重庆市南开中学2020-2021学年高2020级高二下学期期末数学(理)试题

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重庆市南开中学2020-2021学年高二下学期期末考试物理试题含答案

重庆市南开中学2020-2021学年高二下学期期末考试物理试题一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列关于速度的说法中正确的是A ．某物体在某段时间里的瞬时速度都为零，则该物体在这段时间内静止B ．做直线运动的物体，在某段时间内平均速度的大小等于该段时间的平均速率C ．平均速度一定等于初、末两个时刻瞬时速度的平均值D ．做匀加速直线运动的物体在相同时间间隔里的平均速度是相同的2． 2021年6月17日，在神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功实现自主快速交会对接后，于18时48分，航天员聂海胜、刘伯明、汤洪波先后进入天和核心舱，标志着中国人首次进入自己的空间站。

则下列说法正确的是A ．宇航员在太空中由于完全失重，所以没有惯性B ．宇航员进入核心舱需借助外力，说明力是维持物体运动的原因C ．载人飞船加速升空的过程中，宇航员对座椅的压力与其受到的支持力大小相等D ．宇航员在空间站内用力F 双手互拉弹簧两端时，弹簧弹力大小为2F3．中国“嫦娥五号”在月球采集的约2公斤月壤中含有地球上鲜有的He 32，He 32是地球上很难得到的清洁、安全和高效的核聚变发电燃料，被科学家们称为“完美能源”。

有关He 32聚变的核反应方程如下：①MeV 3.3X He H H 322121++→+ ，②12.86MeV Y 2He He He 423232++→+；下列说法正确的是A ．X 为质子，Y 为中子B ．He 32的比结合能比He 42的比结合能大C ．方程①中：质量亏损约为5.9×10-31kgD ．方程②中：核子平均释放的能量约为2.14MeV4．建筑工地，一货箱在电机牵引力下从高处竖直向下送至地面进行装货，已知该货箱先后经历匀加速、匀速、匀减速直线运动三个阶段。

从货箱加速过程结束时开始计时，测得电机牵引力F 随时间t 变化的图象（F -t 图）如图所示，3t 时刻货箱速度恰好为0且到达地面。

2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年重庆市高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ，若系数b ，c ，d 可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ，c4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29，当地人小王16岁时身高167cm ，他父亲身高170cm ，则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ，在x =−1时有极大值6e −1，则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1，A 2，A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16，则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题：本题共3小题，共18分。

2020学年重庆市南开中学高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

2020学年重庆市南开中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知集合={22|}A x x x -≤，{|1B x x =＜－或3}x ＞，则A B =（） A ．RB ．()-∞，4C ．()431⎡⎫∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭-，-， D ．()()13∞⋃+∞－，－，【答案】C【解析】首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案. 【详解】根据题意得，2|2|x x -≤等价于()222|2|,0x x x -≤≥，解得443x ≤≤，于是()431A B ⎡⎫=∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭-，-，，故答案为C. 【点睛】本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.2．设随机变量 ()2~3,1.5X N ，()40.7P X ≤=，则()2P X ≤=（）A ．0.3B ．0.4C ．0.2D ．0.1【答案】A【解析】根据正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】由于()40.7P X ≤=，故()40.3P X ≥=，则()()4.320P X P X ≥=≤=，故答案为A. 【点睛】本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.3．复数z 满足(1)1z i ai +=-，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（）A ．[11]－，B ．()1∞－，－C ．()11－，D ．()1+∞，【答案】C【解析】首先化简z ，通过所对点在第四象限建立不等式组，得到答案. 【详解】根据题意得，()1(1)1111222ai i ai a az i i ----+===-+，因为复平面内对应的点在第四象限，所以1021+02aa -⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得11a -<<，故选C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，难度不大. 4．已知0a <，若4(2x 的展开式中各项系数之和为81，则展开式中常数项为（） A ．1 B ．8 C ．24 D ．32【答案】B【解析】通过各项系数和为1，令1x =可求出a 值，于是可得答案. 【详解】根据题意，在4(2x 中，令1x =，则4(2)81a -=，而0a <，故1a =-，所以展开式中常数项为3142=8C ，故答案为B.【点睛】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.5．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（）A ．1(,)23π-B ．1(,)23πC ．(1,)3π-D ．(1,)3π【答案】A【解析】由圆cos()3πρ=θ+，化为21(cos )22ρρθθ=-，∴2212x y x y +=-，化为2211()(44x y -++=，∴圆心为1(,)44-，半径r=12．∵tanα=，取极角3π-，∴圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)23π-．故选A ．6．从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了3套卷，即：全国I 卷，全国II 卷，全国III 卷.小明同学马上进入高三了，打算从这9套题中选出3套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（） A ．184B ．142C ．128D ．114【答案】D【解析】先计算出9套题中选出3套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案. 【详解】通过题意，可知从这9套题中选出3套试卷共有39=84C 种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有336A =种可能，于是所求概率为61=8414.选D. 【点睛】本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大. 7．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1x y e =-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（）A ．23e - B ．13e - C ．43e- D ．53e- 【答案】D【解析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()11001|2xx edx e x e -=-=-⎰，故所求概率为25133e e---=，故选D.【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等. 8．已知,0x y >，33122x y +=++，则2x y +的最小值为（）A ．9B ．12C ．15D ．3【答案】D【解析】首先可换元2a x =+，2b y =+，通过()332=2a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由题意，可令2a x =+，2b y =+，则=2x a -，2y b =-，于是()3312,2a b a b+=>>，而2=26x y a b ++-， ()33632=2=9+9b a a b a ba b a b ⎛⎫++++≥+ ⎪⎝⎭2x y +的最小值为3，故答案为D. 【点睛】本题主要考查基本不等式的综合应用，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.9．命题P ：“关于x 的方程220x ax ++=的一个根大于1，另一个根小于1”；命题q ：“函数1()1xx h x e +=-的定义域内为减函数”.若p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．()3-+∞，B ．()3-∞-，C ．(]3-∞，D ．R【答案】B【解析】通过分析命题q 为假命题只能P 真，于是可得到答案. 【详解】命题P 真等价于(1)120f a =++<即3a <-；由于()h x 的定义域为{}|0x x ≠，故命题q 为假命题，而p q ∨为真命题，说明P 真，故选B. 【点睛】本题主要考查命题真假判断，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力，难度中等.10．2019年高考结束了，有5为同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（） A ．84 B ．48 C ．36 D ．28【答案】A【解析】首先先计算出所有的可能分组情况，从而计算出分配方案. 【详解】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A. 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生的分析能力，分类讨论能力，计算能力，难度中等.11．给出下列四个说法：①命题“0,x 都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃≤使得0012x x +<”；②已知0a b 、＞>a b >”的逆命题是真命题；③1x >是21x >的必要不充分条件;④若0x x =为函数2()2ln x f x x x x e -=++-的零点，则002ln 0x x +=，其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】对于①②③④分别依次判断真假可得答案. 【详解】对于①，命题“0,x 都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃>使得0012x x +<”，故①错误；>a b >”的逆命题为“若a b >>1x >则21x >，若21x >则1x >或1x <-，因此1x >是21x >的充分不必要条件，故③错误；对于④，若0x x =为函数2()2ln x f x x x x e -=++-，则020002ln =0x x x x e -++-，即()020000=2ln 0x x x e x x --+>，可令000()2ln h x x x =+，则002'()10h x x =+>，故0()h x 为增函数，令()02000=()0x g x e x x -->，显然0()g x 为减函数，所以方程00()=()h x g x 至多一解，又因为002ln 0x x +=时022000ln 0x x x e x ---∴==，所以002ln 0x x +=，则④正确，故选C. 【点睛】本题主要考查真假命题的判断，难度中等.12．已知函数2()23,(0,)x f x e ax ax x =++-∈+∞，若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．(-1,0) B ．1,22e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在(0,)+∞小于0有解，于是转化为斜率问题求解得到答案. 【详解】根据题意，得()22x f x e ax a '=++，若()f x 有最小值，即()f x 在(0,)+∞ 上先递减再递增，即()f x '在(0,)+∞先小于0，再大于0，令()0f x '<，得：2(1)x e a x <-+，令(),()2(1)x g x e h x a x ==-+，只需()h x 的斜率2a -大于过()1,0-的()g x 的切线的斜率即可，设切点为()00,x x e ，则切线方程为：000()x xy e e x x -=-，将()1,0-代入切线方程得：0=0x ，故切点为()01，，切线的斜率为1，只需21a ->即可，解得：12a <-，故答案为C.【点睛】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大.二、填空题13．已知集合[)21{|}A B x x a A B =+∞=≤≤⋂≠∅，，，，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】[)2,+∞【解析】通过A B ⋂≠∅，即可得到答案. 【详解】根据题意，A B ⋂≠∅，则2a ≥，所以实数a 的取值范围是[)2,+∞. 【点睛】本题主要集合交的运算，难度较小.14．一个袋子里装有大小形状完全相同的5个小球，其编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为1，则停止取球；若编号不为1，则将该球放回袋子中。

重庆市2020-2021学年高二数学下学期期末质量检测试题含答案

重庆市2020-2021学年高二下学期期末质量检测数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在没每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，那么的子集个数为A. 8B. 6C. 4D. 22.设为虚数单位，则复数z的虚部为A. B. 4 C. D. 4i3.不负青山，力换“金山”——重庆缙云山国家级自然保护区经过治理，逐步实现“生态美、百姓富”。

近几年，北碚区结合当地资源禀赋，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，加大缙云山棚户区改造，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施。

游客甲与乙同时沿下图旅游线路游玩。

甲将在第18站之前的任意一站下，乙将在第9站之前的任意一站下，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下的概率为A. B. C. D.4.假设地球是半径为r的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于Oxy平面上，z轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线弧是0度经线，位于xOz平面上，且交x轴于点0，，如图所示．已知赤道上一点位于东经60度，则地球上位于东经30度、北纬60度的空间点P的坐标为A. B. C. D.5.某商场为了解毛衣的月销售量件与月平均气温之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温17 13 8 2月销售量件24 33 40 55由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为6，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A. 46B. 40C. 38D. 586.康托是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数n的最小值为参考数据：，A. 4B. 5C. 6D. 77.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为A. B. 5 C. D.8.设，，，则A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届重庆市南开中学高三下学期第九次质检数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市南开中学高三下学期第九次质检数学（理）试题一、单选题1．用列举法表示集合35(,)|3x y A x y x y ⎧+=⎧⎫=⎨⎨⎬-=⎩⎭⎩，则下列表示正确的是（）A ．{}2,1x y ==-B ．(){}2,1-C ．{}2,1-D ．{}1,2-【答案】B【解析】解方程组353x y x y +=⎧⎨-=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩，即得解.【详解】解方程组353x y x y +=⎧⎨-=⎩得21x y =⎧⎨=-⎩. 所以(){}2,1A =-.故选：B 【点睛】本题主要考查集合的表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.2．已知5250125(2)x a a x a x a x -=++++，则012345a a a a a a -+--+的值为（） A ．1 B ．32- C ．243- D ．81【答案】C【解析】根据题意，令1x =-，即可求得012345a a a a a a -+--+的值，得到答案. 【详解】由5250125(2)x a a x a x a x -=++++，令1x =-，可得0123455(12)243a a a a a a -=---=--++.故选：C. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的系数的和问题，其中合理赋值求解是解答的关键，着重考查赋值思想，以及运算能力.3．设复数：20202021=+i i z ，其中i 为虚数单位，则z =（） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i --【答案】A【解析】根据虚数单位i 的周期即可得到答案. 【详解】2020202141==+=++i i i i z i故选：A 【点睛】本题主要考查虚数单位i 的周期，属于简单题. 4．已知x y <，则下列不等式一定成立的是（） A ．11x y> B ．1133x y <C ．33x y --<D ．()()22ln 1ln 1x y +<+【答案】B【解析】结合指数函数、幂函数的单调性可判断B 、C ，代入特殊值可判断A 、D ，从而可选出正确选项. 【详解】解：若1,1x y =-=时，1111x y-=<=，则A 不正确；因为()13f x x =为增函数，x y <，所以1133x y <，则B 正确；因为()133xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭为减函数，由x y <可得33x y -->，所以C 不正确；当1,1x y =-=时，()()22ln 2ln 1ln 1ln 2x y =+=+=，所以D 正确. 故选:B. 【点睛】本题考查不等式的性质，对不等式是否一定成立问题，可通过举反例说明它不一定成立. 5．已知则π(0,)2α∈，sin22cos22αα=+，则tan α=（）A B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】由二倍角公式代入化简即可得tan α.【详解】sin 22cos22αα=+，()22sin cos 21cos222cos αααα∴=+=⨯，所以sin 2cos αα=，故tan 2α=. 故选：C 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，考查学生的运算求解能力. 6．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男､子､伯，侯､公，共五级.若给有巨大贡献的3人进行封爵，假设每种封爵的可能性相等，则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为（） A ．35B ．1325C ．45D ．1225【答案】D【解析】先由题意，确定3人封爵所包含的总的基本事件个数，再求出满足条件的基本事件个数，基本事件个数比，即可为所求概率. 【详解】由题意，每个人被封爵都有5种情况，因此对3人封爵，共有35125=种，3人中恰好有两人被封同一等级共有223560C A =种情况；则3人中恰好有两人被封同一等级的概率为601212525P ==. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，属于常考题型.7．P 是双曲线222116x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线的方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线的左､右焦点，若112PF F F ⊥，则2PF =（） A ．12 B ．16C ．18D ．20【答案】A【解析】由双曲线的渐近线方程可得2a =，进而可得18PF =，再由双曲线的定义即可得解. 【详解】不妨设0a >，因为双曲线222116x y a -=的一条渐近线的方程为20x y -=，所以42a =即2a =，所以双曲线的方程为221416x y -=，所以点()1F -，所以点P 的横坐标为-P 的纵坐标为8±，所以18PF =，21212PF a PF =+=. 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线定义及渐近线方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．已知一组鞋码与身高的数据(x 表示鞋码，y (cm)表示身高)，其中m +n =360.若用此数据由最小二乘法计算得到回归直线ˆ 2.25yx a =+，则实数a =（） A ．82.5 B ．83.5 C ．84.5 D ．85.5【答案】B【解析】利用平均数公式求出样本中心坐标，代入回归直线方程，即可求出a 的值. 【详解】由题意可知：360m n +=， 4041424344425x ++++==，1721751831785m n y ++++==，将(x ，)y 代入回归直线可得178 2.2542a =⨯+⇒83.5a =，故选：B. 【点睛】本题考查平均数公式的应用以及回归直线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．9．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若cos 14a b C c =-，2BA BC ⋅=-，则ABCS=（）A ．B ．4C ．D ．【答案】A【解析】由已知条件利用正弦定理以及两角和差的正弦公式求出1cos 4B =-，再利用数量积的公式代入求出8BA BC =，最后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】由cos 14a b C c =-，利用正弦定理得：1sin sin cos sin 4A B C C =-，利用180180A B C A B C ++=︒⇒=︒--，则()sin sin A B C =+，即()1sin sin cos cos sin sin cos sin 4B C B C B C B C C +=+=-，得1cos 4B =-，sin B =cos 28BA BC BA BC B BA BC ⋅==-⇒=，11sin 822ABCSBA BC B ==⨯=故选：A. 【点睛】本题主要考查了正弦定理以及两角和差的正弦公式，考查了数量积的公式以及三角形面积公式.属于中档题.10．2020年5月5日，广东虎门大桥发生异常抖动，原因是一定流速的风流经桥面时，产生了卡门涡街现象.卡门涡街是流体力学中重要的现象，在自然界中常可遇到，在工业生产中也有很多成功的应用.比如在工业中广泛使用的卡门涡街流量计，就是利用卡门涡街现象制造的一种流量计.在流体中设置旋涡发生体(也称阻流体)，从旋涡发生体两侧交替地产生有规则的旋涡，这种旋涡称为卡门涡街.设旋涡的发生频率为f (单位：赫兹)，旋涡发生体两侧平均流速为u (单位：米/秒)，漩涡发生体的迎面宽度为d (单位：米)，表体通径为D (单位：米)，旋涡发生体两侧弓形面积与管道横截面面积之比为m ，根据卡门涡街原理，满足关系式：r m ds uf ⋅=⋅，其中：r s 称为斯特罗哈尔数.对于直径为d (即漩涡发生体的迎面宽度)的圆柱21m θπ⎤⎥=-⎥⎦，sin d D θ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.设d D α=，当0.005α≤时，在近似计算中可规定0α≈.已知某圆柱形漩涡发生体的直径为0.01米，表体通径为10米，在平均流速为20米/秒的风速下，发生的频率为420赫兹，则r s =（） A ．0.15 B ．0.32C ．0.21D ．0.36【答案】C【解析】先计算出0α≈，从而得到0θ≈，再根据题设中给出的公式可计算r s . 【详解】由题设可得0.01d =，10D =，=20u ，420f =，此时0.0010.005dDα==<，故0α≈，而0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，0θ≈，所以1m =，42010.010.2120r f m d s u⋅⋅⨯⨯===，故选：C. 【点睛】本题考查函数的应用，该问题背景新颖，题干较长，读懂题意是关键，本题属于基础题. 11．已知函数2()x x f x e e x -=++，则不等式()()23f x f x <-的解集为（） A ．()(),31,-∞-⋃+∞ B ．()1,2- C ．()0,1D ．()3,1-【答案】D【解析】设()()2,xxg x e e h x x -=+=，结合导数和二次函数的性质可判断两函数的单调性，由单调性的性质从而可求出()f x 的单调性；由奇偶性的定义判断出函数的奇偶性，从而可得23x x <-，进而可选出正确答案. 【详解】解：设()()2,xxg x e e h x x -=+=，由()21x xe g x e-'=，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，则()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由二次函数的性质可知，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，所以2()xxf x e e x -=++在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()()2x x f x ee xf x --=++=，所以()f x 为偶函数.由()()23f x f x <-可知，23x x <-，即()()2223x x <-，解得31x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查了函数单调性的求解，考查了函数奇偶性的判断，考查了转化的思想，属于中档题.12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段1BD 上的动点，下列四个结论：①存在点M ，使得1//C M 平面1AB C ； ②存在点M ，使得11D C DM -的体积为15； ③存在点M ，使得平面1C DM 交正方体1111ABCD A B C D -的截面为等腰梯形； ④若13D M MB =，过点M 作正方体1111ABCD A B C D -的外接球的截面，则截面的面积最小值为9π4. 则上述结论正确的是（） A ．①②④ B ．①③C ．②③④D ．①②【答案】B【解析】连接1DA ，11C A ，由面面平行的判定与性质即可判断①；由锥体体积公式结合111111D C DM M C D D B C D D V V V ---=≤即可判断②；由线面平行的性质可判断③；由正方体、球的几何特征可判断④. 【详解】对于①，连接1DA ，11C A ，如图，由正方体的几何特征可得平面11//DC A 平面1AB C ，令平面111DC A BD M ⋂=，则1//C M 平面1AB C ，所以存在点M ，使得1//C M 平面1AB C ，故①正确；对于②，11111111111113265D C DM M C D D B C D D V V V ---≤=⨯⨯⨯⨯=<=，所以不存在点M ，使11D C DM -的体积为15，故②错误；对于③，因为1//C D 平面11ABB A ，所以平面1C DM 交平面11ABB A 的交线与1C D 平行，由正方体的几何特征可得存在点M ，使截面为等腰梯形，故③正确；对于④，当且仅当M 为截面圆的圆心时，截面圆的面积最小，由正方体的几何特征可得该正方体的外接球球心为1BD 的中点，且半径为132BD =，所以最小截面的半径2233332244r ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时截面面积为9π16，故④错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了几何体几何特征的应用及体积的求解，考查了线面、面面位置关系的应用，属于中档题.二、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为60︒，||||2==a b ，则||a b +=_______________.【答案】【解析】由平面向量数量积的定义可得2a b ，再由()22||a b a b+=+，结合平面向量数量积的运算律即可得解. 【详解】因为向量a ，b 的夹角为60︒，||||2==a b ，所以||||cos602⋅=⋅=a b a b ，所以()2222||244412a b a b a a b b +=+=+⋅+=++=，所以||23a b +=.故答案为：【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.14π4，则圆锥的体积为_______________. 【答案】3π 【解析】由圆锥的几何特征可得圆锥的底面半径和高，再由圆锥体积公式即可得解. 【详解】，母线与底面所成角为π4，所以圆锥的底面半径r 及高h 满足1r h ===，所以圆锥的体积2133V r h ππ==. 故答案为：3π. 【点睛】本题考查了圆锥几何特征的应用及体积的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于基础题.15．已知1F ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和上顶点，点O 为坐标原点.过点3(,0)5a垂直于x 轴的直线交椭圆C 在第一象限的交点为P ，且1PB BF ⊥，则椭圆C 的离心率为___________.【答案】32【解析】求出1,,F B P 三点的坐标，利用10PB BF ⋅=计算可得. 【详解】由题意得：1(,0)F c -，(0,)B b ，把点3(,0)5a 代入椭圆方程得：22223()51ay a b+=，45y b =±， ∴ P 点坐标为34(,)55a bP ，∴3(,)55a bPB =-，1(,)BF c b =--，1PB BF ⊥，∴213055ac b PB BF ⋅=-=，得：23b ac =，即223a c ac -=，两边同除以2a 得：213e e -=，解得：e =，故答案为：32. 【点睛】此题考椭圆离心率的求法，向量法是其中一种比较常用的方法，属于基础题.三、双空题16．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点M -出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t 秒后，水斗旋转到点(),N x y ，其纵坐标满足()sin()y f t R t ωϕ==+，π0,0,||2t ωϕ⎛⎫≥>< ⎪⎝⎭，则函数()f t 的解析式为_______________，当[]10,25t ∈时，函数()f t 的最大值是_______________.【答案】()4sin()304f t t ππ=- 4 【解析】由点(22,2)M -，利用勾股定理求出R ，再利用周期60T =可得ω，最后代入点2,2)M -可得. 【详解】288164R R =+=⇒=，26030ππωω=⇒=，则()4sin()30f t t πϕ=+又(0)4sin 224f πϕϕ==-⇒=-，所以()4sin()304f t t ππ=-，当71025,1230412t t ππππ≤≤≤-≤，所以45,30422t t πππ-==时，()f t 取得最大值为4. 故答案为：()4sin()304f t t ππ=-；4. 【点晴】此题考根据图像求三角函数的解析式，属于简单题.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和()1n S n n =+，其中*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*2232,,k k a a a k ++∈N为等比数列{}nb 的前三项，求数列{}nb 的通项公式.【答案】（1）2n a n =；（2）12n n b +=.【解析】（1）由数列n a 与n S 的关系运算即可得解；（2）由数列{}n a 的通项公式及等比中项的性质列方程可得2k =，进而可得等比数列{}n b 的首项和公比，即可得解.【详解】（1）当2n ≥时，()()1112n n n a S S n n n n n -=-=+--=，当1n =时，112a S ==，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =；（2）由题意可得24a =，224k a k +=+，3264k a k +=+ 因为()*2232,,k k a a a k ++∈N为等比数列，所以2(24)4(64)k k +=+，解得2k =或0(舍)，所以等比数列{}n b 的前3项为4，8，16，所以{}n b 的公比2q，所以数列{}n b 的通项公式为1111422n n n n b b q --+==⋅=.【点睛】本题考查了等比、等差数列的综合应用及数列n a 与n S 的关系的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.18．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点.（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）若直线1B C 与1AA 所成的角为45，求二面角B DC E --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）32. 【解析】（1）取BC 的中点F ，连接AF 、EF ，证明出四边形ADEF 为平行四边形，可得出//DE AF ，再证明出AF ⊥平面11BCC B ，由此可证明出DE ⊥平面11BCC B ；（2）设2AB AC ==，先利用异面直线所成的角为1145B CC ∠=，可计算出11122CC B C ==，然后以点A 为坐标原点，以AB 、AC 、1AA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，AB AC =，F 为BC 的中点，AF BC ∴⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，1BB AF ∴⊥，1BB BC B =，AF ∴⊥平面11BCC B .E 、F 分别为1B C 、BC 中点，112EF BB ∴=，1//EF BB ， D 为1AA 中点，112AD BB ∴=，1//AD BB ，//AD EF ∴，AD EF =， ∴四边形ADEF 为平行四边形，//AF DE ∴，所以DE ⊥平面11BCC B ；（2）设2AB AC ==，11//AA CC ，11B CC ∴∠为异面直线1B C 、1AA 所成的角，1145B CC ∴∠=，11122CC B C ∴==，以A 为坐标原点，以AB 、AC 、1AA 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()1,1,0F ，(2D ，(2E ，()2,2,0BC =-，(2BD =-，(1,2CE =-，()1,1,0DE AF ==，设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =，由00m BC m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得220220x y x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，则1y =，z =BCD 的一个法向量(m =，设平面CDE 的法向量为(),,n a b c =，由00n CE n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得00a b a b ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令1a =-，则1b =，c =CDE 的法向量为(1,1,n =-，设二面角B DC E --的大小为θ，·21cos 222m n m n θ===⋅⨯，所以sin 2θ==. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．新型冠状病毒肺炎(简称新冠肺炎)是由严重急性呼吸系统综合症冠状病毒2感染后引起的一种急性呼吸道传染病，临床表现为发热､乏力､咳嗽和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，新冠肺炎疫情得到了控制.我国科研人员也在积极研究新冠肺炎的疫苗，在研究中利用小白鼠进行科学试验，为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现呼吸困难症状(记为H 症状)的情况，决定对小白鼠进行接种试验，该试验的要求为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现H 症状的概率均为13，假设每次接种后当天是否出现H 症状与上次接种无关.（1）若某只小白鼠出现H 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次H 症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为X ，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）1927；（2）分布列答案见解析，数学期望为：1669729. 【解析】（1）结合概率的乘法公式计算出第一天、第二天、第三天接种后当天出现H 症状的概率，再由概率的加法公式即可得解；（2）由独立重复试验概率公式可得一个周期内出现2次或3次H 症状的概率，再结合概率的乘法公式可得(1)P X =、(2)P X =、(3)P X =，即可得分布列，再由期望的公式即可得期望.（1）已知每只小白鼠接种后当天出现H 症状的概率均为13，且每次试验间相互独立，所以一只小白鼠第一天接种后当天出现H 症状的概率为113P =，第二天接种后当天出现H 症状的概率为21121339P ⎛⎫=-⋅= ⎪⎝⎭，第三天接种后当天出现H 症状的概率为311141133327P ⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为12419392727P =++=；（2）设事件A 为“一个周期内出现2次或3次H 症状”，则2323331217()33327P A C C ⎛⎫⎛⎫=⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，随机变量X 可能的取值为1，2，3，则7(1)27P X ==，77140(2)12727729P X ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭， 77400(3)112727729P X ⎛⎫⎛⎫==-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望为728012001669()27729729729E X =++=. 【点睛】本题考查了概率加法、乘法公式的应用，考查了离散型随机变量分布列及期望的求解，属于中档题.20．已知抛物线2:2(0)T x py p =>的焦点为F ，B ，C 为抛物线C 上两个不同的动点，(B ，C 异于原点)，当B ，C ，F 三点共线时，直线BC 的斜率为1，2BC =. （1）求抛物线T 的标准方程；（2）分别过B ，C 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，N ，若MNPBCFSS=，求BC 中点P 的【答案】（1）2yx ；（2）2122y x =+. 【解析】（1）设直线BC 的方程为：2py x =+，联立直线与抛物线的方程，设()()1122,,,B x y C x y ，从而求得BC 的长，即可解出p 的值，得出抛物线T 的标准方程；（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出,M N 的坐标，表示出MNFS 以及直线BC 的方程，令直线BC 与y 轴交于点H ，则()120,H x x -，表示出BCFS ，利用MNPBCFS S=即可求出轨迹. 【详解】（1）设直线BC 的方程为：2py x =+，则2222022p y x x px p py x⎧=+⇒--=⎪⎨⎪=⎩，设()()1122,,,B x y C x y ，则121||11||22BC x x p =+-=⇒=，所以抛物线T 的标准方程为：2yx .（2）令()()1122,,,B x y C x y ，1(0,)4F ，则()()12,0,,0M x N x ，则121124MNFSx x =-，直线BC 的方程为：()()2111121221y y y y x x y x x x x x x x --=-⇒=+--，令直线BC 与y 轴交于点H ，则()120,H x x -，所以121||||4HF x x =+， 121||||2BCFSHF x x =- 所以12121212111111||242442x x HF x x x x x x -=-⇒+=⇒=-或0(舍)，令BC 中点为()00 ,P x y ，则()12022222121200121202222122x x x y y x x y x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨++⎪==⇒=++=-⎪⎩，所以中点轨迹方程2122y x =+. 【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程和点的轨迹方程，属于中档题. 21．已知函215()2ln 422f x x x x x =+-+. （1）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()y h x =，并证明：()()f x h x ≥；（2）当512-<<a 时，方程()f x a =有两个不同的实数根12,x x ，证明：2123-<+x x a .【答案】（1）y x =-，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）首先求出导函数()2ln 2f x x x '=+-，利用导数的几何意义以及点斜式方程可求切线方程；构造函数215()2ln 322x x x x x φ=+-+，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最小值min [()](1)0x φφ==即证.（2）12,x x 为方程()f x a =的两根，不妨设12x x <，由()2ln 2f x x x '=+-在(0,)+∞上单调递增，根据零点存在性定理可知，存在012x <<，使0()0f x '=，由y xy a =-⎧⎨=⎩，得x a =-，由（1）可得1x a >-，212x x x a -<+，然后利用分析法即可证出. 【详解】（1）()2ln 2f x x x '=+-，所以()11f '=-，()11f =-，即切线方程：y x =-.下证：2152ln 422x x x x x +-+≥-，令215()2ln 322x x x x x ϕ=+-+ 因为：()2ln 1x x x ϕ'=+-，显然()x ϕ'在()0,∞+单调递增，()10ϕ'=，所以易得()x ϕ在()0,1递减，()1,+∞递增，所以()()min 10x ϕϕ⎡=⎣⎦=⎤，所以()()f x h x ≥. （2）215()2ln 422f x x x x x =+-+，则12,x x 为方程()f x a =的两根，不妨设12x x <，显然()2ln 2f x x x '=+-在0x >时单调递增，由()10f '<，()20f '>，所以存在012x <<，使()00f x '=，当()00,x x ∈，()0f x '<，()f x 递减，()0,x x ∈+∞，()0f x '>，()f x 递增，由（1）得()()f x h x ≥，y xx a y a =-⎧⇒=-⎨=⎩，所以：1x a >-，∴212x x x a -<+，要证：2123-<+x x a ，需证：223x a a +<+，即证：23x a <+，因为：512-<<a ，所以03a x +>，即证：()()23f a f x +>，即：215(3)2(3)ln(3)4(3)22a a a a a ++++-++>，令215()(3)2(3)ln(3)4(3)22F a a a a a a =++++-++-，2122(3)ln(3)52a a a a =-+++-，()()23F a a n a l '=++，显然()F a '在5(1,)2-单调递增，且()112ln20F '-=-+>，因为()F a 在5(1,)2-单调递增，所以5()(1)4ln 202F a F >-=->，即不等式成立. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数证明不等式、分析法证明不等式，考查了转化与化归的思想，要求有较高的推理能力，属于难题.22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为π,0,π22sin 6π1,π.2θθρθ⎧≤<⎪⎛⎫⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩ （1）求曲线C 与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线1sin2ρθ=交于A，B两点，求AB.【答案】（1）13π4+；（2）3【解析】（1）利用互化公式，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线C与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1与3的直角三角形，即可求出面积；（2）联立方程组，分别求出A和B的坐标，即可求出AB.【详解】解：（1）由于C的极坐标方程为3π,0,π22sin6π1,π.2θθρθ⎧≤<⎪⎛⎫⎪+⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎪≤≤⎪⎩，根据互化公式得，曲线C的直角坐标方程为：当03x<≤时，330x y+-=，当10x-≤≤时，221x y+=，则曲线C与极轴所在直线围成的图形，是一个半径为1的14圆周及一个两直角边分别为1与3的直角三角形，∴围成图形的面积13π4S=+.（2）由11sin2ρρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得5π1,6A⎛⎫⎪⎝⎭，其直角坐标为321⎛⎫⎪⎪⎝⎭，1sin2ρθ=化直角坐标方程为12y=，2sin 6ρθ=+ ⎪⎝⎭化直角坐标方程为x =∴122B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴AB ==【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.23．已知0a >，0b >. （1）若1a b +=，求14a b+的最小值；（2+≥ 【答案】（1）9；（2）证明见解析. 【解析】（1）首先将14a b+转化为144()()1144b a a b b b a a b a +=++=+++，再利用基本不等式求最小值即可.（2）首先将题意转化为证明≥，再利用作差法证明即可. 【详解】（1）因为0a >，0b >，所以144()()145914b aa b a a b bb a ++=+++≥+==+，当且仅当：2113b a a a b =⎧⇒=⎨+=⎩，23b =时取最小值9.（2）因为0a >，0b >，+≥≥而a b =+.2)0a b =-=-≥，当且仅当“a b =”时取等号.≥【点睛】本题第一问考查基本不等式求最值，第二问考查做差法证明不等式，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题.第 1 页共 21 页。

重庆南开中学高高二(下)期末考试数学试题(理)及答案

南开中学高高二(下)期末测试卷数学（理工农医类）数学（理工农医类）测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若iim -+1是纯虚数，则实数m 的值为（A ）1-（B ）0（C（D ）1（2）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-=0,1log 0≤,12)(2x x x x f x ，则=))41((f f（A ）21-（B ）21（C ）1（D ）7（3）已知集合{|}A x x a =<，3{|log 1}B x x =<，()R A B R =ð，则实数a 的取值范围是（A ）3a > （B ）3a ≥ （C ）3a ≤ （D ）3a < （4）已知,a b R ∈,“1a b >-”是“a b >”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）某个自然数有关的命题，如果当)(1*∈+=N n k n 时，该命题不成立，那么可推得k n =时，该命题不成立.现已知当2012=n 时，该命题成立，那么，可推得（A ）2011=n 时，该命题成立（B ）2013=n 时，该命题成立（C ）2011=n 时，该命题不成立（D ）2013=n 时，该命题不成立（6）一个几何体的三视图如题(6)图所示，则该几何体的侧面积为（A）（B）（C ）4 （D ）8（7）对给出的下列命题：①2,0x R x ∀∈-<；②2,5x Q x ∃∈=；③2,10x R x x ∃∈--=； ④若2:,1p x N x ∀∈≥，则2:,1p x N x ⌝∃∈<．其中是真命题的是（A ）①③ （B ）②④ （C ）②③（D ）③④（8）3个女生与2个男生站成一排合影，要求女生甲不站左端，且其中一个女生恰好站在两个男生之间的站法有（A ）48种（B ）36种（C ）28种（D ）12种（9）若]22,22[-∈∃k使2(1) ||a k k +≤成立，则实数a 的取值范围是（A ）]0,(-∞（B ）]41,(-∞（C ）]42,(-∞（D ）]82,(-∞ 2 22 正视图 222侧视图俯视图题(6)图（10）如题（10）图，用4个半径为1的小圆去覆盖一个半径为2的大圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）（A ）1π（B ）11π-（C ）21π-（D ）112π-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．（11）二项式91()x x-的展开式中3x 的系数是．（12）已知映射B A f →：,其中R B A ==,对应法则，：222+-=→x x y x f 若对实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是 . （13）已知函数()f x x =0,0a b >>且()(1)f a f b =-，则14a b+的最小值为 .考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．（14）如题(14)图，圆O 的半径为1，直线AB 与圆O 相切于点B ，3=AB ，直线AO 交圆O 于D C 、两点，则BD 的长为．（15）在极坐标系中，点(2,0)A 到曲线2:4sin 3C θ=上点P 的距离最小，点P 的极坐标为．（16）设函数()||3f x x a x =-+,其中0a >,若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x -≤，则a 的值为．题(10)图三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分13分）甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是33,,45m ，且三人能否达标互不影响．（Ⅰ）若三人中至少有一人达标的概率是2425，求m 的值；（Ⅱ）设甲在3次相互独立的测试中能达标的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望．（18）（本小题满分13分）已知定义在R 上函数2()1x bf x x ax +=++为奇函数．（Ⅰ）求a b +的值；（Ⅱ）求函数()f x 的值域．（19）（本小题满分13分）如题(19)图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，122,,DC DD AD AB AD DC ===⊥AB ∥DC ．（Ⅰ）求证：平面1BCD ⊥平面1D BD ；（Ⅱ）求二面角11B AC D --的大小．（20）（本小题满分12分）设函数x e ax ax x f )1()(2++=，其中R a ∈．（Ⅰ）若()f x 在其定义域内是单调函数，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()f x 在)0,1(-内存在极值，求a 的取值范围.（21）（本小题满分12分）题(19)图C 1D 1A 1B 1DCB A已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别是1A 、2A ，离心率为，点(1,)2A 在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 过点(1,0)且与椭圆C 交于P 、Q 两点,设直线1PA 与2QA 的交点为00(,)M x y ，求证：0=4x .（22）（本小题满分12分）已知集合{|,,,0,0}mQ x x m Z n Z m n n*==∈∈≠≠，设Q *的子集S 满足如下性质：（1）如果,a S b S ∈∈，则,a b S ab S +∈∈；（2）r Q *∀∈， r S ∈与r S -∈有且仅有一条成立.求证：（Ⅰ）1S ∈；（Ⅱ）设*r Q ∈，则r S ∈的充要条件是0r >.高二下期末考试参考答案（理科）一、选择题 DABBB DDCCD 二、填空题11. 84- 12. (,1)-∞ 13. 914. 15. (1,)3π16. 2三、解答题17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设三人中至少有一人达标为事件A ，则332431()1(1)(1)(1);45255p A m m -=----=⇒=……………6分（Ⅱ）03(0)p C ξ==311()464=，123319(1)()()4464p C ξ===2233127(2)()()4464p C ξ===，333327(3)()464p C ξ===ξ∴的分布列为19272790123.646464644E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=……………13分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由()f x 为R 上的奇函数，知(0)0,(1)(1)f f f =-=-，由此解得0,0a b ==，故0a b +=.（Ⅱ）设21x y x =+的值域为C ，则y C ∈当且仅当关于x 的方程20yx x y -+=有根，当0y =时，根为0x =符合；当0y ≠时，2140y ∆=-≥，于是1122y -≤≤且0y ≠；综上，值域为11[,]22-. 19．（本小题满分13分）解：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：设1AD AB ==,则(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0)A B C1111(1,0,2),(1,1,2),(0,2,2),(0,0,2)A B C D -………2分（Ⅰ）1(1,1,0),(1,1,2)BC BD =-=--1(0,0,2)DD =11(1,1,0)(1,1,2)0,BC BD BC BD ⋅=-⋅--=∴⊥11(1,1,0)(0,0,2)0,,BC DD BC DD BC ⋅=-⋅=∴⊥∴⊥平面1D DB∴平面1BCD ⊥平面1D BD ;………………7分（Ⅱ）1(0,1,2),A B =-1(1,2,2),AC =--11(1,0,0),A D =- 设平面1BA C 与平面11A CD 的法向量分别为：(,,),(,,)m x y z n a b c ==则11m AC m A B⎧⊥⎪⇒⎨⊥⎪⎩2202202x y z x z y z y z -+-==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，令1,z =则(2,2,1),m = 111n AC n A D ⎧⊥⎪⇒⎨⊥⎪⎩22000x y z x x y z -+-==⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，令1,z =则(0,1,1),n = cos ,||||32m n m n m n ⋅∴<>===∴二面角11B A C D --的大小为3.4π……………13分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）xe a ax ax xf )()(132+++=' )(x f 在R 上单调，则当0=a 时，0>='x e x f )(，符合；当0≠a 时，01492≤+-=)(Δa a a 即540≤<a ； 540≤≤∴a ；（Ⅱ）要使()f x 在),(01-内存在极值，由（Ⅰ）知首先有0<a 或54>a ，另外还需要方程0132=+++=a ax ax x g )(的根在),(01-内对称轴123-<-=x ∴只需001<-)()(g g解得1>a 或1-<a 1>∴a 或1-<a ．21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2242e a b =⇒= 由22221314,14a b a b+=⇒==.椭圆C 的方程为2214x y +=……………4分（Ⅱ）设:1l x my =+,由22221(4)230.41x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩设112212122223(,),(,),,44m P x y Q x y y y y y m m ∴+=-=-++.……………7分又设E 为直线1A P 与4x =的交点，N 为直线2A Q 与4x =的交点.1A P 的方程是11116(2)22E y y y x y x x =+⇒=++,同理,2222N y y x =- 由121212126232()2231E N y y y y y y x x my my -=-=-+-+- 1221123(1)(3)2(3)(1)y my y my my my --+=+-12121223()20(3)(1)my y y y my my -+=⋅=+-E N y y =,E 、N 为同一个点. 即1A P 与2A Q 的交点E 横坐标为4.……12分22．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由条件（2），1S ∈与1S -∈有且仅有一条成立，若1S -∈，则1S ∉，又由条件（1），1(1)(1)S =--∈，这是一个矛盾.故1S ∈.（Ⅱ）若n S ∈，又由（Ⅰ）知1S ∈，则由条件（1），1n S +∈，由数学归纳法原理，这说明S 包含所有的正整数.现在我们考虑一个正的分数(0,0)mm n n>>，由条件（2），m S n ∈与m S n -∈有且仅有一个成立，若m S n -∈，又已证n S ∈，则由条件（1），()mm n S n-=-∈，这与已证的m S ∈矛盾（m S -∈与m S ∈有且仅有一条成立）.故mSn∈.即S 包含所有的正分数.于是由条件（2），S 不可能含有任何负分数.。

重庆市南开中学高二数学下学期期末考试试题理

重庆南开中学高2016级高二(下)期末考试数学试题(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第I 卷(选择题共60分)一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合{0,1,2}A =，1{|0,}1B x x R x =>∈-，则U AC B I =（） A ．{0}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}2．已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则p ⌝是（） A ．2,210x R x ∀∈+≤B ．200,210x R x ∃∈+>C ．200,210x R x ∃∈+<D ．200,210x R x ∃∈+≤3．函数y =的定义域是（） A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞4．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．b ＞a ＞cD ．a ＞c ＞b5．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（） A ．ln(1)y x =+ B ．|1|y x =- C ．1()2xy =D ．2sin y x x =-6．已知,x y 的取值如下表所示从散点图分析，y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a =（） A ．2.2B ．2.4C ．2.6D ．2.87．已知a 为实数，则||1a ≥是关于x 的不等式|3||4|x x a -+-≤有解的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若函数2()log ()a x af x x+=有最小值1，则a 等于（）A ．14B ．12C ．2D ．49．右图为函数2()f x x ax b =++的图象，'()f x 为函数()f x 的导函数，则函数()ln '()g x x f x =+的零点所在的区间是（） A ．11(,)42B ．(1,2)C ．1(,1)2D ．(2,3)10．定义在R 上函数()f x 满足：()()f x f x =-，(2)(2)f x f x +=-，若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为30x y +-=，则()y f x =在2015x =的切线方程为（） A ．30x y +-=B ．20130x y --=C ．20150x y --=D ．20170x y -+= 11．点00(,)P x y 是曲线C ：||(0)x y ex -=≠上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则△AOB 面积的最大值为（） A ．2eB ．4eCD．12．已知偶函数():ff x Z Z −−→，且()f x 满足：(1)1,(2015)1f f =≠，对任意整数,a b 都有()max{(),()}f a b f a f b +≤，其中,max{,},x x yx y y x y ≥⎧=⎨<⎩，则(2016)f 的值为（） A ．0B ．1C ．2015D ．2016第Ⅱ卷(非选择题共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上． 13．设随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，若(23)(3)P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为_____． 14．若函数3()f x x a =-的图象不经过第二象限，则实数a 的取值范围是__________15．已知函数2()|1|f x x =-，在[0,1]上任取一数a ，在[1,2]上任取一数b ，则满足()()f a f b ≤的概率为___________16．己知函数,0()1,0x e a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程(())0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围为_________三．解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)已知命题21:()93a a p -<，:|21|4q a -<，若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．18．(本题满分l2分)某校小卖部根据以往某种商品的销售记录，绘制了如下的日销售量频率分布直方图．若以日销售量的频率为概率，假设每天的销售量是相互独立的．结合直方图相关数据，以此来估计未来连续3天日销售量．(I)求在未来3天里，恰好只有连续．．2天的日销售量都高于100个的概率；(II)用X 表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．(本题满分12分)已知函数2()2ln 3f x x x x ax =--+，其中a R ∈.(I)设曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线210x y -+=平行，求a 的值； (II)若函数()f x 在1[,]e e上单调递减，求a 的取值范围．20．(本题满分12分)已知函数2()log (41)()xf x kx k R =++∈是偶函数．(I)求k 的值；(II)设函数()log 2(24)xg x a a =⋅-，其中0a >．若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围．21．(本题满分12分)已知函数(),()xf x eg x ax b ==+，其中,a b R ∈．(I)若1a =-，函数1()()y f x g x =+在(0,)+∞上有意义，求b 的取值范围；(II)若021a b ≤≤≤，求证：当0x ≥时，11()()x f x g x +≥请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10)选修4-1：几何证明选讲如图△ABC 内接于圆O ，AB=AC ，直线MN 切圆O 于点C ，弦BD ∥MN ，AC 与BD 相交于点E ． (I)求证：△ABE≌△ACD； (II)若AB=6，BC=4，求DEAE的值.23．(本小题满分10)选修4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，己知曲线C 1的方程为2cos 2sin ρθθ=+，直线C 2的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=--⎩（t 为参数） (I)将C 1的方程化为直角坐标方程；(II)P 为C 1上一动点，求P 到直线C 2的距离的最大值和最小值．24．(本小题满分10)选修4-5：不等式选讲设函数()|2||3|f x x x a =+--- (I)当1a =时，求函数()f x 的最大值； (II)若4()f x a≤对任意x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．。

2020-2021人教版高二下学期数学期末检测试卷附答案解析[最新]

人教版高二（下学期）数学期末检测试卷
一、选择题：本大题共13小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}，则A∪B（）
A．（﹣∞，2）B．（0，1）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，1）
2．在复平面内，复数g（x）满足，则z的共轭复数对应的点位于（）
（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
21．已知函数f（x）= x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间，并求出f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值．
（Ⅱ）若该地1月份某天的最低气温为6℃，预测该店当日的营业额
（参考公式： = = ， = ﹣ ）．
20．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．
A．375B．﹣375C．15D．﹣15
8．若函数h（x）=2x﹣ + 在（1，+∞）上是增函数，则实数k的取值范围是（）
A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，2]
9．设随机变量X～B（10，0.8），则D（2X+1）等于（）
A．1.6B．3.2C．6.4D．12.8
10．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）

2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题

2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2),且P (μ-2σ<X<μ+2σ)=0．954 4,P (μ-σ<X<μ+σ)=0．682 6．若μ=4,σ=1,则P (5<X<6)=( )A ．0．135 9B ．0．135 8C ．0．271 8D ．0．271 6 1．(文科做)若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ． a >－3C ． a ≤－3D ．a ≥－32．集合A ＝｛1，2，3，a ｝，B ＝｛3，a ｝，则使A ∪B ＝A 成立的a 的个数是（） A ．2个 B ．5个 C ．3个 D ． 4个3．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{3,6}B ．{2,6}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,4,6}4．已知随机变量ξ,η满足ξ+η=8,且ξ服从二项分布B (10,0．6),则E (η)和D (η)的值分别是( ) A ．6和2．4B ．2和5．6C ．2和2．4D ．6和5．64．(文科做)函数y ＝f (2x －1)的定义域为[0,1]，则y ＝f (x )的定义域为( )A ． [0,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ． [－1,1] D ．[]－1，0其线性回归方程一定过的定点是（） A ．(2,2) B ．(1,2) C ．(1．5,0)D ．(1．5,5)6．已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A ∩B=( )A ．{x|2<x<3}B ．{x|x<4或x>5}C ．{x|2<x<5}D ．{x|x<2或x>5}7．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．(文科做)已知某四个家庭xx 上半年总收入x (单位：万元)与总投资y (单位：万元)的对照数据如表所示：根据上表提供的数据，若用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0．7x ＋0．35，则m 的值为( )A ． 3B ． 5C ． 4D ．68．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，x 0 1 2 3 y2468x 3 4 5 6y 2．5 3 m 4．5则E (ξ)等于( )A ．35B ．815C ．1415D ．1 9．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0．6，乙被录取的概率为0．7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0．12B ．0．42C ．0．46D ．0．889．(文科做)函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间是( )A ．(－∞，－3)B ．[2，＋∞)C ．[0,2)D ．[－3,2]10(文科做)．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( )A ．13B ．0C ．－13D ．1 10．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A ．C 35C 14C 45B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49C ．35×14D ．C 14×⎝ ⎛⎭⎪⎫593×4911． f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞) B．[8,9] C ．(8,9] D ．(0,8) 12．函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ． (－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,用ξ表示取到白球的个数,则P (ξ=1)= 13．（文科做）下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1．其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为_______14,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体．经过搅匀后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X ,则X 的均值E (X )=14(文科做)．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋xx ，且f (xx)＝xx ，则f (－xx)＝________．15．下列是关于男婴与女婴出生时间调查的列联表：那么a= ,b= ,c= ,d= ,e= ．16．已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a >0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________三．解答题：（本大题共６小题，共70分）17．（本题满分10分）已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）设命题p ：函数f (x )＝lg (ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为1/2，乙每次击中目标的概率为2/3 (1)记甲击中目标的次数为X ,求X 的概率分布列及数学期望E (X ); (2)求乙至多击中目标2次的概率; (3)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率19(文科做)已知p ：A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，q ：B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－9≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若p 是非q 的充分条件，求实数m 的取值范围20（本题满分12分）将编号为1,2,3,4的四个材质和大小都相同的球，随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子放一个球，ξ表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数． (1)求1号球恰好落入1号盒子的概率；(2)求ξ的分布列．20(文科做)某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下： API [0， 50] (50， 100] (100， 150] (150， 200] (200， 250] (250， 300] (300，＋∞) 空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S (单位：元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤ω≤100，3ω－200，100<ω≤300，2000，ω>300.试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P (K 2≥k 0)0．25 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k 0 1．323 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．87910．828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10021．（本题满分12分）已知函数f(x)＝x·|x|－2x．(1)求函数f(x)＝0时x的值；(2)画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围．22．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a>0)．(1)当a＝4时，求不等式的解集；(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．西宁市第四高级中学xx —17xx 第二学期期末测试试题答案高二数学1 2 3 4 5 6 A DABCD7 8 9 10 11 12 AB D D D B （13)0.6 13文(2)(3)(4) （14)6/5 文 xx （15)47 92 88 82 53 （16) a>5/617. 解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]． 18.对于命题p ：Δ<0且a >0，故a >2；对于命题q ：a >2x －2x＋1在x ∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y ＝2x －2x＋1为增函数，所以⎝⎛⎭⎪⎫2x －2x＋1<1，故a ≥1，命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，等价于p ，q 一真一假．故1≤a ≤2.19. (1)X 的概率分布列为X 0 1 2 3 PE (X )=0E (X )=3(2)乙至多击中目标2次的概率为1(3)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A ,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B 1,甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件B 2,则A=B 1+B 2.B 1,B 2为互斥事件,P (A )=P (B 1)+P (B 2)19 文科做(1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3，x ∈R ，m ∈R }，∵A ∩B ＝[1,3]，∴m ＝4.(2)∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m >6或m ＜－4.20.(1)设事件A 表示“1号球恰好落入1号盒子”，P (A )＝A 33A 44＝14，所以1号球恰好落入1号盒子的概率为14.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,4.P (ξ＝0)＝3×3A 44＝38，P (ξ＝1)＝4×2A 44＝13， P (ξ＝2)＝C 24A 44＝14，P (ξ＝4)＝1A 44＝124.所以随机变量ξ的分布列为20．文科做(1)记“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于400元且不超过700元”为事件A .由400<S ≤700，即400<3ω－200≤700，解得200<ω≤300，其满足条件天数为20.所以P (A )＝20100＝15. (2)根据以上数据得到如下列联表：非重度污染重度污染合计供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计85 15100K 2＝100×63×8－22×7285×15×30×70≈4.575>3.841，所以有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关．21.(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图象如图由图象可得实数m ∈(－1,1)．22. (1)当a ＝4时，不等式为|2x ＋1|－|x －1|≤2.当x <－12时，－x －2≤2，解得－4≤x <－12；当－12≤x ≤1时，3x ≤2，解得－12≤x ≤23；当x >1时，x ≤0，此时x 不存在，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－4≤x ≤23. (2)令f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x <－12，3x ，－12≤x ≤1，x ＋2，x >1.故f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，即f (x )的最小值为－32. 若f (x )≤log 2a 有解，则log 2a ≥－32，解得a ≥24，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我每天更新】。

重庆市南开(融侨)中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题

重庆市南开（融侨）中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知i 为虚数单位，a R ∈，复数()242a a i -+-是纯虚数，则a =（）A ．2B ．-2C ．4D ．-2或22．设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．MNB ．M NC ．M N ⊃≠D ．M N ⋂=∅3．某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有99%的把握但没有99.9%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则2K 的观测值可能为（）A ．2 3.206K =B ．2 6.561K =C ．27.869K =D ．211.208K =4．下列说法中错误的是（）A ．若事件A ，B 为对立事件，则()()1P A P B += B ．已知随机变量1~10,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则85D ξ=C ．已知p ：()00,x ∃∈+∞，001x x ≥-，则p ⌝：()0,x ∀∈+∞，01x x ≥- D ．命题“若2233a b a b --->-，则a b >”是真命题5．《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为r ，正方形的边长为a （0＜a ＜r ），若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是p ，则圆周率π的值为（）A ．()221a p r -B ．()221a p r +C ．() 1a p r -D ．() 1a p r+ 6．()()6112x x -+展开式中6x 的系数为（） A ．128B ．-128C ．11D ．-117．在2019年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的物成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)80,90，[]90,100，90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（）A ．从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人B ．若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分C ．若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试物理成绩的平均分约为70D ．该省考生物理成绩的中位数为75分8．设{},,0,1,2,3,4a b c ∈，由a ，b ，c 构成一个三位数，若这个三位数的十位数字比其它两个数位上的数字都小，则称该三位数为“V 型数”，已知a ，b ，c 构成三位数，则该三位数是“V 型数”的概率是（） A ．110B ．310C ．25D ．12259．已知函数()xf x xe =，()()2ln 1g x x ax =++，若对[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈使得()()12f x g x >成立，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 2a <-B ．ln 2a ≤-C ．ln 2a e <-D ．ln 2a e ≤-10．2019年高考结束了，有5位同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（） A ．84B ．48C ．36D ．2811．若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +1212．已知函数()222,02,0x x x a x f x e ax e x ⎧++<=⎨-+-≥⎩在R 恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,1B ．(),e +∞C ．()0,1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()20,1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题13．随机变量ξ的分布列如表格所示，0ab ≠，则14a b+的最小值为______．14．已知5件产品中有3件合格品，2件不合格品，从中任取3件，记取出的不合格产品的件数为X ，则()E X =______．15．C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．16．已知P 为直线1y x =+上的动点，Q 为函数()ln xf x x=图象上的动点，则PQ 的最小值为______．三、解答题17．已知集合2102x a A xx a ⎧⎫--⎪⎪=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，集合{}|32B x x =-<．（Ⅰ）当2a =时，求A B ；（Ⅱ）设p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 18．已知函数()()1xf x x ae a R =-+∈．（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）若函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．19．某综艺节目邀请嘉宾进行答题闯关挑战，每位嘉宾挑战时，节目组用电脑出题的方式，从题库中随机出4道题，编号为1A ，2A ，3A ，4A ，电脑依次出题，嘉宾按规则作答，挑战规则如下：①嘉宾每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；②嘉宾若答对第i A 题，则继续作答第1i A +题；嘉宾若答错第i A 题，则失去第1i A +题的答题机会，从第2i A +题开始继续答题；直到4道题目出完，挑战结束；③每位嘉宾初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则嘉宾闯关成功，否则闯关失败．嘉宾小源即将参与挑战，已知小源答对题库中每道题的概率均为23，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：（Ⅰ）挑战结束时，小源共答对3道题的概率1P ；（Ⅱ）挑战结束时，小源恰好作答了3道题的概率2P ；（Ⅲ）小源闯关成功的概率3P ．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A ，B 两点，交2C 于C ，D两点，且43CD AB =．（Ⅰ）求1C 离心率；（Ⅱ）若1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，求1C 与2C 的标准方程． 21．潜叶蝇是南方地区水稻容易遭受的虫害之一，成虫将虫卵产在叶片里，待虫卵孵化之后幼虫会在叶片中啃叶肉，使得秧苗的叶片呈现白色的状态，进而降低水稻产量．经研究，每只潜叶蝇的平均产卵数y 和夏季平均温度x 有关，现收集了某地区以往6年的数据，得到下面数据统计表格．（Ⅰ）根据相关系数r 判断，潜叶蝇的平均产卵数y 与平均温度x 是否具有较强的线性相关关系，若有较强的线性相关关系，求出线性回归方程y bx a =+，若没有较强的线性相关关系，请说明理由（一般情况下，当0.75r >时，可认为变量有较强的线性相关关系）；（Ⅱ）根据以往的统计，该地区夏季平均气温为()C ξ︒近似地服从正太分布()226.5,N σ，且()125282P ξ<≤=．当该地区某年平均温度达到28C ︒以上时，潜叶蝇快速繁殖引发虫害，需要进行一次人工治理，每次的人工治理成本为200元/公顷（其他情况均不需要人工治理），且虫害一定会导致水稻减产，对过往10次爆发虫害时的减产损失进行统计，结果如下：用样本的频率估计概率，预测未来2年，每公顷水稻可能因潜叶蝇虫害造成的经济损失Y （元）的数学期望．（经济损失＝减产损失＋治理成本）参考公式和数据：()()niix x y y r --=∑()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-()()61700i i i x xy y =--=∑，6214126i i x ==∑，61240i i y ==∑，()6218816i i y y=-=∑，8.4≈786≈．22．已知函数()21ln 22f x x ax ax =+-，0a >．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，实数()12,0,x x ∈+∞，且()()123f x f x +=-，证明：22122x x ≥+．参考答案1．B 【分析】根据纯虚数概念列式求解，即得结果. 【详解】因为复数()242a a i -+-是纯虚数，所以240,202a a a -=-≠∴=- 故选：B 【点睛】本题考查根据复数概念求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．B 【分析】对集合M 和N 中的代数式化为统一的形式，再进行比较．【详解】对于集合M ：121244k k x +=+=，k ∈Z ，对于集合N ：12424k k x +=+=，k ∈Z ，∵2k +1是奇数集，k +2是整数集，∴M N 故选：B ．【点睛】本题考查了集合间的关系，以及转化思想，是基础题． 3．C 【分析】根据把握率确定2K 的观测值区间范围，即可作出选择. 【详解】因为有99%的把握但没有99.9%的把握，所以2K 的观测值区间范围为[6.635,10.828) 因此2K 的观测值可能为7.869 故选：C【点睛】本题考查独立性检验原理，考查数据处理与应用能力，属基础题. 4．C 【分析】根据对立事件概念可判断A;根据二项分布方差公式可判断B;根据命题否定可判断C;根据函数单调性可判断D. 【详解】因为事件A ，B 为对立事件，所以()()1P A P B +=，因此A 正确；1~10,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭11810(1)555D ξ∴=⨯⨯-=，因此B 正确；因为p ：()00,x ∃∈+∞，0001x x ≥-，则p ⌝：()0,x ∀∈+∞，01x x <-或1x =，故C 错误；22332323a b a b a a b b ----∴->-->-()23x x f x -=-在上单调递增，且()()f a f b a b >∴>，故D 正确；故选：C 【点睛】本题考查对立事件概念、二项分布方差公式、命题否定、函数单调性应用，考查基本分析求解与判断能力，属基础题. 5．A 【分析】计算圆形钱币的面积和正方形的面积，利用几何概型的概率公式求出p ，则π可求．【详解】圆形钱币的半径为r cm ，面积为S 圆＝π•r 2；正方形边长为a cm ，面积为S 正方形＝a 2．在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是p S S S -==圆正方形圆122a r π-，所以π()221a p r =-．故选：A ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．A 【分析】先分析()612x +展开式中含6x 与含5x 的系数，再根据多项式展开规律求结果. 【详解】()612x +展开式中含6x 与含5x 的系数分别为()()6565662,2C C所以()()6112x x -+展开式中6x 的系数为()()65656622128C C -+=故选：A 【点睛】本题考查二项展开式定理及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．D 【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解．【详解】解：对于A ，90分以上为优秀，由频率分布直方图得优秀的频率为0.010100.1⨯=，∴从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试生约有：10000.1100⨯=人，故A 正确；对于B ，由频率分布直方图得[40，50)的频率为0.01100.1⨯=，[50，100)的频率为：10.10.9-=，∴若要全省的合格考通过率达到96%，则合格分数线约为44分，故B 正确；对于C ，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试物理成绩的平均分约为： 450.01010550.01510650.02010750.03010850.01510950.0101070.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=分，故C 正确；对于D ，[40，70)的频率为：(0.0100.0150.020)100.45++⨯=， [70，80)的频率为0.030100.3⨯=，∴该省考生物理成绩的中位数为：0.50.45701071.670.3-+⨯≈分，故D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查频数、合格分数线、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 8．B 【分析】先计算出构成的所有三位数，再计算符合条件的三位数，可得到答案. 【详解】因为{},,0,1,2,3,4a b c ∈，所以由a ，b ，c 构成三位数由455100⨯⨯=，满足三位数的十位数字比其它两个数位上的数字都小的当十位数字为0时，有4416⨯=个；当十位数字为1时，有339⨯=个；当十位数字为2时，有224⨯=个；当十位数字为3时，有111⨯=个，共有30个，所以三位数是“V 型数”的概率是30310010=，故选：B. 【点睛】本题考查两个计数原理，注意计算时是分步还是分类. 9．A 【分析】先根据恒成立转化不等式为()()2min f x g x >，再分离转化为求()2ln 1(),(0,1]x h x x x-+=∈最大值，利用导数研究其单调性，即可确定结果. 【详解】()()()()()min (1)[0,1]000x xf x xe f x x e x f x f x f ''=∴=+∈∴>∴==因为对[]10,1x ∀∈，[]20,1x ∃∈使得()()12f x g x >成立，所以[]0,1x ∃∈使得()20ln 1x ax >++成立，因为()20,ln 10x x ax =++=，所以(0,1]x ∃∈，使得()20ln 1x ax >++成立，令()2ln 1(),(0,1]x h x x x-+=∈，所以max ()a h x < ()()2431[ln 1]22ln 111()x x x x x x x h x x x -⋅--+⋅-++++'==()()(]()()()()()2212212ln 1,0,1,0001111x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕ+=-++∈∴=-+=>∴>=++++'因此max ()0()(1)ln 2ln 2h x h x h a '>∴==-∴<- 故选：A 【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立与有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题. 10．A 【分析】首先先计算出所有的可能分组情况，从而计算出分配方案. 【详解】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C =⋅种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A. 【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生的分析能力，分类讨论能力，计算能力，难度中等. 11．D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 12．D 【分析】首先分析0不是函数的零点．然后利用导数求出0x >时函数有零点的a 的范围，然后对a 分类并分析即可求得()f x 在R 恰有两个零点的实数a 的取值范围．【详解】解：当0x =时，2()10f x e =--≠，故0不是函数的零点；当(0,)x ∈+∞时，()0f x =等价于22x e e a x+=．令2()x e e g x x +=，则22()x x xe e e g x x --'=．当2x <时，()0g x '<，当2x =时，()0g x '=，当2x >时，()0g x '>，2()g x e ∴，即22a e ，22e a ．①当01a <<时，()f x 在(,0)-∞上有两个零点，则()f x 在(0,)+∞无零点，则22ea <，01a ∴<<；②当0a 或1a =时，()f x 在(,0)-∞上有一个零点，故()f x 在(0,)+∞上需要有一个零点，此时不合题意；③当1a >时，()f x 在(,0)-∞上无零点，故()f x 在(0,)+∞上需要有两个零点，则22ea >．综上，实数a 的取值范围是()20,1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：D ．【点睛】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，训练了利用导数求最值，属于难题． 13．9 【分析】先根据概率分布得1a b +=，再根据基本不等式求最值. 【详解】根据概率分布得1a b +=，且0,0a b >>，14144()()559b a a b a b a b a b ∴+=++=++≥+= 当且仅当223b a ==时取等号即14a b+的最小值为9 故答案为：9 【点睛】本题考查概率分布、利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．65【分析】先确定随机变量，再分别求对应概率，最后根据数学期望公式求结果. 【详解】0,1,2X =32112332323335551633(0),(1),(2),1010510C C C C C P X P X P X C C C ==========()1336012105105E X ∴=⨯+⨯+⨯= 故答案为：65【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F ，∴直线AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 16【分析】先求与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点，再根据点到直线距离公式求结果. 【详解】由题意，PQ 的最小值为与直线1y x =+平行且与()ln xf x x=相切的切线切点到直线1y x =+的距离，设切点为00(,)x y因为()22000221ln 1ln 1ln 1ln x x f x x x y x x x x --'=∴=∴+==+单调递增，01x ∴=因此PQln1|11|-+=【点睛】本题考查导数几何意义、点到直线距离公式，考查数形结合思想方法，属中档题.17．（Ⅰ）{|45}A B x x ⋂=<<；（Ⅱ）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（Ⅰ）当2a =时，求出集合A ，集合B ，由此能求出AB ．（Ⅱ）设:p x A ∈，:q x B ∈，p 是q 的充分条件，从而A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）当2a =时，集合215|0{|0}{|45}24x a x A x x x x x a x ⎧⎫---=<=<=<<⎨⎬--⎩⎭，集合{||3|2}{|15}B x x x x =-<=<<． {|45}AB x x ∴=<<．（Ⅱ）设:p x A ∈，:q x B ∈，p 是q 的充分条件，A B ∴⊆，当221a a <+时，1a ≠，集合221|0{|21}2x a A x x a x a x a ⎧⎫--=<=<<+⎨⎬-⎩⎭，集合{||3|2}{|15}B x x x x =-<=<<．∴22115a a ⎧⎨+⎩，且1a ≠，解得122a ．且1a ≠，当1a =时，A =∅，成立．综上，实数a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查交集、实数的取值范围的求法，考查充分条件、交集、子集等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 18．（Ⅰ）0；（Ⅱ）(0,1) 【分析】（Ⅰ）先求导数，再根据导函数符号确定函数单调性，最后根据单调性确定最大值取法；（Ⅱ）先分离转化研究函数1x x y e+=单调性与值域，结合零点存在定理确定实数a 的取值范围．【详解】（Ⅰ）当1a =时，()()1100xxf x x e f x e x '=-+∴=-=∴=当0x >时，()0()f x f x '<∴在(0,)+∞上单调递减；当0x <时，()0()f x f x '>∴在(,0)-∞上单调递增；因此当0x =时，()f x 取最大值0；（Ⅱ）()10x x f x a e+=⇔=，因此函数()f x 恰有两个不同的零点，等价于y a =与1xx y e +=恰有两个不同交点 100x x x xy y x e e+-'=∴==∴=当0x >时，10x x y y e +'<∴=在(0,)+∞上单调递减，(0,1)y ∈；当0x <时，10x x y y e+'>∴=在(,0)-∞上单调递增，(,1)y ∈-∞；当0x =时，1x x y e+=取最大值1；因此(0,1)∈a ，下面证明(0,1)∈a 时y a =与1x x y e+=恰有两个不同交点，首先，00011|x a y e=+<==时，当1x <-时，10x x y a e+=<<，因此当0x <时，y a =与1x x y e +=有且仅有一个交点；先研究()2ln ,2g x x x x =->，222()10,()(2)22ln 202ln ,ln ,(2)x g x g x g x x x x e x x x '=->∴>=->∴>∴>>> 当2max{2,}x a >时，2112x x x y a e x x++=<<<，即当0x >时，y a =与1x x y e +=有且仅有一个交点；综上，(0,1)∈a 时，函数()f x 恰有两个不同的零点. 【点睛】本题考查利用导数求函数最值、利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题. 19．（Ⅰ）881；（Ⅱ）1627；（Ⅲ）2027【分析】（Ⅰ）先确定挑战结束时，小源共答对3道题对应情况，再求对应概率；（Ⅱ）先确定挑战结束时，小源恰好作答了3道题对应情况，再求对应概率；（Ⅲ）先确定小源闯关成功时对应作答情况，再求对应概率. 【详解】（Ⅰ）挑战结束时，小源共答对3道题，所以小源前三题答对，第4题答错，所以31228()(1)3381P =-=；（Ⅱ）挑战结束时，小源恰好作答了3道题，所以小源第一题答对第二题答错，或第一题答错第三题答对，或第一题答对第二题答对第三题答错，所以2222222216(1)(1)(1)333333327P =⨯-+-⨯+⨯⨯-=；（Ⅲ）小源闯关成功, 小源前三题全答对、或第一题答对第二题答对第三题答错、或第一题答对第二题答错第四题答对、或第一题答错第三题答对第四题答对所以33222222222220()()(1)()(1)()(1)()()33333333327P =+-+-+-= 【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.20．（Ⅰ）12；（Ⅱ）22212:1,:81612x y C C y x +==【分析】（Ⅰ）利用,,a b c 表示抛物线2C 方程以及,CD AB ，再根据条件43CD AB =解得,,a b c 关系，即得离心率；（Ⅱ）根据（Ⅰ）用c 表示1C 方程以及2C 的准线方程，再根据题意列方程，解得c ，即得1C 与2C 的标准方程．【详解】（Ⅰ）设22(,0):4F c C y cx ∴=令x c =，则22422222221,,||||c y b b b y y AB a b a a a+=∴==∴=令x c =，则224,||2||4y c y c CD c =∴=∴= 因为43CD AB =，所以222242142()323200132b c a c ac e e e e a=⨯∴-=∴+-=<<∴=；（Ⅱ）根据（Ⅰ）2212212,:1243x y e a c b C c c =∴==∴+=2C 的准线方程为x c =-因为1C 的四个顶点到2C 的准线距离之和为12，所以()()122,4,c c c a c a c a b ++++-+=∴===22212:1,:81612x y C C y x +==【点睛】本题考查椭圆方程、椭圆离心率，考查基本分析求解能力，属基础题. 21．（Ⅰ）具有较强的线性相关关系，10220y x =-；（Ⅱ）330元【分析】（Ⅰ）代入公式计算r ，再做判断，根据公式求,b a ，即得结果；（Ⅱ）先确定温度达到28C ︒以上时概率，再确定随机变量取法，分别求出对应概率，最后根据数学期望公式求结果. 【详解】（Ⅰ）21232527293171121226411526,4066x y ++++++++++=======()()7000.75786niix x y y r --==>=>∑所以潜叶蝇的平均产卵数y 与平均温度x 具有较强的线性相关关系，()()()1217001070nii i ni i xx y y b x x==--===-∑∑，401026220a y bx =-=-⨯=- 10220y bx a x ∴=+=-；（Ⅱ）()12528,2P ξ<≤=()C ξ︒近似地服从正太分布()226.5,N σ，()()12528128,24P P ξξ-<≤∴>==0,1200,1600Y =13141163(0)1,(1200),(1600)444101041020P Y P Y P Y ==-===⨯===⨯=313()01200140033041020E Y =⨯+⨯+⨯=(元)【点睛】本题考查线性回归方程、数学期望公式、正态分布，考查综合分析求解能力，属中档题. 22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）先求导数，再根据导函数零点以及符号变化规律分类讨论，即得结果；（Ⅱ）先根据单调性确定12,x x 取值范围，再构造函数，利用导数求其最值，证得结果. 【详解】（Ⅰ）()()221121ln 222ax ax f x x ax ax f x ax a x x-+'=+-∴=+-=2444(1)a a a a ∆=-=-当01a <≤时；()0,()f x f x '≥在()0,∞+上单调递增；当1a >时；()0f x x '=⇒=当x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0f x '>；当x ∈，()0f x '<；()f x ∴在⎫+∞⎪⎪⎝⎭和⎛ ⎝⎭上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ）1a =，()()22121ln 2002x x f x x x x f x x-+'=+-=∴=≥， ()f x 在()0,∞+上单调递增；不妨设120x x <≤，()()123+=-f x f x因为()312f =，故121x x ≤≤，下证：对任意的(]0,1x ∈，总有()()32f x f x --≥-.设()()()()()2223ln 221g x f x f x x xx x =-++=---+，设()(]ln 1,0,1h t t t t =-+∈，则()10t h t t-'=≥恒成立（不恒为零），故当(]0,1t ∈时，()()10h t h ≤=，故(]ln 10,0,1t t t -+≤∀∈，又(]0,1x ∈时，(]220,1x x -∈，故()()22ln 2210x x x x ---+≤对任意的(]0,1x ∈恒成立即()()32f x f x --≥-成立，又()()123+=-f x f x 等价于()()213f x f x =--，所以()()212f x f x ≥-，因为()f x 为()0,∞+上的增函数，所以212x x ≥-即212x x +≥.而()212221222x x x x ++≥=，故22122x x ≥+成立. 【点睛】本题考查利用导数求函数单调性、利用导数证明不等式，考查综合分析论证求解能力，属难题.。

2020-2021学年重庆市南开中学高二下学期期末考试化学试题 Word版

重庆市南开中学2020-2021学年高二下学期期末考试化学试题本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

满分100分，考试时间75分钟。

第I卷和第II卷都答在答题卡上。

可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 Cu－64第I卷选择题（共42分）一．选择题（本题共14个小题，每小题3分，共计42分，下列各题四个选项中只有一．．．个．选项符合题意，请选出。

不选、多选或错选不给分。

）1．化学与社会、生活密切相关。

对下列现象或事实的解释正确的是2．下列表示正确的是A．碳原子的核外电子排布图：B．氨分子的球棍模型：C．异丁烷的键线式：D．23Na35Cl中质子数和中子数之比是15:143．下列说法错误的是A．淀粉、纤维素、蛋白质都属于高分子化合物B．植物油含不饱和脂肪酸甘油酯，能使溴的四氯化碳溶液褪色C．纯棉衬衣属于合成纤维制品D．钾钠合金可做原子反应堆的导热剂，熔点关系为：钠>钾>钾钠合金4．N A代表阿伏加德罗常数的值。

下列说法错误的是A．0.5 mol配合物[TiCl(H2O)5]Cl2中含有的键数目为8N AB．1 mol乙酸乙酯在酸性条件下水解，生成乙醇分子的数目为N AC．28 g乙烯与环丙烷(C3H6) 的混合气体中含有的C—H键数目为4N AD．1 mol雄黄(As4S4，结构为)含有的As—As键数目为2N A5. 下列实验操作能达到实验目的且离子方程式正确的是A．泡沫灭火器的反应原理：3HCO－3＋Al3＋===3CO2↑＋Al(OH)3↓B．电解饱和食盐水制氯气：2Cl－＋2H＋Cl2↑＋H2↑C．用NaOH溶液除去乙酸乙酯中的少量乙酸：CH3COOH+OH－=CH3COO－+H2OD．向NH4Al(SO4)2溶液中滴加少量KOH溶液制氨气：NH4++OH—= NH3↑+H2O6．短周期元素A、B、C、D的原子序数依次增大，B、D位于同族，C、A、B价电子数为等差数列，公差为2，A、C的价电子数之和为6。

重庆市南开中学2020-2021学年高二下学期数学周测试卷

重庆南开中学高 2022 级高二 ( 下 ) 数学测试 ( 6 . 28 )一、单选题 : 本大题共 8 小题 , 每小题 5 分 , 共 40 分 . 在每小题给出的四个备选项中 , 只有一项是符合题目要求的 .1 . 已知集合 A |0,1x x x R x ⎧⎫=∈⎨⎬-⎩⎭, {}2|31,B y y x x R ==+∈, 则 A ∩ B = ( ) ()[)()() . . 1 , . 1 , . - , 0 1 , A B C D ∅+∞+∞∞⋃+∞2. -2 ≤ a≤4是关于x 的不等式 210ax ax a-+ 的解集为 R " 的 ( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件3 . 若 2log 1(01),3aa a <>≠且 , 则实数a 的取值范围是 ( ) 222.(0,).(1,).(0,)(1,).(,1)333A B C D +∞⋃+∞ 4 . 已知偶函数 f ( x ) 在 [ 0 , + ∞ ) 上单调递减 , f ( 1 ) = -1 , 若 f ( 2 x -1 ) ≥─ 1 , 则 x 的取值范围为 ( )A . ( ─∞ , -1 ]B . [ 1 , + ∞ )C . [ 0 , 1 ]D . ( ─∞ , 0 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) 5 . 已知 15323()()32a b ==31log ,2c = 则 ( ) A . c < b < a B . a < c < b C . b < a < c D . c < a < b 6 . 素数也叫质数 , 部分素数可写成 " 2n 一 1 " 的形式 ( n 是素数 ) , 法国数学家马丁 ·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位 , 因此后人将 " 2n -1 " 形式 ( n 是素数 ) 的素数称为梅森素数 . 2018 年底发现的第 51 个梅森素数是 P = 2 8258933-1 , 它是目前最大的梅森素数 . 已知第 8 个梅森素数为 P = 231-1 , 第 9 个梅森素数为P= 261-1 , 则Q P 约等于 ( 参考数据 : lg2 = 0 . 3 ) ( ) A . 107 B . 108C . 109D . 10 107 . 已知 a , b ∈ ( 0 , + ∞ ) , 且 291,ab a b+=+ 则 a + b 的取值范围是 ( ) A . [ 1 , 9 ] B . [ 1 , 8 ] C . [ 8 , + ∞ ) D . [ 9 , + ∞ )8 . 已知函数 y = f ( x -1 ) 的图象关于 x = 1 对称 , 且对 y = f ( x ) , x ∈ R , 当 x 1, x 2 ∈ ( -∞ , 0 ] 时 ,2121()()0f x f x x x -<-成立 , 若 f ( 2ax ) < f ( 2 x 2 +1 ) 对任意的 x ∈ R 恒成立 , 则 a 的可能取值为( ) ..1.2A B D -二多选题 : 本大题共 4 小题 , 每小题 5 分 , 共 20 分 . 在每小题给出的选项中 , 有多项是符合题目要求的 .全部选对的得 5 分 , 有选错的得 o 分 , 部分选对的得 3 分 .9 . 下列函数中 , 既是偶函数又是区间 ( 0 , + ∞ ) 上的增函数有 ( )2||332.2..1.x A y B y x C y x D y x -===-=10 . 关于函数()f x =的结论正确的是 ( )A . 定义域、值域分别是 [ ─ 1 , 3 ] , [ 0 , ＋∞ )B . 单调增区间是 ( ─∞ , 1 ]C . 定义域、值域分别是 [ ─ 1 , 3 ] , [ 0 , 2 ]D . 单调增区间是 [ ― 1 , 1 ]11 . 已知由样本数据点集合{}1(,)|1,2,,i x y i n =, 求得的回归直线方程为 y = 1 . 5 x +0 . 5 , 且 3x = 现发现两个数据点 ( 1 . 2 , 2 . 2 ) 和 ( 4 . 8 , 7 . 8 ) 误差较大 , 去除后重新求得的回归直线 l 的斜率为 1 . 2 , 则 ( )A . 变量 x 与 y 具有正相关关系B . 去除后的回归方程为 y = 1 . 2 x +1 . 4C . 去除后 y 的估计值增加速度变快D . 去除后相应于样本点 ( 2 , 3 . 75 ) 的残差为 0 . 0512 . 已知函数 2222()4()()x x f x x x m m e e --+=-+-+(e 为自然对数的底数 ) 有唯一零点 , 则 m 的值可以为 ( )A . 1B . -1C . 2D . -2三、填空题 : 本大题共 4 小题 , 每小题 5 分 , 共 20 分 . 把答案填写在答题卡相应位置上13 . 若函数22,1,()21,1,x x f x x x ⎧+=⎨->⎩ 则 f ( f ( 0 ) )=14 . 定义函数 y = f ( x ) , x ∈I,若存在常数 M , 对于任意 x 1 ∈ I , 存在唯一的 x 2 ∈ I , 使得12()(),2f x f x M +=则称函数 f ( x ) 在 I 上的 " 均值 " 为 M , 则函数 f ( x ) = log 2x , x = [ 1 , 22020 ] 的 " 均值 " 为15 . 随机变量 X 的取值为 0 , 1 , 2 , P ( X = 0 ) = 0 . 2 , D ( X ) = 0 . 4 , 则 P ( X = 1 ) =16 . 设函数21,1,(),1x x f x x ax x ⎧+⎪=⎨⎪<⎩是单调函数 .( 1 ) a 的取值范围是( 2 ) 若 f ( x ) 的值域是 R , 且方程 f ( x ) = ln ( x + m ) 没有实根 , 则 m 的取值范围是 . ( 本题第一空 2分 , 第二空 3 分 )四、解答题 : 共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或渡算步骤17已知 a ∈R , 设() : x 2 , 3] , 1 10[p a x ∀∈+->恒成立 , 命题0: x q R ∃∈, 使得 20 1 0x ax ++< .( 1 ) 若 p ∧ q 是真命题 , 求 a 的取值范围 ;( 2 ) 若 p ∧ ( ¬q ) 为假 , p ∨ ( ¬q ) 为真 , 求 a 的取值范围 ,18. 已知函数41()log (41),.2x f x x x R =+-∈( 1 ) 若函数 f ( x ) 的图象与直线 12y x c =+没有公共点 , 求 a 的取值范围 : ( 2 ) 若函数()22()421,[0,log 3]xf x xg x m x +=+⋅-∈, 是否存在 m , 使 g ( x ) 最小值为 0 . 若存在 ,求出 m 的值 ; 若不存在 , 说明理由 .19 . 某地准备在山谷中建一座桥梁 , 桥址位置的竖直载面图如图所示 : 谷底o 在水平线 MN 上、桥 AB 与 MN 平行 , OO ′为铅垂线 ( O ′在 AB 上 ) . 经测量 ,左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 h _1( 米 ) 与 D 到 OO ′的距离 a ( 米 ) 之间满足关系式21140h a =右侧曲线 BO 上任一点 F 到 AN 的距离 h 2 ( 米 ) 与 F 到 'oo 的距离 b( 米 ) 之间满足关系式3216800b b h =-+已知点 B 到 OO ' 的距离为 40 米( 1 ) 求桥 AB 的长度 ;( 2 ) 计划在谷底两侧建造平行于 OO’ 的桥墩 CD 和 EF , 且 CE 为 80 米 , 其中 C 、 E 在 AB 上 ( 不包括端点 ) . 折数 EF 每米连价 k ( 万元 ) , 桥墩 CD 每米造价3()(0)2k k >万元问O’E 为多少米时 , 桥墩 CD 与 EF 的总造价最低 ?20 . 冠状病毒是一个大型病毒家族 , 已知可引起感冒以及中东呼吸综合征 ( MERS ) 和严重急性呼吸综合征 ( SARS ) 等较严重疾病 . 而今年出现的新型冠状病毒 ( COVID -19 ) 是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株 . 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等 . 在较严重病例中感染可导致肺奖、严重急性呼吸综合征、资衰竭 , 甚至死亡 . 核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据 , 首先取病人的唾液或咽拭子的样本 , 再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质 , 如果有病毒 , 样本检测会呈现阳性 , 否则为阴性 . 根据统计发现 , 疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 p ( 0 < p < 1 ) , 现有 4 例疑似病例 , 分别对其取样、检测 , 多个样本检测时 , 既可以逐个化验 , 也可以将若干个样本混合在一起化验 , 混合样本中只要有病毒 , 则混合样本化验结果就会呈阳性 , 若混合样本呈阳性 , 则将该组中各个样本再逐个化验完为止 ;若混合样本呈阴性 , 则该组各个样本均为阴性 . 现有以下三种方案 :方案一 : 逐个化验 ;方案二 : 四个样本混在一起化验 ;方案三 : 平均分成两组化验 . 在新冠肺炎爆发初期 , 由于检查能力不足 , 化检次数的期望值越小 , 则方案越 " 优 " .( 1 ) 若 14p =, 求 2 个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率 ; ( 2 ) 若 14p = , 现将该 4 例疑似病例样本进行化验 , 请问 : 方案一、二、三中哪个最 " 优 " ?21 . 已知抛物线 C :22(0)y px p => 的焦点为 F , 直线 y = a 与 y 轴交于点 M , 与抛物线 C 交于点 N .( 1 ) 若 a = 2 4||||5MN FN = , 求抛物线 C 的方程 ; ( 2 ) 若 a = p ( 定值 ) , 抛物线 C 上的两个动点 E , G 满足 EN ⊥ GN , 求证 : 直线 EG 过定点 .22 . 已知函数 f ( x ) = xlnx -1 , g ( x ) = ax 2- ( a -2 ) x .( 1 ) 设函数 H ( x ) = f’ ( x ) - g ( x ) , 讨论 H ( x ) 的单调性 ;( 2 ) 设函数 G ( x ) = g ( x ) + ( a -2 ) x , 若 f ( x ) 的图象与 G ( x ) 的图象有 A ( x 1, y 1) , B ( x 2,y 2) 两个不同的交点 , 证明 : In ( x 1x 2 ) > 2+1n2 .。

2020-2021重庆市南开中学高中必修二数学下期末第一次模拟试题(含答案)

2020-2021重庆市南开中学高中必修二数学下期末第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．112．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 3．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +u u u v u u u v u u u v 的最小值是（）A ．6-B ．3-C ．4-D ．2-4．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,4- C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．[]5,5- 5．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若11AA AB ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的表面积为A 21B 31C 223+D 33+7．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=L （）A ．50B ．2C ．0D ．50-8．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（）A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）9．若函数()sin cos f x x x ωω=-(0)>ω在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（）A ．14B ．15C ．12D ．3410．记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,1)(3,4)-UB ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞U11．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生12．若函数()(),1231,1x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题13．在ABC ∆中，若3B π=，3AC =，则2AB BC +的最大值为__________．14．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________15．不等式2231()12x x -->的解集是______．16．若21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 17．已知点()M a b ，在直线3415x y +＝22a b +_______． 18．函数sin 3y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．19．若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．20．设,x y 满足约束条件210,{0,0,0,x y x y x y --≤-≥≥≥若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为1,则14a b+的最小值为_________．三、解答题21．已知关于x 的不等式2320,08kx kx k +-<≠ （1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值．（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．22．为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+；（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：121()()()ˆn i i i n ii x x y y b x x ==--=-∑∑1221ni ii n i i x y nxy x nx ==-=-∑∑ ，^^y x a b=- 23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 点为圆心的圆22:1412600M x y x y +--+=及其上一点(4,2)A .（1）设圆N 与y 轴相切，与圆M 外切，且圆心在直线6y =上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点且BC OA =，求直线l 的方程.24．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，⋅⋅⋅，第五组[]17,18.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[)[],13,1417,18.m n ∈⋃求事件“1m n ->”发生的概率. 25．已知平面向量()3,4a =v ，()9,b x =v ，()4,c y =v ，且//a b v v ，a c ⊥v v .（1）求b v 和c v ；（2）若2m a b =-v v v ，n a c =+v v v ，求向量m u v 与向量n v 的夹角的大小.26．已知数列{}n a 满足：()*22,21,n n a S n a n N ==+∈ （1）设数列{}n b 满足()11nn b n a =•+，求{}n b 的前n 项和n T ：（2）证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．D解析：D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差3．A解析：A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解.【详解】由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--u u u r u u u r u u u r ，所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+u u u r u u u r u u u r222[(3)3]x y =+--，所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+u u u r u u u r u u u r 取得最小值为2(3)6⨯-=-，故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：C【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]，∴由−2⩽2x −1⩽3，解得−12⩽x ⩽2，即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，本题选择C 选项.5．B解析：B【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．6．C解析：C【解析】分析：由四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积．详解：四棱锥11B A ACC -的体积是三棱柱体积的23，11111122ABC A B C V AC BC AA AC BC -=⋅⋅=⋅222111()444AC BC AB ≤+==，当且仅当2AC BC ==时，取等号．∴12(1)122222S =⨯⨯+++⨯32+=．故选C ．点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积．7．C解析：C【解析】【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x -=-且()00f =又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=-在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-=所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦L 50500=⨯=故选C【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．8．C解析：C【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则20 40k k k >⎧⎨=-<⎩V 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 9．D解析：D【解析】∵()sin cos (0)4f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭ ∴令22,242k x k k Z ππππωπ-+≤-≤+∈，即232,44k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈ ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ∴42ππω-≤-且342ππω≥ ∴102ω<≤ 故选D.10．A解析：A【解析】【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可．【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ，故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<.故选A.【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.11．C解析：C【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.12．C解析：C【解析】【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围.【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >，且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤，综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤⎥⎝⎦. 本题选择C 选项.【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式解析：【解析】【分析】【详解】设22sin sin 3AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭Q 22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 2sin BC θ=()222sin 4sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭，最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为()sin cos a b θθθϕ+=+的形式14．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题解析：32【解析】【分析】先还原几何体，再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱，如图，底面为边长为1,3的直角三角形，高为3的棱柱，所以体积为1313322⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题15．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题解析：()1,3-【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得2230x x --<，再解一元二次不等式即可．【详解】22321 ()1230132x x x x x -->⇔--<⇔-<<．故答案为()1,3-【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．16．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导公式及余弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由余弦的二倍角公式可知故答案为:【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数解析：78【解析】【分析】根据诱导公式,将三角函数式21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭化简可得1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再由诱导公式及余弦的二倍角公式,化简sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可得解.【详解】因为21cos 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 化简可得1cos 624ππα⎛⎫--= ⎪⎝⎭,即1cos 264ππα⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 由诱导公式化简得1sin 64πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ cos 226ππα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 26πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 由余弦的二倍角公式可知cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ 212sin 6πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 2171248⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭ 故答案为:78 【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题. 17．3【解析】【分析】由题意可知表示点到点的距离再由点到直线距离公式即可得出结果【详解】可以理解为点到点的距离又∵点在直线上∴的最小值等于点到直线的距离且【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用属于解析：3【解析】【分析】()0,0到点(),a b 的距离，再由点到直线距离公式即可得出结果.【详解】()0,0到点(),a b 的距离，又∵点(),M a b 在直线:3425l x y +=()0,0到直线34150x y+-=的距离，且3d==.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题型.18．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出解析：3π【解析】试题分析：因为sin2sin()3y x x xπ==-，所以函数siny x x=的的图像可由函数2siny x=的图像至少向右平移3π个单位长度得到．【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．19．【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：（当且仅当取等号）故答案为【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键是配凑积为定值属于基础试题解析：3+【解析】【分析】由已知可知()11y3x3x13x1x1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：x1>Q，()11y3x3x13x1x1∴=+=-++--33≥=，（当且仅当13x=+取等号）故答案为3．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．20．【解析】【分析】【详解】试题分析：试题分析：由得平移直线由图象可知当过时目标函数的最大值为即则当且仅当即时取等号故的最小值为考点：1利用可行域求线性目标函数的最值；2利用基本不等式求最值【方法点晴】解析：9【解析】【分析】【详解】试题分析：试题分析：由()0,0z ax by a b =+>>得a z y x b b =-+，平移直线,a z y x b b =-+由图象可知，当a z y x b b=-+过()1,1A 时目标函数的最大值为1，即1z a b =+=，则1414()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 441452549b a b a a b a b =+++≥+⋅=+=，当且仅当4b a a b =，即122b a ==时，取等号，故14a b+的最小值为9．考点：1、利用可行域求线性目标函数的最值；2、利用基本不等式求最值．【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题．含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键．三、解答题21．（1）18k =；（2）(3,0)- 【解析】【分析】（1）根据关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到32-和1是方程23208kx kx +-=的两个实数根，再利用韦达定理求解.（2）根据关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ．又因为0k ≠ ，利用判别式法求解.【详解】（1）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以32-和1是方程23208kx kx +-=的两个实数根，由韦达定理可得338122k--⨯=，得18k =．（2）因为关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ．因为0k ≠所以220,30k k k <⎧⎨=+<⎩V ，解得30k -<<，故k 的取值范围为(3,0)-．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集和恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．(1) 8.69 1.ˆ23yx =- (2) 2.72x =，年利润z 最大【解析】分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；（2）年利润函数为(2)z x y =-，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论. 详解：（1）3x =，5y =，5115i i x ==∑，5125i i y ==∑，5162.7i i i x y ==∑，52155i x ==∑，52155i i x ==∑，解得：^ 1.23b =-，^8.69a =，所以：8.69 1.ˆ23yx =-，（2）年利润()28.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+ 所以 2.72x =，年利润z 最大.点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．23．（1）22(1)(6)1x y -+-=（2）2150x y -+=或250x y --=.【解析】【分析】（1）根据由圆心在直线y =6上，可设()0,6N x ，再由圆N 与y 轴相切，与圆M 外切得到圆N 的半径为0x 和0075-=+x x 得解.（2）由直线l 平行于OA ，求得直线l 的斜率，设出直线l 的方程，求得圆心M 到直线l 的距离，再根据垂径定理确定等量关系，求直线方程.【详解】（1）圆M 的标准方程为22(7)(6)25-+-=x y ，所以圆心M （7，6），半径为5,. 由圆N 圆心在直线y =6上，可设()0,6N x因为圆N 与y 轴相切，与圆M 外切所以007<<x ，圆N 的半径为0x从而0075-=+x x解得01x =.所以圆N 的标准方程为22(1)(6)1x y -+-=.（2）因为直线l 平行于OA ，所以直线l 的斜率为201402-=-. 设直线l 的方程为12y x m =+，即220x y m -+= 则圆心M 到直线l 的距离==d因为===BC OA 而2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭BC MC d 所以2(25)2555-=+m 解得152m = 或52m =-. 故直线l 的方程为2150x y -+=或250x y --=.【点睛】本题主要考查了直线方程，圆的方程，直线与直线，直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题.24．（1）29人；（2）35．【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，良好即第二三两组，计算出第二三两组的频率即可算出人数；（2）结合频率分布直方图，计算出[)[]13,1417,18，两组的人数，1m n ->即两位同学来自不同的两组，利用古典概型求解概率即可.【详解】（1）由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.20500.3829⨯+⨯=（人），所以该班成绩良好的人数为29人；（2）由直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人；成绩在[17,18]的人数为500.042⨯=人；.事件“1m n ->”发生即这两位同学来自不同的两组，此题相当于从这五人中任取2人，求这两人来自不同组的概率其概率为11232563105C C P C ===. 3(1)5P m n ->=【点睛】此题考查用样本的频率分布估计总体分布；利用频率直方图求相关数据；古典概型及其概率的计算．25．（1）()9,12b =v ，()4,3c =-v ；（2）34π. 【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b r r ，a c ⊥r r ，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b r 和c r 的坐标；（2）求出m u r 、n r 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m u r 与向量n r 夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.【详解】（1）()3,4a =r Q ，()9,b x =r ，()4,c y =r ，且//a b r r ，a c ⊥r r ，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩，解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =r ，()4,3c =-r ；（2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--u r r r Q ，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=r r r ，则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-u r r ，5m ∴==ur，n ==r设m u r 与n r 的夹角为θ，cos ,2m n m n m n⋅∴===-⋅u r r u r r u r r ，0θπ≤≤Q ，则34πθ=. 因此，向量m u r 与向量n r 的夹角为34π. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.26．（1）()1122n n T n +=-⋅+（2）证明见解析,n a n =【解析】【分析】（1）令n =1，即可求出11a =，计算出2n n b n =•，利用错位相减求出n T 。

重庆市2020学年高二理科(数学)下学期期末试题

重庆市2020学年高二理科（数学）下学期期末试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上. 4．考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数z 满足i i z +=-1)1(，则=2017z（）A ．1B ．1-C ．i -D ． i2．给出三个命题：①x y cos =是周期函数；②三角函数是周期函数；③x y cos =是三角函数；则由三段论可以推出的结论是（）A ．x y cos =是周期函数B ．三角函数是周期函数C ．x y cos =是三角函数D ．周期函数是三角函数 3．某射手射击所得环数X 的分布列如下:已知X 的数学期望9.8)(=X E ,则y 的值为( ). A ．0.8 B ．0.6C ．0.4D ．0.2曲线2x y =围成4．直线x y 4=与的封闭图形的面积为（）B．332A ．32C ．3216 D ．2165．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数6．设随机变量ξ服从正态分布)0)((2>σσμ，N ，若1)1()0(=<+<ξξP P ,则μ的值为（） A ．21 B ．1 C ．21-D ．1-7．2020年6月9日是我们的传统节日——“端午节”，这天小红的妈妈为小红煮了6个粽子，其中2个腊肉馅4个豆沙馅，小红随机取出两个，事件=A “取到的两个为同一种馅”，事件=B “取到的两个都是豆沙馅”，则=)|(A B P （）A ．157B ．151C ．71D ．768．设函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=．若1-=x 为函数xe xf )(的一个极值点，则下列图象不可能．．．为)(x f y =的图象是（）A B C D9．学校选派5位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这3所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有（） A ．540种 B ．240种 C ．180种 D ．150种 10．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ① “若R b a ∈、，则b a b a =⇒=-0”类比推出“若C b a ∈、，则b a b a =⇒=-0”②“若R d c b a ∈、、、，则复数d b c a di c bi a ==⇒+=+,”类比推出 “若Q d c b a ∈、、、，则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”③“若R b a ∈、，则b a b a >⇒>-0”类比推出 “若C b a ∈、，则b a b a >⇒>-0”④“若R x ∈，则111||<<-⇒<x x ”类比推出“C z ∈，则111||<<-⇒<z z ” 其中类比结论正确．．．．的为（） A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④11．设)(x f 是R 上的奇函数，且0)1(=-f ，当0>x 时，0)(2)()1('2<-⋅+x xf x f x ,则不等式0)(>x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞ B ．)1,0()1,(⋃--∞ C ．),1(+∞D ．),1()0,1(+∞⋃-12．定义：如果函数)(x f 在],[b a 上存在1x ，2x )(21b x x a <<<满足a b a f b f x f --=)()()(1，ab a f b f x f --=)()()(2，则称函数)(x f 是],[b a 上的“双中值函数”。