区间数线性规划及其满意解

n
n
6 6 (1 - Κ) aijx i +
a ijx iΚΦ Κbj + (1 - Κ) λbj
(5)
i= 1
i= 1
证明 若上式成立, 由 len (A ij x i) = aλij x i- aijx i, len (B j ) = λbj - bj 可得:
由定义 3 可知:
n
n
6 6 len
A ij x j + len (B j ) -
aijx i - bj
i= 1
i= 1
n
6 len
A ij x j + len (B j )
i= 1
ΕΚ
n
n
6 6 若 aijx i- bj Ε 0, 则 P
A ijx jΦB j Ε Κ
i= 1
i= 1
n
n
6 6 若 aijx i- bj < 0, 则 P
关系函数 f , 把区间数函数关系问题转化为一般的实函数问题.
首先给出区间数序关系的定义 [ 1 ]
定义 1 A ΦB α ] aΦ b, aλΦ λb,
定义 2 A < B α ] A ΦB 且 A ≠B
定义 3 x ∈X 是 IL P 的有效解, 如果不存在另外一个 x 3 ∈X , 使得
Z (X ) < Z (X 3 )
i= 1
x i Ε 0 i = 1, 2, …, n 此处, C i 及A ij 都是区间数, C i= [ ci, cγi ], A ij = [ a ij , aλij ], 为方便起见, 我们将在区间系数约束条件下决策变
量 X 的可行域记为 8 , 即 X ∈8 , 在上述区间规划的求解方法之前, 首先给出区间数模糊序关系的定义.
x i Ε 0, i = 1, 2, …, n
若仅给定 Κ, 则问题 (1) 转化为 IOL P 问题:
6
系统工程理论与实践
1999 年 4 月
n
6 m ax Z (X ) = Z 3 (x 1, x 2, …, x n) =
(C ix i)
i= 1
n
n
6 6 s. t. (1 - Κ) a ij x i + Κ aijx i Φ Κbj + (1 - Κ) λbj
cix i
i= 1
s. t. X ∈ 8
(2)
n
6 m ax Z 2 (X ) = Z 2 (x 1, x 2, …, x n) =
cix i
i= 1
s. t. X ∈ 8
的每一个 Pareto 最优解都是 IL P (1) 的有效解. 反之亦然.
定理 2 参数线性规划
n
6 m ax Z 3 (X ) = Z 3 (x 1, x 2, …, x n) =
2 区间数运算和区间线性规划
常用的区间数运算规则如下: 对区间数 A = [a, aλ], B = [b, λb ]
A + B = [a + b, aλ + λb ], A - B = [a - b, aλ - λb ],
α 收稿日期: 1997209215
4
系统工程理论与实践
1999 年 4 月
kA = [ka, kaλ] k > 0 kA = [kaλ, ka ] k > 0
一般的区间线性规划问题可以用下述描述:
n
6 m ax Z (X ) = Z (x 1, x 2, …, x n) =
Leabharlann Baidu
C ix i
(1)
i= 1
n
6 s. t.
Z ijx i Φ B j j = 1, 2, …, m
3 区间数的模糊序关系
关于模糊数和区间数的比较, 己有文献就此进行过讨论, 在数学规划问题上, 它们都只适用于对目标
函数进行比较, 我们分别针对目标函数和约束条件规定了不同的模糊数比较方法. 对目标函数, T anaka 曾
定义如下的区间数比较方法, Stefan 则在其基础上给出了一通用定义, 为方便起见, 我们定义了区间数序
(7)
i= 1
i= 1
j = 1, 2, …, m
x i Ε 0, i = 1, 2, …, n
由定理 2, 该问题的解可由求解相应的参数规划问题得到.
若仅给定 Α, 则由 Α, Κ的实际意义, 问题 (1) 可转化为下述关于 Κ的参数规划问题:
n
6 m ax Z 3 (X ) = Z 3 (x 1, x 2, …, x n) =
此外, 有效解的概念与文献[ 1 ]的最优解是等价的, 因为区间线性规划解的形式与多目标规划相同, 因此我
们称之为有效解而不是最优解, 在可行域确定的条件下, 上述问题可转化为一辅助的两目标线性规划问
题:
定理 1 两目标规划问题
n
6 m ax Z 1 (X ) = Z 1 (x 1, x 2, …, x n) =
规划问题:
n
6 m ax Z 3 (X ) = Z 3 (x 1, x 2, …, x n) =
(ci + Α(cγi - ci) ) x i
i= 1
n
n
6 6 s. t. (1 - Κ) aijx i + Κ a ijx i Φ Κbj + (1 - Κ) λbj
(6)
i= 1
i= 1
j = 1, 2, …, m
Abstract T he p ap er p ropo ses a new m ethod fo r the linea r p rogramm ing p rob lem w ith in terva l num ber in the ob jective function and con stra in t condition s sim u ltaneou sly. W ith the concep t of con stra in t sa tisfacto ry degree, the decision m aker can sp ecify differen t degrees fo r the ob jective function and con stra in t condition s, and get a co rresponding sa tisfacto ry so lu tion, the decision p rocess becom es m o re flex ib le w ith the p ropo sed ap 2 p roach. Keywords in terva l num ber; in terva l num ber linea r p rogramm ing; p a ram etric p ro2 gramm ing
为 X Α.
T anaka 仅讨论了区间目标线性规划 ( IOL P) , 下面我们对其方法进行拓展, 考虑到目标函数和约束条
件在规划问题中的不同作用, 首先给出下述定义:
第4期
区间数线性规划及其满意解
5
定义 5 对区间数 A = [a, aλ], B = [b, λb ], 记 len (A ) = aλ- A , len (B ) = λb- b, 则称
(ci + Α(cγi - ci) ) x i
i= 1
n
n
6 6 s. t. (1 - Κ) aijx i + Κ a ijx i Φ Κbj + (1 - Κ) λbj
(8)
i= 1
i= 1
j = 1, 2, …, m
x i Ε 0, i = 1, 2, …, n
同时, 由于随着 Κ的增大, 可行域也越来越小, 因此目标函数值必在[ Z 3 (X 1Α, Z 3 (X 0Α) ]的范围之内.
P (A
ΦB)
=
m ax (0,
len (A ) + len (B ) - m ax (0, len (A ) + len (B )
aλ -
b) )
(4)
为 A ΦB 可能度.
上述定义是针对约束条件对定义 2 的一种推广. 在定义 3 下, P (A ΦB ) 具有下述性质:
1) 若 P (A ΦB ) = P (B ΦA ) , 则 P (A ΦB ) = P (B ΦA ) = 1, 且A = B . 2) 若 aλΦ b, 则 P (A ΦB ) = 1. 3) 若 aλΕ b, 则 P (A ΦB ) = 0.
4 区间线性规划的一种满意解
n
6 定义 5 对区间线性规划 (1) 的任一解 X , 称 P ( A ijx i Φ B j ) 为 X 对约束条件 j 的优化水平. i= 1
由定义可知, 在一定的约束水平 Κ下, 区间数约束条件可转化为一般的实数约束条件, 具体我们有下
述定理:
n
6 定理 3 在约束水平 Κ下, A ijx i Φ B j 可转化为下述确定型约束 i= 1
1 引言
区间线性规划 ( in terva l linea r p rogramm ing IL P) 作为一种柔性数学规划和模糊决策方法, 已有很多人 对此进行过研究, T anaka[4] 和 Rom elfanger[5] 曾讨论目标函数系数为区间数的情况, 因为目标函数的每个 可能解都是一个闭区间, Stefan [1, 3]定义了基于区间数序关系的求解方法, 把原问题转化为求一个两目标决 策问题的 Pa reto 最优解, Tong[2]则考虑了约束系数和目标函数系数均为区间数的情况, 根据其最大限度 不等式和最小限度不等式求出了目标函数解的可能区间, 这个解区间的端点代表了目标函数和约束条件 的两种极端情况. 本文在上述文献的基础上扩展了区间线性规划的求解方法, 在目标函数和约束条件均为 区间数的情况下提出了区间数比较的序关系来衡量解变量对约束条件的满足程度, 不仅可以求出区间线 性规划的每一个有效解, 而且对在不同条件下得到的有效解的意义给予了明确的解释.
4) 对于三个区间数 A , B , C , 若 A ΦB 则
P (A Φ C ) Ε P (B Φ C )
证明略.
由此我们可以得到两个区间数之间的偏序关系, 由性质 1～ 4 可以看出, 区间数比较实际上是实数比
较的延伸和拓广, 性质 2 表示 A 绝对小于 B , 性质 3 则表示A 绝对大于 B.
In terva l N um ber L inea r P rog ramm ing and It s Sa t isfacto ry So lu t ion
DA Q ing li L IU X inw ang
(D ep a rtm en t of M anagem en t Science and Engineering, Sou thea st U n iversity, N an jing 210096)
若 Α, Κ都没有给出, 则可求解下述同时关于 Α, Κ的参数规划问题:
n
6 m ax Z 3 (X ) = Z 3 (x 1, x 2, …, x n) =
(ci + Α(cγi -
i= 1
ci) ) x i
n
n
6 6 s. t. (1 - Κ) aijx i + Κ a ijx i Φ Κbj + (1 - Κ) λbj
A ijx j ΦB j = 1Ε Κ
i= 1
i= 1
n
6 反之, 若 P
A ij x j Φ B j Ε Κ, 同样可证: (5) 式成立.
i= 1
定义 7 目标函数和约束条件的优化水平分别为 Α, Κ的解称为 IL P (1) 的 Α- Κ解, 记为 X ΚΑ.
由上述讨论可知, 给定目标函数和约束条件的优化水平分别为 Α, Κ, IL P (1) 最后可转化为下述的线性
(8)
i= 1
i= 1
j = 1, 2, …, m
x i Ε 0, i = 1, 2, …, n
1999 年 4 月
系统工程理论与实践
第 4 期
区间数线性规划及其满意解α
达庆利 刘新旺
(东南大学管理科学与工程系, 江苏 南京 210096)
摘要 针对目标函数和约束条件均为区间数的线性规划问题, 通过对目标函数和约束条件分别处理, 提出了一种基于模糊约束满意度的求解方法, 把区间线性规划问题转化为确定型的一般参数规划问 题来解决. 决策者可以根据自己的主观判断和客观情况, 对目标函数和约束条件作出不同的估计, 从 而得到在相应情况下的解. 关键词 区间数 区间线性规划 参数规划
(cix i + Α(cγi - ci) ) x i
(3)
i= 1
s. t. X ∈ 8 , Α∈ [ 0, 1 ]
的每一个解都是在 (2) 的 Pareto 最解解.
由此可知, 在不考虑约束条件的情况下, IL P (1) 可转化为一般的参数规划问题.
n
6 定义 4 目标函数 (cix i + Α(cγi - ci) ) x i 的线性规划的解称为原 IL P 问题目标区间的 Α水平解, 记 i= 1