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高一数学必修一之集合

高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示一、集合与元素的概念1．集合：（1）概念：一般地，某些确定的对象集在一起就成为一个集合，简称集；通常用大写字母A、B、C...表示。

其中的对象可以是一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人等等万事万物，每一组的对象或某些指定的对象集在一起就成为一个集合。

（2）集合的两个特性：整体性和确定性在指定一个集合时，必须有明确的标准，这就构成了集合的确定性；所有符合标准的元素的全体构成集合的整体性。

[例题] 下列各项中，不可以组成集合的是（ C ）A．所有的正数 B．等于2的数 C．接近于0的数 D．不等于0的偶数2．元素：（1）概念：集合中的每一个对象叫做集合中的一个元素，通常用小写字母a，b，c...表示。

对于尚未确定的集合而言，元素具有任意性。

（2）元素的三个特性（属性）对于一个给定的集合它的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性：①元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于（∈）或不属于（∉）。

②元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

③元素的无序性: 集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合（排名不分先后）。

至此，我们也就可以把集合定义为：由一些确定的、互异的对象构成的一个全体就叫集合（简称集）[例题] 若集合M ＝ {a,b,c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ D ）A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等腰三角形二、集合的分类（一）按集合中元素的多少来分：①有限集——元素个数是有限个（其中包括空集、单元素集）②无限集——元素个数是无限个③空集——不含有任何元素(即元素个数为0属于有限集)：空集记作∅或{ }注意{∅}表示含有空集的单元素集合，并非空集，空集为集合中的元素。

（二）按元素的属性来分：①数集——元素全部由数组成；②点集——元素全部由点组成，如角平分线；③解集——由方程或方程组、不等式或不等式组的解构成的集合；（其中一部分属于数集如自变量或应变量的值，一部分属于点集或序数对）。

高中数学必修一第一章集合与函数的概念复习资料

必修1 第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集A B I{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A =I （2）A ∅=∅I （3）A B A ⊆I A B B ⊆IBA并集A B U{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A =U （2）A A ∅=U （3）A B A ⊇U A B B ⊇UBA补集U A ð{|,}x x U x A ∈∉且（1）()U A A =∅I ð（2）()U A A U =U ð（3）()()()U U U A B A B =I U 痧? （4）()()()U U U A B A B =U I 痧?【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值． ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的性质定义图象判定方法yxo函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶．函数．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换 01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第一章集合与函数概念第一讲集合★热点考点题型探析考点一：集合的定义及其关系题型1：集合元素的基本特征[例1]（20XX 年江西理）定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为（）A ．0；B ．2；C ．3；D ．6[解题思路]根据A B *的定义，让x 在A 中逐一取值，让y 在B 中逐一取值，xy 在值就是A B *的元素 [解析]：正确解答本题,必需清楚集合A B *中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知A B *={}4,2,0，故应选择D【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。

人教版高中数学必修一第一章知识点

第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

高中高一数学必修1集合学习知识点总结复习学习资料

高一数学必修 1 集合知识点复习资料高一数学必修一集合知识点复习资料一. 知识归纳：1.集合的有关概念。

1)集合( 集) ：某些指定的对象集在一起就成为一个集合 ( 集). 其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A 和 a?A，二者必居其一 ) 、互异性(假设 a?A，b?A，那么 a≠b) 和无序性 ({a,b} 与{b,a} 表示同一个集合 ) 。

③集合具有两方面的意义，即：但凡符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集： N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：假设对 x∈A都有 x∈B，那么 AB(或 AB);2)真子集： AB且存在 x0∈B但 x0A; 记为 AB(或，且 )3)交集： A∩B={x|x ∈A且 x∈B}4)并集： A∪B={x|x ∈A或 x∈B}5)补集： CUA={x|xA但 x∈U}注意：①?A，假设 A≠?，那么 ?A;②假设，， ;③假设且， A=B(等集 )3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的和符号，特要注意以下的符号： (1) 与、 ?的区 ;(2) 与的区 ;(3) 与的区。

4.有关子集的几个等价关系①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;④A∩CuB=空集 CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5.交、并集运算的性①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A; ②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;6.有限子集的个数：集合 A 的元素个数是 n， A有 2n 个子集，2n-1 个非空子集， 2n-2 个非空真子集。

高中数学必修一集合知识点总结

集合知识点总结知识点1：集合的含义1》元素的含义：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合2》集合的表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C …表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c …表示。

列举法:A={a,b,c}3》集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

知识点2：集合元素的特征以及集合与元素之间的关系1》集合的元素特征：①确定性：给定一个集合，一个元素在不在这个集合中就确定了。

②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。

.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}③无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

2》元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)①若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A a ∈A ；②若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ∉A 。

注意：常见数集①非负整数集（或自然数集），记作N ；②正整数集，记作N *或N +；③整数集，记作Z ；④有理数集，记作Q ；⑤实数集，记作R ；典例分析题型1：判断是否形成集合例1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）大于3小于11的偶数；（2）我国的小河流；（3）非负奇数；（4）方程x 2+1=0的解；（5）某校2011级新生；（6）血压很高的人；题型2：集合中元素的互异性的考察例1：由实数-a, a, a ,a 2, -5a 5为元素组成的集合中,最多有_______个元素，分别为__________。

题型3：集合与元素之间关系的考察例1：用“∈”或“∉”符号填空：（1）8 N ；（2）0 N ；（3）-3 Z ；（4；（5）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国A ，美国A ，印度A ，英国A 。

题型4：根据元素互异性确定参数的值:例1：已知A={ 33,)1(,222+++-a a a a }，若1∈A ，则实数a 的值为_________.知识点3：集合的表示方法【1】列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。

数学人教版高中一年级必修1 高中数学公式定理定律概念大全

第一章集合与简易逻辑１集合的概念与运算 1.1 集合的有关概念（1）定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。

（2）元素的三要素：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。

（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法；（4）集合的分类：有限集、无限集和空集，空集记作φ；（5）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ；（6）常用数集：自然数集：N ；正整数集：*N 或N +；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R 。

*N N Z Q R ⊂⊂⊂⊂1.2 子集（1）定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集；记作：A ⊆B ，注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ（2）性质：①A A A ⊆⊆φ,；②若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；③若A B B A ⊆⊆,则A =B ； 1.3 真子集（1）定义：A 是B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂；（2）性质：①,A A φφ≠⊂；②若,A B B C ⊂⊂，则A C ⊂； 1.4 补集：（1）定义：记作：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；（2）性质：A A C C U A C A A C A U U U U ===）（，， φ； 1.5 交集与并集（1）交集：{|,且}AB x x A x B =∈∈性质：①φφ== A A A A , ②若B B A = ，则A B ⊆ （2）并集：{|,或}AB x x A x B =∈∈性质：①A A A A A ==φ , ②若B B A = ，则B A ⊆ 1.6 集合运算中常用结论（1）德摩根公式： ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.（2）U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=（3）含n 个元素的集合的所有子集有n2个2 一元二次不等式的解法 2.1 一元一次不等式的解法通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则bx a>；若0a <,则bx a<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。

新人教版高中数学必修第一册1.1 集合的概念

点构成了直线
（5）方程x 2 + 9x − 10 = 0的所有解；
= , = −
（6）地球上的七大洲
亚洲、欧洲、北美洲、南美洲、南极洲、非洲、大洋洲
一般地，我们把研究对象统称为元素，如(1)中的几个偶数2，4等；
把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)，如上面左侧的6个集合。
什么是集合？什么是元素？
（1）竖线前面表示的是集合的元素，｛ x | = − 1｝，
｛ | = − 1｝，｛ , | = − 1｝分别是三个不同的集合.
（2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或者不等式.
（3）不能出现未说明的字母，如｛ = 2｝未说明的取值情况，故集合中的
元素不确定.
【整数集】全体整数组成的集合，记作Z；
注意写法
【有理数集】全体有理数组成的集合，记作Q；
【实数集】全体实数组成的集合，记作R；
以上数集之间的关系如图所示：
从上面的例子可以看
出：我们可以用自然
语言来描述集合，还
可以用什么方法呢？
N*
N
Z
Q
R
集合的3种表示方法之列举法
“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛大西洋，太平洋，北冰洋，印度洋｝；

对于C，当 = 3, = 4时，3 = 3，则 = 9；

4
对于D，当 = 4, = 3时，3 = 4，则 = 12；
= 4，则 = 16，不满足题意

4
= 3，则 = 12，满足题意
【②已知元素与集合的关系求参数】
（1）若集合A中含有三个元素 − 3,2 − 1, 2 − 4，且-3∈A，求

1、高中数学必修一第一章集合【集合的概念】

1.1 集合的概念
三、集合的表示方法： 1、列举法：将所有元素一一列举出来，并用大括号“= ”括起来例如：小于10的所有自然数组成的集合解：设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么：
A= 0,1，2,3,4,5,6,7,8,9 2、描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有的具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为：
1.1 集合的概念
一、基本概念 1、元素：我们把研究的对象统称为元素； 2、集合：由一些元素组成的总体叫做集合，简称集； 3、集合中元素的特点：（1）确定性，记作a∈A；如果a不是集合 A中的元素，那么就说a不属于集合A，记作a ∉A。
1.1 集合的概念
x∈A P（x）例如：由大于10小于20的所有整数组成的集合B。解：B= x∈Z 10<x<20
1.1 集合的概念
1.1 集合的概念
1.1 集合的概念
正整数
整数 0
有理数
负整数
实
分数
数
无理数
1.1 集合的概念

高中必修一数学知识点总结 (2019新教材人教A版)

高中数学必修 1 知识梳理（新教材）第一章集合与常用逻辑用语一、集合的概念1.集合的定义：某些指定的对象集在一起就构成一个集合，集合中的每个对象叫集合的元素。

2.元素的性质：(1)确定性。

给定一个集合，集合中的元素是确定的；(2)互异性。

集合里不允许有相同的元素重复出现；(3)无序性。

集合里的元素构成与元素的顺序无关。

3.元素与集合的关系：属于“∈”与不属于“∉”的关系。

4.集合的表示方法：(1)列举法。

把集合中的元素一一列举出来。

(2)描述法。

集合中的元素公共属性描述出来。

(3)图示法。

①Venn 图：用一条封闭的曲线的内部来表示的一个集合。

如用V enn 图表示A包含于B。

AB②数轴法。

5.集合的分类(1)有限集。

含有有限个元素的集合；(2)无限集。

含有无限个元素的集合；(3)空集∅。

不含任何元素的集合。

6.常用集合(1)N：非负整数集 (或自然数集)(2)N*或N+：正整数集(3)Z：整数集(4)Q：有理数集(5)R：实数集二、集合间的基本关系1.包含关系：（1）子集：对于两个集合 A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)。

规定：①任何一个集合是它本身的子集。

对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。

②空集是任何集合的子集；空集是是任何非空集合的真子集。

（2）真子集：如果集合 A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合 A 是集合 B的真子集，记作 A⊊ B2.相等关系：例如：A={4,1, 2,3} , B={1, 2,3, 4}，记作：{A⊆BB⊆A⟺A=B。

即A，B中的元素是一样的。

3.关于子集的结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n - 1个，其非空真子集数为2n - 2 个，其非空子集数为2n - 1个。

特别地，空集的子集个数为 1，真子集个数为 0。

三、集合的基本运算1. 交集：由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与B 的交集，记作 A∩B 。

高中数学教材必修第一册第一章1.1集合的概念

【答案】 D
2．下列三个关系式：① 5∈R；②14∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．0
【解析】 ①正确；②因为14∈Q，错误；③0∈Z，正确．【答案】 B
3．a，b，c，d 为集合 A 的四个元素，那么以 a，b，c，d 为边长构成的四边形
可能是( )
A．矩形
B．平行四边形
第一章集合与常用逻辑用语
1.1集合的概念
情景导学
情景1：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起. 康托尔（G.Cantor,1845-1918）.德国数学家，集合论创始人.人们把康托尔于 1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集
合论思想的那一天定为集合论诞生日.
还可以把奇数集合表示为 {x | x 2k 1, x Z}
又如所有偶数的集合怎样表示？
{ x∈Z | x=2k , k∈Z}
描述法：用这个集合所含元素的共同特征表示集合
的方法．
{x I | p( x)}
代表元素
共同特征
取值范围
注意：如果从上下文的关系来看， x∈R ，x∈Z 是明确的，那么x∈R ，x∈Z 可以省略，只写元素x. 例如 { x∈R | x<10 } = { x | x<10 }
思考:
上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？
集合定义的理解
1.是一定范围内的确定的对象； 2.是不同的对象； 3.是这些对象的全体.
归纳总结
一般地，我们把研究对象统称为元素. 通常用小写拉丁字母a,b,c,...来表示. 我们把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集). 通常用大写拉丁字母A,B,C,...来表示.

高中数学必修第一册1.1集合的概念

1.1 集合的概念
高中数学学习指导
1、上课专注，积极思考，做好笔记；
2、复习整理，有疑必清，有错必纠，作业认真，正确率高； 3、熟记数学概念，数学语言，数学记号，解题格式表达准确规范； 4、每周小结、错题归类，正解点评,做好错题集。
在小学和初中,我们已接触过一些集合,如
（1）1～10之间的所有偶数；（2）立德中学今年入学的全体高一学生；（3）所有正方形；
课堂小结
1．集合：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。 2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性，任意性；
3．数集及有关符号:
4. 集合的表示方法:列举法，描述法，图示法.
5. 集合的分类。
按元素个数分：有限集、无限集、空集. 按元素特征分：数集、点集、杂集等。
高中数学重点研究的两类集合: 数集: {x∈A| P(x)} 点集: {(x,y)| P(x,y)}
问题4:A={a, b, c}，B={b, a, c}是否表示为同一集合？
(1)确定性:给定一个集合A,那么某对象a在或不在这个
集合中就确定了. 即要么a∈A, 要么a A,判断标准明确.
(2)互异性:一个给定的集合中的元素是互不相同的，
即集合中的元素是没有重复的.
(3)无序性: 集合中的元素没有一定的顺序.
(1) {x∈N|x是15的约数} {1，3，5，15}
先看清是数集还是点集?
(2) {（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}} {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）} 注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}
(3) {(x,y)|x+y=2且x-2y=4}
{( 8 , 2 )} 33

高中数学人教版必修一集合与函数

必修1 第一章集合与函数1.1集合1.1.1 集合的含义与表示:一．定义和基本知识①什么是集合：集合一定范围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。

如北京、天津、上海三城市；全体英文大写字母；《阿Q正传》中出现的不同汉字。

等等②若元素a是集合A的元素，记做a∈A,相反元素a不是集合A的元素，记做a∉A③上面表示集合的方法除了用自然语言可以描述以外，还可以用列举法列举集合的全部元素，纪录集合，并且用{......}括起来；我们可以用描述法来记录描述不完元素的集合，如不等式集合x-7<3 解集可用集合表示为A={x∈R丨x<10}。

图示法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．④集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征．确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可，例如“著名科学家”，“与2接近的数”等都不能组成一个集合．互异性：一个给定的集合中，元素互不相同，就是在同一集合中不能出现相同的元素．例如不能写成{1，1，2}，应写成{1，2}．无序性：集合中的元素，不分先后，没有如何顺序．例如{1，2，3}与（3，2，1）是相同的集合，也是相等的两个集合．⑤集合的分类：主要依集合中元素个数的多少来划分，有限集和无限集两种．有限集元素个数是确定的，元素个数有限个，可以利用列举法或描述法表示；无限集元素个数是无限的，只能利用描述法表示．⑥集合的判断关系及其应用：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B（B包含A,A含于B)；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；如果集合A 的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A=B. 特别注明：空集是不含任何元素的集合称为空集,是一切集合的子集，所以任何子集也包含了空集本身。

高中数学必修一第一章集合知识点总结

高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。

2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。

3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。

（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。

集合中的元素互不相同。

例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。

（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。

例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。

4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。

5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：含有无限个元素的集合。

（3）空集：不含任何元素的集合。

6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。

在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。

二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。

高中数学必修一最全知识点汇总

高中数学必修一最全知识点汇总高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由元素组成的整体，其中的元素具有确定性、互异性和无序性。

常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。

集合与元素之间的关系可以表示为a∈M或a∉M。

集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。

集合可以分为有限集、无限集和空集(∅)。

1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系包括子集、真子集和集合相等。

子集表示为A⊆B，真子集表示为A⊂B，集合相等表示为A=B。

已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2个子集，2^(n-1)个真子集，2^(n-1)个非空子集和2^n-2个非空真子集。

1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算包括交集、并集和补集。

交集表示为A∩B，并集表示为A∪B，补集表示为A的补集。

补集的性质为A∪A的补集=全集，A∩A的补集=空集。

2.补充知识：含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法含绝对值的不等式|x|0)的解集为{-aa(a>0)的解集为{xa}。

一元二次不等式的解法与一元二次方程类似，可以通过移项、配方法和求根公式等方式求解。

1.解一元二次不等式将$ax+b$看作一个整体，化成$|x|c(c>0)$，$|x|>a(a>0)$型不等式来求解。

2.解一元二次不等式的方法通过判别式$\Delta=b^2-4ac$，确定二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$的图像，分类讨论$\Delta>\Delta'$，$\Delta=\Delta'$和$\Delta0)$的根$x_1,x_2$（其中$x_10$和$y<0$的解集。

3.函数及其表示3.1 函数的概念设$A$、$B$是两个非空的数集，如果按照某种对应法则$f$，对于集合$A$中任何一个数$x$，在集合$B$中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应，那么这样的对应（包括集合$A$、$B$以及$A$到$B$的对应法则$f$）叫做集合$A$到$B$的一个函数，记作$f:A\to B$。

高中数学必修一讲解

高中数学必修一讲解高中数学必修一一、集合的概念1、集合的定义：集合是由一系列具有某种共同特性的“成员”所组成的。

2、集合的表示：一般通过大括号来表示{}，也可以用文字表示，比如集合A={1,2,3,4},可以写作"A是所有1,2,3,4这四个数的集合"。

3、集合的性质：集合中的成员是没有顺序的，成员也不能重复。

二、×、÷、（）运算1、加减乘除的运算：使用加号+、减号-、乘号×、除号÷来进行运算，乘除运算要先运算。

2、括号运算：先把括号里的全部运算完成，之后在运算外面的内容。

三、绝对值1、绝对值的定义：绝对值是指一个数字的绝对大小，即不管其正负，只考虑它的大小，一般用符号|x|表示x的绝对值。

2、绝对值的运算：绝对值加减法：|x+y|=|x|+|y|，绝对值乘法：|x*y|=|x|*|y|。

四、等式和不等式1、等式：使两边的值相等的表达式，一般用等号“=”表示，例如：2+3=5。

2、不等式：使两边的数字不相等的表达式，有大于号“＞”，小于号“＜”，大于等于号“≥”，小于等于号“≤”等。

五、函数1、定义：函数f（x）=y是指将实数x作为输入，得到实数y作为输出的关系式。

2、函数的概念：函数的概念就是，把一个值“x”，要求求出一个值y，实现这个要求的表达式就叫函数。

3、函数的运算：使用函数的运算规则，先求内层的括号，然后求底层的内容，最后再求上层的内容，这样从底往上运算即可。

六、图形1、定义：图形是指在坐标系上，曲线或线段连接起来形成的形状，通常表示数学函数。

2、常见图形：（1）折线图：一条折现连接结点的曲线。

（2）曲线图：由曲线连接各点，反映出变量之间关系的曲线图。

（3）柱形图：由垂直折现条、矩形和折现块等构成，表现出一类事物在给定条件下不同状态或不同属性的数据分布情况。

七、图形的旋转1、定义：把图形绕一定点旋转，得到图形旋转后的形状，这一操作就叫作图形旋转。

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第一章集合与函数
1．1.1集合的含义与表示
第一课时集合的含义
一、元素与集合的概念
1、元素的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写的拉丁字母或数学表示。

2、集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示。

3、准确认识集合的含义
(1)：集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与
我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．
(2)：集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到
的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集
合中的元素.
二、元素与集合的关系及常用数集的记法
1．元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A.
(2)如果a不是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a A
2、常用的数集及其记法
（1）自然数集：N（2）正整数集：N*或N（3）整数集：Z（4）有理数集：Q （5）实数集：R
3、对∈和?的理解
(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．
(2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
题型一、集合的基本概念
[例1](1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到
点a的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集
合的组数是(B)
A．2B．3 C．4 D．5
[解析](1)“接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．
[活学活用]
下列说法正确的是(D)
A．小明身高 1.78 m，则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素
B．所有大于0小于10的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素
C．平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线
D．任意改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍和原来的集合相等
解析：A中的高个子标准不能确定，因而不能构成集合；B中对象能构成集合，但元素有无穷多个；C 中对象构成的是两条直线，D反映的是集合元素的无序性.
题型二、元素与集合的关系
例2(1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是(C)
A．0∈A B．a?A C．a∈A D．a＝A
(2)下列所给关系正确的个数是(B)
①π∈R；②3?Q；③0∈N*；④|－4|?N*
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析](1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3?Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0?N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．
[活学活用]
设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是(B)
A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈M C．0∈M,2?M D．0?M,2?M
解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0?M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.
题型三、集合中元素的特性及应用
例3、已知集合A中含有两个元素a和2a，若1∈A，求实数a的值．
[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素，∴a≠1.
当a＝－1时，
集合A含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.
[活学活用]
设A表示由a2＋2a－3,2,3构成的集合，B表示由2，|a＋3|构成的集合，已知5∈A，且5? B，求a的值．
解：∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5，解之得a＝2或a＝－4.
当a＝2时，|a＋3|＝5，当a＝－4时，|a＋3|＝1.
又∵5?B，
∴a＝－4.
拓展。