28.2 解直角三角形(1)优质课教案完美版
28.2解直角三角形(第1课时)-教学设计
28.2解直角三角形教学设计第1课时一、教学任务分析二、教学流程安排三、教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图 活动一：复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系a bA b aA c bA c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b aB abB c aB c b B ====cot ;tan ;cos ;sin(2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．3．通过课本中“比萨斜塔”倾斜的问题，引出结直角三角形。
教师引导学生进行锐角三角形相关知识回顾与复习。
要求学生了解解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。
活动二：探究新知通过课本中“比萨斜塔”倾斜的问题，引出结直角三角形，详见书本P85页. 进行探究1：（1）在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？（2）知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？思考与提问：我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？例题1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 解 ∵tanA=a b =62=3 ∴ 60B ∠=∴ 9030A B ∠=-∠=∴C=2b=22详见P86-88页，例2，例3，例4；教师提问，学生互动； (1)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°． （3）边角之间的关系如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.引导学生思考分析完成后，让学生独立完成教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。
九年级数学下册 28.2 解直角三角形(1)精品教案 人教新课标版
● 教师给出解直角三角形定义：解直角三角形：由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．● 例题评析例1.在ABC ∆中，C ∠为直角，A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、，且2b =，6a =，解这个三角形．分析：该题属于已知两边求第三边和两个锐角的情况，有多种解题方法，学生尝试独立解题，之后进行比较，选出最简便的方法，并小结“已知两边如何解直角三角形”.例2.在ABC ∆中，C ∠为直角，A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、，且 20b =，35B ∠=︒，解这个三角形（精确到0.1）． 分析：该题属于已知一条边和一个锐角，求另外两条边和另一个锐角的情况，教师组织学生独立完成，之后比较各种方法中哪些较好，选一种板演．并引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形”. 注意：计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底． 3. 在ABC ∆中，C ∠为直角，6AC =，BAC ∠的平分线43AD =，解此直角三角形.分析：如图,利用勾股定理可以求出CD 的长，过点D 作AB 边的垂线，解RT △ACD 、RT △ADE 、RT △BDE 即可求出RT △ABC 的边AB 、 BC 的长，∠CAB 、∠ABC 的度数.4.如图，在△ABC 中，AB ＝5，A C ＝7，∠B ＝60°．求BC 的长．分析：作BC 边上的高AD ，构造直角三角形，分别求出BD 、CD 的长即可.三、课堂训练2补充：在Rt △ABC 中，∠C ＝900，b=17, ∠B=450,求a, c 与∠A方法.教师逐一给出问题，学生独立思考，口述解题思路，学生比较不同方法，选出简便的方法，师生共同完善，教师板书规X 的解题过程.教师组织学生进行练习，学生独立完成，，选学生板书，之后师生评议，达成一致教师组织学生回顾一节课的学习体会，进行自我总结，梳理知识，归纳方法，教师点评并补充、完解直角三角形的方法灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示X 作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想.解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．板 书 设 计四、课堂小结1.在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．2. 解决问题要结合图形。
九年级数学《解直角三角形(第1课时)》教案
28.2解直角三角形（第1课时）C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？sinA=cacosA=cbtanA=ba(2)三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．（3）揭示并板书本节课题。
（4）关注并适时评价学生的表现。
【学生活动】学生思考回答问题．【设计意图】复习直角三角形中，各元素之间的关系，为新知探索做好知识准备，活动二问题诱导，探索新知问题3：出示课本章前引言中的问题：意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1米,1972年比萨地区发生地震,这座高54.5米的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立,但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2米,而且还以每年增加1厘米的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险。
为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8厘米.(1)根据上述信息你能用角度来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？(2)你能求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角吗?小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．【教师活动】1、出示问题3，提一名学生读题，提醒其他学生思考：①题中提供了哪些信息？哪些是已知量？要求是什么？②如果把这些信息集中到一个三角形中，那么其解决问题的本质是什么？用哪个关系式求解最简单最直接？2、引导学生口述解题过程，结合学生口述相机用课件展示解题过程。
3、谈话：我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．4、提名让学生说出问题1解题过程：课件演示解题过程。
28.2.1解直角三角形教学设计
28.2.1 解直角三角形 一、【前置学习】1．在三角形中共有几个元素？2．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，B A c b a ∠∠,,,,这五个元素间有哪些等量关系呢(1)三边之间关系：(2)两锐角之间关系：(3)边角之间关系： ， 二、【探究互动】探究：在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，（1）已知︒=∠60A ,6=AB ，则=∠B ,=AC ，=BC（2）已知3=AC ，6=AB ，则=∠B , =∠A ，=BC（3）已知︒=∠60A ,︒=∠30B ，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？结论：在直角三角形六个元素中，除直角外，已知 个元素（ 至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以有已知的元素求出其余元素。
解直角三角形：由直角三角形中除直角外的 个已知元素( 至少有一个是边)，求出 的过程，叫做解直角三角形．演练排疑例1 如图：在Rt △ABC 中，︒=∠90C ， 6=a ,2=b ，解这个三角形． 例2 如图：在Rt △ABC 中，︒=∠90C 35B ∠=︒，20=b ，解这个三角形．A CB A cC A B拓展延伸：例3 如图，ABC ∆中,︒=∠90C ，24=BD ,︒=∠30A ,︒=∠45BDC ,求AD .变式：如图，ABC ∆中,AD BC ⊥，24=BD ,︒=∠30A ,︒=∠45D ,求AD .知识梳理 一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。
三、【当堂检测】1．Rt △ABC 中，︒=∠90C ，若︒=∠30A ，则B ∠= ；若︒=∠30A ，a =1，则b = ，c =2.ABC ∆中,90C ︒∠=,cos 2B =,a =则b =________. 3.如图所示，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，4=AC , cos 54=∠BCD ,则BC 的值是_____ 4.根据下列条件解直角三角形 Rt △ABC 中，︒=∠90C ，C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,，（1）︒=∠30A ,3=b（2） 22=b ,4=c（3）2=c ，33tan =A 5. 如图所示，在ABC ∆中，︒=∠60A ，︒=∠45B ，4=AC ，求 BC 、AB .A D CBA B D C C B A D C【自我评价】1．本节课有困惑的题目是：2．本节课的学习收获是：成功就是先制定一个有价值的目标，然后逐步把它转化成现实的过程。
新人教版初中九年级数学下《锐角三角函数 28.2.1解直角三角形》优质课教学设计_1
28.2.2 解直角三角形一、教学目标1．核心素养通过解直角三角形应用举例的学习，初步形成基本的运算水平、推理水平、应用意识. 2．学习目标（1）1.1.1理解方位角、坡角等概念．（2）1.1.2能将实际问题抽象成数学问题，并用解直角三角形的方法来解决.（3）1.1.3能利用解直角三角形来灵活求解其他非直角三角形的问题．3．学习重点熟练使用解直角三角形的方法来解决方位角、坡角相关的实际问题.4．学习难点将实际问题抽象为数学模型．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1 阅读教材P76-P79，思考：什么是方位角、坡角？任务2 阅读教材P76-P79，思考：怎么利用方位角、坡角和解直角三角形的知识解决实际应用问题？2．预习自测一、填空题1．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1∶2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为______m.答案：2错误！未找到引用源。
解析：过点B作BC⊥AC，如下图所示.∵AB=10米，tanA=BC/AC=1/2，∴设BC=x，则AC=2x，由勾股定理得：AB 2=AC 2+BC 2，即100=x 2+4x 2，解得x=2错误！未找到引用源。
，∴BC=2错误！未找到引用源。
米.2．从A 看B 是北偏东25度，则从B 看A 是______方向.答案：南偏西25︒解析：略二、解答题3．如图，一艘渔船位于小岛M 的北偏东45°方向、距离小岛150海里的A 处，渔船从A 处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B 处．(1)求渔船从A 到B 的航行过程中与小岛M 之间的最小距离(结果用根号表示)；(2)若渔船以20海里/小时的速度从B 沿BM 方向行驶，求渔船从B 到达小岛M 的航行时间．(结果精确到0.1小时)(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)答案：见解析解析：(1)过点M 作MD⊥AB 于点D ，∵∠AME ＝45°，∴∠AMD ＝∠MAD＝45°.∵AM ＝150海里，∴MD ＝AMcos45°＝752(海里)．答：渔船从A 到B 的航行过程中与小岛M 之间的最小距离是752海里．(2)在Rt △DMB 中，∵∠BMF ＝60°，∴∠DMB ＝30°.∵MD ＝752海里，∴MB ＝MD cos30°＝506(海里)．∴506≈52×2.45＝6.125≈6.1(小时)． 答：渔船从B 到达小岛M 的航行时间约为6.1小时．（二）课堂设计1．知识回顾（1）锐角三角函数：在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c ，若∠C=90°，则c a A =sin ，cosA ＝＝b c ，tanA ＝＝a b. （2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（3）含30°角的直角三角形的三边比为2:3:1；含45°角的直角三角形的三边比为2:1:1.（4）30°、45°、60°角的三角函数值：1sin 302︒=，sin 452︒=，sin 60︒=，cos30︒=，cos 45︒=，1cos 602︒=，tan 30︒=，tan 451︒=，tan 60︒=2．问题探究问题探究一 ●活动一 方位角的定义1．方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角，如图所示，∠NOA ，∠SOB ，∠NOD ，∠SOC 都是方位角．2．说出下列射线的方向．射线OA 是北偏东55°，射线OB 是南偏东30°，射线OC 是南偏西35°，射线OD 是北偏西45°或西北方向．●活动二 坡角的定义坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度的l 的比叫做坡度．一般用i 表示．坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i 与坡角α之间的关系：i ＝h l＝tan α.问题探究二 ●活动一应用知识，解决问题例1.如图所示，海中一小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：如图所示，过点A 作AD⊥BC 交BC 的延长线于点D.在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BD AD， ∴BD ＝AD·tan55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD ＝CD AD，∴CD ＝AD·tan25°. ∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD ·tan55°＝20＋AD·tan25°.∴AD ＝20tan55°－tan25°≈20.79>10. ∴轮船继续向东行驶，不会有触礁危险．点拨：触礁问题的本质是求点到直线的距离，一般作垂线，通过解两次直角三角形来求公共边长度（即距离）.例2. 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：作BE⊥AD，CF ⊥AD ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，∵BE AE ＝13，CF FD ＝12.5， ∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m)．FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.33，∴α≈18.43°， ∵BE AB ＝sin α，∴AB ＝BE sin α＝230.3162≈72.7(m)． 答：斜坡AB 的坡角α约为18.43°，坝底宽AD 为132.5m ，斜坡AB 的长约为72.7m. 点拨：求解坡角相关的问题，一般作高把斜坡放到直角三角形中来求解.●活动二方法总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．问题探究三 怎样灵活使用解直角三角形的方法解决跟方位角、坡角相关的问题？构造基本图形角直角三角形的实际问题：●活动一构造单一直角三角形例1：平放在地面上的直角三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A 为54°，斜边AB 的长为2.1 m ，BC 边上露出部分的长为0.9 m ．求铁板BC 边被掩埋部分CD 的长．(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB， 则BC ＝AB·sinA ＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD ＝BC －BD ＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．●活动二 构造母子三角形例2：如图，大海中某灯塔P 周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A 处观察灯塔P 在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B 处，这时观察灯塔P 恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．(参考数据：3≈1.73)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：没有触礁的危险．理由如下：作PC⊥AB 于C ，∠PAC ＝30°，∠PBC ＝45°，AB ＝8，设PC ＝x ，在Rt △PBC 中，∵∠PBC ＝45°，∴△PBC 为等腰直角三角形．∴BC ＝PC ＝x.在Rt △PAC 中，∵tan ∠PAC ＝PC AC ，∴AC ＝PC tan30°，即8＋x ＝x 33， 解得x≈10.92，即PC≈10.92.∵10.92>10，∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．●活动三 构造背靠背三角形例3：如图，一艘海轮在A 点时测得灯塔C 在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B 处，此时灯塔C 在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离(结果精确到0.1)；(2)求海轮在B 处时与灯塔C 的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：(1)过C 作CD⊥AB 于点D.根据题意得：∠ACD＝42°，∠BCD ＝55°.设CD 的长为x 海里，在Rt △ACD 中，tan ∠ACD ＝AD CD，则AD ＝x·tan42°. 在Rt △BCD 中，tan ∠BCD ＝BD CD，则BD ＝x·tan55°. ∵AB ＝80海里，∴AD ＋BD ＝80海里，∴x ·tan42°＋x·tan55°＝80.解得x≈34.4.答：海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离是34.4海里．(2)在Rt △BCD 中，cos55°＝CD BC ，∴BC ＝CD cos55°≈60(海里)． 答：海轮在B 处时与灯塔C 的距离是60海里．●活动四 与梯形相关的角直角三角形例4：如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，斜面坡度i ＝1∶3是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比，∠B ＝60°，AB ＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．(结果保留小数点后一位．参考数据：3≈1.732，2≈1.414)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：过点A 作AF⊥BC，垂足为点F.在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6，∴AF ＝ABsinB ＝6sin60°＝33，BF ＝ABcosB ＝6cos60°＝3.∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，∴四边形AFED 是矩形．∴DE ＝AF ＝33，FE ＝AD ＝4.在Rt△CDE中，i＝EDEC＝13，∴EC＝3ED＝3×33＝9.∴BC＝BF＋FE＋EC＝3＋4＋9＝16.∴S梯形ABCD ＝12(AD＋BC)·DE＝12(4＋16)×33≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0.3．课堂总结【知识梳理】（1）方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角。
（教案2）28.2解直角三角形
（教案2）28.2解直角三角形第一篇：(教案2)28.2解直角三角形课题28.2解直角三角形一、教学目标1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识二、教学重点、难点重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．难点：实际问题转化成数学模型三、教学过程（一）复习引入1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．2、在中Rt△ABC中已知a=12 ,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。
（二）实践探索要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角，(如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角能够安全使用这个梯子引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？几分钟后，让一个完成较好的同学示范。
（三）教学互动例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0.1 km)分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,⊙O表示地球，点F 是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点.弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出(即)等于多少(精确到1o)这时人是否一般要满足 1解:在上图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形，弧PQ的长为由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离 P点约2 009.6 km.（四）巩固再现练习1,习题 1四、布置作业习题 2,3第二篇：28.2.1解直角三角形教案28.2.1解直角三角形西湖中学黄勇一、内容和内容解析1、内容：解直角三角形的意义，直角三角形的解法。
28.2解直角三角形(教案)
-难点3：针对含有两个未知数的直角三角形问题，如已知斜边和一个锐角，求另外两个未知数。通过讲解和举例，让学生掌握解题步骤，如先求出另一个锐角，再利用三角函数求解未知边长。
其次，在新课讲授环节，我发现部分学生对三角函数的定义和应用掌握不够扎实。在讲解过程中，我可能过于注重理论推导，而忽略了与实际例子的结合。针对这一问题，我打算在接下来的课程中，增加。
此外，在实践活动环节，虽然学生分组讨论和实验操作进行得如火如荼，但我发现部分小组在讨论过程中偏离了主题，讨论了一些与课程内容关联性不强的问题。在今后的教学中，我需要加强对学生讨论方向的引导，确保实践活动紧扣课程内容。
今天我们在课堂上学习了解直角三角形这一章节，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课环节，我通过提问方式引导学生思考日常生活中的直角三角形实例，但感觉学生的反应并不如预期。可能是我提出的问题不够具体，或者是学生的生活经验有限，导致他们难以快速进入学习状态。在今后的教学中，我需要更贴近学生生活实际，提出更具启发性的问题，激发他们的兴趣。
在学生小组讨论环节，我注意到有些学生发言不够积极，可能是他们对讨论主题不感兴趣或者缺乏自信。为了提高学生的参与度，我计划在下一节课中，鼓励学生提出自己的观点，并适时给予表扬和鼓励，让他们在讨论中找到成就感和自信心。
最后，关于课堂总结环节，我觉得自己总结得还不够到位，没有完全覆盖本节课的重点和难点。在今后的教学中，我需要更加注重课堂总结，明确指出重点和难点，帮助学生巩固所学知识。
（3）将实际问题抽象成直角三角形模型，运用三角函数解决生活问题。
28.2.1 解直角三角形教案
28．2.1 解直角三角形本节是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的三角形内角和定理和勾股定理，研究解直角三角形的问题，既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础．解直角三角形是结合三角形内角和定理、勾股定理等知识，利用锐角三角函数对直角三角形的三条边以及两锐角这五个要素进行求解，在解直角三角形时注意借助相应的直角三角形来寻找已知元素与未知元素的关系式．【情景导入】要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°(见教材第85页第10题图)，现有一架长6 m 的梯子．(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)?(2)当梯子底端距离墙面2.4 m 时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这架梯子？【说明与建议】 说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会解直角三角形来源于生活，并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求．建议：教师引导学生思考，为本节课学习解直角三角形做好铺垫． 【归纳导入】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝20°，c ＝10 cm. (1)根据“直角三角形两锐角互余”得∠B ＝70°． (2)由sinA ＝ac ，得a ＝c ·sinA ＝10sin20°cm.(3)由cosA ＝bc，得b ＝c ·cosA ＝10cos20°cm.通过以上填空，Rt △ABC 的三条边长及三个角全部知道了，这种由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．【说明与建议】 说明：通过解答此题说明已知直角三角形的一个锐角，可以求出另一个锐角，选择恰当的边角关系，还可以求出其他的边长．建议：让学生先自主探究，然后交流解题的方法并比较从中选择最合适的方法．命题角度1 在直角三角形中解直角三角形这类题目一般已知一边一角或两边求其他元素．注意以下知识和技巧的总结及运用： 理论依据：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2. (2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°.(3)边角之间的关系：sinA ＝a c ＝cosB ，cosA ＝b c ＝sinB ，tanA ＝a b ＝1tanB .(4)面积公式：S △ABC ＝12ab ＝12ch(h 为斜边上的高)．提示：当所求的元素既可用乘法又可用除法求解时，一般用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，最好用已知数据．技巧方法：1.(宜昌中考)如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos ∠ABC 的值为(B) A.23B.22C.43D.2232．(巴中中考)如图，点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是(A)A ．sinB ＝13B ．sinC ＝255C ．tanB ＝12D ．sin 2B ＋sin 2C ＝1命题角度2 构造直角三角形再解直角三角形这类问题一般和三角形或圆的相关知识结合命题，题目没有直接告诉是直角三角形，通过条件或添加辅助线，可以证明或构造直角三角形，再根据解直角三角形的方法解答问题．3．(黑龙江中考)如图，在△ABC 中，sinB ＝13，tanC ＝2，AB ＝3，则AC 的长为(B)A. 2B.52C. 5D ．24．如图，点A ，B 是以CD 为直径的⊙O 上的两点，分别在直径的两侧，其中点A 是CDB ︵的中点．若tan ∠ACB ＝2，AC ＝5，则BC 的长为(D)A. 5B ．2 5C ．1D ．2命题角度3 分类讨论解不定三角形在解直角三角形问题时，如遇到直角或者某个锐角不确定时，特别是在没有给出图形的情况下，要注意分类讨论，防止漏解．5．(内江中考)已知，在△ABC 中，∠A ＝45°，AB ＝42，BC ＝5，则△ABC 的面积为2或14．双直角三角形所谓“双直角三角形”是指一条直角边重合，另一条直角边共线的两个直角三角形．其位置关系有两种：如图1，公共直角边为AD ，则AD ＝BC ·tan α·tan βtan β－tan α，我们把它叫做公式1.图1 图2 如图2，公共直角边为AD ，则AD ＝BC ·tan α·tan βtan β＋tan α，我们把它叫做公式2.课题28.2.1 解直角三角形授课人素养目标1.了解解直角三角形的意义和条件．2．帮助学生理解直角三角形中五个元素(直角除外)的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.3.发展学生的数学应用意识，提高归纳能力，感受解直角三角形的策略.教学重点解直角三角形的意义以及一般方法.教学难点选择恰当的边角关系解直角三角形.授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，那么除直角∠C外的两个锐角和三条边之间有如下关系：两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.三边之间的关系：a2＋b2＝c2.边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab.回顾以前所学内容，为本节课的教学内容做好准备.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】意大利比萨斜塔在落成时就已倾斜，其塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2 m，AB＝54.5 m，求∠A的度数．师生活动：教师呈现问题并引导学生结合图形，观察已知条件和所求角之间的关系，分析得到通过求∠A的正弦来求∠A的度数.通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，并一般化：已知直角三角形斜边和直角边，求它的锐角的度数，通过求解的过程，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．解直角三角形的定义问题：将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解？师生活动：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数，利用锐角的正弦(或余弦)的概念直接求解．问题：在活动一所述的Rt△ABC中，你还能求出其他未知的边和角吗？师生活动：学生思考并说明求解思路，教师把问题一般化，给出解直角三角形的内涵：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．2．解直角三角形的方法问题：回想一下，刚才解直角三角形的过程中，用到了哪些知识？你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗？师生活动：如图，引导学生结合图形，梳理五个元素(直角除外)之间的关系，学生展示：(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2(勾股定理)．(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，sinB＝ba，cosB＝ac，tanB＝ba.问题：从上述问题来看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边这两个元素，可以求出其余的三个元素．一般地，已知五个元素(直角除外)中的任意两个元素，可以求其余元素吗？教师给出结论：在直角三角形中，知道除直角外的五个元素中的两个元素(至1.有条理地梳理直角三角形除直角外的五个元素之间的关系，明确各自的作用，便于应用．2．在讨论解直角三角形的方法过程中，明确解直角三角形的条件，培养学生的逻辑思维能力.少有一个是边)，就可以求出其余三个未知元素.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第73页例1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形．解：AB＝22，∠B＝30°，∠A＝60°.师生活动：学生在教师的引导下，思考如何求出所有未知元素．先让学生找出所有未知元素：∠A，∠B和AB，然后让学生逐一说明求每一个未知元素的方法和依据，教师引导学生选择简便的解题途径．最后给出简洁、规范的解题步骤．例2(教材第73页例2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)．解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°.∵tanB＝ba，∴a＝btanB＝20tan35°≈28.6.∵sinB＝bc，∴c＝bsinB＝20sin35°≈34.9.师生活动：由学生代表参照例1的解题思路，分析本题的解题思路；然后由学生独立完成，再小组交流；最后由学生代表展示解题步骤．对于求c，如果学生采取不同方法，让他们展示不同方法；如果学生没有采取不同方法，教师注意引导他们思考其他解法．【变式训练】1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝43，则CD的值为(D)1.通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高学生分析和解决问题的能力．2．进一步训练解一般直角三角形的思路和方法，并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解．3．变式训练拓展学生思维，同时增强学生对所学知识的灵活应用能力.A ．2 B.45 C.43 D.65提示：延长AD ，BC ，两线交于点O ，得到两个直角三角形，解直角三角形即可． 2．在△ABC 中，若AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝150°，则△ABC 的面积为(A) A ．37.5 B ．75 C ．100 D ．150提示：过点C 作CD ⊥AB ，交BA 的延长线于点D.在Rt △ADC 中利用特殊角求出高CD ，再计算三角形的面积．3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝3，S △ABC ＝923，解这个直角三角形．解：如图：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，b ＝3，S △ABC ＝923，∴12ab ＝92 3. ∴a ＝3 3.∴tanA ＝a b ＝333＝ 3.∴∠A ＝60°.∴∠B ＝180°－∠A －∠C ＝180°－60°－90°＝30°. ∴c ＝2b ＝6. 活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，sinA ＝12，则BC 的长为(A)A ．2B ．3 C. 3 D ．2 3通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝40°，BC ＝3，则AC ＝(C) A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边中线是3 cm ，sinA ＝13，则S △ABC ＝(D)A. 2 cm 2B ．2 2 cm 2C ．3 2 cm 2D ．4 2 cm 2提示：由中线长可以求出斜边，解直角三角形求出两直角边，再计算三角形面积．4．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于点D ，AB ＝6，AC ＝53，∠A ＝30°.(1)求BD 和AD 的长． (2)求tanC 的值． 解：(1)∵BD ⊥AC ， ∴∠ADB ＝90°.在Rt △ADB 中，AB ＝6，∠A ＝30°， ∴BD ＝12AB ＝3.∴AD ＝BDtanA＝3BD ＝3 3. (2)CD ＝AC －AD ＝53－33＝23， 在Rt △BCD 中，tanC ＝BD CD ＝323＝32.学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 课堂小结1.课堂总结：(1)什么叫解直角三角形？(2)两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一边和一个锐角或两边就能解直角三角形呢？教学说明：教师提问并引导学生总结归纳解直角三角形的定义以及直角三角形五元素之间的关系． 2．布置作业：教材第77页习题28.2第1题.引导学生从知识和方法两个方面总结自己的收获，理清解直角三角形的目的、条件、依据、方法，提升综合运用知识的能力.。
人教版九年级数学下册： 28.2.1 《解直角三角形》教学设计1
人教版九年级数学下册： 28.2.1 《解直角三角形》教学设计1一. 教材分析《解直角三角形》是九年义务教育课程标准人教版九年级数学下册第28章第2节的一部分。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行的。
本节主要让学生了解解直角三角形的意义和方法，学会使用锐角三角函数来解直角三角形，为以后学习三角函数和解其他三角形打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对直角三角形有一定的了解。
但是，对于如何运用锐角三角函数来解直角三角形，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生理解和掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
三. 教学目标1.了解解直角三角形的意义和方法。
2.学会使用锐角三角函数来解直角三角形。
3.能够运用解直角三角形的方法解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法和锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
2.难点：如何引导学生理解和掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、引导法、实践法、讨论法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习、探究学习，从而掌握解直角三角形的方法和锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
六. 教学准备1.准备直角三角形的相关图片和实例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备相关的练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些与直角三角形相关的图片和实例，引导学生回顾直角三角形的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）讲解解直角三角形的意义和方法，引导学生理解解直角三角形的重要性。
通过示例，讲解如何使用锐角三角函数来解直角三角形。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实践，运用锐角三角函数来解直角三角形。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验他们是否掌握了解直角三角形的方法和锐角三角函数在解直角三角形中的应用。
(完整版)人教版九年级数学下册28.2.1解直角三角形教案.doc
课题教学目标教学重点教学难点授课类型教具教学步骤28.2.1 解直角三角形授课人知识技能使学生理解直角三角形中五个元素( 直角除外 ) 的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．数学思考通过实际问题的情境，让学生感受到在生活、学习中解直角三角形知识的实际意义．问题解决通过学习解直角三角形，归纳出解直角三角形的两种类型．发展学生的数学应用意识，提高归纳能力，感受解直角三角形的情感态度策略．解直角三角形的意义以及一般方法．选择恰当的边角关系，解直角三角形．新授课课时多媒体教学活动师生活动设计意图如图 28－ 2－ 4， Rt△ABC 中的关系式 (∠ C＝90° )：两锐角的关系：∠A＋∠ B＝ 90°.三边之间的关系：a2＋ b2＝ c2.a b a边角关系： sinA＝c，cosA＝c，tanA＝b.回顾以前所学内容，回顾为本节课的教学内容做好准备 .图28－ 2－ 4【课堂引入】意大利比萨斜塔在落成时就已倾斜，其塔顶中心点为 B ，塔身中心线与垂直中活动 心线的夹角为∠ A ，过点 B 向垂直中心线 一： 引垂线， 垂足为 C ，如图 28－ 2－ 5.在 Rt 创设 △ ABC 中，∠ C ＝ 90°， BC ＝ 5.2 m ，AB情境 ＝ 54.5 m ，求∠ A 的度数 .图 28－ 2－ 5导入 师生活动： 教师呈现问题并引导学生结合图形， 观察已知和新课所求角之间的关系， 分析得到通过求∠ A 的正弦来求∠ A 的度数 .1.解直角三角形的定义问题：将比萨斜塔问题推广为一般的数学问题该如何求解？ 师生活动： 已知直角三角形的斜边和一条直角边， 求它的锐角的度数，利用锐角的正弦 (或余弦 )的概念直接求解 .问题：在活动一所述的 Rt △ ABC 中，你还能求出其他未知的边和角吗？师生活动：学生思考并说明求解思路，教师把问题一般化，给出解直角三角形的内涵：一般地，直角三角形中， 除直角外， 共有五个元素，即三条边和两个锐角． 由直角三角形中的已知元素， 求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.2.解直角三角形的方法 问题：回想一下， 刚才解直角三角形的过程中，用到了哪些活动知识？你能梳理一下直角三角形各个元素之间的关系吗？二：28－ 2－ 6，引导学生结合师生活动：如图实践( 直角除外 )之间的关图形，梳理五个元素探究系，学生展示：交流a 2＋b 2＝c 2(勾股定理 ).(1)三边之间的关系：新知A ＋∠B ＝ 90° .(2)两锐角之间的关系：∠(3)边角之间的关系：图 28－2－ 6a， cosA ＝ b， tanA ＝a，sinA ＝ c c bsinB ＝ b a b， cosB ＝ ， tanB ＝ .c c a问题：从上述问题来看， 在直角三角形中， 知道斜边和一条直角边这两个元素， 可以求出其余的三个元素． 一般地， 已知五个元素 (直角除外 )中的任意两个元素， 可以求其余元素吗？教师给出结论： 在直角三角形中， 知道除直角外的五个元素中的两个元素 (至少有一个是边 )，就可以求出其余三个未知元素 .通过实际问题，激发学生的学习兴趣，把实际问题转化为数学问题，通过求解，初步体会解直角三角形的内涵，引入课题 .1.有条理地梳理直角三角形五个元素之间的关系，明确各自的作用，便于应用 .2.在讨论解直角三角形的方法过程中，明确解直角三角形的条件，培养学生的逻辑思维能力 .活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1 教材 P73 例 1 如图 28－ 2－ 7，在 Rt△ABC 中，∠C＝ 90°， AC＝ 2，BC＝6，解这个直角三角形 .师生活动：学生在教师的引导下，思考如图 28－ 2－ 7何求出所有未知元素．先让学生找出所有未知元素：∠A，∠ B和AB，然后让学生逐一说明求每一个未知元素的方法和依据，教师引导学生选择简便的解题途径 .【拓展提升】1.涉“斜”选“弦”的策略当已知和所求涉及直角三角形的斜边时，应选择与斜边相关的已知角的正弦、余弦．我们把它叫做涉“斜”(涉及斜边 ) 选“弦” (选正弦、余弦 )的策略 .例 2 滨州中考在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°，AB＝ 10，sinA＝3，5通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高学生分析和解决问题的能力．进一步训练学生解一般直角三角形的4， tanA＝3，则 BC 的长为 (A) 思路和方法，并学会cosA＝5 4A.6 B． 7.5 C． 8 D． 12.5 从计算简便的角度2.无“斜”选“切”的策略活动四：课堂总结反思当已知和所求均未涉及到斜边时，应选择与斜边无关的边角关系式——正切，这种方法称之为无“斜”(斜边 )选“切” (正切 )的策略 .例3 在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，若∠ A＝ 60°， AC＝ 20 m，则BC 大约是 (结果精确到 0.1 m)( B)A.34.64 m B． 34.6 m C． 28.3 m D ． 17.3 m【达标测评】1.在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，∠ B＝ 40°，BC＝ 3，则 AC＝ (C)A.3sin40 °B． 3sin50°C．3tan40°D． 3tan50°32.在 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°，若 AB ＝ 5， sinA＝，则 AC 的长为 (B)A.3 B．4 C． 5D． 63.在△ ABC 中，若∠ C＝ 90°， sinA＝1，AB＝ 2，则△ ABC 的周2长为 __3＋ 3__.4.在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°，有两边长分别为 3 和 4，则 sinA3 34 7的值为__5或4或5或4 __.5.如图28－2－ 8，在△ ABC 中， BD⊥ AC，选用适当的关系式求解 .通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“ 堂堂清”.第 3页(1)求 BD 和 AD 的长；图 28－ 2－ 8(2)求 tanC 的值 .引导学生从知识和方法两个1.课堂总结：请同学们回顾以下问题：方面总结自己的收获，理清(1)什么叫解直角三角形？(2)两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一边和一个锐角或两边就能解直角三角形呢？2.布置作业：教材第 77 页习题 28.2 第 1 题 .【知识网络】解直角三角形的目的、条件、依据、方法，提升综合运用知识的能力 .活动提纲挈领，重点突出. 四：课堂总结反思【教学反思】① [授课流程反思]在创设情境中，由一个实际问题引入，自然过渡到直角三角形．在探究新知中，采用启发法、讨论法等教学方法，学生通过讨论、实践形成理论体系，对知识反思教学过程和教师表现，掌握较为牢固 .② [讲授效果反思]进一步提升操作流程和自身解直角三角形是重点，而选择恰当的边角关系则是难点，为了突破此难点，本节课选择了两个例题让学生素质 .探究、讨论、总结出选择边角关系的策略：涉“斜”选“弦”，无“斜”选“切” ，避“除”就“乘”，能“正”不“余”. 因为有这些例题的引导，所以学生对于解直角三角形的两个类型的掌握，应该没有问题，建议把补充练习也安排给成绩中等及以上的学生.③ [师生互动反思]_____________________________________________ _____________________________________________ ④ [习题反思 ]好题题号错题题号。
人教版九年级数学下册28.2解直角三角形优秀教学案例
3.强调解直角三角形在现实生活中的应用，激发学生对数学学科的兴趣和认同感。
（五）作业小结
1.布置相关的作业，让学生巩固所学知识，提高他们的解题技能。
2.要求学生在作业中运用所学的解直角三角形的方法，解决实际问题。
3.对学生的作业进行及时批改和反馈，指导他们改进学习方法，提高学习效果。
在教学过程中，我将注重关注每一个学生的学习情况，关注他们的情感需求，尊重他们的个性差异。通过耐心引导、激励评价，让学生感受到数学学习的乐趣，增强他们的学习动力。同时，我还将在教学中融入社会主义核心价值观的教育，培养学生的道德品质和社会责任感。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过展示房屋平面图并询问学生如何计算墙角的斜边长度，将生活实际问题引入课堂，激发学生的学习兴趣，增强学生对知识的渴望，让学生认识到数学在生活中的重要性。
在教学过程中，我将注重关注每一个学生的学习情况，关注他们的情感需求，尊重他们的个性差异。通过耐心引导、激励评价，让学生感受到数学学习的乐趣，增强他们的学习动力。同时，我还将在教学中融入社会主义核心价值观的教育，培养学生的道德品质和社会责任感。
三、教学策略Байду номын сангаас
（一）情景创设
1.利用生活情境引入新课，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索直角三角形的性质和解法。
1.组织学生进行小组合作、讨论交流，分配任务，让每个学生在小组合作中发挥自己的特长，提高他们的参与度和积极性。
2.引导学生通过观察、思考、讨论等方式，自主发现解直角三角形的方法，提高他们的动手操作能力和思维能力。
3.鼓励学生相互倾听、尊重他人的意见，培养他们的沟通能力和团队协作能力。
人教版数学九年级下册-28.2.1 解直角三角形-教案
28.2.1解直角三角形（第1课时）教学设计一、教材分析本节课内容是新人教版教材九年级下册，第二十八章《锐角三角函数》的第二节《解直角三角形》第一课时，是在学习了勾股定理、锐角三角函数的基础上进行的。
本节课既是前面所学知识的运用，也是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要预备知识。
教材首先从实际生活比萨斜塔入手，创设问题情境，抽象出数学问题，从而引出解直角三角形的概念，归纳解直角三角形的一般方法。
本节课的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法：数学建模和转化化归，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
通过本节课的学习，不仅可以巩固勾股定理和锐角三角函数等相关知识，初步获得解直角三角形的方法和经验，而且还让学生进一步体会数学与实际生活的密切联系。
二、教学目标（一）知识与技能1.理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形；2.运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．（二）过程与方法目标通过探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，了解体会用化归的思想方法将未知问题转化为已知问题去解决，在解决问题的过程中渗透“数学建模”和“转化”思想。
（三）情感、态度和价值观通过学习解直角三角形的应用，认识到数与形相结合的意义和作用，体验到学好知识能应用于社会实践。
并让学生体验到学习是需要付出努力和劳动的。
三、学情分析九年级学生已经牢固掌握了勾股定理，也刚刚学习过锐角三角函数，但锐角三角函数的运用不一定熟练，综合运用所学知识解决问题，将实际问题抽象为数学问题的能力都有待提高，因此要在本节课进行有意识的培养。
四、教学重难点教学重点：正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形教学难点：选择适当的关系式解直角三角形五、教法与学法1、教学方法：利用多媒体辅助教学，通过观察，引导学生思考、讨论，通过归纳、概括等方法启发、诱导，帮助学生理解内容的本质，从而突破教学难点。
2、学习方法：观察、归纳、概括和讨论的学习方法，使他们不仅理解和掌握本节课的内容，而且进一步培养和提高他们各方面的能力，从而逐步由“学会”向“会学”迈进。
28.2解直角三角形应用(一)教学设计
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
在△ABC中，∠C为直角，AC=6， 的平分线AD=4 ，解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例3在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
(三)巩固练习
2解决问题要结合图形。
作业
设计
必做
教科书P92：1、2
选做
练习册
教
学
反
思
态 度
价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
教学重点
直角三角形的解法．
教学难点
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“预习课文、学习袋、学习用具”
课 堂 教 学 程 序 设 计
设计意图
人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形的应用优秀教学案例
在导入新课后，我开始讲授解直角三角形的相关知识。首先，我讲解直角三角形的定义和性质，让学生理解直角三角形的特殊地位。接着，我引入勾股定理，并通过几何图形和实例讲解勾股定理的应用。最后，我讲解如何利用三角函数解决直角三角形的问题。在讲授过程中，我注重与学生的互动，提问和引导学生思考，确保学生能够理解和掌握解直角三角形的知识。
问题导向是本节课的重要教学策略。在教学过程中，教师应提出一系列与解直角三角形相关的问题，引导学生思考和探索。例如，可以提出“如何利用勾股定理计算直角三角形的边长？”“在实际问题中，如何确定直角三角形的各个角度？”等问题。通过问题导向，激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。
（三）小组合作
小组合作是本节课的重要教学组织形式。教师可以将学生分成若干小组，让学生在小组内进行讨论、交流和合作。例如，可以设计一个小组活动，让学生共同解决一个关于直角三角形的实际问题。通过小组合作，培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的实践能力。
五、案例亮点
1.贴近生活实际：本案例以实际问题为背景，让学生在解决问题的过程中自然引入解直角三角形的知识和方法。这种贴近生活实际的教学方式能够激发学生的学习兴趣，使学生感受到数学与生活的紧密联系，从而提高学习的积极性和主动性。
2.问题导向：本案例通过提出一系列与解直角三角形相关的问题，引导学生思考和探索。问题导向的教学策略能够激发学生的思维，培养学生解决问题的能力。在解决问题的过程中，学生能够深入理解和掌握解直角三角形的知识和方法。
在教学过程中，我发现许多学生在学习这一章节时，往往对直角三角形的理解不够深入，无法将理论知识与实际问题相结合。因此，我设计了本节教学案例，以帮助学生更好地理解和应用解直角三角形的知识。
本案例以一个实际问题为切入点，让学生在解决问题的过程中，自然而然地引入解直角三角形的概念和方法。通过案例的引导和学生的积极参与，使学生能够掌握解直角三角形的技巧，提高解决问题的能力。同时，本案例还注重培养学生的合作意识和创新精神，使他们在解决实际问题的过程中，能够灵活运用所学知识，提高自己的综合素质。
九年级数学28.2.1 解直角三角形教案
28.2 解直角三角形及其应用28. 解直角三角形01 教学目标1.掌握解直角三角形的根据.2.能由条件解直角三角形.02 预习反应阅读教材P72～73，自学“探究〞、“例1〞与“例2〞，完成以下内容.(1)在直角三角形中，由直角三角形中的元素，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形.(2)如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，那么除直角外的五个元素之间有如下关系：三边之间的关系a 2＋b 2＝c 2；两锐角之间的关系∠A ＋∠B ＝90°； 边与角之间的关系：sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b.(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 与斜边c ，用关系式 ∠A ＋∠B ＝90° 求出∠B ，用关系式sinA ＝ac 求出a.03 名讲坛类型1 两边，解直角三角形例1 (教材例1变式)根据以下条件解直角三角形：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝32； (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝2 3. 【解答】 (1)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝3，AB ＝32， ∴sinA ＝BC AB ＝22.∴∠A ＝45°.∴∠B ＝90°－∠A ＝45°. ∴AC ＝BC ＝3.(2)在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝23， ∴tanA ＝BCAC ＝3，AB ＝BC 2＋AC 2＝4 3.∴∠A ＝60°. ∴∠B ＝90°－∠A ＝30°.【点拨】【跟踪训练1】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AH ⊥BC ，垂足为点H ，如果AH ＝BC ，那么sin ∠BAC 的值是45.类型2 一边和一锐角，解直角三角形例2 (教材例2变式)在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，∠A ＝45°，解这个直角三角形. 【解答】 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝45°， ∴∠B ＝90°－∠A ＝45°. 又∵sinA ＝BCAB，∠A ＝45°，AB ＝10，∴BC ＝5 2.∴AC ＝BC ＝5 2.例3 (教材例2变式)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，∠A ＝30°，解这个直角三角形. 【解答】 ∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠B ＝90°－30°＝60°. ∵cosA ＝AC AB ，∴AB ＝AC cosA ＝1032＝2033. 又∵tanA ＝BCAC，∴BC ＝AC·tanA ＝10×tan30°＝10×33＝1033.【跟踪训练2】 如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，cosC ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是14a 2.04 稳固训练1.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tanA ＝12，则BC 的长是(A)A.2B.8C.2 5D.4 52.如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿着与AB 垂直的方向走了m 米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 等于(B)A.m·sin α米B.m·tan α米C.m·cos α米D.mtan α米3.如图，在Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝3，cos B ＝45，则AC ＝154.4.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，cosA ＝35，BE ＝4，则DE 的值是8.5.如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，求AB 的长.解：过点C 作CD ⊥AB ，在Rt △ACD 中，CD ＝AC·sin ∠CAD ＝8×12＝4，AD ＝AC·cos ∠CAD ＝8×cos 30°＝8×32＝4 3. 在Rt △BDC 中，DB ＝CD·tan ∠BCD ＝4×1＝4， ∴AB ＝BD ＋DA ＝43＋4.05 课堂小结本节学习的数学知识：解直角三角形.。
部编人教版数学九年级下册《解直角三角形》省优质课一等奖教案
28.2解直角三角形28.2.1解直角三角形教学目标【知识与技能】1.掌握解直角三角形的概念;2.理解直角三角形中边与边的关系,角与角的关系和边与角的关系,能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数解直角三角形.【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】在解直角三角形的过程中,渗透转化和数形结合的数学思想,促进数学思维的发展.教学重难点【教学重点】解直角三角形的一般方法.【教学难点】选择适当的关系式解直角三角形.教学过程:一、情境导入你现在可以解决本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题吗?1972年的情形:如图,设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为C.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2 m,AB=54.5 m,因此sin A=≈0.0954,利用计算器可得∠A≈5°28'.类似地,可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角.你能求出来吗?二、合作探究探究点1已知两边解直角三角形典例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解这个三角形.[解析]∵tan A=,∴∠A=60°,∴∠B=90°-∠A=30°,AB=2AC=2.如图,CD是Rt△ABC斜边上的高,BC=2,CD=2,求AB,AC,∠A,∠B.(精确到1')[解析]在Rt△BCD中,∵BD==2,∴sin B=,cos B=.用计算器求得∠B≈54°44',于是∠A=90°-∠B=35°16'.在Rt△ABC中,AB==2=6,AC=AB·sin B=6×=2.探究点2已知一边一角解直角三角形典例2如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形.(结果保留小数点后一位)[解析]∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.∵tan B=,∴a=≈28.6.∵sin B=,∴c=≈34.9.如图,等腰△ABC中,AB=BC,AE⊥BC于点E,EF⊥AB于点F,若CE=2,cos ∠AEF=,求BE的长.[解析]∵AE⊥BC于点E,EF⊥AB于点F,∴∠AEB=∠AFE=90°.∴∠B+∠BAE=∠BAE+∠AEF=90°.∴∠B=∠AEF.∵cos ∠AEF=,∴cos ∠B=.∵cos ∠B=,AB=BC,CE=2,∴设BE=4a,则AB=5a,CE=a.∴a=2,∴BE=8.三、板书设计解直角三角形1.解直角三角形一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. 2.解直角三角形的分类(1)已知两边解直角三角形;(2)已知一边一角解直角三角形.教学反思本节课首先从比萨斜塔的倾斜程度这个实际问题入手,给学生创设问题情境,抽象出数学问题,从而引出解直角三角形的概念.接着引导学生全面梳理直角三角形中边角之间的关系,归纳出解直角三角形的一般方法,并以例题的形式对如何解直角三角形进行示范.第二课时应用举例教学目标、【知识与技能】能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题.【过程与方法】在运用解直角三角形等知识解决实际问题的过程中,体会“数学建模”和“数形结合”的思想.【情感、态度与价值观】利用解直角三角形知识解决实际问题的过程中,渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生用数学的意识.教学重难点【教学重点】将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系来解决.【教学难点】将实际问题转化成数学模型.教学过程：一、情境导入如图,海中有一个小岛A,它周围8 n mile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点B处测得小岛A位于北偏东60°方向上,航行12 n mile到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?二、合作探究探究点1解直角三角形中的仰角、俯角问题典例1热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120 m,这栋楼有多高(结果取整数)?[解析]由题意可知,α=30°,β=60°,AD=120.∵tan α=,tan β=,∴BD=AD·tan α=120×tan 30°=120×=40,CD=AD·tan β=120×tan60°=120×=120.∴BC=BD+CD=40+120=160≈277(m).因此,这栋楼高约277 m.如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60°.那么该塔有多高(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m)?[解析]在Rt△ADC中,tan 30°=,即AC=;在Rt△BDC中,tan 60°=,即BC=.又∵AB=AC-BC=50 m,得=50.解得CD≈43(m),即塔CD的高度约为43 m.探究点2解直角三角形中的方位角问题典例2如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80 n mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时,B处距离灯塔有多远(结果取整数)?[解析]在Rt△APC中,PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos 25°≈72.505.在Rt△BPC中,∵sin B=,∴PB=≈130.答:当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时,它距离灯塔P大约130 n mile.数学课外实践活动中,小林在南滨河路上的A,B两点处,利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量.如图,测得∠DAC=45°,∠DBC=65°.若AB=132米,求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)[解析]过点D作DE⊥AC,垂足为E,设BE=x,在Rt△DEB中,tan ∠DBE=,∵∠DBC=65°,∴DE=x tan 65°.又∵∠DAC=45°,∴AE=DE.∴132+x=x tan 65°,解得x≈115.8,∴DE≈248(米).即观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米.三、板书设计应用举例1.有关角的概念(1)仰角、俯角的概念;(2)方位角的概念.2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:(1)将实际问题抽象为数学问题;(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;(3)获得数学问题的答案;(4)检验答案是否符合实际问题.教学反思通过本节课的学习,一方面,可以让学生看到解直角三角形知识在解决实际问题中所起的作用;另一方面,通过解决实际问题的过程,让学生学以致用,学会将所学知识运用到实际生活中去,使学生进一步体会数学建模思想和数学建模过程,培养应用意识,发展学生的思维能力,以及分析问题、解决问题的能力.。
28.2.1解直角三角形(教案)
今天我们在课堂上学习了“解直角三角形”这一章节，回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
首先，关于导入新课的部分，我发现通过提出与生活相关的问题，学生的兴趣和好奇心确实被激发出来了。他们能够主动参与到课堂讨论中，这为后续的学习奠定了良好的基础。在以后的教学中，我还需要多关注学生的生活经验，将更多实际案例融入教学，以提高他们的学习积极性。
-理解并熟练运用正弦、余弦、正切函数解直角三角形。
-能够将解直角三角形的方法应用于解决实际问题。
具体细节：
-识别直角三角形，并记忆直角三角形的三个内角和为180°，其中一个角为90°。
-掌握正弦、余弦、正切函数的定义，例如sinA =对边/斜边，cosA =邻边/斜边，tanA =对边/邻边。
-通过具体例题，如给定一直角三角形的一条直角边和斜边，求解另一条直角边或角度。
-应用直角三角形的性质和三角函数解决实际问题，如测量距离、高度等。
2.教学难点
-理解和记忆特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值。
-在实际问题中识别和应用直角三角形的解法。
-理解并运用三角函数的殊角的三角函数值，如sin30°=1/2，cos60°=1/2，sin60°=√3/2，cos30°=√3/2，tan45°=1。
-掌握30°、45°、60°特殊角的三角函数值；
-运用三角函数求解直角三角形中未知角度；
-通过实际案例分析，培养学生的实际应用能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过解直角三角形的探究过程，引导学生运用已知的三角函数知识进行逻辑推理，提高学生分析问题和解决问题的能力。
28.2.1解直角三角形（教案）
人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形(1)》教学设计
人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册28.2《解直角三角形》是本节课的主要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初中的重要知识，也是高考的重点内容。
解直角三角形在实际生活中有广泛的应用，如测量高度、距离等。
本节课的内容包括了解直角三角形的边角关系，利用锐角三角函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了锐角三角函数的知识，对解直角三角形有一定的认知基础。
但是，解直角三角形的实际应用能力还需加强。
学生在学习本节课的内容时，需要将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解直角三角形的边角关系，掌握解直角三角形的方法。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题。
3.培养学生的动手操作能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形的边角关系，解直角三角形的方法。
2.教学难点：如何将实际问题转化为解直角三角形的问题，运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索直角三角形的边角关系。
2.利用多媒体演示，帮助学生直观理解解直角三角形的过程。
3.运用实例分析法，让学生动手操作，提高解决问题的能力。
4.采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体课件2.直角三角形模型3.实际问题案例七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示直角三角形的图片，引导学生思考直角三角形的特征。
提问：直角三角形有哪些特殊的性质？让学生回顾已学的锐角三角函数知识。
2.呈现（10分钟）讲解直角三角形的边角关系，引导学生理解解直角三角形的意义。
通过多媒体演示，让学生直观地感受解直角三角形的过程。
3.操练（10分钟）给出实际问题案例，让学生动手操作，尝试运用锐角三角函数解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结解直角三角形的步骤和方法。
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板 书 设 计
锐角的情况，教师组织学生独立完成，之后比较各种方法中哪些
较好，选一种板演．
并引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形”.
注意：计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
3. 在ABC ∆中，C ∠为直角，6AC =，BAC ∠的平分线43AD =，解此直角三角形. 分析：如图,利用勾股定理可以求出CD 的长，过点D 作AB 边的垂线，解RT △ACD 、RT △ADE 、
RT △BDE 即可求出RT △ABC 的边AB 、 BC 的长， ∠CAB 、∠ABC 的度数.
4.如图，在△ABC 中，AB ＝5，A C ＝7，∠B ＝60°．求BC 的长．
分析：作BC 边上的高AD ，构造直角三角形，分别求出BD 、CD 的长即可.
三、课堂训练 1.教材87页练习
2补充： 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，b=17, ∠B=450,求a, c 与∠A 四、课堂小结
1.在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．
2. 解决问题要结合图形。
3.解直角三角形的几种情况：
五、作业设计
教材82页习题28．1第3题；
补充1.在Rt △ABC 中，根据下列条件解直角三角形： （1）c=20 ∠A=450
（2） a=36 ∠B=300
（3）a=19 c=219 （4） a=66,
26=b
2.在Rt △ABC 中，∠C=900
，cosA=2
3，∠B 的平分线BD=16，求
AB.
善，教师板书规范的解题过程.
教师组织学生进行练习，学生独立完成，，选学生板书，之后师生评议，达成一致
教师组织学生回顾一节课的学习体会，进行自我总结，梳理知识，归纳方法，教师点评并补充、完善
问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想.
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须
使学生熟练掌握．为此，配备
了练习针对各种
条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
进行系统汇总，总结方法，形成
技能，提高学生
的学习效率
28.2 解直角三角形
解直角三角形定义 例题分析 练习 解直角三角形的两种情况
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