共边定理典型题解析

∆APB 面积︰∆AQB 面积＝PM ︰QM

1如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，用面积方法证明：DE ∥BC 且DE ＝

1

2

BC ． 证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点， ∴△ADE ﹕△BDE ＝△ADE ﹕△CDE ＝1﹕1 ∴△BDE ＝△CDE ∴ DE ∥BC

∴∠DBC ＝∠ADE 由共角定理得：△ADE/△ABC ＝AD·DE/AB·BC ＝1/4

∵AD ＝

1

2

AB ∴DE ＝

1

2

BC ． 这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．

传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形．

例2：(1983年美国中学数学竞赛题) 如图的三角形ABC 的面积为10，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且BD ＝2，DC ＝3，若△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，则这个面积是（ ） A ．４

C ．５

D ．６

B

．3

Ｅ．不确定

解：由△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，在四边形BCEF 中分别减去这

两个面积，得△BFD 与△BFE 同底且面积相等，所以BF ∥DE ，可以得到AB 为边的两个三角形△ABD 与△ABE 面积相等，因为三角形ABC 的面积为10，且BD ＝2，DC ＝3，所以△ABD 的面积等于4，即△ABE 面积等于4，所以△BCE 的面积等于10－4＝6，故选C ． 这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目． 例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

证明：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，由共角定理得：△AOB/△COD ＝OA·OB ＝OC·OD ＝1 即△AOB ＝△COD ，∴共底的两个三角形△ACB ＝△CBD ，∴AD ∥BC ； 同理可证AB ∥

CD

A

A

B

B

P

P

M

M

共边定理图：四种位置关系

Q

Q

A

B

C

D

O

问：共边定理怎么证线段相等？

答：常常是共边与共角两个定理都会用到。利用面积相等，并且面积比中有相等的线段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。

例4：(等腰三角形两腰上的高相等)已知：如图，AB ＝AC ，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，

求证：BD ＝CE ．

解：由三角形面积定理得：S △ABC ＝

12AB·CE ＝12

AC·BD ∵AB ＝AC ，∴BD ＝CE ；

本题是直接用等底三角形面积相等推出高相等，相比于全等三角形证法要简洁得多。

例5：如图，已知AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，DE ∥AC ，DE 交AB 于F 点 求证：BE ＝EC ．

证明：连接C 、F ，由平行线性质，得△DFC ＝△DFA ； 由AD 平分∠BAC ，DF ∥AC ，可得∠FAD ＝∠FDA ，∴AF ＝FD

由BD ⊥AD ，得∠FBD ＝∠FDB ，∴BF ＝DF ；∴AF ＝BF

∴△DFB ＝△DFA ；△DFC ＝△DFB ；∴BE ︰EC ＝△DFC ︰△DFB ＝1︰1，即BE ＝EC ． 本题是用共边三角形面积相等推出线段相等。

例6：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CE ，

求证：DF ＝EF.

证明：连接CD 、BE ，∵AB ＝AC ∴∠DBC 与∠BCE 互补，由共角三角

形定理：△DBC ︰△BCE ＝BD·BC ︰CE·BC ∵AB ＝AC ，BD ＝CE ，得△DBC ＝△BCE ，

再由共边定理得：△DBC ︰△BCE ＝DF ︰FE ＝1︰1 ∴DF ＝EF.

本题先用共角三角形定理证得△DBC 与△BCE 面积相等，再由共边定 理推出线段相等。相比于先作平行线构造全等三角形，再由全等三角形证线段相等的证法，面积法显然更巧妙。

例7：在等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上取一点D ，使BC DC 3

1

=，作AD BE ⊥交AC 于E ，求证：EC AE =．

证明：连结CF ，由BC DC 3

1

=

，得图中两个阴影三角形的面积之比为1︰2，即：△AFC ︰△AFB ＝1︰2，又由AD BE ⊥，等腰直角三角形ABC 的条件，得

A

B D E

A

E B

C

D

F

∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，由共角定理得：AF·AC ︰AB·BF ＝

△AFC ︰△AFB ＝1︰2 ∴AF ︰BF ＝1︰2，由△AFB 与△AEB 相似，得AE ︰AB ＝1︰2，∵AB ＝AC ∴AE ＝EC

本题先用C D ︰D B ＝1︰2得到两个阴影三角形的面积之比为1︰2，再由共角三角形定理证得AF ︰BF ＝1︰2，过程相当简洁明了。

问：共边定理怎么证比例线段？

答：共边定理最适合用来求同一直线上的两条线段的比值，或反过来，已知同一直线上的两条线段的比值求共边三角形的面积比。由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值，所以怎样选取最合适的两个三角形就成为正确解题的关键。也因为图形选择的差异，造成了不止一种解法。只有通过一定的练习量，才能做到迅速正确地选择适当的共边三角形。 例1：已知在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的连线交AC 于F ．

求证：AF ＝1

3

AC ．

解答：构造以BF 为公共边的两个三角形△ABF 和△DBF ，则由两个中点的条件，得三个三角形△ABF 和△DBF 、△DCF 面积都相等，由图易得AF FC ＝ABF CBF ∆∆＝12，所以AF ＝13

AC ．

例2：△ABC 中，D 是BC 上的一点，BD

=2DC

，E 为AD 上一点，

AE 1=ED 4，求

AF FC ，BE

EF

解答：①构造以BE 为公共边的两个三角形△ABE 和△CBE ，则AF FC

＝

ABE

CBE

∆∆，由图易得AF FC ＝16．

②构造以AD 为公共边的两个三角形△BAD 和△FAD ，则

BE

EF

＝BAD

FAD

∆∆．由AF FC ＝16，设△FAD ＝1,则△FDC ＝6，∴△ADC ＝7；由

BD =2DC ，得△BAD ＝14, ∴

BE EF ＝BAD FAD

∆∆＝14

1．