第五章 动态电磁场与电磁波(1)

第五章 动态电磁场与电磁波5．1 动态电磁场时变电场和时变磁场是相互依存又相互制约的，这种相互作用和相互耦合的时变电磁场通常被称为动态电磁场。

当动态电磁场以电磁波动的形式在空间传播时，即被称为电磁波。

1．动态电磁场的有关方程描述动态电磁场的麦克斯韦方程组为tc ∂∂+=⨯∇D J H t∂∂-=⨯∇B E 0=•∇Bρ=•∇D媒质特性的构成方程组为E D ε=H B μ=E J γ=一般而言，反映媒质特性的三个参数ε、μ和γ与动态电磁场的工作频率有关。

如在200MHz 以下时，水的相对介电常数约为80，而在光频时则减小到1.75。

本书假设它们在一定频率范围内均为常数。

2．动态电磁场的边界条件类似于静态和准静态电磁场中边界条件的推导，只要∂D /∂t 和∂B /∂t 在媒质分界面上是有限的，其边界条件与静态电磁场的边界条件相同。

事实上，在动态电磁场中，媒质分界面上的∂D /∂t 和∂B /∂t 均为有限量。

不同媒质分界面上的动态电磁场的边界条件为：H 2t -H 1t = K s ， e n ⨯( H 2 - H 1) = KE 1t =E 2t ， e n ⨯( E 2 - E 1) = 0B 1n =B 2n ， e n ⋅ ( B 2 - B 1) =0D 2n -D 1n = σ ， e n ⋅ ( D 2 - D 1) =σ在理想导体内，∞→γ且J c 是有限的，可知E ＝0。

再由-∂B /∂t =∇⨯E =0可见，在理想导体内也不存在随时间变化的磁场。

在理想导体(设为媒质1)与介质(设为媒质2)交界面上的边界条件为 H t = K s ， e n ⨯H = KE t = 0 ， e n ⨯E = 0B n = 0 ， e n ⋅ B =0D n = σ ， e n ⋅ D =σ式中，规定的交界面上e n 的指向为理想导体表面的外法线方向，且e s =e n ⨯e t 。

上述边界条件表明，电力线垂直于理想导体表面，而磁力线沿着理想导体表面分布。

例1：图示两无限大理想导体平板间的无源自由空间中，动态电磁场的磁场强度为H =)cos(cos x t z dH 0y βω-πe ，β为常数。

试求：(1)板间电场强度；(2)两导体表面的面电流密度和电荷面密度。

[解]：(1)由麦克斯韦方程第一式，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⨯∇=∂∂x H z H 11t y z y x e e H E εε ()() e e e e E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π--ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎰x t z d x t z d d H dt x H z H 1z x 0y z y x βωββωωεεcos cos sin sin (2)由边界条件，在z ＝0的导体表面上()x t H 0x z n βω--=⨯=⨯=cos e H e H e K()x t H 0z n βωωβσ--=•=•=cos D e D e 在z ＝d 的导体表面上 ()x t H 0x z n βω--=⨯-=⨯=cos e H e H e K)cos(x t H 0z n βωωβσ--=•-=•=D e D e 3．有损媒质的复数表示 在实际中上，一方面导体的电导率是有限的；另一方面介质是有损耗的(如电极化损耗、或磁化损耗、或欧姆损耗等)。

对于时谐电磁场中介电常数为ε'的导电媒质，由麦克斯韦方程和媒质的构成方程，得•••=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⨯∇D E H ωωγεωj j j 图 两无限大理想导体平板式中 ••⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=E D ωγεj 由上式可见，这类有损媒质的欧姆损耗是以负虚数形式反映在媒质的构成方程中。

类似地，为表征存在电极化损耗的有损电介质的极化性能可以定义如下复介电常数：εεε''-'=j ~ 同样，为表征有损磁介质的磁化性能也可以定义如下复磁导率：μμμ''-'=j ~ 可见，ε~和μ~的实部，即ε'和μ'就是通常的介电常数和磁导率；而虚部ε''和μ''则分别表征电介质中的电极化损耗与磁介质中的磁化损耗。

在高频时谐电磁场中，ε'、ε''、μ'和μ''通常是频率的函数。

当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电常数可写为⎪⎭⎫ ⎝⎛+''-'=ωγεεεj ~e 为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切(工程上记作δtan )，即εωγεδ'+''=tanε'和δtan 是在时谐电磁场中表征电介质特性的两个重要参数。

工程上，称δtan <<1的介质为低损耗介质。

显然，δtan 愈小、介质的绝缘特性愈好。

通过测量电气设备的δtan 可以检验设备的绝缘缺陷，如绝缘受潮、老化等。

反之，δtan >>1的媒质被称为良导体。

在微波炉中，微波频率为2.45GHz ，面食的δtan 约为0.073，菜和肉的δtan 更高，而包装用的聚苯乙烯泡沫材料的δtan 仅为3×10-5，所以包装盒中的食品得以加热，而包装盒几乎不从微波中获取能量。

5．2 坡印廷定理1．坡印廷定理动态电磁场的能量守恒关系可以由麦克斯韦方程组导出。

在单位体积内，动态电磁场在导电媒质中消耗的电功率为⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⨯∇•=•t c D H E J E利用矢量恒等式)()()(H E H E H E ⨯∇•-•⨯∇=⨯•∇，上式为)()()(H E B H D E H E E H D E J E ⨯•∇-∂∂•-∂∂•-=⨯•∇-⨯∇•+∂∂•-=•tt t c 上式等号右边的前两项可写为t w t t t t t t ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛•∂∂=∂∂•+∂∂•=∂∂•+∂∂•=∂∂•e 2121212121D E E D D E D E D E D E t w t t ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛•∂∂=∂∂•m 21B H B H 将以上两式代入前式，得()()c w w tJ E H E •-+∂∂-=⨯•∇m e 将上式两边对任意闭合曲面S 包围的体积V 积分，并由散度定理，得()()()P W W dtd dV dV w w dt d d V c V S -+-=•-+-=•⨯⎰⎰⎰m e m e J E S H E 上式改写为()()P W W dtd d S ++=•⨯-⎰m e S H E 令S =E ×H ，对上式分析可知，S (W/m 2)表征了单位时间内穿过单位面积的电磁能量，即单位时间内穿过闭合面S 流入体积V 的电磁能量等于该体积内电磁场能量W (=W e +W m )的增加率和电磁能量的消耗率。

显然，上式反映了动态电磁场的能量守恒和功率平衡关系。

上式又被称为坡印廷定理的积分形式，其微分形式为()()c w w tJ E H E •-+∂∂-=⨯•∇m e 被称为坡印廷定理的微分形式。

2．坡印廷矢量 可以看出，矢量S 不仅表征了穿过单位面积上的电磁功率，还确定地描述了该电磁功率流的空间流动方向。

这一电磁功率流面密度矢量，被称为坡印廷矢量，即H E S ⨯=对于时谐电磁场，导电媒质吸收的复功率体密度为)(•*•*••*•+⨯∇•=•D H E J E ωj c 式中，“*”号表示对复矢量取共轭运算，可得)()(•*••*••*••*••-•-•-=⨯•∇DEHBJEHEωj这就是时谐电磁场坡印廷定理的微分形式，其积分形式为⎰⎰•*••*••*••*••-•+•=•⨯-VcSdVjd)]([)(DEHBJESHEω对于有损媒质，上式可以写为⎰⎰'-'+''+''+=•⨯-•*•V22222SdVEHjHEEd)]()[()(εμωμωεωγSHE上式右端实部表示体积V内有损媒质吸收的有功功率P(平均功率)，它不仅包含传导电流产生的欧姆损耗，还包含了媒质的极化和磁化损耗；右端虚部表示体积V内吸收的无功功率Q，既包含磁场(感性)无功功率，也包含电场(容性)无功功率。

在时谐电磁场中，定义复坡印廷矢量为•*•⨯=HES~其实部为有功功率密度矢量，虚部为无功功率密度矢量。

例1：直流电压源U经图示的同轴电缆向负载电阻R供电。

设该电缆内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为b和c。

试用坡印廷矢量分析其能量的传输过程。

[解]：设同轴电缆为理想导体，内导体电位为U0，电流I=U0/R沿z轴方向流动；外导体电位为零，电流与内导体电流反向。

可得同轴电缆内外电、磁场分别为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<<⎪⎪⎭⎫⎝⎛---π≤≤π<≤π=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧><<≤≤<≤=ccbbcb1R2UbaR2UaRa2UccbbaabUa22222ρρρρρρρρρρρρρφφφρeeeH,eEln图同轴电缆横截面中的E、H和S的分布不难看出，除同轴电缆内外导体间的坡印廷矢量z e H E S 2201ab R 2U ρ⋅π=⨯=ln ()b a ≤≤ρ 不为零外，其余各处均为零。

对同轴电缆截面积分得同轴电缆传输的功率为R U d a b R U d d P b a z S 202002ln 22=π⋅π=π•=•-=⎰⎰⎰+∞ρρρρe S S S 显然，与电路理论获得的结果相同。

讨论：从以上例题，坡印廷矢量仅存在于同轴电缆的内外导体之间的空间，且垂直于E 和H 组成的平面。

这说明电磁能量是以电磁场方式通过空间传输给负载的，而不是象人们直观臆断的那样是以电流为载体通过导体传送给电阻的。

应指出，导体的作用仅在于建立空间电磁场、并从电源定向导引电磁能量输入负载。

5．3 电磁位1．电磁位的引入类似于恒定磁场，由麦克斯韦方程的∇•B =0，定义动态矢量位AA B ⨯∇=代入麦克斯韦方程的∇⨯E =-∂B/∂t ，得0)(=∂∂+⨯∇tA E 由上式括号中矢量的无旋性，进一步定义动态标量位ϕ t ∂∂--∇=A E ϕ A 和ϕ 的单位分别为韦/米(Wb/m )和伏(V )，上述定义的位函数组A －ϕ被称为动态电磁场的电磁位。

2．洛仑兹规范为唯一地确定A ，还必须规定A 的散度。

将上述定义式代入麦克斯韦方程组的另外两个方程，并整理得c t t J A A A μϕμεμε-=∂∂+•∇∇-∂∂-∇)(222 ερϕ-=•∇∂∂+∇)(2A t从以上两个二阶偏微分方程不难看出，对A 的散度规范不同，方程组的形式也将不同。

如取库仑规范，尽管上述标量方程可以转化为简单的泊松方程，但上述矢量方程中依然存在着A 与ϕ的耦合。