计算材料计算BN的弹性常数
计算材料计算BN的弹性常数
湖南工业大学课程设计资料袋理学院（系、部）2011 ~ 2012 学年第一学期课程名称计算材料学指导教师雷军辉职称讲师学生姓名余晓燕专业班级应用物理081班学号***********题目计算BN的弹性常数成绩起止日期2011年12月4日～2011年12 月12 日目录清单1湖南工业大学课程设计任务书2011—2012 学年第1 学期理学院学院（系、部）应用物理学专业081 班级课程名称：计算材料学一、设计题目：计算BN的弹性常数指导教师（签字）：年月日系（教研室）主任（签字）：年月日2（计算材料）设计说明书计算BN的弹性常数起止日期：2011 年12月4日至2011 年12月12日学生姓名余晓燕班级081学号***********成绩指导教师(签字)理学院（部）2011年12 月12 日3计算BN的弹性常数背景：近年来，随着材料、物理、计算机和数学等学科的发展，应用计算的方法研究材料的结构、能量和性能已成为一门迅速发展的新兴学科-计算材料学。
这种方法不仅能进行材料的计算模拟，而且能进行材料的计算机设计和相关性能的预测。
随着计算机技术的飞速发展，第一性原理计算的方法在材料的结构和性能等方面的研究已取得了巨大的成功，第一性原理的方法是基于量子力学理论，从电子运动的层次研究材料的结构和相关性能。
目前，CASTEP软件的主要功能是对半导体、非线性光学材料、金属氧化物、玻璃、陶瓷等固体材料，对电子工业、航空航天以及石化、化工等工业领域有着非常重要的战略意义。
对这些材料而言，其电子的结构与性质，以及表面和界面的性质与行为都非常重要。
CASTEP的量子力学方法，为深入了解固体材料的这些性质并进而设计新的材料，提供了强有力的工具。
基于密度泛函平面波赝势方法的CASTEP软件可以对许多体系包括像半导体、陶瓷、金属、矿石、沸石等进行第一性原理量子力学计算。
典型的功能包括研究表面化学、能带结构、态密度、热学性质和光学性质。
VASP计算弹性常数
VASP计算弹性常数VASP (Vienna Ab-initio Simulation Package) 是一种常用的第一性原理计算软件包，用于计算物质电子结构和能带结构。
除了电子结构计算，VASP还可以用于计算材料的弹性常数。
在本文中，我们将讨论如何使用VASP计算材料的弹性常数，并了解计算结果的解释。
弹性常数是描述材料变形行为的物理量。
材料在受力作用下产生变形，而弹性常数则定量描述了材料对应力的响应。
弹性常数包括弹性模量、剪切模量、泊松比等。
通过计算这些弹性常数，我们可以了解材料的机械性能和应力应变行为。
首先，我们需要确定计算材料的晶体结构。
这包括晶胞参数、原子位置和晶胞对称性。
在VASP中，我们使用POSCAR文件来描述晶体结构的具体细节。
POSCAR文件包括晶体的晶胞参数、原子种类和位置等信息。
其次，我们需要生成一系列的应变状态。
常见的应变状态包括体积应变、晶格常数应变和剪切应变。
在VASP中，我们可以使用ISIF标志来控制应变类型。
例如，ISIF=3可以用于计算体积应变，ISIF=2可以用于计算剪切应变。
然后，我们需要进行一系列的弛豫计算。
在每个应变状态下，我们需要优化结构以达到最低的总能量。
这可以通过设置IBRION=2和ISIF=3来实现。
这些计算将给出最优的应变状态下的应力张量。
最后，我们可以使用应力和应变的关系来计算材料的弹性常数。
对于单晶材料，弹性常数可以通过应力张量的分量和应变张量的分量之间的线性关系来得到。
C_ij = (stress_i - stress_0_i) / strain_j其中，C_ij是第i个应力分量（i = 1，2，...，6）和第j个应变分量（j = 1，2，...，6）之间的弹性常数，stress_i是在第i个应变分量下计算得到的应力，stress_0_i是在未应变状态下计算得到的应力，strain_j是第j个应变分量。
使用以上计算方法，我们可以得到材料的弹性常数。
材料弹性常数的测定
(一)、材料弹性常数的测定对于均匀的各向同性的材料而言，弹性模量E和泊松比μ完全就可以确定材料的弹性性质。
它们均由试验决定。
对于这两个参数，可以使用电测法和机械式量测两种方法。
1、电测法测定相似材料的E和μ所谓电测就是在试件上贴一定数量的应变片，用静态电阻应变仪得到的数据来计算试块的横向和纵向变形，再结合压力机上的压力值推导出相似材料的E和μ。
试件一般为高100mm、直径50mm的圆柱体，也可用50mm X 50mmX 100mm 的棱柱体，我们试验中所用的是圆柱体。
为了防止荷载偏心对量测结果的影响，应变片应对称纵向贴在试件的两侧，H/2处((H为试件高度)，然后取其平均值进行计算。
进行单轴压缩实验时，最大荷载不超过破坏荷载的1/3一1/2，但通常还是要作到破坏。
分8一10级加载，用静态电阻应变仪量测每级荷载下相应的应变值，最后将记录的△σ和△ε标在坐标纸上，绘出。
σ一ε曲线，这样就很容易求出材料的弹性模量E 了。
泊松比μ可以和弹性模量E同时测试，只是贴片的方向与荷载方向垂直。
量测刀时应注意两点:(1)尽量将测μ的横向片和测E的纵向片分别贴在试块的不同部位(但必须贴在试块的H/2处)，以避免应变片横向效应的影响。
(2)由于横向变形较小，μ值不易测准，需特别注意。
根据我们用电测法对试块进行多次试验，效果不很理想。
主要表现在我们的试件是圆柱体，在圆柱体的曲面贴应变片，应变片与曲面的粘结效果不很理想，使实验的结果误差很大，可能用棱柱体试验效果会好一些。
2、用机械式量测法测弹性模量E对于低弹性模量的材料，由于刚化效应的影响，不宜用电阻应变仪进行量测。
这时可用百分表、千分表或位移传感器量(与应变规相连，应变规夹在试件上)测试件的轴向压缩量△H，然后利用下式:来计算材料的E值。
由于这种量测法可能将垫块和试件的非密切接触产生的空隙包括在内，所以测得的变形量可能偏大，而使E值偏小。
因此，要特别注意试件端部的平整性。
Materials Studio 培训教程
现在设置几何优化 从工具栏中选择CASTEP工具 从工具栏中选择CASTEP工具 CASTEP ， 然后从下拉列中选择Calculation Calculation（ 然后从下拉列中选择Calculation（或从 菜单栏中选择Modules / CASTEP / 菜单栏中选择Modules Calculation）。 Calculation）。 Calculation对话框见右图 对话框见右图： CASTEP Calculation对话框见右图： 在Setup标签中，把Task设置为 Setup标签中， Task设置为 标签中 Optimization， Geometry Optimization，把Quality 设 置为Fine 并且把Functional设置为GGA Fine， Functional设置为 置为Fine，并且把Functional设置为GGA PW91。 and PW91。 按下more按钮，选中Optimize cell。 按下more按钮，选中Optimize cell。 more按钮 关闭CASTEP Optimization对话 关闭CASTEP Geometry Optimization对话 框。
=============================================== Elastic constants from Materials Studio: CASTEP =============================================== Summary of the calculated stresses ********************************** Strain pattern: 1 ====================== Current amplitude: 1 Transformed stress tensor (GPa) : -4.990578 0.000000 0.000000 0.000000 -6.907159 0.000000 0.953658 0.953658 Current amplitude: 2 6.908215 Transformed stress tensor (GPa) : -5.949042 0.000000 0.000000 -7.093625 0.000000 0.000000 0.571307 0.571307 提供了应力，应变的组成和弹性常数张量之间联系的所有信息。在 7.094263 这一阶段，每一个弹性常数均有一个简洁的指数代表而不是由一对 ij指数代表。稍后会在文件夹中给出压缩符和常规的指数标定之间
弹性常数
对其他特定的应变，按上面第2和3步再做一系列的计算得到相应的一组 数据，以及拟合。
的一个的输入文件OLDPOS，并对OLDPOS做一个处理。因为OLDPOS在格式上有特殊要求：
a
、在OLDPOS的第一行，在title的字符串之后，至少空一格再加上OLDPOS中原子的种类数目，比如AlN中有两类原子，title写为AlN，
那么就OLDPOS的第一行就是"AlN 2"。
准备好VASP计算的输入文件KPOINTS和POTCAR。以及进行原子位置驰豫计算的INCAR.relax，它的内容如下：
towidth 0.8pt height 0cm depth 0.25cmwidth 1.025height 0cm depth 0.8ptwidth 0.8pt height 0cm depth 0.25cm 1.0
SYSTEM = AlN
ENCUT = 400
ISTART = 0
ICHARG = 2
ISMEAR = -5
EDIFF =1E-5
PREC = Accurate
LWAVE = .FALSE.
总的说来，就是先对应变后的POSCAR进行固定基矢，只对原子位置的优化，再对优化得到的结构进行静态总能计算得到应变体系后的总能 。
段错误 gAs incar
弹性常数学习资料 2007-12-14 09:40:31 阅读63 评论0 字号：大中小 订阅
具体计算步骤
在计算时，有几点要特别注意的：a)，原胞内原子在应变是否驰豫；b)，k点网格大小是否足够，因为在应变后，原胞的对称性会发生变化，
即使同样的k点网格，在简约布里渊区产生的k点数目是不同的。因此，k点网格大小要取得足够，以保证弹性常数计算的精确性；c)，
CASTEP简单计算 演示文稿 (2)
在 CASTEP Calculation 对 话 框 中 ， 选 择 Properties 标 签 。 选 择Phonons。再选择Both，要求 计 算 Density of states 和 dispersion。
单击 More... 按钮， 显示 CASTEP Phonon Properties Setup 对话框。 确定下列选择已完成 * Method 为 Linear response * Use interpolation 已勾选 * q-vector grid spacing for interpolation ＝ 0.05 1/Å. 设置 Dispersion 和 Density of states 的计算精度为 Fine。 关闭对话框。
查看Ge晶体的电子自旋，正 确设置晶体的自旋态。 如图，选中一个Ge原子。
按右图所示步骤， 得知Ge的自旋态 ＝1。所以后面计 算不用设置自旋 极化。
现在开始使用CASTEP来优化锗的几何结构。
从 工 具 栏 中 选 择 CASTEP 工
具
， 然后选中
Calculation。或从菜单栏 中 选 择 Modules | CASTEP | Calculation ， 打 开
CASTEP Calculation 对 话 框。
几何优化的默认值不包括对单胞的优化。 在Setup标签上，把Task从Energy改为 Geometry Optimization，把Functional改为 LDA。
在CASTEP Geometry Optimization 对 话 框 中 ， 按 下 More... 按 钮 ， 勾 选 上 Optimize Cell。
于每一种应变模式，都有一个计算出的应力的总结(由各自的.castep文件得 到)。
vasp计算弹性常数
vasp计算弹性常数
VASP计算弹性常数
1、什么是VASP计算弹性常数
VASP是Vienna Ab initio Simulation Package（维也纳基础仿真软件包）的缩写，它是一种针对第一性原理计算的电子结构和性质的软件套件。
它在计算与物理、化学能量和结构有关的量时具有非常强大的能力，可以计算出材料的结构构型、热力学性质以及电学和光学性质等。
VASP也可以用来计算某个材料的力学性质，从而推断其弹性常数。
2、VASP计算弹性常数的原理
了解VASP计算弹性常数的原理，我们先需要了解Hooke定律。
Hooke定律定义了弹性体（指正交于拉伸方向的任意方向上发生同样变形的材料）应力和应变之间的关系，即：拉伸轴上拉伸应力可以由材料弹性常数通过应变除法表示。
为了计算材料的弹性常数，利用VASP软件可以通过模拟调节其立体结构的应力和应变，从而推断出材料的弹性常数。
它首先会对所模拟的晶体进行平衡计算，根据平衡晶体的初始位置和能量，将其一点点推向应变，然后根据新推向位置和能量，重新计算势函数，最后弹性常数就可以根据VASP软件计算出来。
3、VASP计算弹性常数的常用方法
4、VASP计算弹性常数的应用
VASP计算弹性常数有很多强大而精准的应用，相当多的材料比如金属、合金、多晶体以及纤维、木材和塑料等都可以通过VASP软件来计算它们的弹性常数，从而快速准确地预测出它们在拉伸、压缩、弯曲等应力下的反应情况。
此外，有了VASP的计算结果，我们也可以进一步提取出动态弹性常数，从而更好地了解材料的形变行为及表面粗糙度、能金学性质以及其他有关的研究。
材料力学公式
材料力学公式材料力学公式是材料学研究领域中很重要的部分，运用合适的公式能够预测、描述和解释许多材料学现象。
材料力学公式是基于物理和数学原理建立的，有助于我们了解材料的性质和行为。
在这篇文章中，我们将介绍几个常见的材料力学公式，以及它们在材料学中的应用。
1. 晶体弹性常数公式晶体弹性常数通常是材料物理学的一个关键方面，它们描述了材料变形和应力之间的关系。
一些常见的晶体弹性常数公式包括：（1）杨氏模量（E）公式：E = σ/ε其中，E是杨氏模量，σ是单轴应力，ε是单轴应变。
（2）剪切模量（G）公式：G = τ/γ其中，G是剪切模量，τ是剪切应力，γ是剪切应变。
（3）泊松比（ν）公式：ν = -εx/εy其中，εx是沿着x轴的应变，εy是沿着y轴的应变。
这些公式能够帮助我们计算材料在特定应力下的变形和应变。
例如，杨氏模量是一个很重要的性质，因为我们可以通过它来计算材料的应力应变曲线。
对于一些高坚度的材料，剪切模量比杨氏模量更适合用于描述材料的特定弹性行为。
2. 应力公式应力公式是指计算在材料内部力的作用下材料产生的应力的公式。
例如，一些常见的应力公式包括：（1）等效应力（σeq）公式：σeq = ((σ1 - σ2)² + (σ2 - σ3)² + (σ3 - σ1)²)½其中，σ1、σ2和σ3分别是应力的主应力。
（2）应力分布公式：σ = F/A其中，σ是应力，F是力，A 是受力面积。
（3）柯西应力公式：σij = cijklεkl其中，σij 是第i个面上的第j个分量的应力，εkl 是第k个面上的第l个分量的应变，cijkl是材料的柯西弹性常数。
3. 强度和韧度公式强度和韧度公式涉及到材料的机械性能，是材料学中很重要的概念。
一些常见的强度和韧度公式包括：（1）屈服强度公式：σy = Fy/A其中，σy是材料的屈服强度，Fy是达到屈服点所需要的力，A是受力面积。
弹力系数计算公式
弹力系数计算公式
弹力系数（也称为弹性模量）是一个物体在受力时的弹性变形程度的衡量。
它通常用符号E来表示，可以根据材料的特性和应力-应变关系来计算。
对于线弹性材料（即满足胡克定律的材料），弹力系数可以通过以下公式计算：
E = (F/A) / (ΔL/L)。
E是弹力系数（单位：帕斯卡，Pa）。
F是施加在物体上的力（单位：牛顿，N）。
A是物体的横截面积（单位：平方米，m²）。
ΔL是物体在受力下发生的长度变化（单位：米，m）。
L是物体的初始长度（单位：米，m）。
这个公式描述了物体在受力下的应变程度，即单位面积上的应力与应变之间的比例关系。
通过测量物体的力和长度变化，可以计算出材料的弹性模量。
该公式适用于线弹性范围内的材料，当材料超过其线弹性限度时，就需要考虑非线性效应和材料的变形特性。
class 8 使用 CASTEP 计算弹性常数
现在设置几何优化
从工具栏中选择CASTEP工具 ， 然后从下拉列中选择Calculation（或从 菜单栏中选择Modules / CASTEP / Calculation）。 CASTEP Calculation对话框见右图： 在Setup标签中，把Task设置为 Geometry Optimization，把Quality 设 置为Fine，并且把Functional设置为GGA and PW91。
计算BN的弹性常数
目的： 使用 CASTEP 计算弹性常数 模块： Materials Visualizer, CASTEP 前提： 已使用first principles预测了AlAs的晶格常数
背景: 当前，可应用于大周期性体系的密度泛函理论（DFT）取得了显著的 进展，已经成为解决材料设计、加工中难题的有效方法。人们依据这个理 论可以使解释实验数据，预测新晶体的结构、结合能和表面活性等基本性 质。这些工具可以用来指导设计新材料，允许研究人员理解基本的化学和 物理过程。 绪论: 在本教程中，将学习如何使用CASTEP来计算弹性常数和其他的力学 性能。首先我们要优化BN立方晶体的结构，然后计算它的弹性常数。 本指南主要包括以下内容： 1 优化BN立方晶体的结构 2 计算BN的弹性常数 3 弹性常数文件的描述
1. 优化BN立方晶体的结构 在计算弹性常数之前并不一定要进行几何优化，可以由实验观测到的 结构计算出Cij数据。尽管如此，如果我们完成晶胞的几何优化，可以获得 更多相容的结果，进而计算与理论基态对应的弹性常数。 弹性常数的精确度，尤其是切变常数的精确度，主要取决于SCF计算的 品质，特别是布里渊区取样和波函数收敛程度的品质。所以我们设置SCF、 k点取样和FFT格子的精度为Fine。 首先导入BN结构 在 菜 单 栏 中 选 择 File/ Import ， 从 structures/semiconductors 中 选 中 BN.msi ， 按 Import 按 钮 ， 输入BN的晶体结构，见右图。 为了节省计算时间，由 Build / Symmetry / Primitive Cell将此 conventional representation 转化为primitive representation.
计算材料计算BN的弹性常数
计算材料计算BN的弹性常数研究层状硼氮化物（BN）的弹性常数有助于了解该材料的力学性能以及其在应用中的潜力。
弹性常数是描述材料在受力后能恢复原状的能力的物理量。
对于层状晶体，弹性常数根据其结构和晶格的弹性性质来计算。
BN层状晶体由硼原子和氮原子交替排列而成，形成类似于石墨烯的层状结构。
因此，我们可以从石墨烯的弹性常数推导出BN的近似值。
石墨烯的弹性常数可通过几何结构、力学模型和第一原理计算得到。
首先，我们可以通过实验测量石墨烯的拉伸或压缩应力-应变曲线来获取其弹性常数。
弹性常数可以从曲线中得到不同应力和应变下的切线斜率。
通过插值和拟合，我们可以计算出石墨烯的弹性常数。
其次，可以使用力学模型来计算石墨烯的弹性常数。
最简单的模型是连续介质力学，其中假设石墨烯可以视为连续介质。
该模型利用物理定律和边界条件来推导出弹性常数的数值解。
另一种方法是使用第一原理计算，即基于量子力学的计算方法。
这种方法通过解决薛定谔方程来预测材料的力学性质。
通过计算得到的晶格结构和与弹性有关的物理量，可以推导出石墨烯的弹性常数。
针对BN，我们可以使用同样的方法计算其弹性常数。
具体来说，我们可以使用以下步骤进行计算：1.几何结构优化：首先，通过使用密度泛函理论（DFT）等第一原理计算方法，优化BN的晶格结构。
这将给出最稳定的晶格参数和原子位置。
2.力学模型：然后，可以使用连续介质力学模型来计算BN的弹性常数。
该模型假设BN是连续介质，并根据其晶格结构和应力-应变关系推导出弹性常数。
3.第一原理计算：此外，可以使用第一原理计算方法来计算BN的弹性常数。
通过解决薛定谔方程，并考虑晶格动力学和声子频率，可以生成材料的力学性质。
以上方法的计算结果可以相互印证，从而提高计算的精度和可信度。
此外，还可以将计算结果与实验数据进行比较，以进一步验证计算的准确性。
总的来说，计算层状硼氮化物（BN）的弹性常数需要使用几何结构优化、力学模型和第一原理计算等方法。
金属Nb的Finnis-Sinclair势开发及势函数形式对材料性能的影响
金属Nb的Finnis-Sinclair势开发及势函数形式对材料性能的影响*高静怡1) 孙嘉兴1) 王逊2) 周刚3) 王皞3) 刘艳侠1)† 徐东生3)1) (辽宁大学物理学院, 沈阳 110036)2) (沈阳建筑大学理学院, 沈阳 110168)3) (中国科学院金属研究所, 沈阳 110016)(2020 年12 月21日收到; 2021 年1 月27日收到修改稿)对于计算材料科学的研究者来说, 经常由于找不到合适的原子间势而工作受阻. 本文将在Finnis-Sinclair 势的框架下, 通过开发金属Nb的Finnis-Sinclair势而给出较详细的原子间势拟合、检验、修正的过程. 首先建立原子间势与材料宏观性能之间的关系, 然后通过再现金属Nb的结合能、体模量、表面能、空位形成能及平衡点阵常数的实验数据的方法拟合金属Nb的Finnis-Sinclair势. 利用所构建的原子间势计算金属Nb的弹性常数、剪切模量及柯西压力来检验势函数. 讨论势函数曲线形状对间隙形成能的影响, 进而根据间隙能的计算数据修正已构建的原子间势. 讨论截断距离的处理方法. 本文的结果一方面为构建原子间势函数库提供资料, 为构建与Nb相关的合金原子间势奠定基础; 另一方面, 为开发和改善原子间势质量提供方法和依据.关键词：原子间势构建方法, 金属Nb, Finnis-Sinclair势, 原子间势函数形式PACS：34.20.Cf, 81.05.Bx, 02.70.Ns DOI: 10.7498/aps.70.202021681 引 言原子尺度模拟是微观层次研究材料性能行之有效的手段和途径, 但是计算机模拟结果的可靠性直接来源于原子间势的质量[1], 而且模拟的计算量强烈依赖于原子间势的复杂度. 因此开发形式简单、质量可靠的原子间势及建立易于操作的原子间势构建方法极为重要. 目前, 原子间势的开发大多通过有限的势函数参数来再现材料的部分性质而获得[2−4], 因此, 根据部分性能获得的原子间势不可能描述材料的全部性能. 由于研究目的不同, 有时即使是同一金属[5−10]或合金[11,12]也需要开发不同的原子间势.Nb基合金及含Nb合金在航空航天、医学、核工业等领域有着重要的应用[13−15]. 为了从原子尺度研究Nb及其合金的性能, 首先需要构建其原子间势. 在金属及合金中应用广泛的原子间势模型主要是1983—1984年间由Daw和Baskes[16,17]提出的Embedded-atom method (EAM)势模型, 以及1984年由Finnis和 Sinclair[2]提出的Finnis-Sinclair (FS)势. 二者数学表达式都由两项组成,第一项都为排斥势, 解释相同, 都是原子芯之间的静电势; 第二项都为吸引势. 二者的主要区别在于第二项, 体现在两个方面: 一是来源不同, EAM势来源于密度泛函理论, FS势来源于紧束缚理论的二阶矩近似; 二是对第二项即电荷密度函数和嵌入能函数的解释不同, EAM势中, 把金属中的每个* 国家重点研发计划 (批准号: 2016YFB0701304) 资助的课题.† 通信作者. E-mail: ldlyx@© 2021 中国物理学会 Chinese Physical Society 原子看成是镶嵌在其他原子在该位置形成的电子气中的一个杂质, 并假设嵌入能是局域电子密度及其高阶导数的函数, 且电子密度由原子的电荷密度叠加而成; 而FS势中, 每个原子内聚能的大小与原子间最近邻的键合数的平方成正比, 在紧束缚理论中, 金属中电子能带的带能是其中占据态单电子能之和, 而且带能由态密度的二阶矩来表征, 因此密度函数是态密度的二阶矩. 虽然这两种原子间势的来源和解释不同, 但由于二者的数学形式相近,为此, 人们习惯上将FS势归入为EAM模型. 本文为了叙述上的方便, 仍然称作FS势. 到目前为止,在金属及合金中广泛使用的原子间势形式依然是EAM势及FS势, 以及对这两种势的各种修正势[18−20].1984年Finnis和 Sinclair[2]开发了7种bcc结构金属Nb, V, Ta, Cr, Mo, W及Fe的FS势, 首次考虑了原子之间的多体效应, 克服了对势的缺点. 但该势的缺点是在近距离下原子之间的排斥力不足, 特别是V和Nb, 在短距离内甚至表现出有吸引力, 导致分子动力学模拟时出现原子落在一起的异常行为[21]. 为此, Ackland[21]和Rebonato[22]分别对该问题进行了修正, 对于小于第一近邻的对势曲线进行了硬化. 另一方面, 该势的原子间相互作用距离考虑到第二近邻, 相互作用距离比较短.本文在该势的基础上, 首先, 扩展相互作用距离到第三近邻, 并修正近距离相互作用偏软的现象; 其次, 建立原子间势与材料宏观性质之间的关系, 讨论函数形式及截断距离对宏观性能的影响, 并根据材料的宏观性质修正原子间势函数形式.构建原子间势是一项复杂的工程, 本文将从模型的选择, 截断距离处理, 势函数拟合, 势函数检验及应用, 以及根据检验和应用结果修正势函数几方面详细介绍势函数的开发过程, 并就截断距离和势函数形式对原子间势的质量及材料性能影响方面进行了讨论, 期望为开发和改善原子间势质量提供参考.2 模 型本文在FS势框架下[2]开发金属Nb的原子间势, 将原子间相互作用扩展到第三近邻. 对于理想单质金属, 所有原子都是等价的, 因此体系的总能可以表示为单原子能量之和, 单个原子的相互作用能表示为:其中, u P表示原子对之间的相互作用能, u N表示多体相互作用对总能的贡献. 它们可用(2)式和(3)式表示:f(ρ)=√ρ其中, A为势参数, 是大于零的常数. 根据紧束缚理论, 取, r为参考原子i处的局域电子密度,表示如下:其中, f(r i)为重叠积分的平方和[2]或为原子电荷密度[17].原始模型中的f(r i) 为抛物线型函数, 当将截断距离扩展到第三近邻时, 使用原函数形式给出了不合理的原子间相互作用, 为此本文修正该函数为四次幂形式:原始模型中的对势函数V(r)为四次多项式, 本文修正为六次多项式:函数形式的选择和c与d的取值在后面详细讨论. c与d是截断参数, 选取在第三近邻与第四近邻之间, c和d的值分为:其中, a为Nb的晶格常数.3 截断处理方法为了减少分子动力学模拟计算原子受力所用时间, 通常不采用相互作用减少到零的自然截断的方式, 而是在一个方便的力程上将原子间相互作用截断. 有研究表明, 如果预先不做截断处理, 计算一个分子动力学步的99%的时间都将用于计算使粒子运动所需的力.如果势能不是光滑截断, 那么在截断点上的力就会出现d 函数形式的奇异性, 因此, 必须考虑势能的截断对系统特性的影响. 首先需要保证势能及其一阶、二阶导数在截断点连续. 势能对距离的一阶导数对力有影响, 势能对距离的二阶导数对材料的弹性常数、体模量、剪切模量等有影响. 这些函数是否连续、力程的大小对材料的结构稳定性、力学稳定性、相变等都有影响.可以采取多种方法对势函数进行截断, 如:1)简单地将函数平移; 2)将函数在适当位置截断,再增加截尾函数; 3)在适当位置迭加一个截尾函数; 4) 将截断函数直接包含到势函数表达式中.其中方法1)比较粗糙, 且不能保证势函数的一、二阶导数连续, 只适合做静态的与能量相关的计算. 方法2)和方法3)需要增加参数的数量, 以保证在函数连接点的各阶导数连续, 且要慎重考虑连接点的选取. 方法4)是目前使用比较多的方法,优点是与势函数同时进行参数拟合. 目前常用的主要有两种形式, 一是Finnis 和Sinclair 使用的阶跃函数的形式即在选取的势函数上直接乘以H (x ); 另一种是Mishin [23]使用的截断方式,也是在势函数上直接乘以y (x ).4 原子间势与晶体性质不论是拟合原子间势还是检验原子间势, 均需建立原子间势与拟合晶体性质参数及检验晶体性质参数之间的关系. 本文建立了内聚能、平衡点阵常数、体模量、表面能、空位形成能、间隙能及切变模量之间的关系.Ωe =a 3/2√3a /2对于体心立方晶体, 设晶格常数为a , 平衡态下的原子体积, . 本文构建的原子间势的相互作用在原子的第三和第四近邻之间截断.bcc 晶体第一近邻有8个原子, 距离为 ; 第a √2a 二近邻有6个原子, 距离为 ; 第三近邻有12个原子,距离为 .采用(10)式的符号来标记不同近邻下的对相互作用及电子密度,4.1 压力和体模量P =−d u totd ΩΩ=12r 3力和能量存在导数关系 , 对于bcc 结构, 原子体积由 (r 为bcc 结构的棱长).由(1)式推得压力的表达形式:其中, P N 和P P 分别表示为N 体相互作用和两体相互作用部分的力. 由得当r = a 时, 可得到平衡状态下的压力:B =−Ω0d Pd ΩΩ0=12a 3根据公式 , 对于bcc 结构金属, , 可得由得r =a 当 时, 可得到平衡状态下的体模量:4.2 表面能表面能E surf 的计算公式为:E s E t其中, 为具有表面时体系的总能, 为不包含表面时体系的总能, S 为计算体系表面的面积. 考虑(100)面截断距离内原子能量的变化, (100)面的表面能为:其中,4.3 未弛豫空位形成能单空位形成能为:其中, E n –1为具有n 个原子的晶体在其内部产生一个空位时体系的总能, E n 为具有n 个原子的理想晶体体系的总能. 考虑空位周围截断距离内原子能量的变化, 即为单空位形成能.4.4 内聚能在FS 势下, 每个原子的内聚能为:4.5 平衡条件u tot r =a 平衡状态下, 晶体内各原子受力为零, 总能量最低, 即 关于r 的一阶导数为0. 因此, 当 时的平衡条件为:其中,4.6 自间隙形成能自间隙形成能的计算公式为:其中, E n 表示具有n 个粒子的理想晶体的总能量,E n +1表示存在一个间隙原子时体系的总能量. 本文考虑图1所示的6种间隙构型.√3a /2√2a 本文采用计算缺陷范围内的原子间相互作用能量变化的方法计算每种间隙的形成能. 八面体、四面体及挤列子3种间隙构型中, 在截断距离内的每个原子除了距离 的原子有8个, 距离为a 的原子有6个, 距离为 的原子有12个外, 还增加了一个间隙原子的相互作用, 截断距离内的这些原子与间隙原子的距离及等价原子数见表1. 哑铃构型中, 截断距离内的原子分布要复杂一些, 可析近邻原子分布情况.根据间隙原子的近邻分布可计算间隙原子的形成能.八面体间隙形成能为:其余构型的间隙形成能可采用同样方法计算.4.7 立方晶体的切变模量C 44和C'我们知道, 应变能密度为σij =C ijkl εij 其中, .按照Voigt 记法, 可得应变能密度为<100> dumbbell <110> dumbbell <111> dumbbellCrowdion Octahedral Tetrahedral图 1 bcc 结构6种间隙构型Fig. 1. Six interstitial configurations of bcc structure.表 1 截断距离内的各间隙原子的距离及等价原子数Table 1. Distance and equivalent atomic number of each atom withinthe cutoff distance from the in-terstitial atom.间隙构型距离及等价原子数挤列子距离√34a√114a √194a √274a √354a √434a 原子数2668126八面体距离12a√22a √52a √62a 32a原子数248810四面体距离√54a √134a √214a √294a √374a原子数448124C′立方晶体有两个切变模量C44和(≡(C11–C12)/2).C′对于, 考虑立方晶体的平面应变, X方向伸长时应变为e11, Y方向缩短时应变为e22, Z方向不变时应变为0. 保持体积不变, 则e11 = – e22. 对e12, 将应变分量代入(24)式, 得到两种应变下的应变能密度分别为W′=(C11−C12)ε211W44=2C44ε212, .应变能密度W为单位体积的内能, 则经推导(见附录A)得根据(31)式给出的体模量、切变模量, 柯西压与弹性常数之间的关系, 可在这些量之间相互计算,5 原子间势拟合势函数表达式(3)式和(6)式中的c0, c1, c2,A是势函数参数, 本文通过拟合金属Nb的内聚能、平衡点阵常数、体模量、表面能及空位形成能的实验数据获得, 实验数据[2]见表2中第1行数据.根据第4节中建立的晶体性能与势函数的关系, 然后采用均方差最小方法, 调整势函数参数的大小, 使得势函数能再现这些晶体性能, 拟合得到的原子间势参数见表3中第1行数据, 使用所得的原子间势计算的晶体性能列于表2中第2行.从表3可以看出, 拟合的均方差非常小, 因此,利用所建原子间势计算的晶格常数、内聚能、未弛豫空位形成能、 体模量的结果与实验值完全相同,只有表面能有微小差别.表 2 拟合用金属Nb的实验数据及计算结果Table 2. Experimental and calculation data ofmetal Nb for fitting interatomic potential.数值a/ÅE c/eV B/(1011 Pa)E g100/(mJ·m–2)Efv/eV实验值 3.30087.57 1.7102046 2.64本文计算值3.30087.57 1.7102050 2.64表 3 金属Nb的FS势参数及拟合均方差Table 3. FS potential parameters of metal Nb andfitting mean square error.均方差/10–8c0c1c2A/eV无修正项6.634470.262198–0.1389740.01844610.636219带修正项6.634470.262198–0.1389740.01844610.6362196 势函数的检验与应用6.1 弹性常数根据第3节建立的势函数与晶体性能的关系,利用所得势函数计算了金属Nb 的3个独立的弹性常数及柯西压力. 结果见表4中第2行数据. 从表4中数据可以看出, 除了C 44偏差较大外, 其余结果均较接近实验值.6.2 间隙形成能根据第3节建立的势函数与晶体性能的关系,利用所得势函数计算了Nb 的不同间隙构型的间隙形成能, 结果见表5. 其中, FS(87)一列数据是文献[22]作者使用修正的FS 势计算的弛豫的间隙形成能. 为了便于与本文的数据进行比较, 本文使用文献[22]的势函数计算了各种间隙构型的未驰豫间隙形成能, 列于表4中“FS(87)未弛豫”一列.⟨110⟩⟨111⟩⟨110⟩从表5可以看出, 各种方法计算的间隙形成能中, 或者 哑铃构型的间隙能最低, 或者是哑铃构型的最低, 本文的计算结果也是 哑铃构型最低. 但是本文的计算结果普遍偏大, 分析其原因, 一方面我们的计算结果均未进行弛豫,另一方面, 说明我们所建的势函数在近距离处排斥力过大, 曲线偏硬.7 势函数的修正为了使所建立的势函数能更好地描述间隙形成能, 我们对势函数在近距离的行为进行修正, 尝试加入修正项进行软化处理, 即将对势函数表达式(6)式在第一近邻之内减去一项,其中修正项形式如下, 且仅在第一近邻内有效,按照前述方法重新拟合势参数并进行检验. 发现加入修正项后拟合得到的势参数几乎没有变化,利用修正后的势函数计算的各构型的间隙形成能均减小, 但与文献数据仍有一定的偏差, 为此继续对势函数进行修正.将间隙形成能的计算值[24]作为目标值, 调整修正项的幂次, 当取修正项形式为(34)式时, 计算结果接近目标值.修正前后的对势曲线、有效对势曲线及电子密度曲线如图2所示, 为了便于比较, 同时绘出了文献[2], 及按文献[2]函数形式将截断距离扩展到第三近邻的函数曲线.表 4 金属Nb 的弹性常数(单位为1011 Pa)Table 4. Elastic constants of metal Nb (in 1011 Pa).C 44C 11C 12C′P c 实验值[2]0.281 2.466 1.3320.5460.5255本文结果0.5672.3431.3930.4750.4134表 5 金属Nb 的间隙形成能Table 5. Interstitial formation energy of metal Nb.FS [21]FS(87)[22]FS(87)未驰豫DFT [24]DFT [25]本文无修正项本文有修正项Cutoffc 4.2 4.2 4.2 5.31261 5.31261d 3.915354 3.915354 3.915354 5.07095.0709⟨111⟩crow 4.857 4.109.037 5.254 5.25515.487 6.977⟨111⟩ dum 4.795— 6.610 5.253 5.20310.7497.775⟨110⟩ dum 4.482 3.99 5.930 5.597 5.6847.148 4.425⟨100⟩dum4.821 4.138.3855.9496.00513.8447.616Tetrahedral — 4.26 6.893 5.758 5.73310.659 6.371Octahedral—4.236.8506.0606.00911.0696.659由图2(b)和图2(c)可以看出, 原始势函数曲线(文献[2])在近距离处表现出吸引行为, 文献[21]通过在小于第一近邻范围叠加一项B (b 0–r ij )3exp(–a r ij )函数来增加排斥力, 修正了这种偏软现象, 其中B , b 0, a 为势参数; 文献[22]通过对比分析由原子间势计算的力和实验数据之间的差别, 在小于第一近邻范围叠加了一项K (r 1e –r ij )n 函数, 修正了原函数在近距离偏软的现象, 其中K 和n 为势参数.我们知道, 从能量对距离的导数可以获得力,从曲线形状来看, 能量曲线的斜率越大, 排斥力越大. 从数学上考虑, 对于函数(x 0 – x )n 来说, x < x 0时, 随着n 的增加, 曲线的斜率将越来越大, 因此,通过几项幂函数的迭加形成的多项式可以获得比较满意的曲线形式. 由于近距离处的原子之间相互作用对间隙能的影响较大, 因此本文将间隙形成能作为目标值, 通过调整多项式的幂次及系数, 最终得到(34)式的修正项, 使用获得的加修正项的Nb 势函数计算的间隙形成能接近理论计算结果.8 讨 论8.1 函数形式对势函数性能的影响从势函数与晶体性能的关系表达式可以看出,势函数值及势函数的一阶、二阶导数值对材料性能的各个物理量的影响. 如: 从(11) 式、(20)式可以看出对势函数、电子密度函数在第一、二、三近邻处的斜率对压力P 、平衡条件有影响; 从(13)式、(27)式—(30)式可以看出对势函数、电子密度函数、以及多体相互作用项f (r )在第一、二、三近邻处的斜率、曲率对体模量B 及弹性常数有影响; 从(15) 式—(18)式及(21)式可以看出对势函数、电子密度函数, 以及多体相互作用项f (r )在第一、二、三近邻处的值对与能量相关的物理量, 如表面能、空位能等有影响. 比较拟合所得势函数计算的各物理量与实验值或理论值来修正势函数曲线. 如本文中根据间隙能的结果调整对势曲线在近距离的行为, 进而达到修正势函数的目的.本文也尝试以修改势函数曲线形式来考察拟合结果的变化. 原始文献[2]电子密度函数及对势函数形式为为方便讨论, 几种函数形式的截断距离均选取如下形式:2.02.53.03.54.04.55.05.56.00246810121416D e n s i t y /e VDistance/A文献[2]文献[2]扩展本文(a)1.01.52.02.53.03.54.04.55.00510********(b)P a i r p o t e n t i a l /e VDistance/A文献[2]文献[2]扩展本文无修正项本文带修正项1.01.52.02.53.03.54.04.55.00510********(c)E f f e c t i v e p a i r -p o t e n t i a l s /e VDistance/A文献[2]文献[2]扩展本文无修正项本文带修正项图 2 势函数曲线 (a) 电子密度曲线; (b) 对势曲线; (c) 有效对势曲线Fig. 2. Potential function curve: (a) Electron density curve;(b) potential curve; (c) effective pair potential curve.使用不同形式的电子密度函数及对势函数形式利用表2中的实验数据拟合获得的势函数参数见表6.E fv 由表6可以看出, 前3组数据的拟合参数不同, 是因为函数形式不同. 后3组的势参数完全相同, 是由于本文在拟合势参数时使用的拟合数据a ,B , E g 100及 都是平衡态下的数据, 这些数据只与平衡态下曲线在第一、二、三近邻处的值、斜率及曲率有关, 而后三组势函数只对小于第一近邻部分的曲线进行修正, 这种修正并没有改变曲线在第一、二、三近邻处的值、斜率及曲率, 因此拟合获得的势函数参数没有改变. 也就是说, 当使用平衡态下的数据作为拟合数据时, 调整势函数曲线只要不改变曲线在各个近邻处的值、斜率及曲率, 拟合的势参数就不变.使用获得的各个势函数计算表1中的晶格常数、表面能、空位能及体模量在均方差范围内与实验数据一致. 除拟合数据之外的各物理量的计算结果见表7.从表7可以看出, 第1列数据与表4的弹性常数及表5的间隙形成的计算值相差悬殊, 特别是C'出现了负值的情况, 表明原始的势函数形式不适合于扩展到第三近邻. 第2列数据修改了原始的对势函数, 将四次多项式修改为六次多项式, 保持电子密度为原始函数形式, 结果有所改善, 但与实验值相比仍然相差很大. 第3列为本文提出的函数形式, 将电子密度修改为四次幂的形式, 将对势修改为六次多项式的形式, 弹性常数的结果有了明显的改善, 但是间隙形成能的结果仍然远高于实验值.第4列和第5列数据为分别使用(33)式和(34)式对本文的对势函数进行了修正, 也就是对小于第一近邻部分的对势曲线进行了软化, 结果表明对弹性常数几乎没有影响, 原因与前述对势参数的影响相同, 本文这种对对势函数在近距离处的软化处理并没有改变对势曲线在第一、二、三近邻处的值、斜率及曲率, 而平衡态下的弹性常数只受平衡态下原子间势函数在各个近邻的值、斜率及曲率的影响,因此这种修正对弹性常数的计算结果没有影响.第4列数据的间隙形成能与前3列数据相比明显降低, 而第五列数据为根据间隙能的实验结果对本文的对势函数进行的进一步修正的结果, 可以看出间隙形成能稍高于实验数据, 这是可以理解的, 因为本文计算的间隙能是未弛豫的. 表明本文的这种软化修正影响间隙能的结果. 这是由于间隙原子与表 6 不同函数形式的势参数Table 6. Potential parameters of different functional forms.函数形式(35), (36)式(35), (6)式(5), (6)式(5), (32), (33)式(5), (32), (34)式c 0–20.2072–14.05430.2621980.2621980.262198c 115.468311.0332–0.138974–0.138974–0.138974c 2–2.81702–2.043510.01844610.01844610.0184461A1.287100.6369660.6362190.6362190.636219表 7 不同函数形式的各物理量计算结果Table 7. Calculation results of each physical quantity in different function forms.函数形式(35), (36)式(35), (6)式(5), (6)式(5), (32), (33)式(5), (32), (34)式C 118.19854 2.05366 2.34302 2.34302 2.34302C 12–2.88593 1.53817 1.39349 1.39349 1.39349C′5.542350.2577450.4747670.4747670.474767C 44–3.20776 1.213740.566640.566640.56664P c 0.1609150.1622170.4134240.4134240.413424Octahedral –75.925614.543211.06937.99096.65925Tetrahedral–80.061613.922310.65937.53737 6.37076⟨111⟩crow –89.914020.932015.487111.0992 6.97688⟨100⟩ dum –947.48615.225013.84399.570217.61644⟨110⟩ dum –954.052 5.001807.14750 4.56348 4.42502⟨111⟩dum72.300417.923910.74908.124067.77466近邻原子的距离往往小于bcc结构的第一近邻, 而近距离排斥力大, 表明晶体比较硬, 这时向晶体中放入一个间隙原子将需要大的能量; 当排斥力减小时, 表明晶体变软, 这时向晶体中放入一个间隙原子所需要的能量将减小, 因此间隙能降低.8.2 截断距离对势函数性能的影响d=√2a+0.5(√112a−√2a)为了考察截断距离对势函数性能的影响, 本文使用修正后的势函数形式即(5)式, (32)式和(34)式, 计算不同截断距离下各物理量的变化. 先保持电子密度函数的截断距离不变, 选择不同的对势截断距离, 分别拟合势函数, 再利用所得的势函数计算材料的各种物理量, 对势函数的截断距离形式为:当x分别取0.55, 0.7, 0.80时, 各种物理量的计算结果如表8所示.表 8 不同对势截断距离下的各物理量计算结果Table 8. Calculation results of each physical quantity under different pair potential cutoff distance.截断距离x = 0.55x = 0.70x = 0.80均方差 1.9669 × 10–7 1.3307 × 10–7 6.6345 × 10–8B 1.06741 1.06742 1.06742γ1000.1281590.128080.12808E f v 2.63998 2.63999 2.63999E C7.577.577.57C11 2.33551 2.34081 2.34302C12 1.39724 1.3946 1.39349C′0.4691370.4731050.474767C440.5703920.5677490.56664P c0.4134240.4134240.413424 Octahedral 6.93421 6.76073 6.65925Tetrahedral 6.62507 6.46365 6.37076⟨111⟩ crow7.451717.15594 6.97688⟨100⟩ dum8.308977.900987.61644⟨110⟩ dum 4.80878 4.59369 4.42502⟨111⟩ dum8.067177.897047.77466表8中前4行数据为拟合数据, 在均方差范围内与实验结果一致. 第5—9行为与力学性质相关的数据, 几种截断距离下, 结果差别不明显. 后6行数据为间隙能的计算结果, 可以看出, 间隙形成能变化不明显, 但x = 0.8时的均方差最小.c=√2a+0.80(√112a−√2a)随后, 本文先保持对势函数的截断距离不变, 选择不同的电子密度函数的截断距离, 分别拟合势函数, 再利用所得的势函数计算材料的各种性能, 电子密度函数的截断距离形式为当y分别取0.45, 0.50, 0.60时, 各种物理量的计算结果如表9所示.从表9可以看出, 前4行数据为拟合数据, 在均方差范围内与实验结果一致, 其余弹性常数及间隙形成能的结果均变化不大, 在本文的情况下, 电子密度的截断距离对势函数的性能影响不大. 本文的截断方式没有改变曲线在各个近邻处的值、斜率及曲率, 并且本文没有计算晶体被压缩和拉伸等情况, 由于在各个近邻原子范围内没有出现原子数的变化, 因此截断方式对计算结果几乎没有影响. 但是如果采取其他方式对函数进行截断, 如(9)式的形式, 则不同的截断距离对曲线的斜率和曲率有影响, 进而对各物理量的结果将会产生影响. 另外,如果计算拉伸等体积或形状有变化的情况, 如果截表 9 不同电子密度截断距离下的各物理量计算结果Table 9. Calculation results of each physical quan-tity under different electron density cutoff distance.截断距离y = 0.45y = 0.50y = 0.60均方差 1.57065 × 10–76.6345 × 10–81.08929 × 10–10B 1.06742 1.06742 1.06742γ1000.1281110.128080.127726E f v 2.63999 2.63999 2.64000E C7.577.577.57C11 2.35341 2.34302 2.32299C12 1.38830 1.39349 1.40351c′0.4825550.4747670.45974C440.5335680.566640.627336P c0.4273660.4134240.388087 Octahedral 6.42699 6.659257.07134Tetrahedral 6.14925 6.37076 6.76314⟨111⟩ crow 6.63230 6.976887.59196⟨100⟩ dum7.508747.616447.80542⟨110⟩ dum 4.53049 4.42502 4.23158111 dum7.288967.774669.07468断距离使相同近邻原子内的原子数发生变化时, 对计算结果也将产生影响, 为此进行这类计算时, 截断距离的选取需要慎重.9 结 论本文从文献[2]的FS 势出发, 将原子间的相互作用扩展到第三近邻,构造了过渡金属Nb 的原子间势，并较详细地叙述了开发原子间势的方法.研究了势函数曲线形式对晶体性质的影响, 同时研究了函数形式、截断距离的选择对材料性质的描述及势函数质量的影响. 得到如下结论.1) 原始的FS 势函数形式不适合原子间相互作用扩展到第三近邻. 经过分析及尝试发现, 修正电子密度函数为四次幂的形式, 对势函数形式为六次多项式的形式时, 原子间势能较好地描述原子间的相互作用.2)以间隙形成能的结果作为目标值修正了对势函数在近距离的行为, 修正后的势函数给出了接近DFT 计算结果的间隙形成能.3)当使用平衡态下的物理量作为拟合数据时,调整势函数曲线形式, 只要不改变函数曲线在各个近邻处的函数值、函数斜率及曲率, 对拟合的势参数没有影响, 对于弹性常数的结果也没有影响, 改变近距离处曲线的形状影响间隙能的大小.4)在本文的截断方式下, 改变截断距离对势参数和晶体性能的计算结果均没有太大影响.附录A 立方晶体剪切模量与原子间势的关系r i =√x 2i +y 2i +z 2i 晶体中任意一点(x i , y i , z i )距原点的距离为 .对于C 44, 晶体中任意一点(x i , y i , z i )的弹性位移为d x i =e 12y i , d y i = e 12 x i , d z i =0, 由于应变分量是小量, 故:C ′对于 , 晶体中任意一点((x i , y i , z i )的弹性位移为d x i = e 11x i , d y i = – e 11y i , d z i = 0, 由于应变分量是小量, 故。
弹性模量定义与公式-弹性模量计算公式单位
弹性模量开放分类：基本物理概念工程力学物理学自然科学弹性模量”的一般定义是：应力除以应变，即弹性变形区的应力一应变曲线的斜率：其中入是弹性模量，【stress应力】是引起受力区变形的力，【strain应变】是应力引起的变化与物体原始状态的比，通俗的讲对弹性体施加一个外界作用，弹性体会发生形状的改变称为应变”材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即胡克定律），其比例系数称为弹性模量。
弹性模量的单位是达因每平方厘米。
弹性模量”是描述物质弹性的一个物理量，是一个总称，包括杨氏模量”、剪切模量”、体积模量”等。
所以，弹性模量”和体积模量” 是包含关系。
编辑摘要基本信息编辑信息模块中文名：弹性模量其他外文名：Elastic Modulus 定义：应力除以应变类型：定律目录•1定义•2线应变•3体积应变•4意义•5说明•6单位指标定义/弹性模量编辑弹性模量modulusofelasticity ，又称弹性系数，杨氏模量。
弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质。
是物体变形难易程度的表征。
用E表示。
定义为理想材料在小形变时应力与相应的应变之比。
根据不同的受力情况，分别有相应的拉伸弹性模量（杨氏模量）、剪切弹性模量（刚性模量）、体积弹性模量等。
它是一个材料常数，表征材料抵抗弹性变形的能力，其数值大小反映该材料弹性变形的难易程度。
对一般材料而言，该值比较稳定，但就高聚物而言则对温度和加载速率等条件的依赖性较明显。
对于有些材料在弹性范围内应力-应变曲线不符合直线关系的，则可根据需要可以取切线弹性模量、割线弹性模量等人为定义的办法来代替它的弹性模量值。
线应变/弹性模量编辑U ftUWKAK神时的力学11险炉1牛WHi)UK ：ul9 fT /；4Ci「內1t静•统14c. —it.Mtttti6 - ttW*弹性模量图册对一根细杆施加一个拉力F,这个拉力除以杆的截面积S,称为“线应力”，杆的伸长量dL除以原长L,称为“线应变”。
弹性模量计算公式
弹性模量计算公式弹性模量是描述物体弹性程度的物理量，是力学问题中比较重要的参数，它代表物体在外力作用下变形的程度。
下面介绍弹性模量的计算公式：一、快速计算弹性模量1.将物体的密度ρ、质量m和体积V代入：E＝ρ·V/m2.利用体积V和质量m估算：E＝3·m/V3.用物理常数γ和材料材质P代入：E＝γ·P二、实验测量弹性模量1.弹簧法根据弹簧定律：F＝k·x，这里F为外力作用在弹簧上的力，x为弹簧收缩长度，k为模量，利用外力、变形量、弹簧长度和质量等参数代入上式计算即可得出模量。
2.悬臂梁法憋臂梁法是指用重力的作用和材料的抗弯刚度截断力矩的斜梁运动原理，测量悬臂梁断膜变形时候的外力，由此而得到模量。
3.活塞水准法活塞水准法指用水平分量和垂直分量的比例来决定模量，对模量的数值进行大量记录来获取精准的结果，计算方式如下：E＝P_h/P_v4.乒乓法乒乓法指定义一物体在一角度跳跃变形的叫乒乓性能，包括有模量、动摩擦系数Mk/Md、耗散系数Qm、单摆时间T_m和扰动增量的计算，乒乓法是测量材料的弹性模量的传统方法，估算的结果可用于后面的更准确测量。
5.多模态分析法多模态分析法是一种更加精确的计算方法，可以从振动频率和振型等信息直观地计算出材料的弹性模量，这种方法可以加快测量流程，并提高测量精度。
总之，以上所提到的弹性模量计算公式包括快速计算法和实验测量法，快速计算法包含将物体的密度、质量和体积代入、利用体积和质量估算及用物理常数和材料材质代入三种方式；实验测量包括弹簧法、悬臂梁法、活塞水准法、乒乓法和多模态分析法五种方式。
由此可见，弹性模量的计算方式十分复杂，其最终精准度有赖于实验室仪器和仪器精度的共同作用。
(完整版)中科大-Materials-Studio-弹性常数计算
在 菜 单 栏 中 选 择 File/
Import
，
从
structures/semiconductors 中
选 中 BN.msi ， 按 Import 按 钮 ，
输入BN的晶体结构，见右图。
为了节省计算时间，由
Build / Symmetry /
Primitive Cell将此
conventional representation
n代表当前的应变振幅。
仅取一种应 变模式
CASTEP可以使用这些结果来分析每一个运行计算出来的压力张量，产生
一个有关弹性性质的文件。
从工具栏中选择CASTEP
工具，然后选择Analysis或者从菜单栏
中选择Modules | CASTEP | Analysis。
从属性清单中选择Elastic constants，从BN 的弹性常数计算工作中得到的结果文件BN.castep应 自动显示在Results file选框中。按下Calculate按 钮。计算结束后产生一个新的文档BN Elastic Constants.txt。
按下more按钮，选中Optimize cell。 关闭CASTEP Geometry Optimization对话 框。
选 择 Electronic 标 签 ， 按 下 More... 按 钮 以 得 到 CASTEP Electronic Options 对 话 框 。 把 Derived grid 的 设 置 从 Standard 改 为 Fine 。 关 闭 CASTEP Electronic Options对话框。
结构计算出Cij数据。尽管如此，如果我们完成晶胞的几何优化，可以获得
更多相容的结果，进而计算与理论基态对应的弹性常数。
弹性材料的弹性常数计算
弹性材料的弹性常数计算弹性常数是描述材料在受力时的弹性性质的物理参数。
在弹性力学中，常用的弹性常数有弹性模量、泊松比和剪切模量等。
本文将介绍如何计算弹性材料的弹性常数。
一、弹性模量的计算弹性模量是衡量材料抵抗形变的能力的物理量。
常见的弹性模量有杨氏模量、体积模量和剪切模量。
1. 杨氏模量杨氏模量（Young's modulus）是描述材料在拉伸或压缩过程中的弹性性质的重要参数。
它定义为单位截面积上的拉应力与相应的拉应变之比。
计算公式为：E = (F/A) / (ΔL/L0)其中，E为杨氏模量，F为施加在材料上的力，A为材料的初始横截面积，ΔL为材料的长度变化，L0为材料的初始长度。
2. 体积模量体积模量（Bulk modulus）是描述材料在受到体积变化时的抵抗能力的参数。
它定义为单位体积的压力增量与相应的体积变化之比。
计算公式为：K = -ΔV / (V * ΔP)其中，K为体积模量，ΔV为材料的体积变化，V为材料的初始体积，ΔP为施加在材料上的压力增量。
3. 剪切模量剪切模量（Shear modulus）是描述材料抵抗剪切形变的能力的参数。
它定义为单位面积上的剪切应力与相应的剪切应变之比。
计算公式为：G = (F/A) / (Δx / L)其中，G为剪切模量，F为施加在材料上的力，A为材料的初始横截面积，Δx为材料的横向位移，L为材料的初始长度。
二、泊松比的计算泊松比（Poisson's ratio）是描述材料在拉伸或压缩过程中横向收缩或膨胀的程度的物理量。
它定义为横向应变与纵向应变之比。
计算公式为：ν = -Δd / (d0 * ΔL/L0)其中，ν为泊松比，Δd为材料的横向位移，d0为材料的初始横向尺寸，ΔL为材料的长度变化，L0为材料的初始长度。
根据以上的计算公式，可以通过适当的实验测量或者模拟计算来得到材料的弹性常数。
不同类型的材料在相同应变情况下具有不同的弹性常数，这些值对材料的使用和设计具有重要的指导意义。
vasp计算弹性常数
vasp计算弹性常数
弹性常数（elasticmodulus）是材料力学中最重要的物理量之一，它表征材料的刚性程度。
它是描述材料弹性性质的唯一参数，也是物理化学中最常用的概念之一。
现在，它已成为材料设计和模拟的研究实验。
VASP（Vienna Ab initio Simulation Package）是一种非凡的
计算机软件，它可用于从原子层面来预测材料的性能。
其优点在于它可以有效计算和模拟态密度和势能，电子结构，以及其他物理性质，如弹性常数。
VASP计算弹性常数具有一定的复杂性。
它首先要求设定计算参数，以确定计算精度和计算极限。
其次，运行VASP软件，确定给定
温度和压力下材料的刚度，然后再根据极限状态或近似状态求取弹性常数。
最后，运行VASP以验证计算结果。
计算弹性常数的最终目的是确定材料的机械性质，以预测材料的整体性能。
这一过程可以利用VASP软件实现，它将原子中的电子结
构转化为材料的结构性质及弹性常数。
此外，VASP的计算速度也有
极大的优势，可以在可接受的时间内完成大量的计算任务，给常规材料设计和模拟计算提供重要的计算支持。
综上所述，VASP可以用来有效计算材料的弹性常数，并且这一
过程有着极大的优势，它可以在可接受的时间内完成大量的计算任务，给常规材料设计和模拟计算提供重要的计算支持。
因此，VASP可以
成为有效的材料设计和模拟工具，可以有效的计算和模拟材料的弹性
常数。
材料力学中的弹性常数计算
材料力学中的弹性常数计算绪论材料力学中，弹性常数是描述物质弹性性质的经典物理学量，它们是通过实验测量得到的，可以用来计算物质在应力下的变形量。
弹性常数的计算在材料科学中具有重要的研究意义，因为它们与物质在各种应力下的响应行为有直接的关系。
在本文中，我们将介绍弹性常数的计算方法，以及如何利用弹性常数计算物质的弹性性质。
第一章弹性常数的定义与分类弹性常数是描述物质在应力下的弹性性质的经典物理学量，包括弹性模量、底材切变模量、泊松比等一系列物理量。
其中，弹性模量是最基本的弹性常数，可以用来描述物质在等应力下的变形量。
底材切变模量可以用来描述物质在剪切应力下的变形量。
泊松比描述了材料在一定应力下沿某一个方向的压缩变形与该方向相互垂直的伸长变形之间的比值。
第二章弹性常数的计算方法弹性常数的计算方法有很多种，其中最常用的方法是基于实验测量的方法与理论计算的方法。
实验测量法：实验测量法是通过实验测量不同应力下物质的变形量来计算弹性常数。
这个方法通常需要在实验室中使用一些特殊的仪器来进行测量。
由于实验测量方法具有一定的误差，所以需要多次测量，求出平均值。
理论计算法：理论计算法是通过数学模型计算弹性常数的数值。
这个方法通常需要利用固体力学理论来进行计算。
这种方法比实验测量法更加精确，但需要考虑很多因素，如晶体结构、原子排列、温度、压力等等。
第三章弹性常数的应用弹性常数的应用在材料科学中是不可避免的。
通过弹性常数的计算，可以得出物质在不同应力下的变形量。
这个知识点对于材料的设计、生产和应用是至关重要的。
例如，在航空航天领域，弹性常数可以被用来计算飞机在飞行过程中的受力情况，以便优化飞机的设计。
在建筑领域，弹性常数可以被用来计算建筑材料在不同应力下的变形量，以确定建筑的稳定性。
结论：综上所述，弹性常数是描述物质弹性性质的经典物理学量，它们是通过实验测量或理论计算得出的。
弹性常数的计算方法有很多种，其中最常用的方法是实验测量法和理论计算法。
实验1测定材料的弹性常数
实验1测定材料的弹性常数实验目的：1.了解材料的弹性常数并掌握它们的测定方法。
2.理解弹性常数与材料机械性能之间的关系。
实验器材：1.弯曲破坏整机2.各种牛顿秤3.截面标尺4.材料样本实验原理：弹性常数是用来描述材料抗弯曲，抗拉伸或者抗压缩能力的参数。
三种弹性常数分别是杨氏模量（E），剪切模量（G）和泊松比（ν）。
用E,g和ν来描述材料的弹性行为非常重要，因为这些参数能够对材料的机械性能和表现进行描述。
弯曲破坏是一种常用的测量材料弹性常数的方法。
通过在样本上施加力，将其弯曲，并测量其变形率（即弯曲角度和样距离之比），可以估计材料的弹性常数。
实验步骤：1.选取材料样本，尺寸为1×1×50cm，保证其光滑表面和规则截面。
2.以悬挂线方式将样本臂重心置于滑轮之上，并确保样本的水平位置。
将各种牛顿测力计以最大的挂重力Fh方式悬挂在物块的中心点上，然后放松试样的初始弯曲。
3.以1cm的间距在样本上测量5个点的竖直位移h，记录这些测量值。
在测量期间，应使试样的弯曲处于最小曲率半径附近。
4.计算样本的平均竖直位移，并记录测力计的重量。
5.更改挂重质量的值为手动测量的每一个参数的输入数值。
6.重复步骤3-5，直到记录到至少3点的位置。
实验记录：1.通过测量值计算竖直变化量。
2.计算粗略的弯曲描述和应力，应力=对应重力/截面积，在配合样本的几何形状时使用记号，使得可以估计材料的弹性常数。
结果和分析：1.将测量出的值带入公式，可以计算出材料的弹性常数。
3.弹性常数与材料的机械性能和表现密切相关。
在设计新材料和工程系统时，了解弹性常数的值非常重要。
4.本实验中用到的牛顿秤是一种用于测量物体质量的器具。
在这种情况下，它被用于测量材料的重量，以估算强度和弹性常数。
结论：本次实验中我们通过使用一种常用的测量材料弹性常数的方法，以评估材料的弹性行为并计算出材料的弹性常数。
通过这种方式可以更好地理解材料的机械性能和表现，并能够在设计新材料和工程系统时更好地预测其性能。
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湖南工业大学课程设计资料袋理学院（系、部）2011 ~ 2012 学年第一学期课程名称计算材料学指导教师雷军辉职称讲师学生姓名余晓燕专业班级应用物理081班学号***********题目计算BN的弹性常数成绩起止日期2011年12月4日～2011年12 月12 日目录清单1湖南工业大学课程设计任务书2011—2012 学年第1 学期理学院学院（系、部）应用物理学专业081 班级课程名称：计算材料学一、设计题目：计算BN的弹性常数指导教师（签字）：年月日系（教研室）主任（签字）：年月日2（计算材料）设计说明书计算BN的弹性常数起止日期：2011 年12月4日至2011 年12月12日学生姓名余晓燕班级081学号***********成绩指导教师(签字)理学院（部）2011年12 月12 日3计算BN的弹性常数背景：近年来，随着材料、物理、计算机和数学等学科的发展，应用计算的方法研究材料的结构、能量和性能已成为一门迅速发展的新兴学科-计算材料学。
这种方法不仅能进行材料的计算模拟，而且能进行材料的计算机设计和相关性能的预测。
随着计算机技术的飞速发展，第一性原理计算的方法在材料的结构和性能等方面的研究已取得了巨大的成功，第一性原理的方法是基于量子力学理论，从电子运动的层次研究材料的结构和相关性能。
目前，CASTEP软件的主要功能是对半导体、非线性光学材料、金属氧化物、玻璃、陶瓷等固体材料，对电子工业、航空航天以及石化、化工等工业领域有着非常重要的战略意义。
对这些材料而言，其电子的结构与性质，以及表面和界面的性质与行为都非常重要。
CASTEP的量子力学方法，为深入了解固体材料的这些性质并进而设计新的材料，提供了强有力的工具。
基于密度泛函平面波赝势方法的CASTEP软件可以对许多体系包括像半导体、陶瓷、金属、矿石、沸石等进行第一性原理量子力学计算。
典型的功能包括研究表面化学、能带结构、态密度、热学性质和光学性质。
它也能够研究体系电荷密度的空间分布和体系波函数。
CASTEP还可以用来计算晶体的弹性模量和相关的机械性能，如泊松系数等。
半导体和其他固体材料的许多性能由电子性质决定，而电子性质又由原子结构决定，特别是缺陷在改变电子结构上的作用对半导体性质尤为重要。
分子模拟，特别是量子物理技术，可用来预测原子和电子结构及分析缺陷对材料性能的影响。
CASTEP能有效的研究存在点缺陷、空位、替代杂质、位错等的半导体和其它材料中的的性能。
除此以外，它还可以被用来计算固体的振动性质，如声子色散关系、声子态密度等。
这些计算结果可以用来分析表面吸附的振动性质，可以解释实验中的振动谱，可以研究在高温高压下的相稳定性等等。
总的来说，它可以实现如下的功能：1.计算体系的总能；2.进行结构优化；3.执行动力学任务：在设置的温度和关联参数下，研究体系中原子的运动行为；4.计算周期体系的弹性常数；5.化学反应的过度态搜索。
除此之外，计算一些晶体的性质，如能带结构、态密度、声子色散关系、声子态密度、光学性质、应力等。
下面介绍一下密度泛函理论、交换关联泛函近似、赝势方法和K-S方程迭代解法。
一、基础理论：41. Hohenberg-Kohn 定理和密度泛函理论：密度泛函理论(DFT)是用量子力学的理论求解多电子体系基态能量方法，其核心是用电子密度函数取代波函数作为研究的基本量，由Hohenberg 和Kohn 在1964 年创建[1,2]。
根据量子力量的相关知识，大量电子和原子核相互作用的多粒子体系，在非相对论前提下，系统粒子运动的波函数可以由以下定态薛定谔方程来描述：(1-1) 哈密顿量仅考虑电子-电子作用、电子-原子核作用、原子核-原子核作用以及各个粒子的动能，对其它外场的情况可忽略。
因此其哈密顿量可以写成如下形式：(1-2) 其中，(1-3)(1-4)(1-5)对于上述方程，是无法直接求解的，必须对多粒子系统的电子能级计算采用一些简化和近似。
在实际的多粒子体系中，原子核的质量远远大约电子，但是运动速度比电子小的多。
因此考虑粒子运动时，将原子核的运动和电子的运动分开，考虑核的运动时忽略其电子分布，考虑电子运动时假定原子核处于相对静止的状态，这就是绝热近似[3]。
通过近似，可以独立的处理原子核运动和电子的运动，因此可以将薛定谔方程写成电子运动方程和原子核运动方程。
其电子运动方程是：(1-6) 原子核的运动方程：(1-7) 通过绝热近似，得到了多电子的薛定谔方程，但不能实际求解，要求解上述方程，必须将多电子问题简化为单电子问题。
单电子近似理论的源于H.Thomas 和E.Fermi 在1927 年的工作，就是用粒子数密度表示多粒子的基态系统的能量。
P.Hohenberg 和W.Kohn 根据的均匀电子气的理论提出著名的Hohenberg-Kohn 定理[1]，这个定理包含如下内容：不计自旋的情况下，将粒子数密度函数表示成全同费米子系统的基态能量的唯一泛函；在粒子数不变的情况下，能量泛函对正确的粒子数密度取等于基态能量的极小值。
因此，对于基态非间并多粒子系统，不考虑自旋的条件下，其哈密顿算符为5(1-8)式(1-8)中，外场作用看成原子核-电子作用，相同的局域势对外场的作用用表示。
对于给定的外场，多电子系统的能量表示成电子数密度的泛函为：(1-9)(1-10)(1-11)(1-12)式中，包括体系中电子之间的相互作用能和电子的动能，是外场对电子的作用能，是系统中原子核间的排斥能。
在式(1-10)中，前两项表示无相互作用粒子模型的动能和库仑排斥能，复杂的电子相互作用用交换关联能表示。
根据Hohenberg-Kohn 定理，假设能得到能量泛函E(ρ )，然后就能将电子数密度ρ 变分，就能确定系统的基态和基态所有的性质，因此确定E(ρ )成为问题的关键所在，而要确定能量泛函E(ρ )，必须要确定动能泛函T[ρ ]、电子数密度 以及交换关联泛函。
为了解决上述问题，W.Kohn 和L.J.Sham 提出了如下假设：假定已知无相互作用的电子系统和未知的有相互作用的电子系统密度函数相同，未知的相互作用电子系统的动能泛函T[ρ ]可用已知的无相互作用电子系统的动能泛函来代替；假定密度函数 用N 个单电子波函数构成，于是有：(1-13)则(1-14)对能量泛函进行变分得到6(1-15)(1-16)式(1-13)、(1-15)和(1-16)就是Kohn-Sham 方程。
这个方程的核心就是有相互作用动能泛函能否用未知的无相互作用的动能泛函来代替。
而将所有复杂问题都归入中，所以求解Kohn-Sham 方程的关键是找到准确的，这样密度泛函理论精确求解量子多体问题的中心是构造交换关联泛函。
2．交换关联能近似：根据密度泛函理论，能将多电子的基态特性问题转化成等效的单电子问题，而其它所有复杂问题都归结到交换关联能泛函，但是交换关联泛函是未知的。
因此得到可靠并准确的交换关联，成为求解Kohn-Sham 方程的关键。
W.kohn 和L.J.Sham 提出了交换关联泛函局域密度近似(LDA，Local Density Approximation)，其基本思想是：在局域密度近似中，利用均匀电子气密度函数来获得非均匀电子气密度泛函。
对变化平缓的密度函数，非均匀交换关联能密度用均匀电子气代替，则可表示为：(1-17)相应的局域交换关联势可以表示为：(1-18)局域密度近似虽然在大多数的材料计算中显示出巨大的成功，但是由于点r处的交换关联作用仅依赖于点r处的近邻和近邻的电荷密度，因此，对于与均匀电子气或空间变化缓慢的电子气相差太远的体统，LDA 不适用。
因此，人们对局域密度近似应用多种方法进行修正，应用较广的是广义梯度近似(GGA)，其泛函与局域密度和密度梯度都有关[4]，因此能更好的描述真实体系的电子密度的不匀性，其交换关联能密度泛函 可表示为(1-19)目前，在交换关联泛函GGA 的构建上有两个方向，一个是Becke 为首的，这类7泛函包含若干个实验参数，这些参数通过计算和实验数据来获得，这种形式的好坏由实践的工作所决定的。
另一个是Perdew-Wang 91 的，这类泛函以物理规律为基础，不包含实验参数。
随着研究的不断深入，不仅出现了非局域的相互作用交换关联泛函，还有密度高阶梯度的近似交换关联泛函，如Vaner Wals 和Meta-GGA 等。
GGA 和LDA 相比在能量精确度和开放体系方面更有优势。
3. 赝势法：在晶体的近自由电子能带计算中，计算量大而且收敛速度慢。
对于固体而言，价电子的化学性质活泼，对于结构和性质的影响较大，而内层电子的能带较窄，较稳定，而且相邻原子的作用对内层电子的状态影响较小。
因此，人们关注的是价电子，将原子核和内层电子近似看出粒子实。
对于固体中的价电子波函数而言，在离子实的内部区域，变化剧烈，存在若干个节点；而在离子实之间的区域，变化平缓。
离子实内部的这一特点要求价电子波函数与内层电子波函数正交，而价电子与内层电子波函数正交起了一种排斥势的作用，在很大程度抵消了离子实内部V(r )的吸引作用。
据此，离子实内部的势函数用假想势代替，在离子实之间的区域波函数和电子的能量本征值保持不变的条件下求解固体单电子波函数方程，假想的势叫赝势，用赝势求出的波函数叫赝势波函数。
对于多原子固体而言，根据波函数的不同特征坐标空间被分成c r 以内的原子核区域(芯区)和以外的其它区域两部分(假定存在某个截断距离c r )。
芯区(r< c r )其波函数与紧邻原子波函数相互作用很小，赝势和赝势波函数变化缓慢，比较平坦；芯区外(r> c r )价电子波函数相互交叠作用，和真实的势和波函数相比，其形状和幅度都一样。
目前，除了经验赝势、半经验的模型赝势外，还有没有附加经验参数的第一性原理从头算原子赝势，包括模守恒赝势(norm-conserving potentials NCP)、超软赝势方法(ultra-soft pseudo-potentials，USPP)[5]5.分子轨道的自洽求解：(1)分子轨道的自洽场方程：密度泛函理论是基于Hohenberg--Kohn定理，该定理表明体系基态的性质由电荷密度决定，体系的总能量是电荷密度ρ的函数。
总能Et可以表达为：(1-20)T[ρ]是密度为ρ的电子的动能，U[ρ]是经典的库仑相互作用静电能，Exc[ρ]包括了多体相互作用对总能的贡献，其中交换-关联能是主要的部分。
我们从波函数Ψ来构造电荷密度。
对于波函数Ψ可以写成具有反对称性单?粒子波函数（分子轨道）的Slater行列式：(1-21) 当分子轨道是正交时，即(1-22) 电荷密度可表示为：(1-23) 8由总能的表达式和电荷密度的表达式，动能项（原子单位）可表示为：(1-24) 库仑相互作用项为：(1-25) 方程中表示原子核的带电量，表示电子与核的吸引作用, 表示电子与电子的排斥作用，表示核与核的排斥作用。