小五数学第16讲：棋盘中的数学(学生版)

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第十讲棋盘中的数学

第十讲棋盘中的数学（一）——什么是棋盘中的数学所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．例1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1平方单位．由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．例2 下图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．问：这堆棋子原有多少枚？解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如下图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是102＋12＝112枚．答：这堆棋子原有112枚．说明：本题也可以列方程求解．设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：（m＋1）2－9＝m2＋12．即2m＋1＝21，解得m＝10．所以棋子总数为102＋12＝112枚．本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．例3 如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示．例4 在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．例5 国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．例6 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题．习题十1．在4×4的棋盘中每一格分别填入字母A、B、C、D．要求每行、每列、两条斜线的四个格都恰有A、B、C、D各一个．2．把A、B、C、D四个棋子放在4×4的棋盘的方格里，使每行每列只能出现一个棋子．问共有多少种不同的放法？3．下页第一图是16×16棋盘，每个小正方格面积都是1，求图中这只狗所占的图形的面积．4．中国象棋规定马走“日”字．定义：在中国象棋盘上从点A到B 马走的最少步数称为A与B的马步距离，记作｜AB｜m．如下图在3×3的棋盘格中，标出了A、B、C、D、E五个点，则在｜AB｜m，｜AC｜m，｜AD｜m，｜AE｜m中最大者是多少？最小者是多少？5．在6×6的棋盘中至少要放入多少个棋子，（每个小方格内至多放一个），才能使得随意划掉3行3列上的棋子后，在剩下的方格中至少要留有一枚棋子？习题十解答1．如下图填入即可．答案可能不唯一．2．不妨先考虑棋子A的情况，共有16种不同的放法，不妨设A就放在左上角．然后考虑棋子B的放法，由于A所在的行及所在列不能再放棋子，所以棋子B只能有9种不同放法，不妨设棋子B在右图中位置．类似地C只有4种不同放法，D只有一种放法，总计共有16×9×4×1＝576种不同放法．3．面积是71.5（平方单位）．4．观察下面4个图．知最大的是｜AE｜m＝4，最小的是｜AC｜m＝2．5．至少放十枚棋子．十枚棋子如下图放置，划去任意三行、三列后，剩下的格子中至少还有一枚棋子．如果放入9枚棋子，则总能划去某三行、某三列，把这9枚棋子都划去（想一想，为什么？）．。

101小升初棋盘中的数学问题(二)

第五讲棋盘中的数学问题（二）（2012年7月）一、知识要点1．学习二人对弈游戏中的基本思考方法：逆推法．2．掌握数学游戏中失败点和胜利点之间的关系，并能准用语言准确描述“必胜策略”．3. 棋盘中的计数问题．4. 用构造法解决存在性问题，掌握构造的一般技巧和基本规律；学习染色问题的基本思想，可以借助这一思想解决一些和棋盘表格相关的构造论证类题目；掌握染色问题的技巧：双色染色，多色染色。

以及间隔染色，行列染色，区域染色．二、典型例题例1. 如图是一个4阶的幻方。

一次操作是指对一行（或者一列）的四个方格中的每一个数加上或者减去相同的自然数，那么是否可以经过有限步的操作使得图1中的4阶幻方变为图2中的形式。

能则给出一种操作，不能则说明理由。

图1 图2例2．将2011个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动， 1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么______有必胜的策略，该如何走； 2）如果规定先走到最后一格者为负，那么______有必胜的策略，该如何走思考：将2010个小格排成一行，左起第一个格中放一枚棋子，甲、乙两人交替走这枚棋子（甲先走），每步可移动1格、2格或3格，但只能向右移动， 1）如果规定先走到最后一格者为胜，那么______有必胜的策略，该如何走； 2）如果规定先走到最后一格者为负，那么______有必胜的策略，该如何走例3．仔细阅读，制定策略回答下列问题：1）在一个3×3的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。

甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略：2）在一个5×5的方格棋盘的左上角方格中放有一枚棋子。

甲先乙后，轮流走这枚棋子，每人每次只能向下、向右或右下走1格，谁走到右下角方格谁获胜，_____（填“甲”或“乙”）能必胜，请详细叙述他必胜的策略：3）如果是10×10的方格，那么有必胜策略，请详细叙述他必胜的策略:例4．仔细阅读，制定策略回答下列问题：1）、一个4×4的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次．例如原来亮的变为不亮；原来不亮的变亮．是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由；2）、一个2010×2010的方形棋盘上每格都有一个按钮与一盏不亮的灯，按一个按钮就能使得与其同行和同列的灯状态改变一次．例如原来亮的变为不亮；原来不亮的变亮．是否存在一个按按钮的方法，使得所有的灯全部变亮？能则给出一种方法，不能则说明理由；3）、如果是一个2010×2011的方格，那么是否存在使得所有灯全部变亮的方法；如果有至少按多少次；如果没有，请说明理由；例5．某影院有31排,每排101个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? .例6.能否用1T 字纸片,拼成一个8 8的正方形棋盘?例7. 仔细阅读，制定策略回答下列问题：1）中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数.2）中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,右上图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点?例8．如图，一个4×4方格表内填有1―16这16个自然数，现在从填有1的方格出发，每一步可以走到相邻的方格中（有一条公共边的方格），并且每个方格至多经过一次，最后走到填有2的方格，那么所走到的全部方格中，填的数之和最大可能是多少？例9.甲、乙两人轮流在国际象棋的棋盘上摆放棋子“象”，使得互相之间不会被吃（不考虑象的颜色）。

小学数学棋盘上的数学问题教学案例

《棋盘上的数学问题》教学案例教学目标：１、了解围棋的相关知识，通过运用所学的乘法知识，解决相关的数学问题。

２、让学生感悟参与小调查的过程和方法，在活动过程中培养学生分析、归纳、运算和推理的数学思维能力。

３、引导学生学会用数学眼光观察身边的现象，使学生体会到生活中处处有数学，感受到学习数学的价值。

教学重点：运用乘法知识解决相关的数学问题教学难点：了解围棋的有关知识，会用所学的知识解决相关问题。

教学准备：围棋、课件教学过程：一、创设情境，谈话导入１、播放围棋少年动画片片断师：同学们，你们认识动画片中的这位少年吗？他正在下的是什么棋？生：我认识他，他是我最喜欢的动画片《围棋少年》里的江流儿。

生：我知道，他们正在下的是围棋。

２、介绍围棋的相关知识师：看来，我们班喜欢围棋的同学还真不少。

你们知道吗？围棋起源于中国古代，距今已经有２０００多年历史了，围棋和京剧一样，都是我国的国粹。

围棋由于它的变化多样，也被人们称为最复杂的棋类。

３、师：哪些同学会下围棋？请你们来说一说自己学习围棋的体会和收获。

生：我觉得学习围棋可以培养静心的好习惯。

以前我性子特别急燥，爸爸妈妈说学围棋可以培养我的专注力。

生：学习围棋还可以训练我们的思维能力，提高计算能力。

师：原来学习围棋有这么多的好处，今天我们就一起走进围棋的世界，了解一些简单的围棋知识，并学会用数学的方法来解决一些棋盘上的数学问题。

板书课题：棋盘上的数学问题二、自主探究，合作交流１、反馈课前小调查师：同学们，课前老师给你们布置了一个小调查，大家都完成了吗？哪位同学愿意来给大家汇报一下。

生：围棋盘横有19条线，竖有19条线，共有361个交叉点。

生：棋子有两种颜色，黑子有181个，白子有180个。

生：比赛时，棋子要下在交叉点上。

生：我国著名的围棋棋手有聂卫平和师：说一说你的小调查是和谁一起完成的？你是通过什么方式调查了解到这些围棋知识的？生：我是爸爸妈妈告诉我的。

生：我是和爷爷奶奶一起上网查到的。

小学五年级第十六讲：棋盘中的数学(学生版)

第十六讲棋盘中的数学知识梳理：1．棋盘中的图形与面积；2．棋盘中的覆盖问题：（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为，一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是．② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是．3、棋盘中的象棋问题：所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。

这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。

解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

教学重难点：1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；2、利用象棋知识寻找路线；特色讲解：例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：n|3。

例5、这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的两个位置．问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？例6、如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．当堂练习：A档1、在4×4 的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）2、能否用9 个形如的卡片覆盖6×6 的棋盘？3、有若干个边长为1、边长为2、边长为3 的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4 的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）B档4、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？5、下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。

五年级上册数学教案《棋盘上的数学》︳青岛版

教学准备
课件、展台、学生探究纸
教
学
过
程
一、情境导入
小红的哥哥是围棋高手，小红很想拜哥哥为师，学习围棋。哥哥说：给你出一道题，你答对了我就收下你这个徒弟。小红很高兴就答应了。
哥哥的题是这样的（课件出示情景图），学生默读题目。
练习题：围棋盘的最外层每边能放19枚棋子，最外层一共可以放多少枚棋子？
小红一听题，傻了眼，同学们，你们能帮小红解决这个问题吗？
教学
目标
知识与技能：学生能用多种方法计算棋盘上最外层棋子的总数，并初步感知最外层每边数量、边数、最外层总数量之间存在的数量关系。
过程与方法：通过学生动手操作、讨论交流，引导学生体验解决问题策略的多样性，让学生感悟化繁为简、数形结合等数学思想，积累数学活动经验。
情感态度价值观：培养学生团队意识，学会与他人交流合作。
教学
ห้องสมุดไป่ตู้重点
难点
教学重点：能用多种方法计算棋盘上最外层的总数。
教学难点：理解棋盘最外层总数的计算办法，发现其中的规律。
（教学重点确立依据：通过前测，我了解到绝大多数学生能够用一种方法解决这类问题，但对于多种方法解决却很困难，为了提高学生的数学思维水平，我确立了以上教学重点。）
（教学难点确立依据：对于学生来说，要真正地学会解题方法，要真正将伙伴们的方法内化为自己的知识，理解算理是基础，特别是针对中下成绩的学生。放手让学生去观察，去思考，去发现，学生才会学有所获，因此，我确立了以上教学难点。）
揭示课题：这节课我们就来研究棋盘上的数学问题。（板书课题）
【设计意图：围棋是学生生活中较为熟悉的事物，以生活情境图的方式呈现给学生，让学生感知数学与生活的紧密联系，以此提高学生的学习兴趣，激发学生的探究热情。】

华罗庚学校数学课本(6年级上册)第10讲棋盘中的数学(1)

跳棋棋盘中的数学知识

跳棋棋盘中的数学知识跳棋，那一颗颗五颜六色的棋子，在棋盘上跳跃、穿梭，看似简单的游戏，其实藏着不少有趣的数学知识呢！你看那棋盘，一格一格整齐排列，就像一个大大的矩阵。

每一行、每一列都有固定的数量，这不就是我们数学中的数列和排列组合嘛。

比如说，要从棋盘的一角走到对角，有多少种可能的路径？这就需要我们去计算和思考啦。

想想看，跳棋中棋子的跳跃规则，是不是有点像数学中的函数关系？棋子能跳多远，能跳到哪里，都有明确的规定，就像函数中输入一个值，就会得到一个相应的输出值。

再瞧瞧棋子的布局，要想赢得比赛，就得合理安排棋子的位置。

这就好比解数学题时，要找到最优解，让每一步都发挥最大的作用。

要是棋子放得乱七八糟，就像解题时思路混乱，怎么能赢呢？还有啊，当我们和对手博弈的时候，要预测对手的下一步，这是不是有点像数学中的推理和逻辑？通过观察对手之前的走法，分析他们的策略，然后做出自己的应对，这不就是在锻炼我们的逻辑思维能力吗？跳棋里的合作也很重要。

如果是多人一起玩，那就需要和队友配合。

这和数学中的团队合作解决问题是不是很像？大家各展所长，共同朝着胜利的目标前进。

就拿我们常见的三角形布局来说，三颗棋子形成一个稳定的三角形，这在数学中不就是三角形的稳定性原理吗？而且，跳棋中还有概率的问题呢。

比如猜对手会走哪一步，成功的概率有多大？这就需要我们运用概率的知识去分析。

你说，跳棋这么一个小小的游戏，竟然蕴含着这么多数学的奥秘，是不是很神奇？数学知识可不只是在书本里、在课堂上，它就在我们身边的每一个角落，跳棋棋盘就是一个很好的例子。

所以啊，下次再玩跳棋的时候，可别只是单纯地玩，多想想其中的数学道理，说不定还能让你的数学成绩更上一层楼呢！。

棋盘中的数学

棋盘中的数学星期天，智智和妹妹都写完了作业。

爸爸说：“你们想去公园玩吗？”他们高兴地说：“想。

”于是，爸爸带着他们来到了公园。

公园里的人很多，有的在跳广场舞，有的在打太极拳，有的在下棋，有的在打扑克，有的在聊天，有的在散步……热闹极了。

妹妹说：“那里围了很多人，我们去看一看吧。

”他们走了过去，看到两位老爷爷正在下围棋。

他们聚精会神，都在认真思考。

妹妹好奇地问：“这叫什么棋？棋盘里有很多小方格啊！”爸爸说：“这叫围棋。

围棋起源于中国，古代称为‘弈’，可以说是棋类之鼻祖，至今已有4000多年的历史。

围棋的棋盘由纵横各19条线交叉组成。

”爸爸接着说：“下围棋时，棋子都要放在纵线与横线的交叉点上。

你们知道棋盘上一共有多少个交叉点吗？”妹妹很有信心地说：“我去数一数。

”于是，妹妹数了起来。

妹妹说：“一行有19个交叉点，一共有19行，可以用19加19，再加19……要把19个19加在一起，计算有点儿麻烦。

”智智说：“我知道了，每行有19个交叉点，一共有19行，要求一共有多少个交叉点，就是求19个19的和是多少，可以用乘法◎叶杰平计算，列式：19×19=361（个）。

”爸爸说：“对了！求几个相同加数的和，除了可以用加法计算外，还可以用乘法计算，而且用乘法计算还比较简便。

”妹妹说：“19×19要笔算才能算出来，有没有更简便的计算方法？”爸爸说：“有。

我们可以先算出20行有多少个交叉点，因为多算了一行，所以再减去一个19。

这其实是应用了乘法分配律进行的简便计算，即19×19=（20-1）×19=20×19-19=380-19=361（个）。

”爸爸接着说：“你们能算出这个棋盘一共有多少个小正方形吗？”妹妹数了数，说：“我数出一行有18个小正方形，一共有18行，要求一共有多少个小正方形，就是求18个18相加的和是多少，可以用乘法计算，列式：18×18=324（个）。

棋盘上的组合数学问题

棋盘上的组合数学问题本题难度中偏上，适合高中生或者高水平的初中生。

题目：比阿特丽克斯（Beatrix）将在6×6的棋盘上放置6个“车”，其中行和列从1标记到6。

规定：“车”的位置满足任意两个车不能放在同一行或同一列。

正方形的值（value）定义为其行标号与列标号之和。

“车”放法的分数（score）定义为所有被占用的正方形的值的最小值。

所有满足条件方法的平均数是p/q，其中p和q是互质的正整数。

求p＋q的值。

（2016 AIME II）这道题是2016年美国数学邀请赛卷二的第13题（一共15题），是属于难度较大的题目了。

在这道题中，理解题目的意思是关键，否则可能很难下手。

这里允许读者朋友们先思考二十分钟，然后再看后面的解答。

题意分析：首先我们要理解两个关键的句子，也就是其中的两个“定义”。

（1）正方形的值（value）定义为其行标号与列标号之和。

这句话相对容易理解。

就是横坐标和纵坐标的数值之和。

（2）“车”放法的分数（score）定义为所有被占用的正方形的值的最小值。

这句话是这里的关键，它的意思如下图所示：上图标红色的数字就是所谓的“所有被占用的正方形的值的最小值”。

我们可以发现，这个分数最小是2，最大是7。

显然，6个“车”放到不同行、不同列的6×6棋盘上，全部可能的放法一共有6!＝720种。

我们要做的，就是把这720种放法的最小分数（score）加总后求平均数。

解法一：按最低分数分类讨论（1）当最低分数为2时，这个最低分数的“车”只能放在(1,1)坐标的格子中，则其他5个“车”有5!种方法（或者6!－5×5×4!＝120种），所以这种情况的总分为2×120＝240分；（2）当最低分数为3时，由于(1,1)坐标的格子中不能放“车”，因此这个最低分数的“车”只能放在(1,2)或(2,1)坐标的格子中，很容易计算共有5!×2－4!＝216种（或者4×4!×2＋4!＝9×4!＝216种；或者6!－4×4×4!－120＝216种）放法，所以这种情况的总分为3×216＝648分；（3）当最低分数为4时，由于(1,1)、(1,2)、(2,1)坐标的格子中均不能放“车”，因此这个最低分数的“车”只能放在(1,3)、(3,1)或(2,2)坐标的格子中，很容易计算共有3×3×3!×3＋3×3!×3＋3!＝222种放法（或者6!－3×3×3×3!－216－120＝222种），所以这种情况的总分为4×222＝888分；（4）当最低分数为5时，由于(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(3,1)坐标的格子中均不能放“车”，因此这个最低分数的“车”只能放在(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)坐标的格子中，很容易计算共有6!－2×2×2×2×2!－222－216－120＝130种放法，所以这种情况的总分为5×130＝650分；（5）当最低分数为6时，由于(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(3,1)、(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)坐标的格子中均不能放“车”，因此这个最低分数的“车”只能放在(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)坐标的格子中，很容易计算共有6!－1－130－222－216－120＝31种放法，所以这种情况的总分为6×31＝186分；（6）当最低分数为7时，由于(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(3,1)、(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)、(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)坐标的格子中均不能放“车”，因此这个最低分数的“车”只能放在(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)坐标的格子中，显然只有唯一的1种放法，所以这种情况的总分为7×1＝7分。

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第十六讲棋盘中的数学
1．棋盘中的图形与面积；
2．棋盘中的覆盖问题：
（1）概念：用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖
问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列
的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

（2）分类：棋盘的覆盖问题可以分为，一是能不能覆盖的问题，二是最
多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题。

（3）重要结论：
① m×n 棋盘能被2×1 骨牌覆盖的条件是．
② 2×n 的方格棋盘能用形骨牌覆盖的条件是．
3、棋盘中的象棋问题：
所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题。

这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题。

解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学。

1、利用卡片覆盖已知图形，掌握一是能不能覆盖的问题，二是最多能用多少种图形覆盖的问题，三是有多少种不同的覆盖方法问题；
2、利用象棋知识寻找路线；
例1 一种骨牌是由形如的一黑一白两个正方形组成，则下图中哪个棋盘不能用这种骨牌不重复地完全覆盖？
（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4
（D）4×5 （E）6×3
例2 下图中的8×8棋盘被剪去左上角与右下角的两个小方格，问能否用31个2×1的骨牌将这个剪残了的棋盘盖住？
例3 在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：
n|3。

例5、这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的两个位置．
问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？
例6、如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．
A档
1、在4×4 的正方形中，至少要放多少个形如所示的卡片，才能使得在不
重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边
缘与格线重合）
2、能否用9 个形如的卡片覆盖6×6 的棋盘？
3、有若干个边长为1、边长为2、边长为3 的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4 的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）
B档
4、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？
5、下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。

现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？
6、用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？
7、用七个1×2的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方法？
8、有许多边长为1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬纸片。

用这些硬纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法）
C档
9、小明有8张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下4张连在一起的票，其余的送给别人。

他留下的四张票可以有多少种不同情况？
10、有若干个边长为1、边长为2、边长为3的小正方形，从中选出一些拼成一个边长为4的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各种小正方形的数目相同就算相同的拼法）
11、能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个6×6的正方形？
12、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个7×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最多可以用上面七种图形中的几种？
13、由1×1、 2×2、3×3的小正方形拼成一个23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，利用1×1的正方形最少个数是多少？试证明你的结论．
14、如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．
15、下图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．
问：这堆棋子原有多少枚？
1、如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．
2、在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、
3、4四个数字．
3、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？
4、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个8×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最少可以用上面七种图形中的几种？
5、能不能用9个1×4的长方形卡片拼成一个12×3的正方形？
1、要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？
2、一种游戏机的“方块”游戏中共有如下页图所示的七种图形，每种图形都由4个面积为1的小方格组成．现用7个这样的图形拼成一个8×4的长方形（可以重复使用某些图形）．那么，最少可以用上面七种图形中的几种？
3、能不能用9个2×3的长方形卡片拼成一个7×8的正方形？
4、
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在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求卡片的边缘与格线重合）
5、
6、
7
、
8、国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”
，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？。