14拓扑泛函分析抽象代数

环论（2）
• 19世纪戴德金和克罗内克已熟知并利用过环的构 造，但抽象理论却完全是20世纪的产物。 • 克罗内克把环叫做“序”，“环”这个词是希尔 伯特引进的。 • 1907年韦得伯恩在《论超复数》中，研究了线性 结合代数，这种代数实际上是环。 • 环的系统理论是德国女数学家诺特给出的，她 1921年的经典性论文《环中的理想论》标志着环 论现代化的开端。
环论（1）
• 环是元素之间具有两种代数运算（通常分 别称为加法和乘法）的集，其中加法满足 结合律及交换律，乘法满足结合律及关于 对加法的分配律；这集还有零元素，它与 集里任何元素相加的结果仍是该元素；并 且每个元素都有负元素，任何元素与其负 元素相加是零元素。环论是系统研究环的 性质和应用的学科。
拓扑学的研究（3）
点集拓扑是在康托点集和弗雷歇（M.Frechet,1878---1973,法国）的函数点集(函数 空间)基础上开创的。1908年，德国的熊福 莱斯提出了点集拓扑学的概念。1914年豪 斯道夫在他的《集合论纲要》中建立了抽 象空间的完整理论，第一次抽象地使用了 点集、和邻域的概念，标志着点集拓扑学 的正式形成。
第十三章
拓扑、泛函分析、 抽象代数
序
萌芽于19世纪末，奠基于20 世纪初，成长于 两次世界大战之间的拓扑、泛函分析、抽象代数 是现代数学发展的理论基础。一个数学工作者， 要想站在数学研究的前沿，必须有拓扑、泛函分 析、抽象代数的雄厚基底。正因为如此，我国所 有的大学数学系均把它们列入教学计划，并称之 为“新三高”（“老三高”指数学分析、高等代 数、高等几何）。
• 1910年巴拿赫中学毕业后曾自修数学，并到雅各 龙大学听过一个短时期的课。后来就读于利沃夫 学院。第一次世界大战使中断了学业，但仍不断 钻研数学。他靠自学和同数学家交谈获得许多数 学知识。1917年巴拿赫和斯泰因豪斯联名写了一 篇关于傅立叶级数收敛性的论文，两年后发表， 这也是巴拿赫的第一篇论文。1920年被破格聘为 助教，同年，提交博士论文《关于抽象集合上的 运算及其在积分方程上的应用》，由此取得了博 士学位。人们有时把该论文作为泛函分析学科形 成的标志之一，为泛函分析奠定了基础。
伽罗华的遗嘱
• 在决斗前夜，伽罗华通宵达旦整理 自己的手稿，并在遗书中嘱咐朋友： “请求雅可比 或高斯不是就这些 定理的正确性而是关于它们的重要 性公开发表他们的意见”。
对伽罗华的评价
• “凡是谴责伽罗华的政治活动，或者干脆不考虑他 的政治活动的人，都不能认清他在科学上所作的 贡献的价值。”伽罗华不仅是一个伟大的数学家， 而且是一个积极的革命者。追求科学理想和追求 社会理想在他身上得到了统一。 • 伽罗华在一次政治的诉讼上宣布： “我们是小孩， 但是，我们精力充沛，勇往直前。” • “妨碍我成为科学家的，恰好是我不光是个科学 家”。他坚信自己“不可能弄错。” • “人们曾经想出一种特殊的解释：说伽罗华过分 年轻，说他过激了，但同时却忘记了他的头脑是 惊人的清醒的”。记取此点，有助全面认识伽罗 华。
§2、泛函分析
• 泛函分析是综合运用函数论、几何学、代 数学的观点来研究无限维向量空间上的函 数（也称泛函）、算子和极限的数学学科。 它可以看作是无限维向量空间的解析几何 及数学分析。产生泛函分析的背景是变分 法、集合论、积分方程的发展。泛函分析 的名称是阿达玛首先使用的。 • 泛函分析是在20世纪发端，而于20年代— 30年代基本完成的。
• 巴拿赫 （S.Banach,Stefan,1892 .3.30---1945.8.31）生于 波兰的克拉科夫，卒于苏 联乌克兰加盟共和国的利 沃夫。是当时波兰利沃夫 学派的领导人。巴拿赫的 童年过着清苦的生活。14 岁那年他就不得不到私人 家里讲课以养活自己。
泛函分析的发展（4） 巴拿赫（续 一）
诺特（Emmy Noether,1882---1935）
• 诺特出生于德国一个数学家族， 父亲是爱尔朗根大学数学教授， 对代数几何有卓越的贡献。弟 弟是一位应用数学家。诺特本 人早年师从有“不变量之王” 之称的果尔丹。后经希尔伯特、 克莱因等大力举荐，诺特在 1919年取得哥廷根大学无薪讲 师资格。诺特父母都是犹太人， 1933年她因希特勒排犹移居美 国，先后在普林斯顿高等研究 院和布林莫尔学院任教。1935 年因肿瘤手术去世。爱因斯坦 还特地为她写了悼念文章,称 “诺特女士是自从妇女开始受 到高等教育以来最重要的富于 创造性的天才”。（图为诺特 离开哥廷根时在火车站候车）
泛函分析的发展（6）
• 算子理论更光辉的成就属于冯.诺依曼， 1929---1930年，他提出希尔伯特空间及希 尔伯特空间的算子的公理方法，并且很幸 运地发现，量子力学合用的数学工具，恰 恰是这种算子的谱理论。至此，泛函分析 基本上得到确立。
§3、抽象代数学（近世代数学）
• 以讨论群、环、域、格、向量空间等的性 质和结构为内容的数学分支称为抽象代数 学（近世代数学）。 • 19世纪拉格朗日和阿贝尔在研究五次及五 次以上代数方程的根式解的过程中，给群 论打下了良好的基础； • “伽罗华理论”为群论的创立做出了杰出 的贡献，在群论史上永垂不朽。
泛函分析的发展（2）
• 作为泛函分析核心的抽象算子理论的一个 良好的开端，由黎兹1910年发表在《数学 年刊》的文章所做出。 • 巴拿赫在黎兹的基础上，提出了完整的赋 范空间（巴拿赫空间）概念，并为函数空 间上的线性算子理论提出了一系列重要定 理，对近代泛函分析的发展起了重要的作 用。
泛函分析的发展（3）巴拿赫
泛函分析的发展（5）巴拿赫（续二）
• 1932年，巴拿赫又发表名著《线性算子理论》， 至此，泛函分析已臻于成熟。二次世界大战时， 他在一个预防伤寒的研究所里喂养虱子度日。 1945年波兰解放后不久，他身染重病，死于肺癌。 • 1960年在波兰召开的泛函分析国际会议上，举行 了纪念巴拿赫的仪式。1967年出版了巴拿赫全集。 1972年1月13日，华沙成立了巴拿赫国际数学中 心（S.Banach International Mathematical Center）。 • 巴拿赫不仅自己在科学上作出了巨大贡献，而且 培育了一大批青年数学家 ，为形成强大的利沃夫 泛函分析学派奠定了基础。
“一笔画”问题
• “七桥问题”可归结为“一笔画”问题。 “一笔画”的条件要么没有奇点，要么最 多只有两个奇点，但是这个图形的四个点 均为奇点，所以无解。 • 这个问题和1751年欧拉证明的另一条定理： “任何一个凸多面体的顶点V、棱数E和面 数F之间有关系V-E+F=2”成为拓扑学的最早 起点。拓扑学的“拓扑”（Topology）一 词最早在1847年由利斯亭（J.B.Listing）所 采用。
拓扑学的研究（4）
• 组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。组合拓扑开始 于庞加莱1885—1904年间发表的一系列论文。流 形、单形、复形、边缘、链、贝蒂（Betti）数、 挠系数、示性数等概念，都在这些论文中提出。----• 拓扑学在20世纪20---30年代获得重大进展。首先 是出现复形的同调群，它由亚历山大罗夫等人完 成。-----• 1937年，美国的惠特尼证明了微分流形的嵌入定 理，正式创建了微分拓扑学。
域论（2）
• “域”这个词是由戴德金给出的。域的抽象理 论研究比环更早些，它是由韦伯开始的，1893年， 他曾对伽罗华理论以抽象的阐述，其中引进了域 作为群的一种。 • 1905年亨廷顿等给出了一个域的独立的公理系统； 1910年施泰尼茨发表《域的代数理论》对抽象进 行了综合研究，提出了素域的概念，定义了特征 数为p的域，证明了每个域可由其素域经添加而得， 从而成为抽象域论的重要里程碑。
• 诺特生前共发表三十七篇论文，但任何数 字也无法表达她留给后代的科学思想。 • 更何况他为占人类半数的女性树立了妇女 同样能攀上抽象学科高峰的又一个光辉榜 样。 • 美神虽然没有光顾她的摇篮， • 她的美德和业绩早已使美神黯然失色！
环论和域论（1）
• 诺特的环论后来由她的学生范德瓦尔登（Van der Waerden,1903.2.2---1996.?.?,荷兰）及拉斯克 （E.Lasker,1868.12.24---1941.1.13,德国）继续 发展,成为抽象代数的重要分支。 • 如果环的乘法满足交换律，称为交换环。如果交 换环关于乘法有单位元素，使它与集里任何元素 的积就是该元素，并且除零元素外的任何元素都 有逆元素，使任何元素与其逆元素的乘积是单位 元素，这样的环称为“域”（或“体”）。域论 是系统研究域的性质和应用的学科。
泛函分析的发展（1）
• 在建立函数空间和泛函的抽象理论中，第 一个卓越成果，属于法国的著名数学家弗 雷歇，他在1906年的博士论文中，用抽象 形式表达了函数空间；空间中每一点是函 数，函数的极限可以看作空间中点列的极 限，这是他的一个深刻的思想。1907年， 施密特把希尔伯特研究积分方程时使函数 等同于傅氏系数集的思想，抽象为一般的 L2 ，并导出正交系，希尔伯特空间的名称 也由此产生。
§１、拓扑学（位置几何学）
• 拓扑学最早起源与1736年欧拉研究的“哥 尼斯堡七桥问题”。18世纪东普鲁士首都 哥尼斯堡是一个著名的大学城。它位于布 勒尔河的两条支流之间，那里有七座桥联 接着一个岛和一个半岛，如图。
是将实际问题转化为数学问题，并借助 数学理论来解释现实问题的方法
抽象分析法
• 大学生的请教 • 欧拉采用了抽象分析法，他用点代表两岸、 岛和半岛，用线代表桥。如图。
拓扑学的研究（2）
• 由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多 样性，拓扑学又分成研究对象和方法各异的若干 分支。 • 在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就出现点集拓 扑学和组合拓扑学两个方向。现在前者已演化成 一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来又相 继出现了微分拓扑学、几何拓扑学等分支。 • 拓扑学主要是由于分析学和几何学的需要而发展 起来的，它自20世纪30年代以来的大发展，尤其 是它的成果与方法对于数学的各个领域的不断渗 透，是20世纪理论数学发展中的一个明显特征。
伽罗华（1811—1832.5.31）
• 伽罗华出生在巴黎附近一 个小城的家庭，家境本很 优裕。但自18岁后，各种 不幸接踵而至。先是父亲 因与天主教保守势力冲突 而自杀；高考又遭失败； 后虽考入高等师范学校 ， 却又因参与革命两次被捕； 出狱后不久，因爱情的纠 葛死于决斗，时年尚不到 21 岁。
对诺特的评价
• 诺特是一位卓越的的学者，除环论外，在积分方 程的解析理论、黎曼面理论、、相对论、联络空 间微分几何学、群表示论及其在量子力学上的应 用等方面都有贡献。 • 她热爱数学教育，热爱学生，培养了一大批数学 人才，其中包括我国的曾炯之（以完成近世代数 上的“曾炯之定理”闻名于世） • 她敦厚温良,又思路敏捷,深得各国学生们的爱戴, 著名的科学家爱因斯坦、H.韦尔、亚历山大罗夫 对诺特都有很高评价。诺特在数学上的光辉成就 及优秀品质应该成为我们，更应该成为每一位女 性向科学进军的力量源泉。
群论的研究
• 1846年—伽罗华死后14年，刘维尔把他的遗稿刊印在他 创办的数学杂志上，其中最重要的论文是《论方程可以用 开方法求解的条件》。 • 1849年凯莱提出了抽象群的概念；1878年他又写出了抽 象群的4篇论文。 • 1874年挪威数学家李在研究微分方程时，发现某些微分方 程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。 • 1882年，英国载克把群论三个重要来源—方程式论、数论 和无限变换群纳入统一的抽象群概念之中，并提出“生成 元”概念。 • 20世纪初年亨廷顿（Huntington,1874---1952）等人给出 了群的抽象公理体系。同时群论的研究沿着各个不同方向 展开。
拓扑学的wk.baidu.com究（1）
• 系统的拓扑学研究开始于庞加莱。他研究微分方 程的积分曲线的形状和奇异点的性质，基本上属 于拓扑学的范围。 • 1895年，他出版了《位置分析》一书，第一次系 统地论述了拓扑学的内容。这也是拓扑学过去很 长时间叫“位置分析”的原因。 • 拓扑学又称 “橡皮几何学”，是因为拓扑学研究 几何图形的这样一种性质：在图形被弯曲、拉大、 缩小或连续变形下保持不变的性质。 • “点不变，线不断，面不烂”！