构造函数法在微积分解题中的应用
罗尔中值定理构造函数
罗尔中值定理构造函数罗尔中值定理构造函数是一个非常重要的数学定理，它与微积分密切相关，可以用于解决许多实际问题。
下面就从定义、意义和构造函数等方面来探讨一下这一定理。
一、罗尔中值定理的定义罗尔中值定理是微积分中的一个定理。
它表述如下：如果函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，满足f'(c)=0。
其中，a,b,c是任意三个实数，a<b。
f'(c)表示f(x)在c点的导数。
二、罗尔中值定理的意义罗尔中值定理是微积分中的一个基本定理，它告诉我们，当一个函数在一个有限区间内满足一定的条件时，它在这个区间内会有一个点的导数为0。
这个点可以用来刻画函数在这个区间内的一些特性或性质。
比如说，如果函数的导数恒为正，则该函数在这个区间内是递增的；如果导数恒为负，则该函数在这个区间内是递减的；如果导数为0，则可以说明这个函数在这个点上取得了局部最值。
三、罗尔中值定理构造函数我们可以利用罗尔中值定理来构造一些函数，这些函数的一些特性或性质可以利用罗尔中值定理来证明。
例如，我们可以构造一个满足下列条件的函数：(1) 在区间[-1,1]上连续；(2) 在(-1,1)内可导；(3) 在端点处取值相等，即f(-1)=f(1)；(4) 在(-1,1)内的导数恒为正。
我们可以构造这样一个函数： f(x)=a(x+1)^2+b(x-1)^2。
其中a,b是待定系数。
我们可以先求出f(-1)和f(1)：f(-1)=a(0)^2+b(-2)^2=4b。
f(1)=a(2)^2+b(0)^2=4a。
根据条件(3)，我们可以得到4b=4a，即b=a。
因此，我们可以用f(x)=a(x+1)^2+a(x-1)^2来表示f(x)。
接下来，我们可以求出f(x)在(-1,1)内的导数：f'(x)=2a(x+1)+2a(x-1)=4ax由于a>0，因此f'(x)>0。
构造函数法在解题中的应用
构造函数法在解题中的应用构造函数法在解题中的应用摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中的应用越来越广泛。
本文就构造函数这一方法在不等式、数列、方程有解及恒成立问题等方面的应用举例说明。
关键词：函数思想；构造函数；不等式；方程；应用函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。
因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。
函数思想在数学应用中占有重要的地位，应用范围很广。
函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、三角函数、不等式、数列、解析几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。
根据需要，构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也已渗透到中学数学中。
首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。
其次数量关系是数学中的一种基本关系。
现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。
因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。
下面我们举例说明构造函数的方法在解题中的应用。
一、构造函数解决有关不等式的问题有些不等式证明和比较大小的问题，如能根据其结构特征，构造相应的函数，从函数的单调性或有界性等角度入手，去分析推理，证明过程就会简洁又明快。
例1：若，则的大小关系是。
分析：式中各项的结构相同，只是字母不同，故可构造函数进行判断。
解：构造函数，易证函数在其区间是单调递增函数。
例2(2008年山东理)：已知函数其中为常数。
当时，证明：对任意的正整数，当时，有证法一：因为，所以。
当为偶数时，令则（）所以当时，单调递增。
又，因此恒成立，所以成立。
当为奇数时，要证，由于，所以只需证，令，则（），所以，当时，单调递增，又，所以当时，恒有，即命题成立。
几种高等数学中的构造函数法1汇总
几种高等数学中的构造函数法1汇总在高等数学中，构造函数法是一种常用的证明方法，它通过构造一个特定的函数来满足一些条件，从而证明定理或问题。
构造函数法在解决一些特定问题时非常有效，并且可以应用于各个数学分支，例如微积分、线性代数等。
以下是几种常见的构造函数法的应用及其原理：1.构造逼近函数法：构造逼近函数法是利用一组函数来逼近所求函数的方法。
它在证明极限存在、连续性、可导性等问题时很常用。
例如，在证明函数的极限存在时，可以通过构造一个逼近函数序列来逼近所求函数的极限。
在证明函数的连续性时，可以构造逼近函数序列使其在一定条件下逐点收敛于所求函数。
在证明函数可导性时，可以通过构造一组逼近函数，利用它们的导数性质来推导出所求函数的导函数。
2.构造反函数法：构造反函数法是通过构造函数的反函数来证明其中一种性质。
例如，在证明奇偶函数特性时，可以构造一个函数的反函数，并根据函数的特性来判断所求函数的奇偶性。
在证明函数的双射性时，可以通过构造函数的反函数来证明。
3.构造矩阵法：构造矩阵法是在线性代数中常用的一种证明方法。
它通过构造一个特定的矩阵，利用矩阵的性质来证明一些结论。
例如，在证明矩阵的逆存在时，可以构造一个矩阵来满足逆矩阵的定义，并证明其逆矩阵存在。
4.构造序列法：构造序列法是利用一组序列来证明一些定理或性质。
例如，在证明函数的一致连续性时，可以构造一组满足一致收敛条件的序列来逼近所求函数，从而证明其一致连续性。
在证明函数的可积性时，可以构造一组逼近函数序列，并利用其可积性质来推导出所求函数的可积性。
5.构造映射法：构造映射法是在集合论和离散数学中常用的一种证明方法。
它通过构造一个特定的映射关系来证明一些性质。
例如，在证明两个集合的等势时，可以构造一个双射映射来证明它们的元素个数相等。
在证明一些图的性质时，可以构造一个映射关系来对应图的元素和其相邻元素之间的关系。
以上是几种常见的构造函数法的应用及原理。
构造辅助函数证明微分中值定理及应用
构造辅助函数证明微分中值定理及应用微分中值定理是微积分中的重要定理之一、它指出，如果函数在一些区间内连续，并且在该区间内可导的话，那么在该区间内至少存在一个点，对应的函数的导数等于函数在该区间的两个端点的函数值之差除以它们的自变量的差值。
为了证明微分中值定理，我们需要构造一个辅助函数来分析。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且可导。
我们构造一个辅助函数g(x) = f(x) - kx，其中k是待定的常数。
辅助函数g(x)在区间[a,b]上也是连续可导的。
现在我们来分析这个辅助函数g(x)。
首先，考虑端点a和b处的函数值。
根据辅助函数的定义，g(a) = f(a) - ka，g(b) = f(b) - kb。
如果我们选择k = (f(b) - f(a))/(b - a)，那么g(a) = 0，g(b) = 0。
也就是说，我们可以通过选择适当的k，使得辅助函数在区间[a,b]的两个端点处函数值为0。
接下来，我们考虑辅助函数的导数。
根据辅助函数的定义，g'(x)=f'(x)-k。
由于f(x)在区间[a,b]上可导，所以f'(x)也在该区间上连续。
因此，辅助函数g'(x)是一个连续函数。
同时，根据导数的定义，我们有g'(a)=f'(a)-k，g'(b)=f'(b)-k。
根据连续函数的介值性质，如果函数g'(x)在区间[a,b]内取到了正值和负值，那么一定存在一些点c，使得g'(c)=0。
根据导数的定义，这意味着f'(c)-k=0，即f'(c)=k。
现在我们回顾一下辅助函数的定义，g(x) = f(x) - kx。
如果f'(c) = k，那么g(x)在点x = c处的导数为0，也就是说g(x)在点x = c处取到了极值。
由于g(a) = 0，g(b) = 0，根据罗尔定理，我们知道在两个端点处对应的两个函数值相等，因此至少存在一个点d，使得g'(d) = 0。
浅谈构造法在微积分中的应用
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收 稿 日 期 ：０ ２ ３１． ２ ０ — —２ ０
作 者 简 介 ： 淑林（ ９２）女 ， 黄 １４一 ， 广西 民族 学 院数 学与 计算机 科 学系 副教授．
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微积分求解方法与技巧
微积分求解方法与技巧微积分是数学中非常重要的一个分支，它涉及到函数的极限、导数和积分等概念和运算，是研究变化和量的增长的工具。
微积分涉及的问题种类繁多，求解方法也各不相同。
下面将介绍一些常用的微积分求解方法与技巧。
1. 求解极限：极限是微积分的基础，它描述了函数在某一点处的趋势。
求解极限的方法主要有代入法、夹逼法、无穷小量法和洛必达法等。
- 代入法：当函数在某一点存在有限的定义或者可以通过化简得到确定的值时，可以直接将极限点代入函数中求解。
- 夹逼法：当无法直接代入求解极限时，可以通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得它们在极限点周围趋近于同一个值，从而求得极限。
- 无穷小量法：利用无穷小量的性质进行运算，将极限问题转化为无穷小量之间的比较，从而求解极限。
- 洛必达法：适用于0/0或∞/∞的极限形式，利用洛必达法则将求解极限的问题转化为导数的计算。
2. 求解导数：导数描述了函数在某一点的斜率，它具有很多应用，比如求解函数的极值和函数的变化趋势等。
求解导数的方法主要有定义法、基本导数公式和导数的运算法则等。
- 定义法：导数的定义是极限的一种特殊形式，根据定义求导的方法就是计算极限。
- 基本导数公式：利用一些基本函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等的导数公式，可以简化导数的计算。
- 导数的运算法则：利用导数的运算法则，如和差法、积法、商法和复合函数的求导法则等，可以通过对复杂函数的拆分和运算得到导数的结果。
3. 求解积分：积分是求解函数的面积、定积分和不定积分等概念的工具，它具有很多应用，比如求解曲线下的面积和函数的反函数等。
求解积分的方法主要有不定积分和定积分两种方法。
- 不定积分：不定积分用来求解函数的原函数，可以通过基本积分公式和积分的运算法则进行求解。
- 定积分：定积分用来求解函数在某一区间上的积分值，可以通过对积分区间进行分割，计算每个小区间上的面积，然后累加得到最终的积分值。
构造法在微分中值定理等方面的运用
鲽塑嫠凰构造法在微分中值定理等方面的运用孙凤忠吴丽崇(衡水职业技术学院，河北衡水053000)Ⅲ，‘’j，411?…；。
j …～}7哺要】构遣J A C ．At 学中常用的方法。
构造函教法是构造法的产物在数学领域中被广泛地采用着。
构造函数尽管不是善坝存在，是人为的’j7主观出现，但在数学发展史上的独到作用是不容忽视的。
他们所起的作用就是桥梁，是由此瓦彼的作用，有些甚至趋到无法替代的作用。
下i ／i ，面就构造法在微分中值定理等几方面加以讨论。
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i 1j jIt 2≈{}|{i Ii ，r 4f —lI ．}：。
l ，t ；1，；；㈦、{，：／j ；／J h r ，j一、微分中靛理中的应用成(’)式o㈠求原函数法求原函数法构造辅助函数的步骤为：(i )将欲证结论中的§换以拉格朗日及柯西中值定理为例讲述其辅助函数F ∞的作法。
成x ：(i i )通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式(或称之例1(拉格朗日中值定理)若函数f 满足如下条件：(j )f 在闭为易积分形式)；(i )用观察法或积分法求出原函数(即不含导数符区间b ，bLF_连续；(j i )f 在开区间(a ，b)内可导，则在(a ，b)内号的式子)，为简便积分常数取作琴：(i v)移项使一边为O ，则另一至少存在—点§，使得f (§)：盟垒)二!址。
(-)边即为所求辅助函数F()()o。
b —a㈡常数k 值法(此法适用于常数已分离出的命题)分析拉格朗日中值定理的结论：下面西过例题来讲述用常数值法来构造辅助函数的作法。
掣-f ．㈣(令§=x)=》掣=fI(x)(积分)专盟掣二盟x-f(X )+C (令C =O ，并移项)=》f(x)一D -a驰幽韭×：00D -a所以令Fb()_-f ∞一地尝业上×，即F()()笥仅)一f (a)一山些：业上(x-a)。
导数中的构造函数
导数中的构造函数导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点处的变化率。
在数学中，导数通常用构造函数的方式定义。
一个函数的导数构造函数是该函数在给定点处的变化率。
本文将详细介绍导数中的构造函数，包括定义、性质和应用等方面。
一、导数的定义1.构造函数的定义设函数y=f(x)，在点x处有定义。
如果用x的变化量Δx去近似表示介于x和x+Δx之间的x的变化量，那么函数f在点x处的近似导数（记作f'(x)）就是当Δx趋近于0时，函数值的变化与自变量变化比值的极限。
用数学表示可以写作：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx这个极限就是函数f在点x处的导数。
2.导数的几何意义几何上，一个函数在其中一点处的导数等于其曲线在该点处的切线的斜率，也即切线的斜率是函数在此点处的近似变化率。
二、导数的性质导数具有一些重要的性质，以下列举几个常用性质：1.基本导数(1)常数函数的导数为0，即对于常数C，有C'=0。
(2) 幂函数的导数。
对于幂函数y=x^n（其中n为常数），其导数为y'=nx^(n-1)。
(3) 对数函数的导数。
对数函数y=log_a(x)（其中a为常数且a>0），其导数为y'=1/(xlna)。
(4) 指数函数的导数。
指数函数y=a^x（其中a>0且a≠1），其导数为y'=a^xlna。
2.导数的四则运算(1)求和差的导数。
若f(x)和g(x)在点x处可导，则（f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
(2) 函数乘以常数的导数。
若f(x)在点x处可导，k为常数，则(kf(x))' = kf'(x)。
(3)乘法法则。
若f(x)和g(x)在点x处可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧导数与构造函数是微积分中的重要概念，它们在证明不等式中起着重要作用。
本文将介绍一些导数与构造函数在证明不等式中的技巧，并通过具体的例子来加深理解。
1. 利用导数的性质进行不等式证明在证明不等式时，可以通过导数的性质来进行推导。
当需要证明一个函数在某个区间上单调递增或单调递减时，可以通过求导数并分析导数的正负性来进行证明。
假设一个函数f(x)在区间[a, b]上可导，求出其导数f'(x)并分析f'(x)的正负性，如果f'(x)恒大于零，那么函数f(x)在区间[a, b]上就是单调递增的；如果f'(x)恒小于零，那么函数f(x)在区间[a, b]上就是单调递减的。
通过这种方法，可以利用导数的性质来证明函数的单调性质，从而进一步推导出不等式。
2. 构造函数进行不等式证明构造函数是指通过一些技巧将原函数进行变形，从而更好地应用各种数学性质来进行不等式证明。
当需要证明一个不等式时，可以通过构造一个辅助函数来简化原不等式的证明过程。
通过巧妙地构造函数，可以使得不等式的证明更加直观、简单。
例1：证明当x>0时，有e^x>1+x。
解：可以通过在函数f(x) = e^x - (1+x)上应用导数的性质来证明这个不等式。
求导数得f'(x) = e^x - 1，显然f'(x)恒大于零，因此f(x)在区间(0, +∞)上单调递增。
又当x=0时，有f(0) = e^0 - (1+0) = 0，因此在区间(0, +∞)上有f(x)>0，即e^x>1+x。
通过导数的性质，成功证明了不等式e^x>1+x。
通过以上两个例子，可以看到导数与构造函数在不等式证明中的重要作用。
通过分析导数的性质以及巧妙地构造辅助函数，可以更好地理解、应用和证明各种不等式。
在实际的数学问题中，通常会遇到各种复杂的不等式，通过灵活运用导数与构造函数的技巧，可以更加轻松地解决这些问题。
导数与构造函数证明不等式的技巧
导数与构造函数证明不等式的技巧导数是微积分中的一个重要概念。
它可以描述函数在各个点上的变化率，也可以用来求函数的最大值、最小值以及拐点等重要信息。
而构造函数则是数学中一种非常常见的证明不等式的方法。
本文将介绍一些常用的导数和构造函数证明不等式的技巧。
一、使用导数证明不等式1. 求导数确定函数的单调性对于一个函数$f(x)$，如果它在某个区间上的导数$f'(x)$大于0，说明它在该区间上单调递增；如果导数$f'(x)$小于0，则说明它在该区间上单调递减。
因此，如果要证明一个不等式在某个区间上成立，可以先求出函数在该区间上的导数，确定其单调性，然后再比较函数在两个端点处的取值即可。
例如，对于函数$f(x)=x^2-4x+3$，我们可以求出它的导数为$f'(x)=2x-4$。
由于$f'(x)>0$时$f(x)$单调递增，因此当$x<2$时，$f(x)<f(2)$，当$x>2$时，$f(x)>f(2)$，即$f(x)$在$x<2$和$x>2$的区间上都小于$f(2)$，因此我们可以得到不等式$f(x)<f(2)$，即$x^2-4x+3<1$。
2. 求导数判断函数的最值对于一个函数$f(x)$，如果它在某个点$x_0$处的导数$f'(x_0)=0$，且$f^{''}(x_0)>0$（即$f(x)$的二阶导数大于0）则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最小值；如果$f^{''}(x_0)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得一个局部最大值。
因此，如果要证明一个不等式最值的存在性，可以先求出函数的导数，再找出导数为0的点即可。
3. 构造特殊的函数如果一个不等式的两边都是多项式，可以考虑构造一个较为特殊的函数，来证明不等式的成立性。
例如，对于不等式$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\leq\dfrac{3}{2\sqrt[3]{abc}}$，我们可以考虑构造一个函数$f(x)=\dfrac{1}{a+b+x}+\dfrac{1}{b+c+x}+\dfrac{1}{c+a+x}-\dfrac{3}{2\sqrt[3]{(a+x)(b+x)(c+x)}}$，并证明$f(x)\leq 0$。
高考数学构造法在解决函数、导数问题中的应用
x
(x>0),原不等式转化为f(ex)≥f(ax),根据f(x)的单调性可得ex≥ax,再进行参变分离,
即可得解.
[解析]原不等式化为x+ex≥ax+ln(ax),即ex+ln ex≥ax+ln(ax),令f(x)=x+ln x(x>0),
x
x
易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,原不等式转化为f(e )≥f(ax),所以e ≥ax,即a≤
增.由asin a-bsin b=b2-a2-1可得asin a+a2=bsin b+b2-1,即f(a)=f(b)-1,∴f(a)<f(b),
∵f(x)是偶函数,∴f(|a|)<f(|b|),∴|a|<|b|.故选D.
增分微课(一)
❸ 已知函数f(x)的定义域为R,且f(-1)=2.若对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的
· x< ,可得F
6063
∴0<x<e ,∴不等式f
1
ln
3
1
ln
3
<
3
1
ln
3
<1,即F
e
>0,∴函数F(x)在R
3
< (x>0)转化为
1
ln
3
1
<F(2021),∴ ln
3
6063
的解集为(0,e ),故选D.
x<
增分微课(一)
类型二
同构法构造函数
例2 (1)[2020·全国卷Ⅰ] 若2a+log2a=4b+2log4b,则(B )
导数构造函数
导数构造函数导数是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述函数在某一点的变化率。
导数构造函数则是指通过导数的概念来构造一个新的函数，这在数学中有着重要的应用。
本文将从导数构造函数的概念、方法和应用三个方面来进行介绍。
我们来看一下导数构造函数的概念。
在微积分中，导数表示函数在某一点的瞬时变化率，即函数在这一点的斜率。
而导数构造函数则是指通过已知函数的导数来构造一个新的函数。
通过对原函数的导数进行运算，可以得到新函数的导数，从而得到新函数。
这种方法在数学建模和解决实际问题中有着广泛的应用，可以简化问题的求解过程，提高计算效率。
我们来看一下导数构造函数的方法。
导数构造函数的方法主要包括求导、积分和微分方程等。
其中，求导是最常用的方法之一。
通过对已知函数进行求导，可以得到函数的导数，然后根据导数的性质和运算法则，可以构造出新的函数。
另外，积分也是一种常用的方法。
通过对函数的导数进行积分，可以还原出原函数，从而构造出新的函数。
而微分方程则是一种更加复杂的方法，通过对函数的微分方程进行求解，可以得到函数的解析表达式，从而构造出新的函数。
我们来看一下导数构造函数的应用。
导数构造函数在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在数学领域，导数构造函数常常用于解决极值、拟合曲线、求解微分方程等问题。
在物理领域，导数构造函数可以用来描述物体的运动、力学性质等。
在工程领域，导数构造函数可以用来优化设计、控制系统等。
总之，导数构造函数是一种强大的数学工具，可以帮助我们更好地理解和解决问题。
导数构造函数是通过导数的概念来构造新的函数的方法，具有广泛的应用价值。
通过求导、积分和微分方程等方法，可以构造出各种各样的函数，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
在学习和应用导数构造函数的过程中，我们不仅可以提高数学建模和问题求解的能力，还可以拓展思维，培养创新精神。
希望本文的介绍可以帮助读者更好地理解导数构造函数的概念、方法和应用，进一步探索数学的奥秘。
导数构造函数
导数构造函数导数是微积分中非常重要的一个概念，它是描述函数变化率的一种数学工具。
在实际应用中，我们需要对函数进行分析和研究，而导数构造函数则是其中的一个基础性问题。
首先，导数的定义是一个函数在某一点的变化率，它可以用极限的方法进行表达。
例如，如果函数f(x)在x点有导数，那么导数的值可以表示为：f’(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h这个式子表达的是当自变量x在x点有微小的变化h时，函数f(x)的变化率。
因此，我们可以将其表示为一个新的函数g(x)，定义为：g(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h这个函数g(x)就是函数f(x)在x点的导数，可以用来描述函数f(x)在该点的变化率。
接下来，我们来探讨导数构造函数的方法。
一种比较常用的方法是使用极限定义式进行构造。
例如，我们可以构造一个函数f(x) =x^2，然后求它在任意点x处的导数。
对于这个函数，我们可以将其导数表示为：f’(x) = lim(h→0) [(x+h)^2 - x^2] / h= lim(h→0) [x^2 + 2xh + h^2 - x^2] / h= lim(h→0) [2x + h]= 2x这个结果意味着，函数f(x)在任意一点x处的导数等于2x。
也就是说，当x增加1时，函数f(x)的变化率为2。
这样，我们就成功地构造了函数f(x)的导数函数。
除了极限定义式外，我们还可以利用求导法则来构造函数的导数。
求导法则是一系列用来求导的公式，包括常数函数求导、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导等等。
通过使用求导法则，我们就可以快速地得到各种各样函数的导数。
最后，需要注意的是，导数是一种非常有用的数学工具，它在微积分、物理、经济学、工程学等领域都有着广泛的应用。
对于学习者来说，了解导数构造函数的方法，不仅可以加深对微积分的理解，还可以应用到实际问题中。
因此，对于学习微积分的人来说，必须掌握导数构造函数的方法，才能更好地进行学习和研究。
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
构造法在初中数学解题中的应用
构造思想方法作为一种常用的数学思想方法，具有其自身独特的显著特征，主要表现在： 构造性、直观性、可行性、灵活性以及思维的多样性。
构造法的实质是一句某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征，用已知条件中的元 素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新
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的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为待解决的问题设计一个合理的框架，从而使问 题转化并得到解决的方法。它的具体解题过程可以用下面的框架来表示：
【关键词】 数学解题 构造法 数学问题
I
Construction method in solving problems
Abstract
Mathematical thinking method plays a crucial role in the middle school mathematics teaching, in the junior middle school mathematics teaching, the structural thought method is a kind of creative mathematical thinking method, especially in solving hard mathematical problems, such as method to construct proper use can according to the specific problems, then will be hard, change numerous for brief, make the problem solved, it fully penetrated in other mathematical thinking method.
微分中值定理应用中的辅助函数的构造方法
微分中值定理应用中的辅助函数的构造方法
1.微分中值定理介绍：
微分中值定理（Differential Mean Value Theorem）是求取极限内函数导数的一种数学定理。
它是物理学和工程学中常用的，用于推导和求解常微分方程的一种有用工具。
它描述的是随着函数值的变化，函数的导数值也可以发生改变，但在某一点上，函数的导数必定是一个确定的、固定的、线性变化的值。
2.辅助函数的构造方法：
（1）首先，我们要找到一个可以表达某一函数的函数的导数的函数，这个函数就是我们要构建的辅助函数，它可以帮助我们求取微分中值定理中函数的导数。
（2）然后，应用微分中值定理求取函数的导数，需要在该函数的极限点处计算微分，而极限点则是指函数的两侧，其函数值接近零的一对点。
（3）接下来，根据辅助函数的性质，在每个极限点处，构造出一个可以将函数的值表达出来的函数，并让它与辅助函数极限点处作差，计算出该函数的绝对值。
（4）最后，比较绝对值大小，将小于或等于微分中值定理规定的阈值的绝对值画出来，即可求得函数对应的导数值。
罗尔定理证明题怎么构造函数
罗尔定理证明题怎么构造函数罗尔定理是微积分学中一个很重要的定理，形式化的表述为：如果一个函数f(x)在区间[a,b]上满足以下条件：1. 在(a,b)内可导。
2. f(a) = f(b)。
3. 存在一个c∈(a,b)，满足f'(c) = 0。
那么在区间[a,b]内至少存在一个点d，满足f'(d)=0。
对于罗尔定理证明题，我们通常需要构造一个函数来完成证明。
接下来，让我们按照以下步骤进行函数构造：步骤一：首先确定函数的定义域和值域。
对于罗尔定理，我们需要证明在一个区间内存在一个特定的点使得函数的导数等于0，因此我们需要首先确定函数的定义域和值域。
通常情况下，这个区间是一个闭合区间。
因此我们通常会将函数的定义域设为[a,b]，并且函数的值域为[x1,x2]。
步骤二：确定函数的基本形式。
在确定了函数的定义域和值域之后，我们需要确定函数的基本形式。
通常情况下，我们会采用一些简单的函数形式，例如多项式函数，三角函数等。
这样做的好处在于，我们可以通过一些基本的数学方法来简化函数，更方便证明罗尔定理。
步骤三：确定函数的系数。
确定函数的系数是使用函数构造的关键步骤。
这通常需要我们观察问题的特定条件，并据此设定函数系数。
例如，在一个特定的区间上需要证明罗尔定理，我们可以确定函数的系数，使得在该区间上函数满足罗尔定理的所有条件。
步骤四：应用罗尔定理进行证明。
完成了以上三个步骤之后，我们就可以应用罗尔定理进行证明了。
因为我们构造的函数符合罗尔定理的条件，因此我们可以得出结论：在[a,b]区间内至少存在一个点d，使得f'(d)=0。
综上所述，构造函数是罗尔定理证明的关键步骤之一。
通过确定函数的定义域和值域、确定函数的基本形式、确定函数的系数，并应用罗尔定理进行证明，我们就可以有效地证明罗尔定理。
当然，对于不同的证明题，我们需要灵活运用以上步骤，根据特定的问题构造适当的函数。
构造辅助函数法在微积分证明中的教学研究
构造辅助函数法在微积分证明中的教学研究余新宏;吴坚【摘要】在微积分知识学习时,通常在证明某个问题的结论时,通过已有的条件无法直接推导所证的结论,这时可以尝试运用构造函数法,根据命题中的条件,将结论变换,从而构造出一个辅助函数,再运用有关的定理结论推导出命题的结论,从而能对命题的证明起到事半功倍的效果.构造函数法是一种重要的数学方法,其构造方法思路也是多种多样的,文章通过构造函数法在一些著名的定理,公式以及经典例题的运用,尝试找出如何构造辅助函数的几种方法,并通过这些方法在一些具体实例中的运用,归纳出构造函数法的一些思路.【期刊名称】《商丘职业技术学院学报》【年(卷),期】2016(015)005【总页数】5页(P14-18)【关键词】构造函数法;微积分;等式;微分中值定理【作者】余新宏;吴坚【作者单位】安徽农业大学经济技术学院,安徽合肥 230011;安徽农业大学经济技术学院,安徽合肥 230011【正文语种】中文【中图分类】O172在微积分学习时，经常会遇到对已知求证的命题知识较熟悉，但又不知如何运用已学知识来解题. 这时可想方设法构造出一个将抽象的关系转为相对直观的辅助函数，起到事半功倍的效果. 构造函数法[1]33-35，顾名思义就是按固定的模式经过有限的步骤能够定义的概念，能够实现的方法. 构造的辅助函数，是能在已知命题的约束条件下，达到论证某种结论的正确性. 本文将通过对微积分中经典的定理以及公式的证明进行分析，验证，总结出构造函数法在微积分领域中运用的思路及构造辅助函数的一类方法，并结合实际例题将这种思路的运用加以阐述.在微分中的一些经典定理证明教学中，借助构造函数法是一个重要的思路，但辅助函数的构造首先需满足某个已证定理的条件，再解决问题. 比如Roll定理证明，是因构造出了满足Fermat引理的函数，从而推导出了结果；再如lagrange中值定理；Cauchy定理则都是构造出了满足Roll定理条件的辅助函数，来推导出了论证的结果. 在实际教学中，构造函数法的思想是非常发散的，故对微分定理的证明，辅助函数的构造也十分多样化，这种多态化的思想要求教师在实际教学中，要善于启发学生，根据命题条件和所学过的知识，构造出满足题意的辅助函数来.建立在微分中值定理为基础的各种中值问题求解中，这类问题的常见形式是：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且满足某些附加条件，求证找到一点x0(a b)，使得某个含有x0的等式成立.处理此类问题，重点在于如何构造出能满足Roll，lagrange和Cauchy定理条件的辅助函数. 在微分中值定理教学过程中发现，微分中值定理是Roll中值定理的引申，Roll中值定理的结论又为一个导数形式，那么就可利用微分运算的逆运算——积分来构造辅助函数，即满足Roll中值定理条件的原函数，进而达到解决微分中值的问题.在newton-leibniz公式证明过程中，构造了积分上限函数f(t)dt，使其满足G′(x)=f(t)，正是构造了这个积分上限辅助函数，才十分巧妙地证明了积分运算中著名的公式.借助辅助函数，利用微分中值定理证明等式，主要有以下几种方法.3.1 原函数构造函数法在微分中值定理求解介值问题教学中可通过不定积分构造出辅助函数，即反求出原函数，这种逆向思维的方法就是原函数法，证明步骤具体如下：1)将结论恒等变换，化为积分的函数形式，在结论积分不是很复杂的情况下，进行移项将等式一端变换为常数0；2)用x替换变换后等式中的变量；3)运用积分知识求出原函数，此原函数便是要构造的辅助函数；4)再结合微分中值定理，推导出结论.例1 设函数f(x)在[a,b]上可导，证明存在x0∈(a,b)，使得证明：将结论进行变形为用x替换x0后，两边积分构造辅助函数此时函数F(a)=F(b)，满足Roll定理的条件，故存在x0∈(a,b)，使得结论得证.本例是按照归纳证明思路，将结论恒等变换，等式移项使一端变换为常数0，然后用x替换变换后等式中的变量x0,再求出原函数F(x)，则完成了辅助函数的构造，再运用Roll定理得出结论.例2 f(x)在连续，可导，证明存在x0∈(a,b)，使证明：将结论变换得用x替换x0后，得由积分得构造辅助函数此时F(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且F(a)=F(b)，满足Roll定理条件，故存在x0∈(a,b)，使得结论得证.本例构造辅助函数时，将积分后的原函数中的常数，单独出来移项到另一端，则利用常数在区间[a,b]上的性质，借助Roll定理推导出结论.例3 设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0，证明存在x0∈(0,1)，使证明：设辅助函数F(x)=(1-x)2f′(x)，因f(x)在[0,1]上二阶可导，所以f(x)满足Roll 定理条件：在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,则存在x1∈(0,1)内，使f′(x1)=0.显然在(x1,1)内，F(x1)=(1-x1)2f′(x1)=0，F(x1)=(1-1)2f′(1)=0，由此F(x)满足Roll定理，故存在x0∈(x1,1)⊂(0,1)，使得F′(x0)=0，又所以即得：此例将结论的等式进行变换，可知，再两边积分得，得构造的辅助函数F(x)=(1-x)2f′(x).通过上面的例题证明方法可知，构造函数法是一个发散性思维很强的方法，教师在教学中要诱导学生可以变换不同的思路来考虑构造辅助函数. 构造函数的思路不同，那么构造出来函数的形式也多种多样，但是教师要提醒学生要把握住核心的思路：首先观察要证明的结论，并进行一定的变换，得出原函数即为构造函数，一旦构造函数满足微分中值定理条件时，就可利用中值定理得到证明结论.3.2 微分方程通解构造函数法处理这一类函数问题：f(x)在区间上连续，在(a,b)内可导，且满足一定的条件，求证存在一点x0∈(a,b)，使得f′(x0)=φ[x0,f(x0)]. 可先解微分方程y′=φ(x,y)=c，得到通解G(x,y)=c，据此构造辅助函数F(x)=G(x,y)，这便是微分方程通解法.例4 设函数f(x)在区间上连续，在(a,b)内可导，且f(x)≠0，x∈(a,b). 若f(a)=f(b)=0. 证明：对任意的实数k，存在点x0∈(a,b)使得证明：将x替换结论中的x0，得可分离变量的微分方程：即=kdx可知其通解为f(x)e-kx=c设辅助函数为F(x)=f(x)e-kx，则F(x)在上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由Roll定理可知，至少存在一点x0∈(a,b)，使即可见微分方程通解法，在证明结论命题形式为f′(x0)=φ[x0,f(x0)]时，将x替换x0，再令y=f(x)，得到微分方程y′=φ(x,y)，当能解得其通解为u(x,y)=C，则可得构造辅助函数F(x)=u(x,f(x)).例5 设函数f(x),g(x)在上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0，求证：存在点x0∈(a,b)使得g′(x0)=f′(x0)(f(x)+g(x)-1)[3]42-43证明：将x替换结论中的x0，得到一阶线形微分方程=y+z-1解得于是设辅助函数为F(x)=(f(x)+g(x))e-f(x)由题意可知F(x)在上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0，则由Roll定理可知，至少存在一点x0∈(a,b)，使即此例的结论形式是(ξ))，由y=f(x),z=g(x)，推导出微分方程形式为(y,z)，当通解为u(y,z)=C，则构造的辅助函数即为F(x)=u(f(x),g(x)).3.3 行列式构造函数法在一些微积分等式命题证明教学中，教师也可利用行列式的性质及行列式函数的求导公式的特点来启发学生构造辅助函数，然后结合微分中值定理，最终完成命题的证明.例6 设f(x)在上连续且二阶可导，则至少存在点x0∈(a,b)，使得存在点证明：将证明结论变换，对于∀x∈(a,b)，存在x0∈(a,b)，使得令，则F(x)在上连续，F(a)=F(b)=0，且g(x)在(a,b)内二阶可导，F″(x)=f″(x).对于∀x∈(a,b)，构造辅助函数[1]35，[4]21-22，[5]17-18，[6]34-34则易知h(t)在上有三个相异的零点t1=a,t2=x,t3=b，故由Roll定理可知h′(t)在(a,b)内至少有两个相异的零点，h″(t)在(a,b)内又至少有一个零点，即存在x0∈(a,b)，使得h″(t)=0，而故由h″(t)=0得即故结论得证.行列式构造函数法是将结论等式变换，使得等式一端不含f′(x0),f″(x0)等导数形式，再利用行列式构造出辅助函数，然后对h(t)求导，再结合微分中值定理，进而得出结论.在数学教学过程中，构造函数法在解决实际问题上的确起着十分重要的桥梁作用. 根据对各种问题的探讨，教师要让学生明白构造函数法的中心思路是根据命题的条件及结论，构造适当的辅助函数，将未知的问题化为易求的简单的问题，并考虑在相应区间上构造函数要满足条件，最后选用对应的定理，最终论证结论.【相关文献】[1] 陈静,王来生,周志坚.浅析一元微积分中的构造辅助函数法[J].高等数学研究,2006,09(06).[2] 吴坚，惠淑荣，刘应安.数学分析[M].北京：中国农业出版社,2011.[3] 同济大学应用数学系.高等数学[M].5版.北京：高等教育出版社,2002.[4] 毕守东.线性代数[M].4版.北京：中国农业出版社,2009.[5] 李君士.两个微分中值定理证明中辅助函数的多种作法[J].数学的实践与认识,2004,34(10).[6] 王文珍.微积分中辅助函数的运用[J].高等数学研究,2005,08(06).。
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例１．证明：咖击＋咖（Ｊ＋１）＝；·，∈（－ｌ，佃）
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分折：构造辅助函数，利用结论。连续函数，（ｘ）在【ａ，ｂ】上为常教的充要
分析：构造辅助函致．利用罗尔定墨证明方程撮的存在往． 证明：令
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易见，（ｏ）＝ｏ，又由条件知道－ｒ（１）＝ｏ·因为，Ｏ）在【ｏ．１】上连续·在（ｏ＇１）内可
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饲２证明：，∽＝ｈ（１＋工）在（．１’＋∞）内满足去玉ｈ（１＋Ｊ）‘工
院学报2010,9(5)
给出以Rolle定理为基础,用不同构造辅助函数的方法来证明Lagrange定理,强调了证明Lagrange定理过程中辅助函数构造的思维过程.
6.期刊论文 聂洪珍.张翠萍 关于构造辅助函数证明微分中值定理的进一步探讨 -鞍山师范学院学报2003,5(4)
微分中值定理是微分学的基本理论,其中Lagrange定理和Cauchy定理的证明关键是构造辅助函数.文中就如何构造辅助函数、辅助函数是否惟一等问 题作进一步探讨.
说明方程厂Ｏ）＝ｏ在（ｏ＇１）内至少有一个实根｛· 构造函数法在微积分解题中除了以上应用外。还有很多应
用。本文不在一一叙述。主要是通过以上三个例子说明构造函数法 是一种极富技巧和创造性的解题方法。我们关键是要学习这种舞 题的恩想。利用它去解决更多的同题。
参考文蠢： 【ｌ】李智．浅谈高等数学解题中构造函数的应用．科技教育．２００８． 【２】朱来义．徽积分中的典型例题分析与习题．北京：高等教育出版 社．２００２．
ｊＥ（＿ｌ－ｏ）时ｔ五Ｏ）＞正（０）·ｊＥＯ佃）时ｔ正Ｏｐ正（”·
条件是，’Ｏ）＝ｏ．ｊＥ（口，”一ｔ证明等式·
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综上所述·工Ｅ（－ｌ＇＋∞）时，
ｈ（１＋ｊ）≥击 击妯（１＋班Ｊ
2.期刊论文 徐礼卡.XU Li-ka 构造辅助函数解决问题的个案及教学分析 -株洲师范高等专科学校学报2007,12(5)
通过对一个案例进行教学分析,提出高师数学教育应该在培养学生的函数思想观念、提高用构造辅助函数法解决数学问题的意识和能力方面体现教育 价值.可以在整个微积分教学过程中抓住契机,通过设计用辅助函数解决诸如方程、不等式、求值问题的情境来达到培养的目的.使得作为未来教师的数学 教育专业大学生能充分认识到函数思想观念、构造辅助函数解决相关问题的意识和能力,应从初中、高中、大学的数学教学中逐步得到深化和提高.
相似文献(10条)
1.期刊论文 陈运明.Chen Yunming 高等数学中辅助函数的构造及应用 -长沙通信职业技术学院学报2002,1(2)
辅助函数在高等数学中有着广泛的应用,但是要在具体应用中恰到好处引入一个辅助函数并不是一件容易的事,特别对于初学者来说更是困难,本文从 两个定理的证明入手定性的分析了在解题时构造辅助函数应该考虑的问题以及构造方式.
本文链接：/Periodical_khgsbl200905034.aspx 授权使用：浙江大学(wfzjdx)，授权号：f07231d9-a256-4753-9efb-9e9401839416
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构造辅助函数的解题思想在高等数学中应用非常广泛,文章针对不等式的证明、方程根的论证以及存在性的证明,通过典例,介绍了几种构造辅助函数 的方法.
10.期刊论文 李景琴.Li Jingqin 构造辅助函数法在《数学分析》中的应用 -赤峰学院学报（自然科学版）
2010,26(9)
本文主要讨论了如何用构造辅助函数法解决<数学分析>中的有关问题.
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分析：构造辅助函数利用函数的单调性证明不等式：
厂Ｏ）＝气＋４ＩＪ＋·”＋·＿．，
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由于Ｚ（ｏ）ａｏ·因此ｊ毫（．１．ｏ）时·石厶）＜石（ｏ）·Ｊｅ他佃）时，石Ｏ）．ｃ石（ｏ）．
3.期刊论文 周凤麟.邱捷.ZHOU Feng-lin.QIU Jie 辅助函数的构造及应用 -景德镇高专学报2006,21(2)
辅助函数在高等数学中有着广泛的应用,但要在具体应用中恰当的构造辅助函数使问题得到较好的解决,是学生在学习过程中经常遇到的一个难题,本 文总结了三种常见的构造辅助函数的技巧.
7.期刊论文 邓卫兵.DENG Wei-bing 利用参数变导法构造辅助函数 -重庆工商大学学报（自然科学版）2005,22(4)
微分学中有3个著名的中值定理,其中Lagrange中值定理的证明,引入了辅助函数,然后由Rolle中值定理来证明Lagrange中值定理,这个突如其来的辅 助函数很难理解和接受.利用参数变异法引入辅助函数,给出了一种辅助函数的"统一"构造法,并利用这种方法解决了一些具体问题.
8.期刊论文 李延.扬秀玲 构造辅助函数的典型方法 -中国科教创新导刊2010(2)
解决微分学的许多问题,涉及辅助函数的构造.本文针对微分中值等式的证明,提出了三种具有一定规律可循的构造辅助函数的方法.
9.期刊论文 安震 浅析高等数学中构造辅助函数的解题思想 -太原城市职业技术学院学报2008(6)
心５糟＋南
饲３·设＾＋睾＋…＋பைடு நூலகம்＝ｏ，证明方程
一丽＋丽 ｌ＋（Ｊ＋ｌｙ ｌ＋（ｒ＋ｌｙ
在（ｏ．１）内必有实根·
＾＋ｄＩＪ＋…＋９，ｚＯ
因此，（ｘ）在【ａ、ｂ】上恒为需敦，由【ａ，ｂ】的任意性知道，（ｘ）在（＿Ｌ＋ｍ）内
恒为常致．该常教就是，（ｏ）＝２ｍｃｕｍｌ＝要．即
咖上ｉ＋ｘ＋枷ｏ＋１）＝；，ｘｅ（．Ｉ’佃）
万方数据
２ ０７
构造函数法在微积分解题中的应用
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
杨欣霞 贵州财经学院数学与统计学院,贵州,贵阳,550001
科海故事博览·科教创新 KEHAI GUSHI BOLAN（BAIKE LUNTAN） 2009，(5) 0次
参考文献(2条) 1.李智 浅谈高等数学解题中构造函数的应用 2008 2.朱来义 微积分中的典型例题分析与习题 2002
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在中值定理的证明中构造辅助函数是关键,怎样构造出辅助函数是中值定理证明中的难点. 本文通过对定理条件和结论的分析,给出了构造辅助函数 的规律和方法.
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构造函数法是数学方法中的一种处理问题方法．核心是通
过联想和划归的思想。根据对条件和结论的分析，构造辅助函数．
架起一座连接条件和结论的桥梁．从而使问题得以解决。本文围
绕微积分中的一些重要内容．举例说明在徽积分解题中构造函数
法的一些应用．
Ａｐ峋ｕｏｎ ｔｈｅ
ｏｆ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｏｒ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｃａｃｕｌｕｓ Ｐｒｏｂ－
２００９年第５期·总３５０期
构造函数法在微积分解题中的应用
杨欣曩 ｆ蠹州财经掌豌数学与统计学院责期责阳５５０００１》
中圈分羹号：０１３
文献标识码：Ａ
文章编号：１００７－０７４５（２００９）０５－０２０７－０１
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