第i段载流直导线在O点的磁感强度为

I
I
l
d1
O
dx x
d2
解：在矩形平面上取一矩形面元dS=ldx，如图所示，
载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为
d

B dS

0I
ldx
2x
矩形平面的总磁通量：
d2 0I ldx 0Il ln d2
d1 2x
2 d1
11-13 有一同轴电缆，其尺寸如图所示，两导体 中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可 不考虑。试计算以下各处的磁感强度： (1)r<R1； (2)R1<r<R2； (3)R2<r<R3； (4) r>R3；画出B-r图线。
B
R1 R2 R3
r O
R1 R2 R3
解：同轴电缆到体内的电流均匀分布，其磁场呈轴 对称，取半径为r的同心圆为积分路径，则有

B dS B 2r 0 I
r R1 R1 r R2
B1

dS

B1
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2r

0I R12
r
2

B1

0I 2R12
0 R
4R
磁感强度B的方向由电流的流向根据右手定则确定。
11-8 如图所示，一宽为b的薄金属板，其电流为I，试 求在薄板的平面上，距板的一边为r的点P的磁感强度。
解：在薄金属板所在的平面内，以点P为原点O，作Ox轴， 如下图所示，现将薄金属板分割成宽度为dx的长直线电流， 其电流为dI =Idx/b，该线电流在点P激发的磁感强度
dr

0I 4
11-18 如图所示，一根半径为R 的无限长载流直导体，在导体上 有一半径为R'的圆柱形空腔，其 轴与直导体的轴平行，两轴相距 为d。导体中有电流I沿轴向流过， 并均匀分布在横截面上。试用安 培环路定理求空腔中心的磁感强 度。你能证明空腔中的磁场是均 匀磁场吗？
r

B2 dS B2 2r 0I

B2

0I 2r
R2 r R3

B3

dS

B3

2r
0[I


(r 2 R22 )I (R32 R22 )
]
r R3


B3

0I 2r
R32 r 2 R32 R22
B4 dS B4 2r 0 B4 0
dI I
Px
b
dx
r
B 0I 2r
P
0I ln(1 b)
2r
r
O
dB 0dI 2x
O
r
所有线电流在点P激发的磁场方向均相同，因而点P的磁感强度B为：
B dB rb 0I dx 0I ln r b
r 2bx 2b r
磁感强度的方向垂直纸面向里。
若金属导体板的宽度b<<r，则
2

)]
2
Bi

0I 2r
sin( )
2
Bi的方向垂直纸面向外，n段等长的载流直导线在点
O激发的磁场方向相同，因而点O的磁感强度大小为：
由几何关系r=Rcos(BΔφ/2)n和BΔiφ=2π/n，代入并整理，得
B

nBi

0nI 2R
tg( )
n
(2)当n →∞时,正n边形趋于半径为R的外接圆，由上
磁感强度B(r)的分布曲线如图所示。
11-15 电流I均匀地流过半径为R的圆形长直导线， 试计算单位长度导线内的磁场通过图中所示剖面的磁 通量。
解：由题11-12可得导线内部距轴线为r处的磁感强度
B(r)

0Ir 2R2
;
而dS ldr
单位长度导线内的磁通量为：

R 0
0Ir 2R2
11-4 如图所示，几种载流导线在平面内分布，电 流均为I，它们在点O的磁感强度各为多少？
解: (a)长直电流对点O而言，有Idℓ r=0，因此它在点
O产生的磁场为零，则点O处总的磁感强度为1/4圆弧
电流所激发，故有
B0

0I
8R
方向垂直纸面向外。
(b)将载流导线看作圆电流和长直电流，由叠加原理得
式可得点O的磁感强度B的值为
B lim n
Bi
lim n
0nI 2R
tg( ) lim
n n
0I
2R
1
cos(
)
sin( )
n
( )

0I
2R
nn
11-7 如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导 线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球 面，设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为I，求球 心O处的磁感强度。
解：作截面Oxy与线圈正交，由于导线单层均匀覆盖 在半球面上，沿圆周单位长度的线圈匝数为N/(0.5πR). 现将半球面分割为无数薄圆盘片，则任一薄圆盘片均
可等效为一个圆电流，由于每个薄圆盘片上的电流在 球心O产生的磁感强度方向一致，则球心O的磁感强度 为所有薄圆盘片的磁感强度的总和。
任一薄圆盘片中的电流为：dI IdN 2N Rd I R
任一该圆电流在球心O处激发的磁场为：
dB

0
2

(x2
y2 y2)2/3
dI
(第11 2节例2结论)
球心O处总的磁感强度 B为：B
0
/2
0
2

(x2
y2I y2)2/3

2N
R
Rd
又由于：x R cos，y R sin
B /2 0NI sin2 d 0NI
B0

0I
2R

0I 2R
方向垂直纸面向里。
(c)将载流导线看作1/2圆电流和两段半无限长直电流， 由叠加原理可得
B0

0I
4R

0I 4R

0I 4R

0I
4R

0I 2R
方向垂直纸面向外。
11-5 由导线弯成的n边正多边形，其外接圆半径 为R，假设导线内的电流强度为I.(1)证明中心O处的 磁感强度B为
B 0I ln r b 0I ln(1 b ) 0I [b 1 (b )2 ...]
2b r 2b
r 2b r 2 r
0I 2r
这表明，在b<<r时，可将宽度为b的载流薄金属板 视为载流线。B的分布曲线如上图所示。
11-10 如图所示，载流长直导线的电流为I，试求通 过矩形面积的磁通量。
B 0nI tg( ) 2R n
(2)证明当n →∞时，B等于载流圆环中心的磁感强度.
证: (1)将载流导线 分解成如图所示的n段 等长的载流直导线，根 据磁场的叠加原理，可 求得点O的磁感强度B。
第i段载流直导线 在O点的磁感强度为：
Bi

0I 4r
[cos(
2


2
)
cos(