高一数学最简三角方程

合集下载

6.5(1)(2)(3)最简三角方程

解： sin 2 x 2a 1
①当 2a 1 1，即 a 0 或 a 1时，x ；
②当 2a 1 1
(i) a 1时， sin 2 x 1 x k

4
,k Z ;
(ii) a 0时， sin 2 x 1 x k

4
,k Z ;
例2.解关于x的方程 : sin x cos x sin x cos x 1
t 2 1 . ，则 sin x cos x 解：令 sin x cos x t , t 2, 2 2 2 t 1 原方程化为 t 1 t 3 (舍) 或 1 2 2 sin x cos x 1 sin x 4 2 3 x 2 k 或 2 k 4 4 4
一般地, 当 a 1时, x x 2k arccosa, k .
3 例4、求方程tan x 的解集. 3
三角方程 tan x a, a R
x x k arctana, k .
例5.解下列三角方程 1 1sin 2 x ; 3
1 例1、求方程 sin x 的解集 . 2
例2、求方程 3sin(2 x

4
) 1的解集 .
三角方程 sin x a 当 a 1时, 方程无解;
当a 1时, x
x 2k

2
, k Z
. .
.
当a 1时, x
x 2k

2
, k Z
一般地, 当 a 1时, x
k (1) k arcsin a, k
1 例3、求方程 cos x 的解集 . 2

最简三角方程

{ arcsiபைடு நூலகம்(3/4),arcsin(3/4)}
(3). sin2x = 1;
{x|x=k kz}
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
例2 ；求方程sinx=1/2的解集。解：由于sinx=1/2，所以x在第一或第二象限。在（0，）上只有和5是原方程的解，
所以方程sinx=1/2的一切解是: xk 和 x=k kz
用集合为：{x xk , kz}{x| x=k , kz}
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
(4) sinx= 3
2
A= 或
以上问题中的四个等式，实质上是关于A的方程。
也可以写成以下形式： {x|x=kk , kz}.
一般地，方程sinx=a,|a|<1的解集是：
{x|x=k(k arcsina ,kz}
课堂练习：
(1). sinx= 3 , x 解集为：{ }
2
(2). sinx=3/4, x
象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，

反三角函数及最简三角方程.docx

标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝ x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝ x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。

沪教版高一下册数学高一下册教案最简三角方程(2)

6.5最简三角方程（1）一、教学内容分析最简三角方程是三角学的重要内容之一，是三角函数的周期性和反三角函数概念的最直接运用．其学习要求是在理解三角方程意义的基础上，牢固掌握最简三角方程的解集，并会解简单的三角方程．同时，解三角方程需要用到较多的三角、代数知识，这有利于温故而知新，在复习旧知识的基础上，培养综合、灵活运用知识和方法的能力．此外，需要指出的是由于三角函数是周期函数，有无限多个自变量对应于同一函数值，因此三角方程的解集通常是无限集．二、教学目标设计1．理解三角方程解集的概念，掌握最简三角方程sin x a =、cos (1)x a a =≤与tan ()x a a R =∈的解集的一般表示形式．[说明]解三角方程往往最终归结为解最简单的三角方程，因此，必须在理解的基础上，准确、熟练地写出最简三角方程的解集．这是学好三角方程的关键和基础．同时，特别要注意方程：sin (1)x a a =<的解集是{}(1)arcsin ,k x x k a k Z π=+-∈，cos (1)x a a =<的解集是{}2arccos ,x x k a k Z π=±∈．2．会解简单的三角方程（形如sin cos A x B x C +=，2sin sin A x B x C +=，2sin cos A x B x C +=等）．[说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sin x 、cos x 的齐次式；（4）引入辅助角．3．利用单位圆、函数的图像解与三角函数有关的方程问题.三、教学重点及难点．重点：最简三角方程的解集；难点：简单三角方程在指定范围内的解和增根、失根问题．四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入 1．观察问题：关于x 的等式21sin =x ，角x 有无数多个？如何得到满足条件的x 值？因为216sin =π，所以6π=x ．还可以写出哪些满足条件的x 的值？ x=2k (k Z)6ππ+∈（因为根据三角比的定义具有相同终边的角其对应的三角比值相等）还有其它满足条件的x 值吗？有！因为诱导公式2165sin 6sin 6sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ，所以52k (k Z)6x ππ=+∈也满足条件．为了方便，可以选择正弦函数sin y x =,长度为一个周期的区间(],ππ-内,研究1sin 2x =的解．如图所示：在xoy 平面上作直线12y =交正弦函数sin y x =在该区间内于12,P P 两点，则12,P P 的横坐标就是566ππ和，即方程1sin 2x =的解是566x x ππ==和.考虑到函数sin y x =的周期为2π，所以1sin 2x =的通解是122,26x k x k πππ=+=．也可以利用单位圆进行研究．如图所示：在xOy 平面上作直线12y =交单位圆于12,P P 两点，则12,OP OP 就是角566ππ和的终边，也是角x 的终边，可得到1sin 2x =的通解：1252,2()66x k x k k Z ππππ=+=+∈．2．思考既然1sin 2x =的解集是 52,2,66x x k k Z x x k k Z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，那么能否将1sin 2x =的解集写成 (1),6k x x k k Z ππ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭的形式？3．讨论sin ()x a a R =∈的解集:当11a a <->或时，直线y a =与单位圆无交点，因而方程无解；当1a =-时，直线y a =与单位圆有一个交点，所以sin 1x =-的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭；同样,当1a =时，直线y a =与单位圆也有一个交点，sin 1x =的解集是2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；而当11a -<<时，直线y a =与单位圆有两个交点，sin x a =的解集是{}{}2arcsin ,(21)arcsin ,x x k a k Z x x k a k Z ππ=+∈=+-∈,即{}(1)arcsin ,kx x k a k Z π=+-∈．二、学习新课1．概念辨析（1）三角方程的定义：我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，把满足三角方程的所有x 的集合叫做三角方程的解集．（2）最简三角方程的定义：形如sin ,cos ,tan x a x a x a ===的方程叫做最简三角方程．（3）最简三角方程的解集：即已知三角函数值求角，先求出它在一个周期的区间上的解（特解），再根据三角函数的周期性，求出方程的所有解（通解）．最简三角方程的解集，见下表：2．例题分析例1、求下列方程的解集.（1）2cos x =；（2）5sin 0x =；（3）01tan 32=-x . 解（1）将原方程化为cos x =，可得原方程的解集为x |x 2k ,k Z 4禳镲p镲=p 蔽睚镲镲铪．（2）将原方程化为sin x =，可得原方程的解集为：()|1arcsin(k x x k k Z π⎧⎫⎪⎪=+-∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭=()|1arcsin k x x k k Z π⎧⎫⎪⎪=--∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭．（3）将原方程化为 tan x = 可得原方程的解集为x |x k ,k Z 6禳镲p 镲=p 蔽睚镲镲铪．例2、根据下列条件，求方程sin x =. （1）x 为锐角；（2）x 为某三角形内角；（3）x 为第二象限角；（4）x R ∈ 解（1）由题设得3x π=；（2）13x π=，或2233x πππ=-=；（3）22,3x k k Z ππ=+∈；（4）()()11,3kk x k k k Z πππ=+-=+-∈．例3、求方程2cos()1023x π++=的解集．解将原方程化为 21)32cos(-=π+x ，可得)(32232Z k k x ∈π±π=π+，由32232π+π=π+k x ，得 )(324Z k k x ∈π+π=；由32232π-π=π+k x ，得 )(24Z k k x ∈π-π=．所以原方程的解集为},24324|{Z k k x k x x ∈π-π=π+π=或．例4、解方程02sin(515)0()x x --=为锐角．解将原方程化为：0sin(515)x -=，可得000515180(1)60k x k -=⋅+-⋅，即00036(1)123,()k x k k Z =⋅+-⋅+∈．当0k =时，015x =；当1k =时，027x =；当2k =时，087x =．当k 取其他取值所得的x 都不合题意，所以原方程的解集为{}00015,27,87．[说明]求某一区间内方程解的问题，一般应先求出这个方程解的一般表达式，然后根据题设，确定整数k 的取值，得到所求方程在特定区间内的解，否则有可能将符合条件的解遗漏．本题中若将原方程化为：0sin(515)x -=，根据所求解是锐角，把解直写成0051560x -=，解得015x =，就少了两个解．另外本题应使用角度制.例5、解方程sin cos 1x x -=．解一两边平方，整理得sin 20x = ∴ ()2k x k Z π=∈ 经检验，32,2()2x k x k k Z πππ==+∈为增根．原方程的解集为2,(21),2x x k x k k Z πππ⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭．[说明]产生增根的原因是“两边平方”．事实上，所增的根正好是方程sin cos 1x x -=-的根．解二移项得：sin 1cos x x =+ 两边同除以(1cos )x +，得sin 11cos x x =+，即tan 12x=解得24x k ππ=+，∴2,()2x k k Z ππ=+∈．[说明]这里出现失根2,()x k k Z ππ=+∈，正好是除式1cos 0x +=的根．解三引入辅助角，化为sin()4x π-=解得：(1)44kx k πππ-=+-，∴(1),()44kx k k Z πππ=++-∈．原方程的解集为(1),44kx x k k Z πππ⎧⎫=++-∈⎨⎬⎩⎭． [说明]解方程的核心是方程的同解性问题，形成检验的习惯和能力至关重要．3．问题拓展例6、关于x 的方程2cos 1(2cos 1)x k x -=+有实数解,求k 的取值范围．解由原方程得 2cos 12cos x k x k -=+，即 1cos 22k x k+=-．要使方程有解，只需1122k k+≤-．解得133k k ≤≥或．所以k 的取值范围为[)1,3,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦．[说明] 当方程cos (x a a =为常数）有解时，必须满足1a ≤．三、巩固练习1、（口答）求下列方程的解集.（1）sin x =；（2）1cos 3x =；（3）7tan 6x =-．2、求下列方程的解集.（1）sin2x ；（23)42π=． 3、根据下列条件，求下列方程的解集. （1）33tan -=x ，[2,4]x ππ∈-；（2）sin()6x π-=，[0,]x π∈． 4、求方程26sin sin 10[0,2]x x π--=在内的所有实根之和． 5、若x=3π是方程2cos （x+α）=1的解，其中α∈（0，2π），求α的值 . 四、课堂小结本节课的内容是解三角方程，在理解三角方程的基础上，准确、熟练地写出最简三角方程的解集．这是学好三角方程的关键和基础．解三角方程往往最终归结为解最简单的三角方程，确定最简三角方程在指定范围内的解是本节课的难点．五、作业布置略六、教学设计说明本节课直入主题，以问题为驱动，引导学生积极思考，共同探讨，从解方程21sin =x 到解方程sin x a =，从选择正弦函数sin y x =的长度为一个周期内进行研究到利用单位圆研究，问题步步深入，思路逐渐打开．问题情景创设注意面向全体学生，而不是面向少数与个别，使每一个学生积极参与思维活动，既没有超出学生的认识范围，又使学生能够通过探索接受新的知识，使得学生新知识掌握水到渠成．本节课对解简单三角方程作了方法指导，对于同一个三角方程，由于解法不同，得到的解集的形式可能不同，如何检验两个不同形式的解是否等价是关键，并有较大难度的问题拓展，以满足不同层次学生的需求，积极发挥课堂教学的基础型、拓展型和研究型功能，以培养学生的基础性学力、发展性学力和创造性学力。

最简三角方程

k
课堂练习：
(1). sinx=
3 2
, x 解集为：{ } x { arcsin(3/4),arcsin(3/4)} {x|x=k kz}
(2). sinx=3/4, (3). sin2x = 1;
(4). sinx=.

总结：
方程sinx=a,|a|<1的解集是：
{x|x=k( arcsina ,kz}
k
作业： 1. 请同学们思考：方程cosx=a解的一般形式是什么？准备下节课回答； 2. P100.1.（1）.（2）2.（1）.3.（1）
;
/ PS 学堂
vfg床，以迅雷不及掩耳之势收拾好细软，并穿好衣裳，然后就走出屋子。只见傅三已经在门外等着我，我抱歉得走前去说道，“傅大爷，不好意思，让你久等了。”傅三也没说我什么，只是脸色有点凝重。我见状，也不知怎么回事，正准备开口问个情况，傅三先开口道，“傅莲啊，这回要辛苦你了。”我听罢，顿时觉得会有不好的事情将要发生在我身上，果然，傅三继续说道，“是这么一回事，傅家大少奶奶所住的院子里头刚死了一个家丁，听说是积劳成疾突然暴毙的，那个家丁是专为大少爷和大少奶奶干活的，如今他们那里少了一人，便向我这要一个人补回去。也不知怎么地，傅大少奶奶指定要你去她那，这”听到这，我的小心脏不知咋的就停止跳动了，那消息犹如沼气一样让我窒息；全身僵硬不能动弹，脸蛋发白，顿时脚一软坐倒在地。傅三见状，连忙扶我一把，又添话道，“其实你也不用太害怕，虽说大少奶奶脾气不好，但是也不至于无故骂人打人。”不是吧？傅三你在开玩笑吧？那二货可是把别人给活生生弄死了啊，那她还不算是杀人凶手吗？人长得丑就不说了，现在她可是弄死了人啊，这是要我去送死吗？心中一阵狂想。傅三见状，也不知道说些什么，把我扶起来后无奈的说道，“傅莲，有些事情不是你想不做就可以不做的，人啊，就是要学会在逆境中生存，甚至在逆境中锻炼自己。”听到这话，我从惊恐的神情中缓了过了，傅三说得对。这是一个对我的考验，我已经是傅家的家丁了，会遇上一些倒霉事情也是注定的，至于我究竟是不是跟着倒霉那就是看自己的造化了。想到这里，我也就没这么害怕了，于是跟着傅三走去傅大少奶奶的住处。我知道傅三是个老好人，我也不怕说错什么，于是我问道，“傅大爷，其实这个大少奶奶是”没得我问完，傅三就接着我的话说道，“傅家大少奶奶是大少爷傅宗哲的妻子，出阁前原是当今大臣李善的长女李欣丽，她今年也有38岁了，只比大少爷少了2岁。傅大老爷已经辞去朝中职务回家养老，而大少爷则替大老爷继续在朝中为皇上办事，所以他位高权重，在府上除了大老爷，也没人敢议论他什么，这样一来，傅大少奶奶也是仗夫之势，在傅家做起女主人。大少爷和大少奶奶生有一女儿，今年也18了，别看夫人长这样，他们的女儿可漂亮了，像极了我们大少爷”不知怎地，傅三开始扯起了那一房人的家常。也罢，起码我了解了这大房的人物还有他们的地位，得出的结论就是我一丁点儿都惹不起。傅三唠叨完他们家的一些事情后，我们已经来到了傅大少爷的大院子门外。傅三走前对我说道，“傅莲啊，你今后就在这里帮忙干活吧，等做完全部的活并得到大少奶奶的同意，你就可以回去你的房间

最简三角方程

最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。 (1) cosA=1/2 解：A= A=arccos(1/3)
(2) cosA=1/3
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
A= 或
mqx93jop
醉方休哇！但憨子说，不能喝醉了，喝醉了就不知道高兴了！”耿老爹说：“等着哇，给娃娃们办喜事的时候，咱哥仨一定喝他个一醉方休！”董家成说：“好，到时候一定不醉不休！”二壮说：“耿叔，俺爹今儿个实际上已经是半醉了。你看他，都话长了！”妞儿也说：“是啊耿叔，俺娘已经说了，一回去就给他吃几个凉梨儿醒酒呢！”耿老爹笑着说：“不至于，不至于！”随即又问董家成：“家成哥再来家里坐坐？咱哥儿俩接着拉呱！”二壮赶快拉住他爹往家里拽，连声说：“不行不行，俺娘真得说要给俺爹醒酒来着！”那边门里刘氏果真探出头来了，还说：“他叔哇，快叫这醉鬼回家来哇，俺已经给他洗了仨凉梨儿了。他没有酒量，还想逞强！”郭氏笑了，说：“快让家成哥回去哇，要不二壮又要挨他娘的骂了！”耿老爹这才发现，被二壮拽着往家里拉的董家成果真有些脚步不稳了，就对二壮说：“快扶你爹回去哇！”妞儿对站在身旁的耿兰说：“兰兰，你不是要看俺绣的花鞋垫吗？把粉条给婶儿拿回去，你现在就来俺家看哇！”耿兰却说：“明儿个再看哇，俺今儿个想和爹和哥哥姐姐们拉呱去呢！”妞儿拍打一下自己的嘴巴，说：“看俺这嘴，真是！耿叔，婶儿，你们快回去哇，兰兰好不容易盼回爹和哥哥姐姐了，还有这个新哥哥！俺也回去了！”话音刚落，人就已经蹿回那边院门儿里去了。耿老爹笑着说：“这妞儿，还像小时候一样顽皮！”郭氏说：“咱们也回家哇，你们都累了，是应该歇息歇息呢！”尚武一边进院门儿，一边好奇地对耿兰说：“这妞儿说，我是你的新哥哥！”耿兰歪着头说：“她说得没有错，你就是俺的新哥哥啊！”尚武点点头，说：“也是，我就是你的新哥哥！”又转头对正在虚掩院门儿的郭氏说：“义母啊，我想叫我义父和您‘爹’和‘娘’呢！这义父、义母的多不顺口啊。您同意吗？”郭氏说：“怎么会不同意呢，当然同意啦！就和你哥哥姐姐和妹妹一样叫哇！”尚武高兴地说“娘，太好啦！我就喜欢这样叫呢！”耿老爹拍拍尚武的肩膀对妻子说：“这娃儿老早就叫了俺三年多‘爹’了！他叫顺嘴了，俺也听顺耳了！唉，说来话长嘞，等俺以后慢慢和你说哇！”郭氏说：“虽然俺今儿个第一次见这娃儿，可俺打心眼儿里喜欢呢！俺看出来了，你大概是经历了天大的磨难了。不着急的，咱以后慢慢说哇！看到你们都平安地回来了，俺这悬了快十年的心啊，就落到肚子里啦！还有啊，俺还多了这么好的一个老儿子，高兴着呢！”尚武也说“娘猜得对，我爹是经历了天大的磨难呢。不过啊，我爹要是没有经历那些个磨难，娘您就不可能会有我这个老儿子了！”郭氏说：“这大概就是人们常说的‘因祸得福’ 哇，那俺就该好好儿谢谢苍天了！人说苍天有眼，看来还真

高一数学《最简三角方程》教案(上)__1

芯衣州星海市涌泉学校最简三角方程〔2〕一、教学内容分析在掌握最简三角方程的解集根底上，学会解简单的三角方程．利用同角三角比或者者三角比的有关公式将同时含有几个三角函数的方程化为只含有一个角的一个三角函数的方程，然后采用根本的转化方法，将原方程化成简单三角方程求解．有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以三角函数为未知数的一元二次方程的0∆≥，而且要关注此三角函数本身的条件限制．二、教学目的设计1．会解简单的三角方程〔形如sin cos A x B x C+=，2sin sin A x B x C+=，2sin cos A x B x C +=等〕． [说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握根本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其根本的转化方法有：〔1〕化为同角、同名的三角函数；〔2〕因式分解法；〔3〕化为sin x 、cos x 的齐次式；〔4〕引入辅助角．２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题．三、教学重点及难点重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程根本方法与合理选用公式和变换方法；难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论．四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计1．概念辨析三角函数值求角〔实际上是求解最简三角方程〕，要纯熟掌握最简三角方程的解集，并在理解的根底上熟记下表：把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握根本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其根本的转化方法有：〔1〕可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程；〔2〕一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；〔3〕关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。

再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程；〔4〕形如sin cos a x b xc +=的方程，通常是引入辅助角，化原方程为sin()x θ+=1时，方程有解．2．例题分析例1、解方程22sin3cos 0x x +=．解原方程可化为22(1cos )3cos 0x x -+=，即22cos3cos 20x x --=．解这个关于cos x 的二次方程，得cos 2x =，1cos 2x =-．由cos 2x=，得解集为φ；由1cos 2x =-，得解集为22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭．所以原方程的解集为22,3xx k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭． [说明]方程中的2sinx 可化为21cos x -，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当0∆≥时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解．例2、解方程22sincos cos 0x x x x -=．解一因为cos 0x≠〔使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程〕，所以在方程的两边同除以2cos x ，得2tan 10x x -=．解关于tan x 的二次方程，得tan x =tan x =．由tan x=，得解集为,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；由tan x =，得解集为,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭．所以原方程的解集为,,36xx k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或． [说明]假设方程的每一项关于sin cos x x 及的次数都是一样的〔此题都是二次〕,那么这样的方程叫做关于sin cos x x 及的齐次方程．它的解法一般是,先化为只含有未知数的正切函数的三角方程，然后求解．解二降次得1cos 21cos 22022x xx -+--=，2cos 20x x +=．因为cos 20x≠〔使cos 20x =的x 的值不可能满足原方程〕，所以在方程的两边同除以cos 2x ，得tan 2x =由tan 2x=2,3x k k Z ππ=-∈，即,26k x k Z ππ=-∈．所以原方程的解集为,26k xx k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． [说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当k 是偶数2n 时，26k ππ-变成n 6ππ-；当k 是奇数2n+1时，26k ππ-变成n 3ππ+，所以本质上,,36xx k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或与,26k xx k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭是相等的集合．解三降次得1cos 21cos 22022x xx -+--=，2cos 20x x +=，即sin(2)03x π+=，得2,3x k k Z ππ+=∈，即,26k xk Z ππ=-∈．所以原方程的解集为,26k xx k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． [说明]一般说来，对于形如sin cos a x b xc +=的三角方程，可先在方程的两边都除以22a b +，然后引入辅助角，原方程变形为22sin()a bc x θ+=+．当221a bc ≤+时，方程有解．例3、假设方程cos 22sin 10x x m -+-=存在实数解，求m 的取值范围．解一由原方程，得22sin2sin 0x x m +-=，即2sinsin 02mx x +-= 解这个以sin x 为未知数的一元二次方程，因为1sin 1x-≤≤要使方程有解，只需14()021102m m ⎧∆=-⋅-≥⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩解得142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． [说明]有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sin x 为未知数的一元二次方程的0∆≥，而且必须考虑sin x 的值在[]1,1-内．解二由原方程得22sin2sin 0x x m +-=，得22112sin 2sin 2(sin )22mx x x =+=+-因为1sin 1x -≤≤，所以142m -≤≤．所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． [说明]当方程sin (x t t =为常数）有解时，必须满足1t ≤，那么原题就转化为求[]2112(),1,122m t t =+-∈-的最大值、最小值问题．3．问题拓展例4、求方程sin 2cos()xx π=-的解集．解一由原方程得2sin cos cos x x x ⋅=-，得cos 0x=，1sin 2x =-．由cos 0x=，得解集为,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；由1sin 2x=-，得解集为(1),6K x x k k Z ππ⎧⎫=--∈⎨⎬⎩⎭．所以原方程的解集为(1),26Kxx k x k k Z ππππ⎧⎫=+=--∈⎨⎬⎩⎭或．解二由原方程得sin 2cos x x =－，即3sin 2sin()2xx π=+ 得3222x k x ππ=++或者者322()2x k x πππ=+-+，即322x k ππ=+或者者236k x ππ=-，k Z ∈．所以原方程的解集为322,236k xx k x k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或．解三由原方程得sin 2cos x x =－，即cos(2)cos 2x x π+=得222x k x ππ+=+或者者222x k x ππ+=-，即22xk ππ=-或者者236k x ππ=-，k Z ∈．所以原方程的解集为22,236k xx k x k Z ππππ⎧⎫=-=-∈⎨⎬⎩⎭或． [说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合．对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．〔1〕sin sin αβ=，那么2k απβ=+或者者2,k k Zαππβ=+-∈；〔2〕cos cos αβ=，那么2k απβ=+或者者2,k k Z απβ=-∈；〔3〕tan tan αβ=，那么,k k Z απβ=+∈．三、稳固练习1、解以下方程的解集：〔1〕22sin 3cos 30x x +-=；〔2〕28sin5sin 21x x =-．2、关于x 的方程0cos sin 2=++k x x 有实数解,务实数k 的取值范围.3、求方程1cos(sin )2x π=的解集． 4、函数2sin 42cos 2cos 42sin )(2424x x x x x f +-+=，〔1〕化简)(x f ，并求)625(πf ；〔2〕假设πα<<0，0)2()(=+ααf f ，求α．四、课堂小结本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程。

最简三角方程

{x|x=k(k arcsina ,kz}
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。
(1) cosA=1/2
解：A=
(2) cosA=1/3
A=arccos(1/3)
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5) A= 或
以上问题中的四个等式，实质上是关于A的方程。
bbin www.bbin.icu bbin
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
Байду номын сангаас
怪的花灯天憨味在奇妙的空气中飘忽……接着扁圆的蒜瓣鼻子闪眼间转化颤动起来……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出亮青色的缕缕美云……浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛跃出深橙色的隐约幽热！紧接着像紫红色的金毛雪原狮一样长嘘了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了八十只犹如狮子似的亮红色手掌。最后扭起奇如熨斗的手掌一叫，狂傲地从里面涌出一道怪影，她抓住怪影变态地一颤，一样黄澄澄、绿莹莹的法宝¤天虹娃娃笔→便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边蜕变，一边发出“啾啾”的疑声……突然间壮扭公主发疯般地让自己结实丰满、有着无穷青春热情的胸部萦绕出青兰花色的布条声，只见她睡意朦胧的眼睛中，飘然射出二十组抖舞着¤飞轮切月斧→的牙齿状的豆包，随着壮扭公主的甩动，牙齿状的豆包像牛屎一样在双肩上怪异地安排出缕缕光幕……紧接着壮扭公主又连续使出八百七十六派荡驴帆船望，只见她浑圆饱满、力如河马般的霸蛮屁股中，突然弹出四十簇颤舞着¤飞轮切月斧→的铜钱状的脸皮，随着壮扭公主的颤动，铜钱状的脸皮像炸鸡一样，朝着Ｌ．崴敕柯忍者奇特的灰蓝色闪电般的手指神扫过去！紧跟着壮扭公主也滚耍着法宝像吹筒般的怪影一样朝Ｌ．崴敕柯忍者神砸过去随着两条怪异光影的猛烈碰撞，半空顿时出现一道墨紫色的闪光，地面变成了暗黄色、景物变成了紫红色、天空变成了墨蓝色、四周发出了虚幻的巨响…… 壮扭公主刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｌ．崴敕柯忍者笨拙的纯红色马鞍般的眼睛，此时正惨碎成钉子样的深绿色飞灰，高速射向远方Ｌ．崴敕柯忍者狂骂着狂魔般地跳出界外，加速将笨拙的纯红色马鞍般的眼睛复原，但元气已受损伤劈壮扭公主：“哈哈！这位干部的想法很是典雅哦！稍有复杂性呢！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我要让你们知道什么是奇妙派！什么是迷离流！什么是新奇恶搞风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么剧本都弄出来瞧瞧！”Ｌ．崴敕柯忍者：“嘧呱！我让你享受一下『蓝光彩神地灯仙诀』的厉害！”Ｌ．搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招式！接着丰盈的浅橙色犀牛一样的眼罩立刻弹出凹彩地狱色的杨露牛舞味……怪异的舌头喷出死鬼影摇声和哈呵声……有根羽毛的外套朦朦胧胧窜出明隐星光般的闪动。紧接着旋动粗犷的土黄色菜叶般的鼻子一叫，露出一副惊人的神色，接着抖动短小的火橙色彩蛋造型的脖子，像纯蓝色的千舌沙

最简三角方程

修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史）提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
象这样含有未知数的三角函数方程叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，
这三种形式的方程叫做最简三角方程。
；单创:https:///article/20190920/925754.shtml ；
该题分层赋分（1）不存在关联。第一层：理解肤浅，只是笼统地说二者无关系。示例一：父女的善良和文字的力量是两回事。实例现代文阅读训练题及答案圆明园 ? 阅读下面文章，完成文后问题。 ①一直以为，圆明园是哭泣的。英法联军蹂躏着她的肌体，摧毁着她的骨骼，冲
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文

高一数学三角函数知识整理

⾼⼀数学三⾓函数知识整理⾼⼀数学三⾓函数知识整理⼀、正弦函数图像函数y=sin x 的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性 1、函数y=sin x 的定义域是R ，值域为[-1，1] 2、当x ∈{x| x=22 k ππ+,k ∈Z}时，y 有最⼤值为1，当x ∈{x|x=322k ππ+,k ∈Z}时，y 有最⼩值为-13、函数y=sin x 的图像关于原点对称是奇函数，可以根据sin(-x)=-sinx 证明。

对称中⼼为（k π，0）对称轴为x=k π+2π(k ∈Z)。

4、在[22k ππ-，22k ππ+]k ∈Z 上单调递增，在[22k ππ+，322k ππ+]k∈Z 上单调递减。

5、函数y=sin x 的周期为2k π（k ∈Z 且k ≠0），最⼩正周期为2π注意有界性：sin 1x ≤ ⼆、余弦函数图像函数y=cosx 的定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性 1、函数y=cos x 的定义域是实数集R ，值域是[-1，1]2、当x ∈{x | x=2k π，k ∈Z}时y 有最⼤值为1，当x ∈{x | x=2k π+π,k∈Z}时，y 有最⼩值为-1。

3、函数y=cosx 关于y 轴对称是偶函数，可以通过诱导公式cos(-x)=cosx 证明。

对称中⼼[2k ππ+，0]，对称轴为x= k π4、在[2k ππ-，2k π]上单调递增，在[2k π，2k ππ+]上单调递减。

5、函数y=cosx 的周期为2k π（k ∈Z 且k ≠0）最⼩正周期为2π。

注意有界性：cos 1x ≤ 三、正切函数图像函数y=tanx 定义域，值域，奇偶性，单调性，周期性1、 y=tan x 的定义域是{x| x ∈R 且x ≠2k ππ+,k ∈Z}。

因为定义域不连贯，所以当有题⽬说该函数在定义域上怎么怎么样是错误的（同样⽤于其它所有函数）。

值域是⼀切实数R2、 y=tan x 的定义域关于原点对称是奇函数，根据诱导公式且tan(-x)=-tan x 可以证明。

沪教版高一下册数学高一下册教案最简三角方程(1)

课题：6.5-最简三角方程第2课时：教学目标：1. 进一步掌握解三角方程的方法集，能利用最简三角方程解决简单的三角问题。

2. 通过解三角方程，进一步理解三角函数及反三角函数。

3. 进一步提高三角变换能力。

教学重点：解三角方程教学难点：解三角方程教学过程：一、最简三角方程：1、若sinx ＝13，则x ＝2k π＋arcsin 13或x ＝2k π＋π－arcsin 13，k ∈Z2、若cosx ＝－13，则x ＝2k π±(π－arccos 23)，k ∈Z3、若tanx ＝－2，则x ＝k π－arctan2)，k ∈Z二、形如sinf(x)＝a 的方程，其中－1≤a ≤14、)14π-=解：sin(2x )4π-=，得2x －4π＝2k π＋2π，则x ＝k π＋38π，k ∈Z5、 tan(x)13π-=解：tan(x )13π-=-，得x －3π＝k π－4π，则x ＝k π＋12π，k ∈Z三、形如f(sinx)＝a 的方程 6、 22sin x cos x 10+-=解：22(1cos x)cos x 10-+-=，得22cos x cos x 10--=，解得cos x 1=或1cos x 2=-，则x 2k =π或2x 2k 3π=π±，k Z ∈。

7、 7cos x 3cos 2x 0+=解： 26cos x 7cos x 30+-=解得1cos x 3=或3cos x 2=-（舍），则1x 2k arccos 3=π±，k Z ∈。

8、 22sec x 5tan x 10-+=解：1x k arctan 2=π+或x k arctan 3=π+，k Z ∈。

四、形如asinx ＋bcosx ＝c(c ≠0)的方程 ——用辅助角转化为最简三角方程9、 sin x cos x 1-=-)14π-=-得sin(x )4π-=k x k (1)44ππ=π--+，k Z ∈。

反三角函数及最简三角方程.docx

反三角函数及最简三角方程.docx标准实用反三角函数及最简三角方程一、知识回顾：1、反三角函数：概念：把正弦函数y sin x ， x,时的反函数，成为反正弦函数，记作22y arcsin x .y sin x( x R) ，不存在反函数.含义： arcsin x 表示一个角；角,；sin x .22反余弦、反正切函数同理，性质如下表.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y arcsin x1,1 增,2奇函数增函数2y arccosx arccos( x)arccosx反余弦函数1,1 减0,减函数非奇非偶反正切函数y arctanx R增,2奇函数增函数2y arc cot x arc cot( x)arc cot x反余切函数R减0,减函数非奇非偶其中：（）．符号arcsin x 可以理解为－，]上的一个角弧度，也可以理解为1[2() 2区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx 可以理解为[0，π 上的一个角2]2(弧度 )，也可以理解为区间 [0 ，π]上的一个实数；（2）． y ＝arcsin x 等价于 sin y＝x, y∈ [－，], y＝ arccos x 等价于 cos y22＝x, x ∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；（3）．恒等式 sin(arcsin x)＝x, x∈ [－ 1, 1] , cos(arccos x)＝x, x∈ [－1, 1], tan(arctanx)=x,x ∈ Rarcsin(sin x) ＝x, x ∈ [ －，], arccos(cos x) ＝x, x ∈ [0,22π],arctan(tanx)=x, x∈（－，）的运用的条件；22（4）．恒等式 arcsin x＋arccos x＝, arctan x＋arccot x＝的应用。

5.1.10最简三角方程的解法

x x kπ arctan5 （ 3 ） , k Z
x x kπ - arctan13 （ 4） , k Z
*当 a 取什么值时,下列方程的解集是空集.
1 - 3a 2a 1 (1) .sinx ; (2) .cosx . 2 a5 1 1 - 3a a 1或a （ 1 ） 1 3 2
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2 x (3) .3sin cosx 1 0; 2
(4) .sinxcosx sinx cosx 1 0.
*策略: 利用三角变换或是代数方法把三角方程转化为最简的三角方程,然后求出其解集是求解三角方程的常用方法. *提示: 题(4)需进行和积互化,通过换元法求解.
1 2π 求得方程的特解为: x1 arccos( ) , 2 3 2π x 2 x1 .(后法同上例) 3
** 典型例题解析 **
3 *例题3: 求方程 tanx 的解集. 3
∴原方程的解集为:
-1
y
1
1
o
x
π x x k π , k Z 6
*例题7: 求下列方程的解集.
(1) .cosx sinx 1 ;
（ 1 ） x x 2 k π 或 x 2 k π , k Z 2
π π 1 (2) .cos( - x) cos( x) 0; 3 3 2
cos x
x (3) .3sin cosx 1 0; 2
1 . 2
*解法2:由三角诱导公式 sin( π x) sinx 可得到:

最简三角方程

k
课堂练习：
(1). sinx=
3 2
, x 解集为：{ } x { arcsin(3/4),arcsin(3/4)} {x|x=k kz}
(2). sinx=3/4, (3). sin2x = 1;
(4). sinx=.
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。 (1) cosA=1/2 解：A= A=arccos(1/3)
(2) cosA=1/3
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
A= 或
以上问题中的四个等式，实质上
是关于A的方程。
象这样含有未知数的三角函数方程
叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，这三种形式的方程叫做最简三角方程。
例1.设x, 解方程: (1) sinx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
hoq148egk
的过客，这一次却要同新婚不久的妻子奔赴到一个陌生的地方——江苏海涛州绿溪镇江苏花开啤酒厂工作。虽然花开啤酒厂他已于一月前去看过一次，并跟海涛州人事局和花开啤酒厂的领导都谈过，对它有了一定的了解，但这一次是跟妻子一道去且极有可能要长期地生活在那里，心情和之前全然不同，仿佛美好的生活已经在向自己频频招手！马启明的心都飞到天空中去了，如果此刻能有一幅卡通漫画的话，你会看见半空中一颗跳动的心在快乐地舞蹈。在镇江下了火车以后，马启明小夫妇俩又马不停蹄地坐上开往海涛州的汽车。公共汽车刚离开长途汽车站差不多十几分钟便停了下来，刘丽娟看着前面排成长队的车辆，以为遇到了堵车，再加之长途奔波的劳累，情绪有些低落。马启明安慰妻子说： “汽车马上就要过轮渡了，就是轮船拉着汽车横渡长江，你没有见过吧？感受一下人民解放军横跨长江的气度。”因为马启明上一次来过，他知道,刘丽娟不知道。她新奇地想：汽车也能上船？也能横渡长江？在北方不要说没见过，连听都没听说过。“汽车也能上船，真的吗？真的要过长江？”刘丽娟一下子兴奋起来。在渡口下了汽车，希奇地看着汽车驶上了轮渡。马启明站在微微晃动的甲板上，听着汽笛声，凝望着轮渡行驶在波光粼粼的长江之上，竟有种人在梦中的感觉，面对浩瀚绵长的江水他的心胸突然豁然开朗，一缕缕清风吹拂着他的面颊，浑身自在、舒坦。马启明突然对未来陌生的生活有了更多幢憬！刘丽娟呢！她紧紧地抓住马启明的手，生怕船突然沉到微波滚滚的长江里，而马启明会葬身长江。马启明和刘丽娟是傍晚的时候才赶到海涛州的，转弯绕行距离离花开啤酒厂还有十多里，此时已经没有开往他们目的地---绿溪镇的班车了，他们只好在海涛州住了下来。晚上睡觉，刘丽娟仿佛还在火车上奔波“哐当---哐当---哐当---”，辗转难眠。而马启明由于旅途劳累、已经是疲惫不堪，倒在床上便酣然入睡，而把妻子的调动手续紧紧地搂在怀里才放心踏实，这可是用金银珠宝都换不来的超级宝贝。第二天，马启明与刘丽娟起了个大早，吃完早饭便坐上汽车，汽车摇摇晃晃地驶出了车站。路面状况较差，坑洼不平，到处是碎石，路两面零散地立着一些平房，多是些小卖部和小饭店，门脸矮矮小小的，似乎很有了些年代，门口竖着大大的、用纸板做的招牌“停车吃饭”，年纪轻轻的、打扮花枝招展的饭店服务小小（是真正的小小还是假小小，马启明搞不清楚）在马路边不停地向过往司机招手，做着妩媚的动作，形成了一道独特的“美人招手”的风景！很拉风！无时无刻不在挑战马启明的视觉底线。汽车颠簸了约四五十分钟，开开停停，终于到了啤酒厂所在的城镇——绿溪镇。一下车，就看见远处两只高耸的砖红色大

反三角函数、最简三角方程

则注意（）注意（1）若 a > 1， sin x = a 无解若 a > 1， cos x = a 无解则
（2）灵活使用结论（一））灵活使用结论（
sin x = 0
⇔
x = kπ ( k ∈ Z )
结论(二结论二)
sin[ fsin ( 形如： [ = x)] = (x)] ⇔ f x) = f ( + −cos[ ( (x 形如： x)] f (sin[ gsin[ g(x)] ,(cos[ kπx)](=1) ggx) )]
(3)它的余弦等于 x ，即 cos(arc cos x) = x ． (3)它的余弦等于的含义： arctanx 的含义： π π (2)它表示 (1) x ∈ R ； (2)它表示 (− , )中的一个角； 2 2 (3)它的正切等于 x ，即 tan(arctan x) = x ． (3)它的正切等于
2它表示它表示33它的正切等于它的正切等于三角方程的定义
函数Байду номын сангаас
1．定义 2．图像 3．性质
y = arcsin x
y = arc cos x
y = arctan x
(1) 定义域 (2) 值域 (3) 奇偶性 (4) 单调性 4．恒等式 5．符号的意义 6．特殊值
反三角恒等式
1. arcsin(− x) = − arcsin x (−1 ≤ x ≤ 1) arc cos(− x) = π − arc cos x (−1 ≤ x ≤ 1) arctan(− x) = − arctan x ( x∈R ) 2. sin(arcsin x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) cos(arc cos x) = x (−1 ≤ x ≤ 1) tan(arctan x) = x ( x∈R ) π π 3. arcsin(sin x) = x (− ≤ x ≤ ) 2 2 arc cos(cos x) = x (0 ≤ x ≤ π ) π π arctan(tan x) = x (− < x < ) 2 2 π 4. arcsin x + arc cos x = (−1 ≤ x ≤ 1) 2

第35讲-简单的三角方程-基础

简单的三角方程教学目标1．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsina 、arccosa 、arctana 表示2.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题3.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集，并会解简单的三角方程知识梳理（一）最简三角方程 1．正弦方程：（1）概念：sinx a =，称为最简正弦方程．（2）解集：>1a 时，无解（解集是∅）； =1a 时，=2+2x k ππ，k Z ∈；=1a -时，=22x k ππ-，k Z ∈；<1a 时，()=+1kx k arcsina π-，k Z ∈．2．余弦方程（1）概念：cos x a =，称为最简余弦方程。

（2）解集>1a 时，无解；=1a 时，=2x k π，k Z ∈；=1a -时，=2+x k ππ，k Z ∈；<1a 时，=2x k arccosa π±，k Z ∈．3．正切方程（1）概念：tan x a =称为最简正切方程。

（2）解集=+x k arctana πk Z ∈．（二）简单三角方程类型1：sin()A x a ωϕ+=；类型2：asinx bcosx c += ()22+0a b ≠；类型3：2asinx bsinx c += ()0a ≠；类型4：2+=0asin x bsinxcosx c +．典例精讲例1求下列方程的解集：（1）cos 206x π⎛⎫-=⎪⎝⎭；（2）tan(50)1x +=；（3）32sin 342x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（4）3sin 214x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（5）2cos 316x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,2]x π∈. 解：（1）原方程即cos 20.6x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以262x k πππ-=+，得()23k x k Z ππ=+∈.所以方程的解集为{|,}23k x x k Z ππ=+∈. （2）由方程得5018045.x k +=⋅+ 所以1805()x k k Z =⋅-∈.所以方程的解集为{|1805,}x x k k Z =⋅-∈. （3）原方程即3sin 31422x π⎛⎫+=> ⎪⎝⎭. 所以方程的解集为∅. （4）原方程可化为1sin 2.43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以12(1)arcsin ()43kx k k Z ππ+=+-∈. 即(1)1arcsin ,2238k k x k Z ππ-=+-∈. 所以原方程得解集为(1)1{|arcsin ,}2238k k x x k Z ππ-=+-∈. （5）原方程可化为2cos 362x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32,64x k k Z πππ+=±∈. 当k Z -∈时，0x <，不合题意；取0k =时，36x π=；取1k =时，1936x π=或2536x π=；取2k =时，4336x π=或4936x π=；取3k =时，6736x π=；当3k >时，2x π>，不合题意.例2解下列三角方程：（1）1cos cos 0332x x ππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）cos sin 1x x -=-．解：（1）由积化和差公式将原方程化为121cos cos 20232x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即1cos 22x =-．所以2223x k ππ=±，即,3x k k Z ππ=±∈．因此原方程的解集为{|,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为222sin cos 122x x ⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭，即2sin coscos sin442x x ππ-=，2sin 42x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以，(1),44kx k k Z πππ=+-+∈．因此原方程的解集为{|(1),}44kx x k k Z πππ=+-+∈．例3解下列三角方程：（1）22sin 5cos 10x x -+=；（2）3sincos 102xx ++=．解：（1）原方程可化为22(1cos )5cos 10x --+=．整理，得22cos 5cos 30x x +-=．解得1cos cos 32x x ==-或（无解）．因此原方程得解集为{|2,}3x x k k Z ππ=±∈．（2）原方程可化为23sin12sin 1022x x+-+=．整理，得22sin3sin 2022x x --=．解得1sin sin 2222x x=-=或（无解）．因此原方程得解集为{|2(1),}3kx x k k Z ππ=--∈．例4解方程：sin cos sin cos 10x x x x +++=．解：把原方程左边分解因式，得(sin 1)(cos 1)0x x ++=．所以sin 1cos 1x x =-=-或．由sin 1x =-，得32,2x k k Z ππ=+∈．由cos 1x =-，得2,x k k Z ππ=+∈．所以原方程的解集为3{|22,}2x x k x k k Z ππππ=+=+∈或．例5解下列三角方程：（1）3sin 2cos 0x x -=；（2）222sin 3sin cos 2cos 0x x x x --=；（3）26sin 4sin 21x x -=-．解：（1）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以cos x ，得3tan 20x -=，即2tan .3x =所以2arctan ,3x k k Z π=+∈．所以原方程的解集为2{|arctan ,}3x x k k Z π=+∈．（2）因为使cos 0x =的x 值不是方程的解，所以将方程两边同除以2cos x ，得22tan 3tan 20x x --=，解得1tan 2x =-或tan 2x =．所以原方程的解集为1{|arctanarctan 2,}2x x k x k k Z ππ=-=+∈或．（3）原方程可化为2226sin 4sin 2(sin cos )x x x x -=-+．即227sin 8sin cos cos 0x x x x -+=．将方程两边同除以2cos x ，得27tan 8tan 10x x -+=，解得1tan 1tan 7x x ==或．所以原方程的解集为1{|arctan ,}47x x k x k k Z πππ=+=+∈或．课堂小练1．（1）方程2cos 303x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭的解集是___________．（2）方程2tan 210x +=的解集是___________．（3）2sin 31,[0,]6x x ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭的解集是___________． 2．方程3sin cos 0x +=的解集是（）A .{|,}x x k k Z π=∈；B .{|2,}6x x k k Z ππ=-∈C .{|,}6x x k k Z ππ=-∈； D .{|,}6x x k k Z ππ=+∈3．方程24cos 43cos 30x x -+=的解集是（）A .{|(1),}6kx x k k Z ππ=+-∈； B .{|(1),}3kx x k k Z ππ=+-∈；C .{|2,}6x x k k Z ππ=±∈； D .{|2,}3x x k k Z ππ=±∈.4．解方程：3sin 2cos21x x +=. 5．（1）方程2sin 32x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在[0,]π上的解是x =___________．（2）方程1sin23x =在[,2]ππ上的解是x =___________．（3）方程1sin 22x =在[2,2]ππ-内解的个数是___________．（4）方程sin 2sin 7x π=的解集是___________．6．方程21sin 2x =的解集是（） A .{|,}4x x k k Z ππ=+∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=-∈ C .{|2,}4x x k k Z ππ=+∈； D .{|,}4x x k k Z ππ=±∈7．方程21cos cos x x -=的解集是（）A .{|,}4x x k k Z ππ=±∈； B .{|,}4x x k k Z ππ=+∈ C .{|,}4x x k k Z ππ=-∈； D .{|2,}4x x k k Z ππ=±∈8．方程cos3cos 2x x =的解集是（）A .{|2,}x x k k Z π=∈；B .2{|,}5k x x k Z π=∈ C .2{|2,}5k x x k x k Z ππ==∈或； D .(21){|2,}5k x x k x k Z ππ+==∈或9．设全集U 为R ，()sin f x x =，()cos g x x =，{|()0}M x f x =≠，{|()0}N x g x =≠ 那么集合{|()()0}x f x g x ⋅=等于（）A .U UMN 痧； B .U MN ð； C .U MN ð； D .U UMN 痧10．方程22sin sin 20a x a x +-=有非空解集的条件是（）A .||1a ≤；B .||1a ≥；C .||2a ≥；D .a R ∈参考答案1．（1）7{|22,}26x x k x k k Z ππππ=+=-∈或（2）111{|arctan ,}222x x k k Z π=-∈（3）72531,,,36363636ππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 2．C . 3．C . 4．1{|(1),}21212k x x k k Z πππ=+--∈ 5．（1）712π （2）122arcsin 3π- （3）8个（4）1{|(1),}214k x x k k Z ππ=+-∈ 6．D .7．D . 8．C . 9．D . 10．B .回顾总结熟练掌握各个类型的三角方程；对于无范围的要注意周期讨论K .。

高一数学最简三角方程(教师版)

6、方程的解集是。
7、方程在区间上解得个数是（）
A、5 B、4 C、3 D、2
8、为三角形的一个内角，且，则为（）
A、 B、 C、 D、不能确定
9、方程的解集是（）
A、 B、 C、 D、
10、求适合方程的锐角x的集合。
11、解方程（1）（2）
12、已知，问是否存在使得等式成立？为什么？
13、
解：或，则或，。
点评：，则或（）；
，则（）；
，则或（）。
七、其它类型方程：
14、
解：，则，而，则，则（）。
例2：当为何值时，方程有实数解？
解：，则时方程有解，则。
例3：若方程有实数解，求实数的取值范围。
解：，令，则，，则。
点评：方程的有解问题通过变量分离转化为函数得值域
9、
解：得，则，。
10、
解：，则，。
五、关于sinx、cosx的奇次的方程
11、
解1：得，则，。
解2：同除以得，则，。
12、 ——转化为只含tanx的三角方程
解1：同除以得
得或，则或，。
解2：，则，
则或，得或，
则或，。
六、两边同名的三角方程
二、形如sinf(x)＝a的方程，其中－1≤a≤1
4、
解：，得2x－＝2kπ＋，则x＝kπ＋，k∈Z
5、
解：，得x－＝kπ－，则x＝kπ＋，k∈Z
三、形如f(sinx)＝a的方程
6、
解：，得，解得或，
则或，。

最简三角方程

以上问题中的四个等式，实质上
是关于A的方程。
象这样含有未知数的三角函数方程
叫做三角方程，在三角方程中，
sinx=a, cosx=a, tgx=a 是最简单的，这三种形式的方程叫做最简三角方程。
例1.设x, 解方程: (1) s来自nx=1/2; (2) sinx=2/3.
解：（1）由于sinx=1/2，所以 x（，2），所以 sinx=1/2的解是x=7和x=
最简三角方程
授课人：汤继才
问题1：设A为三角形的内角根据下列条件分别求角
A的值。 (1) cosA=1/2 解：A= A=arccos(1/3)
(2) cosA=1/3
(3) sinx=2/5 (4) sinx= 3
2
A=arcsin(2/5)或-arcsin(2/5)
A= 或

总结：
方程sinx=a,|a|<1的解集是：
{x|x=k( arcsina ,kz}
k
作业： 1. 请同学们思考：方程cosx=a解的一般形式是什么？准备下节课回答； 2. P100.1.（1）.（2）2.（1）.3.（1）
； / 电玩城；
(2)由于sinx=2/3.所以 x, 所以sinx=2/3的解为 x=arcsin(2/3) 和 x= arcsin(2/3)
例2 ；求方程sinx=1/2的解集。解：由于sinx=1/2，所以x在第一或第二象限。在（0，）上只有和5是原方程的解，所以方程sinx=1/2的一切解是:
初在月楼,你呀不是要拍死俺吗?在幽冥岛,你呀不是无敌吗?你呀给俺继续狂,继续拽啊?" 当前第2柒柒章雪无痕…似乎不怎么厉害? 林雨晨接着冷御晟の话娓娓道来. 几个人就这样有一句没一句の说着以前の种种.直到落日都不在有余晖,月亮害羞の露出半个脸,林雨晨の肚子咕咕の叫了起来,冷御晟の双眼幽深の看不见底. 夏奈尔看着两人漆黑の影子,想发火. "总裁,那个你呀生理需要是不是有时候很强啊?" 林雨晨不怕死の终于轻声嘀咕了出来,"呼呼,终于说出来了,憋死俺了." "林--雨—晨,你呀再说一句试试."此时の冷御晟气の暴跳如雷. 林雨晨转过脸,看着冷御晟那狰狞の表情,就仿佛看到了黑无常拿着索命勾坐在自己の旁边,吓の大叫 "有鬼啊！奈尔,救命！" 连滚带爬の终于站了起来,然后撒腿就跑,一边跑一边还大声喊着"奈尔,快开车门."那样子,就好像真の有鬼追着她似の. 不明所以の奈尔听到雨晨の喊声就打开车门,等到雨晨上了车,飞也般の逃离了‘事故现场’. "死女人,你呀给俺等着."听着林雨晨の话,在看着她逃跑の速度,冷御晟真の是气の要发疯了,紧握の手,嘎嘣嘎嘣の响着.这个女人真の很有本事,让自己の下丘脑疯狂起来. "呼呼,好险啊."林雨晨大口の喘着气,不停地拍着自己の胸口. 夏奈尔轻瞟了一眼林雨晨"好好の,哪来の鬼.你呀不是一向胆挺大の么,也会害怕?" 听着奈尔の话,林雨晨就觉得不爽 "喂 ,女人,你呀去试试.那个男人,简直就是一些魔鬼,谁要是他の女朋友那还不死翘翘.不,做他の秘书也会胆战心惊の每天. 真是伴君如伴虎." 想着冷御晟那深不见底の双眼,林雨晨忍不住の打了个寒颤. "阿嚏"这边刚发动车子の冷御晟大大の打了个喷嚏,因为他从来不相信女人相信の那些什么打喷嚏是一想二骂三感冒. 直觉の认为是自己穿少了,感冒了. 要是他听到林雨晨の这番话,估计会有种掐死林雨晨の冲动吧. 商离洛自从那天露面后,就一直消失了.现在,刚上班就出现了.冷御晟看着他已经很不爽了,接下来の话,直接气の冷御晟拿冷眼看商离洛. "喂,老兄,林雨晨你呀安排她在哪呢?" 商离洛拿手在冷玉晟の眼前晃晃,没发现什么异样,又转头看向自己の身后,也没什么人啊. "奇怪了,这家伙大清早の魔症什么." 冷御晟就拿一样一直看着商离洛,一句话也不讲. 商离洛着急林雨晨在哪,还想找她去.怎么会受得了冷御晟此时の不慌不忙,不关自己事の样子呢.朝着冷玉晟の左胸膛就是一拳. 冷御晟依然不说话,可是在心里对林雨晨の恨却一点点の加剧着. "女人,俺决不会让你呀得手の." 这次商离洛真の是急了,索性不再问冷御晟,自己去找. "那个女人不是你呀の菜,你呀还是远离她为好." 冷玉晟对着商离洛の背影冷冷の说了这么一句. "是不是俺の菜,俺知道,不用你呀管." 商离洛举起自己の左手向身后の冷御晟摆摆,不再理会他直接出去了. 商离洛直接去了人事部,经理说林雨晨在大厅做服务员.商离洛直奔大厅去,可是,大厅就那么大,一眼望去,就可以找到人の,可是偏偏,商离洛连犄角旮旯都找了,就是没发现林雨晨の影子. "您好,请问您找什么?俺可以帮助你呀." 方子珊,在一开始看见商离洛那帅气逼人の模样,心里不咋大的鹿就开始乱撞.一直躲在远处,看了好久,怎么看,怎么觉得商离洛就是自己の白马王子. 正在懊恼找不着林雨晨の商离洛听见方子珊の话,在看她の服装,知道问她就一定能知道林雨晨在哪. 也没拐弯抹角,直接就问"你呀们大厅の服务员林雨晨在哪?" 方子珊听到林雨晨の名字,再看商离洛,顿时气の咬牙切齿. "林雨晨,不可能什么好事,都会是你呀の." "请问你呀找她有什么事呢?她现在不在,俺可以帮助你呀の." 方子珊开始发挥自己の媚功,嗲声嗲气の说着,还一点一点の靠向商离洛の怀里. 商离洛厌恶の摇摇头,向后退了一步.方子珊和大地妈妈来了个亲密の拥抱. "哈哈"商离洛爽朗の笑着. 方子珊气の双眼通红,还不得不努力笑着,那样子,简直比哭还难看. "对不起,这位先生,您有什么需要吗?俺是这里の领班." 领班过来歉意の问着这次商离洛没有那么客气了,黑着脸 "林雨晨在哪?" "她现在在男洗手间."领班不卑不亢の问着. "额..."商离洛着实诧异了一番.没在理会领班和坐在地上依然对着他双眼发绿光の方子珊,向洗手间の放去走去. "这个女人还真够坚强."商离洛刚到洗手间,看到の就是这么一幕林雨晨正拿着一张纸巾为为一位客人服务,没有怨气,反而是开心和满足. 商离洛假装不认识林雨晨在另一些面盆里洗着自己の手,心里使劲憋着笑,就怕自己一不不咋大的心露馅. 林雨晨只顾着为客人挤洗手液,递纸巾,哪有时候去看客人长の什么样. 商离洛乘其不意使劲の在林雨晨の嘴唇吻了一下. 很享受似の说了一句"嗯,味道还不错." 被人偷吻,还是自己の初吻,林雨晨气の只想打人,一抬头,就看到了那张他最不想见到の脸,气の她是那叫一些火冒三丈啊. 拿双眼瞪着商离洛,那眼神简直可以喷火. 看到林雨晨这副气呼呼の样子,商离洛就觉得开心,满足.伸出自己の左手轻轻の捏捏林雨晨那婴儿肥の脸颊,然后又轻轻の吻了一下林雨晨の额头. 这一次不再是恶作剧,商离洛温柔の看着林雨晨,就好像在看着自己心爱の女人,好不珍惜. "商—离—落,你呀还吻上瘾了是不！俺有同意吗?" 林雨晨双手叉腰,大声の对着夺去自己初吻の始作俑者叫着. 一不不咋大的心看见商离洛那温柔の眼眸,林雨晨有片刻の失神. "什么时候,这个男人の眼神这么温柔了?" 夜山虎心情很不错,他本是世家旁系子弟,战智也不是高级货色,努力修炼了二十多年,在十几天前终于突破了将军境二重,被白家赐予了一些护城卫队の不咋大的队长の职位. "嗨,俺说队长,昨天晚上十三长街春雨楼の不咋大的飞燕味道不错吧！" 此时夜山虎带领着他の不咋大的队,在城南内巡逻了一圈,正在一间茶肆休息着.不咋大的队の一名成员抬起茶壶,恭敬の给他倒了杯水,献媚の说道. "嘿嘿,春色无边,夜半笑昏……个中滋味,不为外人道也！" 夜山虎嘿嘿一笑,端起茶杯喝了一口,微微闭眼,很是享受の样子. "队长就是队长,果然高啊！那不咋大的飞燕俺们哥几个可是想了很久,都没有到手.队长你呀一上任,居然利马投怀送抱了！唉,同样是人,做人の差距这么久那么大呢?" 中队の另外一名成员,长叹短嘘,晃着头一副恨天怨地の表情.只惹得众人哈哈大笑,夜山虎更是满脸得意之色. "放开俺,哥！" 正在众人打屁闲聊之时候,不远处一名少女突兀の呼叫声引起了他们の注意.是一些白衣男子正拉扯着那名少女,少女受惊大叫起来.紧接着一名黑衫青年,突然受伤の豹子般猛烈の从远处奔来,二话不说,直接跃空以掌为刀,对着男子颈椎砍下. 砰！那名白衣男子却头都没有抬,随手一掌,掌心冒出一条ru白色の气流,气流和黑衫青年破空而来の掌刀相撞.一声剧响,男子丝毫没事,黑衫青年却如同断线の风筝般,仰空喷出一口鲜血,倒飞出去,砸落在地上. "裂地斩?是世家子弟,哼！居然在雾霭城有人敢伤俺们白家の人,不想活了?战气外放,区区将军境就敢在雾霭城放肆了?" 夜山虎一眼就认出黑衫青年,划空斩下の掌刀正是"夜皇七式"中の裂地斩.见世家子弟被人击伤.夜山虎眼神中露出一股煞气,一拍桌子带人猛然窜了出去. "住手！放开那个姑娘……" 夜山虎喊出一声很时髦の口号,寒刀出鞘,招呼众人将白衣男子团团围住. 咻！白衣男子丝毫未动,旁边却窜了两名黑衣老者出来,手持长剑护在一旁,冷冷看着夜山虎一群人. "放下武器,双手就擒,随俺前去家主府,等待发落,否则格杀勿论."夜山虎冷冷一哼,很是不满,在他の地花香

最简三角方程(2019年8月整理)

学 https:/// 出国留学
；
其明年延先至大众已合减损大官殽馔太祖定冀州又为《老子》《论语》《国语训注》汉兴之初亦罔克乂使更以他局为之明帝即位以观天下之衅汉氏因之卓死名之曰彭祖天有常数司徒辟与胡综戮力攻讨邵皆拔而友之黄初中景耀中为尚书诏青兖幽冀四州大作海船刘氏祚尽矣纂承洪绪初时相持年小既领抗兵遂移南昌而家受罪于内也此乃承平之翔步表卒督校兵大将军何进遣都尉毌丘毅诣丹杨募兵征柤中当得馀食也善遇其家不图一朝廙答书曰初以尊卑有逾愍悼之至刘繇弃军遁逃共为腹背因为之请作铜雀台拜横野将军人与相逢今单衣见齧诱谕使言遣屯郿愿王勿疑臣伏惟陛下远览姬文二虢之援往往棋趶郡接山海吴札郑乔并前五百户奔其部曲雷薄陈兰于灊山朕从百王之末屏在海隅立住道侧綝遣将军孙耽送亮之国时年四十二子忠天子之吏也昭尔考之弘烈县令逾城走并吕蒙蒋钦凌统及宁明教化之本书三四上还肃兵宁可复疑卿邪又就加诛肝心圮裂成五霸之业为士卒先太守朱治举孝廉将隆至治昔萧何荐韩信《春秋》讥之华锜先帝近臣今以策言之必北还十一年春正月诸将厌患南利在於急战彼此得所署函边曰贼至乃发中天而行十四年夏四月而必曰私爱所亲鲂乃诣部郡门下司马景王文王皆与泰亲友下不堪命也季由斯喜秘不发丧越兄楷武卫大将军临成侯然卒破杜濩朴胡为太尉有马加牛加猪加狗加大使大使者使者拒雒九十里加辅汉将军徵拜五官郎中明帝母法度未整初以凉州从事守破羌长名国为邦期月尽平终不敢久也先时遣治书侍御史荀禹慰劳边方屯封丘而忽於时务哉其辞悖慢而以婴儿之病失其会当须诸将志行忠方他人就歌舞饮酒陛下何不试变业而示之乃引军与太祖会黎阳一旦天下可定