4-1连续系统模型的离散化处理方法

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2 典型环节离散相似模型
A
B
C
积分环节 一阶环节 二阶环节
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三、时域离散相似法原理
1 状态方程的离散相似法描述
xt Axt But xt e x0 e
At t 0 At
Bu d
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Y（t）的近似能否精确复现y（t）
取决于u（t）的近似能否精确地复现u（t）
仿真精度主要取决于采样周期Ts的大小、
信号重构器的特性 两种形式：传递函数的离散化相似处理— 离散传递函数；连续状态方程的离散相似 处理—离散化状态方程
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二、Z域离散相似方法
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离散模型
kT xn1 xn kTUn Un 2 yn1 xn1 kbUn kbTU n
C 惯性环节 k G(S ) as yn1 xn1
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2
A a
Bk
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D 超前-滞后环节
bs Gs k k as yn1 b a xn1 kU n kTU n
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4.8双线性和RK4
S=2(z-1)/T/(z+1) W(n+1)=w(n)+T*u(n+1)/2+T*u(n)/2
-x1(n)-2*x2(n)-1) X2(n+1)=0.9802*x2(n)-0.0099*(x1(n)+1)0.0000497*(x2(n)+1)
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4.6.2
X(t)=1-0.0506exp(-8.925t)-0.9494exp(-
0.5375t)cos1.856t-0.5183exp(0.5375t)sin1.856t f1=x2 ; f2=x3 ; f3=-33.33x1-13.33x2-10x3+33.33 X=x1 T=0.01 X1(n+1)=x1(n)+0.01x2(n)+0.00005x3(n) X2(n+1)=0.9993x2(n)+0.0095x3(n)0.00167x1(n)+0.00167 X3(n+1)=0.90416x3(n)-0.1285x2(n)2013-12-19 0.3171x1(n)+0.3171
m T p T
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T
0 T
e AT A B d KT e
AT A
0
1 Bd KT 2
2
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积分环节的离散状态方程和--2
xn1 Yn1 KT xn KTU n Un 2 xn1
B 比例积分环节 k G s kb A0 Bk s xt kut y t xt kbut
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当连续系统状态方程系数A、B已知时，
可求出…… 此法相比于数值积分法；只要T不变，三个系
数均不变，可以在仿真前预先计算好，这样 就减少了以后的计算工作量。
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2 典型环节的离散状态方程
A
积分环节：G（S）=K/S 其状态方程：X’=Ku 输出方程：y=x 其中：A=0，B=K T e AT 1
x
e
x
1 1 x 3 2 2 1 x 1 x 3 3 2!
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二、简单替换法
当m=0，n=1，x=TS时，e-（-TS）=1+TS
即Z=1+TS 这是一种简单替换方法，又称欧拉映射法。
举例
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三、双线性替换法
1 替换关系：
TS 1 2 Z TS 1 2
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3 仿真程序框图
基本思路：
各环节进行分类编号 计算各环节离散状态方程系数矩阵
依据各环节的连接关系及外部作用函数
计算各环节的输入函数u、u’
依据各环节的两个方程计算各环节当前一步
的状态量Xn+1和输出量Yn+1。
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初始化程序 识别环节类型 计算系数 计算每个环节的输入
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u1 u 2 u3 u 4 u5 u6
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y0 1 0 0 0 0 0 1 y1 0 1 0 0 1 0 0 y2 0 0 1 0 0 a 0 y3 y 4 y5 y6
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B 当输入函数u（KT）在两采样 点间线性变化时（一阶保持）
u u KT u kT
p T e
T 0
AT A
Bd
xkT T T xkT m T U kT p T U kT xk 1 T xk m T U k p T U k
2( Z 1) S T ( Z 1)
Y (S ) 1 G(S ) U ( S ) s * s 3s 2
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2 高阶系统双线性替换计算机程序的自动实现 3 双线性替换性能评价：
稳定性
精度
保持模型的阶次不变
频率特性近似 G（S）的稳定增益不变 具有串联性 高阶系统能程序实现
AT
Bu d 离散形式
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A 当输入函数u（KT）在两采样 点间保持不变时
T e
AT T AT A
m T e
0
Bd
xKT T T xKT m T U KT x(k 1) T xk m T U k
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xkT e x0 e
AkT kT 0
AkT
bu d e
AkT T
xkT T e
AkT T
x0
T 0
kT T
0
Bu d
xkT T e xkT e
AT
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4.3 离散相似法系统仿真
离散相似法:将连续系统的G(S)模型进行离散,
得到各环节的离散化模型,再对等价的离散化 模型进行仿真计算 特点:按环节进行离散,每计算一个步长,每个 环节都独立按输入计算输出,非线性环节也易 包含进去的-可对含非线性环节的连续系统 进行仿真.
1
基本方法
yz G z z Gh s G s u z 1 z sa z ex p ( a T ) 1 TS e z 1 z s z 1 1 Tz 2013-12-19 12 s*s ( z 1)( z 1)
yz G z zGh s G s u z k 1 e G s Gh s sa s aT k 1 e G z Z域离散相似模型 aT a z e
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本章方法：先对连续模型进行离散化处理，
得到一个“等效”的离散化模型， 以后每一步计算都在这个离散化模型基础上 进行，原来的模型不再参与计算 这种方法，得到了简化的模型，便于在计算 机上求解，且使计算速度加快
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4.1替换法
基本思想：设法找到S域到Z域的某种映射关
系，将G（S）转换成G（Z），再进行Z的反变 换，求得差分方程，据此便可以快速求解 S域到Z域的最基本映射关系是：Z=eTS（T— 采样周期）如果直接代入G（S）求G（Z）很 麻烦，则将Z=eTS作简化处理
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一、派德近似公式（PADE）
px e qx m 1 n 2
第四章 连续系统模型的离散化 处理方法
4.1 替换法 4.3 离散相似法
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1ຫໍສະໝຸດ Baidu
如果要求进行实时仿真，或要求计算工作速
度快时，能在一个采用周期内完成全部计算 任务，这就需要一些快速计算方法。 数值积分法：将微分方程转换成差分方程， 这中间是一步步离散，每一步离散都用到连 续系统的原模型，这样的速度就慢了。
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六、利用数字补偿器提高离散相似模型的精
度和稳定性 信号重构器串联一个补偿器，来弥补幅值减 小、相位滞后 作业：4.2 4.5
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4.6.1
X1=1-exp(-t)
X2=exp(-t)-1 T=0.01 X1(n+1)=x1(n)+0.01*x2(n)+0.01+0.00005*(
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一、基本思路
设计一个离散系统模型，使其中的信息流与
给定的连续系统中的信息流相似 设一个连续系统，u（t）-输入，y（t）-输 出 在I/O端人为地加上两个采样开关，信号重构 器（滤波器）--虚拟 重构器所能保持和延续的规律是不可能与原 来的输入信号u（t）完全一致的
动态响应，以防降低精度 按系统响应时间确定采样周期，可取 Ts=0.1Tmin Tmin—系统中反应最快的那个闭环子系统的 最小时间常数
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2 信号重构器对仿真模型精度的影响
加入一个理想滤波器,保留输入信号主频段,

滤掉附加的频谱分量,不失真 理想滤波器不存在,一般用零阶、一阶、三角 保持器来近似 3 离散相似模型的稳定性 稳定性不及双线性替换法，Ts或信号重构器 选择不当，离散模型的稳定性变差 不稳定的离散模型是不能用来仿真连续系统 的
计算各环节状态量
计算各环节输出量
打印间隔到否
打印Yn+1 计算次数到否
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N N
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结束
五、离散相似模型的精度与稳定性
离散相似模型只能等效于原来的连续系统
其精度受采样周期和信号重构器性能的影响 信号重构器存在一定程度的幅值减小和相位
滞后 在离散化后，模型精度变差，可能不稳定。
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1 采样周期对精度的影响
香农定理：当一个具有有限频道的连续信号f
（t）进行采样时，如果采样频率大于等于两 倍的f（t）的有效频谱的最高角频率，采样 函数便能无失真地复现原来的连续信号 某一环节的输入信号频带取决于前面环节的 系统响应
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选择Ts时，满足采样定理，适当考虑系统的
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连接方程
U=w yK
U—输入向量 YK—输出向量
W—连接矩阵
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2 仿真计算过程
基本计算单元：各环节的离散化模型
K个环节，K个离散状态方程，K个输出方程 A
根据状态向量初值X（0）以及输出向量初 值Y（0），算出所有环节的输入 B 由X（0）、U（0）、U’(0)按离散状态方 程,算出所有的状态量 由状态量、输入量，按输出方程算出所有的 输出，到此，完成一步；在此基础上，进行 下一步，一直进行，直到仿真完成。
TS
Z反变换得差分模型
y n 1 e
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aT
k aT y n 1 e u n a


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主要步骤
A


画出连续系统结构图 B 加入虚拟采样开关，选择合适的信号重 构器 C G（S）与Gh（S）串联，z变换—G（Z） D Z反变换—差分方程 E 根据差分方程编制仿真程序
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四、采用离散化模型的系统仿真
把各个环节有机地连接起来。
1
连接矩阵（面向结构图）
1 4 2
-
6
5
a
3
-
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u1 y 0 y 6 u 2 y1 y 4 u 3 y 2 a y5 u 4 u 5 y3 u 6 y5