量纲分析模型PPT课件

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定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称
为该量的量纲。这种基规本定物关理系量常以基本物理量的幂
名称 量纲 单位 符号 指乘积形式表长示度，因此L也称为量米纲积。m 即任一物理 量Q的量纲皆• 可质表量示成 M 千克 kg
[Q•]=时Lα间M βTγITδΘεJζNη秒
s
其中，L，M，••电T温流，度强I，度Θ，ΘIJ，开N安尔是培文基本物KA理量的量纲； α, β, •γ,光δ强, ε, ζ, ηJ称为坎量德纲拉指数c。d
导出量纲
mm 引力常数 k 的量纲 [k] =[f][l]2[m]-2=fL3Mk -1Tr1 -222
对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)
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4、量纲与单位的关系
1）、量纲和单位都在反映物理量的特征，反映该物理量与基 本物理量间的关系。
2）、任何物理量的量纲是唯一的，但单位可以有多个。
如速度的量纲是LT 1, 但其单位可以是(m / s) 也可以是(km/ s), 还可以是(km/ h).
(
L1
M
0
T0 0
0
)
y3
0
y3 y4 0
y 2
0
y1 2 y4 0
基本解 y ( y1, y2 , y3, y4 )T (2, 0, 1, 1)T
t 2l 1g F ( ) 0
(t l / g )
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Pi定理 (Buckingham) 设 f(q1, q2, , qm) = 0
对 x,y,z的两组量测值x1,y1,z1 和x2,y2,z2, p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
p1 f (ax1,by1, cz1), p2 f (ax2,by2, cz2 )
p1 p1 p2 p2
f (x1, y1, z1) f (ax1,by1, cz1) f (x2, y2, z2 ) f (ax2,by2, cz2 )
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, Xn 是基本 量纲, nm, q1, q2, qm 是与寻求问题有关的物理量。
思 考 ： Pi 定 方程变量的个数 q1, q2, qm量纲可表示为
n
[q ] X ,aij
j
i
i 1
j 1,2, , m
量线纲性矩齐阵次记方由 道 无作程方单量组程由摆纲A理义fA运方(mqym是1动程的,{个－qa求等什02i,实减j周价}r有么个n期，少,m际mq的并。-？mr到, )方且个意备若=了构法此基无0r成本我方a与量n一解们程k一纲A个，知的个组完记r。作
p= f(x,y,z)的形式为 f (x, y, z) x y z
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单摆运动规律和物理量 t, m, l, g 有关， 这个规律可以表示为左边的一般表达式：
f (t, m,l, g ) 0
t y1 my2 l y3 g齐y4次线性方y1程~y组4 为的待基定础常解数系, 为无量纲量
L M T L M T [[[[ltmg]]]]LLLL10M1M0MM00T只 m幂0T1TT01，积含02 l组一，只个g((构有LL向10MM成一量y30的个0TT，y4完无12说))y备量1y(4明yL无纲20以ML量幂y0t1M1积纲，T2 y00。4T) y20
3）、有的量可以没有量纲，但它可能有单位。如角度
4）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属 性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。
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2.10.1 量纲分析建模和Pi定理
量纲齐次法则
用数学表达式表示一个物理定律时，等式两边 的量纲必须是一致的（或者都是无量纲量）。
例如, 牛顿第二定律 F=ma, [F]=MLT-2, [ma]=MLT-2
量纲分析是在物理领域中建立数学模型的方法，利 用物理量的量纲提供的信息，根据量纲齐次法则确 定物理量之间的关系。
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量纲分析在实际问题中的应用
假设 问题的解是依据适当的物理基本量的量纲 齐次方程给出的。
•首先找出所有与问题的解（因变物理量） 有关的物理量和基本量；
任 务
•其次寻求一个适当的无量纲齐次方程来确 定待定方程的形式（即变量是独立的无量
量纲分析模型
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2.10 量纲分析与无量纲化
一、单位与量纲
1、单位
数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有 相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。 如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关 注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问 题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量 的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度 是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。
称量纲指数均•物为质0的的量物理N量为无摩量尔纲量m。ol
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长度 l 的量纲记 L=[l]
物 质量 m的量纲记 M=[m] 理 量 时间 t 的量纲记 T=[t]
的 量
速度 v 的量纲 [v]=LT-1
纲 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
动力学中 基本量纲 L, M, T
[t] [m]1 [wk.baidu.com]2 [g]3
1 0 2 3 0
2 3
1
T M L T 1 23 23
1 0 2 1/ 2 3 1/ 2
t l
g
l
m mg 对比
t 2 l
g
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量纲齐 次原则
单摆运动
t m l g 1 2 3
为什么假设这种形式?
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 位缩小a,b,c倍
纲积的方程）；
•最后把因变物理量解出来。
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例：单摆运动
求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
公式t 中的m系数1l是2 g无量3 (1)
纲的，实际上是与摆
1, 2, 3 为待定角系有数关，的，为当无摆量角纲不量
大于15度时，近似等
(1)的量纲表达等式于量式2两纲派端齐。的次量原纲则一致
如果规定了基本量的单位，其它量的单位也随之确定。
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2、基本物理量 定义：一组物理量，若彼此相互独立，且其它物 理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合， 则称这些物理量为基本物理量。
导出量：由基本量通过自然规律导出的量。例如： 速度、加速度、力、…
类似于向量空间中的基的概念，一方面基中的向 量线性无关（独立）；一方面向量空间中的任何 向量均可由其线性表示（导出量）。