第五章 动态电磁场与电磁波(1)

第五章 动态电磁场与电磁波

5．1 动态电磁场

时变电场和时变磁场是相互依存又相互制约的，这种相互作用和相互耦合的时变电磁场通常被称为动态电磁场。当动态电磁场以电磁波动的形式在空间传播时，即被称为电磁波。

1．动态电磁场的有关方程

描述动态电磁场的麦克斯韦方程组为

t

c ∂∂+=⨯∇D J H t

∂∂-=⨯∇B E 0=•∇B

ρ=•∇D

媒质特性的构成方程组为

E D ε=

H B μ=

E J γ=

一般而言，反映媒质特性的三个参数ε、μ和γ与动态电磁场的工作频率有关。如在200MHz 以下时，水的相对介电常数约为80，而在光频时则减小到1.75。本书假设它们在一定频率范围内均为常数。

2．动态电磁场的边界条件

类似于静态和准静态电磁场中边界条件的推导，只要∂D /∂t 和∂B /∂t 在媒质分界面上是有限的，其边界条件与静态电磁场的边界条件相同。事实上，在动态电磁场中，媒质分界面上的∂D /∂t 和∂B /∂t 均为有限量。不同媒质分界面上的动态电磁场的边界条件为：

H 2t -H 1t = K s ， e n ⨯( H 2 - H 1) = K

E 1t =E 2t ， e n ⨯( E 2 - E 1) = 0

B 1n =B 2n ， e n ⋅ ( B 2 - B 1) =0

D 2n -D 1n = σ ， e n ⋅ ( D 2 - D 1) =σ

在理想导体内，∞→γ且J c 是有限的，可知E ＝0。再由-∂B /∂t =∇⨯E =0可见，在理想导体内也不存在随时间变化的磁场。在理想导体(设为媒质1)与介质(设为媒质2)交

界面上的边界条件为 H t = K s ， e n ⨯H = K

E t = 0 ， e n ⨯E = 0

B n = 0 ， e n ⋅ B =0

D n = σ ， e n ⋅ D =σ

式中，规定的交界面上e n 的指向为理想导体表面的外法线方向，且e s =e n ⨯e t 。上述边界条件表明，电力线垂直于理想导体表面，而磁力线沿着理想导体表面分布。

例1：图示两无限大理想导体平板间的无源自由空间中，动态电磁场的磁场强度为

H =)cos(cos x t z d

H 0y βω-πe ，β为常数。试求：(1)板间电场强度；(2)两导体表面的面电流密度和电荷面密度。

[解]：(1)由麦克斯韦方程第一式，得

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⨯∇=∂∂x H z H 11t y z y x e e H E εε ()() e e e e E ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-π--ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎰x t z d x t z d d H dt x H z H 1z x 0y z y x βωββωωεεcos cos sin sin (2)由边界条件，在z ＝0的导体表面上

()x t H 0x z n βω--=⨯=⨯=cos e H e H e K

()x t H 0z n βωω

βσ--

=•=•=cos D e D e 在z ＝d 的导体表面上 ()x t H 0x z n βω--=⨯-=⨯=cos e H e H e K

)cos(x t H 0z n βωω

βσ--

=•-=•=D e D e 3．有损媒质的复数表示 在实际中上，一方面导体的电导率是有限的；另一方面介质是有损耗的(如电极化损耗、或磁化损耗、或欧姆损耗等)。对于时谐电磁场中介电常数为ε'的导电媒质，由麦克斯韦方程和媒质的构成方程，得

•••=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-'=⨯∇D E H ωωγεωj j j 图 两无限大理想导体平板

式中 ••⎪⎭⎫ ⎝

⎛-'=E D ωγεj 由上式可见，这类有损媒质的欧姆损耗是以负虚数形式反映在媒质的构成方程中。类似地，为表征存在电极化损耗的有损电介质的极化性能可以定义如下复介电常数：

εεε

''-'=j ~ 同样，为表征有损磁介质的磁化性能也可以定义如下复磁导率：

μμμ

''-'=j ~ 可见，ε

~和μ~的实部，即ε'和μ'就是通常的介电常数和磁导率；而虚部ε''和μ''则分别表征电介质中的电极化损耗与磁介质中的磁化损耗。在高频时谐电磁场中，ε'、ε''、μ'和μ''通常是频率的函数。

当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电常数可写为

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+''-'=ωγεεεj ~e 为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切(工程上记作δtan )，即

εωγεδ'+

''=tan

ε'和δtan 是在时谐电磁场中表征电介质特性的两个重要参数。工程上，称δtan <<1的介质为低损耗介质。显然，δtan 愈小、介质的绝缘特性愈好。通过测量电气设备的δtan 可以检验设备的绝缘缺陷，如绝缘受潮、老化等。反之，δtan >>1的媒质被称为良导体。在微波炉中，微波频率为2.45GHz ，面食的δtan 约为0.073，菜和肉的δtan 更高，而包装用的聚苯乙烯泡沫材料的δtan 仅为3×10-5，所以包装盒中的食品得以加热，而包装盒几乎不从微波中获取能量。

5．2 坡印廷定理

1．坡印廷定理

动态电磁场的能量守恒关系可以由麦克斯韦方程组导出。在单位体积内，动态电磁场在导电媒质中消耗的电功率为

⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂-⨯∇•=•t c D H E J E

利用矢量恒等式)()()(H E H E H E ⨯∇•-•⨯∇=⨯•∇，上式为

)()()(H E B H D E H E E H D E J E ⨯•∇-∂∂•-∂∂•-=⨯•∇-⨯∇•+∂∂•-=•t

t t c 上式等号右边的前两项可写为

t w t t t t t t ∂∂=⎪⎭

⎫ ⎝⎛•∂∂=∂∂•+∂∂•=∂∂•+∂∂•=∂∂•e 2121212121D E E D D E D E D E D E t w t t ∂∂=⎪⎭

⎫ ⎝⎛•∂∂=∂∂•m 21B H B H 将以上两式代入前式，得

()()c w w t

J E H E •-+∂∂-=⨯•∇m e 将上式两边对任意闭合曲面S 包围的体积V 积分，并由散度定理，得

()()()P W W dt

d dV dV w w dt d d V c V S -+-=•-+-=•⨯⎰

⎰⎰m e m e J E S H E 上式改写为

()()P W W dt

d d S ++=

•⨯-⎰m e S H E 令S =E ×H ，对上式分析可知，S (W/m 2)表征了单位时间内穿过单位面积的电磁能量，即单位时间内穿过闭合面S 流入体积V 的电磁能量等于该体积内电磁场能量W (=W e +W m )的增加率和电磁能量的消耗率。显然，上式反映了动态电磁场的能量守恒和功率平衡关系。上式又被称为坡印廷定理的积分形式，其微分形式为

()()c w w t

J E H E •-+∂∂-

=⨯•∇m e 被称为坡印廷定理的微分形式。

2．坡印廷矢量 可以看出，矢量S 不仅表征了穿过单位面积上的电磁功率，还确定地描述了该电磁功率流的空间流动方向。这一电磁功率流面密度矢量，被称为坡印廷矢量，即

H E S ⨯=

对于时谐电磁场，导电媒质吸收的复功率体密度为

)(•

*•*••*•+⨯∇•=•D H E J E ωj c 式中，“*”号表示对复矢量取共轭运算，可得