2.4 Hermite插值多项式

xi 5
2.5
1
的 Ln(x)
Ln(x) f (x)
n
i
( i 0 , ... , n )

2
1.5
n=10
增加插值多项式的次数 并不一定会有更好的插值结果， 这是因为高次多项式的振荡是很厉害的. n=5 n 越大， 端点附近抖动 越大，称为龙格 （Runge） 现象
1
n=2
0.5
由β'0(x0)=1 ，得
a
1 ( x 0 x1 )
2
,
于是 同理有
0 ( x ) ( x x 0 )(
x x1 x0 x1
)
2
1 ( x ) ( x x 1 )(
x x0 x1 x0
)
2
7
定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值 多项式H3(x)存在且唯一。
使之满足
0 ( x0 ) 1 0 ( x1 ) 0 0 ( x 0 ) 0 0 ( x1 ) 0
1 ( x 0 ) 0 1 ( x1 ) 1 1 ( x 0 ) 0 ( x ) 0 1 1
0
-0.5 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
分段低次插值
事实上已被证明：对于 n 的高阶插值
公式 L n ( x ) 只有当 x 3 . 63 时才有 L n ( x ) f ( x ).
分段插值的概念

所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式 化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步， 先将所考察的区间作一分划
L1 , i ( x ) x x i1 x i x i1 yi x xi x i1 x i yi1
x i x x i 1 , i 0, 1, , n 1
分段线性插值函数
L1 , 0 ( x ) ~ L 1 ,1 ( x ) L1 ( x ) L1 , n 1 ( x ) x 0 x x1 x1 x x 2 x n 1 x x n
F ( t ) f ( t ) H 3 ( t ) C ( x )( t x 0 ) ( t x1 )
2 2
10
显然,F(t)有三个零点x0, x, x1,由Rolle定理知, F'(t) 至少有两个零点t0, t1满足x0<t0<t1<x1,而x0和x1也是
F'(t)零点, 故F'(t) 至少有四个相异零点.
分段线性插值曲线图：
注：由图象可知， 在节点 处的光滑性较差，为了提高光滑性， 讨论分段三次埃尔米特插值。
~ L1 ( x )
3.分段线性插值函数的余项
定理：设 f(x) 在[a,b]上有二阶连续导数 f″(x) ，则对
x [ a , b ], 有
其中，
| R ( x ) | | f ( x ) L1 ( x ) |
： a x 0 x1 x n b
并在每个 x i , x i 1 子区间上构造插值多项式，然后 把它们装配在一起，作为整个区间 a , b 上的插值 函数，即称为分段多项式。
二、分段线性插值
1.问题的提法
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点
2
4
( x ) | h M | R ( x ) | | f ( x ) L1 2 8
优点：计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。 缺点：分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。
例 ： 考 虑 构 造 一 个 函 数 f ( x ) co s x的 等 距 节 点 函 数 表 ， 要使分段线性插值的误差不大于 长 h应 取 多 大 ？ 1 2 10 ， 最 大 步
8
三次Hermite插值多项式的余项
定理
设 f(x) 在包含x0, x1的区间 [a, b]内存 在四阶导数，则对任意x[a,b] ，总存在一 个(a, b)（依赖于x）使
R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) f
(4)
( )
4!
( x x0 ) ( x x1 )
由
3 P4 (0 ) 2 B 0 2 P (1) 1 ( A B ) 1 4 2
解得A=1/4, B=-3/4 故
P4 ( x ) 1 2 x
2
3 2
x
1 4
( x 3) x ( x 1)( x 2 )
1 4
反复应用Rolle定理, 得F(4)(t)至少有一个零点设为 ξ∈(a, b)
11
F ( t ) f ( t ) H 3 ( t ) C ( x )( t x 0 ) ( t x1 )
2
2
F
(4)
( ) f
f
(4)
(4)
( ) C ( x )( 4 ! ) 0
2
2
9
证明: 由插值条件知
R3(x0)=R3'(x0)=0, R3(x1)=R3'(x1)=0
取 x 异于 x0 和 x1, 设
R 3 ( x ) C ( x )( x x 0 ) ( x x 1 )
2 2
利用 f(x) – H3(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2 构造辅助函数
3
两点三次Hermit插值（续2） 其中 0 ( x ), 1 ( x ), 0 ( x ), 1 ( x )
都是次数为3的多项式
令 H 3 ( x ) y 0 0 ( x ) y1 1 ( x ) y 0 0 ( x ) y1 1 ( x )
则H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件（*）
,
i=0,1,2,…,n
(3) L1 ( x ) 在区间[a , b]上连续; 则称 L1 ( x ) 是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值函数。
2.分段线性插值函数的表达式
由定义，1 ( x ) 在每个子区间[xi ,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上 L 是一次插值多项式;
•插值余项与节点的分布有关； •余项公式成立的前提条件是f ( x ) 有足够阶连续导 数（即函数足够光滑），但随着节点个数的增加， 这个条件一般很难成立； ( n 1) ( ) 可能会增大。 •随着节点个数的增加，f
随着节点个数增加到某个值，误差反而会增加。
例：在[5, 5]上考察 f ( x ) 2 1 x 。取 10
C (x)
( )
(4)
4!
R 3 ( x ) C ( x )( x x 0 ) ( x x 1 )
2 2
f
( )
4!
[( x x 0 )( x x 1 )]
2
12
例 求一个次数为4的多项式P4(x)，使它满足 P4(0)= P'4(0)=0， P4(1)= P'4(1)=1 ，P4 (2)=1
在区间 [ a , b ]上
| R ( x ) | mΒιβλιοθήκη a x | R i ( x ) |
0 i n 1
M2 2
( x x i )( x x i 1 )
由于
m a x ( x x i )( x x i 1 )
于是
( x i 1 x i ) 4
2
2

h
第四节 Hermite 插值多项式
在实际问题中，对所构造的插值多项式，不仅 要求在节点上函数值相等，而且要求在节点上若干阶 导数也相等。即,要求插值函数P(x)满足
P ( x i ) f ( x i ), P '( x i ) f '( x i ), , P
(m )
( xi ) f
(m )
a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b, 的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数 L1 ( x ) 满足条件 (1) L1 ( x ) 在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是 线性插值多项式;
(2)
L1 ( x i ) y i
2
2
0 ( x ) (1 2
x x0 x1 x 0
)(
x x1 x 0 x1
)
2
5
同理
1 ( x ) (1 2
x x1 x 0 x1
)(
x x0 x1 x 0
)
2
6
设
0 ( x ) a ( x x 0 )( x x 1 )
2
H 3 ( x i ) y i
2
两点三次Hermit插值（续1）
5
2
直接设
H 3 ( x ) ax
3
bx
cx d
待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆 Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数
0 ( x ), 1 ( x ), 0 ( x ), 1 ( x )
( xi )
把此类插值多项式称为埃米尔特（Hermite） 插值多项式或称带导数的插值多项式，记为H (x)。
1
两点三次Hermit插值
已知：
x y
x0 y0
y y 0
H 3 ( xi ) y i ,
x1 y1 y1
i 0,1
（*）
构造一个次数3的多项式H3(x) ，满足插值条件：
4
基函数求法： 求 0 (x)
0 ( x1 ) 0 0 ( x1 ) 0
3
0 ( x ) [ a b ( x x 0 )]( x x 1 )
a
b
2
0 ( x0 ) 1
1 ( x 0 x1 )
2 ( x1 x 0 )( x 0 x1 )
h
2
M
8
2
M 2 m ax | f ( x ) |, h m ax | x i x i 1 |
a xb 0 i n 1
证明：
在每个小区间 [ x i , x i 1 ]( i 0 , 1, , n 1)
Ri ( x ) f ( i ) 2! ( x x i )( x x i 1 )
0 ( x0 ) 0 0 ( x1 ) 0 0 ( x0 ) 1 0 ( x1 ) 0
1 ( x0 ) 0 1 ( x1 ) 0 1 ( x0 ) 0 ( x ) 1 1 1

先构造满足P2(0)= 0， P2(1)=1 ，P2(2)=1的插值 多项式P2 (x)，易得
P2 ( x ) 1 2 x
2
3 2
x
设
P 4 ( x ) P2 ( x ) ( A x B )( x 0)( x 1)( x 2)
其中A，B为待定系数. 利用两个导数条件确定系数A、B.
4
解 ：R
''
h
2
m ax f ( x )
a xb
''
8
f ( x ) cos x ,
| R | h
2
| f ( x ) | 1
''

1 2
10
4
h 2 10
2
8
最 大 步 长 h 应 取 0.02.
三.分段三次Hermite插值
1.问题的提法
定 义 : 设 n 1 个 插 值 节 点 x 0， x 1， x n。 已 知 在 节 点 上 的 函 数 值 y i f ( x i ) 和 导 数 值 y i f ( x i )， i 0，， ， n。 1 分 段 三 次 H erm ite 插 值 多 项 式 S 3 ( x ) 应 满 足 条 件 ： (1) S 3 ( x ) 和 S 3 ( x ) 在 [ a , b ]上 连 续 ; ( 2 )在 每 个 小 区 间 [ x i , x i 1 ]上 是 三 次 多 项 式 ； ( 3 ) S 3 ( x i ) y i , S 3 ( x i ) y i ( i 0 , 1, , n )。
x ( x 3)
2
2

第五节 分段低次多项式插值
一.高次插值的龙格 (Runge)现象
从插值余项角度分析
R n 1 ( x ) f ( x ) Ln 1 ( x ) f
( n 1)
( )
( n 1) !
n 1 ( x )
为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的 个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简 单地这样认为，原因有三个：