高中三类基本不等式的解法
不等式的性质及解法
不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。
在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。
这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。
2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。
对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。
3. 乘除性：如果 a<b 并且 c>0，则有 ac<bc；如果 a<b 并且 c<0，则有ac>bc。
这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。
4. 对称性：如果a<b，则有b>a。
不等式两边的大小关系可以互换。
二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。
例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。
同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。
例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。
4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。
例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。
常见不等式的解法--高考数学【解析版】
专题04 常见不等式的解法所谓常见不等式是指，一元二次不等式、含绝对值不等式、指数对数不等式、函数不等式等，高考中独立考查的同时，更多地是在对其他知识的考查中，作为工具进行考查.正是解不等式的这一基础地位，要求务必做到求解快捷、准确．【重点知识回眸】（一）常见不等式的代数解法1、一元二次不等式：()200ax bx c a ++>≠可考虑将左边视为一个二次函数()2f x ax bx c =++，作出图象，再找出x 轴上方的部分即可——关键点：图象与x 轴的交点2、高次不等式（1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于x 的表达式为()f x ，不等式为()0f x >）①求出()0f x =的根12,,x x ② 在数轴上依次标出根③ 从数轴的右上方开始，从右向左画.如同穿针引线穿过每一个根④ 观察图象，()0f x >⇒ 寻找x 轴上方的部分()0f x <⇒ 寻找x 轴下方的部分（2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项为零时是否符合不等式3、分式不等式（1）将分母含有x 的表达式称为分式，即为()()f xg x 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即()0g x ≠（3）对形如()()0f x g x >的不等式，可根据符号特征得到只需()(),f x g x 同号即可，所以将分式不等式转化为()()()00f xg x g x ⋅>⎧⎪⎨≠⎪⎩ （化商为积），进而转化为整式不等式求解4、含有绝对值的不等式（1）绝对值的属性：非负性（2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论（常用）；二是通过平方（3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解：① ()()f x g x >的解集与()()f x g x >或()()f x g x <-的解集相同② ()()f x g x <的解集与()()()g x f x g x -<<的解集相同（4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理5、指数、对数不等式的解法：（1）利用函数的单调性：1a >时，x y > log log (,0)x ya a a a x y x y ⇔>⇔>>01a <<时，x y > log log (,0)x y a a a a x y x y ⇔<⇔<>（2）对于对数的两点补充：① 对数能够成立，要求真数大于0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于0这个条件，如当1a >时，()()()()()()0log log 0a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇒>⎨⎪>⎩② 如何将常数转化为某个底的对数.可活用“1”：因为1log a a =，可作为转换的桥梁6、利用换元法解不等式利用换元法解不等式的步骤通常为：①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式③解出新元的范围④在根据新元的范围解x 的范围（二）构造函数解不等式1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）2、假设()f x 在[],a b 上连续且单调递增，()()00,,0x a b f x ∃∈=，则()0,x a x ∈时，()0f x <;()0,x x b ∈时，()0f x > (单调性与零点配合可确定零点左右点的函数值的符号）3、导数运算法则：（1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+ （2）()()()()()()()'''2f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4、构造函数解不等式的技巧：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）此类问题处理的核心要素是单调性与零点，对称性与图象只是辅助手段.所以如果能够确定构造函数的单调性，猜出函数的零点.那么问题便易于解决了.（三）利用函数性质与图象解不等式：1、轴对称与单调性：此类问题的实质就是自变量与轴距离大小与其函数值大小的等价关系.通常可作草图帮助观察.例如：()f x 的对称轴为1x =，且在()1,+∞但增.则可以作出草图（不比关心单调增的情况是否符合()f x ，不会影响结论），得到：距离1x =越近，点的函数值越小.从而得到函数值与自变量的等价关系2、图象与不等式：如果所解不等式不便于用传统方法解决，通常的处理手段有两种，一类是如前文所说可构造一个函数，利用单调性与零点解不等式；另一类就是将不等式变形为两个函数的大小关系如()()f x g x <，其中()(),f x g x 的图象均可作出.再由()()f x g x <可知()f x 的图象在()g x 图象的下方.按图象找到符合条件的范围即可.【典型考题解析】热点一 简单不等式的解法【典例1】（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【答案】B【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.【典例2】（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【典例3】（2017·上海·高考真题）不等式11x x ->的解集为________【答案】(,0)-∞【解析】【详解】由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞. 【典例4】（2020·江苏·高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】【分析】根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果【详解】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x << 所以解集为：2(2,)3- 【典例5】解下列高次不等式：（1）()()()1230x x x --->（2）()()()21230x x x +--< 【答案】（1）()()1,23,+∞；（2）()()1,22,3-. 【解析】（1）解：()()()()123f x x x x =---则()0f x =的根1231,2,3x x x ===作图可得：12x << 或3x >∴不等式的解集为()()1,23,+∞（2）思路：可知()220x -≥，所以只要2x ≠，则()22x -恒正，所以考虑先将恒正恒负的因式去掉，只需解()()13020x x x +-<⎧⎨-≠⎩ ，可得13x -<<且2x ≠∴不等式的解集为()()1,22,3-【名师点睛】在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可.穿根法的原理：它的实质是利用图象帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图象中的数轴分为上下两个部分，上面为()0f x > 的部分，下方为()0f x <的部分.以例2（1）为例，当3x >时，每一个因式均大于0，从而整个()f x 的符号为正，即在数轴的上方（这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时()f x 的符号一定为正），当经过3x = 时，()3x -由正变负，而其余的式子符号未变，所以()f x 的符号发生一次改变，在图象上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时，()f x 的符号再次发生改变，曲线也就跑到x 轴上方来了.所以图象的“穿根引线”的实质是()f x 在经历每一个根时，式子符号的交替变化.【规律方法】1.含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法2.零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些细节部分均要做好，才能保证答案的正确性.3.引入函数，通过画出分段函数的图象，观察可得不等式的解.热点二 含参数不等式问题【典例6】（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（ ）A ．1,3a b ≤≥B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D ．1,3a b ≥≤ 【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a ≤≤-≤，故选：D ．【典例7】（2020·浙江·高考真题）已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x–b )(x–2a–b )≥0，则（ ）A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >0【答案】C【解析】【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <，即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <.综上一定有0b <.故选：C【典例8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x 的不等式()222R ax x ax a ≥-∈-．【答案】详见解析.【解析】【分析】分类讨论a ，求不等式的解集即可.【详解】原不等式变形为()2220ax a x +--≥．①当0a =时，1x ≤-；②当0a ≠时，不等式即为()()210ax x -+≥，当0a >时，x 2a≥或1x ≤-； 由于()221a a a+--=，于是 当20a -<<时，21x a≤≤-； 当2a =-时，1x =-；当2a <-时，21x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为(,1]-∞-；当0a >时，不等式的解集为2(,1][,)a-∞-⋃+∞； 当20a -<<时，不等式的解集为2,1a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；当2a =-时，不等式的解集为{}1-；当2a <-时，不等式的解集为21,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【总结提升】关于含参数不等式，其基本处理方法就是“分类讨论”，讨论过程中应注意“不重不漏”.关于含参数的一元二次不等式问题：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论．(3)含参数分类讨论问题最后要写综述．热点三 函数不等式问题【典例9】（2018·全国·高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】【分析】 分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果. 详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .【典例10】（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【详解】因为()21x f x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【典例11】（天津·高考真题（理））设函数f (x )=()212log ,0log ,0x xx x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解.【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a>，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >.故选：C【典例12】（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【典例13】（2023·全国·高三专题练习）设函数()f x '是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，f （﹣1）＝0，当x ＞0时，()()0xf x f x '->，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）B ．（0，1）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D ．（﹣1，0）∪（1，+∞）【答案】D【解析】【分析】构造函数()()f x g x x =，求导结合题意可得()()f x g x x =的单调性与奇偶性，结合()10g -=求解即可 【详解】由题意设()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x '-'= ∵当x ＞0时，有()()0xf x f x '->，∴当x ＞0时，()0g x '>，∴函数()()f x g x x=在（0，+∞）上为增函数， ∵函数f （x ）是奇函数，∴g （﹣x ）＝g （x ），∴函数g （x ）为定义域上的偶函数，g （x ）在（﹣∞，0）上递减，由f （﹣1）＝0得，g （﹣1）＝0，∵不等式f （x ）＞0⇔x •g （x ）＞0，∴()()01x g x g >⎧⎨>⎩或()()01x g x g <⎧⎨<-⎩， 即有x ＞1或﹣1＜x ＜0，∴使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：D ．【总结提升】关于函数不等式问题，处理方法往往从以下几方面考虑：（1）利用函数的奇偶性、单调性.（2）借助于函数的图象（数形结合法）.（3）涉及抽象函数、导数问题，利用构造辅助函数法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2．（2021·湖南·高考真题）不等式|21|3x -<的解集是（ ）A ．{}2x x <B ．{}1x x >-C ．{}12x x -<<D ．{1x x <-或}2x >【答案】C【解析】【分析】根据绝对值的几何意义去绝对值即可求解.【详解】由|21|3x -<可得：3213x -<-<，解得：12x -<<， 所以原不等式的解集为：{}12x x -<<，故选：C.3．（2021·广东·潮阳一中明光学校高三阶段练习）设集合{}11A x x =-≤≤，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A ．{}11x x -<≤B ．{}11x x -<<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x <<【答案】C【解析】【分析】根据对数函数定义域以及对数函数不等式求解集合B ，再进行交集运算即可.【详解】 由题意得，{}{}2log 102B x x x x =<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<≤，故选：C.4．（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知集合{}230A x x x =-<，{}|33x B x =≥，则A B =（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．(2 D ．()1,3【答案】B【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】 集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{}1332x B x x x ⎧⎫==≥⎨⎬⎩⎭， 则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.5.（天津·高考真题（理））设x ∈R ，则“21x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求绝对值不等式、一元二次不等式的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系.【详解】 由21x -<，可得13x <<，即x ∈(1,3)；由22(1)(2)0x x x x +-=-+>，可得2x <-或1x >，即x ∈(,2)(1,)-∞-+∞；∴(1,3)是(,2)(1,)-∞-+∞的真子集，故“21x -<”是“220x x +->”的充分而不必要条件.故选：A6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为（ ）A ．4B ．3C ．9D ．94【答案】C【解析】【分析】根据函数的值域求出a 与b 的关系，然后根据不等式的解集可得()f x c =的两个根为,6m m +，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可.【详解】∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即Δ＝a 2﹣4b ＝0则b 24a =， 不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax 24a +＜c 解集为（m ，m +6）， 则x 2+ax 24a +-c ＝0的两个根为m ，m +6 ∴|m +6﹣m |22444a a c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6 解得c ＝9故选：C ．7．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()22x f x =-，则不等式()0f x >的解集是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数求出当0x <时，函数()f x 的函数解析式，再分0x <和0x >两种情况讨论，结合指数函数的单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =当0x <时，则0x ->，则()()22x f x f x --=-=-，所以当0x <时，()22x f x -=-+，则()0220x x f x >⎧⎨=->⎩，解得1x >，()0220x x f x -<⎧⎨=-+>⎩，解得10x -<<，所以不等式()0f x >的解集是()()1,01,-⋃+∞.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，当0x <时()33f x x =-+函数单调递减，且()3033f x >-⨯+=，当0x ≥时()e 1x f x -=+函数单调递减，且()00e 123f =+=<，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减，所以不等式()(31)<-f a f a 等价于31a a >-，解得12a <． 即不等式的解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 故选：C9．（2020·海南·高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得： 0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.10．（2023·全国·高三专题练习）定义在(0)+∞，上的函数()f x 满足()()110,2ln 2xf x f '+=＞，则不等式)(e 0x f x +> 的解集为（ ） A ．(02ln2)，B ．(0,ln2)C ．(ln21)，D ．(ln2)+∞， 【答案】D【解析】【分析】构造新函数()()ln ,(0)g x f x x x =+>，利用导数说明其单调性，将)(e 0x f x +>变形为)>(e (2)x g g ，利用函数的单调性即可求解.【详解】令()()ln ,(0)g x f x x x =+> ， 则()11()()xf x g x f x x x'+''=+=，由于()10xf x '+＞, 故()0g x '>,故()g x 在(0)+∞，单调递增， 而1(2)(2)ln2ln ln 202g f =+=+= ， 由)(e 0x f x +>，得)>(e (2)x g g ，∴e 2x > ，即ln2x > ,∴不等式)(e 0x f x +>的解集为(ln2)+∞，, 故选：D ．二、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）不等式组230,340.x x x ->⎧⎨-->⎩的解集为_________. 【答案】()4,+∞【解析】【分析】解一元二次不等式取交集即可.【详解】原不等式组化简为3034(4)(1)041x x x x x x x ->>⎧⎧⇒⇒>⎨⎨-+>><-⎩⎩或 故答案为：()4,+∞.12．（2019·浙江·高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a =【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤， 由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.13．（2023·全国·高三专题练习）若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．【答案】(1，2]【解析】【分析】先利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性解不等式.【详解】解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴()1f x x'=＋e x －cos x . ∵x >0，∴e x >1，∴()f x '>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，则原不等式的解集为(1，2]．故答案为：(1，2]三、双空题14．（2019·北京·高考真题（理））李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 130. 15.【解析】【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y y x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）111()12x x x x -≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则()()2f f ＝__，不等式()()32f x f -<的解集为__．【答案】12## 0.5 {x |x 72＜或x ＞5} 【解析】【分析】第一空先求出()2f 的值，再求()()2f f 的值；第二空将3x -分为大于1或小于等于1两种情况讨论，分别解出不等式，写出解集即可.【详解】解：f （2）211122-⎛⎫== ⎪⎝⎭，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()122f f =， 当x ﹣3＞1时，即x ＞4时，311122x --⎛⎫ ⎪⎝⎭＜，解得x ＞5， 当x ﹣3≤1时，即x ≤4时，x ﹣312＜，解得x 72＜， 综上所述不等式f （x ﹣3）＜f （2）的解集为752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 故答案为：12，752x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或． 四、解答题16．（2020·山东·高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3；（2）35a -<<.【解析】【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入计算即可；（2）先判断1a -的取值范围，再代入分段函数解析式，得到()13f a -<的具体不等式写法，解不等式即可.【详解】解：（1）因为10>，所以()12153f =⨯-=-，因为30-<，所以()()()()2133233f f f =-=-+⨯⎤⎦-⎣=⎡.（2）因为10a -≥， 则()1215f a a -=--， 因为()13f a -<，所以2153a --<， 即14a -<，解得35a -<<.17．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围.【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和，则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6， 当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥， 所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法当1a =时，()|1||3|f x x x =-++．当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-；当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解；当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥．综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞．（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-. 所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. [方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一.[方法三]：分类讨论+分段函数法当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解．当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-． 综上，a 的取值范围为32a >-． [方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ， 由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.18.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()2f x x ax =++，R a ∈．(1)若不等式()0f x 的解集为[1，2]，求不等式2()1f x x -的解集；(2)若对于任意的[1x ∈-，1]，不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，求实数a 的取值范围；(3)已知2()(2)1g x ax a x =+++，若方程()()f x g x =在1(,3]2有解，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(-∞，1][12，)∞+ (2)13a ≤ (3)[0，1）．【解析】【分析】（1）根据不等式的解集转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系求出a ，然后解一元二次不等式即可；（2）问题转化为222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（3）利用参数分离法进行转化求解即可．（1）解：若不等式()0f x 的解集为[1，2]，即1，2是方程220x ax ++=的两个根，则123a +=-=，即3a =-，则2()32f x x x =-+，由2()1f x x -得，22321x x x -+-即22310x x -+得(21)(1)0x x --，得1x 或12x ，即不等式的解集为(-∞，1][12，)∞+． （2）解:不等式()2(1)4f x a x -+恒成立，即222x a x --在[1x ∈-，1]恒成立，令22()2x h x x -=-，[1x ∈-，1]，则2242()(2)x x h x x -+'=-，令()0h x '=，解得：22x =，故()h x 在[1-，22)递增，在(221]递减，故()min h x h =（1）或1()h -，而h （1）1=，1(1)3h -=，故13a ． （3）解：由()()f x g x =得22(2)12ax a x x ax +++=++，2(1)210a x x ∴-+-=，即2(1)12a x x -=-，若方程()()f x g x =在1(2，3]有解，等价为2212121x a x x x --==-有解，设22121()(1)1h x x x x =-=--，1(2x ∈，3]，∴11[3x ∈，2)，即1()0h x -<，即110a --<，则01a <，即实数a 的取值范围是[0，1)．。
高中数学常见的10类基本不等式问题汇总
2，
2x y 2x 2y
2x y 2x 2y
2x y 2x 2y
x0 亦即 y 3 时取等号。此时可得
2
4 x 3 y min
9
。
2
问题 3：方程中的基本不等式 解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。 例题 5：（ 2015·湖南高考）若实数 a， b 满足 1＋ 2＝ ab，则 ab 的最小值为 __________．
2
4x 3y
1
4
2x y 2x 2y
2x y 2x 2y
，化简后可得：
2
4x 3y
2x 2y 2x y
4 2x y 2x 2y
2
41 2x 2y
，很明显
2x y
4 2x y
中二者积为定值，根据积定和最
2x 2y
小法则可得 2x 2 y 4 2x y
2x 2 y 4 2x y 2
2x 2 y 4 2x y 4 ，当且仅当
1
。
5
5
解法 2： 将 x2
x
化简可得
3x 1
x2
x 3x 1
x
1 1
x 3
0 ，令 f x
x
x 1 x 0 ，这是一个对 x
勾函数，故而可得 f x
1 x
f1
2 。故而分母 x 1 3 f x
3 5 ，代入分式函数取倒数
x
x
可得 0
1
1
x135
x
问题 2： “1”的代换
x x2 1 3 x max
ab
解析： 由题意可知可以利用基本不等式，根据基本不等式可得：
1 2 12 22
高中数学基本不等式的解法十例
解 析 ： 由 三 点 共 线 可 得 a b 1 ， 观 察 形 式 采 用 “1” 的 代 换 ， 故 而
1
1
1 a
1 b
a
b
2
b
a
，等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法则可
ab
1
ab
得 ： b a 2 ba 2 ， 当 且 仅当 b aab1 时 取 等号 。故 而 可 得
a b ab
2x 2y
42x
y
2
2x 2y 42x y 4 ， 当 且 仅 当
2x y 2x 2y
2x y 2x 2y
2x 2y 2x y
42x y
2x 2y
2 ，亦即
x
y
0 3 2
时取等号。此时可得 4 x
3y min
9 2
。
问题 3：方程中的基本不等式
解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。
3
2
3 a
2 b
2a
3b
12
9b a
4a b
，观察分子可得分子积为定值，根据积定和
ab
6
6
最小法则可得： 9b 4a 2
ab
9b a
4a b
12
，当且仅当
9b a
4a b
a b
3 2
1
时取等号，故
而可得
3
2
12
9b a
4a b
4
。
ab
6
（不等式与解三角形）例题 7： .
中，角
的对边分别为
a
2
b
2
ab
可
得
高中数学不等式的解题方法与技巧
高中数学不等式的解题方法与技巧
高中数学不等式的解题方法与技巧有以下几点：
1. 确定不等式的范围：首先要确定不等式的变量范围，例如确
定变量为正数、自然数等，以便后续的推导和计算。
2. 利用基本不等式：基本不等式是指常见的数学不等式，例如
平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均方根不等式等。
通过运用这些
基本不等式，可以简化和推导复杂的不等式。
3. 分析不等式的性质：通过观察不等式的形式和特点，可以得
出不等式的一些性质。
例如，不等式是否对称、是否单调递增等，这些性质可以为解题提供线索。
4. 使用增减法：对于复杂的不等式，可以通过增减法将不等式
变换成简单的形式。
增减法是指在不等式两边同时加减相同的数，从而改变不等式的形式。
通过多次的增减操作，可以逐步简化不等式的形式。
5. 运用数学归纳法：对于涉及自然数的不等式，可以使用数学
归纳法进行证明。
数学归纳法是通过证明某个命题对于自然数n成立，然后再证明对于n+1也成立，从而得出该命题对于所有自然数成立的结论。
6. 剖析复杂不等式：对于特别复杂的不等式，可以使用分段函数、图像、积分等方法进行剖析。
这些方法可以将不等式转化为求解函数的最值或积分的问题，进而求解不等式。
总之，解决高中数学不等式需要灵活运用各种方法和技巧，通过
观察、推导和计算，找到合适的途径来简化不等式、得出结论。
掌握了这些解题方法与技巧，可以提高解决数学不等式问题的能力。
高中数学：对值不等式的几种常见类型及其简洁解法
含绝对值的不等式的解法关键是去绝对值符号，转化为简单的不等式从而获解。
1、形如
型不等式
此类不等式的简洁解法是等价命题法，即：
①当 a>0 时，
；
或
。
②当 a=0 时，
，无解；
。
③当 a<0 时，
，无解；
例 1、解以下不等式：
（1）
；（2）
。
解：（1）由原不等式可得：
例 3、解不等式
解：原不等式等价于：
或
解得：
。
所以原不等式的解集是
。
4、形如
型不等式
此类不等式的简洁解法是利用等价命题来转化，即：
①
②
或
。
例 4、（1）解不等式 （2）解不等式
； 。
解：（1）原不等式等价于：
即
，解得
。
所以原不等式的解集是
（2）原不等式等价于：
>5
即
>5 或
解得：
或
或 x>2。
所以原不等式的解集是
或
有意义。
，即 x>4 或
。
所以原不等式的解集是
（2）因为左边为非负值，而右边为 0，故不等式无解，即解集为 。
2、形如
型不等式
此类不等式的简洁解法是利用平方法，即：
。
例 2、解不等式
。
解：原不等式等价于： 。
，即
，解得
。所以原不等式的解集
3、形如
型不等式
此类不等式的简洁解法也是等价命题法，即：
。
基本不等式的解法
基本不等式的解法1. 引言基本不等式是初等数学中的重要概念，它在解决实际问题和推导数学定理中起着关键的作用。
本文将详细介绍基本不等式的定义、性质和解法，帮助读者全面理解和掌握基本不等式。
2. 基本不等式的定义基本不等式是指形如a≤b的不等式，其中a和b是实数。
在解决不等式问题时，我们需要找到满足不等式的实数解集。
3. 基本不等式的性质基本不等式具有一些重要的性质，这些性质对于解决不等式问题至关重要。
3.1. 传递性基本不等式具有传递性，即如果a≤b且b≤c，则a≤c。
这个性质可以用于简化不等式的求解过程。
3.2. 加法性基本不等式具有加法性，即如果a≤b，则对于任意实数c，有a+c≤b+c。
这个性质可以用于对不等式两边同时加上或减去同一个数，从而改变不等式的形式。
3.3. 乘法性基本不等式具有乘法性，即如果a≤b且c>0，则ac≤bc。
这个性质可以用于对不等式两边同时乘以一个正数，或对两边同时乘以一个负数并改变不等号的方向。
4. 基本不等式的解法解决基本不等式问题的关键在于找到满足不等式的实数解集。
下面将介绍几种常见的解法。
4.1. 图解法图解法是一种直观的解法，它通过在数轴上画出不等式的解集来求解不等式。
首先，我们需要将不等式化简为标准形式ax+b≤0，其中a和b是实数。
然后，我们可以根据a的正负和b的值来确定解集的位置。
如果a>0，则解集在数轴上的位置在−b/a的右侧；如果a<0，则解集在数轴上的位置在−b/a的左侧。
最后，我们可以根据图像确定解集的具体范围。
4.2. 代入法代入法是一种常用的解法，它通过代入特定的数值来求解不等式。
首先，我们需要将不等式化简为标准形式ax+b≤0，其中a和b是实数。
然后，我们可以选择一些特定的数值代入x，并判断不等式是否成立。
通过尝试不同的数值，我们可以逐步缩小解集的范围，最终找到满足不等式的实数解。
4.3. 分类讨论法分类讨论法是一种常用的解法，它通过将不等式的解集分成几个不同的情况来求解不等式。
高考数学中的不等式相关知识点详解
高考数学中的不等式相关知识点详解数学是高考必考科目之一，而在数学中，不等式是重要的内容。
不等式是数学中的一个分支，是许多数学理论和应用中的核心。
在高考中，不等式占有很高的比重，因此，在高考中，掌握不等式相关知识点是非常重要的。
本文将详细解析高考中的不等式相关知识点。
一、基本不等式在学习不等式的时候，我们首先要了解基本不等式。
基本不等式是比较基本的不等式，是许多不等式的基础。
基本不等式的表达式为：a2+b2≥2ab。
其中，a和b为任意实数。
利用基本不等式可以解决很多的不等式问题。
我们可以通过基本不等式来证明很多与不等式有关的结论。
例如，证明平均值不小于几何平均值，证明勾股定理等等。
二、一元二次不等式及其解法一元二次不等式就是带有二次项的一元不等式，它的一般形式为：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0。
其中，a、b和c为常数，且a≠0。
一元二次不等式的解法有以下方式：1. 求解线性方程组对一元二次不等式的方程左边进行变形得到：ax2+bx+c≥0。
然后再根据二次函数图像上跨过X轴的方法，画出图像并求出x的取值范围。
最后，将图像左侧和右侧的值代入不等式，进而解出不等式的解。
2. 二次函数图像法通过画出二次函数图像，找到函数图像上跨过X轴的点，并根据函数图像上跨过X轴的点，解出不等式的解。
3. 公式法通过求出方程式ax2+bx+c=0的根，即可解出不等式的解。
当a>0时，方程的根为： x1=（-b+√(b2-4ac))/(2a) 和 x2=（-b-√(b2-4ac))/(2a)。
当 a<0时，方程的根为： (-b+√(b2-4ac))/(2a)<x<(-b-√(b2-4ac))/(2a)。
三、二元不等式二元不等式是指包含两个变量的不等式式子，它的一般形式为：f(x,y)≥0或f(x,y)≤0。
其中，x和y是变量，称为未知数，f(x,y)是由x和y组成的表达式。
二元不等式的解法有以下方式：1.用集合表示法通过用集合表示法定义不等式的解集，可以清晰地看到不等式的解集。
三类常见不等式问题的解法
解题宝典不等式知识贯穿于高中数学的各个章节，其题型多变，且综合性较强.常见的不等式问题主要有求不等式的解集、比较两式的大小、证明不等式恒成立等.本文重点探讨这三类常见的不等式问题及其解法.一、求不等式的解集求不等式的解集是一类基础题，主要考查不等式的解法.对于一次不等式，可直接根据系数的正负来确定不等式的解集；求二次不等式的解集，需借助方程的判别式和求根公式来；对于三次或三次以上的不等式，需先将不等式中的因式分解为几个式子的乘积的形式，然后运用“穿针引线法”来求得不等式的解集.例1.解关于x 的不等式2ax -a 2>1-x ()a >0.解：由题意可得，原不等式等价于ìíîïï2ax -a 2>0,1-x ≥0,2ax -a 2>()1-x 2,①，或{2x -a 2≥0,1-x <0,②由①可得ìíîïïïïx >a 2,x ≤1,x 2-2()a +1x +a 2+1<0,由②可得ìíîïïx ≥a 2，x >1，∵Δ=4()a +12-4()a 2+1=8a >0，∴x 2-2()a +1x +a 2+1<0解集为a +1-2a ＜x＜a +1+2a ；（1）当0＜a ≤2时，a2≤a +1-2a ≤1,a +1+2a >1，不等式组①的解集为a +1-2a <x ≤1，不等式组②的解集为x >1，（2）当a >2，不等式组①无解，不等式组②的解集为x ≥a 2.在求二次不等式的解集时，我们首先要将不等式进行变形，使不等式的右边为0，然后根据方程的判别式判断不等式左边式子所对应的方程是否有根.若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根，再根据求根公式求出方程的两根，得到不等式的解集；若Δ=0，便可根据函数的图象得到不等式的解集.二、比较两式的大小比较两式的大小一般采用作商比较法或者作差比较法.在解题时，要先将两式作差或者作商，再将差值与0进行比较，即ìíîïïa -b >0⇔a >b ,a -b =0⇔a =b ,a -b <0⇔a <b ,将商值与1进行比较，即ìíîïïïïïïïïa b >1⇔a >b ,ab =1⇔a =b ,a b<1⇔a <b ,.例2.已知a >2，b >2，比较a +b 与ab 的大小关系.解：a +b ab =1b +1a，∵a >2，b >2，∴1a <12，1b <12，∴a +b ab =1b +1a<1，∴a +b <ab .在用作商比较法比较两式的大小时，要注意两式的符号，一般只有在两式同号时才能进行比较.三、不等式恒成立问题解答不等式恒成立问题的关键是，将不等式转化为函数最值问题来求解.首先，要将不等式进行变形，以便构造出合适的函数模型，然后求出函数的最值，建立使不等式恒成立的新关系式，从而使问题得解.例3.当x ∈()1,2时，不等式x 2+mx +2>0恒成立，求m 的取值范围.解：当x ∈()1,2时，不等式x 2+mx +2>0恒成立等价于m >-æèöøx +2x 在x ∈()1,2时恒成立，即m >éëêùûú-æèöøx +2x max ，∵x ∈()1,2，∴-æèöøx +2x ≤-22，当且仅当x =2x,即x =2时等号成立，∴m ＞éëêùûú-æèöøx +2x max =-22，即m 的取值范围为()-22,+∞.在变形不等式时，我们有时候需把参数、变量分离，有时需把不等式分离为两个常规的简单函数.求不等式的解集、比较两式的大小、求解不等式恒成立问题都是不等式中常见的题型.当然，不等式题目还有很多种类型，同学们在日常学习中要学会总结各类题型及其解法，这样在面对不同类型的不等式问题时，能快速找到清晰的思路以及正确的解题方法.（作者单位：新疆阿克苏地区第二中学）洋42。
高中常用基本不等式
高中常用基本不等式1. 引言不等式是数学中一种重要的关系，用于描述数值之间的大小关系。
在高中数学中，我们经常会用到一些基本的不等式，这些不等式在解决问题、证明数学命题以及理解数学概念的过程中起着至关重要的作用。
本文将介绍高中常用的基本不等式，包括一些重要的定理和推论，以及一些常见的解法技巧和应用示例。
通过深入学习和理解这些知识，我们将能够更加灵活地运用不等式求解各类问题。
2. 一元二次不等式2.1 不等式的基本性质不等式的基本性质包括保号性、移项性、放缩性和合并性。
下面将对这些性质进行详细介绍。
2.1.1 保号性对于实数集合上的不等式，如果将不等式中的实数替换为另一个实数，而不等式的符号保持不变，则称符号的保持为保号性。
具体而言，保持大于号（>）的不等式称为严格不等式，保持大于等于号（≥）的不等式称为非严格不等式。
例如，对于任意实数a、b，如果a > b，则有a + c > b + c，其中c是任意实数。
同样地，如果a ≥ b，则有a + c ≥ b + c。
2.1.2 移项性不等式的移项性允许我们在不等式两边同时增加或减少一个数，而不改变不等式的符号。
具体而言，对于不等式 a > b，我们可以同时加上一个数c，得到 a + c > b + c。
同样地，对于不等式 a ≥ b，我们可以同时加上一个数c，得到 a + c ≥ b + c。
2.1.3 放缩性不等式的放缩性允许我们在不等式的两边乘以或除以一个正数，而不改变不等式的符号。
具体而言，对于不等式 a > b，如果c是一个正数，则有 ac > bc。
同样地，对于不等式a ≥ b，如果c是一个正数，则有ac ≥ bc。
需要注意的是，如果c是一个负数，则放缩性不成立。
例如对于不等式 a > b，如果c是一个负数，则有 ac < bc，并不成立。
2.1.4 合并性不等式的合并性允许我们将多个不等式合并为一个复合不等式。
高中卷5不等式的解题方法与技巧
高中卷5不等式的解题方法与技巧不等式是数学中重要的概念之一，也是高中数学中常见的题型。
解决不等式问题需要运用一些常见的方法和技巧。
接下来，我将继续介绍不等式的解题方法和技巧。
1.绝对值不等式的解法：当不等式中含有绝对值时，可以先讨论绝对值内外的两种情况，再进行讨论。
例如：，x-a，<b时，可以讨论x-a<b和-x+a<b两种情况。
2.平方不等式的解法：当不等式中含有平方时，可以利用平方的非负性质来解决问题。
若平方项为非负数，则可以将不等式拆分为两个不等式，其中一个不等式是平方项为0的情况。
例如：x^2-4>0，可以拆分为x^2>4和x^2≠0两个不等式，再求解。
3.乘法原理的运用：乘法原理指的是当两个因子相乘为0时，至少有一个因子为0。
在不等式的求解过程中，可以运用乘法原理来判断不等式的解集。
例如：(x-2)(x+3)>0时，可以得到x-2>0和x+3>0两个不等式，再求解。
4.开方不等式的解法：当不等式中含有开方时，需要注意开方的正负性。
如果开方项是正数，那么开方不会影响不等式的方向；如果开方项是负数，那么开方需要改变不等式的方向。
例如：√(x-1)>2时，可以得到x-1>4和x-1<0两个不等式，再求解。
5.引入辅助变量的解法：有时候，我们可以通过引入一个辅助变量来转化原不等式，使得解题更加方便。
例如：求证a(a-1)(a-2)<0，我们可以引入辅助变量x=a-1，原不等式变为x(x+1)(x-1)<0，再求解。
6.不等式的乘方求解法：对于不等式的乘方，可以利用不等式的性质进行推导。
例如：x^3-3x^2>0时，可以将不等式分解为x^2(x-3)>0，再求解。
7.不等式的递减递增性分析法：不等式的递减递增性是指不等式随自变量增大而增大，或随自变量减小而减小的性质。
通过分析不等式的递减递增性，可以得到不等式的解集。
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=， 当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
高中数学不等式的分类、解法
高中数学简单不等式的分类、解法一、知识点回顾1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。
2.一元二次不等式的解法解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系：二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228)4.5.6.a>1时af 0<a<17.8.9.10.（1）3-（23-<（2）213022x x ++>解集为（R ）(变为≤，则得?)（无实根则配方） 三、例题与练习例1已知函数)()1()(b x ax x f +∙-=，若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-，则不等式0)2(<-x f 的解集为),21()23,(+∞--∞解法一：由根与系数关系求出3,1-=-=b a ，得32)(2++-=x x x f ，再得出新不等式，求解解法二：由二次不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-得0)(<x f 解集为),3()1,(+∞--∞ ，再由∈-x 2),3()1,(+∞--∞ 得解集变式1.已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是 的解集是．. 1<0 ) 当0<a<1时，原不等式解集为)1,1(a当a=1时，0)1(2<-x ，原不等式解集为φ 当a>1时，原不等式解集为)1,1(a②.解关于x 的不等式0)1(log 12<--x a a答案：当a>1时，解集为)2log 21,0(a当0<a<1时，解集为)2log 21,(a -∞（总结指数与对数不等式解法）思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.例4：已知函数⎩⎨⎧≤≥+=)0(,1)0(,1)(2x x x x f ，则不等式)2()1(2x f x f >-的解集为分析：考虑解题思路，有两种方向---函数不等式或分段解不等式⎩⎨⎧-<122x x 变式4x f )(=解集为(例5：f e x f =)(分析：x ),0[+∞为1(f -)1,(--∞变式5为f (x )则不等解析 故不等－6<3，解得x ∈(2,3)四、小结1.含参不等式求解要先考虑分类标准，做到不漏不重2.要善于转化，化为不等式组或整式不等式或代数不等式，注意数形结合。
三元基本不等式
基本不等式在求最值中的应用与完善杨亚军函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。
高考应用题几乎都与最值问题有关,而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会.只有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好地去解决实际应用问题。
一、基本不等式的内容及使用要点1、二元基本不等式：①a，b∈R时，a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；②a，b≥0时，a+b≥2 （当且仅当a=b时“=”号成立）。
这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。
若在非负实数范围之内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab≤ ，ab≤ 。
对不等式ab≤ ，还有更一般的表达式：|ab|≤ 。
由数列知识可知，称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。
2.三元基本不等式：当a，b，c>0时，a+b+c≥ ，当且仅当a=b=c时，等号成立，……乃至n元基本不等式；当ai >0（i=1，2，…，n）时，a1+a2+…+an≥。
二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，≥2，a+ ≥2等。
当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a<0时，可得到a+ ≤-2。
基本不等式中的字母a，b可代表多项式。
3.利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。
利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。
利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。
不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法
不等式不等式是高考必考的热点容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式容的考点所占比例超过70%。
一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。
因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。
第一节 基本不等式1.若a,b ∈R,则a 2+b 2≥2ab ，等号成立的条件：a =b ；证明：当a,b ∈R 时，(a −b)2≥0,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。
2.基本不等式的变形（包括2个方面）①若a,b ≥0的实数，则a +b ≥2√ab , 等号成立的条件：a =b ； 若a,b ∈R,ab >0则ba +ab ≥2, 等号成立的条件：a =b ；若x ∈R,x >0则x +1x ≥2, 等号成立的条件：x =1；(上述3个不等式，考虑如何证明？) 注：上述的a,b 不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。
②若a,b ∈R,则a 2+b 2≥(a+b)22≥2ab;等号成立的条件：a =b （注意：不等式的右边是(a +b)2）例题1.已知x,y ∈(0,+∞),且4x +3y =1，求x +y 的最小值及xy 的最小值。
解：x +y =(x +y )(4x +3y )=7+(4yx+3xy)≥7+2√4y x ×3x y=7+4√3，∴x +y 的最小值为：7+4√3； 求(xy)min 有两种方法，其一是配式，1xy=112×4x×3y≤112(4x +3y2)2=148，∴(xy)max =48；另一种方法是，由4x+3y=1→xy =4y +3x ≥2√3x ×4y =4√3√xy ,∵x,y ∈(0,+∞)→√xy ≥4√3，∴(xy)min =48。
例题2. 已知a√1−b 2+b√1−a 2=1,求证：a 2+b 2=1。
高中数学基本不等式的解法十例
高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。
2．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
3．常考不等式：22221122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。
二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路：（1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，()min a b +=。
其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2max 2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,a b R ∈。
例题1：若实数,a b 满足221ab+=，则a b +的最大值是 ．解析：很明显，和为定，当且仅当1a b ==-时取等号。
变式：函数1(0,1)x y aa a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。
解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=，明12m n ==时取等号。
例题2：已知函数()2122xx f x +=+，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得，当且仅当21212x x x +=⇒=-时取等号。
变式：已知2x >-，则12x x ++的最小值为 。
解析：由题意可得()120,212x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：122112x x x x +=⇒+=⇒=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：解法1：故而可得分式的解法2：问题2：“1”的代换例题4：若两个正实数x 、y 满足141x y += ，且不等式234y x m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是 。
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基础不等式的解法及应用
一、一元二次不等式的解法
例1、解下列不等式
2230x x --> 23520x x -+-> 24410x x -+> 2230x x -+->
结论：
二、分式不等式的解法
例2、解下列不等式
3
07x x -<+
20x x +< 42333x x x ->---
（高次不等式）1
x x >
结论：
三、简单的绝对值不等式
例3、解下列不等式
3x ≥
13x -≤
3235x <-<
练习
1、（2010，山东）已知全体U R =，集合{}
240M x x =-≤，则U C M =（ ） A 、{}22x x -<< B 、{}22x x -≤≤ C 、{}22x x x <->或 D 、{}22x x x ≤-≥或
2、（2009，安徽）若集合()(){}2130A x x x =+->，{}
*5B x N x =∈≤，则A B 是（ ） A 、{}1,2,3 B 、{}1,2 C 、{}4,5 D 、{}1,2,3,4,5
3、（2010，全国）已知集合{}2,A x x x R =≤∈，{}
4,B x Z =∈，则A B = （ ） A 、()0,2 B 、[]0,2 C 、{}0,2 D 、{}0,1,2
4、（2009，安徽）若集合{}213A x x =-<，2103x B x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭
，则A B 是（ ） A 、11232x x x ⎧
⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 B 、{}23x x << C 、122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D 、112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩
⎭ 5、（09，陕西）若不等式20x x -≤的解集为M ，函数()()
ln 1f x x =-的定义域为N ，则M N 为（ ） A 、[)0,1 B 、()0,1 C 、[]0,1 D 、(]1,0-
6、已知全集全体U R =，且{}12A x x =->，{}
2680B x x x =-+<，则()U C A B 等于（ ） A 、[)1,4- B 、()2,3 C 、(]2,3 D 、()1,4-
7、设集合{}2230A x x x =--≤，21x B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭
，则R A C B = （ ） A 、{}13x x -<≤ B 、{}13x x -≤≤ C 、{}23x x -<≤ D 、{}21x x -≤≤-
8、函数()f x = ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,1-∞⋃ C 、()1,+∞ D 、()[),01,-∞⋃+∞
9、（2010，天津）设集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}15,B x x x R =<<∈，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ）
A 、{}06a a ≤≤
B 、{}24a a a ≤≥或
C 、{}06a a a ≤≥或
D 、{}24a a ≤≤
10、（08，天津）设集合{}23S x x =->，{}
8T x a x a =<<+，S T R = ，则a 的取值范围是（ ）
A 、31a -<<-
B 、31a -≤≤-
C 、31a a ≤-≥-或
D 、31a a <->-或
11、设集合()(){}340A x x x =+->，集合{}
132B x m x m =-≤≤-，若A B B = ，则实数m 的取值范围为（ ）
A 、{}2m m ≤-
B 、1
22m m ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭ C 、{}2m m ≤ D 、{}2m m ≥
12、已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x -<<，求2
20x bx a ++<的解集。
13、已知一元二次方程20ax bx c ++=的两根是2,3-，且0a >，那么20ax bx c ++<的解集是（
）
A 、{}23x x x <->或
B 、{}32x x x <->或
C 、{}23x x -<<
D 、{}32x x -<<
14、不等式20x bx c ++<的解集是{}23x x -<<，则b c +=_____________
15、不等式11ax
x <-的解集为{}12x x x <>或，则a 的值为（ ）
A 、1
2a < B 、1
2a > C 、12a = D 、1
2a =-
16、已知不等式2364ax x -+>的解集为{}1x x x b <>或
（1）、求,a b
（2）、解不等式0x c
ax b ->-（c 为常数）
补充：
1、不等式221
x x +>+的解集是（ ） A 、()()1,01,-+∞ B 、()(),10,1-∞- C 、()()1,00,1- D 、()(),11,-∞-+∞
2、已知关于x 的不等式()()()
0x a x b x c --≥-的解为324x x -≤≤->或，则点(),b c a +位于坐标平面内（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、关于x 的不等式0ax b +>的解集为()1,+∞，则关于x 的不等式02
ax b x ->-的解集是（ ） A 、()(),12,-∞-+∞ B 、()1,2- C 、()1,2 D 、()2,+∞
4、解不等式21a
x <-。