计算材料计算BN的弹性常数

湖南工业大学

课程设计

资料袋

理学院（系、部）2011 ~ 2012 学年第一学期

课程名称计算材料学指导教师雷军辉职称讲师

学生姓名余晓燕专业班级应用物理081班学号***********

题目计算BN的弹性常数

成绩起止日期2011年12月4日～2011年12 月12 日

目录清单

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湖南工业大学

课程设计任务书

2011—2012 学年第1 学期

理学院学院（系、部）应用物理学专业081 班级课程名称：计算材料学

一、设计题目：计算BN的弹性常数

指导教师（签字）：年月日

系（教研室）主任（签字）：年月日

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（计算材料）

设计说明书

计算BN的弹性常数

起止日期：2011 年12月4日至2011 年12月12日

学生姓名余晓燕

班级081

学号***********

成绩

指导教师(签字)

理学院（部）

2011年12 月12 日

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计算BN的弹性常数

背景：

近年来，随着材料、物理、计算机和数学等学科的发展，应用计算的方法研究材料的结构、能量和性能已成为一门迅速发展的新兴学科-计算材料学。这种方法不仅能进行材料的计算模拟，而且能进行材料的计算机设计和相关性能的预测。随着计算机技术的飞速发展，第一性原理计算的方法在材料的结构和性能等方面的研究已取得了巨大的成功，第一性原理的方法是基于量子力学理论，从电子运动的层次研究材料的结构和相关性能。目前，CASTEP软件的主要功能是对半导体、非线性光学材料、金属氧化物、玻璃、陶瓷等固体材料，对电子工业、航空航天以及石化、化工等工业领域有着非常重要的战略意义。对这些材料而言，其电子的结构与性质，以及表面和界面的性质与行为都非常重要。CASTEP的量子力学方法，为深入了解固体材料的这些性质并进而设计新的材料，提供了强有力的工具。

基于密度泛函平面波赝势方法的CASTEP软件可以对许多体系包括像半导体、陶瓷、金属、矿石、沸石等进行第一性原理量子力学计算。典型的功能包括研究表面化学、能带结构、态密度、热学性质和光学性质。它也能够研究体系电荷密度的空间分布和体系波函数。CASTEP还可以用来计算晶体的弹性模量和相关的机械性能，如泊松系数等。半导体和其他固体材料的许多性能由电子性质决定，而电子性质又由原子结构决定，特别是缺陷在改变电子结构上的作用对半导体性质尤为重要。分子模拟，特别是量子物理技术，可用来预测原子和电子结构及分析缺陷对材料性能的影响。CASTEP能有效的研究存在点缺陷、空位、替代杂质、位错等的半导体和其它材料中的的性能。除此以外，它还可以被用来计算固体的振动性质，如声子色散关系、声子态密度等。这些计算结果可以用来分析表面吸附的振动性质，可以解释实验中的振动谱，可以研究在高温高压下的相稳定性等等。总的来说，它可以实现如下的功能：

1.计算体系的总能；

2.进行结构优化；

3.执行动力学任务：在设置的温度和关联参数下，研究体系中原子的运动行为；

4.计算周期体系的弹性常数；

5.化学反应的过度态搜索。

除此之外，计算一些晶体的性质，如能带结构、态密度、声子色散关系、声子态密度、光学性质、应力等。

下面介绍一下密度泛函理论、交换关联泛函近似、赝势方法和K-S方程迭代解法。

一、基础理论：

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1. Hohenberg-Kohn 定理和密度泛函理论：

密度泛函理论(DFT)是用量子力学的理论求解多电子体系基态能量方法，其核心是用电子密度函数取代波函数作为研究的基本量，由Hohenberg 和Kohn 在1964 年创建[1,2]。根据量子力量的相关知识，大量电子和原子核相互作用的多粒子体系，在非相对论前提下，系统粒子运动的波函数可以由以下定态薛定谔方程来描述：

(1-1) 哈密顿量仅考虑电子-电子作用、电子-原子核作用、原子核-原子核作用以及各个粒子的动能，对其它外场的情况可忽略。因此其哈密顿量可以写成如下形式：

(1-2) 其中，

(1-3)

(1-4)

(1-5)

对于上述方程，是无法直接求解的，必须对多粒子系统的电子能级计算采用一些简化和近似。在实际的多粒子体系中，原子核的质量远远大约电子，但是运动速度比电子小的多。因此考虑粒子运动时，将原子核的运动和电子的运动分开，考虑核的运动时忽略其电子分布，考虑电子运动时假定原子核处于相对静止的状态，这就是绝热近似[3]。通过近似，可以独立的处理原子核运动和电子的运动，因此可以将薛定谔方程写成电子运动方程和原子核运动方程。其电子运动方程是：

(1-6) 原子核的运动方程：

(1-7) 通过绝热近似，得到了多电子的薛定谔方程，但不能实际求解，要求解上述方程，必须将多电子问题简化为单电子问题。单电子近似理论的源于H.Thomas 和E.Fermi 在1927 年的工作，就是用粒子数密度表示多粒子的基态系统的能量。P.Hohenberg 和W.Kohn 根据的均匀电子气的理论提出著名的Hohenberg-Kohn 定理[1]，这个定理包含如下内容：不

计自旋的情况下，将粒子数密度函数表示成全同费米子系统的基态能量的唯一泛函；

在粒子数不变的情况下，能量泛函对正确的粒子数密度取等于基态能量的极小值。因此，对于基态非间并多粒子系统，不考虑自旋的条件下，其哈密顿算符为

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(1-8)

式(1-8)中，外场作用看成原子核-电子作用，相同的局域势对外场的作用用表示。对于给定的外场，多电子系统的能量表示成电子数密度的泛函为：

(1-9)

(1-10)

(1-11)

(1-12)式中，包括体系中电子之间的相互作用能和电子的动能，是外场对电子的作用能，是系统中原子核间的排斥能。在式(1-10)中，前两项表示无相互作用粒子模型的动能和库仑排斥能，复杂的电子相互作用用交换关联能表示。根据Hohenberg-Kohn 定理，假设能得到能量泛函E(ρ )，然后就能将电子数密度ρ 变分，就能确定系统的基态和基态所有的性质，因此确定E(ρ )成为问题的关键所在，而要确定能量泛函E(ρ )，必须要确定动能泛函T[ρ ]、电子数

密度 以及交换关联泛函。为了解决上述问题，W.Kohn 和L.J.Sham 提出了如下假设：假定已知无相互作用的电子系统和未知的有相互作用的电子系统密度函数相同，未知的相互作用电子系统的动能泛函T[ρ ]可用已知的无相互作用电子系统的动能泛函来代替；假定密度函数 用N 个单电子波函数构成，于是有：

(1-13)则

(1-14)对能量泛函进行变分得到

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