欧拉路径和欧拉回路PPT学习课件
欧拉回路的算法演示
欧拉图中欧拉回路的算法，演示，及分析
设G为欧拉图，一般来说G中存在若干条欧拉回路，下面介绍两种求欧拉回路的算法。
1．Fleury算法，能不走桥就不走桥：
（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0.
（2）设Pi=v0e1v1e2…e i v i已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…,e i}中选取e i+1：
（a）e i+1与v i相关联；
（b）除非无别的边可供行遍，否则e i+1不应该为G i=G-{e1,e2,…,e i}中的桥。
（3）当（2）不能再进行时，算法停止。
可以证明，当算法停止时所得简单回路P m=v0e1v1e2…e m v m(v m=v0)为G中一条欧拉回路。
例15.2 图15.4(1)是给定的欧拉图G。
某人用Fleury算法求G中的欧拉回路时，走了简单回路v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2之后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误?
解此人行遍v8时犯了能不走桥就不走桥的错误，因而他没行遍出欧拉回路。
当他走到v8时，G-{e2,e3,e14,e10,e1,e8}为图15.4(2)所示。
此时e9为该图中的桥，而e7,e11均不是桥，他不应该走e9，而应该走e7或e11，他没有走，所以犯了错误。
注意，此人在行遍中，在v3遇到过桥e3，v1处遇到过桥e8，但当时除桥外他无别的边可走，所以当时均走了桥，这是不会犯错误的。
欧拉路径和欧拉回路课件
04
欧拉路径和欧拉回路的比较
概念与性质的比较
总结词
欧拉路径和欧拉回路是图论中的重要概 念，它们在定义和性质上有一些不同之 处。
VS
详细描述
欧拉路径是指连接图中所有顶点的路径， 且每条边仅被遍历一次；而欧拉回路是指 连接图中所有顶点的闭合路径，即起点和 终点是同一个顶点。欧拉路径要求每条边 仅被遍历一次，而欧拉回路则要求所有边 至少被遍历一次。此外，欧拉路径不一定 是唯一的，但欧拉回路一定是唯一的。
03
欧拉回路
定义与性质
定义
欧拉回路是指一条路径，该路径在图 中经过每条边恰好一次，并且起点和 终点重合。
性质
欧拉回路是图论中的一个基本概念， 它具有一些重要的性质，如连通性、 闭合性等。
计算方法与技巧
计算方法
欧拉回路的计算方法主要有穷举法和动态规划法。穷举法是通过搜索所有可能 的路径来找到欧拉回路，而动态规划法是通过将问题分解为子问题，并利用子 问题的解来求解原问题。
欧拉路径和欧拉回路课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 欧拉路径 • 欧拉回路 • 欧拉路径和欧拉回路的比较 • 欧拉路径和欧拉回路的扩展 • 结论与展望
01
引言
定义与概念
欧拉路径
一个图形中所有边的端点被访问 一次且仅一次的路径。
欧拉回路
一个图形中所有边的端点被访问 一次且仅一次的闭环路径。
研究历史与现状
应用实例
要点一
总结词
欧拉路径在图论、计算机科学、生物信息学等领域都有广 泛的应用。
要点二
详细描述
1）图论：欧拉路径是图论中的一个重要概念，它可以用于 解决许多图论问题，如最短路径、连通性等。2）计算机科 学：在计算机科学中，欧拉路径被用于研究图的遍历算法 和图的复杂性理论。3）生物信息学：在生物信息学中，欧 拉路径被用于研பைடு நூலகம்基因序列的比对和分析，以及蛋白质相 互作用网络的分析。
7.Euler图52
中国邮递员问题（E-图？） (The Chinese postman problem)
一个邮递员送信, 每次要走遍他负责投递范围内 的街道, 然后再回到邮局. 问他应该按怎样的路 线走, 使所走的路程最短? 如果用点表示交叉路口, 用点之间的连线表示对 应的街道, 每条线上对应一个实数, 它是相应街 道的长度. 原问题变成一个图论问题. 中国邮递员问题: 在赋以非负权的连通图G上, 求一条最小权环游.(称为最优环游或最佳邮路)。 环游：经过一个图G的每条边至少一次的闭回路。
否则G中恰好有两个奇点u和v. 设G+e表示G 中添加连接u和v的新边e所得到的图. 显然G+e 的每个顶点都是偶点.
E是u由Gl的e定r一环理条游1，E,u可l其e设r中道eC路1==ve.0,e1vv10e=2vvm2.…则emvv1me是2vG2+…e中emv的m
精品课件
3.求欧拉回路的算法:
精品课件
中国邮递员问题求解
若G中每个点的度为偶数，G为Euler图，则G中的 Euler回路是最优环游。 若G不是Euler图, 则G的任何环游, 包括G的最优环 游, 通过某些边将超过一次. 中国邮递员问题就变化为: 给出一个连通图G. (到E11的的) 权图求尽GE*1可是E能E满u小l足e(r条称图件这(称:样这在的样G可中的行重E集1复为EE1可1为中行最每集优条)集.边)并,. 且使使得 (2) 求G*的Euler回路.
精品课件
定理. L是无向连通图G最佳邮路(最优环游) 的充要条件是:
(1) G的每条边最多重复一次. (2) 在G的任意一个回路上, 重复边的长度之 和不超过该回路长度的一半.
证明: “”(1)如果一条最佳邮路要重复经 过某些边, 则将G中k次重复的边画出相应的k条 边, 得到G’, 这时, G’中有Euler环游L’.
chapter8.1 欧拉图
七桥问题, 一笔画, 欧拉通(回)路, 欧拉图 欧拉图的充分必要条件 求欧拉回路的算法
1
七桥问题
七桥问题(Seven bridges of Königsberg problem): River Pregel, Kaliningrad,Russia
Leonhard Euler
中国邮递员问题
中国邮递员问题(Chinese postman problem): 求邮递员走遍管区所有街道的最短回路
管梅谷(Guan Mei-gu),1962,中国 运筹学(Operation Research) 组合优化(Combinatorial Optimization)
总结
Leonhard Euler(1707~1783): 人类有史以来最多产的数学家. 1736年,“七桥问题”, 图论和拓扑学诞生
一笔画
欧拉图(Eulerian)
欧拉通路(Euler trail): 经过图中所有边的简单通路 欧拉回路(Euler tour/circuit): 经过图中所有边的简
Fleury算法(递归形式)
算法:
(1) if d(v)>1 then e:=v关联的任意非割边
(2)
else e:=v关联的唯一边
(3) u:=e的另一个端点.
(4) 递归地求G-e的从u到w的欧拉通路
(5) 把e接续在递归地求出的通路上
Fleury算法(迭代形式)
算法:
(1) P0:=v; (2) 设Pi=v0e1v1e2…eivi已经行遍,设Gi=G-{e1,e2 ,… ,ei},
的指令 可行性: 算法的指令都是可以实现的 终止性: 算法工作有穷步后停止
欧拉图
求一个欧拉图的欧拉回路的方法：从任一点 出发按下法来描画一条边不重复的通路， 使在每一步中未描画的子图的割边仅当没 有别的边可选择时才被描画。
Fleury 算法：
（1）任取v_0,令P_0=v_0
(2)设P_i=v_0e_1v_1e_2…e_iv_i已经行遍， 按下列方法来从E(G)-{e_1, e_2, …, e_i}中选 取e_{i+1} :
d
j
b a
h
i
e
g
c
f
m
用Fleury算法求出欧拉环游为：
emgcfabchbdhgdjiejge
所以：解为：egjeijdghdbhcbafcg
关于欧拉图，尚有一些理论问题没有解决。
（1） 我们知道欧拉图能表示成无公共边的圈的并，对于给 定的欧 拉图，它能表示成几个圈的并？
（2） 对平面图欧拉图G,由于|E(G)|≤3|V(G)|-6, 而每个圈至 少三条 边， 则G至多用|V(G)|-2个无公共边的圈的并。 但 非平面的欧拉图， 是否可以表成不超过该图顶点数减2个圈 的并呢？ 这个问题还没人证明或者反驳。
（a) e_{i+1}与v_i相关联;
(b) 除非无别的边可供行遍，否则e_{i+1}不 应该为G_i=G-{e_1, …., e_i}中的桥
（3） 当（2）不能再进行时， 算法停止。
定理：当G是欧拉图时， Fleury算法终止时 得到的P是欧拉回路。
例： 在下面欧拉图G中求一条欧拉回路。
d
f
h
欧拉图 Euler图的定义
设G是无孤立点的图。经过G中每条边一次且仅一
次的通路（回路）称为欧拉通路（回路），存在欧 拉回路的图称为欧拉图。
欧拉简介PPT课件
对线性代数和矩阵理论做出了 重大贡献，包括行列式的性质 与算法、线性方程组的解法等。
推动了符号代数的发展，使得 代数学从几何学中独立出来。
几何学方面创新观点
提出了“欧拉公式”，揭示了多面体 的顶点数、棱数、面数之间的数量关 系。
对解析几何和微分几何的发展做出了 重要贡献，包括曲线和曲面的表示、 性质和应用等。
1 2
组合数学与计算机科学融合
随着计算机科学的发展，组合数学在计算机科学 中的应用越来越广泛，如算法设计、数据结构等。
组合数学与其他学科交叉
组合数学正逐渐与其他学科进行交叉融合，形成 新的研究领域，如生物信息学、量子计算等。
3
组合数学研究方法的创新
随着数学理论的不断发展，组合数学的研究方法 也在不断创新，如代数方法、几何方法、概率方 法等。
编程语言选择
根据实际需求选择合适的编程语言， 如Python、MATLAB等。
算法设计与实现
针对具体问题设计相应的算法，并编 写程序实现自动化计算。
数据处理与可视化
对计算结果进行数据处理和可视化展 示，以便更好地分析和理解问题。
程序调试与优化
对程序进行调试和优化，提高计算效 率和准确性。
06 欧拉精神传承与当代价值 体现
物理学及其他领域成就
力学
研究了刚体运动和弹性 力学，提出了欧拉-拉格
朗日方程。
光学
对光的传播和反射进行 了深入研究，提出了光
的波动理论。
天文学
研究了行星运动和月球 轨道，提出了三体问题
的特殊解。
音乐理论
对音乐理论也有研究， 提出了音乐中的“欧拉
数”。
欧拉对后世影响
对数学的影响
欧拉的数学研究为后世数学家提供了 重要的思想和工具，对现代数学的发 展产生了深远影响。
欧拉回路定理
欧拉回路定理
欧拉回路定理是图论中的一个重要定理，它描述了图中存在欧拉回路的条件。
具体来说，对于无向图来说，该定理表明：图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点；图G存在欧拉回路的充要条件是：G为连通图，并且所有结点的度数均为偶数。
对于有向图来说，该定理表明：图D存在欧拉通路的充要条件是：D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1；图D存在欧拉回路的充要条件是：D为连通图，且所有顶点的出度与入度都相等。
高二数学欧拉定理PPT课件
彻夜未眠。次日一早，俩人在客栈里胡乱吃了一点儿早饭以后，就乘坐大骡车继续顺着延绵北上的大路出发了。大骡车终于慢悠悠地进
入到了故乡的土地，迎面
-
15
V+F-E 2 2 2 2 2
什么样的 多面体符合
V+F-E=2?
考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是 用橡胶薄膜做成的，如果向内部充以气体，那么它 会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。
简单多面体概念：
表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做 简单多面体。
我们所学的几何体，如棱柱、棱锥、正多面体 等一切凸多面体都是简单多面体。
十多步远的路边田埂上，看似漫不经心地关注着这边事态的发展变化。耿家父子们的所有哭述和欢笑，他们也都听了个大概。看到这东、
西两边的人和车合二为一之后又高高兴兴地重新出发了，他们也起身跟了上来。34第百零八回 原路归来放悲歌|（和煦春日三月三，归
人悲痛口难言；义子理解父苦情，悲歌一曲吐心声。）那一日，耿老爹一整天都很少说其他的话，只是反反复复地自个儿念叨着：“明
脏！你自个儿去洗哇。”尚武说：“那我也懒得洗了，咱们这就睡吧！”这是一间并不很大的客房，盘有一条可以睡得开四个人的火炕，
但那天只住了耿老爹父子俩人。于是，尚武展开铺盖，父子俩就松松地躺下睡了。哪里想到，躺在火炕上的尚武老是思忖着明日里义父
与义母和义妹的艰难重逢，小小年纪的他竟然难以入睡，而耿老爹则更是辗转反侧，苦苦地折磨了自己一整夜。如此，父子俩几乎都是
儿个就要到家了……明儿个就要到家了……”念叨一会儿，就转头问问护送他回来的义子李尚武：“武儿，明儿个是什么日子啊？”尚
武轻轻地说：“义父，明儿个是三月初三！”走一会儿，耿老爹长长地叹一口气再次念叨起来：“明儿个就能到家了……明儿个就能到
组合数学之欧拉图ppt
相关定理
$
若 G 有 n 条边， G 是连通的且 G 的任意结点的度大于 1 （为偶数）， 则G必有回路。设G有长度为m的回路C，在C中存在闭路径 v0e1v1…vm-1emv0 ， 其 中 v0,v1,…,vm-1 各 不 相 同 ， 并 且 {v0, v1,…,vm-1} 和{e1, e2,…, em} 分别是 C 的结点集合和边集合。 令 G = G-{e1,…, em } ， G的每个顶点度数仍旧为偶数。设 G 有 k 个分支 G1,…, Gk。因为G是连通的，G的每个分支 Gi 与 C 都有公共结点。 设 vni为 G的分支 Gi（1 i k）与 C的一个公共结点，并 假定 0 n1 … nk m-1 。显然， Gi 为边数小于 n 的 连通欧拉图（Gi为分支且每个结点仍为偶结点）。由归纳假设： Gi 有一条从 vni 到 vni 的欧拉闭路径 Pi 。因此，以下的闭路 径：v0e1v1…en1P1en1+1…enkPkenk+1…vm-1emv0 就是G的一条欧拉路径。
Fleury算法——构造欧拉回路
• 算法： – 输入：欧拉图G
$
– 输出：简单通路P = v0e1v1e2,…,eiviei+1,…,emvm, 其中包含了 EG中所有的元素。 1. 任取顶点v0VG, 令P0=v0; 2. 设Pi=v0e1v1e2,…,eivi, 按下列原则从EG-{e1,e2,…,ei}中选择边 ei+1。 (a) ei+1与vi相关联； (b) 除非别无选择，否则ei+1不应是G-{e1,e2,…,ei}中的割边。
注意：欧拉通路是简单通路（边不重复），但顶点可重复
(b) 包含图G中每条边的简单回路称为欧拉回路。 (c) 如果图 G 中含欧拉回路，则 G称为 欧拉图 。如果图 G 中有欧拉通路，但没有欧拉回路，则G称为半欧拉图。
欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径和欧拉回路概念欧拉路径：图&G&中的⼀条路径若包括每个边恰好⼀次，则其为欧拉路径欧拉回路：⼀条回路如果是欧拉路径，那么其为欧拉回路存在条件⽆论⽆向图还是有向图，⾸要条件为所有边都是连通的⽆向图1. 存在欧拉路径的充要条件：度数为奇数的点只能有0或2个2. 存在欧拉回路的充要条件：度数为奇数的点只能有0个有向图1. 存在欧拉路径的充要条件：所有点出度=⼊度；或除两点外其余所有点出度=⼊度，余下两点⼀个出度-⼊度=1(地点)，另⼀个⼊度-出度=1(终点)2. 存在欧拉回路的充要条件：所有点出度=⼊度注：欧拉回路为欧拉路径的⼀种特例，因此如果说存在欧拉路径是包含存在欧拉回路这种情况的算法流程1. 建图并统计点的度数(有向图分⼊度和出度)2. 根据度数进⾏初步的有解性判定如何理解"初步"：所有点的度数均满⾜要求不等价于所有边均连通。
连通性判定在此处⽆法解决，因此为初步的合法性判定⽆向图统计度数为奇数的点个数count欧拉回路：count == 0欧拉路径：count == 0 || count == 2有向图欧拉回路：有解仅需保证所有点⼊度==出度即可欧拉路径：设din[i]为i点的⼊度，dout[i]为i点的出度dout[i] - din[i] == 1的点数为startNum(满⾜起点特征)din[i] - dout[i] == 1的点数为endNum(满⾜终点特征)success表⽰是否有解⽅法1:for (int i = 1; i <= n; ++i) // 枚举所有点if (din[i] != dout[i]){if (dout[i] - din[i] == 1) ++ startNum;else if (din[i] - dout[i] == 1) ++endNum;else success = false;}有解的条件为success && (!startNum && !endNum || startNum == 1 && endNum == 1)⽐较容易理解的是success为false时⼀定是⽆解的不容易理解的是，success为true时不⼀定是有解的，因为最多只能有2个点的出度!=⼊度，⽽success为true并不能保证这⼀点⽅法2:设count为出度!=⼊度的点个数，flag为出度!=⼊度点的(出度-⼊度)的乘积(或者⼊度-出度的乘积)for (int i = 1; i <= n; ++i) // 枚举所有点if (din[i] != dout[i]){++count;flag *= dout[i] - din[i];}有解的条件为!count || (count == 2 && flag == -1)即出度!=⼊度的点数为0 或出度 != ⼊度的点数为2并且对应两个点，起点满⾜dout[i] - din[i] == 1, 终点满⾜dout[i] - din[i] == -1注：如果题⽬保证⾄少存在⼀组解，则此判定过程可以省略3. 选取起点⾸先需要明确两点1. 从欧拉回路上任意⼀点dfs均可搜索到其所在的欧拉回路2. 从欧拉路径上任意⼀点dfs未必可以搜索到其所有的欧拉路径，必须从满⾜⼀定性质的点出发才可原因很简单，对于⼀个环路来说，从任意⼀点开始都可以⼀笔画出整个环；对于⼀个路径，只有从起点开始才可以⼀笔画出整条路径欧拉回路：如果题⽬要求的为欧拉回路，在⽆向图中，满⾜所有点的度数为偶数，在有向图中，满⾜所有点的出度==⼊度，所有点都是等价的，因此dfs的起点只需定为⼀个⾮孤⽴点为何⼀定是⾮孤⽴点: 在此类题⽬中，⼀般不能保证点是连通的，因此是存在孤⽴点的，但是孤⽴点的存在对欧拉回路或路径的存在并不产⽣影响，但是如果从孤⽴点开始是找不到回路或路径的欧拉路径：如果题⽬要求的为欧拉路径，对于⽆向图，需要找到度数为奇数的点作为起点，对于有向图，需要找到dout[i] - din[i] == 1的点i 4.从起点开始dfs寻找欧拉回路或欧拉路径欧拉回路和欧拉路径问题的本质是边的问题，类⽐对点的dfs问题，我们同样需要对⾛过的边进⾏标记，防⽌重复void dfs(int u){for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]){if (st[i]) continue; // 对⾛过的边进⾏标记st[i] = true;dfs(e[i]);res[++cnt] = i;}}dfs部分难点-递归搜索和存储答案的顺序问题dfs(e[i]);res[++cnt] = i;在常规dfs中，搜索到某个点会⾸先把该点进⾏存储，然后再递归搜索，但是求解欧拉路径需要递归搜索完⼀个节点后再把到该节点的边进⾏存储为了说明这两种顺序产⽣的不同结果，以⼀组数据为例/*** ⽆向图* 5个点，6条边* 以下6⾏a b表⽰：a与b之间有⼀条边*/5 62 32 53 41 24 25 1对边进⾏存储，如果采取先存储再搜索的顺序，结果为4 2 6 1 3 5如果采取先搜索再存储的顺序，结果为6 2 5 3 1 4可以发现，第⼆种顺序得到的恰好是欧拉路径的倒序，结果只需要倒序输出即可dfs部分难点-优化问题最终的优化⽅案实际分为两个部分，为了更加透彻理解优化原理，逐层进⾏分析1. 原始思路void dfs(int u){for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]){if (st[i]) continue; // 对⾛过的边进⾏标记st[i] = true;// 如果为⽆向图，这⾥还需要对反向边进⾏标记dfs(e[i]);res[++cnt] = i;}}上述代码为⼀般思路，存在的问题为⾛过的边存在重复枚举。
欧拉图
① 对任意一个不是端点的结点，在一个欧拉路中每当vi出现一次， 必关联两条边，故虽然Vi可重复出现，但deg(vi)必是偶数。
② 对于端点,v0=v,，Ud(vi)为偶数，艮卩G中无奇数度结点。
若端点J与財不同，则d(J)为奇数，d(j)：为奇数，G中就有两个
奇数度结点。 推论13.1
(欧拉回路的充要条件)无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G 是
欧拉图。关于欧拉图的思维形式注记图如图所示。
（定义：存在欧拉回路
欧拉图」判定:充要条件您:忠出需 I有向图：每个结点的入度等于岀度
一个结点的入度比出度大1。另一个结点的入度比出度小1。
民间一笔画：
1） 如果图中所有结点是偶数度结点，则可以任选一点作为
始点一笔画完；
2） 如果图中只有两个奇度结点，则可以选择其中一个奇度
结点作为始点也可一笔画完。
例13.1
图是一幢房子的平面图 形，前门进入一个客厅，由 客厅通向4个房间。如果要求 每扇门只能进出一次，现在 你由前门进入，能否通过所 有的门走遍所有的房间和客 厅，然后从后门走出。
</>
•= 13.1.1欧拉图的定义
定义13.1
经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的通路称为欧 拉路；
经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的回路称为 欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图。具有欧拉路而无欧
拉回路的图称为半欧拉图。
v— _ x］孑詞
OV i
欧拉图举例
容易看出, (a)是欧拉图, 而(b)不是欧
解:
将4个房间和一个客厅及前门外和后门外作为结点，若两结
点有边相连就表示该两结点所表示的位置有一扇门相通。由此
得图（b）。由于图中有4个结点是奇度结点，故由定理13.1及
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
考虑左边的图，每个点 的度都为偶数．则存在 欧拉路径．
11
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: Location: 1 Circuit:
12
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
8
具体步骤
如果此时与该点无相连的点，那么就加入路径 中．
如果该点有相连的点，那么就列一张表，遍历 这些点，直到没有相连的点．
处理当前的点，删出走过的这条边，并在其相 临的点上进行同样的操作．并把删除的点加入 到路径中去．
其实这就是一个递归过程．
9
但选择起点时要注意．如果所有点的度数为偶 数，那么可以依题意随意选择，都可得到一条 欧拉回路．
但是可转化为前两种的情况．(第三种只是简 要说明)
3
无向图
每个顶点的入度是偶数，则存在欧拉回路． 证明很简单：其原理就是每个顶点要进去多少
次，就必须出来多少次．如果存在度为奇数的 顶点，那么必有通过某一边进入这一点后，没 有边可以出去，这样就不会有回路．
4
有向图
每个顶点的入度和出度相等． 原理同无向图．也是有多少边进入，就要有多
{
if(match[x] == 0)
Hale Waihona Puke {Record[RecordPos] = x;
RecordPos++;
}
39
else {
for(int k =0;k<=500;k++) {
if(Array[x][k] !=0 ) {
16
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 Location: 5 Circuit: 1
17
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 Location: 6 Circuit: 1
18
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 Location: 2 Circuit: 1
19
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 2 Location: 7 Circuit: 1
20
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 2 7 Location: 3 Circuit: 1
21
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 Location: 4 Circuit: 1
37
伪代码
find_circuit(node i) { 如果当前结点没有边
将其加入到路径中 否则：while(node i 没有相连的边)
{ j是与i相临的顶点（即i,j之间有一条边） find_circuit(j); 删除i和j之间的边
} 将i加入路径中去 }
38
void solve(int x)
浅谈欧拉路径
5050309760 李冰
1
欧拉路径和欧拉回路的定义：
一副图，寻找一条只通过每条边一次的路径叫 做欧拉路径．如果这条路径的起点和终点是同 一点，那么这条路径叫做欧拉回路．
2
怎么样判断是否存在欧拉回路
在以下三种情况中有三种不同的算法： １．无向图 ２．有向图 ３．混合图 注：前两种的判定很简单，第三种稍复杂一些，
34
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 Location: 4 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2 6 52
35
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: Location: 1 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2 6 524
36
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: Location: Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2 6 5241
25
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 4 6 Location: 7 Circuit: 1 5
26
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 4 Location: 6 Circuit: 1 5 7
27
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 Location: 4 Circuit: 1 5 7 6
外，其于点的度数都为偶数，那么则存在欧拉 路径．
7
怎么样求欧拉回路
就是循环地找到出发点． 一个解决此类问题基本的想法是从某个节点开
始,然后查出一个从这个点出发回到这个点的 环路径。这种方法保证每个边都被遍历.如果 有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点， 这条边为起始边，把它和当前的环衔接上。这 样直至所有的边都被遍历。这样，整个图就被 连接到一起了。
31
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 Location: 6 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2
32
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 Location: 5 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2 6
33
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 Location: 2 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2 6 5
Array[x][k]--; Array[k][x]--; match[x]--; match[k]--; solve(k); }
} Record[RecordPos] = x; RecordPos++; } }
Q&A
40
22
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 4 Location: 6 Circuit: 1
23
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 4 6 Location: 7 Circuit: 1
24
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 4 67 Location: 5 Circuit: 1
少边出去． 对于混合图这里就不祥细说明了．
5
混合图
混合图的定义： 有的边是有向的，有的边是无向的。例如城市
里的交通网络，有的路是单行道，有的路是双 行道。 找到一个给每条无向的边定向的策略，使得每 个顶点的入度等于出度，这样就能转换成上面 第二种情况。
6
关于欧拉路径
源点与汇点不为同一点． 判定一个图是否有欧拉路径． 一个无向图中除源点与汇点的度数为奇数
Stack: 1 Location: 4 Circuit:
13
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 Location: 2 Circuit:
14
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 Location: 5 Circuit:
15
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 Location: 1 Circuit:
28
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 2 7 Location: 3 Circuit: 1 5 7 6 4
29
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 2 Location: 7 Circuit: 1 5 7 6 4 3
30
来自ＵＳＡＣＯ上的例子
Stack: 1 4 2 5 6 Location: 2 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7