新课标课件 选修2-2：2.3 数学归纳法
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人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件
数学归纳法 温故知新 回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何 ．
新知导学 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立． 第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时 ，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证 明恒等式
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B． ＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由
最新人教版高中数学选修2.3《数学归纳法》ppt课件
时结论也正确． “用上假设，递推才真”
递推依据
注 意：
1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k＋1中间的变化。
课堂小结
重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。
课后作业
P95练习：1，2.
an an1 1 an
n N
写出: a2 , a3 , a4 , 并归纳出这个数列的通项公式
课题引入
1、数列{an},已知a1
a n 1 =1， an 1 an
n N
写出: a2 , a3 , a4 , 并归纳出这个数列的通项公式
a1 1
a2 an 1 n 1 2 a3 1 3 a4 1 4
[答案] D
[ 解析 ] 1 1 当 n ＝ k 时，等式左边＝ ＋ ＋ … ＋ 1· 2 2· 3
1 k(k＋1) 1 1 1 当 n＝k＋1 时，等式左边＝1· 2＋2· 3＋…＋k(k＋1)＋ 1 (k＋1)(k＋2) 1 两者比较需添加的项为 . (k＋1)(k＋2) 故应选 D.
1 127 1 1 3．用数学归纳法证明不等式 1＋ ＋ ＋…＋ n－1> 成 2 4 64 2 立时，起始值 n 至少应取为 A．7 C．9
练习 2．用数学归纳法证明
1 1 1 1 ＋ ＋ ＋…＋ 1· 2 2· 3 3· 4 n(n＋1)
n ＝ (n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增 n ＋1 添的项是 1 A. k(k＋1) B. 1 1 ＋ k(k＋1) (k＋1)(k＋2) ( )
1 C. k(k＋2) 1 D. (k＋1)(k＋2)
骨牌倒下 第1张骨牌倒下 假设第k张骨牌倒下 保证第k+1张倒下
2015-2016高中数学 2.3数学归纳法课件 新人教A版选修2-2
规律方法：在推证“n＝k＋1”时，为了凑出归纳假设，采用了 “加零分项”技巧：a(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1. 另外，在推证“n＝k＋1”时，还可以用整除的定义，将归纳假 设表示出来， 假设 n＝k 时成立， ak＋1＋(a＋1)2k－1 能被 a2＋a＋1 整除， 则 ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(x)[q(x)为多项式]，所以，(a＋1)2k－1 ＝(a2＋a＋1)q(x)－ak＋1，故当 n＝k＋1 时，
2．3 数学归纳法
研题型 学方 法
题型一 用数学归纳法证明等式
1 用数学归纳法证明 1＋4＋7＋„＋(3n－2)＝ n(3n－1)(n∈N*)． 2
分析：按数学归纳法的解题步骤进行证明，要清楚等式两边的结构， 特别当 n＝1 时，等式两边分别是什么？当 n＝k 到 n＝k＋1 等式两 边发生了什么变化，这是解题的关键．
1 1 1 (2)假设当 n＝k 时，不等式成立，即 1＋ ＋ ＋„＋ k <k，则 2 3 2 －1 1 1 1 1 1 1 当 n＝k＋1 时，有 1＋ ＋ ＋„＋ k ＋ k＋ k ＋„＋ k＋1 <k 2 3 2 －1 2 2 ＋1 2 －1 1×2 1 1 1 ＋ k＋ k ＋„＋ k＋1 <k＋ k ＝k＋1，所以，当 n＝k＋1 时不 2 2 ＋1 2 2 －1 等式成立． 由(1)和(2)知，对于任意大于 1 的正整数 n，不等式均成立．
1 2 ＝ (3k ＋5k＋2) 2 1 ＝ (k＋1)(3k＋2) 2 1 ＝ (k＋1)[3(k＋1)－1]． 2 即 n＝k＋1 时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
规律方法：用数学归纳法证明与自然数有关的一些 等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结 构规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的 取值是否有关系．由“n＝k”到“n＝k＋1”时，等
高中数学选修2-2课件2.3《数学归纳法》课件
2
（B ）
A．n 为任何正整数时都成立
B．当 n = 1，2，3 时成立
C．当 n = 4 时成立，n = 5 时不成立
D．仅当 n = 4 时不成立
课堂练习
5．在数列{an }中，an
1
1 2
1 3
1 4
1 2n
1
1 2n
，则ak
1等于
（）
1
A.
ak
2k 1
C.
ak
1 2k 2
1
1
B.
ak
例2
已知数列 1 1 4
,
4
1
7
,
7
1 10
,
,
3n
1
23n
1,
,
计算S1,S2,S3,S4, 根据计算结果,猜出Sn的表达式,并用 数学归纳法进行证明.
解
S1
1 1 4
1; 4
S2
1 4
1 47
2; 7
S3
2 7
1 7 10
3; 10
S4
3 10
1 10 13
4. 13
可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子和项数
成立;n 4成立 ,就有n 5 也成立 所以,对任意
的正整数n,猜想都成立,即数列的通项公式是an
1. n
一 般 地, 证 明 一 个 与 正 整 数n有 关 的 命 题, 可 按 下
列 步 骤:
1归纳奠基 证明当n取第一个值n0时命题成立;
2归纳递推假设当n k k n0,k N 时命题成立,
1 an2 = 1a
(a≠1)”，在验证 n = 1 时，左端计
算所得的项为
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.3 数学归纳法
第二章
推理与证明
2．3 数学归纳法
栏 目 链 接
1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明 一些简单的数学问题． 2．重点是数学归纳法及其应用，难点是对数学归 纳法的原理的理解，关键是弄清数学归纳法的两个步 骤及其作用．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．数学归纳法． 设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命
栏 目 链 接
1 1 ＋„＋ ＋ . 2k＋1 2k＋2
上式表明当 n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)(2)知，命题对一切自然数均成立． 点评：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命 题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结构规律，等式 的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关系．由 “n＝k”到“n＝k＋1”时，等式的两边会增加多少项， 增加怎样的项．
自 测 自 评
1 1 1 1． 用数学归纳法证明 1＋ ＋ ＋„＋ n <n(n∈N*， 2 3 2 －1 n>1)时，第一步应验证不等式( 1 A．1＋ <2 2 1 1 C．1＋ ＋ <3 2 3 ) 1 1 B．1＋ ＋ <2 2 3 1 1 1 D．1＋ ＋ ＋ <3 2 3 4
栏 目 链 接
pk p1或p0 题 (____________) 成立；②在假设 __________ 成立的前提下，推出 pk＋1 也成立，那么可以断定，{p(n)}对一切自然数成立． __________
2．用数学归纳法证题的步骤：
0 0 (1) 证 明 当 n 取 第 一 个 值 __________( 例 如 __________ 或
n
n ＝0
栏 目 链 接
推理与证明
2．3 数学归纳法
栏 目 链 接
1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明 一些简单的数学问题． 2．重点是数学归纳法及其应用，难点是对数学归 纳法的原理的理解，关键是弄清数学归纳法的两个步 骤及其作用．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．数学归纳法． 设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命
栏 目 链 接
1 1 ＋„＋ ＋ . 2k＋1 2k＋2
上式表明当 n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)(2)知，命题对一切自然数均成立． 点评：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命 题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结构规律，等式 的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关系．由 “n＝k”到“n＝k＋1”时，等式的两边会增加多少项， 增加怎样的项．
自 测 自 评
1 1 1 1． 用数学归纳法证明 1＋ ＋ ＋„＋ n <n(n∈N*， 2 3 2 －1 n>1)时，第一步应验证不等式( 1 A．1＋ <2 2 1 1 C．1＋ ＋ <3 2 3 ) 1 1 B．1＋ ＋ <2 2 3 1 1 1 D．1＋ ＋ ＋ <3 2 3 4
栏 目 链 接
pk p1或p0 题 (____________) 成立；②在假设 __________ 成立的前提下，推出 pk＋1 也成立，那么可以断定，{p(n)}对一切自然数成立． __________
2．用数学归纳法证题的步骤：
0 0 (1) 证 明 当 n 取 第 一 个 值 __________( 例 如 __________ 或
n
n ＝0
栏 目 链 接
数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)
20
山东省临沂第一中学
练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题 练习 下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n + +L+ = 1• 2 2 • 3 n • ( n + 1) n + 1
的过程.你认为他的证法正确吗 为什么 的过程 你认为他的证法正确吗?为什么 你认为他的证法正确吗
1 1 = , 右边 (1).当n=1时,左边 左边= 右边= 当 时 左边 1 • 2 2
12
山东省临沂第一中学
思考6 数学归纳法由两个步骤组成， 思考6：数学归纳法由两个步骤组成，其 中第一步是归纳奠基 第二步是归纳递 归纳奠基， 中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递 完成这两个步骤的证明， 推，完成这两个步骤的证明，实质上解 决了什么问题？ 决了什么问题？ 逐一验证命题对从n 逐一验证命题对从n0开始的所有正整数 都成立. n都成立.
山东省临沂第一中学
2.3 数学归纳法
临沂一中数学组
1
问题提出
山东省临沂第一中学
1.归纳推理的基本特征是什么？ 1.归纳推理的基本特征是什么？ 归纳推理的基本特征是什么 由个别事实概括出一般结论. 由个别事实概括出一般结论. 2.综合法， 2.综合法，分析法和反证法的基本思 综合法 想分别是什么？ 想分别是什么？ 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 反证法：假设结论不成立， 反证法：假设结论不成立，推出矛盾得 证明. 证明.
9
探究（ 探究（二）：数学归纳法的基本原理
山东省临沂第一中学
an 思考1 已知数列{a 思考1：已知数列{an}满足 an + 1 = 1 + an 1 a n∈N*），假设当n ），假设当 （n∈ ），假设当n＝k时，k = ，
人教版高中数学选修2-2第二章2.3数学归纳法
(2)第二步——归纳递推
“假设n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证 明当n=k+1时命题也成立”,其本质是证明一个递 推关系，归纳递推的作用是从前往后传递，有了 这种向后传递的关系，就能从一个起点（例如 n=1）不断发展，以至无穷.如果没有它，即使前 面验证了命题对许多正整数n都成立，也不能保 证命题对后面的所有正整数都成立.
这个游戏中，能使所有多米诺 骨牌全部倒下的条件是什么？ 大家想一想，自 己总结出倒下的条件.
动动脑
观看动画：多米诺骨牌
只要满足以下两个条件，所有多 米诺骨牌就都能倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块 倒下一定导致后一块倒下；
你认为条件（2）的作 用是什么？
可以看出，条件（2）事实上给出 了一个递推关系：当第k块倒下时，相 邻的第k+1块也倒下. 这样，只要第一块骨牌倒 下，其他所有的骨牌就能够相 继倒下.事实上，无论有多少块 骨牌，只要保证(1)(2)成立，那 么所有的骨牌一定可以全部倒 下.
• 培养学生的逻辑思维能力，使思维严谨.
• 递推思想的形成，能够扩展思维.
教学重难点
重点
借助具体实例了解数学归纳法的基本思 想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与 正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题.
难点
•理解数学归纳法的思想实质，了解第二个 步骤的作用，根据归纳假设作出证明; •运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步 骤中发现具体问题的递推关系.
对于数列{an }，已知a1 = 1， an+1 an = (n = 1， 2， 3， )， 1 + an
1 此数列的通项公式an = . n
大家现在能证明这个猜想吗？ 这个猜想和多米诺骨牌游戏有相 似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解 决这个问题吗？
2018学年高中数学选修2-2课件：2.3 数学归纳法 精品
用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*). 【精彩点拨】 在第二步时注意根据归纳假设进行拼凑. 【自主解答】 (1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立， 即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除. 则当n＝k＋1时， (k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3] ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3). 因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除， 所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立. 由(1)(2)知命题对一切n∈N*成立.
3.利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含 f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳 假设的证明就不是数学归纳法.
[再练一题] 1.下面四个判断中，正确的是________.(填序号) ①式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1； ②式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k； ③式子1＋12＋13＋…＋2n1＋1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋12＋13； ④设f(n)＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋3n1＋1(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋3k＋1 2＋3k＋1 3＋ 3k＋1 4.
【解析】 ①中，n＝1时，式子＝1＋k； ②中，n＝1时，式子＝1； ③中，n＝1时，式子＝1＋12＋13； ④中，f(k＋1)＝f(k)＋3k＋1 2＋3k＋1 3＋3k＋1 4－k＋1 1. 故正确的是③. 【答案】 ③
2015高中数学选修2-2课件 2-3 数学归纳法(共41张PPT)
由①②知等式对任何正整数 n 都成立.
第八页，编辑于星期五：十二点 十四分。
2.3
问题导学
数学归纳法
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
1
3
2+1
3
(2)①当 n=2 时,左边=1-4 = 4,右边=2×2 = 4,
∴左边=右边,∴n=2 时等式成立.
+3
2
)
1
A. 2+1
B.2+2
1
1
1
1
+
D.
−
2+1 2+2 2+1 2+2
C.
答案:D
1
1
1
1
1
1
解析:f(n+1)=
+
+…+ +
+
,∴f(n+1)-f(n)=
+2 +3
2
2+1 2+2
2+1
1
1
−
2+2 +1
1
+
1
= 2+1 − 2+2.
第十页，编辑于星期五：十二点 十四分。
4 -1
1
1
1
=
,
2+1
1
则当 n=k+1 时,3 + 15 + 35 + 63+…+
1
2
4 -1
=
2+1
+
第八页，编辑于星期五：十二点 十四分。
2.3
问题导学
数学归纳法
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂检测
1
3
2+1
3
(2)①当 n=2 时,左边=1-4 = 4,右边=2×2 = 4,
∴左边=右边,∴n=2 时等式成立.
+3
2
)
1
A. 2+1
B.2+2
1
1
1
1
+
D.
−
2+1 2+2 2+1 2+2
C.
答案:D
1
1
1
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1
解析:f(n+1)=
+
+…+ +
+
,∴f(n+1)-f(n)=
+2 +3
2
2+1 2+2
2+1
1
1
−
2+2 +1
1
+
1
= 2+1 − 2+2.
第十页，编辑于星期五：十二点 十四分。
4 -1
1
1
1
=
,
2+1
1
则当 n=k+1 时,3 + 15 + 35 + 63+…+
1
2
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2+1
+
高二数学人教A版选修2-2第二章2.3 数学归纳法 课件(共37张PPT)
数学归纳法
定义及其简单应用
从前有一位画家，为了测试他的三个 徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫 来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马。 第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群 马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许 多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两 座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还 有一匹只露出半截身子的马。
（ C ）。
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
1 an2 ( a 1 )，在验证n＝1时，左端计算所得项 1a
为 _________
A .1
B .1 a
C .1 a a2
D .1 a a2 a3
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
问题反思
1.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点是什么? 2.有人说：“数学归纳法使无限与有限间实现了平 衡”，你怎样理解这句话？
ห้องสมุดไป่ตู้ 课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
思考
1.这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件 是什么？
可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就都能倒下：
(1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一 块倒下。
2.你认为条件(2)的作用是什么？
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
定义及其简单应用
从前有一位画家，为了测试他的三个 徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫 来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马。 第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群 马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许 多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两 座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还 有一匹只露出半截身子的马。
（ C ）。
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
1 an2 ( a 1 )，在验证n＝1时，左端计算所得项 1a
为 _________
A .1
B .1 a
C .1 a a2
D .1 a a2 a3
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
问题反思
1.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点是什么? 2.有人说：“数学归纳法使无限与有限间实现了平 衡”，你怎样理解这句话？
ห้องสมุดไป่ตู้ 课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
思考
1.这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件 是什么？
可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就都能倒下：
(1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一 块倒下。
2.你认为条件(2)的作用是什么？
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
高中数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)
利用到假设
根据(1)和 都成立. 根据 和(2),可知等式对任何 n ∈ N 都成立 可知等式对任何 错误原因：由证明 错误原因：由证明n=k+1等式成立 等式成立 没有用到n=k命题成立的归纳假设 命题成立的归纳假设 时没有用到 命题成立的
思考
1 1 1 1 , ， 已知数列 , , · · ·， n－ 2)(3 n + 1) (3 − 1× 4 4 × 7 7 ×10
(2)(归纳递推) (2)(归纳递推)是递推的依据 归纳递推 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件运用， 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 利用假设及已知的定义 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
求证: n+1)(n+2)…(n+n)=2 (2n例、求证:(n+1)(n+2) (n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1) (2n
请问： 请问： 步中“ n=k+1时 的证明可否改换为： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+ +(2k-1)+[2(k+1)1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) +(2k1+3+5+ +(2k +(2k = （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？ 为什么？
证明： n=1时 左边=1+1=2 右边=2 1=2 左边=右边， =1+1=2， 1=2， 证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 式成立。 时有： ② 假设当n=k((k∈N ）时有： 假设当 (k+1)(k+2)…(k+k) (k+k)= (2n-1), (k+1)(k+2) (k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), n=k+1时 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3) =(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) 左边=(k+2)(k+3) (k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) (k+k) （2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k) k+1)(k+2)(k+3) (k+k)•
人教A版高中数学选修2-2 第二章 2.3 数学归纳法教学课件共20张PPT (共20张PPT)
(2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有: k
1
13
24
,不等式成立.
1 1 13 ,
1 k 2 2k 24
则当n=k+1时,我们有:
1 1 1 1 1
(k 1) 1 (k 1) 2
2k 2k 1 2k 2
1 1 1 ( 1 1 1 )
k1 k2ຫໍສະໝຸດ 2k 2k 1 2k 2 k 1
2.求证：凸n边形的内角和为（n-2）·180°
A
A
B
B
C
F
C
ED
（1）验证当n=初1时始结值论n成0时立结。论成立。
（2）假设当n=k(k≥1n)0时)时结结论论成成立立，，证证明明则则当当 n=k+1时结论也成立。
（3）下结论：根据（1）和（2），可知对 任意的正整数n，结论都成立。
2.求证：凸n边形的内角和为（n-2）·180°
an 1 an
n
1, 2, ...
有 如何证明？ 无
限
限
步
对
骤
象
要使得多米诺骨牌 全部倒下，
需要具备哪些基本条件？
（1）最开始的一块骨牌倒下。
（2）若第k块倒下时，k≥1
则相邻的第k+1块也倒下。
已知数列 a n ,a1 =1,a n+1
多米诺骨牌游戏的原理 an
= an (n N *), 11+a这n 个猜想的证明方法
k(k
6
1)( 2k
1)
6(k
1) 2
6
(k 1)(2k 2 7k 6)
6
利用假设
(k 1)(k 2)(2k 3) 6
2.3数学归纳法课件人教新课标1
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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2．3 数学归纳法
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第二章 推理与证明
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1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”
时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 答案： C
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第二章 推理与证明
数学 选修2-2
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第二章 推理与证明
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用数学归纳法证明等式或不等式
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1. [思路点拨]
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2．证明 1＋12＋13＋14＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时
第二章 推理与证明
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2．3 数学归纳法
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1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”
时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 答案： C
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第二章 推理与证明
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用数学归纳法证明等式或不等式
用
数
学
归
纳
法
证
明
：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋
…
＋
2n×12n＋2＝4nn＋1. [思路点拨]
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2．证明 1＋12＋13＋14＋…＋2n－1 1>n2(n∈N*)，假设 n＝k 时
2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2课件：2.3 数学归纳法
＋1)
－y2(k
＋1)
能被 x＋y 整除，
即当 n＝k＋1 时命题也成立． 根据(1)和(2)，可知命题对任何 n∈N*都成立．
6.归纳——猜想——证明
[典例]
1
(12 分)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋
＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中 λ>0. (1)求 a2，a3，a4； (2)猜想{an}的通项公式并加以证明．
那么，当 n＝k＋1 时，S1＋S3＋S5＋„＋S2k－1＋S2k＋1＝k4 ＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4 ＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4， 即当 n＝k＋1 时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知对于任何 n∈N*，S1＋S3＋S5＋„＋S2n
4 ＝ n 都成立． －1
[随堂即时演练]
1．用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于(n－2)π”时， 归纳奠基中 n0 的取值应为 A．1 C．3 B．2 D．4 ( )
解析：边数最少的凸 n 边形为三角形，故 n0＝3. 答案：C
n 2 1 － a 2．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋„＋an＋1＝ (n∈N*， 1－a
＋
(1)n＝1 时，f(1)＝(2×1＋7)×31＋9＝36，能被
＝3[(2k＋7)· 3k＋9]＋18(3k 1－1)
－
＝3f(k)＋18(3k－1－1)， ∵3k－1－1 是偶数． ∴18(3k－1－1)能被 36 整除． 又∵f(k)能被 36 整除，∴f(k＋1)能被 36 整除． 由(1)(2)知对 n∈N*，f(n)能被 36 整除．
＋
＋1＝(k＋1)2， 即当 n＝k＋1 时不等式也成立． 根据(1)和(2)，可知对任何 n∈N*不等式都成立．其中错误的 步骤为________(填序号)．
－y2(k
＋1)
能被 x＋y 整除，
即当 n＝k＋1 时命题也成立． 根据(1)和(2)，可知命题对任何 n∈N*都成立．
6.归纳——猜想——证明
[典例]
1
(12 分)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋
＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中 λ>0. (1)求 a2，a3，a4； (2)猜想{an}的通项公式并加以证明．
那么，当 n＝k＋1 时，S1＋S3＋S5＋„＋S2k－1＋S2k＋1＝k4 ＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4 ＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4， 即当 n＝k＋1 时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知对于任何 n∈N*，S1＋S3＋S5＋„＋S2n
4 ＝ n 都成立． －1
[随堂即时演练]
1．用数学归纳法证明“凸 n 边形的内角和等于(n－2)π”时， 归纳奠基中 n0 的取值应为 A．1 C．3 B．2 D．4 ( )
解析：边数最少的凸 n 边形为三角形，故 n0＝3. 答案：C
n 2 1 － a 2．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋„＋an＋1＝ (n∈N*， 1－a
＋
(1)n＝1 时，f(1)＝(2×1＋7)×31＋9＝36，能被
＝3[(2k＋7)· 3k＋9]＋18(3k 1－1)
－
＝3f(k)＋18(3k－1－1)， ∵3k－1－1 是偶数． ∴18(3k－1－1)能被 36 整除． 又∵f(k)能被 36 整除，∴f(k＋1)能被 36 整除． 由(1)(2)知对 n∈N*，f(n)能被 36 整除．
＋
＋1＝(k＋1)2， 即当 n＝k＋1 时不等式也成立． 根据(1)和(2)，可知对任何 n∈N*不等式都成立．其中错误的 步骤为________(填序号)．
高中数学：数学归纳法(一)课件新课标人教A版选修2-2
证明： (1)当n=1时a1 =1成立
1 (2)假设n=k时猜想成立即 a k k 1
则n=k+1时,a k+1 ak k 1 1 ak 1 1 k 1 k
即n=k+1时猜想也成立
根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.
练习：1、如果{an}是一个等差数列， 则an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立。
归纳递推
命题对从n0开始的所有 的正整数n都成立。
注：两个步骤,一个结论,缺一不可
思考：用数学归纳法证明:当 n N
证明：①当n=1时，左边＝
1 3 5 .......... (2n 1) n
证明 假设 当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立， 2. 当n=k+1时命题也成立。
这种证明方法就叫做 数学归纳法 。
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
例1：用数学归纳法证明：
1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
3
1 n(n 1)(n 2) 3
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1 ×1×2×3 =2. 命题成立
(k 1)(k 2)
利 用 假 设
1 ( k 1) (k 1)(k 2) 3
1 ( k 1)k 1 1k 1 2 = 3
凑结论
∴ n=k+1时命题正确。 由(1)和(2)知，当
n N ，命题正确。
数学归纳法步骤，用框图表示为：
验证n=n0时 命题成立。 归纳奠基
1 1 1 1 答案： 3K 2 3K 3 3K 4 K 1
高中数学 2.3 数学归纳法课件 新人教A版选修22
= k(k 2) 1 (k 1)2
4(k 1)(k 2) 4(k 1)(k 2)
= k 1 k 1 .
4(k 2) 4(k 11)
所以当n=k+1时，等式也成立，
由(1)，(2)可知，对于一切n∈N*,等式都成立.
【互动探究】将题1等式的右边改为“
1 1 n 1 n 2
【变式训练】(2013·台州高二检测)请观察以下三个式子：
提示：(1)错误.数学归纳法只能证明与正整数n有关的数学 命题，但与n有关的数学命题不一定只用数学归纳法来证明. (2)错误.数学归纳法的第一步n0不一定为1，要视具体情况 而定. (3)正确.根据数学归纳法的定义可知，两个步骤缺一不可. 答案：(1)× (2)× (3)√
【知识点拨】 1.数学归纳法的实质 数学归纳法是一种以数字归纳原理(即自然数归纳公理)为根 据的演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤 的演绎过程.所以它是证明有关自然数问题的有力工具.
2.3 数学归纳法
数学归纳法 1.概念： 一般地，证明一个与_正__整__数__n_有关的命题，可按下列步骤进 行.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正 整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.
2.框图表示：
n=k(k≥n0)
n=k+1
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可.( )
综上所述，对于任何正整数n，等式都成立.
【拓展提升】数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础. 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0(n0≥1, n∈N*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然 数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基 要稳”是第一个关键点.
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问题思考：
已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
解:∵ a1 1 = 21 1
可从简单情形出发
∴
a2 a3
2a1 2a2
1 1
21 1 3= 22 2 3 1 7= 23
1 1
观察、归纳、猜想
a4 2a3 1 2 7 1 15 = 24 1 a5 2a4 1 215 1 31= 25 1
多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （传递）
条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
证明当n k 1时,命题也成立 （传递）
3.数学归纳法第二步的证明可以用各种证明方法， 但必须用到假设
思考5：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学 用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的 结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1
则当n=k+1时
2n
2n
成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？
思考1：与正整数n有关的数学命题都能否通 过一一验证的办法来加以证明呢？
思考2：如果一个数学命题与正整数n有关, 我们能否找到一种既简单又有效的证明方法 呢？
问题思考： 已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an . 怎么证明我们的猜想呢?
你玩过多米诺骨牌游戏吗？
数学归纳法1
学习目标： 1.通过学习过的归纳推理及几个例子，弄明白 数学归纳法的证明原理（重点）
2.通过几个证明问题，梳理清楚数学归纳法的 一般实施步骤，并会证明等式与不等式恒成立 问题（难点）
你猜、你猜、你猜猜猜
1, 3, 5, 7, 9, 11, 15
归纳推理：由部分到整体的推理，结论未必正确
这种证明方法就叫做___数__学__归__纳__法___。
注意：
1.数学归纳法是用来证明与正整数有关的命题
2.数学归纳法的一般步骤
(1)证明当n取第一个值n0 时命题成立
n0 N*, n0 =1或n0 =2或n0 =3等
（基础）
(2)假设当 n k k N*, k n0 时,命题成立
那么n=k+1时, 左边 (1
1) (1
1)
(
1
1
)
2 23
k 1 k 2
1 1
k
=右边,
k 2 (k 1) 1
即n=k+1时,命题也成立.
由(1)(2)知,对一切正整数,命题均正确.
思考7：下面是某同学 用数学归纳法证明等式
1 2
＋
1 22
＋
1 23
＋L
＋ 1 1 1 （n∈N＊）
费马(1601- ……100年后…
-伟1F6大565的)4法2业9国4余967297
6700417
641
欧拉 (1707～1783)，
数学家。 费马您错了!
瑞士数学家
不完全归纳法能帮助我们发现猜想,但不能及保证自猜然想科正学确.
在使用归纳法探究数学命题时，必须对 任何可能的情况进行论证后，才能判别命题 正确与否。
思考：你认为证明数列的通项公式 an 2n 1是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
思考:已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
我们运用不完全归纳法得出猜想: an 2n 1 ,怎么 严格论证呢?尝试用多米诺骨牌游戏的原理证明猜想.
下面是某同学用数学归纳法证明命题
1 1 1 n
1• 2 2•3
n • (n 1) n 1
的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?
(1).当n=1时,左边= 1 1, 右边= 1 1
1• 2 2
11 2
(2).假设n=k时命题成立 即
1 1 1 k
1• 2 2•3
k • (k 1) k 1
多米骨牌游戏的原理
⑴第一块骨牌倒下.(奠基)
尝试证明猜想 an 2n 1 的方法
⑴当 n 1 时猜想成立.
(2)若第 k 块倒下时，则 相邻的第 k+1 块也倒下.
⑵假设当n k 时猜想成立.即ak 2k 1
(传递性)
那么,当 n k 1 时 ak1 2ak 1
∴ ak1 2k1 1 猜想也成立.
根 据 (1) 和 (2), 可 知 不 论 有 多 少 块骨 牌 , 都 能
∴由⑴、⑵可知当 n N * 时
全部倒下.
an 2n 1
这种一种严格的证明方法──数学归纳法.
数学归纳法的概念：
定义：对于某些与正整数n有关的命题常 常采用下面的方法来证明它的正确性：
1.先证明当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ； 2.然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。
多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨
制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌 按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨 牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次 倒下。
多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。 一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需 要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和 意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。
2+4+6+…+2k+2(k+1)
＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+时也成立
所以等式对任何n∈N*都成立
该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下， 就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早
事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3 左边≠右边，等式不成立
思考6:
(不完全归纳法)
…… …
∴所求通项公式为 an 2n 1(n N * )
上面的解答是否正确?
不完全归纳法,可以帮助我们发现规律,但不够严密.
费马(Fermat) 曾经提出一个猜想：
形如Fn＝22n+1(n=0,1,2…)的数都是质数
n 0, Fn 3 n 1, Fn 5 n 2, Fn 17 n 3, Fn 257 n 4, Fn 65537