九年级数学正多边形和圆

E
D
F
.O
C
A
B
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
4、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。
画正多边形的方法
1.用量角器等分圆 2.尺规作图等分圆
(1)正四、正八边形的尺规作图
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
F
R
.O .
a
C
G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r 面积S
A
a R （ ） ， 2
2
2
1 1 L 边心距（r） na 边心距（r） 2 2
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,求
地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
正多边形和圆
E
A
D
B
C
三条边相等，三个角也相等 （60度）。
四条边都相等，四个角也相 等（90度）。
正多边形：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n条边，
那么这个正多边形叫做正n边形。
想一想：
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
A
D
B
C
弦相等（多边形的边相等）
外接 △ABC的中心，它是△ABC的 1、O是正 圆与 内切 圆的圆心。 A
2、OB叫正△ABC的 半径
它是正△ABC的 外接 圆的半径。 3、OD叫作正△ABC 边心距，它是正△ABC 的 的 内切 圆的半径。
，
.O D
C
B
4、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 中心 正方形ABCD的 5、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的 边心距
（2）正六、正三 、正十二边形的尺规作图
怎样画一个正多边形呢？ 问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接 正三角形.
A
120 ° O C B
①用量角器度量，使 ∠AOB=∠BOC=∠COA =120°． ②用量角器或30°角的 三角板度量，使 ∠BAO=∠CAO=30°．
你能用以上方法画出正四边形、正五边形、 正六边形吗？
解:
由于ABCDEF是正六边形，所以 它的中心角等于 360 60 ， 6 OBC是等边三角形，从而正
F
E
A
B
2
. .O
r R P
D
C
六边形的边长等于它的半径.
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
在RtOPC中，OC 4，PC
BC 4 2 2 2
根据勾股定理，可得边心距r 亭子的面积S
2、怎样判定一个多边形是正多边形？
根据正多边形与圆关系的 第一个定理
达标检测：
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。
（× ）
②一个圆有且只有一个内接正多边形。 （ × ） 2、证明题。 求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多 边形是正六边形。 B E A F
C
D
探究
按照一定比例,画一个停车 让行的交通标志的外缘
停
练习： （1）用量角器作五角星； （2）P116.
A
如图：
已知点A、B、C、D、 E是⊙O 的5等分点， 画出⊙O的内接和外 切正五边形
B O C D
E
小结： 1、怎样的多边形是正多边形？ 各边相等，各角 也相等的多边形 叫做正多边形。
你能举例说明吗？
A .O B E
D
C
6、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 ， 它是正五边形ABCDE的 内切 圆的半径。
中心 角， 7、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 它的度数是 72度 D
E C
.O A F B
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB 它的度数是 60度 9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？
A O ·
90°
D
B O
A
F E
E O ·
60°
·
72°
A
D
B
C
C
D
B
C
你能尺规作出正四边形、正八边形吗？
A
D
O ·
只要作出已知⊙O的互相垂 直的直径即得圆内接正方 形，再过圆心作各边的垂 线与⊙O相交，或作各中心 角的角平分线与⊙O相交， 即得圆接正八边形，照此 方法依次可作正十六边形、 正三十二边形、正六十四 边形……
∴AB=BC=CD=DE=EA ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
A
1
⌒
⌒
⌒
B
2 3 4
5
E
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， C ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
D
中心角 360 n

E 中心角
D
180 AOG BOG n
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径 正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
E
中心角
D
F
. 半径R O.
边心距r
C
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离.
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA
B
C
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十 二边形吗？
以半径长在圆 周上截取六段相 等的弧，依次连 结各等分点，则 作出正六边形. 先作出正六边 形，则可作正三 角形，正十二边 形，正二十四边 形………
F
E O ·
A
D
B
C
说说作正多边形的方法有哪些?
归纳 （1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八 边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正 12边形、正三角形．
4
2
2 2 3
1 1 2 Lr 24 2 3 41 .6(m ) 2 2
源自文库
（n 2） 180 n 正n边形的一个内角的度数是____________;
360 n 中心角是___________;
正多边形的中心角与外角的大小关系 相等 是________.
抢答题：