．C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×(12故选：B．中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形根据反比例函数y=kx面积为|k|解答即可．中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，主要考查了反比例函数y=kx所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作|k|．垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=125.【答案】D【解析】【分析】首先把二次项系数化为1，然后进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：移项得，2x 2−4x =3，2x 2−4x +2=5，则2(x 2−2x +1)=5，即2(x −1)2=5．故选D ．6.【答案】C【解析】解：根据勾股定理，AC =√22+22=2√2，BC =√2， 所以，夹直角的两边的比为√2√2=2，观各选项，只有C 选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：C ．可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．7.【答案】A【解析】解：设每次降价的百分率为x ，由题意得：520(1−x)2=312，故选：A ．设每次降价的百分率为x ，根据降价后的价格=降价前的价格(1−降价的百分率)，则第一次降价后的价格是560(1−x)，第二次后的价格是560(1−x)2，据此即可列方程． 此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．8.【答案】A【解析】解：较短的线段长=1×(1−√5−12)=3−√52；故选：A ．根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解．本题考查了黄金分割的概念，熟记黄金分割的比值(√5−12)是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：在Rt，△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，由勾股定理，得AB=√AC2+BC2=√5．cosB=BCAB =√5=√55，故选：C．根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦等于邻边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理求出斜边，再利用余弦等于邻边比斜边．10.【答案】B【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及正方形的性质．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．首先根据正方形的性质与同角的余角相等证得：△BAE∽△CEF，则可证得②正确，①③错误，利用三边对应成比例的三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF=∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，∴∠BAE=∠CEF，∴△BAE∽△CEF，∴ABBE =CECF，∵BE=CE，∴CE2=AB⋅CF．∵AB=2BE，∴CF=12CE=14CD，故②正确，③错误，∵AE=√AB2+BE2=√5BE，∴AE≠2BE，∴∠BAE≠30°，故①错误；设CF=a，则BE=CE=2a，AB=CD=AD=4a，DF=3a，∴AE=2√5a，EF=√5a，AF=5a，∴AEAF =2√5a5a=2√55，BEEF=√5a=2√55．∴AEAF =BEEF，∵∠ABE=∠AEF=90°，∴AEAF=BEEF=ABAE∴△ABE∽△AEF，故④正确．故选：B．11.【答案】2022【解析】解：把x=m代入方程x2+x−2021=1，可得：m2+m−2021=1，即m(m+1)=m2+m=2022．故答案为：2022．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m(m+1)的值．本题考查了一元二次方程的解的定义及求代数式的值，此题利用了整体代入的思想．12.【答案】54【解析】解：∵两个相似三角形的周长分别是10cm、15cm，∴其相似比=1015=23，∵小三角形的面积是24cm2，∴24S大=(23)2=49，解得S大=24×94=54．故答案为：54．先根据相似三角形的周长得出其相似比，再根据相似三角形的性质即可得出结论．本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．13.【答案】40+40√33【解析】解：如图所示：设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，由题意得：AB=80海里，BC=3x海里，在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°，∴∠B=90°−60°=30°，AB=40，BQ=√3AQ=40√3，∴AQ=12在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°，∴CQ=AQ=40，∴BC=40+40√3=3x，．解得：x=40+40√33海里/时；即该船行驶的速度为40+40√33．故答案为：40+40√33设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，∠CAQ= 45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40√3=3x，解方程即可．本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．14.【答案】13【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD//BC，∴△AFD∽△EFB，∴BFDF =BEAD，∵AD=BC，EC=2CE，∴AD=3BE∴BFFD =BE3BE=13，故答案为：13．根据菱形的性质得出AD=BC，AD//BC，求出AD=3BE，根据相似三角形的判定得出△AFD∽△EFB，根据相似得出比例式，代入求出即可．本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．15.【答案】3【解析】【分析】可设点P(m,m+2)，由OP=√10根据勾股定理得到m的值，进一步得到P点坐标，再根据待定系数法可求k的值．本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点P的坐标，难度不大．【解答】解：设点P(m,m+2)，∵OP=√10，∴√m2+(m+2)2=√10，解得m1=1，m2=−3(不合题意舍去)，∴点P(1,3)，∴3=k1，解得k=3．故答案为：3．16.【答案】√22【解析】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，设小正方形边长为1，根据勾股定理，AO=√22+42=2√5，AC=√12+32=√10，OC=√12+32=√10，所以，AO2=AC2+OC2=20，所以，△AOC是直角三角形，cos∠AOB=COAO =√102√5=√22．故答案为：√22．找出OB边上的格点C，连接AC，利用勾股定理求出AO、AC、CO的长度，再利用勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形，然后根据余弦=邻边斜边计算即可得解．本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出格点C并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．17.【答案】(1,1)【解析】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为(1,0)，∴BO=1，则AO=AB=√22，∴A(12,12 )，∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：(1,1)．故答案为：(1,1)．首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是(x,y)，则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是(kx,ky)或(−kx,−ky)，进而求出即可．此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．18.【答案】④【解析】解：①x2=a2⇒x=±a故错；②2x(x−1)=x−1即2x(x−1)−(x−1)=0∴(2x−1)(x−1)=0解得x=1或12故错；③a2−2a−3=(a−3)(a+1)=0解得a=3或−1；但因为a=x2≥0，因此a=3故错；④x2−3x−4=(x+1)(x−4)=0解得x1=−1，x1=4故对；故本题答案为④．本题可对方程进行一一计算看是否是所给的答案，若是，则答案正确，若不是则答案错误，由此可解本题．本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．19.【答案】解：原式=−1+1+12+√3×√33=−1+1+12+1=32．【解析】直接利用有理数的乘方运算法则以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案．此题主要考查了有理数的乘方运算以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：(1)2x 2−4x +1=0，x 2−2x =−12， x 2−2x +1=−12+1，即(x −1)2=12， ∴x −1=±√22， ∴x 1=1+√22，x 2=1−√22； (2)(x −1)2−2x(x −1)=0，(x −1)(x −1−2x)=0，∴x −1=0或−x −1=0，∴x 1=1，x 2=−1．【解析】(1)根据所给方程的特点，用配方法解答．(2)根据所给方程的系数特点，方程左边可以进行因式分解，故用因式分解法解答． 此题考查了解一元二次方程−因式分解法，配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．21.【答案】1 87.5 乙 乙校的中位数85<86<甲校的中位数87.5【解析】解：(1)由题意可得：a =20×0.05=1，b =20−1−3−8−6=2，∴m =(87+88)÷2=87.5，故答案为：1，87.5；补全图1甲校学生样本成绩频数分布直方图，如图所示：(2)由表2可知：在此次测试中，某学生的成绩是86分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是乙校学生，理由：乙校的中位数85<86<甲校的中位数87.5，故答案为：乙；(3)1200×(0.40+0.30)=1200×0.7=840(人)，∴校成绩“优秀”的人数约为840人．(1)根据表1中的数据，可以求得a、b的值，进而由中位数的定义可得m的值，可补全图1甲校学生样本成绩频数分布直方图；(2)根据表2中的数据，可以得到该名学生是哪个学校的，并说明理由；(3)根据表1中的数据，可以计算出甲校绩“优秀”的人数约为多少人．本题考查了频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体，中位数等知识，明确题意，数形结合是解决问题的关键．22.【答案】解：设DH的长为x米，在Rt△CDH中，∠CDH=60°，∴CH=DH⋅tan∠CDH=x⋅tan60°=√3x(米)，∴BH=CH+BC=(2+√3x)米，在Rt△ABH中，∠A=30°，∴AH=BHtanA =2+√3xtan30°=(2√3+3x)米，∵AH−DH=AD，∴2√3+3x=x+20，解得：x=10−√3，∴CH=√3x=(10√3−3)米，∴BH=BC+CH=10√3−3+2=(10√3−1)≈16.3(米)，答：立柱BH的长约为16.3米．【解析】设DH的长为x米，根据正切的定义用x表示出CH，再根据正切的定义用x表示出AH，根据题意列出方程，解方程得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23.【答案】解：根据每件售价x元，物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%，所以：x≤18×(1+25%)=22.5，由题意得(x−18)⋅(320−10x)=400，解得x1=22，x2=28(不合题意，舍去)，320−10x=320−10×22=100．答：每件商品的售价应定为22元，需要卖出这种商品100件．【解析】根据关键语句“物价部门限定每件商品加价不能超过进货价的25%”可得x≤18×(1+25%)；根据等量关系：(售价−进价)×售出件数=利润可得方程(x−18)⋅(320−10x)=400，解方程即可得到答案．此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系：每一件的利润×销售量=总利润，再列出方程即可．24.【答案】解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠B=∠DAC，∵∠D=∠EFB，∴△EFB∽△CDA；(2)∵△EFB∽△CDA，∴BEAC =BFAD，∵AB =AC =20，AD =5，BF =4，∴BE =16．【解析】(1)根据相似三角形的判定即可求出答案．(2)根据△EFB∽△CDA ，利用相似三角形的性质即可求出EB 的长度．本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．25.【答案】解：(1)把A 点、B 点坐标分别代入反比例函数y =4x 得{n =41−1=4m ， 解得：{m =−4n =4， 故m 、n 的值分别为−4，4；(2)由(1)得：点A 、B 的坐标分别为(1,4)、(−4,−1)，一次函数解析式是y =x +3，当y =0时，x +3=0，x =−3，C(−3,0)，S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×3×4+12×3×1=152；(3)∵B(−4,−1)，A(1,4)，∴根据图象可知：反比例函数值大于一次函数值时，0<x ≤1或x ≤−4．【解析】(1)把A 点、B 点坐标分别代入反比例函数表达式，即可求解；(2)S △AOB =S △AOC +S △BOC ，即可求解；(3)观察函数图象即可求解．本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，这里体现了数形结合的思想．26.【答案】(1)证明：如图①，∵AB//CD ，AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵∠A =90°，∴四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠FDC =90°，∵AD⋅DF=AE⋅DC，∴ADDC =AEDF，∴△ADE∽△DCF，∴∠ADE=∠DCF，∴∠ADE+∠DFC=∠DCF+∠DFC=90°，∴∠DGF=90°，∴∠CGE=∠DGF=90°．(2)证明：如图②，∵∠DGF=∠EGC，∠A=∠EGC，∴∠DGF=∠A，∴∠GDF=∠ADE，∴△GDF∽△ADE，∴DFDE =DGDA，∴DFDG =DEDA，∵AB//CD，∴∠AED=∠CDG，∵∠AED=∠CFD，∴∠CFD=∠CDG，∵∠DCF=∠GCD，∴△DCF∽△GCD，∴DFDG =CFCD，∴DEDA =CFCD，∴DE⋅CD=CF⋅DA．(3)解：DECF为定值，证明：如图③，作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，连接BD，设CN=x，∵∠BAD=∠AMC=∠ANC=90°，∴四边形AMCN是矩形，∴CM=AN，AM=CN=x，∠MCN=90°，∵BA=BC=3，DA=DC=4，BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠BCD=∠BAD=90°，∴∠BCM=∠DCN=90°−∠BCN，∴∠M=∠CND=90°，∴△BCN∽△DCN，∴CMCN =BCDC=34，∴CM=34CN=34x，∵BM2+CM2=BC2，BM=AM−BA=x−3，∴(x−3)2+(34x)2=32，解得x1=9625，x2=0(不符合题意，舍去)，∴CN=9625，∵DE⊥CF，∴∠DGF=90°，∴∠CFN+∠ADE=90°，∵∠DEA+∠ADE=90°，∴∠DEA=∠CFN，∴∠A=∠CNF=90°，∴△ADE∽△NCF，∴DECF =DACN=49625=2524，∴DECF为定值．【解析】(1)先证明四边形ABCD是矩形，则∠A=∠FDC=90°，再将AD⋅DF=AE⋅DC 变形为比例的形式，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ADE∽△DCF，得∠ADE=∠DCF，再进一步导出∠CGE=∠DGF=90°；(2)先证明△GDF∽△ADE，得DFDE =DGDA，变形为DFDG=DEDA，再证明△DCF∽△GCD，得DFDG=CFCD，所以有DEDA =CFCD，则DE⋅CD=CF⋅DA；(3)DECF为定值，作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，连接BD，设CN=x，先证明四边形AMCN是矩形，再证明△ABD≌△CBD，得∠BCD=∠BAD=90°，可推出∠BCM=∠DCN，证明△BCN∽△DCN，推得CM=34CN=34x，在Rt△BCM中根据勾股定理列方程求出x的值，即得到CN的长，再证明△ADE∽△NCF，即可求出DECF的值，从而证明DE为定值．CF此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识与方法，通过作辅助线构造相似三角形是解第(3)题的关键，此题难度较大，属于考试压轴题．。
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湖南省永州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知反比例函数的图象经过点（1，2〕，则k的值为（）A．0.5B．1C．2D．42．已知＝，则的值是（）A．B．C．﹣D．3．方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．已知点A（3，y1），B（5，y2）在函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定5．下列各式中，不成立的是（）A．cos60°＝2sin30°B．sin15°＝cos75°C．tan30°？tan60°＝1D．sin230°+cos230°＝16．为了解我市居民用水情况，在某小区随机抽查了20户家庭，并将这些家庭的月用水量进行统计，结果如下表：月用水量（吨）456813户数45731则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是（）A．中位数是5B．平均数是5C．众数是6D．方差是67．在同一平面直角坐标系中，函数y＝与y＝kx+1（k为常数，k≠0）的大致图象是（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边ABAC上，下列条件中不能判断△AED∽△ABC 的是（）A．∠AED＝∠ABC B．∠ADE＝∠ACB C．D．9．如图，已知线段AB，过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；连接AC，以点C 为圆心，CB为半径画弧，交AC于点D；再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AB于点P，则的值是（）A．B．C．D．10．式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号，如＝30，通过对以上材料的阅读，计算的值是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共32分）11．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E，若BC＝2，则DE的长是．12．点P在反比例函数y＝﹣的图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，则△POA的面积是．13．如图，某商店营业大厅自动扶AB的坡度为i＝1：2.5，过B点作BC⊥AC．垂足为点C．若大厅水平距离AC的长为7.5m，则两层之间的高度BC为米．14．已知关于x的方程x 2+3x+q＝0的一个根为﹣3，则它的另一个根为，q＝．15．两个相似三角形的最短边长分别为5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么较大三角形的周长为cm．16．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，且tan∠ADE＝，AC＝5，则AB的长．17．如图所示是小明家房子的侧面图，屋面两侧的斜坡AB＝AC＝6米，屋顶∠BAC＝150°，计划把图中△ABC（阴影部分）涂上墙漆，若墙漆的造价每平方米为100元，则这部分墙漆的造价共需元．18．我们规定：等腰三角形的底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”．如图，△ABC是以A为顶点的“特征值”为的等腰三角形，在△ABC外有一点D，若∠ADB＝∠ABC，AD＝4，BD＝3，则∠ABC＝度，CD的长是．三、解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：|﹣2|+（π+2019）0﹣2tan45°．20．（8分）2018年全国青少年禁毒知识竞赛开始以来，永州市青少年学生跃参如，掀起了学习禁毒知识的热潮，禁毒知识竞赛的成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格．为了了解我市广大学生参加禁毒知识竞赛的成绩，抽取了部分学生的成绩，根据抽查结果，绘制了如下两幅不完整的计图（1）本次抽查的人数是；（2）扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为度；（3）补全条形统计图；（4）若某校有2000名学生，请你估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有多少人？21．（8分）为了预防“流感“，某学校对教室采用熏法进行消毒，已知药物燃烧时．室内每立方米空气中的含药量y（毫克/立方米）与药物点燃后的时间x（分钟）成正比例；药物燃尽后，y与x成反比例（如图所示）已知药物点燃后6分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为15毫克．（1）分别求出这两个函数的表达式：（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于3毫克时对人体没有危害，那么此次消毒后经过多长时间学生才可以安全进入教室？22．（10分）某公司2016年的生产成本是100万元，由于改进技术，生产成本逐年下降，2018年的生产成本是81万元，若该公司2017、2018年每年生产成本下降的百分率都相同．（1）求平均每年生产成本下降的百分率；（2）假设2019年该公司生产成本下降的百分率与前两次相同，请你预测2019年该公司的生产成本．23．（10分）如图，某数学兴趣小组为测量教学楼CD的高，先在A处用高 1.5米的测角仪测得教学楼顶端D的仰角∠DEG为30°，再向前走20米到达B处，又测得教学楼顶端D的仰角∠DFG为60°，A、B、C三点在同一水平线上，求教学楼CD的高（结果保留根号）．24．（10分）已知关于x的方程x2﹣4x+3﹣a＝0有两个不相等的实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a取满足条件的最小整数值时，求方程的解；（3）在（2）的条件下，若方程x2﹣4x+3﹣a＝0的两个根是等腰△ABC的两条边长，求等腰△ABC的周长．25．（12分）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值？（3）在AC上是否存在点E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上，D是对角线的交点，若反比例函数y＝的图象经过点D，且与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点E，F．（1）若D的坐标为（4，2）①则OA的长是，AB的长是；②请判断EF是否与AC平行，井说明理由；③在x轴上是否存在一点P．使PD+PE的值最小，若存在，请求出点P的坐标及此时PD+PE的长；若不存在．请说明理由．（2）若点D的坐标为（m，n），且m＞0，n＞0，求的值．参考答案一、选择题1．解：将点（1，2）代入解析式得，，k ＝2．故选：C ．2．解：∵＝，∴＝﹣1＝﹣1＝﹣，故选：C ．3．解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根．故选：B ．4．解：把A （3，y 1），B （5，y 2）代入y ＝中得y 1＝，y 2＝＝1，所以y 1＞y 2．故选：B ．5．解：A 、cos60°＝sin30°，错误；B 、sin15°＝cos75°，正确；C 、tan30°？tan60°＝1，正确；D 、sin 230°+cos 230°＝1，正确；故选：A ．6．解：A 、根据按大小排列这组数据，第10，11个数据的平均数是中位数，（6+6）÷2＝6，故本选项错误；B 、平均数＝（4×4+5×5+6×7+8×3+13×1）÷20＝6，故本选项错误；C 、6出现了7次，出现的次数最多，则众数是6，故本选项正确；D 、方差是：S 2＝[4（4﹣6）2+5（5﹣6）2+7（6﹣6）2+3（8﹣6）2+（13﹣6）2]＝4.1，故本选项错误；故选：C ．7．解：当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝kx+1在第一、二、三象限，故选项C错误，选项D正确，当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝kx+1在第一、二、四象限，故选项A、B错误，故选：D．8．解：A、∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；B、∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误；C、不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确；D、，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误．故选：C．9．解：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a，∵CD＝BC＝a，∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）a，∵AP＝AD，∴AP＝（﹣1）a，∴＝．故选：A．10．解：＝﹣；则＝+++…+＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故选：D．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卷的答案栏内）11．解：∵DE∥BC，AD＝DB，∴AE＝EC，∴DE＝BC＝1，故答案为1．12．解：设点P的坐标为（x，y）．∵P（x，y）在反比例函数y＝﹣的图象上，∴xy＝﹣4，∴S△POA＝|xy|＝2，故答案为：2．13．解：∵AB的坡度为i＝1：2.5，过B点作BC⊥AC，垂足为点C，大厅水平距离AC的长为7.5m，∴BC：AC＝1：2.5，则BC＝7.5÷2.5＝3（m）．故答案为：3．14．解：根据题意，得9﹣9+q＝0，解得，q＝0；由韦达定理，知x1+x2＝﹣3；则﹣3+x2＝﹣3，解得，x2＝0．故答案是：0，0．15．解：∵两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，∴两个三角形的相似比为5：3，设大三角形的周长为5x，则小三角形的周长为3x，由题意得，5x﹣3x＝12，解得，x＝6，则5x＝30，故答案为：30．16．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝CD，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ACD＝90°，∴∠ADE＝∠ACD，∴tan∠ACD＝tan∠ADE＝＝，设AD＝4k，CD＝3k，则AC＝5k，∴5k＝5，∴k＝1，∴CD＝AB＝3，故答案为317．解：如图，过点B作BD垂直于CA延长线于点D，∵∠BAC＝150°，∴∠BAD＝30°．∴BD＝AB?sin30°＝AB＝3米．∴S阴影＝AC?BD＝＝9（平方米）则造价为：9×100＝900（元）故答案是：900．18．解：设等腰三角形的底角为x，∵△ABC是以A为顶点的“特征值”为的等腰三角形，根据定义可知顶角为2x．∴x+x+2x＝180°，∴x＝45°，即∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，过C点作CH⊥DA垂足为H，交DB延长线于E，如图：∵∠ADB+∠DAB＝∠ABC+∠CBE，∠ADB＝∠ABC＝45°，∴∠ADB＝∠E＝45°，∠DAB＝∠EBC，∴△ADB∽△BEC，∴，∵△ABC是等腰直角三角形，∴，∵AD＝4，BD＝3，∴BE＝4，CE＝3，∴DE＝3+4，∵△DHE是等腰直角三角形，∴DH＝EH＝＝，∴CH＝，在Rt△DCH中，CD＝＝．故答案为：45，．三、解答题（共8小题，满分78分）19．解：原式＝2+1﹣2＝1．20．解：（1）本次抽查的人数为24÷20%＝120（人），故答案为：120人；（2）扇形统计图中不及格学生所占的圆心角的度数为360°×＝18°，故答案为：18；（3）良好的人数为120﹣（24+54+6）＝36（人），补全图形如下：（4）估计该校学生知识竞赛成绩为“优秀”和“良好”两个等级共有2000×＝1000（人）．21．解：（1）∵正比例函数的图象经过点（6，15），∴正比例函数的解析式为y＝x，∵反比例函数的图象经过点（6，15），∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）把y＝3代入y＝中得x＝30，∴此次消毒后经过30分钟学生才可以安全进入教室．22．解：（1）设每年生产成本的下降率为x，根据题意得：100（1﹣x）2＝81，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合题意，舍去）．答：每年生产成本的下降率为10%．（2）81×（1﹣10%）＝72.9（万元）．答：预测2019该公司的生产成本为72.9万元．23．解：∵∠DFG＝∠DEF+∠EDF，∠DFG＝60°，∠DEF＝30°，∴∠DEF＝∠FDE＝30°，∴EF＝FD＝20米，在Rt△DFG中，DG＝DF?sin60°＝20×＝10（米），∵四边形AEGC是矩形，∴CG＝AE＝1.5米，∴CD＝DG+CG＝（1.5+10）米．24．解：（1）根据题意得△＝（﹣4）2﹣4（3﹣a）＞0，解得a＞﹣1；（2）a的最小整数为0，此时方程为x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，x﹣3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝3，x2＝1；（3）∵方程x2﹣4x+3﹣a＝0的两个根是等腰△ABC的两条边长，∴等腰△ABC的腰长为3，底边长为1，∴等腰△ABC的周长＝3+3+1＝7．25．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45°∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE∴∠BAD＝∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）由（1）得△ABD∽△DCE，∴＝∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，CD＝﹣x，EC＝1﹣y，∴＝，y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，当x＝时，y有最小值，最小值为；（3）当AD＝DE时，△ABD≌△CDE，∴BD＝CE，∴x＝1﹣y，即x﹣x2＝x，∵x≠0，∴等式左右两边同时除以x得：x＝﹣1∴AE＝1﹣x＝2﹣，当AE＝DE时，DE⊥AC，此时D是BC中点，E也是AC的中点，所以，AE＝；当AD＝AE时，∠DAE＝90°，D与B重合，不合题意；综上，在AC上存在点E，使△ADE是等腰三角形，AE的长为2﹣或．26．解：（1）①∵点D的坐标为（4，2），∴点B的坐标为（8，4），∴OA＝8，AB＝4．故答案为：8；4．②EF∥AC，理由如下：∵反比例函数y＝的图象经过点D（4，2），∴k＝4×2＝8．∵点B的坐标为（8，4），BC∥x轴，AB∥y轴，∴点F的坐标为（2，4），点E的坐标为（8，1），∴BF＝6，BE＝3，∴＝，＝，∴＝．∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠BCA＝∠BFE，∴EF∥AC．③作点E关于x轴对称的点E′，连接DE′交x轴于点P，此时PD+PE的值最小，如图所示．∵点E的坐标为（8，1），∴点E′的坐标为（8，﹣1），∴DE′＝＝5．设直线DE′的解析式为y＝ax+b（a≠0），将D（4，2），E′（8，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴直线DE′的解析式为y＝﹣x+5．当y＝0时，﹣x+5＝0，解得：x＝，∴当点P的坐标为（，0）时，PD+PE的值最小，最小值为5．（2）∵点D的坐标为（m，n），∴点B的坐标为（2m，2n）．∵反比例函数y＝的图象经过点D（m，n），∴k＝mn，∴点F的坐标为（m，2n），点E的坐标为（2m，n），∴BF＝m，BE＝n，∴＝，＝，∴＝．又∵∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴＝＝．。