重庆市南开中学2020-2021学年高2020级高二下学期期末数学(理)试题
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求该选手恰答对 道题的概率；
记 为该选手参加比赛的最终得分，求 的分布列与数学期望.
20．已知函数 .
证明： ；
已知 ，证明： .
21．已知抛物线 的焦点为 ，圆 ： 与 轴的一个交点为 ，圆 的圆心为 ， 为等边三角形.
求抛物线 的方程；
设圆 与抛物线 交于 两点，点 为抛物线 上介于 两点之间的一点，设抛物线 在点 处的切线与圆 交于 两点，在圆 上是否存在点 ，使得直线 均为抛物线 的切线，若存在求出 点坐标（用 表示）；若不存在，请说明理由.
A． B． C． D．
7．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为 ，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
9．命题 ：“关于x的方程 的一个根大于 ，另一个根小于 ”；命题 ：“函数 的定义域内为减函数”.若 为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
3．复数 满足 ，且 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，若 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
5．在极坐标系中，圆 的圆心的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．从2021年到2021年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了 套卷，即：全国I卷，全国II卷，全国III卷.小明同学马上进入高三了，打算从这 套题中选出 套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（ ）
14．一个袋子里装有大小形状完全相同的 个小球，其编号分别为 甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为 ，则停止取球；若编号不为 ，则将该球放回袋子中．由乙随机取出 个小球后甲再从袋子中剩下的 个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到 号球的概率为__________.
15．已知集合 ，若 则集合 所有可能的情况有_________种.
16．已知函数 在 处切线方程为 ,若 对 恒成立，则 _________.
三、解答题
17．某校为了了解学生对电子竞技的兴趣，从该校高二年级的学生中随机抽取了 人进行检查，已知这 人中有 名男生对电子竞技有兴趣，而对电子竞技没兴趣的学生人数与电子竞技竞技有兴趣的女生人数一样多，且女生中有 的人对电子竞技有兴趣.
【详解】
根据题意得， ，因为复平面内对应的点
在第四象限，所以 ，解得 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，难度不大.
4．B
【分析】
通过各项系数和为1，令 可求出a值，于是可得答案.
【详来自百度文库】
根据题意，在 中，令 ，则 ，而 ，故 ，所以展开式中常数项为 ，故答案为B.
【点睛】
将这20名同学的两颗成绩绘制成散点图如图：
根据该校以为的经验，数学成绩 与英语成绩 线性相关.已知这 名学生的数学平均成绩为 ，英语平均成绩 ，考试结束后学校经过调查发现学号为 的 同学与学号为 的 同学（分别对应散点图中的 ）在英语考试中作弊，故将两位同学的两科成绩取消.
取消两位作弊同学的两科成绩后，求其余同学的数学成绩与英语成绩的平均数；
22．在平面直角坐标系 中,以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 的直角坐标方程为 .
求圆 的极坐标方程；
设圆 与圆 ： 交于 两点，求 .
23．已知函数 .
求不等式 的解集；
若 ，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案.
【详解】
A． B． C． D．
10．2021年高考结束了，有 位同学（其中巴蜀、一中各 人，八中 人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到 三个班，每个班至少分配 位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ）
A． B． C． D．
重庆市南开中学2020-2021学年高2020级高二下学期期末数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， 或 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．设随机变量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
取消两位作弊同学的两科成绩后，求数学成绩x与英语成绩y的线性回归直线方程 ，并据此估计本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊的英语成绩.（结果保留整数）
附： 位同学的两科成绩的参考数据：
参考公式：
19．某地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规则如下：答题过程中不论何时，若选手出现两题答错，则该选手被淘汰分数记为 ，其它情况下，选手每答对一题得 分，此外若选手存在恰连续3次答对题目，则额外加 分，若 次全答对，则额外加 分.已知某选手每次答题的正确率都是 ，且每次答题结果互不影响.
11．给出下列四个说法：①命题“ 都有 ”的否定是“ 使得 ”；②已知 ，命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题；③ 是 的必要不充分条件;④若 为函数 的零点，则 ，其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若 有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知集合 ，则实数 的取值范围是_________.
在被抽取的女生中与 名高二 班的学生，其中有 名女生对电子产品竞技有兴趣，先从这 名学生中随机抽取 人，求其中至少有 人对电子竞技有兴趣的概率；
完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为“电子竞技的兴趣与性别有关”.
有兴趣
没兴趣
合计
男生
女生
合计
参考数据：
参考公式：
18．某校20名同学的数学和英语成绩如下表所示：
根据题意得， 等价于 ，解得 ，
于是 ，故答案为C.
【点睛】
本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.
2．A
【分析】
根据正态分布的对称性即可求得答案.
【详解】
由于 ，故 ，则 ，故
答案为A.
【点睛】
本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.
3．C
【分析】
首先化简 ，通过所对点在第四象限建立不等式组，得到答案.
记 为该选手参加比赛的最终得分，求 的分布列与数学期望.
20．已知函数 .
证明： ；
已知 ，证明： .
21．已知抛物线 的焦点为 ，圆 ： 与 轴的一个交点为 ，圆 的圆心为 ， 为等边三角形.
求抛物线 的方程；
设圆 与抛物线 交于 两点，点 为抛物线 上介于 两点之间的一点，设抛物线 在点 处的切线与圆 交于 两点，在圆 上是否存在点 ，使得直线 均为抛物线 的切线，若存在求出 点坐标（用 表示）；若不存在，请说明理由.
A． B． C． D．
7．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为 ，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知 ， ，则 的最小值为（）
A． B． C． D．
9．命题 ：“关于x的方程 的一个根大于 ，另一个根小于 ”；命题 ：“函数 的定义域内为减函数”.若 为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
3．复数 满足 ，且 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，若 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式中常数项为（ ）
A． B． C． D．
5．在极坐标系中，圆 的圆心的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．从2021年到2021年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了 套卷，即：全国I卷，全国II卷，全国III卷.小明同学马上进入高三了，打算从这 套题中选出 套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（ ）
14．一个袋子里装有大小形状完全相同的 个小球，其编号分别为 甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为 ，则停止取球；若编号不为 ，则将该球放回袋子中．由乙随机取出 个小球后甲再从袋子中剩下的 个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到 号球的概率为__________.
15．已知集合 ，若 则集合 所有可能的情况有_________种.
16．已知函数 在 处切线方程为 ,若 对 恒成立，则 _________.
三、解答题
17．某校为了了解学生对电子竞技的兴趣，从该校高二年级的学生中随机抽取了 人进行检查，已知这 人中有 名男生对电子竞技有兴趣，而对电子竞技没兴趣的学生人数与电子竞技竞技有兴趣的女生人数一样多，且女生中有 的人对电子竞技有兴趣.
【详解】
根据题意得， ，因为复平面内对应的点
在第四象限，所以 ，解得 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，难度不大.
4．B
【分析】
通过各项系数和为1，令 可求出a值，于是可得答案.
【详来自百度文库】
根据题意，在 中，令 ，则 ，而 ，故 ，所以展开式中常数项为 ，故答案为B.
【点睛】
将这20名同学的两颗成绩绘制成散点图如图：
根据该校以为的经验，数学成绩 与英语成绩 线性相关.已知这 名学生的数学平均成绩为 ，英语平均成绩 ，考试结束后学校经过调查发现学号为 的 同学与学号为 的 同学（分别对应散点图中的 ）在英语考试中作弊，故将两位同学的两科成绩取消.
取消两位作弊同学的两科成绩后，求其余同学的数学成绩与英语成绩的平均数；
22．在平面直角坐标系 中,以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 的直角坐标方程为 .
求圆 的极坐标方程；
设圆 与圆 ： 交于 两点，求 .
23．已知函数 .
求不等式 的解集；
若 ，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案.
【详解】
A． B． C． D．
10．2021年高考结束了，有 位同学（其中巴蜀、一中各 人，八中 人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到 三个班，每个班至少分配 位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ）
A． B． C． D．
重庆市南开中学2020-2021学年高2020级高二下学期期末数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， 或 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．设随机变量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
取消两位作弊同学的两科成绩后，求数学成绩x与英语成绩y的线性回归直线方程 ，并据此估计本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊的英语成绩.（结果保留整数）
附： 位同学的两科成绩的参考数据：
参考公式：
19．某地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规则如下：答题过程中不论何时，若选手出现两题答错，则该选手被淘汰分数记为 ，其它情况下，选手每答对一题得 分，此外若选手存在恰连续3次答对题目，则额外加 分，若 次全答对，则额外加 分.已知某选手每次答题的正确率都是 ，且每次答题结果互不影响.
11．给出下列四个说法：①命题“ 都有 ”的否定是“ 使得 ”；②已知 ，命题“若 ，则 ”的逆命题是真命题；③ 是 的必要不充分条件;④若 为函数 的零点，则 ，其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若 有最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知集合 ，则实数 的取值范围是_________.
在被抽取的女生中与 名高二 班的学生，其中有 名女生对电子产品竞技有兴趣，先从这 名学生中随机抽取 人，求其中至少有 人对电子竞技有兴趣的概率；
完成下面的 列联表，并判断是否有 的把握认为“电子竞技的兴趣与性别有关”.
有兴趣
没兴趣
合计
男生
女生
合计
参考数据：
参考公式：
18．某校20名同学的数学和英语成绩如下表所示：
根据题意得， 等价于 ，解得 ，
于是 ，故答案为C.
【点睛】
本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.
2．A
【分析】
根据正态分布的对称性即可求得答案.
【详解】
由于 ，故 ，则 ，故
答案为A.
【点睛】
本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.
3．C
【分析】
首先化简 ，通过所对点在第四象限建立不等式组，得到答案.