因式分解——分组分解法

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因式分解(分组分解法)

因式分解（分组分解法）【知识要点】1、定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的。

例如：22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

2、原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。

3、有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。

【典型例题】例1 把下列各式分解因式（1）2914x x ++= （2）212x x --=（3）2812x x ++= （4）2710x x -+=（5）228x x --= （6）2922x x --=（7）2295x x +-= （8）2376x x --=（9）28103x x ++= （10）210275x x ++= 例2 把下列各式分解因式（1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102（3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++（5）22144a ab b --- （6）223443ax ay bx cy cx by +-++- 例3 把下列各式分解因式（1）22421x xy y --；（2）()()267a b a b +-+-；（3）()()22524x x -+-+ （4）()()()()22310a b a b a b a b -+-+-+；（5）()()2224221x y x y y y +-+- （6）222()14()24x x x x +-++ 例4 把下列各式分解因式（1）()()z y y z x x +-+ （2）()()b a x ab x 34322-+- （3）()()cd b a dc ab 2222--- （4）()()y a bx by b y ax 2233+++ 【思考题】分解因式()()()()2222d b d c c a b a +-+-+++。

因式分解(分组分解法)

43;ac)-(ab+bc)
=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=a(a+c)-b(a+c)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
= (a+c)(a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
分组规律：在有公因式的前提下，按对应项系数成
比例分组，或按对应项的次数成比例分组。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
例１，例3种还有没有其他分组的方法；如果有，因式分解的结果是不是一样。
例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx
先提公因式;
2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解;
3.如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组来分解;
4.分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 口诀：一提二套三分四彻底
教学重点：掌握分组分解法的分组规律和步骤。主要内容：
学习分组分解法的概念，用分组分解法分组之后，可以用提公因式的多项式进行因式分解。
例2把多项式 a2-2ab+b2-c2 分解因式．
【分析】观察多项式，前三项符合完全平方公式．
例3把2ax-10ay+5by-bx分解因式分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好

初中数学因式分解-分组分解法

3 分组分解整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3．1 三步曲我们用上面的整式来说明如何分组分解.例1 分解因式：ax by bx ay --+.解 ax by bx ay --+=()()ax bx ay by -+- ［分为两组］=()()x a b y a b -+- ［“提”］=()()x y a b +- ［再“提”］一般地，分组分解大致分为三步：1．将原式的项适当分组；2．对每一组进行适当分组；3．将经过处理后的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解.一位高明的棋手，在下棋时，决不会只看一步，同样，在进行分组时，不仅要看到第二步，而且要看到三步.一个整式的项有许多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法，但是只要努力实践，多加练习，就会成为有经验，多加练习，就会成为有经验的“行家”.3．2 殊途同归分组的方法并不是唯一的，对于上面的整式ax by bx ay --+，也可以采用下面的做法： ax by bx ay --+=()()ax ay ax by +-+=()()a x y b x y +-+=()()x y a b +-.两种做法的效果是一样的，殊途同归！可以说，一种是按照x 与y 来分组（含x 的项在一组，含y 的项在另一组）；另一种是按a 与b 来分组.例2 分解因式：221x ax x ax a +++--.解法一按字母x 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()()221x ax x ax a +++-+=()()()2111x a x a a +++-+=()()211a x x ++-解法二按字母a 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()221ax ax a x x +-++-=()()2211a x x x x +-++-=()()211a x x ++-.3．3 平均分配在例2中，原式的6项是平均分配的，或都要分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项.如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配. 例3 分解因式：3254222x x x x x --++-.解 6项可以分成三组，每组两项.我们把幂次相近的项放在一起，即3254222x x x x x --++-=()()()5432222x x x x x -+---=()()()42222x x x x x x -+---=()()4221x x x -+-.本例也可以将6项分为两组，每组三项，即将系数为1的放在一组，系数为－2的放在另一组，详细过程请读者自己完成.例4 分解因式：2222ac bd ad bc +--.解 2222ac bd ad bc +--整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3.4瞄准公式如果在第二步或第三步中需要应用乘法公式，那么各组中的项数不一定相等，应当根据公式的特点来确定。

9.6因式分解(十字相乘、分组分解)

9.6因式分解——分组分解法、十字相乘法班级________姓名________【学习目标】1、理解分组分解法、十字相乘法的概念和意义，会用分组分解法、十字相乘法进行因式分解。

2、培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，渗透化归数学思想和局部、整体的思想方法。

【学习过程】I.分组分解法一、分解因式：（1）ax+ay+ab+ac （2）ax+ay+bx+by二、新知探索：把下列多项式分解因式：1.按字母特征分组：（1）a+b+ab+1 （2）a²-ab+ac-bc2.按系数特征分组：（1）2x²+3y+xy+6x （2）2ac-6ad+bc-3bd3.按指数特点分组：（1）a²-b²+2a-2b （2）x²+x-4y²-2y4.按公式特点分组：（1）a²-2ab+b²-c²（2）a²-4b²+12bc-9c²小结：分组分解法的步骤：（1）________________________（2）________________________（3）________________________练习1：把下列各式分解因式：（1）x²+6y-3x-2xy （2）a²+ab-3a-3b （3）4x²-4xy-a²+y²（4）1-m²-n²+2mnII ．十字相乘法一、情境创设：1.口答计算结果：（1）（x+2）（x-1）（2）（x+2）（x+1）（3）（x+3）（x+2）（4）（x+2）（x-3）（5）（x-2）（x+1）（6）（x-2）（x+3）（7）（x-2）（x-1）（8）（x-2）（x-3）2.想一想：你怎样将这类题目算得又快有准确呢？二、探索尝试：根据上面的公式将多项式写成两个一次因式相乘的形式：x ²+（2 +3）x+ 2 × 3 = x ²+（-1-2）x+（-1）×（-2）= x ²+（-1+2）x+（-1）× 2 = x ²+（ 1-2）x+ 1 ×（-2）= 小结：对于二次三项式q px x ++2，若ab q b a p =+=,，则()ab x b a x q px x +++=++22可分解为()()b x a x ++三、例题讲解：将下列各式因式分解（1）x ²+7x+6 （2）x ²-5x-6 （3）x ²-5x+6练习2：把下列各式分解因式：（1）x ²-7x+6 （2）a ²-4a-21 （3）t ²-2t-8（4）x ²+xy-12y ² （5）x 2+5x-6 （6）a ²-11ab-12b ²III.自主检测：分解因式 1．1--+b a ab2．22441b ab a --- 3．by bx ay ax 3322--+4．1072+-x x 5．x x x +-232 6．2)(3)(2++-+y x y x ()pxx b a bx ax bxbxax a x =+=++课后作业姓名____________班级____________一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( ) A ．10和－2 B ．－10和2 C ．10和2 D ．－10和－24．分解结果等于(x ＋y －4)(x ＋y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(2++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(2++-+y x y x 二、填空题1．=-+1032x x __________．2．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________． 3．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．4．22____)(____(_____)+=++a mna ． 5．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．三、解答题1.把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)2287b b a a --；(4)1+--y x xy (5)315523+--x x x (6)x xy y x 21372-+-2．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x -- (2)9)2(22--x x(3)2222)332()123(++-++x x x x (4)60)(17)(222++-+x x x x(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ； (6)48)2(14)2(2++-+b a b a(7)xy y x y xy x x 22))(1(3222+++-+ (8)b a bx ax bx ax ++--+223．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2622=+y x ，求a 的值．5. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足02222=++-+-y xy x y x ，求长方形的面积。

因式分解的四种基本方法

因式分解的四种基本方法
因式分解的四种基本方法分别为：
1. 提公因式法：将多项式中的公因子提取出来，化简成为一个公因式和一个多项式的乘积。

2. 公式法：利用已知的公式，将多项式化简成为一个已知形式的多项式进行因式分解。

3. 分组法：将多项式中的各项按照某种规则分组，化简成为几个因式的和或差。

4. 根据定理进行分解：利用多项式恒等式或定理进行分解，如差平方公式、和差化积公式等。

以上四种方法可根据不同情况选取，以便更快地得到多项式的因式分解形式。

沪科版数学七年级下册8.4《因式分解-分组分解法》教案设计

因式分解——分组分解法
高四琴
教学设计说明：
本节课的设计以减轻学生负担，全面实施素质教育为指导思想。

在这节课中，学生广泛参与，积极主动投入学习活动，学生的主体性得到了培养和发展，在教学过程中，我始终以在目标的引领下，引导学生通过小组内的互相讨论、合作学习，来暴露各层次学生的思维过程及特点，对所学内容的不同层次，不同侧面的理解，从而建构起学生自己的知识体系。

同时，在教学过程中充分调动学生学习主动性，对每一个新的发现，每一个问题的解决，每一个知识的获得给予足够的肯定，始终让学生保持心情愉悦，精神振奋，处于学习的最佳状态。

因式分解——分组分解法

因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

这种分解因式的方法叫做分组分解法。

二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。

通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。

我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。

通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。

三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b(3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。

此题也可以考虑含有y的项分在一组。

如下面法（二）解法。

解(一)2x2+2xy-3x-3y=(2x2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y=(2x2-3x)+(2xy-3y)=x(2x-3)+y(2x-3)=(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。

这也是分组中必须遵循的规律之一。

因式分解之分组分解法

因式分解之分组分解法【知识精读】分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。

使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。

能预见到下一步能继续分解。

而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

注意问题提示：（1）分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。

（2）分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。

（3）分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解。

常见分组方法方法一：分组后能提取公因式1．按字母分组例如：分解因式：ax+ay+bx+by 可以按某一字母为准分组，若按含有字母a 的分为一组，含有字母b 的分为一组，即ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+b(x+y)，这样就产生了公因式(x+y)。

2．按系数分组例如：分解因式：a 2-ab+3b-3a ，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好相等，即1:(-1)=3:(-3)，则a 2-ab+3b-3a=(a 2-ab)-(3a-3b)=a(a-b)-3(a-b)。

3．按次数分组例如：分解因式：x 3+x 2+x-y 3-y 2-y ，此多项式有两个三次项，有两个两次项，有两个一次项，按次数分组为：(x 3-y 3)+(x 2-y 2)+(x-y)方法二：分组后能运用公式例如：x 2-2xy+y 2-z 2可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x-y)2。

而(x-y)2-z 2又是平方差形式的多项式，还可以继续分解。

方法三：重新分组例如：分解因式4x 2+3y-x(3y+4)，此多项式必须先去括号，进行重新分组。

4x 2+3y-x(3y+4)=4x 2+3y-3xy-4x=(4x 2-4x)+(3y-3xy)=4x(x-1)-3y(x-1)=(4x-3y)(x-1)。

因式分解法的四种方法的公式

因式分解法的四种方法的公式因式分解是数学中常用的一种方法，可以将一个多项式或一个整数化简为其因数的乘积形式。

在因式分解中，有四种基本的方法：公因式法、分组法、三项分解法和特殊因式分解法。

下面将对这四种方法进行详细介绍。

一、公因式法：公因式法是一种基础的因式分解方法，其基本思想是找出多项式或整数中的公因式，并将其提取出来。

例如，对于多项式2x + 4xy，可以提取出公因式2，得到2(x + 2y)。

这里的公因式就是2二、分组法：分组法主要用于对含有四个或四个以上的项的多项式进行因式分解。

其基本思想是对多项式中的项进行分组，并在每个组中寻找公因式。

例如，对于多项式3x + 3y + 2xy + 2x，可以将其分为两组，分别是3x + 2x和3y + 2xy。

接下来分别提取每组中的公因式，得到3x(1 + 2) + y(3 + 2x) = 3x(3) + y(3 + 2x) = 9x + 3y + 2xy。

通过分组法，可以将多项式进行分解。

三、三项分解法：三项分解法用于因式分解三个项的多项式。

其基本思想是找到一个或多个因子，使得这些因子的乘积可以得到原多项式。

例如，对于多项式x^2+5x+6，可以将其分解为(x+2)(x+3)。

这里的(x+2)和(x+3)就是原多项式的因子，它们的乘积等于原多项式。

四、特殊因式分解法：特殊因式分解法主要用于特殊的多项式形式的因式分解。

常见的特殊因式包括二次三项式、完全平方三项式、立方差、差之平方等。

例如，对于多项式x^2-4y^2，可以将其因式分解为(x-2y)(x+2y)。

这里就利用到了差之平方的特殊因式分解。

除了这四种常见的因式分解方法，还有其他一些特殊的因式分解方法，例如矩形法、奇偶性分解法等。

这些方法可以根据具体问题的要求选择使用，以便更方便地完成因式分解。

总之，因式分解是一种在数学中经常使用的方法，它可以将一个多项式或一个整数化简为其因数的乘积形式。

公因式法、分组法、三项分解法和特殊因式分解法是四种常见的因式分解方法，可以根据具体情况选择适合的方法进行因式分解。

因式分解——分组分解法

北京四中撰稿：史卫红编审：谷丹责编：赵云洁因式分解——分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。

这种分解因式的方法叫做分组分解法。

二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。

分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。

分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。

通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。

此题也可以考虑含有y的项分在一组。

如下面法（二）解法。

初中数学竞赛——因式分解之分组分解法

第4讲因式分解之分组分解法知识总结归纳一. 分组分解解题步骤：（1）将原式的项适当分组；（2）对每一提取公因式或者运用公式进行处理；（3）将经过处理后的每一组当作一项，再提取公因式或者运用公式. 二. 分组分解注意事项：（1）一个整式往往有很多种分组的方法，有时需要经过尝试才能找到适当的分组方法。

如果某一种方法失败，则要从零开始，重新分组。

（2）高手下棋时绝不会只看一步，同样，在进行分组时，不仅要看到第二步，还要看到后面几步。

典型例题一. 基础练习例题1 分解因式：ay bx by ax +++.例题2 分解因式：ay bx by ax +--.例题3 分解因式：bc ac ab a -+-2.例题4 分解因式：x xy y x 21372+++.例题5 分解因式：bd bc ad ac 362-+-.例题6 分解因式：xy x y x 215652--+.例题7 分解因式：an am bn bm 304152-+-.例题8 分解因式：b ab a a 332+--.例题9 分解因式：cy bx ay cx by ax 222---++.例题10 分解因式：123+--x x x .例题11 分解因式：a ax x ax x --+++122.二. 思维拓展例题12 分解因式：b a b a 62922-+-.例题13 分解因式：y y x x 2422--+.例题14 分解因式：2229124c bc b a -+-.例题15 分解因式：22269n n m m -+-.例题16 分解因式：x x x x +++234.例题17 分解因式：xy y x y xy x x 22))(1(3222+++-+.例题18 分解因式：2225510)12(x y y x +++++.例题19 分解因式：bd ac abcd c -+-2.例题20 分解因式：2222345+++++a a a a a .例题21 分解因式：ab by bx a ay ax +-++-2.例题22 分解因式：a ax ax ax -+-45.例题23 分解因式：yz z y x 2222---.例题24 分解因式：m m n -+-2241.例题25 分解因式：22444a ax x a -+-.例题26 分解因式：222221a b c c ab +----.例题27 分解因式：22)()(ay bx by ax -++.三. 综合提高例题28 分解因式：33y y x x --+.例题29 分解因式：43224x x x -+-.例题30 分解因式：)()1(222b a x x ab +++.例题31 分解因式：1+++ab b a .例题32 分解因式：bm abm am m a 931552-+-.例题33 分解因式：2222y y x xy y x x -+-+-.例题34 分解因式：)1)(1()2(+---m m y y .例题35 分解因式：)2())((a b b c a c a ++-+.例题36 分解因式：32232y y xy x x -+-+.例题37 分解因式：y y y x x x ---++2323.例题38 分解因式：cd ab d c b a 4242222++--+.思维飞跃一. 巧妙分组例题39 分解因式：)4)(2()5)(3()5)(4()3)(2(y x y x y x y x y x y x y x y x --+--+--+--.例题40 分解因式：123-+++a ax ax x .例题41 分解因式：))(())((b a b a cd d c d c ab -++-+.例题42 分解因式：1)1(2)(3---++y x xy y x .二. 适当拆项例题43 分解因式：233332323++++++b b b a a a .例题44 分解因式：334234++++x x x x .例题45 分解因式：xy y x 4)1)(1(22---.例题46 分解因式：673+-x x .例题47 分解因式：323-++a a a .作业1. 分解因式：b a ab a 32172--+.2. 分解因式：124322--+a x ax .3. 分解因式：22244y a xy x +--.4. 分解因式：mn n m 2122+--.5. 分解因式：b a ax bx bx ax -+-+-22.6. 分解因式：222y y x xy y x x -+-+-.7. 分解因式：ay a z xz y x 222222--+--.8. 分解因式：y by ay x bx ax 363242-+-+-.9. 分解因式：926622+--++mn m n n m .10. 分解因式：2222az xz xy yz axyz yz x ---++.11. 分解因式：2222)()()()(d b c a d c b a +-+-+++.。

因式分解——分组分解法

分解因式： x 2 + ax 2 + x + ax − 1 − a
（35）
分解因式： x 4 + x3 + x 2 + x
模块化讲义体系
七年级第一学期.因式分解大礼包——分组分解法.学生版
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Mathematics
（36）分解因式： x3 + y 3 + x 2 + 2 xy + y 2
因式分解分组分解法12x?2m?ax?am2x2?xy?a2x?a2y2xmaxm2axm37m2?3n?mn?21m410mx?12nx?5my?6ny5a3x2?a3y?x2?y72ax?2ay?3bx?4cy?3by?4cx9a2?8ab?16b2?6a?24b?911x2?6xy?9y2?4x?12y13?x2?y2?a2?2?4x2y26ax2?bx2?cx2?ay2?by2?cy28a2?4ab?4b2?x2?2x?110ax2?ay2?2axy?ab2129a2?18a?9?b2?4b2?4332214已知a?b?0求a?2b?ab?2a3; acx3
（100）分解因式： 2 x − 4 x y − x z + 2 xy + 2 xyz − y z
3 2 2 2 2
模块化讲义体系
七年级第一学期.因式分解大礼包——分组分解法.学生版
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七年级第一学期.因式分解大礼包——分组分解法.学生版
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Mathematics
（86）分解因式： ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) + a + b + c

因式分解——分组分解法

=(x-3y)2-2·(x-3y)·5+52
=(x-3y-5)2
（3）分析此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、二项分成三组，各自提取公因式，再提取三组间的公因式。
解：a2-a2b+ab2-a+b-b2
=(a2-b2)-(a2b-ab2)-(a-b)
=(a+b)(a-b)-ab(a-b)-(a-b)
=(x-1)(x+1)(x-1)
=(x+1)(x-1)2
法（二）原式=(x3-x)-(x2-1)
=x(x2-1)-(x2-1)
=(x2-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)(x-1)
=(x+1)(x-1)2
说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。
=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2
=(a2x2+b2x2)+(b2y2+a2y2)
=x2(a2+b2)+y2(a2+b2)
=(a2+b2)(x2+y2)
（4）分析：将3b2变形为4b2-b2再分组进行。
解：a2-4ab+3b2+2bc-c2
=a2-4ab+4b2-b2+2bc-c2
=(a2-4ab+4b2)-(b2-2bc+c2)
=(a+b)(a-b)+4(a-b)
=(a-b) (a+b+4)
(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。

专题10因式分解的其它方法

专题10因式分解的其它方法考点一分组分解法【方法点拨】1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一長分组后能出现公因式, 二是分组后能应用公式.2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法.例如:①ax+ay+bx+by=x (a+b) +y (a+b)=(a+b) (x+y)②2xy - x2+l - y2=-(x2- 2xy+y2) +1=1- (x-y) 2=(1+x-y) (1-x+y)【典例剖析】1.(2019春•合肥期中)下列分解因式错误的是( )A・ 15Q+5a = 5a (3a+l)B・-x2- (x+y) (x-y)C. ax+x+ay^+y= (a+1) (x+y)D・J - be ・ ab^ac= (.a - b) (a+c)2.(2018秋•昆明期末)下列多项式中，不能进行因式分解的是( )A. - a2+b2B・-a1 - brC ・~ 3a'+2a D・(T ~ 2ab+b‘■ 13.(2013春•双峰县校级期中)把多项式ab -1+a-b因式分解的结果是( )A.(卅1)(外1) B・(a- 1) (b・l) C・(a+1) (d- 1) D・(a- 1) (b+1)4.(埔桥区校级期中)若?-^2-^=(x-y) -A,则/= ______________________ .5.(2019-黔东南州一模)分解因式x2 - by+y2 - 1= ____________.6.(西城区校级自主招生)多项式60 - 11"+卄4可分解为___________ .7・(2018春•迁安市期末)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法.但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2 - 4y2 - 2x+4y,我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程为：Q - 4>2 - 2x+4y= (x+2v) (x - 2y) - 2 (x - 2y) = (x - 2y) (x+2y -2).这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式x2 -加+异-16：(2)HABC三边a, b, c 满足cr-ab- ac+bc^O,判断ZUBC 的形状.8.(雷州市校级一模)分解因式：(1)16；(2)x2 - 2^)勺2 - 9.9.(阜宁县校级期末)分解因式：(1)a' - a： (2) x~ -- 1.10.(朝阳区二模)因式分解：加2 _ Q+2加_ 2”・考点二十宇相乘法【方法点拨】借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.®x2+ (p+q) x+pq型的式子的因式分解.这类二次三项式的特点長：二次项的系数長1;常数项長两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：X2+ (p+q) x+pq= (x+p) (x+q)②ax2+bx+c (aHO)型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数6, a?的积ai.a2,把常数项c分解成两个因数c】，c?的积ci・C2,并使aic2+a2cl正好是一次项b,那么可以直接写成结果：ax2+bx+c= (aix+ci) (a2x+c2).【典例剖析】1.(2018秋•兰陵县期末)把多项式? - ax+b分解因式，得(卅1) (x-3),则a, b的值分别是( )A・a— " 2, b=■ 3 B・a=2、b= - 3 C・a=■ 2» b—3 D・ a=2, b=32.(2018春•薛城区期末)下列因式分解结果正确的是( )A・X2+3X+2=X(X+3) +2 B・ 4x2 - 9= (4x+3) (4x・3)C・ x2 - 5x+6= (x-2) (x-3) D・a2 - 2a+l= (a+1) 23.(2018-东莞市校级一模)下列因式分解正确的是( )A. x2 - 4= (x+4) (x - 4) B・,+x+l= (x+1) 2C. ?-2x-3= (x- 1) 2-4 D・ 2x+4=2 (x+2)4.(2019-淄博)分解因式：0+5,+6x= ____________ .5.(2018•涪城区模拟)因式分解：x2-9^+18= ___________ •6.(2018-黄浦区二模)因式分解：^-^-12= _____________ .7.周老师在对多项式? - 7x+12进行因式分解时，先将常数项12拆成-16+28后再分组，过程如下：X2- 7x+12 =x2 - 7x - 16+28=(x2- 16) + (28-7x)=(x+4) (x-4) +7 (4-x)=(x - 4) (x+4 - 7)=(x - 4 ) (x - 3 )请你参考上而做法分解因式：(1)"+3卄2；(2) 2X2+5X - 3.8.(2018秋•通州区期末)下面是某同学对多项式(,-4卄2) (x2 - 4x+6) +4进行因式分解的过程. 解：设x2 - 4x=y原式=(尸2) (j+6) +4 (第一步)=y2+8>H-16 (第二步)=(尸4) 2(第三步)=(x2 - 4A-+4)2 (第四步)请问：(1)该同学因式分解的结果是否彻底？ ______ (填“彻底”或“不彻底”).若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果.(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2 - 2x) (x2- 2x+2) +1进行因式分解.9.(2018秋•宁都县期末)仔细阅读下而例题：例题：已知二次三项式?+5x+W有一个因式是x+2,求另一个因式以及加的值.解：设另一个因式卄“，得x~+5x+m = (r+2) (x+n),则X2+5X+W =x2+ (”+2) x+2?i,•••”+2=5,加=2”,解得w=3, m=6,另一个因式为x+3，加的值为6.依照以上方法解答下而问题：(1)若二次三项式X2 - 7x+12可分解为(1-3 ) GW),贝lja= _______________ .(2)若二次三项式2x2+bx - 6可分解为(2x+3) (x-2),贝ij b= ______________ .(3)已知二次三项式2^+9x - k有一个因式是2x- 1,求另一个因式以及k的值.10.(2018秋•金山区期末)分解因式：(a2+a)2-S (,+a) +12・考点三双十宇相乘法【方法点拨】双十字相乘法：对于二元二次多项式，选好恰当的那个字母当做常数对待，然后再用十字相乘法分解.【典例剖析】1.(2019秋•青浦区校级期中)用双十字相乘法分解因式：例：20“+9Q・ 18y2 - 18x+33)一14 ・V4X6+5X ( - 3) =9, 4X ( -7) +5X2=・ 13, -3X(- 7) +2X6=33,•••20,+9小-18异-18x+33y - 14= (4x - 3尸2) (5x+6v - 7)・双十字相乘法的理论根据是多项式的乘法，在使用双十字相乘法时，应注意它带有试验性质，很可能需要经过多次试验才能得到正确答案・分解因式6x2 - 5厂一6v2 - 2xz - 23齐-20z2= _________ ・2.用双十字相乘法分解因式：(1)%2 - 8 兀V+15)2+2X - 4y - 3 ；(2)3x2 - 11A>H-6>*2 - xz - - 2z2：(3)6x2- 5小一6yr+2x+23y - 20：(4)x2 - - 5x2+15)2+6,：(5)a2-3b2- 3<?+10处-2ca - 2ab；(6)x2-2『■ 3r+xjH-7j^+2xz：(7)x2-V2+5X+3>H-4.考点四待定系数法【方法点拨】待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值.【典例剖析】1.已知?-8有一个因式x-2,我们可以用待定系数法对X3-8进行因式分解：设x3 - 8= (x - 2 ) (x2+ax+b),T (x - 2) (x^+ax+b) =0+ (a ・ 2) x2+ (b ・ 2a〉x - 2b、a — 2 = 0/. b-2a = 0,即a=2, b=4.—2b = —8因此?-8= (x-2) (X2+2X+4)・已知0+27有一个因式x+3,请你仿照上例，用待泄系数法，因式分解J+27.2.若。

因式分解——分组分解法

因式分解(分组分解法)

因式分解(分组分解法)

初中数学因式分解-分组分解法

9.6因式分解(十字相乘、分组分解)

因式分解的四种基本方法

沪科版数学七年级下册8.4《因式分解-分组分解法》 教案设计

因式分解——分组分解法

因式分解之分组分解法

因式分解法的四种方法的公式

因式分解——分组分解法

初中数学竞赛——因式分解之分组分解法

因式分解——分组分解法

因式分解——分组分解法

专题10因式分解的其它方法

沪科版数学七年级下册8.4《因式分解-分组分解法》教案设计