第二部分 单样本和双样本假设检验

一类错误和二类错误
• 前面提到，如果p值远小于0.05，我们拒绝了零假设，但 我们还是要承担一定的风险。 • 比如，我们通过考试来评估学生能力，90分对应着p=0.05， 那么我们则会认为90分以上的学生为好学生。但是如果一 些学生参加了考试辅导，老师帮他们赌到了一些考试题， 使得他们平均分高于90。在统计检验中，我们发现p小于 0.05，那我们会得到结论，这些同学能力高于一般水平。
A基本概念
• 总体标准差未知的大样本z检验
• t分布 • 单样本t检验
• 估计总体均数
• 上边我们讲到，如果我们把单一样本的均数和总体均数比 较，且已知研究变量的标准差，则适合的统计检验是单样 本z检验。 • 但是如果总体标准差未知呢？ • 举例，已知上个世纪九十年代中国人均寿命为70岁（这样 的信息从网上很容易查到，但是标准差往往查不到），现 在你想调查一下目前中国人是否人均寿命增长了。随机抽 取了100个今年死亡的人，发现平均寿命为73，标准差为 15。那么中国人比以前长寿了吗？
• 这时，我们显然犯了一个错误。也就是我们拒绝了这些学 生水平的一般的假设（零假设），而零假设才是真的，这 种错误称为一类错误。虚报、存伪
• 如果另一组学生平时学习很好，但是由于考试当天 集体食物中毒，拉肚子，导致考试成绩不高，p大于 0.05，统计推断结果接受零假设，这些学生成绩一 般。 • 这种情况下，我们就犯了二类错误，即零假设为假 而我们却接受了它。漏报、去真
计算假设检验量
z
X
X
X

Nwenku.baidu.com
做出统计推断
• 单侧：如果z大于或小于临界z分数，则拒绝零假 设； • 双侧：如果z的绝对值大于正的临界z分数，则拒 绝零假设。 • 有时也可给出p值，特别是边缘显著。
单样本z检验的前提条件
• 因变量以等距或等比量尺测量
• 样本通过随机抽样获得 • 所测量变量在总体中为正态分布
• 正确的做法是在做假设检验之前确定是做单侧 （操作导致更好或者更差）检验，还是双侧检验 （操作会引起差异，不管好坏）。
B基本统计过程
• 提出假设 • 选择统计检验和显著性水平 • 选择样本和收集数据
• 求拒绝区域
• 计算检验统计量 • 做出统计推断 • 解释结果 • 单样本z检验的前提条件
提出假设
单侧检验和双侧检验
• 如果前面提到的那位导师挑选的学生平均智商是 90，这时我们不会拒绝零假设。
• 那此时我们是不是就接受零假设，认为这个导师 眼光一般呢？ • 我们不能，因为还有另一种可能，该导师眼光很 差。 • 这样问题就修正为要验证该导师眼光特殊（很好 或者很差）。
• 在之前的检验中，我们要验证该导师的眼光很好，用的单 侧（单尾）检验，也就是在Z大于0的一侧。
研究者的决定 实际情况 零假设为真 接受零假设 拒绝零假设 正确决定p=1- α 一类错误p= α 零假设非真 二类错误p=β 正确决定p=1-β
• 一类错误会产生误导。 • 比如你的实验结果证明你的某种训练可以提高注 意力，而注意力的集中有利于学习成绩的提高。 那么别人就可能认为你的训练有利于提高学习成 绩。 • 但是如果在你的实验中犯了一类错误，那么其他 人用你的训练方法时并不能提高学生的成绩。 • 降低一类错误的方法就是多次重复实验或者测量， 反复证明训练对注意力提高的有效性。
• 我们可以通过如下方式进行检验：让他通过自己 的方式挑出25个学生，然后比较这些学生的智商 是否真的较高。
被试组选择
• 要验证该导师的说法，我们要让他选25个他认为 高智商的同学，但是这种选择需要加以限制。
• 如果该导师直接奔向基地班，那这种选择显然是 无效的。可选择的办法是，把学校所有学生的照 片都找来，让其通过相貌来确定。
• 这样学校的每一个学生都有相同的机会被选到， 而且每一次选取独立于其他的选取。也就是遵循 随机取样的原则。
• 如果该导师选出的学生的平均智商确实高于总体 平均，我们能否确认他确实眼光很准呢？
• 答案是不能。原因在于，我们随便找一个人去选， 选出的学生的平均智商都不太可能等于总体平均 数。从均数的抽样分布，我们可以得知，高于总 体平均数的可能占50%。 • 也就是说该导师选出的学生平均智商高于总体均 数的原因可能是随机因素。
• 首先给定一个希望推翻的零假设。
• 以IQ作为因变量，总人口的平均IQ为100 • 零假设H0：μ=100
• 备择假设HA：双侧：μ≠100，单侧; μ>100或者 μ<100
选择统计检验和显著水平
• 如果我们把单一样本的均数和总体均数比较，且 已知研究变量的标准差，则适合的统计检验是单 样本z检验。
• 最简单的假设检验是将一组被试与总体进行比较， 且总体均数和标准差已知。
• 举个例子，硕士研究生考试包含笔试和面试，面 试在最终录取中起到了很大的作用，因为导师更 看重素质而不是分数。
• 有个导师声称，他的眼光很准，他可以看一下学 生的眼睛，就能找到好的学生。我们要对他的说 话进行验证。
• 如果我们用智商来代表一个学生的素质（尽管可 能并不合适），那么刚才的问题就变成了那个导 师可以通过看学生的眼睛来判断他的智商。
• t分布
• 由于均数的抽样分布为t分布，所以假设检验量不 再是z分数，而是t分数。
t X sX
sX
s N
• 公式和大样本z检验一样，也会得到一样的数值， 那么大样本z检验和t检验的不同在哪里？ • 不同在于，服从不同的分布，相同的α值会得到不 同的拒绝区间。
• 与标准正态分布不同，t分布依赖于其所采样本的 自由度，df=N-1
• 因为推断的做出是基于概率的，如果要得到该导 师的选择是无效的，也就是说该组学生的平均智 商高于总体是随机抽样造成的，我们需要冒一定 的风险。小概率事件也时有发生。
• 我们需要承担的这个风险量被称为α水平。 α 是我 们愿意承担的零假设成立的概率。如果实际算出 的概率要低于α，那么我将会拒绝零假设。
• 现在的问题就变成了双侧（双尾）检验，也就是要看分布 的两端。 • 计算样本z分数，单侧和双侧无区别，差别在于p值，双侧 是单侧的2倍。
• 在刚才的例子中，我们犯了一个错误，那就是我 们先假设那个导师眼光好，用了单侧检验，发现 不能拒绝零假设；然后我们改变主意做了双侧检 验。这样做增大了一类错误的概率。单侧的0.05 加上双侧中另一侧的0.025。
• 另一种降低一类错误的方法就是选取更低的α水平。 • 但是降低α水平会导致更多的二类错误。 • α水平人为地设为0.05实际上在一类错误和二类错误的可 能负性后果之间寻求一种妥协。
• 在某些特殊的研究中，比如治疗癌症的药物研发中，应选 取较大的α值。因为这种情况下犯二类错误的后果是相当 严重的。
• 计算检验统计量
• 做出统计推断
• 练习：已知去年大学教师人均收入为50000元， 现在随机抽取16名大学教师，调查得知他们今年 的平均收入为60000元，标准差为10000元，问大 学教师今年比去年待遇提高了吗？
• 很显然，上边的练习中样本数目不够大，其均数 的抽样分布不符合正态分布，因此不适用大样本 的z检验。 • 值得庆幸的是，当样本数目较少时，其均数的抽 样也满足一个比较规律的分布，即t分布。 • t分布类似于标准正态分布。它也是呈钟形、对称、 向两端无限延伸，且均值为零。t分布也是一个完 全遵从某个数学公式的抽象数学概念。
• 一个心理学家测量了一个班级25个孩子的智商， 想看其是否与同龄人有差异，已知智商平均数为 100，标准差为15. （1）如果事先对该班孩子不了解，后测得其平均智 商为105，这群孩子智商特殊吗? （2）如果事先知道这班孩子是快班的，后测得其平 均智商为105，这群孩子智商特殊吗?
第六章 区间估计和t分布
• 所抽样总体的标准差与所比较总体的标准差相同
单样本检验的多样性
• 检验一个已经存在的群体
• 完成一个单样本实验
为什么单样本检验很少采用
• 单样本检验的主要问题在于很难从研究的总体中 抽取一个真随机的样本； • 实验处理加到某一样本上，由于没有对照组很难 排除混淆变量。
• 练习：
• 一个精神分析师正在检验一种新的抗焦虑药物， 这种药物有降低心率的副作用。50个学生服药六 周后的平均心率为70,。如果总体的平均心率为72， 标准差为12，那么这个精神分析师可以下结论说 新药物会显著降低心率吗？
• 这时，我们可以先做出一个假设，对其进行验证： 选取学生的平均智商并不显著高于总体均数，其 差异是随机抽样产生的，并不涉及一个特别的选 择过程。这就是零假设检验。
• 接下来，我们要做的就是随机选取25个学生测其 智商，重复n次，看有多少次能选到比那个导师选 取的学生平均智商更高。也就是确定其概率。
• 上述的做法会得到智商均数的一个分布，由于这 个分布显示的是零假设（没有特殊操作，随机选 取）为真时发生的情况，因此被称为零假设分布。
• 在单样本检验且总体标准差已知的情况下，这个 零假设分布就是均数的抽样分布。
• 通过这个零假设分布，我们可以算出选出比那个 导师选择的学生组平均智商更高的概率是多少。
• 通过z分数来计算，比如该导师选取的25个学生平 均智商为104，总体均数为100，标准差为15.那 么 104 100 z 1.33 15 / 25 • 查表可知，对应的概率为0.0918。这个概率是通 过随机选择而得到该分数的概率，被称为p值。
统计决定
• 算出其概率之后，我们要做的是做出个统计推断。
• 心理学中，每20次中有1次机会能抽到的α水平被认为是能 接受的最大风险值。也就是0.05.
• 如果采用0.05的α水平，且实验p值小于0.05，那么我们可 以再0.05的显著水平上拒绝零假设。也就说，那位导师的 眼光显著好于一般人。 • 如果p大于0.05，我们会认为那位导师的挑选完全无效吗？ 一般情况下，我们会说没能拒绝零假设（证据不足）。这 是数学家Fisher的观点：认为我们要么拒绝零假设，要么 保留做出决定的权利。
第五章
假设检验导论：单样 本的z检验
A基本概念
• 零假设检验
• 统计决定 • 一类错误和二类错误 • 单侧检验和双侧检验
• 在前四章中，我们对描述性统计做了介绍。特别 是通过z分数我们可以计算个体在总体分布中的位 置和样本在抽样分布中的位置。换句话说，我们 可以描述个体或者样本的特殊性。
• 那么处于怎样的位置才算是特殊呢？这种特殊性 有怎么来验证呢？ • 这些问题是假设检验所要解决的问题。
• 随着df增加，t分布越来越接近正态分布。 • 从图中可以看到，对于位于尾端区域的任何一个 z值，t分布的p都要大于正态分布，且df越小，p 越大。也就是，样本较小时更难达到显著性水平。
• 如果总体标准差已知，我们可以轻松计算
z
X
X
X

N
• 现在σ未知，怎么办？ • 我们可以用样本的无偏标准差来代替σ
X z sX
sX
s N
• 这就是大样本z检验，前提条件样本要足够大。
对上边提到的问题进行运算：总体均数70，样本数目100， 均数73，标准差15，z(0.05)=1.65, z(0.025)=1.96 • 提出假设 • 选择统计检验和显著性水平 • 求拒绝区域
• 而Neyman和Pearson则认为，应该提出与零假设互补的 备择假设，因此拒绝其中一个就表明倾向于接受另一个。
• 在上边的例子中，我们把智商转换成了z分数，然 后进行统计检验。这种情况下，z分数被称为检验 统计量。（后边我们还会讲到t分布）。
• 检验统计量的分布被认为是零假设分布。
• Z分数越大，p值越小，差异越显著。
• α水平如无特殊要求，设为0.05
选择样本和收集数据
• 为了保证检验的有效性，必须从所要研究的总体 中随机抽取一个样本。 • 样本越大，假设检验的结果越准确。降低二类错 误 • 基于实际操作的考虑，样本大小会受到必要的限 制。
求拒绝区间
• 拒绝区间可依据临界z分数确定。
• 临界z分数指z分数之外的面积正好等于α值所对应 的那个z分数。 • 双侧：临界z分数为1.96和-1.96，两侧各对应 0.025；单侧：临界z分数分别为1.65或-1.65. • 单侧比双侧更容易拒绝零假设。