九上学生相似三角形讲义全
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形知识点讲义
相似三角形知识点讲义知识点1 相似图形形状相同的图形叫相似图形，或者说是相似形,在相似多边形中，最简单的是相似三角形.如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
知识点2 比例线段的相关概念两条线段长度的比叫做这两条线段的比。
如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm ba =，或写成n m b a ::=．注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad cb =．例题⒈若AB =1m ，CD =25cm ，则AB ∶CD = ；若线段AB=m, CD=n ，则AB ∶CD= . ⒉若MN ∶PQ =4∶7，则PQ ∶MN= ， MN= PQ ， PQ= MN 。
知识点3 比例的性质 基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::； (2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::． 注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等． 等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 例1若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中a =5㎝，b =7㎝，c =4㎝，则,d = ． 例2若a·b=c·d 则有a ∶d= ；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y= . 例3已知4x －5y =0，则（x ＋y ）∶（x －y ）的值为 ．例4若x ∶y ∶z =2∶7∶5，且x －2y ＋3z=6，则x= ，y= ，z= ； 例5设x 3 =y 5 =z 7 ，则x+y y =__ _，y+3z 3y-2z =__ __.；其中032≠+-f d b ．例6若kba c ca b cb a =+=+=+，求k 的值。
相似三角形详细讲义
知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ，ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ．(2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ．(3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
(完整版)相似三角形最全讲义(教师版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d cb a =4、比例外项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。
初三相似三角形讲义易
三角形相似 一、基本知识及需要说明的问题: (一)比例的性质 1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法. 2.合、分比性质:ddc b b ad c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或 注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.如:已知d c cb a a dc b a +=+=:,求证 证明:∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴dc cb a a +=+ 3.等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a 则ban f d b m e c a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++. 4.比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. (二)相似三角形1、相似三角形的判定①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多); ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; ③三边对应成比例的两个三角形相似;④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.2、直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似（三）相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比例.②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比)②相似三角形面积比等于相似比的平方(对应边的比) 补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。
注意：适用此方法的基本图形，(简记为A 型，X 型) (3)三边对应成比例的两个三角形相似。
(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。
(5)两角对应相等的两个三角形相似。
九年级数学相似三角形人教版知识精讲
初三数学相似三角形人教版【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是： 1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。
2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。
3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。
4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。
本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。
相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。
（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质：①基本性质：a b cd ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd =⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab ===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
初三相似三角形讲义
初二升初三数学相似三角形知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比，根据这一性质，可计算角的度数或边的长度。
平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. （2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4、如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
九年级数学总复习(件：第21课时相似三角形PPT课件
（5）顶角⑥______的两等腰三角形类似
相等
(1)类似三角形的⑦__对__应__角__相等；对应边
成比例；
性 (2)类似三角形的对应高的比、对应中线的 质 比和对应角平分线的比都等于类似比；
(3)类似三角形的周长比等于⑧_类__似__比___, 面积比等于⑨_类__似__比__的__平__方____
∵DE=3，
∴AG= 9 ,
2
∵△ABC∽△FCD,BC=2CD,
∴
SFCD (CD)2 1 SABC BC 4
∵S△ABC＝
1 2
∴S△FCD=
1 4
BC×AG= 1
2 9
S△ABC= 2 .
×8× 9
2
＝18，
G
第4题解图
类型三 类似多边形的性质计算 例 3 把矩形ABCD对折，折痕为MN，
比例
顶角相等 一对底角相等 底和腰对应成比例
几 种 基 本 图 形
考点三 类似多边形及其性质 1.定义：各角对应⑩_相__等__,各边对应 11
_成__比__例__的两个多边形叫做类似多边形.类似多 边形 12_对__应__边__的比叫做类似比.
2.性质 （1）类似多边形的对应角 13__相__等__，对应边 14 _成__比__例___. （2）类似多边形的周长比等于15 _类__似__比__，面 积比等于 16__类__似__比__的__平__方___.
ab 13k5k 18k 9
针对演练
已知 abacbck，则k的值为 2或-1
c ba
_【_解__析___】. 根据比例的基本性质，三等式相加，
即可得出k值；∵
abacbck,
c ba
∴ abacbck,
沪教版九年级上学期-相似三角形讲义(含解析) (1)
一、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作:a b（或表示为ab ）；如果::a b c d=（或a cb d=），那么就说a、b、c、d成比例．二、比例的性质（1）基本性质：如果a cb d=，那么ad bc=；相似三角形知识结构模块一：比例线段知识精讲2 / 34如果a cb d =，那么b d ac =，a b cd =，c d a b=． （2） 合比性质： 如果a cb d =，那么a bc db d++=； 如果a cb d =，那么a bc db d--=． （3） 等比性质： 如果a c kb d ==，那么ac a c k bd b d+===+．三、比例线段的概念对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a cb d=），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段． 四、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中，510.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数．五、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ∆，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么AD AEDB EC=．APBlAB CDEAB C DEAB CDE ll六、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上， 如果DE // BC ，那么DE AD AE BC AB AC==． 七、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 八、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．九、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在ABC ∆中，直线l 与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，如果ADAEDB EC=，那么l //BC ．ABCD EA BCDEAB CDEABCD E4 / 34十、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线1l //2l //3l ，直线m 与直线n 被直线1l 、2l 、3l所截，那么DF EGFB GC=．十一、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上 截得的线段也相等．【例1】 如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 和BC 上．下列所给的四个条件中，不一定能得到DE // AC 的条件是（ ） A ．BE BCBD BA =B ．CE ADBE BD =C ．BD DEBA AC=D ．BC CEAB AD=【难度】★ 【答案】C ．例题解析A BCDEF BC D E F G【解析】如图，作DF DE =，则DF DE AC AC =，∴BD DEBA AC=不能判定DE // AC ，故选C ． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选．【例2】 在比例尺为1 : 40000的一张地图上，量得A 、B 两地的距离是37 cm ，那么A 、B两地的实际距离是______km ．【难度】★ 【答案】14.8．【解析】设A 、B 两地的实际距离是x km ，则51371040000x -⨯=，解得：14.8x =． 【总结】本题考查了比例尺的有关计算，注意单位的换算．【例3】 如图，已知1l //2l //3l ，DE = 4，DF = 6，那么下列结论正确的是（ ）A ．BC : EF = 1 : 1B ．BC : AB = 1 : 2 C ．AD : EF = 2 : 3 D ．BE : CF = 2 : 3 【难度】★ 【答案】B ．【解析】::1:2BC AB EF DE ==，故B 正确． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例4】 如果线段a = 4 cm ，b = 9 cm ，那么它们的比例中项是______cm ． 【难度】★ 【答案】6．【解析】设它们的比例中项是x cm ，则由题意得249x =⨯，解得：6x =． 【总结】本题考查了比例中项的概念及计算．6 / 34BC DE FGA【例5】 四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交边AD 于点F ，交对角线BD 于点G ．求证：CG 是EG 与FG 的比例中项． 【难度】★ 【答案】详见解析．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴CG BG FG GD =，EG BGCG GD=， ∴CG EGFG CG=， ∴CG 是EG 与FG 的比例中项． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例6】 已知线段AB = 10，P 是线段AB 的黄金分割点（AP > PB ），则AP =______． 【难度】★ 【答案】555．【解析】由题意得51AP AB -=555AP =． 【总结】本题考查了黄金分割的有关计算．【例7】 已知23a c eb d f ===，18ac e =--，0bd f ++≠，求b d f ++的值． 【难度】★★ 【答案】27．【解析】∵23a c eb d f ===，0b d f ++≠，∴23a c e b d f ++=++， ∵18a c e =--，∴18a c e ++=，∴27b d f ++=．【总结】本题考查了等比性质的应用．【例8】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个三角形的重心到直角顶点的距离为______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】如图，易得192CD AB ==，∴263CG CD ==． 【总结】本题考查了重心的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【例9】 如图，已知AD // EF // BC ，AE = 3BE ，AD = 2，EF = 5，那么BC =______．【难度】★★ 【答案】6．【解析】作AN ∥DC 分别交EF 、BC 于点M 、N ，由题意得2NC MF AD ===，EM AEBN AB=， 即334BN =，∴4BN =，∴6AB =． 【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【例10】 如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 上，EF 与对角线BD 交于点G ，如果BE = 5，BF = 3，那么FG : EF 的比值是_______．【难度】★★A BCDEF M NA BCDEFGH【答案】38．【解析】作GH AB⊥于点H，易得GH BH=，∵GH EHBF EB=，535GH GH-=，解得：158GH=，∴38 FG BHEF BE==．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意比和比值的区别．【例11】如图，BD是ABC∆的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE // AB，DEF A∠=∠．（1）求证：BE = AF；（2）设BD与EF交于点M，联结AE，交BD于点N，求证：BN MD BD ND=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵DE // AB，DEF A∠=∠，∴AD∥EF，∴四边形AFED是平行四边形，∴AF DE=，ABD EDB∠=∠，∵BD是ABC∆的角平分线，∴ABD EBD∠=∠，∴EDB EBD∠=∠，∴BE DE=，∴BE AF=；（2）∵DE // AB，∴BN AB ND ED=，∵AD∥EF，∴BD ABMD AF=，MAFB E CDN8/ 34ABCDEFM∵ED AF =，∴BD AB MD ED =，∴BN BDND MD=， ∴BN MD BD ND ⋅=⋅．【总结】本题考查了平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理．【例12】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC ，90DAB ABC ∠=∠=︒，E 为CD 的中点，联结AE 并延长交BC 的延长线于F ； （1）联结BE ，求证：BE = EF ．（2）联结BD 交AE 于M ，当AD = 1，AB =2，AM = EM 时，求CD 的长． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）5CD =．【解析】（1）∵AD // BC ，DE EC =，易得ADE ∆≌FCE ∆， ∴E 为AF 的中点，∵90DAB ABC ∠=∠=︒， ∴BE EF =；（2）∵AM EM =，∴13AM MF =，∴13AD BF =， ∵1AD CF ==，∴3BF =，2BC =，∵2AB =，∴()225DC BC AD AB -+．【总结】本题考查了直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理及勾股定理等．10 / 34一、 相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE 是ABC ∆的中位线，那么在ADE ∆与ABC ∆中， A A ∠=∠， ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠；12AD DE AE AB BC AC ===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE ∆∽ABC ∆，其中点A 与点A 、点D 与点B 、点E 与点C 分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． 二、 相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．模块二：相似三角形DABCE知识精讲AB C A 1B 1C 1如图，已知直线l 与ABC ∆的两边AB、AC 所在直线分别交于点D 和点E ， 则ADE ∆∽ABC ∆．三、 相似三角形判定定理1如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：ABCDEAB C DEAB CDE12 / 34AB C AB CABC A 1B 1C 1四、 相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． 如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，1A A ∠=∠，1111AB ACA B AC =，那么ABC ∆∽111A B C ∆．五、 相似三角形判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果111111AB BC CAA B B C C A ==，那么ABC ∆∽111A B C ∆．六、 直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． 如图，在Rt ABC ∆和111Rt A B C ∆中，如果190C C ∠=∠=︒，1111AB BCA B B C =， 那么ABC ∆∽111A B C ∆．七、 相似三角形性质定理相似三角形性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都 等于相似比．相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．例题解析ABCA 1B 1C 114/ 34AB CDEF【例13】在下列44⨯的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，那么与图1中ABC∆相似的三角形所在的网格图是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】B．【解析】由图易得ABC∆为直角三角形，且:1:2BC AB=，故选B．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例14】已知ABC∆∽DEF∆，且相似比为3 : 4，2ABCS∆=cm2，则DEFS∆=______ cm2．【难度】★【答案】329．【解析】由题意得234ABCDEFSS∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴329DEFS∆=cm2．【总结】本题考查了相似三角形的性质．【例15】如图，已知点D是ABC∆中的边BC上的一点，BAD C∠=∠，ABC∠的平分线交边AC于点E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（）A．BAC∆∽BDA∆B．BFA∆∽BEC∆图1ABCDABCD EF C ．BDF ∆∽BEC ∆ D ．BDF ∆∽BAE ∆【难度】★ 【答案】C ．【解析】∵BAD C ∠=∠，ABD CBA ∠=∠，∴BAC ∆∽BDA ∆； ∵BAD C ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BFA ∆∽BEC ∆；∵BAE BDF ∠=∠，ABF CBF ∠=∠，∴BDF ∆∽BAE ∆；故C 错误．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例16】 如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求AC AB的值． 【难度】★【答案】12．【解析】∵ACD B ∠=∠，CAD BAC ∠=∠，∴CAD BAC ∆∆，∴22::CAD BAC S S AC AB ∆∆=，∵:1:3ACD DBC S S ∆∆=，∴:1:4CAD BAC S S ∆∆=，∴12AC AB =． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．【例17】 如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3 cm ，AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ，求CF 的长．【难度】★16 / 34ABCDEAMG【答案】52CF =cm ． 【解析】∵AB = 6 cm ，矩形ABCD 的周长为28 cm ， ∴8BC =cm ，∴5EC =cm ，∵EF AE ⊥， 易证ABE ∆∽ECF ∆，∴AB BE EC CF =，即635CF =，解得：52CF =cm ． 【总结】本题考查了一线三等角基本模型的运用．【例18】 如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆边AB 、AC 上，DE // BC ，BD = 2AD ，那么:DEB EBC S S ∆∆等于（ ）A ．1 : 2B ．1 : 3C ．1 : 4D ．2 : 3【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵BD = 2AD ，∴2BDE ADE S S ∆=，∵DE // BC ，∴9ABC ADE S S ∆∆=，∴6EBC ADE S S ∆∆=，∴:DEB EBC S S ∆∆1:3=．【总结】本题考查了相似三角形的性质及同底等高模型的综合运用．【例19】 如图，ABC ∆中，如果AB = AC ，AD ⊥BC 于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值为_______．【难度】★★ABCDEF【答案】14． 【解析】∵AB = AC ，AD ⊥BC ， ∴BAD CAD ∠=∠，BD DC =， ∵M 为AC 中点，∴DM AM =，∴BAD MDA ∠=∠， ∴GDM ∆∽GAB ∆，∵点G 为ABC ∆的重心，∴214GDM GAB S GD S GA ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，同时考查了重心的性质．【例20】 如图，已知ABC ∆中，AB = AC ，CD 是边AB 上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF 是正方形．CEF ∆和BDC ∆相似吗？试证明你的结论．【难度】★★【答案】相似，详见解析．【解析】由题意，可得：5AC AB =∴51BD DE EF ===，∴35CE =∴51BD DC -=355151CE EF --==-，∴BD CEDC EF=，∵BDC CEF∠=∠，∴CEF∆∽BDC∆．【总结】本题考查了相似三角形的判定．【例21】已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且BAC BDC DAE∠=∠=∠．（1）求证：ABE∆∽ACD∆；（2）求证：BC AD DE AC=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BAC BDC DAE∠=∠=∠，∴BAE CAD∠=∠，∵BEA EDA DAE∠=∠+∠，CDA EDA BDC∠=∠+∠，∴BEA CDA∠=∠，∴ABE∆∽ACD∆；（2）由（1）知AB AEAC AD=，∴AB ACAE AD=，又∵BAC EAD∠=∠，∴ABC∆∽AED∆，∴BC ACED AD=，∴BC AD DE AC=．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的综合运用．EDCBA18/ 34ABCD EFGHA BCD EF 【例22】 如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD于点F ，ECA D ∠=∠． （1）求证：ECA ∆∽ECB ∆； （2）若DF = AF ，求AC : BC 的值． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（22． 【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠，∵ECA D ∠=∠，∴ECA B ∠=∠， 又∵E E ∠=∠， ∴ECA ∆∽ECB ∆； （2）∵DF AF =，易证DC AE AB ==，∴2EB EA =，由（1）得AC EC EA BC EB EC ==，即2EC EAEA EC=，∴2EC EA =， ∴22AC EA BC EC ==． 【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的应用．【例23】 如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，若45DBC ∠=︒，DE BC ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，DE 与BF 相交于H ，BF 与AD 的延长线相交于G ．求证：（1）CD = BH ； （2）AB 是AG 和HE 的比例中项． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵45DBC ∠=︒，DE BC ⊥， ∴ED EB =，∵BF CD ⊥，∴EBH CDE ∠=∠，∴EDC ∆≌EBH ∆，20 / 34∴CD BH =；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴C A ∠=∠，∴BHE A ∠=∠，∵EBH BGA ∠=∠，∴EBH ∆∽BGA ∆，∴AG ABHB HE=， ∵HB CD AB ==，∴AG ABAB HE=，∴AB 是AG 和HE 的比例中项． 【总结】本题考查了全等及相似三角形的判定．【例24】 如图，已知等腰ABC ∆中，AB = AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：CAD ECB ∠=∠；（2）点F 是AC 的中点，联结DF ，求证：2BD FC BE =．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ， ∴BAD ECB ∠=∠， ∵AB = AC ，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CAD ECB ∠=∠； （2）由题意得12ED BC BD ==，∴DBE DEB ∠=∠， ∵点F 是AC 的中点，∴12DF AC FC ==，∴DCF FDC ∠=∠， ∵DBE DCF ∠=∠，∴CDF ∆∽BED ∆， ∴CD FC BE BD =，∵CD BD =，∴BD FCBE BD=， ∴2BD FC BE =．CBADEFABC D E F G【总结】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定．【例25】 如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE CD ⊥，DF 平分EDC ∠，交BC 于点F ，联结CE 、EF ． （1）求证：DE = DC ；（2）如果2BE BF BC =，求证：BEF CEF ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）作CH AD ⊥的延长线于点H ， ∵AD // BC ，90A ∠=︒，AB = AD ，∴CH AD =，∵DE CD ⊥，∴ADE HCD ∠=∠， ∴ADE ∆≌HCD ∆，∴DE DC =；（2）∵2BE BF BC =，B B ∠=∠，∴BEF ∆∽BCE ∆，∴BEF BCE ∠=∠， ∵DF 平分EDC ∠，DE DC =，∴DEF ∆≌DCF ∆，∴DEF DCF ∠=∠，∵DEC DCE ∠=∠，∴CEF BCE ∠=∠，∴BEF CEF ∠=∠．【总结】本题考查了一线三直角模型及相似和全等三角形的综合应用．【例26】 已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：2AD DG BD =；（2）联结CG ，求证：ECB DCG ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB = AC ，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，A BCDEFH∴ACE∆≌ABD∆，∴ABD ACE∠=∠，∵DF⊥AC，∴FAD FCD∠=∠，∴ABD FAD∠=∠，∴DAG∆∽DBA∆，∴AD DG BD AD=，∴2AD DG BD=；（2）∵AD DC=，∴DC DG BD DC=，∵CDG BDC∠=∠，∴CDG∆∽BDC∆，∴DBC DCG∠=∠，∵ABC ACB∠=∠，∴ABD GCB∠=∠，∴ACE GCB∠=∠，∴ECB DCG∠=∠．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质．ABCD EFG【例27】 如图，直角梯形ABCD 中，90B ∠=︒，AD // BC ，BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点．（1）求证：四边形AECD 为平行四边形；（2）在CD 边上取一点F ，联结AF 、AC 、EF ，设AC 与EF 交于点G ，且EAF CAD ∠=∠．求证：AEC ∆∽ADF ∆；（3）在（2）的条件下，当45ECA ∠=︒时，求：FG : EG 的比值． 【难度】★★【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）45．【解析】（1）∵BC = 2AD ，点E 为边BC 的中点， ∴AD EC =，∵AD // BC ，∴四边形AECD 为平行四边形；（2）∵EAF CAD ∠=∠，∴EAC DAF ∠=∠， ∵四边形AECD 为平行四边形，∴AEC D ∠=∠， ∴AEC ∆∽ADF ∆；（3）∵45ECA ∠=︒，∴AB BC =，设1AD =，则1BE EC ==，2AB =，∴5AE =∵AEC ∆∽ADF ∆，∴AD DFAE EC=，解得5DF =，∴45FC ， ∴45FG FC EG AE ==．24 / 34【总结】本题考查了平行四边形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及性质的综合运用，综合性较强，解题时注意进行分析．【例28】 如图，已知在ABC ∆中，P 是边BC 上的一个动点，PQ // AC ，PQ 与边AB 相交于点Q ，AB = AC = 10，BC = 16，BP = x ，APQ ∆的面积为y ． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）试探索：APQ ∆与ABP ∆能否相似？如果能相似，请求出x 的值，如果不能相似，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）()23301616y x x x =-<<；（2）能相似，394x =． 【解析】（1）作AH BC ⊥于点H ，ABCPQ H∵AB = AC = 10，BC = 16，∴6AH =，∴1482ABC S BC AH ∆=⋅⋅=，132ABP S BP AH x ∆=⋅⋅=， ∵PQ // AC ，∴BPQ ∆∽BCA ∆，∴22256BPQ BCAS BP x S BC ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴2316BPQ x S ∆=，∴23316APQ ABP BPQ S S S x x ∆∆∆=-=-，即()23301616y x x x =-<<； （2）能相似，此时394x =，详解如下： ∵BPQ ∆∽BCA ∆，∴BQ BP BA BC =，∴58BQ x =，∵AQP B ∠>∠，∴AQP APB ∠=∠，∴APQ ∆∽ABP ∆，∴AP PQ AB BP =，即5810xAP x =，解得：254AP =，∵AQ PQ AP BP =，即551088254x xx -=，解得：394x =， 综上，APQ ∆与ABP ∆能相似，此时394x =． 【总结】本题考查了相似三角形的性质及相似三角形的存在性问题．26 / 34ABCMN【习题1】 如果两个相似三角形的面积的比为4 : 9，那么它们对应的角平分线的比是______． 【难度】★ 【答案】2:3．【解析】相似三角形面积比等于相似比的平方． 【总结】本题考查了相似三角形的性质．【习题2】 如图，ABC ∆和AMN ∆都是等边三角形，点M 是ABC ∆的重心，那么AMNABCS S ∆∆的值为（ ） A ．23B ．13C ．14D ．49【难度】★★ 【答案】B ．【解析】∵点M 是ABC ∆的重心，设2AM =，则可得23AB =，∴AMN ABC S S ∆∆213AM AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选B ． 【总结】本题考查了相似三角形及重心的性质的综合运用．【习题3】 如图，AB // DC ，DE = 2AE ，CF = 2BF ，且DC = 5，AB = 8，则EF =______． 【难度】★★随堂检测CDMABCDEF O P【答案】7．【解析】延长AD 、BC 交于点M ，∵AB // DC ，∴MD MCDA CB=， ∵DE = 2AE ，CF = 2BF ，∴MD MCDE CF=，∴EF // DC ， 过点D 作DH ∥CB ，易求7EF =．【总结】本题考查了本题考查了平行线分线段成比例定理的运用．【习题4】 已知，如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点，AD 与EF 相交于点O ，线段CO 的延长线交AB 于点P ，求证：AB = 3AP ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】∵D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC ，22BD CD OE OF ===，设PE k =，则14PE OE PB BC ==，∴4PB k =，3BE k =，∴3AE k =， ∴2AP k =，6AB k =，∴3AB AP =．【总结】本题考查了三角形一边平行线的性质定理及中位线性质定理的运用．【习题5】 如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ．（1）求证：CD DF BC BE =；（2）若M 、N 分别是AB 、AD 中点，且60B ∠=︒，求证：EM // FN ．ABCDEFMNG28 / 34ABCDEF【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴B D ∠=∠， ∵AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴ABE ∆∽ADF ∆，∴AB BEAD DF=，∵AB CD =，AD BC =， ∴CD DF BC BE =；（2）延长EM 、DA 交于点G ，∵M 、N 分别是AB 、AD 中点，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，∴EM BM =，FN ND =， ∵60B ∠=︒，∴BME ∆、DFN ∆为等边三角形， ∴60BEM DNF ∠=∠=︒，∵G BEM ∠=∠，∴G DNF ∠=∠，∴EM // FN ．【总结】本题考查了相似三角形的判定及直角三角形的有关性质．【习题6】 如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是边BC 上一点，点E 、F 分别是线段AB 、AD 中点，联结CE 、CF 、EF ． （1）求证：CEF ∆≌AEF ∆；（2）联结DE ，当BD = 2CD 时，求证：DE = AF ．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵90ACB∠=︒，点E、F分别是线段AB、AD中点，∴12CF AD AF==，12CE AB AE==，∵EF EF=，∴CEF∆≌AEF∆；（2）∵点E、F分别是线段AB、AD中点，∴EF∥BD，12EF BD=，∵BD = 2CD，∴EF CD=，∴四边形CFED是平行四边形，∴DE CF=，∵CF AF=，∴DE AF=．【总结】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等及平行四边形的判定和性质的综合运用．【习题7】已知正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB∠的平分线分别交BD、BC于点E、F，作BH AF⊥，垂足为H ，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．（1）求证：AE = BG；（2）求证：GO AG CG AO=．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵ABCD为正方形，∴OA OB=，AC BD⊥，∵BH AF⊥，∴BGO BEH∠=∠，∵AEO BEH∠=∠，∴BGO AEO∠=∠，∴AEO∆≌BGO∆，∴AE BG=；（2）∵AF为CAB∠的平分线，∴OAE BAF∠=∠，∵CBP BAF∠=∠，∴OAE∆∽CBP∆，∴OE PCAO BC=，∵AB BC=，GO OE=，∴GO PCAO AB=，A BCD PGOFHE30 / 34ABCDE F∵PC ∥AB ，∴CG PCAG AB=， ∴GO CGAO AG=，∴GO AG CG AO =． 【总结】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定．【作业1】 若ABC ∆∽111A B C ∆（其中点A 和1A 、B 和1B 、C 和1C 分别对应），且AB = 4，11A B= 6，则ABC ∆的周长和111A B C ∆的周长之比是（ ）A ．9 : 4B ．4 : 9C ．2 : 3D ．3 : 2【难度】★ 【答案】C ．【解析】相似三角形的周长比等于相似比． 【总结】本题考查了相似三角形的性质．【作业2】 已知，如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为点F ，BE 交AC 于点E ，CE = 1cm ，AE = 3 cm ． 求证：（1）ECB ∆∽BCA ∆；（2）求斜边AB 的长．课后作业【难度】★【答案】详见解析．【解析】（1）∵BE CD⊥，90ACB∠=︒，∴ACD CBE∠=∠，∵点D为AB的中点，∴CD AD=，∴ACD DAC∠=∠，∴CBE A∠=∠，∴ECB∆∽BCA∆；（2）由（1）得CB CECA CB=，解得：2CB =cm，∴2225AB AC BC=+=cm．【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，注意观察母子形．【作业3】已知：如图，线段AB // CD，AC CD⊥，AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点．（1）求证：AE // CF；（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求证：MN = CE．【难度】★★【答案】详见解析．【解析】（1）∵AB // CD，∴AP BP PC PD=，∵E、F分别是线段BP和DP的中点，A BCDEFPQNM32 / 34∴22AP PE PEPC PF PF==， ∴AE // CF ；（2）∵AC CD ⊥，E 、F 分别是线段BP 和DP 的中点，∴AE EP EB ==，∵EA EBEQ ED=，∴ED EQ =， ∵M 、N 分别是线段AP 和DQ 的中点，∴EM AC ⊥，EN DQ ⊥，∴四边形MNCE 是矩形，∴MN CE =．【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理和矩形的判定及性质．【作业4】 如图，已知在四边形ABCD 中，AD // BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD 平分ABC ∠，过点D 作DF // AB ，分别交AC 、BC 于点E 、F ． （1）求证：四边形ABFD 是菱形；（2）设AC AB ⊥，求证：AC OE AB EF =． 【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵AD // BC ，DF // AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形， ∵BD 平分ABC ∠，∴ABD DBC ∠=∠，∵ADB DBC ∠=∠， ∴ABD ADB ∠=∠，∴AB AD =，∴四边形ABFD 是菱形； （2）连接OF ，易证AOB ∆≌FOB ∆，∵AC AB ⊥，∴OF BC ⊥，∵DF // AB ，∴EF OC ⊥，∴CEF ∆∽FEO ∆，∴EF CEEO EF=， ∵CE EF AC AB =，即CE AC EF AB =，∴EF ACEO AB=，∴AC OE AB EF =． 【总结】本题考查了菱形的判定及相似三角形的判定及性质的综合运用．ABC DEFO【作业5】 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点E 在边CD 上，点F 在BC 的延长线上，CF = DE ，AE 的延长线与DF 相交于点G ． （1）求证：CDF DAE ∠=∠；（2）如果DE = CE ，求证：AE = 3EG ．【难度】★★ 【答案】详见解析．【解析】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD DC =，ADE DCF ∠=∠，∵CF = DE ，∴ADE ∆≌DCF ∆，∴CDF DAE ∠=∠；（2）延长AG 、BF 交于点M ， ∵DE = CE ，易证ADE ∆≌MCE ∆，∴AE EM =，AD CM =， 设1DE =，则2AD DC CM ===，1CF FM ==，∴12MG MF AG AD ==，设MG k =，则2AG k =，1322AE AM k ==，∴12EG k =，∴3AE EG =．【总结】本题考查了全等三角形的判定及相似三角形的性质．【作业6】 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，联结BE ，过点A 作AF BE ⊥，分别交BE 、CD 于点H 、F ，联结BF ． （1）求证：BE = BF ；（2）联结BD ，交AF 于点O ，联结OE ．求证：AEB DEO ∠=∠． 【难度】★★ 【答案】详见解析．EDCG FABMAB CDEFHO【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形，AF BE ⊥， ∴AB AD =，DAF ABE ∠=∠，∴DAF ∆≌ABE ∆，∴AE DF =，∴点F 为DC 中点，∴CBF ∆≌ABE ∆，∴BE BF =；（2）∵DE DF =，EDO FDO ∠=∠，DO DO =， ∴EDO ∆≌FDO ∆，∴DEO DFO ∠=∠，由（1）得AEB DFO ∠=∠，∴AEB DEO ∠=∠．【总结】本题考查了全等三角形的判定及正方形的性质的综合运用．。
初中九年级相似相似三角形知识点总结及经典例题解析
第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。
如求河的宽度、求建筑物的高度等。
(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。
相似三角形教学讲义
一、 课堂检测1．已知3)(4)2(y x y x -=+，则=y x : ，=+xyx 2．543z y x ==，则=++xzy x ，=+-++z y x z y x 532323. 若线段AB=10cm ，C 是AB 的黄金分割点，则较短线段CB= cm 。
4.如图，直线321////l l l ，已知AG=1.2cm ，BG=2.4cm ，EF=4cm ，CD=3cm ，则CH= ，KF= 。
5.比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际距离是 公里。
6.梯形的两腰AD ，BC 延长后相交于点M ， (1) 如果AD=3.3cm ，BC=2cm ，DM=2.1cm ，则MC= cm 。
(2) 如果95=AB CD ，AD=16cm ，则DM= cm 。
7. 若b a b +＝53，那么ba＝ 8. 若3:2:1::=c b a ，求cb a cb a +---的值。
参考答案：1. 1:10 ；1011 2. 4 ；1926 3. 555- 4. CH=1 ;KF=385. 106.1114 7.358. -2 二、知识梳理1. 相似三角形的性质 （1）相似图形与相似变换相似图形的本质是形状相同，与图形的大小、位置没有关系。
如果两个三角形相同并且大小相同时，它们是全等图形，也就是全等是相似的一种特殊情况。
两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形按照一定的比例放大或缩小得到的。
（2）相似三角形定义：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作相似于。
（3）有定义得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
（4）相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。
注意：求两个相似三角形的相似比，应注意这两个三角形的前后顺序.全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1.2.相似三角形的引理及判定（1）相似三角形的引理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
北师大版九年级数学(上)第四章图形的相似：相似三角形讲义
相似三角形综合运用讲义【考点剖析】相似三角形是几何中较难的部分，也是每年中考的热点，相似三角形对圆的学习以及各种类型的综合性问题的解决都有很大的帮助。
在此，我们对相似三角形中经常出现的解答方法与技巧进行讲解。
【例题巧解点拨】一、运用三角形相似的条件进行解答。
例1.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP ．目标训练1.已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．2.如图，BD 、CE 为△ABC 的高，求证∠AED ＝∠ACB ．二、相似与函数的运用。
例2.在△ABC 中，∠C ＝90°，P 为AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB ，交AC 边于E 点，点E 不与点C 重合，若AB=10，AC=8，设AP 的长为x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 之间的函数关系式。
目标训练1.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC=25，斜边AB 在x 轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（2，0），求直角边BC 所在直线的解析式。
2.已知梯形ABCD 中，AD//BC （AD<BC ），AD=5，AB=DC=2。
（1）如图1，P 为AD 上一点，满足∠BPC=∠A 。
①求证：△ABP ∽△DPC ； ②求AP 的长。
（2）如图2，若点P 在AD 上移动（与A 、D 点不重合），且满足∠BPE=∠A ，PE 交BC 于点E ，交DC 的延长线于点Q ，设AP=x ，CQ=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
三、阅读理解类问题。
例3.阅读下列材料，补全证明过程：（1）已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点． （2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．目标训练1.如图1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．2.已知：△ABC 中，AB ＝10 ⑴如图①，若点D 、E 分别是AC BC 边的中点，求DE 的长； ⑵如图②，若点A 1、A 2把AC 边三等分，过A 1、A 2作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2，求A 1B 1＋A 2B 2的值； P A C E A B CO B A C D P B A C D P E D F O N D EF O N C OD ( F )⑶如图③，若点A 1、A 2、…、A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2、…、B 10。
初三数学：《相似三角形》知识点归纳
初三数学：《相似三角形》知识点归纳
所谓的相似三角形,就是它们的形状相同,但大小不一样,然而只要其形状相同,不论大小怎样改变他们都相似,所以就叫做相似三角形。
三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法有：
平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，
直角三角形相似判定定理1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
直角三角形相似判定定理2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
射影定理
相似三角形的性质
1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
九年级数学相似三角形复习优秀课件
C
A
· OP
B
又 ∵CD⊥AB
D
∴∠CPB＝90°
∠PCB＋∠B＝90° 又∠A＝∠CPB ∴△APC∽△CPB
AP PC PC PB
PC 2 AP PB
例3.如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2 米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一 竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A、标杆 顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处在H处测得建筑物顶端A 和标杆顶端E在同一直线上，那么建筑物的高是________米．
A
· OP
B
D
积化比例 AP PC PC PB
小技巧
复杂图形中，可利用比例式 横行或竖行的3个字母寻找、 构造相似三角形
构造相似三角形 △APC∽△CPB
例2. 如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，CD⊥AB，垂足为P，
求证:PC2＝PA·PB
证明：连结AC，BC ∵AB是直径 ∴∠ACB＝90° ∴ ∠A + ∠B = 90°
1.掌握相似三角形的概念，性质和判定 三角形相似的条件；
2.能利用相似比、相似的性质进行计算， 利用相似解决实际问题。
如果两个三角形的各角对应 相等 ，各边对应成比例， 那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角 相等 ，对应边成比例。 （2）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应 中线的比都等于 相似比。 （3）相似三角形的周长之比等于 相似比，面积之比
A．4∶21 B．4∶9 C．9∶16 D．2∶3
4．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，
不能判定△ABP∽△ACB的是( B )
九年级数学《相似三角形基本图形精讲》
判定方法
根据角平分线的性质和三 角形的相似性质，可以判 定两个三角形是否相似。
综合型相似图形
定义
当一个图形同时具有平行线和角 平分线的特征时，所形成的两个
三角形为相似三角形。
性质
两个相似三角形的对应角相等，对 应边成比例。
判定方法
根据图形的特征和三角形的相似性 质，可以判定两个三角形是否相似。
03 相似三角形的应用
相似多边形的面积之比等于其对应边长的平方之比。
相似多边形的性质和判定
性质
相似多边形的对应角相等，对应 边的比值相等，面积之比等于其 对应边长的平方之比。
判定
根据相似三角形的性质，可以通 过比较对应角和对应边的比值来 判定两个多边形是否相似。
相似多边形的应用
在几何学中，相似多边形可以 用来研究图形的形状和大小的 关系，以及解决一些实际问题。
角形相似。
相似三角形的性质
01
02
03
对应角相等
相似三角形的对应角相等， 这是相似三角形的基本性 质。
对应边成比例
相似三角形的对应边长成 比例，即它们的边长比是 一个常数。
外接圆半径相等
如果两个三角形相似，则 它们的外接圆半径相等。
相似三角形的判定方法
角角判定
如果两个三角形的两个对应角 相等，则这两个三角形相似。
利用相似三角形解决实际问题
测量问题
利用相似三角形测量建筑物的高 度、河的宽度等实际物体的高度
和长度。
建筑学应用
在建筑设计时，利用相似三角形 计算角度、长度等参数，以确保
建筑物的稳定性和美观性。
物理学应用
在物理实验中，利用相似三角形 模拟真实场景，研究物理规律和
九上(学生) 相似三角形讲义
第1讲 相似图形与成比例线段之袁州冬雪创作【学习方针】1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,懂得相似图形概念.2、懂得成比例线段的概念，会确定线段的比.【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念.【学习难点】成比例线段概念.【学习过程】知识点一：比例线段定义：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中 两条线段的比（即它们长度的比）与别的两条线段的比，如果 a c b d ，那末就说这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.例：如四条线段的长度分别是4cm 、8cm 、3cm 、6cm 断定这四条线段是否成比例？解：操练一：1、如图所示：（1）求线段比ABBC 、CD DE 、AC BE 、AC CD（2）试指出图中成比例线段2、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是30mm 、2cmcm 、12mm 断定这四条线段是否成比例？3、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是2、断定这四条线段是否成比例？ 4、已知A 、B 两地的实际间隔是250m 若画在图上的间隔是5cm ，则图上间隔与实际间隔的比是___________5、已知线段a=12、 b =2、c=2、若a c b x =，则x =_________若()0b y y y c =>，则y =__________6、下列四组线段中，不成比例的是 （ ）A a=3 b=6 c=2 d=4B a=1 b=C a=4 b=6 c=5 d=10D a=知识点二：比例线段的性质比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下：（1） 基赋性质：如果a cb d =，那末ad bc =（双方同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形 b d a c =、a b c d =、c d a b =（2） 合比性质：如果a c b d =，那末a b c d b d ±±= （3） 等比性质：如果a c e m b d f n ====()0b d f n ++++≠，那末a c e m a b d f n b ++++=++++例2 填空： 如果23a b =，则a =2a =、 a b b +=、 a b b -= 操练二：1、已知35a b =，求a b a b +-2、若234a b c ==，则23a b c a ++=_________3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ） A m x n y = B m n y x = C y m x n = D x y n m =4、已知570x y -=，则x y=_______5、已知345x y z ==，求x y z x y z +++-=________ 第2讲平行线分线段成比例【学习方针】1.懂得掌握平行线分线段成比例定理，会用符号“∽”暗示相似三角形，如△ABC ∽△C B A ''';2.知道相似多边形的主要特征3.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质停止相关的计算.【学习重点】懂得掌握平行线分线段成比例定理及应用．相似多边形的主要特征与识别.【学习难点】掌握平行线分线段成比例定理应用．运用相似多边形的特征停止相关的计算.【学习过程】知识点三：平行线分三角形双方成比例线段(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l 1 , l 2,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4,l 5.分别量度l 3 , l 4,l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?任意平移l 5 , 再量度AB,BC, DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?(2) 问题，AB ︰AC=DE ︰（ ），BC ︰AC=（ ）︰DF ．强调“对应线段的比是否相等”(3) 归纳总结：平行线分线段成比例定理 三条_________截两条直线，所得的_______________.应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；4）例 1 如图、若AB=3cm ，BC=5cm ，EK=4cm ，写出EK KF = =_____、AB AC =______. 求FK 的长? [活动2]平行线分线段成比例定理推论 l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图27.2-2ABC E K F（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3、任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的平行于三角形一边的直线截其他双方（或双方的延长线）所截得的3、 归纳总结：平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他双方（或双方延长线），所得的线段. 例1:如图在ABC ∆中,90C ∠=︒，,3,2,5DE BC BD cm DC cm BE cm ⊥===求EA 的长解：例2如图，在△ABC 中，DE∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有AC AE AB AD =，又由AD=EC 可求出AD 的长，再根据AB AD BC DE =求出DE 的长． 解：[巩固操练]1.如图，在△ABC 中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，ECD 和BD. 2．如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE:EA=2:3，EF=4，求CD 的长．[才能提升]1．如图，△ABC ∽△AED,其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式．2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式．[归纳]断定三角形相似的（预备）定理： 平行于三角形一边的直线和其他双方相交，所成的三角形与原来三角形相似.这个定理揭露了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．操练2：1、 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，DE ⊥AC 交AB 于D ，交AC 于E ，如果DE =5，AE =12， AC =28.求AB 的长2、在ABC ∆中，DE //BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，F 为BC 上一点，DE 交AF 于G ，已知AD=2BD ，AE =5，求（1）AG AF ；（2）AC 的长3、 如图：在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，已知AD =3，AB =5，A E=2，EC =43，由此断定DE 与BC 的关系是___________,来由是____________________________ 4、 如图：AM ：MB=AN ：NC=1：3，则MN ：BC=__________ 5、 如图：在ABC ∆中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，AC =5，BC =3，求：AE ：DF 的比值.6、在ABC ∆中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE //BC ，如果23AD DB =，且AC ＝10，求AE 及EC 的长.7．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长．8、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h ．(设网球是直线运动)第3讲 相似多边形【学习方针】1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质停止相关的计算.【学习重点】相似多边形的主要特征与识别.【学习难点】运用相似多边形的特征停止相关的计算.【学习过程】[探究研讨][活动1]观察，图27.1-4(1)中的△A 1B 1C 1是由正△ABC 放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？知识点四：相似多边形1、 相似形定义：具有 的图形称为相似形2、 相似多边形：对应角，的多边形叫相似多边形3、 相似多边形的性质：○1相似多边形的对应角相等，对应边的比相等反过来，如果两个多边形知足对应角相等，对应边的比相等，那末这两个多边形相似.3．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那末这两个多边形_______．几何语言：在⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1中若111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠．则⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1相似（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？ 结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．[例题解析]例1、（选择题）下列说法正确的是（）A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似分析：A中平行四边形各角纷歧定对应相等，因此所有的平行四边形纷歧定都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比纷歧定相等，因此所有的矩形纷歧定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角纷歧定对应相等，因此所有的菱形纷歧定都相似，故C也错；D中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正确，因此此题应选D．''''相似，求例2、如图：已知，四边形ABCD与四边形A B C DB C''，C D''长和D∠大小解：5巩固操练11．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的间隔是30cm，求两地的实际间隔．2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、d 的长度．4如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角βα和的大小和EH 的长度x ．操练2：1、下列说法正确的是 （ ）A 任意两个菱形一定相似B 任意两个矩形一定相似C 有一个角是30︒的两个等腰三角形相似D 任意两个等腰直角三角形一定相似2、已知26AOB ∠=︒，在放大镜里看到的AOB ∠的度数是___________3、在ABC ∆中，BC ＝15cm ，AC ＝45cm,AB ＝54ｃｍ，另外一个与它相似的三角形最短边是5ｃｍ，则最长一边是4、用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大10倍后，下列说法正确的是（ ）A A ∠是原来的10倍B 周长是原来的10倍C 每一个内角都发生了变更D 以上说法都分歧错误5.四边形ABCD 与四边形A B C D ''''相似图形，且A 与A '、B 与B '、C 与C '是对应点，已知AB ＝10、BC ＝8、CD ＝８、AD ＝６、30A B ''=，求四边形A B C D ''''的其余三边的边长及周长.6.正五边形ABCDE ∽正五边形A B C D E '''''，且2AB A B =''，若6C D ''=，则CD ＝＿＿＿○2相似多边形对应边，周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方例5：如图：在等腰梯形ABCD 中，上底为5，下底为13，腰长为5，等腰梯形A B C D ''''与它相似，相似比为32，求等腰梯形A B C D ''''的周长及面积.解：操练3：1、已知多边形A 与多边形B 相似，且多边形A 与多边形B 的周长比为1：3，则:B A S S ＝＿＿＿2、已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为＿＿＿＿＿，若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是＿＿＿＿＿3、两个相似多边形的最长边分别是70和28，它们的周长和为280，则它们的周长分别为＿4、如果把一个12ｃｍ⨯21ｃｍ的矩形按相似比为34停止变换，得到的新矩形的周长为＿＿面积为＿＿＿＿5、两个相似多边形一组对应边的长分别是3cm 和4cm ，它们的面积相差282cm ，求这两个多边形的面积分别是多少？ 知识点五：相似三角形1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.2、相似三角形的断定方法：（1）断定方法一：定义断定（2）断定方法二：平行于三角形一边的直线截其他双方（或双方反向延长线）所构成的三角形与原三角形相似 例题6：如图：DE //BC ，交AB 于D 、交AC 于E ，若AD ：DB ＝2：３，BC ＝１５，求DE 的长解：操练题4：1、如图：DE //BC ，则图中________∽__________,来由是__________2、如图：AB //EF //DC ，则图中相似三角形有_______对，它们分别是________3、如图：在ABC 中，DE //BC ，AD ＝EC 、BD ＝1cm ，AE ＝4cm 、BC ＝5cm,求DE 的长4、如图：AB //CD ，OA ：OD ＝1：2，AB ＝4cm ，则CD 的长为 （ ） A 2cm B 6cm C 8cm D 10cm5、如图：AB//CD ，则图中有_______对相似三角形 第4课时相似三角形的断定：【学习方针】1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相第2题图 第1题图似”“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”两角对应相等，两个三角形相似的断定方法．的断定方法，2．可以运用三角形相似的条件处理简单的问题．【学习重点】掌握3种断定方法，会运用3种断定方法断定两个三角形相似.【学习难点】（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来断定三角形是否相似．【学习过程】[知识回顾](1) 两个三角形全等有哪些断定方法？(2) 我们学习过哪些断定三角形相似的方法？(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？探究研讨1[活动1]1、如图，如果要断定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？2、可否用近似于断定三角形全等的SSS方法，可否通过一个三角形的三条边与另外一个三角形的三条边对应的比相等，来断定两个三角形相似呢？[活动2]任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.（1）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）探求证明方法．（已知、求证、证明）如图27.2-4，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，A C CA C B BC B A AB ''=''=''，求证△ABC∽△A ′B ′C ′证明 ：【归纳】三角形相似的断定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那末这两个三角形相似．断定方法2：如果一个三角形的两条边与别的一个三角形的两条边对应成比例，而且这两条边的夹角相等，那末这两个三角形相似，简单说成：双方对应成比例且夹角相等，两三角形相似.例1 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长解：例题2：如图：BC 平分ABD ∠，AB ＝4、BD ＝10、BC ＝210，求证：△ABC ∽△CBD证明：三角形相似的断定方法3：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形两个角对应相等，那末这两个三角形相似．简单说成：“两角对应相等，两个三角形相似”若∠=∠∠=∠A A B B ''，则∆∆ABC A B C ~'''直角三角形相似断定方法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另外一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似.简单说成：斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似.若：AC A C AB A B ''''=则∆∆ABC A B C ~''' 例3.已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．[巩固操练]1 、填一填（1）如图3，点D 在AB 上，当∠＝∠时，△ACD ∽△ABC.（2）如图4，已知点E 在AC 上，若点D 在AB 上，则知足 条件，便可使△ADE 与原△ABC 相似.2..断定ABC ∆与A B C '''∆是否相似并说明来由.100A ∠=︒AB ＝5cm AC=15cm3．下列说法是否正确，并说明来由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．4.在ABC DEF ∆∆和中，30A ∠=︒、AB ＝8cm 、AC=10cm 、DE=4cm 、DF=5cm 当______时△ABC ∽△DEF5如图：正方形ABCD 中，P 是BC 上一点，且BP ＝3PC 、Q 是CD 的中点，则AQ PQ =____6．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？7．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．8.(1)如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ，那末△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的来由． ABD C 图 3 ●A BCE图 4（2）如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果∠ACD=∠B ，那末△ACD 与△ABC 相似吗？[才能提升]1．如图，AB •AC=AD •AE ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△AED ．2．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2=PD •AD ，求证：△ADC ∽△CDP ．3、在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝80°，∠C ＝60°，∠A ′＝80°，∠B ′＝40°，那末这两个三角形是否相似？为什么？4、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FD EF BF AF =． 5.已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ． 第5讲 相似三角形的性质知识点六：相似三角形的性质：相似三角形的性质（1）相似三角形的周长比等于相似比 例题1：ABC ∆与ADE ∆相似， CE ＝15、AE ＝30、D E ＝40、AD ＝20、DE //BC ，求ABC ∆的周长解：操练1：1、两个相似三角形的相似比为3：5，则周长比为__________2、两个相似三角形的相似比的平方等于2，周长之比为k,则11k-=__________3、两个相似三角形一对对应边的长分别为35cm和15cm，它们的周长差为60cm，则这两个三角形的周长分别是_____________4、如图：在ABC∆中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，若ABC∆的周长为20cm,则DEF∆的周长为（）A 5cmB 10cmC 12cmD 15cm5、如图：在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于O，若AOD∆与COB∆的周长之比为1：4，且BD＝12cm，则BO的长为__________ cm相似三角形的性质（2）：相似三角形的面积比等于相似比的平方例题2：两个相似三角形一组对应边的长分别是3cmcm，若它们的面积和是782cm，则较大的三角形的面积是（）A 422cm B 522cm C 542cm D 562cm操练2：1、相似三角形的周长比等于________面积比等于___________2、已知两个相似三角形的对应边的比为1：2则它们的周长比为______面积比为________3、已知△ABC∽△A`B`C`，它们的周长分别为56cm、72cm ，则它们的面积比为_________4、在比例尺为1：1000的地图上有一块周长为6cm ，面积为 1.2 cm 的区域，这块区域的实际周长为___________面积为__________5、如图：在ABC ∆中，DE //FG //BC 、且AD ＝DF ＝FB ，则::ADE DEGF FGCB S S S 四边形四边形＝_______相似三角形的性质（3）：相似三角形对应边上的高、对应边上的中线对应边上的角平分线的比等于相似比例题3：如图：在边长为2的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BM ⊥CE 、MN ⊥BE ，求BM ：MN解：操练3：1、 两个相似三角形的对应高的比为2：3，则对应角平分线的比为______,对应中线的比为_________,面积比为____________2、 已知两个相似三角形对应角平分线的比为4：5，周长和为18cm ,那末这两个三角形的周长分别是____________3、 若△ABC ∽△A`B`C`，它们对应中线之比为m ,则对应周长比为______,对应面积比为_____4、 如图：在Rt ABC ∆中，DE 垂直且平分AC 、AE //DF ,则DF ：BE ＝________5、 如图：在ABC ∆中，DE //BC 、ABC ∆与ADE ∆的相似比为5：4，AM BC ⊥交DE 于M 、已知MN ＝2，求AN 的长.第6课时相似三角形应用举例【学习方针】1．进一步巩固相似三角形的知识．2．可以运用三角形相似的知识，处理不克不及直接丈量物体的长度和高度（如丈量金字塔高度问题、丈量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模子，进一步懂得数学建模的思想，培养分析问题、处理问题的才能．【学习重点】运用三角形相似的知识计算不克不及直接丈量物体的长度和高度．【学习难点】矫捷运用三角形相似的知识处理实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．【学习过程】[知识回顾]1、断定两三角形相似有哪些方法?2、相似三角形有什么性质？探究研讨11、问题1： 学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么法子丈量？例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾操纵相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来丈量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA 为201m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？）分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再操纵相似三角形的断定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解：[巩固操练]在某一时刻，有人测得一高为米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那末高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）探究研讨2已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树根部的间隔BD=5m．一个身高的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的间隔小于多少时，就不克不及看到右边较高的树的顶端点C？解：经典例题例题1：小强用以下方法来丈量讲授楼AB的高度，如图所示：在水平地面上放一面平面镜与讲授楼的间隔EA=21m，当他与镜子的间隔CE=2.5m时，他刚好能从镜子中看到讲授大楼的顶端B，已知他眼睛距地面的高度DC=1.6m，请你帮忙小强计算出讲授楼的高度AB为多少米？解：例题2：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个方针P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ．解：操练：1、已知如图：AB为树、AC是它的影长，AD是一段树干，AD的影长为AE，AC=8m、AE=2m、AD=1.5m,求树高AB的长2.如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB.第1题图[才能提高]1.为了丈量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC ⊥A BAB ，在AC 上找到一点D ，在BC 上找到一点E,使DE ⊥AC ，测出AD=35m ，DC=35m ，DE =30m,那末你能算出池塘的宽AB 吗?E第1题图2、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，而且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．第2题图3、马戏团让狮子和公鸡扮演跷跷板节目，如图：跷跷板支柱AB 的高度为1.2米， （1）若吊环高度为2米，支点A 为PQ 中点狮子可否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下，移动支柱，当支点A 移到PQ 的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？4.某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别为10m 、20m 的梯形空位上种植花木，如图：他们想在AMD ∆和BMC ∆地带种植价格为10元/m 2的太阳花，当AMD ∆地带种满花后已经花了500元，请预算一下，若继续在BMC ∆地带种第3题图第4题图植同样的太阳花，资金地否够用？并说明来由.5、李乐同学要在校园里丈量一棵大树的高度，他发现树旁有一根高2.5m的电线杆，当他与大树和电线杆站在同一条直线上时，其前后间隔，恰好使他的头顶、树顶、电线杆的顶点也都在一条直线上，他又用皮尺量得他和电线杆之间的水平间隔为3m，电线杆与树间的水平间隔为10m，同时他借助他1.7m的身高，确定了树的高度，你能分析他是如何计算出来的吗？6、小明想操纵树影丈量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m，但当他顿时丈量树影时，因树接近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高 1.2m，又测得地脸部分的影长2.7m，他求得的树高是多少？第7课时位似【学习方针】1、懂得位似图形及其有关概念，懂得位似与相似的接洽和区别，掌握位似图形的性质．2、掌握位似图形的画法，可以操纵作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．【学习重点】位似图形的有关概念、性质与作图．【学习难点】操纵位似将一个图形放大或缩小．【学习过程】[探究研讨][活动1]提出问题：生活中我们常常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.观察图27.3-2图中有多边形相似吗？如果有，那末这种相似什么共同的特征？通过观察懂得到有一类相似图形，除具有相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不但是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那末这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为相似比.（位似中心可在形上、形外、形内.)知识点八：位似1、位似的定义：两个多边形不但相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行的两个图形叫做位似图形.交点叫做位似中心.每对位似对应点与位似中心共线；不颠末位似中心的对应线段平行．2、位似的性质：位似图形对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的比等于相似比3、操纵位似，可以将一个图形放大或缩小4、位似变换与坐标的关系在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那末位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -例题1：已知EFH ∆和MNK ∆是位似图形，请找出位似中心A 例2：把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的21．分析：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的间隔与原图形各对应顶点到位似中心的间隔之比为1∶2 ．作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次毗连A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图2．问：此题目还可以如何画出图形？作法二：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ， OB ， OC ，OD ；（3）分别在射线OA ， OB ， OC ， OD 的反向延长线上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得 21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='；（4）顺次毗连A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图3．作法三：（1）在四边形ABCD 内任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次毗连A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图4．（当点O 在四边形ABCD 的一条边上或在四边形ABCD 的一个顶点上时，作法略——可让学生自己完成）例题3：如图：五边形ABCDE 与五边形A B C D E '''''是位似图形，O 为位似中心、OD ＝12OD '，则A B AB ''为 （ ）A 2:3B 3:2C1:2D 2:1例题4：ABC ∆三个顶点坐标分别为()6,6A -、()8,2B -、()4,0C -、画出它的以原点为位似中心，相似比为12的位似图形.解3、 运用位似图形的有关概念处理详细问题例题5：印刷一张矩形的张贴广告，如图所示，它的印刷面积是32dm ，上下各空缺1dm ，双方各空缺0.5dm ，设印刷部分从上到下的长是x dm ，四周空缺处的面积为S 2dm（1）求S 和x 的关系式;（2）当要求四周空缺处的面积为182dm ,求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？（3）在（2）的条件下，表里两个矩形的位似图形吗？说明来由.解：（3）表里两个矩形是位似图形，因为两矩形相似，且对应顶点的连线都颠末矩形中心，如图所示巩固操练11．画出所给图中的位似中心．2.把右图中的五边形ABCDE 扩展到原来的2倍．[才能提升]1．已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC ，且使相似比为1.5，要求（1）位似中心在△ABC 的外部；（2）位似中心在△ABC 的外部；（3）位似中心在△ABC 的一条边上；（4）以点C 为位似中心．操练2：1、 如图：△ADE ∽△ABC ， ABC ∆与ADE ∆_______位似图形（填“是”或“不是”）2、 操纵位似图形 可以将一个图形_________或___________3、 下列说法正确的 ( )A 相似的两个正五边形一定是位似图形B 两个大小分歧的正三角形一定是位似C 两个位似图形一定是相似图形D 所有的正方形都是位似图形4、两个全等三角形 （ ）A 一定是位似图形B 一定不是位似图形C 纷歧定是位似图形D 只能是位似图形5、下列说法正确的是 （ ）A 两个位似图形一定是全等形B 两个位似图形的对应点。
人教版数学九年级上册第22讲 相似三角形的判定与性质-课件
C
解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两 三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例 且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C.
C
B
解析：依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5， 解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5(尺)．故选B.
A
(4，6)或(－4，－6)
解析：如图，由题意，位似中心是O，位似比为2，∴OC＝AC.∵C(2，3)，∴A(4，6)或 (－4，－6)，故答案为(4，6)或(－4，－6)．
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/152021/8/152021/8/158/15/2021 2:21:22 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/152021/8/152021/8/15Aug-2115-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/152021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021
• You have to believe in yourself. That'ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
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第1讲相似图形与成比例线段【学习目标】1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。
2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。
【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。
【学习难点】成比例线段概念。
【学习过程】知识点一：比例线段定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比，如果a cb d，那么就说这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
例：如四条线段的长度分别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例？解：练习一：1、如图所示：（1）求线段比ABBC、CDDE、ACBE、ACCD（2）试指出图中成比例线段2、线段a、b、c、d的长度分别是30mm、2cm、0.8cm、12mm判断这四条线段是否成比例？3、线段a、b、c、d的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例？4、已知A、B两地的实际距离是250m若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的比是___________5、已知线段a=12、 b =2+c=2若a cb x=，则x =_________若()0b y y y c =>，则y =__________6、下列四组线段中，不成比例的是 （ ）A a=3 b=6 c=2 d=4C a=4 b=6 c=5 d=10 知识点二：比例线段的性质比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下： （1） 基本性质：如果a cb d=，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形b d ac =、a b cd =、c d a b= （2） 合比性质：如果a cb d =，那么a bcd b d±±= （3） 等比性质：如果a c em b d fn====()0b d f n ++++≠，那么a c e m ab d f n b++++=++++ 例2 填空： 如果23a b =，则a = 2a = 、 a b b += 、 a b b-=练习二： 1、已知35a b =，求a ba b+- 2、若234a b c ==，则23a b c a++=_________3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ）Am x n y= Bm n y x= Cy m x n= Dx y n m= 4、已知570x y -=，则xy=_______5、已知345x y z==，求x y z x y z +++-=________第2讲平行线分线段成比例【学习目标】1.理解掌握平行线分线段成比例定理，会用符号“∽”表示相似三角形， 如△ABC ∽ △C B A ''';2. 知道相似多边形的主要特征3.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。
【学习重点】理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．相似多边形的主要特征与识别。
【学习难点】掌握平行线分线段成比例定理应用．运用相似多边形的特征进行相关的计算。
【学习过程】知识点三：平行线分三角形两边成比例线段(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l 1 , l 2,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4, l 5.分别量度l 3 , l 4, l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?(2) 问题，AB ︰AC=DE ︰（ ），BC ︰AC=（ ）︰DF ．强调“对应线段的比是否相等” (3) 归纳总结：平行线分线段成比例定理 三条_________截两条直线，所得的_______________。
应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；4）例1 如图、若AB=3cm ，BC=5cm ，EK=4cm ，写出EKKF= =_____、 ABAC= =______。
求FK 的长?[活动2]平行线分线段成比例定理推论思考：1、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图27.2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？AB CEKF2、如果把图27.2-1中l 1 ,l 2两条直线相交，交点A刚落到l 4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？3、任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所截得的3、 归纳总结：平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的 线段 。
例1:如图在ABC ∆中,90C ∠=︒，,3,2,5DE BC BD cm DC cm BE cm ⊥===求EA 的长 解：例2如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有ACAEAB AD =，又由AD=EC 可求出AD 的长，再根据ABADBC DE =求出DE 的长． 解：[巩固练习]1.如图，在△ABC 中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD 和BD.2．如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE:EA=2:3，EF=4，求CD 的长．[能力提升]1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式．2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式．[归纳]判定三角形相似的（预备）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。
这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．练习2：1、 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，DE ⊥AC 交AB 于D ，交AC 于E ，如果DE =5，AE =12，AC =28.求AB 的长2、在ABC ∆中，DE //BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，F 为BC 上一点，DE 交AF 于G ，已知AD=2BD ，AE =5，求（1）AGAF；（2）AC 的长3、 如图：在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，已知AD =3，AB =5，A E=2，EC =43，由此判断DE 与BC 的关系是___________,理由是____________________________4、 如图：AM ：MB=AN ：NC=1：3，则MN ：BC=__________5、 如图：在ABC ∆中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为接正方形，AC =5，BC =3，求：AE ：DF的比值。
6、在ABC ∆中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE //BC ，如果23AD DB =，且AC ＝10，求AE 及EC 的长。
7．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．8、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)第3讲 相似多边形【学习目标】1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。
【学习重点】相似多边形的主要特征与识别。
【学习难点】运用相似多边形的特征进行相关的计算。
【学习过程】[探究研讨][活动1]观察，图27.1-4(1)中的△A 1B 1C 1是由正△ABC 放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？知识点四：相似多边形1、 相似形定义：具有 的图形称为相似形2、 相似多边形：对应角 ， 的多边形叫相似多边形3、 相似多边形的性质：○1相似多边形的对应角相等，对应边的比相等 反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3．【结论】：（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1中若111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠．111111C A ACC B BC B A AB == 则⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1相似（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．[例题解析]例1、（选择题）下列说确的是（ ）A ．所有的平行四边形都相似B ．所有的矩形都相似C ．所有的菱形都相似D ．所有的正方形都相似分析：A 中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A 错；B 中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B 错；C 中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C 也错；D 中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D 说确，因此此题应选D ．例2、如图：已知，四边形ABCD 与四边形A B C D ''''相似，求B C ''，C D ''长和D ∠大小解：巩固练习11．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地的实际距离．2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、d 的长度．54如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角βα和的大小和EH 的长度x ．27.1-6练习2：1、下列说确的是 （ ） A 任意两个菱形一定相似B 任意两个矩形一定相似C 有一个角是30︒的两个等腰三角形相似D 任意两个等腰直角三角形一定相似2、已知26AOB ∠=︒，在放大镜里看到的AOB ∠的度数是___________3、在ABC ∆中，BC ＝15cm ，AC ＝45cm,AB ＝54ｃｍ，另一个与它相似的三角形最短边是5ｃｍ，则最长一边是4、用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大10倍后，下列说确的是（ ） A A ∠是原来的10倍B 周长是原来的10倍C 每个角都发生了变化D 以上说法都不对5.四边形ABCD 与四边形A B C D ''''相似图形，且A 与A '、B 与B '、C 与C '是对应点，已知AB ＝10、BC ＝8、CD ＝８、AD ＝６、30A B ''=，求四边形A B C D ''''的其余三边的边长及周长。