第八章假设检验(概率论)

若 uc落在拒绝域中,则拒绝H0. 若 uc 没落在拒绝域中,则接受H0.
双边检验
例:我国出口凤尾鱼罐头,标准规格是每罐净重 250克,据以往经验,标准差是3克.某食品厂生 产一批供出口用的这种罐头,从中抽取100罐检 验,平均净重251克.假定罐头重量服从正态分 布,问这批罐头是否符合出口标准? α = 0.05,
(和一个临近值相比),我们可以确定 x 和μ0 不够接近.故拒绝H0.(u ≥ k或u ≤ − k .)
若u是一个不太大的正数或一个不太小的负数
(和一个临近值相比),我们可以确定 x和μ0足够 故接受H0. (−k < u < k ).
H1 : μ ≠ μ0时求临近值的方法
重要想法:控制第一类错误发生的概率
t = X − μ0 ~ t(n − 1) S/ n
Step 3 正态总体方差未知时,总体均值 检验的拒绝域和临界值
临界值
拒绝域
H1 : μ ≠ μ0 ± tα/2(n−1) t ≥ tα /2 (n − 1) H1 : μ > μ0 tα (n−1) t ≥ tα (n − 1) H1 : μ < μ0 − tα (n−1) t ≤ −tα (n − 1)
H1 : μ > 100 (或 μ < 100或μ ≠ 100 )
假设检验的类型 P197
左侧的单边检验 One-sided test on the lower side
H0
μ = 0.1
H1
μ < 0.1
右侧的单边检验 One-sided test on the upper side
H0
μ = 0.1
不合理的假设一定被拒绝
例:我国出口凤尾鱼罐头,标准规格是每罐净重 250克,据以往经验,标准差是3克.某食品厂生 产一批供出口用的这种罐头,从中抽取100罐检 验,平均净重251克.罐头重量服从正态分布,问 这批罐头的平均重量是否小于250克? α = 0.05,
X ~ N (250,32 ), n = 100, x = 251,α = 0.05
拒绝域
αα = 0.05
uα
H1 : μ < μ0
拒绝域
α
接受域
− uα
Step 4. 利用样本观测值计算检验统计量的值
uc
=
x σ
− /
μ0 n
Step 5. 结论
若uc 落在拒绝域中,则拒绝H0. 若uc 没落在拒绝域中,则接受H0.
常用的 uα , uα 2
α
0.10 0.05 0.01
uα
1.28 1.64 2.33
uα 2
1.64 1.96 2.57
4
α = 0.05时,
H1 : μ ≠ μ0 H1 : μ > μ0 H1 : μ < μ0
临界值 ± 1.96 1.64 − 1.64
拒绝域 u ≥ 1.96
u ≥ 1.64
u ≤ −1.64
1.单个正态总体均值的假设检验 a.方差已知时 Step1. 建立 H0 and H1
Step 4. 利用样本观测值计算检验统计量的值
tc
=
x − μ0 s/ n
Step 5. 结论
若 tc 落在拒绝域中,则拒绝H0. 若 tc 没落在拒绝域中,则接受H0.
例2.2 某车床加工一种零件，要求长度为150mm, 取9个零件,测得样本均值为151mm, s=2.739mm.若长度服从正态分布,问这批零 件是否合格？ (α＝0.05) X ~ N (150,σ 2 ), n = 9, s = 2.739, x = 151,α = 0.05
α = P(第一类错误) = P(拒绝H0 | H0真) = P(u ≥ k或u ≤ −k) = P( u ≥ k), k = uα .
2
故拒绝域为 u ≥ uα / 2 .
H1 : μ > μ0 时求临近值的方法
重要想法:控制第一类错误发生的概率
α
=
P(第一类错误)
=
P (拒绝H 0
|
H
真
0
)
= P(u ≥ k),
4.计算检验统计量的值
tc
=
x − μ0 s/ n
=
151 − 150 2.739 / 9
= 1.095
5. 结论 接受H0. 即这批零件合格.
２单个正态总体方差的假设检验
a.均值已知
Step1. 建立 H0 and H1
1. H 0
:σ
2
=
σ
2 0
,
H
1
:σ
2
≠
σ
2 0
2. H 0
:σ
2
=
σ
2 0
X ~ N (1000,1002 ), n = 25, x = 950,α = 0.05
H 0 : μ = 1000 H 1 : μ < 1000
解: 1.建立 H0 and H1 单边检验
H0 : μ = 1000 H1 : μ < 1000
2.确定恰当的检验统计量 u = X − μ0 ~ N (0,1) σ/ n
,
H1
:σ
2
>
σ
2 0
3. H 0
:σ
2
=
σ
2 0
,
H1
:σ
2
<
σ
2 0
Note: H1代表研究者支持的观点.
Step 2 确定恰当的检验统计量
正态总体,均值已知
n
∑(Xi − μ)2
χ 2 = i=1
σ
2 0
~ χ 2(n)
n
∑(Xi − μ)2
因为 σˆwk.baidu.com2 = i=1 n
是σ 2 的无偏估计.
H0 : μ = 150 H1 : μ ≠ 150
7
解: 1. 建立 H0 and H1
双边检验
H0 : μ = 150 H1 : μ ≠ 150
2.确定恰当的检验统计量
t = X − μ0 ~ t(8) S/ n
X ~ N (150,σ 2 ), n = 9, s = 2.739, x = 151,α = 0.05 3.确定拒绝域 t ≥ t0.05/ 2 (8), 即 t ≥ 2.306.
5. 做出统计推断,接受H0或拒绝H0.
§2 单个正态总体均值与方差的假设检验
１单个正态总体均值的假设检验 a. 方差已知
Step1. 建立 H0 and H1
1.H 0: μ = μ 0 , H 1: μ ≠ μ 0 ; 2.H 0: μ = μ 0 , H 1: μ > μ 0 ; 3.H 0: μ = μ 0 , H 1: μ < μ 0 .
3
正态总体方差已知时,总体均值检验的 拒绝域和临界值
H1 : μ ≠ μ0
临界值
± uα / 2
拒绝域
u ≥ uα / 2
H1 : μ > μ0
uα
u ≥ uα
H1 : μ < μ0
− uα
u ≤ −uα
H1 : μ ≠ μ0
拒绝域
α/2
接受域
− uα
2
拒绝域
α/2
uα
2
H1 : μ > μ0
接受域
∑ E( 1 n
n i =1
(Xi
−
μ)2 )
∑ ∑ =
1 n
n
E(Xi
i =1
− E( X i ))2
=
1 n
n
D( X i )
i =1
∑ = 1
n
σ2 =σ2
n i=1
n
∑(Xi − μ)2
故σˆ 2 = i=1 n
是σ 2 的无偏估计.
Step 3 正态总体均值已知时,总体方差检 验的拒绝域和临界值
X ~ N (1000,1002 ), n = 25, x = 950,α = 0.05 3.确定拒绝域 u ≤ −1.64
4.计算检验统计量的值
uc
=
x σ
− /
μ0 n
=
950 − 1000 100 / 25
=
−2.5
5.结论 拒绝H0.
即有证据表明这批灯泡的使用寿命低于1000 小时,不可以购买.
X ~ N (250,32 ), n = 100, x = 251,α = 0.05
H0 : μ = 250 H1 : μ ≠ 250
5
解: 1.建立 H0 and H1
双边检验
H0 : μ = 250 H1 : μ ≠ 250
2.确定恰当的检验统计量
u = X − μ0 ~ N (0,1) σ/ n
k = uα .
故拒绝域为 u ≥ uα .
H1 : μ < μ0 时求临近值的方法 重要想法:控制第一类错误发生的概率
α = P(第一类错误) = P(拒绝H0 | H0真) = P(u ≤ −k),
− k = −uα . 故拒绝域为 u ≤ −uα .
Step 2确定恰当的检验统计量 P206 总体正态,方差已知时,选择统计量
X ~ N (250,32 ), n = 100, x = 251,α = 0.05 3.确定拒绝域 u ≥ 1.96
4.计算检验统计量的值
uc
=
x σ
− /
μ0 n
=
251 − 250 3 / 100
=
3.33
5. 拒绝H0.
即有证据表明这批罐头的平均重量不等于250克, 不符合标准.
单边检验
例2.1 某批发商欲从生产厂家购进一批灯 泡,根据合同规定,灯泡的使用寿命平均不 能低于1000小时.已知灯泡使用寿命服从 正态分布,标准差为100小时.在总体中随 机抽取25只灯泡,测得样本均值为950小时, 批发商是否应该购买这批灯泡?(α＝0.05)
H1
μ > 0.1
双边检验Two-sided test
H0
μ = 0.1
H1
μ ≠ 0.1
假设检验的目的
在H0 and H1 中选择一个作为检验支持的结果. 结论为接受H0 或拒绝H0.
1
假设检验的两种可能错误 P197
结论 接受 H0 拒绝 H0
真实的状况
H0 真
结论正确 结论错误 (第一类错误)
1.单个正态总体均值的假设检验
b.方差未知时
Step1. 建立 H0 and H1 1.H0: μ = μ0 , H1: μ ≠ μ0; 2.H0: μ = μ0 , H1: μ > μ0; 3.H0: μ = μ0 , H1: μ < μ0 .
Note: H1代表研究者支持的观点.
Step 2 确定恰当的检验统计量 正态总体,方差未知时
注: H1代表研究者支持的观点.
分析 要检验H0 : μ = μ0 , H1 : μ ≠ μ0,我们必须考虑 X 和 μ0 的差别大小,因为X是μ 的无偏估计. 若H0为真, X 的值将会非常接近μ0 的值.
正态总体,方差已知时 u = X − μ 0 ~ N (0,1) σ/ n
2
若u是一个太大的正数或一个太小的负数
Step3 正态总体方差已知时,总体均值检 验的拒绝域和临界值
临界值
拒绝域
H1 : μ ≠ μ0 H1 : μ > μ0 H1 : μ < μ0
± uα / 2
uα
− uα
u ≥ uα / 2 u ≥ uα u ≤ −uα
Step 4. 利用样本观测值计算检验统计量的值
uc
=
x σ
− /
μ0 n
Step 5. 结论
H1 :σ 2 ≠ σ02 H1 :σ 2 > σ 02
临界值
χ2 1−α
/
2
(n),
χα2 / 2 (n)
χα2 (n)
拒绝域
χ
2
≥
χ
2 α
/
2
(
n)
或χ 2
≤
χ
2 1−α
/
2
(
n)
χ
2
≥
χ
2 α
(
n)
H1 :σ 2 < σ02
χ
2 1−α
(n)
χ
2
≤
χ2 1−α
u = X − μ 0 ~ N (0,1) σ/ n
Step 3 确定拒绝域
拒绝区域 (Rejection region): 使得拒绝 H0的检验统计量的取值区域.
接受区域(Acceptance region) : 使得接受 H0的检验统计量的取值区域.
临界值(Critical value ): 接受区域和拒绝区域的分隔点.
1.H 0: μ = μ 0 , H 1: μ ≠ μ 0 ; 2.H 0: μ = μ 0 , H 1: μ > μ 0 ; 3.H 0: μ = μ 0 , H 1: μ < μ 0 .
注: H1代表研究者支持的观点.
Step 2确定恰当的检验统计量 总体正态,方差已知时,选择统计量
u = X − μ 0 ~ N (0,1) σ/ n
H0 : μ = 250 H1 : μ < 250
6
解: 1. H0 : μ = 250 H1 : μ < 250
2. u = X − μ0 ~ N (0,1) σ/ n
3.确定拒绝域 u ≤ −1.64
4. uc
= x − μ0 σ/ n
>0
X ~ N (250,32 ), x = 251,
5. 接受H0. 不合理的假设一定被拒绝
H0 假 结论错误 (第二类错误)
结论正确
这两类错误不可能同时降低发生的概率, 此时人们首选控制第一类错误,令
α = 0.01,0.05,0.1等
样本容量增大时,可同时两类错误降低发 生的概率.
假设检验的标准格式
1. 建立 H0 和 H1. 2. 决定检验统计量. 3. 决定拒绝域. 4. 计算检验统计量.
第八章 假设检验 参数检验: 关于总体未知参数取值的假设, 如 μ,σ 2 . 非参数检验:关于总体分布的假设检验.
§1 基本概念
原假设Null hypothesis:待检验的假设. 通常写成等式.
H0 : μ = 100
备择假设Alternative hypothesis: 与原假设相 互斥的假设. H1 代表研究者支持的观点.