量纲分析模型PPT课件
量纲分析和相似原理ppt课件
几何学量纲：α≠0,
分类 动力学量纲：γ≠0
β=0,
γ=0，
运动学量纲：β≠0，γ=0
二、量纲一的量
基本量和导出量可以组合成量纲为1的量，称 为量纲一的量，即α=0,β=0,γ=0。 特点： （1）无单位，它的大小与所选单位无关； （2）量纲表示式中的指数均为零。 几个互相独立，不能结合成量纲一的量称为基 本量。如长度L、流速v和密度ρ就可以作为基本量。
量，独立，可作为基本量。
如长度L、速度V、密度ρ三个物理量满足：
1 2 3 D 1 2 3 0ຫໍສະໝຸດ 1 2 3，可作为基本量。
问题
1. 速度v，长度l，重力加速度g的量纲1的集合是： A. B. C. D. 2. 速度v,密度ρ,压强p的量纲1的集合是： A. B. C. D. 3. 速度v，长度l，时间t的量纲1的集合是： D. A. B. C. 4. 压强△p，密度ρ，长度l，流量Q的量纲的集合是： A. B. C. D.
§4-2 量纲分析法
量纲和谐原理最重要的用途在于能确定方程式中 物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，以建 立合理的方程式。这种利用量纲和谐原理探求物理量 之间的函数关系称为量纲分析法。 • 依据：量纲和谐原理 • 方法：瑞利法：适用于单项指数形式。 π定理：适用于普遍性的问题。
一 瑞利法
计算步骤： 1. 确定与所研究的物理现象有关的n个物理量； 2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： FD=kDx Uyρz μa 3. 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相 同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指数方程式即得 各物理量之间的关系式。 应用范围：一般情况下，要求相关变量未知数n小 于等于4~5个。
量纲分析与相似原理ppt课件
Eu可由Re、Fr导出。 故，保证Re、Fr相等就可达到动力相似。 事实上，即使只有这两个，也很难做到相等的要求。
20
分析Re和Fr
首先，Fr
v2
gl
由Frm = Frp 得
vm2 vp2 gmlm gplp
vm2 lm vp2 lp
v2 l
数得 Ma2
l 2v 2
FE
l 2v 2
EVl 2
v2
EV
v Ma
EV /
Ma表示惯性力与弹性力的比值
16
（5）韦伯数（We）
表面张力起主导作用，则F = Fσ，作为分母代入牛
顿数得 We2
l 2v 2
l 2v 2
v2
We v
F
l /(l)
/(l)
9
Fν —— 粘性力； Fp —— 压力； FG —— 重力；
FI —— 惯性力； FE —— 弹性力； Fσ —— 表面张力力
F
Fp,m Fp,p
F ,m F ,p
FG , FG ,p
FI ,m FI ,p
FE ,m FE ,p
F ,m F ,p
四 定界条件相似 初始条件与边界条件相似。 对于稳定流动，不需要初始条件。 可把边界条件相似归于几何相似。
对于动力粘度： dimμ = ML1T1
即α＝－1，β＝－1，γ＝1
二 量纲和谐原理 凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都
必须是一致的。因为只有相同类型的物理量才能相加减。 否则无意义。
量纲分析与轮廓模型课件完整版
[面积]=L2 [体积]=L3、 [速度]=LT-1,
[加速度]=LT-2、[力]=MLT-2,
[能量]=ML2T-2.
注
1. 物理量的量纲只依赖于基本量的选择， 独立于单位的确定。
2. 对于某个物理量Q, 如果
[Q]=Lα M β T γ I δ Θ ε J ζ N η，
有α=β=γ=δ=ε=ζ=η=0，则称之为无量纲量，记 为[Q]=1 。它将不依赖于选定的基本量。
若长方体 II 有棱长(a*, b*, c*), 且
a*/a = b*/b = c*/c = m.
则有L1*= mL1, L2*=mL2, L3*= mL3;
S1*= m2S1, S2*= m2S2;
V1*= m3V1, V2*= m3V2.
于是可得 Si*/Lk*2=Si/Lk2;
Vi*/Lk*3=Vi/ Lk3; Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2.
5 . 计算 π 的量纲 0 对自由变量( 4， 5)选取基底(1, 0)和(速的模型，有 Tα1Lα2Mα3( LT-2)α4
r(W)=|dc/dw| = 1/3 k2W-4/3.
α3 = 0
艇速 v 定常，阻力 F
长度 L 米 m
= Tα1-2α4Lα2 + α4M α3
100. 检验
① 周期与 质量 m
m=390g
m=237g
l = 276cm 3.327s
3.350s
l = 226cm 3.058s
3.044s
② 周期与振幅 θ (l=276cm, m=390g)
θ (0) 8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62
第五章——量纲分析和相似原理-PPT精选文档
V dl 3
a 3 b 3 c 3
将上述表达式写成量纲形式
0 0 0 3 a 1 1 b 1c 1 1 2 M L t ( M L ) ( L t ) ( L ) ( M L t ) 1
解得a1=-1, b1=-2,c1=0, 故
p l F , , 0 2, V V d d d
上述公式还可以写成
l p F , , 1 2 V V d d d
p l F , 2 2 V d V d d
2 p V l F , 2 g 2 gd V d d
（2）找出基本量纲，设为m个 （3）从n个变量中选出包含全部基本量刚的m个基本变量 （4）用基本变量与其它的任一个变量组成无量纲方程，并解出 n-m 个无量纲数组 （5）利用无量纲数组建立描述该现象的方程
【例5-1】 不可压粘性流体在圆管道内流体流动的压降p与 下列因素有关：管径d、管长l、管壁粗糙度ε 、管内流体密度、 流体的动力粘度 ，以及断面平均流速v有关。试用定理推出 压降p的表达形式。
5.1 量纲分析 量纲分析和相似原理是指导实验设计和理论基础 1. 量纲分析基础
量纲——用以度量物理量单位的种类，用dim表示 。代表被测 物理量单位种类的一种符号，从符号可以看出它们的属性。
基本量纲——国际单位制中7个基本物理量的量纲。 [L]、[M]、[t]、[T]、[E]、[C]、[N] 流体力学的常用基本量纲为[L]、[M]、[t]，其它任意物理量 B的量纲可以用三个基本量纲的指数乘积的形式表示出来
1
p V 2
6
5.1 量纲分析
0 0 0 3 a 2 1 b 2c 2 1 1 M L t ( M L ) ( L t ) ( L ) ( M L t ) 2
第五章 量纲分析与相似原理ppt课件
或显解一个 参数，如：
f , , . . . ,
或求得一个因变量的表达式。
例1：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差 p 与下 , ,v ,l, 列变量有关：管径 d ，管壁粗糙度 ，试求 p 的 表达式。
解 ： fdv ,,, l ,,, p 0
z 3 a 1 1
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
M : 1 z a L : 0 x y 3z a T : 2 y a
故 Fk D U D
1 a2 a1 aa
得 x 1 a , y 2 a , z 1 a
l 设 f4 R e ,
l v2 则 h d 2g
例2：已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压 强降落 p 随流量Q，流体密度 ，液体粘性系数 ，管 壁粗糙高度 ，流量计长度L以及大小直径 D 1 , D 2 变化。 试用 定律求出的压强降落 p 表示的流量公式。 解：函数式为：
f D ,, v , ,, 0 0
（动力量）为基 从各独立影响因素中选取D（几何量），v（运动量）， 本量建立 项：
, , D v D v D v
1 0 a bc 1 1 1 2 a bc 2 2 2 3 a bc 3 3 3
f , Q , DD , ,2 , p 0 1
选取 , Q, D1 为基本变量， 则存在6-3=3个 数
1 Q D p 2 Q D 3 Q D D2
3 3 3 1 2 2 2 1
1
1
1 1
流体力学量纲分析(课堂PPT)
几何
相似 流 应
运动
动
满 足
相似
相
的 条
动力 似 件
相似
3
一 几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线性长度的 比值为一定常数 。
以上标“ ＇”表 示模型的有关量
L' L h
Cl
（4-1）
Cl :长度比例尺（相似比例常数）
4
面积比例尺: 体积比例尺:
图4-3 动力场相似
力的比例尺:
CF
Fp ' Fp
F 't Ft
W' W
FI ' FI
（4-9）
8
又由牛顿定律可知：
' l'3 v'
CF
t'
l 3
v
C
Cl2C
2 v
t
其中： C
'
为流体的密度比例尺。
力矩（功，能）比例尺:
CM
M' M
F'l' Fl
CFCl
Cl3Cv2C
压强（应力）比例尺:
图4-2速度场相似
时间比例尺: 速度比例尺:
t '1 t1
t'2 t2
t'3 t3
Ct
l'
Cv
v' v
t' l t
Cl Ct
（4-4）
（4-5）
6
加速度比例尺:
Ca
v' a' t ' av
t
Cv Ct
Cv2 Cl
（4-6）
体积流量比例尺:
CqV
第5章量纲分析和相似原理ppt课件-38页PPT资料
因次（量纲）——不同于单位
基本因次——相互独立的
不可压缩流体的基本因次——M、L、T
物理量A的因次 dim AMaLbTc
如
dim FML2T
a0 b0 c 0 ——几何学量
a0
c 0 ——运动学量
a0
——动力学量
因次的和谐性原理—— 任何物理方程每一项的因次都是相等的
区别于经验公式
Ap Am
l
2 p
lm2
l2
Vp Vm
l
3 p
l
3 m
3l
几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学 相似的前提
（2）运动相似——模型和原型流场中的相应点上存 在的同名速度都成一定的比值，且方向相同。
ห้องสมุดไป่ตู้
λv——速度比尺
vp vm
up um
v
时间比尺 加速度比尺
t
tp tm
lp lm
vp vm
l v
1
p v2
同理
2
vd
3
l d
4
k d
e.整理方程式
f1,2,3,4f v 2 p ,v d ,d l,d k 0
p
v2
f ,
vd
l, d
k d
p
v2
f
Rek, l dd
pf Re k ,l v2l v2
dd
d2
f Re,k
d
（2）雷利法 有关物理量少于5个
fq 1,q2,q3,q40
3个基本量，只有一个π项
小结：变量的选取——对物理过程有一定程度 的理解是非常重要的
快速方法：直接平衡分子与分母的因次
量 纲 分 析 法 建 模
§5 量 纲 分 析 法 建 模量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi 定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化．一、量纲齐次原则许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可 以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长度l 、质量m 和时间t 的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母L ，M 和T ．于 是速度v 、加速度a 的量纲可以按照其定义分别用1-LT 和2-LT表示，力f 的量纲则应根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积2-LMT 表示．有些物理常数也有量纲，如万有引力定律221r m m k f =中的引力常数k ，由 221m m fr k =可知其量纲应从力f 、距离r 和质量m 的量纲求出，为2-LMT ·2L ·2-M =213--T M L ．通常，一个物理量q 的量纲记作[q]，于是上述各物理量的量纲为[l]=L ，[m]=M ，[t]=T ，[v]=LT -1，[a ]=LT -2，[f] =LMT -2，[k]= 213--T M L .对于无量纲量α，我们记[α]=1(因为可视为[α]=000T M L )．用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致，或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)．量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系[6,20]．在叙述主要定理之前先看一个例子．单摆运动 这是一个熟知的物理现象，质量为m 的小球系在长度为l 的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg 作用下(g 为重力加速度)做往复摆动，忽略阻力．求摆动周期t 的表达式．在这个问题中出现的物理量有t ，m ，l ，g ，设它们之间有关系式其中1α，2α，3α是待定常数，λ是无量纲的比例系数．取(1)式的量纲表达式即[][][][]321αααg l m t =将[t]=T ，[m]=M ，[l]=L ，[g]=LT -2代入得按照量纲齐次原则应有(3)的解为1α=0，2α=1/2，3α=-1/2，代人(1)式得g l t λ= （4） (4)式与用力学规律得到的结果是一致的．为了导出量纲分析建模的一般方法，将这个例子中各个变量之间的关系写作进而假设(5)式形如 π=4321y y y y g l m t （6）其中1y ～4y 是待定常数，π是无量纲常数．将t ，m ，l ，g 的量纲用基本量纲L ，M ，T表示为100][T M L t =,010][T M L m =,001][T M L l =,201][-=T M L l ，则(6)的量纲表达式可写作(注意到000][T M L =π)即 000241243T M L T M L y y y y y =-+ （7）此方程组有一个基本解T T y y y y y )1,1,0,2(),,,(4321-== （9）代回(6)式得 π=-g l t 12 （10）而(5)式等价于0)(=πF （11）(10)，(11)两式就是用量纲齐次原则从(5)式得到的结果．前面给出的(4)式只是它的特殊表达形式.把从(5)式到(11)式的推导过程一般化，就是著名的Pi 定理．定理 设有m 个物理量m q q q ,,,21 ，是与量纲单位的选取无关的物理定律*,n X X X ,,,21 是基本量纲，n ≤m ． m q q q ,,,21 的量纲可表为m j X q n i ai i ij ,...,2,1,][1==∏= (13)矩阵m n ij a A ⨯=}{称量纲矩阵．若A 的秩r RankA = (14)设线性齐次方程组(y 是m 维向量) 0=Ay (15)的m-r 个基本解为r m s y y y y T sm s s s -==,,2,1,),,,(21 (16)则∏==m j y j i sj q1π为m-r 个相互独立的无量纲量．且与(12)式等价．F 表示一个未定的函数关系．[航船的阻力] 长l 、吃水深度h 的船以速度v 航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f除依（8）赖于船的诸变量l ，h ，v 以外，还与水的参数——密度ρ、粘性系数μ，以及重力加速度g 有关．下面用量纲分析方法确定阻力f 和这些物理量之间的关系．我们按照Pi 定理中(12)～(18)式的步骤进行．1．航船问题中涉及的物理量有：阻力f ，船长l ，吃水深度h ，速度v ，水的密度ρ，水的粘性系数μ，重力加速度g ，要寻求的关系式记作2．这是一个力学问题，基本量纲选为L ，M ，T ．上述各物理量的量纲表为其中μ的量纲由基本关系xv p ∂∂=μ得到．其中p 是压强(单位面积受的力)，所以2][-=LMT p 212---=⋅MT L L ;v 是流速，x 是尺度，所以111---=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂T L LT x v ． 并且有n=3<m=7．3．由(20)立即可写出量纲矩阵并且计算 )(3r RankA == (22)4．解齐次方程0=Ay (23)方程(23)有m-r=7—3=4个基本解，可取为5．(24)式给出4个相互独立的无量纲量而(19)式与 等价，Φ是未定的函数，(25)、(26)两式表达了航船问题中各物理量间的全部关系． 6，为得到阻力f 的显示表达式，由(25)及(26)中4π的式子可写出其中ψ表示一个未定函数．在流体力学中无量纲量)(lg 2/12-=πv称Froude 数，)(3πμρ=lv 称Reynold 数(雷诺数)，分别记作μρlv v Fr ==Re ,lg (28) 则(27)式又表示为 Re),,1(22Fr hl f ρψυ= (29)这就是用量纲分析方法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析是难以得到的．虽然这里函数ψ的形式无从知道，但是在下面将会看到这个表达式在物理模拟中的用途．评注 从上面的例子可以看出，量纲分析方法在建立物理问题的数学模型中能够得到一些重要的、有用的结果，但是也有较大的局限性．在应用和评价这个方法时以下几点值得注意．1．正确确定各物理量 面对一个实际问题将哪些物理量包括在量纲分析的基本关系式f(·)=0中，对所得结果的合理性是至关重要的．对于航船问题，如果在(19)式中忽略了水的密度ρ或粘性系数μ，则得到的结果就会不同．各物理量的确定主要靠经验和物理知识，无法绝对保证所得结果是正确或有用的．2．合理选取基本量纲 基本量纲选少了，无法表示各物理量，当然不行；选多了也会使问题复杂化．在一般情况下力学问题选取L ，M ，T 即可，热学问题加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q ．3．恰当构造基本解 线性齐次方程组的基本解可以有许多不同的构造方法，虽然基本解组能够相互线性表出，但是为了特定的建模目的恰当地构造基本解，能够更直接地得到我们所期望的结果．4．结果的效用和局限性 量纲齐次原则和n 定理是具有普遍意义的又是相当初 等的方法，它不需要非常专门的物理知识及高等的数学方法，就可以得到用其他方法 难以得到的结果，如(29)式．一般地说，从未知定律f(m q q q ,,,21 )=0到用量纲分析方法得到的等价形式F(r m -πππ,,,21 )=0，不仅物理量个数减少了r 个，而且原始物理量m q q q ,,,21 ，组合成了一些有用的无量纲量r m -πππ,,,21 ，下面将进一步讨论它们的用途．另一方面，用这个方法得到的结果是有局限的，“不彻底”的．F(·)=0中仍然包含着一些未定函数和常数 (无量纲量)，诸如物理定律中经常 出现的三角函数sin(·)、指数函数exp(·)不可能用量纲分析法得到，因为这些函 数的自变量和函数值都是无量纲的．二、量纲分析的应用——物理模拟中的比例模型我们在1．1节曾介绍过物理模型，它是在实验室条件下按照缩小了的比例尺寸构造的，目的是根据相应的比例来研究原型的某些性质．量纲分析的结果可以指导这种比例关系的确定．以本节提到的单摆运动为例．已经得到模型中摆动周期t 与摆长l 的关系为若记原型中相应的各个物理量为t '，l '，g '，因为λ是无量纲量，在模型与原型中不变，又显然有g=g ，，所以由(30)式立即得到这样，如果模型摆的尺寸按照摆长比例l: l ' =1:4设计制造，那么测定了模型摆的周期t 以后，就可以知道原型摆的周期为t '=2t ．可以看出，这里主要用了无量纲量在模型和原型中保持不变的性质．下面利用航船问题的结果讨论怎样构造航船模型，以确定原型航船在海洋中受的阻力，并且当速度不大时可以忽略雷诺数Re 的影响．以g v h l f ,,,,,ρ和g v h l f '''''',,,,,ρ，分别记模型和原型中的各物理量，由(28)、(29)式(略去Re)得注意(32)，(33)两式中的函数ψ是一样的．当无量纲量成立时，由(32)、(33)式可得只要模型船和原型船的形状相似，就可以保证(34)的第1式成立．而注意到g=g '，(34)的第2式给出如果在模拟中用与海水有相同密度的水，即ρρ'=，则由(35)，(36)式可得于是确定了模型船和原型船的比例l l ':，并测得了模型船的阻力f 后，就能够确定原型航船的阻力f 了．三、无量纲化我们不拟对无量纲化方法作一般阐述，而是通过一个例子介绍这种方法如何用来对模型进行简化．抛射问题 在星球表面以初速v 竖直向上发射火箭*，记星球半径为r ，星球表面重力加速度为g ，忽略阻力，讨论发射高度x 随时间t 的变化规律．设J 轴竖直向上，在发射时刻f=0火箭高度x=O(星球表面)．火箭和星球的质量分别记作1m 和2m ，则由牛顿第二定律和万有引力定律可得以x=O 时x=-g 代入(38)式，并注意到初始条件，抛射问题满足如下方程(39)的解可以表示为即发射高度x 是以r ，v ，g 为参数的时间f 的函数．这里的目的不是研究这个函数的具体形式(虽然可以通过求解方程(39)直接得到)，而是讨论用无量纲化方法简化它的途径．(40)式包含3个独立参数r ，v ，g ，由(40)式得到的进一步的结果，如火箭到达最高点的时间0==x M t t 。
流体力学--第七章量纲分析与相似理论ppt课件
粘度νp=0.13cm2/s。现用水作模型实验，水的运动粘度
νm=0.013cm2/s。当模型的管径与原型相同时，要达到两流动
相似，求水的流量Qm。若测得5m长输水管两端的压强水头
差
pm
m gm
5c，m 试求100m长的输油管两端的压强差？
解：
（1）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺相
似准则
解：实验应按佛汝德准则进行。
已知船模长度： L m 1 /5 0 7 8 1 .5 6 m 实艇水面航速为：vp1 30 .5 1 56 .7m /s
故实验时船模的拖曳速度为：
vp vm
glp
glm
vm vp
lm 0.95m/s lp
例7-6 已知直径为15cm的输油管，流量0.18m3/s，油的运动
例7-4 根据实验，某气体管流现象的物理方程为
f( p ,,v ,,d ,l, ) 0
压强损失： p 气体密度： 流速：v 动力粘度：
管径：d 管长：l
管壁粗糙度：
试用定理推导气体管路压强损失 p 公式。
[解]
（1）取 、 v、 作d为三个基本量，求各 项
1
p
d v a1 b1 c1
2
d v a2 b2 c2
3.基本量纲和导出量纲 （1）基本量纲：量纲互不依赖、相互独立。
（2）导出量纲：由基本量纲表示的量纲，可 用基本量纲的指数乘积来表示 。
长度量纲 L
质量量纲 M
时间量纲 T
速度 力
dim xL aM bTc dimuLT1
dim FLM T-2
粘度
dimL1M T1
4.量纲分类
（1）几何学量纲： a0,b0,c0
量纲分析法ppt课件
——“质”的表征。 基本量纲
（动力学中L, M, T）
导出量纲
量纲公式
某物理量q的量纲[q]可用3个基本量纲的指数乘积表示
[q] M LT
分 类
无量纲量：
几何学量纲： = 0，0，=0 运动学量纲： = 0，0，0 动力学量纲：0，0，0
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
y1 2, y2 0, y3 1, y4 1
t 2l 1g F ( ) 0 (t l / g )
方法二：布金汉（Buckingham）定理（定理）
一般情况下，瑞利法要求相关物理量个数 n 不超过4个， 待求量纲指数不超过3个。当有关物理量超过4个时，需要归并 有关物理量或选待定系数，以求得量纲指数。
： 各物理量之间的关系式。
qi q1aq2 b ...qn1p
例题一：
如图所示，质点做单摆运动，求摆动周期 t 的表达式
(1)找出同 t有关的物理量：m, l, g ，即 f t, m, l, g 0
(2)写出指数乘积关系式 t m1l2 g3
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(3)写出量纲式 [t] [m]1 [l]2 [g]3
qm1, qm2 ,..., qn
qm j
q x1 j 1
q2 x2 j ... qm xmj ( j 1,2,...,n m)
ln qm j x1 j lnq1 x1 j lnq2 ... xmj lnqm
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mm 引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=fL3Mk -1Tr1 -222
对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)
5
4、量纲与单位的关系
1）、量纲和单位都在反映物理量的特征，反映该物理量与基 本物理量间的关系。
2）、任何物理量的量纲是唯一的，但单位可以有多个。
如速度的量纲是LT 1, 但其单位可以是(m / s) 也可以是(km/ s), 还可以是(km/ h).
称量纲指数均•物为质0的的量物理N量为无摩量尔纲量m。ol
4
长度 l 的量纲记 L=[l]
物 质量 m的量纲记 M=[m] 理 量 时间 t 的量纲记 T=[t]
的 量
速度 v 的量纲 [v]=LT-1
纲 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
动力学中 基本量纲 L, M, T
如果规定了基本量的单位，其它量的单位也随之确定。
2
2、基本物理量 定义：一组物理量，若彼此相互独立，且其它物 理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合， 则称这些物理量为基本物理量。
导出量：由基本量通过自然规律导出的量。例如： 速度、加速度、力、…
类似于向量空间中的基的概念，一方面基中的向 量线性无关（独立）；一方面向量空间中的任何 向量均可由其线性表示（导出量）。
[t] [m]1 [l]2 [g]3
1 0 2 3 0
2 3
1
T M L T 1 23 23
1 0 2 1/ 2 3 1/ 2
t l
g
l
m mg 对比
t 2 l
g
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量纲齐 次原则
单摆运动
t m l g 1 2 3
为什么假设这种形式?
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
量纲分析模型
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2.10 量纲分析与无量纲化
一、单位与量纲
1、单位
数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有 相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。 如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关 注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问 题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量 的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度 是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。
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定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称
为该量的量纲。这种基规本定物关理系量常以基本物理量的幂
名称 量纲 单位 符号 指乘积形式表长示度，因此L也称为量米纲积。m 即任一物理 量Q的量纲皆• 可质表量示成 M 千克 kg
[Q•]=时Lα间M βTγITδΘεJζNη秒
s
其中，L，M，••电T温流，度强I，度Θ，ΘIJ，开N安尔是培文基本物KA理量的量纲； α, β, •γ,光δ强, ε, ζ, ηJ称为坎量德纲拉指数c。d
对 x,y,z的两组量测值x1,y1,z1 和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
p1 f (ax1,by1, cz1), p2 f (ax2,by2, cz2 )
p1 p1 p2 p2
f (x1, y1, z1) f (ax1,by1, cz1) f (x2, y2, z2 ) f (ax2,by2, cz2 )
量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利 用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确 定物理量之间的关系。
7
量纲分析在实际问题中的应用
假设 问题的解是依据适当的物理基本量的量纲 齐次方程给出的。
•首先找出所有与问题的解（因变物理量） 有关的物理量和基本量；
任 务
•其次寻求一个适当的无量纲齐次方程来确 定待定方程的形式（即变量是独立的无量
(
L1
M
0
T0 0
0
)
y3
0
y3 y4 0
y 2
0
y1 2 y4 0
基本解 y ( y1, y2 , y3, y4 )T (2, 0, 1, 1)T
t 2l 1g F ( ) 0
(t l / g )
11
Pi定理 (Buckingham) 设 f(q1, q2, , qm) = 0
纲积的方程）；
•最后把因变物理量解出来。
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例：单摆运动
求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
公式t 中的m系数1l是2 g无量3 (1)
纲的，实际上是与摆
1, 2, 3 为待定角系有数关，的，为当无摆量角纲不量
大于15度时，近似等
(1)的量纲表达等式于量式2两纲派端齐。的次量原纲则一致
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, Xn 是基本 量纲, nm, q1, q2, qm 是与寻求问题有关的物理量。
思 考 ： Pi 定 方程变量的个数 q1, q2, qm量纲可表示为
n
[q ] X ,aij
j
纲性矩齐阵次记方由 道 无作程方单量组程由摆纲A理义fA运方(mqym是1动程的,{个－qa求等什02i,实减j周价}r有么个n期，少,m际mq的并。-？mr到, )方且个意备若=了构法此基无0r成本我方a与量n一解们程k一纲A个，知的个组完记r。作
p= f(x,y,z)的形式为 f (x, y, z) x y z
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单摆运动规律和物理量 t, m, l, g 有关， 这个规律可以表示为左边的一般表达式：
f (t, m,l, g ) 0
t y1 my2 l y3 g齐y4次线性方y1程~y组4 为的待基定础常解数系, 为无量纲量
L M T L M T [[[[ltmg]]]]LLLL10M1M0MM00T只 m幂0T1TT01，积含02 l组一，只个g((构有LL向10MM成一量y30的个0TT，y4完无12说))y备量1y(4明yL无纲20以ML量幂y0t1M1积纲，T2 y00。4T) y20
3）、有的量可以没有量纲，但它可能有单位。如角度
4）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属 性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。
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2.10.1 量纲分析建模和Pi定理
量纲齐次法则
用数学表达式表示一个物理定律时，等式两边 的量纲必须是一致的（或者都是无量纲量）。
例如, 牛顿第二定律 F=ma, [F]=MLT-2, [ma]=MLT-2