八年级数学 利用轴对称求线段和最小或差最大最值问题(含答案)
利用轴对称破解最短路径问题
第一章平移、对称与旋转第4 讲利用轴对称破解最短路径问题一、学习目标1.理解“直线上同一侧两点与此直线上一动点距离和最小”问题通过轴对称的性质与作图转化为“两点之间，线段最短”问题求解。
2.能将实际问题或几何问题（对称背景图）中有关最短路径（线段之差最大值）问题借助轴对称转化为两点之间，线段最短问题分析与求解。
二、基础知识•轻松学与轴对称有关的最短路径问题关于最短距离，我们有下面几个相应的结论：（1）在连接两点的所有线中，线段最短（两点之间，线段最短）；（2）三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）在三角形中，大角对大边，小角对小边。
（4）垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；【精讲】一般说来，线段和最短的问题，往往把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短” 或者“三角形两边之和大于第三边”加以证明，关键是找相关点关于直线的对称点实现“折”转“直” 。
另外，在平移线段的时候，一般要用到平行四边形的判定和性质。
（判定：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形；性质：平行四边形的对边相等。
）三、重难疑点•轻松破最短路径问题在平面图形中要解决最短路径问题，自然离不开构建与转化“两点之间，线段最短”的数学公理，通常将涉及到的两点中的任一点作出关于直线的对称点，从而运用两点之间，线段最短解决实际问题．在日常生活、工作中，经常会遇到有关行程路线的问题。
“最短路径问题”的原型来自于“饮马问题” 、“造桥选址问题” ，出题通常以直线、角、等腰（边）三角形、长方形、正方形、坐标轴等对称图形为背景。
（1）“一线同侧两点”问题例1如图，点A B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，AB'交m于点P.（1）AB与AP+PB相等吗为什么（2）在m上再取一点N,并连接AN与NB比较AN+N有AP+PB的大小，并说明理由.解析：(1)T 点B'是点B 关于m 的对称点，••• PB=PB ,••• AB =AP+PB , ••• AB =AP+PB(2)如图：连接 AN, BN B ' N,TAB' =AP+PB• AN+NB=AN+NB> AB', • AN+N > AP+PB点评：两条线段之和最短，往往利用对称的思想,利用两点之间的线段最短得出结果。
人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(含答案解析)
一、选择题1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20°D 解析：D【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．2．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】 首先根据等边三角形性质得出BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC 与△CDE 为等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC=AC ，∠ACE=∠BCD ，CD=CE ，∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴AE=BD ，即①正确；在△BCF 与△ACG 中，由①可知∠CBF=∠CAG ，又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF ≌△ACG(ASA)，∴AG=BF ，即②正确；在△DFC 与△EGC 中，∵△BCF ≌△ACG ，∴CF=CG ．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG 为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG ∥BE ，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．3．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ）A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- C解析：C【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．4．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 5．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180°D 解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 6．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】 易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．7．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】 根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．8．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°A解析：A【分析】 根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．【详解】又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠A=∠ABD ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，∵15DBC ∠=︒，∴∠ABC=x+15°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=x+15°，∴2(x+15°)+x=180°，∴x=50°，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．10．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（ ）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒D解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°， ∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒． 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键． 二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A 1B 2//x 轴，∴∠A 1B 2B 1=∠OB 1D =30°，∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1O =60°，∴∠A 1B 1B 2=90°，∴A 1B 2=2A 1B 1=2，过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ,则A 1B =12A 1B 2=1， 即A 2的横坐标为12+1=2212-， 过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，同理可得,A 2B 3=2A 2B 2=4,A 2C =12A 2B 3=2， 即A 3的横坐标为12+1+2=3212-， 同理可得,A 4的横坐标为12+1+2+4=4212-， 由此可得,A n 的横坐标为212n -， ∴点A 6的横坐标是62163==31.522-， 故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A 的系列点的规律．12．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．【分析】作A 关于CD 的对称点H 由CD 是△ABC 的角平分线得到点H 一定在BC 上过H 作HF ⊥AC 于F 交CD 于E 连接AE 则此时AE ＋EF 的值最小AE ＋EF 的最小值＝HF 过A 作AG ⊥BC 于G 根据垂直平分线的解析：4【分析】作A 关于CD 的对称点H ，由CD 是△ABC 的角平分线，得到点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】作A 关于CD 的对称点H ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 的面积为12，BC 长为6，∴AG ＝4，∵CD 垂直平分AH ，∴AC ＝CH ，∴S △ACH ＝12AC•HF ＝12CH•AG ， ∴HF ＝AG ＝4，∴AE ＋EF 的最小值是4，故答案是：4．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE ＋EF 的最小值为三角形某一边上的高线．13．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析：87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴∠=∠DBC C ，∵31C ∠=︒，∴31DBC ∠=︒，∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴31ABD DBC ∠=∠=︒，∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．故答案是87︒．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．14．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝ 解析：25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α， 在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°， 解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°， 故答案为：25．【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．【分析】分两种情况根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时底边长=24-6-6=12（cm ）∵6+6=12故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时腰长=（cm ）解析：9【分析】分两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答．【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时，底边长=24-6-6=12（cm ），∵6+6=12，故不能构成三角形； 当6cm 的边为底边时，腰长=1(246)92⨯-=（cm ），由于6+9>9，故能构成三角形， 故答案为：9．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：两腰相等，依据三角形三边关系，解题中运用分类思想解答．16．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P （x-yy ）与点Q （-1-5）关于x 轴对称得x-y ＝-1y ＝5解得x ＝4y ＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P （x-y ，y ）与点Q （-1，-5）关于x 轴对称，得x-y ＝-1，y ＝5．解得x ＝4，y ＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．17．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠___________CODAOB∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO解析：>【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．【详解】如图，过点B作BE⊥AC于E，∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOE=45︒，过点C作CF⊥OC，使FC=OC，∴∠FCO=90︒，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，∴∠AOB>∠COD，故答案为：>．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．18．如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N 为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为___________．45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′过点M′作M′N ⊥OB 于点N 交OC 于点P 则此时PM+PN 的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M 关于OC 对称点M′过点M解析：45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图，找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小．∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M 与点M′关于OC 对称，OC 平分∠AOB ，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P 及点N 的位置是关键．19．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点解析：50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ． 故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．20．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =；⑤若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有_______．（填正确的序号）．①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DFEF=EC 从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DFEF=EC 所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的解析：①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DF ，EF=EC ，从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DF ，EF=EC ，所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；④因为∠ABC 不一定等于∠ACB ，所以∠FBC 不一定等于∠FCB ，所以BF 与CF 不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，∴∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，∴∠DBF=∠DFB ，∠ECF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，即△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；故①正确；∴DE=DF+EF=BD+CE ，故②正确；∴△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；故③正确；∵∠ABC 不一定等于∠ACB ，∴∠FBC 不一定等于∠FCB ，∴BF 与CF 不一定相等，故④错误； 由题意知，1122FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()()11801802BFC FBC FCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠ =()()111801801801808022A ︒-︒-∠=︒-︒-︒ =130°,故⑤正确，故答案为①②③⑤．【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DH FB FH =+．解析：（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ，∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ，∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，∴=90∠∠=︒BHE EAD ，∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ，∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒，∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ，∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动． （1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．解析：（1）点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒． 【分析】（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，∵三角形APQ 是等边三角形，,AP AQ ∴=∴102t t =-，解得103t =， ∴点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ．（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，102x x +=，解得：10x =．∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下： 由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设APQ 是等腰三角形，∴AP AQ =，∴APQ AQP ∠=∠，∴APC AQB ∠=∠，∵ACB △是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACP △和ABQ △中，,,,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACP △≌ABQ △，∴CP BQ =，设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形， 由题意得：10CP y =-，302QB y =-，∴ 10302y y -=-， 解得：403y =， P 的最长运动时间为2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ， 由403＜15， ∴ 403y =符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒． 【点睛】 本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．23．已知AOB ∠及一点P ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）过点P 作OA 、OB 的垂线，垂足分别为点M 、N ；（2）猜想MPN ∠与AOB ∠之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB，理由见解析【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；【详解】（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MPN+∠AOB=180°．右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠PMJ=∠JNO=90°，∴∠MPN=∠AOB．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A，B不重合，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E不是边AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出EF BC交AC于点F）BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E作//（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，ABC 的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．解析：（1）AE＝BD；见解析；（2）成立；AE＝BD；见解析；（3）CD的长为3或1.【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB＝30°，由DE＝CE，求出∠D＝∠ECB＝30°得到∠DEB＝30°，推出BD＝BE，根据AE＝BE证得结论；（2）过E作EF∥BC交AC于点F，得到△AEF是等边三角形，推出BE=CF，利用∠DBE＝∠EFC＝120°，∠BED＝∠ECF，证得△DEB≌△ECF（AAS），得到BD＝EF=AE；（3）作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，利用∠CEF＝∠EDB，EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，证得△CEF≌△EDB（AAS），得到BD＝EF＝2，求出CD＝BD－BC ＝1，同理可得CD＝3【详解】解：（1）AE＝BD；证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，∴CE平分∠ACB，∴∠ECB＝30°．∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°．∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）当E为边AB上任意一点时，AE＝BD仍成立；证明：如图1，过E作EF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°,∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ，∴∠BED ＝∠ECF ，∴△DEB ≌△ECF （AAS ），∴BD ＝EF ，∴AE ＝BD ；（3）CD 的长为3或1如图2，作EF ∥BC 交CA 的延长线于点F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF ＝AE ＝EF ＝2，∠BEF ＝60°，∴∠CEF ＝60°＋∠BEC ．∵∠EDC ＝∠ECD ＝∠B ＋∠BEC ＝60°＋∠BEC ，∴∠CEF ＝∠EDB ．又∵EB ＝CF ＝3，∠F ＝∠B ＝60°，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD ＝EF ＝2，∴CD ＝BD －BC ＝1，如图3，同理可得CD ＝3，综上所述，CD 的长为3或1【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键．25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AEM DEM ∠=∠．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证明CAE BCF ∠=∠，再证明CAE BCF ≌△△，从而可得结论；（2）连接CM ，FM ，先证明ECM FBM ∠=∠，再证明CME BMF ≌△△，可得EM FM =，EMC FMB ∠=∠，再证明FME 是等腰直角三角形，可得45MED ∠=︒，从而可得结论．【详解】证明：（1）AE CD ⊥，BF CD ⊥，90AEC CFB ∴∠=∠=︒．90ACB ∠=︒，90BCF ACE ACE EAC ∴∠+∠=︒=∠+∠CAE BCF ∴∠=∠．CA BC =． ()CAE BCF AAS ∴≌△△．CE BF ∴=．（2）连接CM ，FM在Rt ABC △中，CA CB =，点M 是AB 的中点，90,ACB ∠=︒BM AM ∴=，CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，45ACM BCM CBM CAM ∴∠=∠=∠=∠=︒，CM BM AM ==，由CAE BCF ≌△△可得：ACE CBF ∠=∠．,ACM ECM CBM MBF ∴∠+∠=∠+∠ECM FBM ∴∠=∠．又CE BF =，()CME BMF SAS ∴≌△△．EM FM ∴=，EMC FMB ∠=∠．90EMF FMB DME CME DME ∠=∠+∠=∠+∠=︒．FME ∴△是等腰直角三角形．45MED ∴∠=︒，90AED ∠=︒，45AEM DEM ∴∠=∠=︒．【点睛】本题考查的的三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．26．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．解析：（1）见解析；B 1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）； （2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短即可；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边即可．【详解】解：（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0），如图；B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短，则PA+PC=PA+PC 1=AC 1，则点P 为所求，如图；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边，11MB MC -最大=C 1B 1，如图．【点睛】 本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键．27．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，ADE BCF ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ≌；（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．解析：（1）证明见解析；（2）5EG =．【分析】（1）根据AC=BD 可得AD=BC ，然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF ，再结合等角对等边可得4DG CG ==，最后利用线段的和差即可求得EG 的长度．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD ，∴AC+CD=BD+CD ，∴AD=BC ，在△ADE 和△BCF 中，A B AD BCADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BCF （ASA ）；（2）∵△ADE ≌△BCF ，∴∠ADE=∠BCF ，∴4DG CG ==，∵9DE =，∴5EG DE DG =-=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．28．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．解析：（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论； （2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =， 从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠，∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，。
专题复习1：利用轴对称求最值_
专题复习1：利用轴对称求最值Ⅱ. 请你设计一个用时最少的方案.二、关于两（多）条线段和最小问题思路指导：此类问题一般通过适当的几何变换实现“折”转“直”。
即将连接两点的折线转化为线段最短问题1.直接运用两点间线段最短解决问题.例：如图8，已知A（1,1）B（3，-3），C为x轴上一个动点，当AC+BC最小时，C点坐标为，此时AC+BC的最小值为.练习：如图9，四边形ABCD为边长为5的正方形，以B为圆心4为半径画弧交BA与M，交BC于N，P在MN上运动，则PA+PB+PC的最小值为.2.平移后应用两点间线段最短例：已知：如图10，A(1，2),B(4，-2)，C(m，0)，D（m+2,0）（1）在图中作出当AC+CD+DB最小时C点的位置，并求出此时m的值（2）求AC+CD+DB的最小值.练习：如图11，NP，MQ为一段河的两岸（河的两侧为平坦的地面，可以任意穿行），NP∥MQ，河宽PQ 为60米，在NP一侧距离河岸110米处有一处藏宝处A，某人从MQ一侧距离河岸40米的B处出发，随身携带恰好横穿（与河岸垂直）河面的绳索（将绳索利用器械投掷至河对岸并固定，人扶绳索涉水过河），请计算此人从出发到目的地最少的行进路程，并确定固定绳索处（MQ一侧）到B处的最近距离.3.旋转后应用两点间线段最短例：如图12，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；⑶当AM＋BM＋CM的最小值为31+时，求正方形的边长.练习：点O 为正方形ABCD内一点，（1）正方形边长为4，求OB+OD的最小值（2）若OB+OC+OD的最小值为26+，求正方形的边长4.对称后应用两点间线段最短数学模型已知：如图14，直线l 及直线同侧两点P、Q，在直线l 上求作点M，使线段PM+QM最小，并说明理由关系探究上图中：相等的角：线段关系：类型一：单动点单对称轴（直线同侧两线段和转化为异侧，进而应用两点间线段最短）练习：1.如图15，已知菱形ABCD的边长为6，M、N 分别为AB、BC边的中点，P为对角线AC上的一动点，则PM+PN的最小值.2. 如图16，已知菱形ABCD的边长为6，点E为AB边的中点，∠BAD=60°，点P为对角线AC上的一动点，则PE+PB的最小值..3. 如图17,已知正方形ABCD的边长为2，点M为BC 边的中点，P为对角线BD上的一动点，则PM+PC的最小值4. 如图18，正方形ABCD的面积为a，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一动点P，PD+PE的和最小值为4，则a= .5.如图19，已知⊙O的半径为1，AB、CD为⊙O的两互相垂直的直径，点M在弧AD上，且∠MOD=30°，点P为半径OD上的一动点，则PM+PA的最小值.6. 如图20，已知⊙O的半径为1，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠CAB=30°点M是弧CB的中点，，点P为直径AB上的一动点，则PM+PC的最小值.7.如图21，⊙O的直径为10，A,B在圆周上，AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6，BD=8.P为MN上一个动点，则PA+PB的最小值为.8.如图22，已知∠AOB=60°，OA=6，C为OA的中点，OD平分∠AOB，M为OD上一动点，则AM+CM的最小值为9．如图23，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为．10.如图24，已知抛物线y=x2-2x-3,与x轴相交于点A、B两点（点A在点B的左边），与y轴相较于点C，P 为抛物线对称轴上的一点，则PO+PC的最小值是.11.如图25，以正方形ABCD中AB为边向外作等边三角形AMB，N为对角线BD上一点，若AN+MN的最小值为2226，则正方形边长为.12.一次函数y=kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．(1)求该函数的解析式；(2)O为坐标原点，设C为AB的中点，P为OB上一动点，求PC＋PA取最小值时P点的坐标．13.如图27，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由14.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．类型二：双动点单对称轴（在类型一基础上应用垂线段最短）例：如图，已知∠CAB=30°，BA=6，AF平分∠BAC，P,Q分别为AB，AF上的动点，则BQ+PQ的最小值为练习:1.如图29，正方形ABCD中，AE为∠BAC的平分线，M,N分别为AE，AB上的动点，若MN+BM最小值为3，则正方形边长为.2.如图30，在锐角△ABC中，AB=42,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是___________ ．3.如图31，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，M，N分别为BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为. 类型三：单动点双对称轴例：如图32，已知：∠AOB=30°，P为∠AOB内一点，OP=6，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.练习：1.如图33，已知：∠AOB=60°，P为∠AOB内一点，OP=10，M，N分别为OA，OB上的动点，则△PMN的周长最小值为.2.如图34，两个镜子成45°角，P为夹角内一个光源，P距离交点2米，光线从P发出后经过OB，OA反射后经过点P，则光线经过的路线长为.3.如图35，已知A（3,2）为坐标平面上一点，在x，y 轴上确定点M,N，使△AMN周长最小，并求出此时M，N坐标.类型四. 双动点双对称轴例：已知P，Q为∠AOB内两个定点，M，N分别为OA，OB上的动点。
八年级数学一次函数之轴对称最值问题(人教版)(专题)(含答案)
一次函数之轴对称最值问题（人教版）（专题）一、单选题(共7道，每道15分)1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，点B(-2，1)，在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标( )A.(0，0)B.(0，1)C.(0，-1)D.(-1，0)答案：D解题思路：1.思路分析：2.解题过程：如图，作点A关于x轴的对称点C，连接BC，则直线BC与x轴的交点即为使点P到A，B两点的距离之和最小的点．设点B，C所在直线的表达式是y=kx+b，∵B(-2，1)，C(2，-3)，在直线y=kx+b上，∴，∴，∴，∴当y=0时，x=-1，∴图象与x轴交于点(-1，0)．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.已知点M(1，2)和点N(5，6)，点P是y轴上的一个动点，当△PMN的周长最小时，点P 的坐标是( )A.(0，)B.(0，1)C.(，0)D.(-1，0)答案：A解题思路：1.思路分析：C△PMN=PM+PN+MN，MN的长度固定，可转化为PM+PN最小2.解题过程：如图，作点M关于y轴的对称点M′，连接M′N，则直线M′N与y轴的交点即为使PM+PN最小的点．设点M′，N所在直线的表达式是y=kx+b，∵M′(-1，2)，N(5，6)在直线y=kx+b上，∴，∴，∴，∴当x=0时，y=，∴图象与y轴交于点(0，)．故选A．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB 的值最小时，点P的坐标为( )A. B.C.（1，0）D.（5，0）答案：B解题思路：1．思路分析2．解题过程通过题意可知，PQ的长固定，所以若要AP+PQ+QB的值最小，则AP+BQ最小即可．如图，BQ向左平移两个单位到，此时就转化为要求即可．作出点关于x轴的对称点，此时连接，与x轴的交点即为所求的点P．根据题意可得，点的坐标为(3，-1)，∴的直线解析式为：，∴点P的坐标为．故选B试题难度：三颗星知识点：略4.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：1．思路分析2．解题过程通过题意可知，EF和CD的长固定，所以若要四边形CDEF的周长最小，则DE+CF最小即可．如图，CF向左平移两个单位到，此时就转化为要求即可．作出点D关于x轴的对称点，此时连接，与x轴的交点即为点E．根据题意可得，点的坐标为(1，4)，点的坐标为(0，-2)，∴的直线解析式为：，∴点E的坐标为，∴点F的坐标为．故选B试题难度：三颗星知识点：略5.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为( )A. B.1C.2D.答案：A解题思路：1．思路分析2．解题过程通过题意可知，PN和AB的长固定，且PN=2，所以若要四边形PABN的周长最小，则AP+BN最小即可．如图，BN向左平移两个单位到，此时就转化为要求即可．作出点关于x轴的对称点，此时连接，与x轴的交点即为点P．根据题意可得，点的坐标为(2，-1)，∴的直线解析式为：，∴点P的坐标为，∴．故选A试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（3，-4），在x轴上有一点P，当的值最大时，点P的坐标是( )A. B.（0，0）C.（-1，0）D.（3，0）答案：C解题思路：1．思路分析2．解题过程故选C试题难度：三颗星知识点：略7.如图，已知直线是第一、三象限的角平分线，A，B两点的坐标分别为，B(1，2)，在直线上找一点P，使的值最大，则此时点P的坐标是( )A.（-1，-1）B.C.（-2，-2）D.答案：A解题思路：1．思路分析2．解题过程故选A试题难度：三颗星知识点：略第11页共11页。
利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略(学生版)
利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】【类型二实际问题中的最短路径问题】【类型三一次函数中线段和最小值问题】【类型四一次函数中线段差最大值问题】【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F 分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是()A.6B.4C.3D.2【变式训练】1(2023春·山东济南·七年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10；AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF 周长的最小值为()A.7B.9C.10D.142(2023秋·河南许昌·八年级许昌市第一中学校联考期末)如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点C为线段EF上一动点，则△CDG周长的最小值为()A.4B.9C.11D.133(2022春·七年级单元测试)如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AB =4，点E 在BC 上，且BE =2，点P 在∠ABC 的平分线BD 上运动，则PE +PC 的长度最小值为()A.1B.2C.3D.44(2023秋·甘肃·八年级统考期末)如图，∠AOB =15°，M 是边OA 上的一个定点，且OM =12cm ，N ，P 分别是边OA 、OB 上的动点，则PM +PN 的最小值是．5(2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末)如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，BC =7，作AD ⊥BC 于点D ，AD =12AB ，点E 为AC 边上的中点，点P 为BC 上一动点，则PA +PE 的最小值为．6(2023春·广东深圳·七年级统考期末)如图，点C ，D 分别是角∠AOB 两边OA 、OB 上的定点，∠AOB =20°，OC =OD =4．点E ，F 分别是边OB ，OA 上的动点，则CE +EF +FD 的最小值是．7(2023春·广东佛山·八年级校考期中)如图，已知△ABC ≌△CDA ，将△ABC 沿AC 所在的直线折叠至△AB C的位置，点B的对应点为B ，连结BB ．(1)直接填空：B B与AC的位置关系是；(2)点P、Q分别是线段AC、BC上的两个动点(不与点A、B、C重合)，已知△BB C的面积为36，BC=8，求PB+PQ的最小值；(3)试探索：△ABC的内角满足什么条件时，△AB E是直角三角形？8(2023春·广东深圳·七年级统考期末)【初步感知】(1)如图1，已知△ABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边△ADE，连接CE．求证：△ABD≌△ACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：．【拓展应用】(3)如图3，在等边△ABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边△DPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【类型二实际问题中的最短路径问题】1(2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中)如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为AC=2km，BD=5km，CD=6km，现在要在河岸CD上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【变式训练】1(2023春·八年级课时练习)如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，a2=13，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．(只需作图，不需要证明)(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．2(2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习)如图，小区A与公路l的距离AC=200米，小区B与公路l的距离BD=400米，已知CD=800米，(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．3(2023春·全国·七年级专题练习)问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上是否存在点P，使得PA+PB的值最小？小明的解法如下：如图，作点A关于直线l的对称点A ，连接A B，则A B与直线l的交点即为P，且PA+ PB的最小值为A B．问题提出：(1)如图，等腰Rt△ABC的直角边长为4，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，求PB+PE的最小值．问题解决：(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池M，从蓄水池M处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为AC=3千米，BD=9千米，CD=9千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠CD上选择蓄水池M的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．【类型三一次函数中线段和最小值问题】1(2023春·山东德州·八年级校考阶段练习)如图，一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．(可能用到的公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，①AB中点坐标为x1+x22,y1+y22；②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是BC中点，在直线AB上是否存在一点P，使得PC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【变式训练】1(2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中)一次函数y=kx+b的图像经过两点A4,0，B0,8．点D m,4在这个函数图像上(1)求这个一次函数表达式；(2)求m的值；(3)点C为OA的中点，点P为OB上一动点，求PC+PD的最小值．2(2023春·湖南长沙·八年级校联考期中)如图，直线l1经过点A4,0，与直线l2：y=x交于点B a,43．(1)求a的值和直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴交于点C，求△BOC的面积；(3)在y轴上是否存在点P，使得PB+PA的值最小，若存在，请求出PB+PA的最小值，若不存在，请说明理由．3(2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中)如图1，直线l1:y=-14x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P，已知点C的坐标为( -2,0)，点P的横坐标为-45．(1)直接写出点A、P的坐标，并求出直线l2的函数表达式；(2)如图2，过点A作x轴的垂线，交直线l2于点M，点Q是线段AM上的一动点，连接QD，QC，当△QDC 的周长最小时，求点Q的坐标和周长的最小值．(3)在第(2)问的条件下，若点N是直线AM上的一个动点，以D，Q，N三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出此时点N的坐标．【类型四一次函数中线段差最大值问题】1(2023秋·四川成都·八年级统考期末)如图所示，直线l1:y=x-1与y轴交于点A，直线l2:y=-2x-4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．(1)求点A,C的坐标；(2)点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC=S△ABC且异于点A的点P的坐标；(3)点D(2,0)为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出DQ-BQ的最大值．【变式训练】1如图①，平面直角坐标系中，直线y=kx+b与x轴交于点A(-10，0)，与y轴交于点B，与直线y= x交于点C(a，7)．-73(1)求直线AB的表达式；(2)如图②，在(1)的条件下，过点E作直线l⊥x轴，交直线y=-7x于点F，交直线y=kx+b于点G，若3点E的坐标是(-15，0)，求△CGF的面积；(3)点M为y轴上OB的中点，直线l上是否存在点P，使PM-PC的值最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；2在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”(唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题--“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C ，连结AC ,BC ,B C ，∵点B，B 关于直线l对称，点C，C 在l上，∴CB=，C B=，∴AC+CB=AC+CB =．在△AC B 中，∵AB <AC +C B ，∴AC+CB<AC +C B ，即AC+CB最小．(1)请将证明过程补充完整．(直接填在横线上)(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．(3)如图，平面直角坐标系中，M2,2,N4,-1,MN=13，P是坐标轴上的点，则PM-PN的最大值为，此时P点坐标为．(直接写答案)3如图，在直角坐标系中，直线l：y=43x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x=-2交AB于点C，D是直线x=-2上一动点，且在点C的上方，设D(-2，m)(1)求点O到直线AB的距离；(2)当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E(8，0)，在y轴上找一点M，使|ME-MD|最大，请求出|ME-MD|的最大值以及M点的坐标；(3)在(2)的条件下，将直线l：y=43x+8左右平移，平移的距离为t(t>0时，往右平移；t<0时，往左平移)平移后直线上点A，点B的对应点分别为点A′、点B′，当△A′B′D为等腰三角形时，求t的值．。
部编数学八年级上册专题21轴对称之将军饮马基础篇(解析版)含答案
专题21 轴对称之将军饮马基础篇1．如图，30AOB Ð=°，M ，N 分别是边,OA OB 上的定点，P ，Q 分别是边,OB OA 上的动点，记,OPM OQN a b Ð=Ð=，当MP PQ QN ++的值最小时，关于a ，b 的数量关系正确的是（ ）A ．60b a -=°B ．210b a +=°C ．230b a -=°D ．2240b a +=°【答案】B【解析】【分析】如图，作M 关于OB 的对称点M′，N 关于OA 的对称点N′，连接M′N′交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP+PQ+QN 最小易知∠OPM=∠OPM′=∠NPQ ，∠OQP=∠AQN′=∠AQN ，KD ∠OQN=180°-30°-∠ONQ ，∠OPM=∠NPQ=30°+∠OQP ，∠OQP=∠AQN=30°+∠ONQ ，由此即可解决问题．【详解】如图，作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢交OA 于Q ，交OB 于P ，则此时MP PQ QN ++的值最小．易知¢Ð=Ð=ÐOPM OPM NPQ ，¢Ð=Ð=ÐOQP AQN AQN ．∵18030Ð=°-°-ÐOQN ONQ ，30Ð=Ð=°+ÐOPM NPQ OQP 30Ð=Ð=°+ÐOQP AQN ONQ ，∴303018030210+=°+°+Ð+°-°-Ð=°ONQ ONQ a b ．故选：B.【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．如图，△ABC 是等腰三角形，底边BC 的长为4，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于点E ，F ．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值是（ ）A ．11B ．13C ．9D ．8【答案】A【解析】【分析】连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，∴AD ⊥BC ，∴1141822ABC S BC AD AD =×=´´=V ，解得AD =9，∵EF 是线段AC 的垂直平分线，∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，∴CM =AM ，∴CD +CM +DM =CD +AM +DM ，∵AM +DM ≥AD ，∴AD 的长为CM +MD 的最小值，∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =9+12×4=9+2=11．故选：A ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．3．如图，25AOB Ð=°，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ a Ð=，PQN b Ð=，当MP PQ QN ++的值最小时，b a -的大小=__________（度）．【答案】50【解析】【分析】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M ¢，N 关于OA 的对称点N ¢，连接M N ¢¢，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN ++最小，即MP PQ QN M N ¢¢++=，∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ¢¢Ð=Ð=ÐÐ=Ð=Ð，，∵MPQ PQN a b Ð=Ð=，，∴11(180)(180)22QPN OQP a b Ð=°-Ð=°-，，∵QPN AOB OQP Ð=Ð+Ð，25AOB Ð=°，∴11(180)25(180)22a b °-=°+°- ，∴50b a -=° ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．4．如图，点P 是AOB Ð内任意一点，3cm OP =，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，30AOB Ð=°，则PMN V 周长的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到PMN V 周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及30AOB Ð=°，对线段长度进行等量转化即可．【详解】解：如图所示，过点P 分别作P 点关于OB 、OA 边的对称点P ¢、P ¢¢，连接PP ¢¢、PP ¢、P P ¢¢¢、OP ¢、OP ¢¢，其中P P ¢¢¢分别交OB 、OA 于点N 、M ，根据“两点之间线段最短”可知，此时点M 、N 的位置是使得PMN V 周长的最小的位置．由对称性可知：,PN P N PM P M ¢¢¢==，,P OB POB POA P OA¢¢¢Ð=ÐÐ=Ð 3OP OP OP ¢¢¢===，30POA POB AOB Ð+Ð=Ð=°Q 30P OA P OB ¢¢¢\Ð+Ð=°+=60POA POB P OA P OB P OP ¢¢¢¢¢¢\Ð+ÐÐ+ÐÐ=°P OP ¢¢¢\△为等边三角形=3P P OP OP ¢¢¢¢¢¢\==\PMN V 的周长=PN PM MN ++=P N P M MN P P ¢¢¢¢¢¢++==3故答案为：3【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键．5．如图，ABC V 是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PCE V 的周长最小时，ACP Ð的度数为______．【答案】30°##30度【解析】【分析】连接BP，由等边三角形的性质可知AD为BC的垂直平分线，即得出BP=CP，由此可知要使△PCE 的周长最小，即P点为BE与AD的交点时．最后根据等边三角形三线合一的性质，即得出CP平分ACBÐ，从而可求出1==302ACP ACBÐа．【详解】如图连接BP．∵ABCV为等边三角形，∴AD为BC的垂直平分线，∴BP=CP，∵△PCE的周长=PE+CP+CE= PE+BP+CE，∴当PE+BP最小时，△PCE的周长最小，∵PE+BP最小时为BE的长，即此时BE与AD的交点为P，如图．又∵点E为中点，AD为高，ABCV为等边三角形，∴P点即为等边ABCV角平分线的交点，∴CP平分ACBÐ，∴1==302ACP ACBÐа．故答案为：30°【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，两点之间线段最短等知识．理解要使△PCE的周长最小，即P点为BE与AD的交点是解题关键．6．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．【答案】80【解析】【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2，∴NA＝NA2，MA＝MA1，∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）＝130°﹣50°＝80°，故答案为：80．【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键．7．如图，在锐角△ABC中，∠BAC = 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB 上的动点，当BM +MN有最小值时，ABMÐ=_____________°．【答案】50【解析】【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM +MN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值；【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE，∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，∴∠EAM =∠NAM ，∵AM =AM ，∴△AME ≌△AMN ，∴ME =MN ，∴BM +MN =BM +ME ≥BE ．∵BM +MN 有最小值．当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE ⊥AC ，∴∠ABM =90°-∠BAC =90°-40°=50°；故答案为：50．【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数．8．如图，直线1l ，2l 交于点O ，点P 关于1l ，2l 的对称点分别为1P ，2P ．若4OP =，127PP =，则12POP △的周长是______．【答案】15【解析】【分析】根据对称的性质可知，OP 1=OP =OP 2=3，再根据P 1P 2=7即可求出△P 1OP 2的周长．【详解】∵P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 1、P 2，∴OP 1=OP =OP 2=4，∵P 1P 2=7，∴△P 1OP 2的周长=OP 1+OP 2+P 1P 2=4+4+7=15．故答案为15【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．9．如图，等腰三角形ABC 的面积是18，底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 于点E ，F ．若D 为BC 的中点，G 为线段EF 上一动点，则CDG V 周长的最小值为___________．【答案】11【解析】【分析】连接AD ，由于ABC D 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD BC ^，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM MD +的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD ，△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC \^，∴S △ABC =1141822BC AD AD ×=´´= ，解得9AD =，EF 是线段AC 的垂直平分线，\点C 关于直线EF 的对称点为点A ，CM AM\=，CD CM DM CD AM DM\++=++，AM+DM≥AD，AD\的长为CM MD+的最小值，CDM\D的周长最短11()94921122CM MD CD AD BC=++=+=+´=+=．故答案为11．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．三、解答题10．问题：如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC＋CB＜AC'＋C'B．请完成这个证明．（2）如图③，点P为∠MON内的一个定点，在OM上有一点A，ON上有一点B．请你作出点A 和点B的位置，使得△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）在上述条件下，若∠MON＝40°，则∠APB＝°．【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析，100【解析】【分析】（1）如图②，连接A C ¢¢，由轴对称的性质可得,,AC A C AC A C ¢¢¢¢== 再证明：,A B AC BC ¢=+ 再利用三角形的三边关系可得结论；（2）分别作点P 关于,OM ON 的对称点,,P P ¢¢¢ 连接P P ¢¢¢交OM 于,A 交ON 于,B 则PAB △的周长最短，再由轴对称的性质可得：,,OPB OP B OPA OP A ¢¢¢V V V V ≌≌ 证明,APB OP B OP A ¢¢¢Ð=Ð+Ð 80,P OP ¢¢¢Ð=° 再求解50,OP P OP P ¢¢¢¢¢¢Ð=Ð=° 从而可得答案．【详解】证明：（1）如图②，连接A C ¢¢，∵点A ，点A ¢关于l 对称，点C 在l 上，∴CA CA ¢=，∴AC BC A C BC A B ¢¢+=+=，同理可得：AC C B A C BC ¢¢¢¢¢+=+，∵A B ¢＜A C C B ¢¢¢+，∴AC ＋BC ＜AC C B ¢¢+；（2）如图所示，点A 、B 即为所求，由轴对称的性质可得：,,OPB OP B OPA OP A ¢¢¢V V V V ≌≌,,,,PO P O PO P O OPB OP B OPA OP A ¢¢¢¢¢¢\==Ð=ÐÐ=Ð,,POB P OB POA P OA ¢¢¢Ð=ÐÐ=Ð,APB OPB OPA OP B OP A ¢¢¢\Ð=Ð+Ð=Ð+Ð40,POB POA P OB P OA ¢¢¢Ð+Ð=Ð+Ð=°404080,P OP ¢¢¢\Ð=°+°=°,OP OP ¢¢¢=Q()11808050,2OP P OP P ¢¢¢¢¢¢\Ð=Ð=°-°=° 100,APB OP P OP P ¢¢¢¢¢¢\Ð=Ð+Ð=°故答案为：100°．【点睛】本题考查的是轴对称的作图，利用轴对称的性质求解线段和或周长的最小值，同时考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．11．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,5)A ，(2,1)B ，(6,1)C ．(1)画出ABC V 关于y 轴对称的111A B C △；(2)在x 轴上找一点P ，使PB PC +的值最小（保留作图痕迹），并写出点P 的坐标．【答案】(1)见解析；(2)见解析，P 的坐标为(4,0)．【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质结合坐标系，分别确定点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，即可作出111A B C △；（2）作出点B 关于x 轴的对称点B 2，连接B 2C ，交x 轴于P ，点P 即为所求做的点．(1)解：解：（1）如图所示，111A B C △即为ABC V 关于y 轴对称的三角形．(2)解：如图所示，点P 即为所求做的点，点P 的坐标为(4,0)．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的轴对称图形，将军饮马问题，熟知轴对称的性质是解题关键，注意坐标系中两个点关于x 轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，两个点关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变．12．如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的周长最小．（保留作图痕迹）【答案】见详解【解析】【分析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，N，△PMN即为所求求作三角形．【详解】解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于M，交OB于N，连接PM，PN，△PMN即为所求作三角形．理由：由轴对称的性质得MP＝ME，NP＝NF，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D 为AB 中点，连接CD ，点P 、Q 分别为CE 、CD 上的动点．（1）求证：△ADC 为等边三角形；（2）求PD +PQ +QE 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得60,BAC AD CD Ð=°=，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接,PA QB ，先根据等边三角形的性质可得12ACE ACD Ð=Ð，再根据等腰三角形的三线合一可得CE 垂直平分AD ，然后根据线段垂直平分线的性质可得PA PD =，同样的方法可得QB QE =，从而可得PD PQ QE PA PQ QB ++=++，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．【详解】证明：（1）Q 在Rt ABC V 中，90,30,2ACB ABC AC Ð=°Ð=°=，60,24BAC AB AC Ð\=°==，Q 点D 是Rt ABC V 斜边AB 的中点，2AD AC \==，ADC \V 是等边三角形；（2）如图，连接,PA QB ，BCE QV 和ADC V 都是等边三角形，60BCE \Ð=°，60ACD Ð=°，1302ACE ACB BCE ACD \Ð=Ð-Ð=°=Ð，CE \垂直平分AD ，PA PD \=，同理可得：CD 垂直平分BE ，QB QE \=，PD PQ QE PA PQ QB \++=++，由两点之间线段最短可知，当点,,,A P Q B 共线时，PA PQ QB ++取得最小值AB ，故PD PQ QE ++的最小值为4．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点ABC V （即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出ABC V 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标．(2)在y 轴上求作一点P ，使得PA PC +最短（保留作图痕迹，不需写出作图过程）．(3)求ABC V 的面积．【答案】(1)画图见解析；()11,4C (2)画图见解析(3)6【解析】【分析】（1）利用网格，根据轴对称的性质画出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1，C 1，再连接A 1B 1，A 1C 1，B 1C 1即可；（2）连接A 1C 交y 轴于点P ，即可；（3）利用网格，用矩形面积减去三个直角三角形面积求解即可．(1)解：如图所示，111A B C △就是所要求画的．()11,4C ．(2)解：如图所示，点P 就是所要求作的点．(3)解：111353322156222ABC S =´-´´-´´-´´=△．【点睛】本题考查利用轴对称性质作轴对称图形，利用轴对称求最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．15．如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A （-4，1）、B （-3，3）、C （-1，2）．(1)请作出△ABC向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的△A₁B₁C₁；(2)作△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂；(3)在x轴上求作点N，使△NBC的周长最小（保留作图痕迹）．【答案】(1)答案见详解；(2)答案见详解；(3)答案见详解；【解析】【分析】（1）分别作出点A，B，C向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的对应点A₁，B₁，C₁再顺次连接A₁B₁C1；(2)分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得；(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C交y轴于点N，顺次连接点NB，NC，即可；(1)如图所示：分别作出点A，B，C向右平移5个单位长度，下移4个单位长度后的对应点A₁，B₁，C₁再顺次连接A₁B₁C1；(2)如图所示：分别作出点A，B，C关于y轴的对称点A2，B2，C2，再首尾顺次连接可得；(3)作点B关于x轴的对称点B3，再连接B3C交y轴于点N，顺次连接点NB，NC，△NBC的周长最小；【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，图形的平移，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路线问题．。
人教版数学八年上册第十三章轴对称巧解三角形周长的最小值
人教版数学八年级轴对称巧解三角形周长的最小值轴对称是初中数学中三大变换之一，是中考的重要考点来源之一，其最大的特点就是以线段和最小或者三角形的周长最小为硬件生成考题，考题通常具有一定的综合性，耐人思考，发人深思.下面介绍以三角形的周长最小为条件的轴对称考题的求解与反思，供学习时借鉴.1.三角形周长最小时，求点的坐标例1如图1，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3）分析：三角形ABC的周长为AB+BC+AC，由于A,B两点的坐标是定值，因此边AB的长度也是定值，这样三角形ABC的周长最小就转化成线段AC和线段BC的和最小，也就是我们常说的轴对称中的最短路线问题.解：如图2，设点B关于y轴的对称点为D，因为点B的坐标为（3,0），所以点D的坐标为（-3,0），连接AD，交y轴于点C，此时三角形ABC的周长最小.设直线AD的解析式为y=kx+b，把A(1,4),D(-3,0)分别代入解析式，得304k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得13kb=⎧⎨=⎩，所以直线的解析式为y=x+3,令x=0,得y=3,所以点C的坐标为（0,3）,所以选择D.点评：把三角形周长最小转化成线段和最小是解题的关键.2.三角形周长最小时，求角的大小例2 如图3，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°分析：这里三角形AEF 的周长是AE+EF+AF ，三边AE,EF,AF 都是可变的，所以要使△AEF 的周长最小，就要利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作图的基本要领如下：1、确定定点 这里是点A ；2、作定点关于动点所在直线的对称点，作出A 关于BC 和CD 的对称点A ′，A ″，3、连接两个对称点，得到线段的长就是三角形的周长的最小值.解：如图4，作A 关于BC 和CD 的对称点A ′，A ″，连接A ′A ″，交BC 于E ，交CD 于F ， ,则A ′A ″即为△AEF 的周长最小值．作DA 延长线AH ，因为∠C=50°，∠B=∠D=90°，所以∠DAB=130°，所以∠HAA ′=50°，所以∠AA ′E+∠A ″=∠HAA ′=50°，因为∠EA ′A=∠EAA ′，∠FAD=∠A ″，且∠EA ′A+∠EAA ′=∠AEF ，∠FAD+∠A ″=∠AFE ， 所以∠AEF+∠AFE=∠EA ′A+∠EAA ′+∠FAD+∠A ″=2（∠AA ′E+∠A ″）=2×50°=100°， 所以∠EAF=180°﹣100°=80°，所以选D ．点评：根据轴对称的性质，结合三角形周长最小时成立条件，确定出E ，F 的位置是解题关键．3.三角形周长最小时，求四边形的面积例3 如图5，∠AOB=30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB，且OP=6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形PMON 的面积为 ．分析：设点P 关于OA 的对称点为C ，关于OB 的对称点为D ，当点M 、N 在CD 上时，△PMN 的周长最小，此时△COD 是等边三角形，求得三角形PMN 和△OMN 的面积，即可求得四边形PMON 的面积.解：如图6，分别作点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OP 、OC 、OD 、PM 、PN ．因为点P 关于OA 的对称点为C ，关于OB 的对称点为D ， 所以PM=CM ，OP=OC ，∠COA=∠POA；因为点P 关于OB 的对称点为D ，所以PN=DN ，OP=OD ，∠DOB=∠POB，所以OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，所以△COD 是等边三角形， 所以CD=OC=OD=6．因为∠POC=∠POD，所以OP⊥CD，所以CQ=3,在直角三角形OCQ 中， 222263OC OQ -=-3PQ=6﹣3，设MQ=x ，则PM=CM=3﹣x ，在直角三角形PMQ 中，根据勾股定理，得 222(3)(633)x x -=+-，解得39，所以四边形PMON 的面积为: OMN PMN S S +=111222MN OQ MN PQ MN OP += =PO ×x=6（39）354．所以答案为3﹣54．点评：将三角形周长的最小转化成两点之间线段最短的原理是解题的关键．跟踪练习1、如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度 的最小值是 ．解：在Rt△ABC 中，由勾股定理可知：AC=222253AB BC -=-=4，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，因为CB′长度固定不变，所以当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A 、B′、C 三点在一条直线上时，AB′有最小值，所以AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．所以应该填：1．2、菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图2所示，顶点B （2，0），∠DOB =60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，﹣1），当EP+BP 最短时，点P 的坐标为 ．答案：（）.。
中考数学专题讲练 线段最值问题二
线段最值问题（二）一．利用轴对称求最值轴对称主要用来解决几条线段的和差的最值问题，相关模型比较多，主要包含以下几种类型： 1．如图，直线l 和l 的异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．2．如图，直线l 和l 的同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB +最小．3．如图，直线l 和l 同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．4．如图，直线l 和l 异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA PB -最大．lll5．如图，点P 是MON ∠内的一点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使PAB ∆的周长最小．6．如图，点P ，Q 为MON ∠内的两点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使四边形PAQB 的周长最小．7．如图，点A 是MON ∠外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．l8．如图，点A 是MON 内的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小．9．造桥选址问题二．利用二次函数求最值利用二次函数求解最值首先需要引入一个未知数作为自变量，然后根据题目中的等量关系用未知数表示出所求解的线段长度、图形面积等，最后根据函数的增减性，并结合自变量的取值范围，求出最值．l 2l 1一．考点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值二．重难点：利用轴对称求最值，利用二次函数求最值三．易错点：1．利用轴对称求解最值时一般情况下都是定点与最值问题，此时直接按照相应模型来求解即可，如果出现有定点也有动点的情况，可以先把动点固定下来，然后利用模型找到最值时的位置，最后再去确定动点的位置；2．利用二次函数求解最值问题时除了明确二次函数的对称轴和开口方向，一定要注意自变量的取值范围，并不是所有的最值都是在顶点取到．题模一：利用轴对称求最值例1.1.1在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（2，0），（31点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），则CE+DE+DB的最小值是__．【答案】 4【解析】如图所示：∵点D、E的坐标分别为（m），（n）（m、n为非负数），∴直线OD的解析式为，直线OE的解析式x，设点C关于直线OE的对称点C′所在直线CC′的解析式为y=﹣+b，把C 的坐标（1故直线CC ′的解析式为y=+联立直线OE 的解析式和直线CC ′的解析式可得x y=⎧⎪⎨⎪-+⎩，解得x=1.5y=2⎧⎪⎨⎪⎩．故交点坐标为（1.5，2）， ∴点C ′坐标为（2，0），设点B 关于直线OD 的对称点B ′所在直线BB ′的解析式为y=x +b ′， 把B 的坐标（3，b ′b ′故直线BB ′的解析式为y=x +联立直线OD 的解析式和直线BB ′的解析式可得y=x 3⎧⎪⎨-+⎪⎩解得x=1.5⎧⎪⎨⎪⎩故交点坐标为（1.5∴点B ′坐标为（0，则B ′C ′，即CE +DE +DB 的最小值是4．例1.1.2 已知抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为__． 【答案】 （2，﹣6） 【解析】 ∵抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）， ∴12×42+4b=0， ∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=12x 2﹣2x=12（x ﹣2）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为：直线x=2， ∵点C （1，﹣3），∴作点C 关于x=2的对称点C ′（3，﹣3）， 直线AC ′与x=2的交点即为D ，因为任意取一点D （AC 与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC ．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD ﹣CD |＜AC ′．所以最大值就是在D 是AC ′延长线上的点的时候取到|AD ﹣C ′D |=AC ′．把A ，C ′两点坐标代入，得到过AC ′的直线的解析式即可； 设直线AC ′的解析式为y=kx +b ，∴4k b=03k b=3+⎧⎨+⎩﹣ ，解得：k=3b=12⎧⎨-⎩，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．例1.1.3如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（）A．10B．C．20D．【答案】B【解析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，所以，PQ=P1Q，PR=P2R，所以，△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2，由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，连接P1O、P2O，则∠AOP=∠AOP1，OP1=OP，∠BOP=∠BOP2，OP2=OP，所以，OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=2×45°=90°，所以，△P1OP2为等腰直角三角，所以，P1P21即△PQR最小周长是故选B．例1.1.4如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）A．B．6C．D．3【答案】C【解析】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H=M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），∵AB=6，∠BAC=45°，∴BH=AB•sin45°=6∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+例1.1.5如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=____A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】作点A关于直线a的对称点A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM+NB=A′N+NB=A′B ，过点B 作BE ⊥AA′，交AA′于点E ，易得AE=2+4+3=9，，A′E=2+3=5，在Rt △AEB 中，，在Rt △A′EB 中，． 故选：B ．题模二：利用二次函数求最值例1.2.1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （﹣1，0）和点B （4，0），且与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点，连接CA ，CD ，PD ，PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点P 的坐标；（3）当m ＞0，n ＞0时，过点P 作直线PE ⊥y 轴于点E 交直线BC 于点F ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，连接EG ，请直接写出随着点P 的运动，线段EG 的最小值． 【答案】 （1）y=﹣12x 2+32x+2 （2）（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）（3【解析】 （1）把A （﹣1，0），B （4，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx+2中，可得 a-b+2=016a+4b+2=0⎧⎨⎩解得1 a=23 b=2⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩﹣∴抛物线的解析式为：y=﹣12x2+32x+2．（2）∵抛物线的解析式为y=﹣12x2+32x+2，∴点C的坐标是（0，2），∵点A（﹣1，0）、点D（2，0），∴AD=2﹣（﹣1）=3，∴△CAD的面积=132=32⨯⨯，∴△PDB的面积=3，∵点B（4，0）、点D（2，0），∴BD=2，∴|n|=3×2÷2=3，∴n=3或﹣3，①当n=3时，﹣12m2+32m+2=3，解得m=1或m=2，∴点P的坐标是（1，3）或（2，3）．②当n=﹣3时，﹣12m2+32m+2=﹣3，解得m=5或m=﹣2，∴点P的坐标是（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．综上，可得点P的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，﹣3）或（﹣2，﹣3）．（3）如图1，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），∴n=24m+n=0⎧⎨⎩解得1 m=2 n=2⎧⎪⎨⎪⎩﹣∴BC所在的直线的解析式是：y=﹣12x+2，∵点P的坐标是（m，n），∴点F的坐标是（4﹣2n，n），∴EG2=（4﹣2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5（n﹣85）2+165，∵n＞0，∴当n=85时，线段EG即线段EG例1.2.2如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM 周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣2x2+6x；（2）D（0，1）；（3）M（，）；（4）（，）．【解析】（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．（2）如图1所示；∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．∴∠BDC+∠EDO=90°．又∵∠ODE+∠DEO=90°，∴∠BDC=∠DE0．在△BDC和△DOE中，，∴△BDC≌△DEO．∴OD=AO=1．∴D（0，1）．（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．∵x=﹣=，∴点B′的坐标为（2，4）．∵点B与点B′关于x=对称，∴MB=B′M．∴DM+MB=DM+MB′．∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．∵由两点间的距离公式可知：BD==，DB′==，∴△BDM的最小值=+．设直线B′D的解析式为y=kx+b．将点D、B′的坐标代入得：，解得：k=，b=1．∴直线DB′的解析式为y=x+1．将x=代入得：y=．∴M（，）．（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点F（a，﹣2a2+6a），则OG=a，FG=﹣2a2+6a．∵S梯形D O GF=（OD+FG）•OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA= OD•OA=×1×1=，S△AG F=AG•FG=﹣a3+4a2﹣3a，∴S△FD A=S梯形D O GF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+a﹣．∴当a=时，S△FD A的最大值为．∴点P的坐标为（，）．例1.2.3如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣12x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是⊙M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣29．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169．（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．把x =0代入y =﹣12x +4得：y =4，∴A （0，4）． 将y =0代入得：0=﹣12x +4，解得x =8，∴B （8，0）．∴OA =4，OB =8． ∵M （﹣1，2），A （0，4），∴MG =1，AG =2．∴tan ∠MAG =tan ∠ABO =12． ∴∠MAG =∠ABO ．∵∠OAB +∠ABO =90°，∴∠MAG +∠OAB =90°，即∠MAB =90°．∴l 是⊙M 的切线．（3）∵∠PFE +∠FPE =90°，∠FBD +∠PFE =90°，∴∠FPE =∠FBD ．∴tan ∠FPE =12．∴PF ：PE ：EF 2：1．∴△PEF 的面积=12PE •EF =12PF PF =15PF 2． ∴当PF 最小时，△PEF 的面积最小．设点P 的坐标为（x ，﹣29x 2﹣49x +169），则F （x ，﹣12x +4）． ∴PF =（﹣12x +4）﹣（﹣29x 2﹣49x +169）=﹣12x +4+29x 2+49x ﹣169=29x 2﹣118x +209=29（x ﹣18）2+7132．∴当x =18时，PF 有最小值，PF 的最小值为7132．∴P （18，5532）． ∴△PEF 的面积的最小值为=15×（7132）2=50415120．随练1.1 四边形ABCD 中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使三角形AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ）A ． 80°B ． 90°C ． 100°D ． 130°【答案】C【解析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠NM=2（∠A′+∠A″）即可解决．延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC=∠ADC=90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA=BA′，MB⊥AB，∴MA=MA′，同理：NA=NA″，∴∠A′=′MAB，∠A″=∠NAD，∵∠AMN=∠A′+′MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″，∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），∵∠BAD=130°，∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=50°M∴∠AMN+∠NM=2×50°=100°．故选C．随练1.2如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标是123（，），在x，y轴上分（，），B点的坐标是27别有一点P和Q，若有四边形PABQ的周长最短，求周长最短的值．【答案】如图所示：四边形PABQ的周长最短，∵A点的坐标是123（，），（，），B点的坐标是27∴AB123（，），B'-（，），27A'-A B=，故''则四边形PABQ的周长最短的值为：【解析】利用作B点关于y轴对称点B'，作A点关于x轴对称点A'，进而连接AB''，交y轴于点Q，交x轴于点P，进而利用勾股定理得出答案．随练1.3如图，已知30∠=︒，在OM上有两点A、B分别到ON的距离为2cm和1cm，若在ONMON-的值最大，求P点到O点的距离．上找一点P使PA PB-的值最大，P应在OM上，【答案】因为A、B在OM上，要使PA PB-＜，如果P不在OM上，则P、A、B构成三角形，根据三角形的三边关系，PA PB AB所以，P是OM和ON的交点，即O点，所以P到O的距离为0．【解析】根据三角形的三边关系，两边的差小于第三边，可以判定当P点在OM和ON的交点处PA PB-的值最大，从而求得P点到O点的距离．随练1.4小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA PB+的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：①作点A关于直线l的对称点A''．②连结A B'，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在ABC△中，点D、E分别是AB、AC边的中点，6BC=，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得PDE△的周长最小．①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）②请直接写出PDE △周长的最小值__________．（2）如图2在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且1EF =，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF 周长的最小值_____．【答案】 （1）①见解析②8（2）6+【解析】 该题考查的是将军饮马问题．（1）如图1，作D 关于BC 的对称点'D ，由轴对称的性质可知'D P D P =，DPE C DE DP PE ∆=++'DE D P PE =++ 'D E D E ≥+∴当'D 、P 、E 共线时DPE C ∆最小，即P 为'D E 与BC 的交点， …………………………………………………1分此时，由D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴DE //BC 且132DE BC ==， 且D 到BC 距离为A 到BC 距离一半，即为2，由轴对称的性质可知'D P D P =，'DD BC ⊥，∴'DD 即为D 到BC 距离两倍，所以'4D D =，∵DE //BC ，'DD BC ⊥∴'DD DE ⊥，在Rt △'DD E 中，'90D DE ∠=︒，由勾股定理'5D E =，∴358DPE C ∆=+=； ……………………………………………………………2分（2）如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取1CH =，则CH 和EF 平行且相等，∴四边形CHEF 为平行四边形，∴CF HE =，由轴对称的性质可知GE ME =，CGEF C CG GE EF CF =+++1CG ME EH =+++ 1CG MH ≥++∴当M 、E 、H 共线时CGEF C 最小，连接HM 与AB 的交点即为E ，在EB 上截取1EF =即得F ，……………4分此时3DH =，3DG AG AM ===，∴9DM =，在Rt △DHM 和Rt △DGC 中由勾股定理：MH =5DG = ∴516CGEF C =+++……………………………………………5分随练1.5 在平面直角坐标系中，已知y=﹣12x 2+bx+c （b 、c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣12x2+2x﹣1；（2）见解析；（3）当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为【解析】（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）∴点B的坐标为（4，﹣1）．∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，∴111641 2cb c=-⎧⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得：b=2，c=﹣1，∴抛物线的函数表达式为：y=﹣12x2+2x﹣1．（2）如答题图2，设顶点P在直线AC上并沿AC时，到达P′，作P′M∥y轴，PM∥x轴，交于M点，∵点A的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），∴直线AC的解析式为y=x﹣1，∵直线的斜率为1，∴△P′PM是等腰直角三角形，∵∴P′M=PM=1，∴抛物线向上平移1个单位，向右平移1个单位，∵y=﹣12x2+2x﹣1=﹣12（x﹣2）2+1，∴平移后的抛物线的解析式为y=﹣12（x﹣3）2+2，令y=0，则0=﹣12（x﹣3）2+2，解得x1=1，x=52，∴平移后的抛物线与x轴的交点为（1，0），（5，0），解()213221y xy x⎧=--+⎪⎨⎪=-⎩，得1xy=⎧⎨=⎩或32xy=⎧⎨=⎩∴平移后的抛物线与AC的交点为（1，0），∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点（1，0）．（3）如答图3，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q，取AB中点F，连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，∴四边形PQFN为平行四边形．∴NP=FQ．∴．∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为随练1.6如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．【答案】（1）y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3；（2）S=m﹣3．（2≤m≤6）；（3）m=时，MN最小==【解析】（1）∵过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点C的横坐标为4，BC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=4，∵A（2，6），∴D（6，6），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+2，∵点D在此抛物线上，∴6=a（6﹣2）2+2，∴a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）∴E（，3），∴BE=，∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3∵点F（m，6）是线段AD上，∴2≤m≤6，即：S=m﹣3．（2≤m≤6）（3）∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴B（0，3），C（4，3），∵A（2，6），∴直线AC解析式为y=﹣x+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）∴PN=m，PM=﹣m+9，∵FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，∴∠MPN=90°，∴MN===∵2≤m≤6，∴当m=时，MN最小==作业1如图，∠MON=20°，A、B分别为射线OM、ON上两定点，且OA=2，OB=4，点P、Q分别为射线OM、ON两动点，当P、Q运动时，线段AQ+PQ+PB的最小值是（）A．3B．C．2D．【答案】D【解析】作A关于ON的对称点A′，点B关于OM的对称点B′，连接A′B′，交于OM，ON分别为P，Q，连接OA′，OB′，则PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°，∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°，∵cos60°=12，OAOB''=12，∴∠OA′B′=90°，∴∴线段AQ+PQ+PB的最小值是：作业2阅读材料：，如图，建立平面直角坐标系，点P（x，0）是x P与点A（0，1点P与点B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3，CB=3，所以A′，即原式的最小值为根据以上阅读材料，解答下列问题：（1P（x，0）与点A（1，1）、点B____的距离之和．（填写点B的坐标）（2____．【答案】（1）（2，3）（2）10【解析】（1∴代数式P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2的形式，∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴，故答案为：10．作业3定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．（1）若P(1，2)，Q(4，2)．①在点A(1，0)，B(52，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是；②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.（2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）A、B（2）见解析（3）Q）或Q（）【解析】解:（1）A 、B……………………………………………………………………………2分（2）如图，作点P 关于x 轴的对称点P′，连接P′Q ，P′Q 与x 轴的交点即为“等高点”M ，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q 的长. ………………………3分∵P (1，2)，∴ P′ (1，－2).设直线P′Q 的表达式为y kx b =+，根据题意，有242k b k b +=-⎧⎨+=⎩，解得43103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴直线P′Q 的表达式为41033y x =-.……………4分 当0y =时，解得52x =. 即52t =.………………………………………………………………………5分 根据题意，可知PP′＝4，PQ ＝3， PQ ⊥PP′，∴'5P Q .∴“等高距离”最小值为5.…………………………………………………6分（3）Q）或Q（）.………………………………8分作业4 如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点在x 轴上，线段OA ，OB 的长分别为方程x 2﹣8x+12=0的两个根（OB ＞OA ），点C 是y 轴上一点，其坐标为（0，﹣3）．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的关系式；（3）D是点C关于该抛物线对称轴的对称点，E是该抛物线的顶点，M，N分别是y轴、x轴上的两个动点．①当△CEM是等腰三角形时，请直接写出此时点M的坐标；②以D、E、M、N位顶点的四边形的周长是否有最小值？若有，请求出最小值，并直接写出此时点M，N的坐标；若没有，请说明理由．【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）．（2）y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）有；①M（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②M（0，﹣53）N（107，0）【解析】（1）∵x2﹣8x+12=0，∴（x﹣2）（x﹣6）=0，解得：x1=2，x2=6，∵OB＞OA，∴OA=2，OB=6，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0）．（2）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x﹣6）（a≠0），将C（0，﹣3）代入得：﹣3=﹣12a，解得：a=14，∴经过A，B，C三点的抛物线的关系式为：y=14（x+2）（x﹣6）=14x2﹣x﹣3．（3）①依据题意画出图形，如图1所示．设点M的坐标为（0，m），∵抛物线的关系式为y=14x2﹣x﹣3=14（x﹣2）2﹣4，∴点E（2，﹣4），∴CM=|m+3|，．△CEM是等腰三角形分三种情况：当CE=CM，解得：3或m=3，此时点M的坐标为（03）或（03）；当CE=ME，解得：m=﹣3（舍去）或m=﹣5，此时点M的坐标为（0，﹣5）；当CM=ME时，有，解得：m=﹣112，此时点M的坐标为（0，﹣112）．综上可知：当△CEM是等腰三角形时，点M的坐标为（03）、（03）、（0，﹣5）或（0，﹣112）．②四边形DEMN有最小值．作点E关于y轴对称的点E′，作点D关于x轴对称的点D′，连接D′E′交x轴于点N，交y 轴于点M，此时以D、E、M、N位顶点的四边形的周长最小，如图2所示．∵点C（0，﹣3），点E（2，﹣4），∴点D（4，﹣3），=∵E、E′关于y轴对称，D、D′关于x轴对称，∴EM=E′M，DN=D′N，点E′（﹣2，﹣4），点D′（4，3），∴EM+MN+DN=D′E′=∴C四边形DEMN．设直线D′E′的解析式为y=kx+b，则有3442k bk b⎧-+⎨-=-+⎩，解得：7653kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线D′E′的解析式为y=76x﹣53．令y=76x﹣53中x=0，则y=﹣53，∴点M（0，﹣53）；令y=76x﹣53中y=0，则76x﹣53=0，解得：x=107，∴点N（107，0）．故以D、E、M、N，此时点M的坐标为（0，﹣53），点N的坐标为（107，0）．作业5已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+1有两个交点A、B．（1）当AB的中点落在y轴时，求c的取值范围；（2）当，求c的最小值，并写出c取最小值时抛物线的解析式；（3）设点P（t，T）在AB之间的一段抛物线上运动，S（t）表示△PAB的面积．①当y 轴时，求S （t ）的最大值，以及此时点P 的坐标； ②当AB=m （正常数）时，S （t ）是否仍有最大值，若存在，求出S （t ）的最大值以及此时点P 的坐标（t ，T ）满足的关系，若不存在说明理由．【答案】 见解析【解析】 此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，根的判别式，函数图象交点及图形面积的求法等知识，综合性强，难度较大．（1）若AB 的中点落在y 轴上，那么A 、B 的横坐标互为相反数，即两个横坐标的和为0；可联立两个函数的解析式，那么A 、B 的横坐标即为所得方程的两根，根据方程有两个不等的实数根及两根的和为0即可求出c 的取值范围；（2）由于直线AB 的斜率为1，当A 、B 两点横坐标差的绝对值为2；联立两个函数的解析式，可得到关于x 的方程，那么A 、B 的横坐标就是方程的两个根，可用韦达定理表示出两根差的绝对值，进而求出b 、c 的关系式，即可得到c 的最小值以及对应的b 的值，由此可确定抛物线的解析式；（3）①在（2）中已经求得了b 、c 的关系式，若抛物线与直线的一个交点在y 轴，那么c=1，可据此求出b 的值；进而可确定抛物线的解析式，过P 作PQ ∥y 轴，交AB 于Q ，可根据抛物线和直线AB 的解析式表示出P 、Q 的纵坐标，进而可求出PQ 的表达式，以PQ 为底，A 、B 横坐标的差的绝对值为高即可求出△PAB 的面积，进而可得出关于S （t ）和t 的函数关系式，根据函数的性质即可求出△PAB 的最大面积及对应的P 点坐标；②结合（2）以及（3）①的方法求解即可．（1）由x 2+bx+c=x+1，得x 2+（b-1）x+c-1=0①．设交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） （x 1＜x 2）．∵AB 的中点落在y 轴，∴A ，B 两点到y 轴的距离相等，即A ，B 两点的横坐标互为相反数，∴x 1+x 2=0，故210(1)4(1)0b b c ⎧-=⎪⎨⎪=--->⎩V∴c＜1；（3分）（2）∵，如图，过A作x轴的平行线，过B作y轴的平行线，它们交于G点，∵直线y=x+1与x轴的夹角为45°，∴△ABG为等腰直角三角形，而，=2，即|x1-x2|=2，∴（x1+x2）2-4x1x2=4，由（1）可知x1+x2=-（b-1），x1x2=c-1．代入上式得：（b-1）2-4（c-1）=4，∴c=14(b-1)2≥0∴c的最小值为0；此时，b=1，c=0，抛物线为y=x2+x；（3）①∵由(2)知c=14(b-1)2成立．又∵抛物线与直线的交点在y轴时，交点的横坐标为0，把x=0代入①，得c-1=0，∴c=1．∴这一交点为（0，1）；∴14(b-1)2=1∴b=-1或3；当b=-1时，y=x2-x+1，过P作PQ∥y轴交直线AB于Q，则有：P（t，t2-t+1），Q（t，t+1）；∴PQ=t+1-（t2-t+1）=-t2+2t；∴S （t ）=122+2t=-（t-1）2+1； 当t=1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （1，1）；当b=3时，y=x 2+3x+1，同上可求得：S （t ）=122-2t=-（t+1）2+1； 当t=-1时，S （t ）有最大值，且S （t ）最大=1，此时P （-1，-1）；故当P 点坐标为（1，1）或（-1，-1）时，S （t ）最大，且最大值为1；②同（2）可得：（b-1）2-4（c-1）=m 2，由题意知：c=1，则有：（b-1）2=m 2，即b=1±m ；当b=1+m 时，y=x 2+（1+m ）x+1，∴P （t ，t 2+（1+m ）t+1），Q （t ，t+1）；∴PQ=t+1-[t 2+（1+m ）t+1]=-t 2-mt ；∴S （t ）=1212（-t 2-mt ）（t+2m ）2m 3；∴当t=-2m 时，S （t ）最大3， 此时P （-12m ，-24m -2m +1）； 当b=1-m 时，y=x 2+（1-m ）x+1，同上可求得：S （t ）m （t-2m ）23；∴当t=12m 时，S （t ）最大3， 此时P （12m ，34m 2+12m+1）；故当P （-12m ，-24m -2m +1）或（12m ，34m 2+12m+1）时，S （t 3．作业6 如图，抛物线y=ax 2﹣2ax+c 过坐标系原点及点B （4，4），交x 轴的另一个点为A ．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线上找出点C ，使得S △ABO =S △CBO ，求出点C 的坐标；（3）连结BO 交对称轴于点D ，以半径为12作⊙D ，抛物线上一动点P ，过P 作圆的切线交圆于点Q ，使得PQ 最小的点P 有几个？并求出PQ 的最小值．【答案】 （1）故抛物线的解析式为： 21y=x x 2-，对称轴x=﹣1122-⨯=1 （2）点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）点P 有2个，PQ【解析】 （1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax +c 过坐标系原点及点B （4，4），∴c=016a 8a+c=4⎧⎨-⎩， 解得：1a=2c=0⎧⎪⎨⎪⎩， 故抛物线的解析式为：21y=x x 2-， 对称轴x=﹣1122-⨯=1； （2）当y=0，0=12x 2﹣x ， 解得：x 1=0，x 2=2，故A （2，0），∵B （4，4），∴直线BO 的解析式为：y=x ，作BO 的平行线y=x ﹣2， 则2y=x 21y=x x 2-⎧⎪⎨-⎪⎩ ， 解得：x 1=x 2=2，则y=0，故C 1（2，0）往上平移还可以得到另一直线：y=x +2，组成方程组： 2y=x 21y=x x 2+⎧⎪⎨-⎪⎩， 解得：11x =2y =4⎧-⎪⎨-⎪⎩22x =2y =4⎧+⎪⎨+⎪⎩可得C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+综上所述：点C 的坐标为：C 1（2，0），C 2（2﹣4﹣C 3（2+4+（3）∵y=12x 2﹣x=12（x ﹣1）2+1， ∴可得D （1，1），设P （x ，y ），由相切得：DQ ⊥PQ ，则PQ 2=PD 2﹣DQ 2， 故2221(x 1y 14PQ =-+--）（）=2217x x 244-+（）， 故x=0，2时PQ 最小，故点P 有2个，PQ的最小值为2．作业7 如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax 2+bx ﹣2与x 轴交于点A （﹣3，0）．B （1，0），与y 轴交于点C（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E ，若弦CD 过AB 的中点M ，试求出DC 的长；（3）将抛物线向上平移32个单位长度（如图2）若动点P （x ，y ）在平移后的抛物线上，且点P 在第三象限，请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式，并写出△PDE 面积的最大值．【答案】 （1）抛物线的函数解析式为y=23x 2+43x ﹣2． （2）． （3）△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324【解析】 （1）由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）令抛物线解析式中x=0求出点C 的坐标，根据点A 、B 的坐标即可求出其中点M 的坐标，由此即可得出CM 的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM ∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得出OC CM DC CE=，代入数据即可求出DC 的长度； （3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x 轴的交点坐标，由此即可得出点P 横坐标的范围，再过点P 作PP′⊥y 轴于点P′，过点D 作DD′⊥y 轴于点D′，通过分割图形求面积法找出S △PDE 关于x 的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE 面积的最大值．解：（1）将点A （﹣3，0）、B （1，0）代入y=ax 2+bx ﹣2中，得：093202a b a b =--⎧⎨=+-⎩，解得：2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为y=23x2+43x﹣2．（2）令y=23x2+43x﹣2中x=0，则y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，CE=4．∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点，∴M（﹣1，0），∴∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE=90°，∴△COM∽△CDE，∴OC CM DC CE=，∴．（3）将抛物线向上平移32个单位长度后的解析式为y=23x2+43x﹣2+32=23x2+43x﹣12，令y=23x2+43x﹣12中y=0，即23x2+43x﹣12=0，解得：x1，x2．∵点P在第三象限，x＜0．过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示．（方法一）：在Rt△CDE中，，CE=4，∴，sin ∠DCE=DE CE =在Rt △CDD′中，，∠CD′D=90°，∴DD′=CD•sin ∠DCE=85，165， ∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．（方法二）：在Rt △CDE 中，，CE=4，∴， ∵∠CDE=∠CD′D=90°，∠DCE=∠D′CD ， ∴△CDE ∽△CD′D ，∴DD CD CD DE CD CE''==， ∴DD′=85，CD′=165， ∴∴OD′=CD′﹣OC=65， ∴D （﹣85，65），D′（0，65）． ∵P （x ，23 x 2+43x ﹣12）， ∴P′（0，23 x 2+43x ﹣12）． ∴S △PDE =S △DD′E +S梯形DD′P′P ﹣S △EPP′=12DD′•ED′+12（DD′+PP′）•D′P′﹣12PP′•EP′=﹣2815x ﹣23x+2x ＜0），∵S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2=﹣285()158x ++5324＜﹣58＜0， ∴当x=﹣58时，S △PDE 取最大值，最大值为5324．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =﹣2815x ﹣23x+2＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为5324．。
平行四边形+专题：平行四边形中的最值问题+讲练课件+++2023—2024学年人教版数学八年级下册
解：∵四边形CDEF是正方形，
∴OC＝OD，∠COD＝90°，∠ACO＝∠BDO＝45°.
∴∠AOC＋∠AOD＝90°.
∵∠AOB＝90°，∴∠BOD＋∠AOD＝90°.
∴∠AOC＝∠BOD.
ACO＝BDO，
∴在△AOC和△BOD中，Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＝OD，
AOC＝BOD，
∴△AOC≌△BOD(ASA). ∴OA＝OB.
新人教版初中八年级数学下学期
第十八章 平行四边形
专题：平行四边形中的最值问题
利用轴对称求最值
1. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E在BC上，且BE ＝2，点P在对角线BD上，则PE＋PC的最小值为 ( B )
2. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为 BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE 的最小值为__3__.
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC.
∴∠ADB＝∠CBD. ∵将△ADE，△CBF分别沿DE，BF翻折，点A，点C 都恰好落在点O处， ∴△ADE≌△ODE.∴△CFB≌△OFB. ∴∠∠CBAFD＝E∠＝O∠BOFD＝E＝12∠12C∠BADD. B， ∴∠EDO＝∠FBO；
(2)求证：四边形DEBF是菱形； (2)证明：∵∠EDO＝∠FBO，∴DE∥BF.
∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD＝BC，∠A＝90°. ∵DE∥BF，AB∥CD， ∴四边形DEBF是平行四边形. 又∵△ADE≌△ODE， ∴∠A＝∠DOE＝90°. ∴EF⊥BD.∴四边形DEBF是菱形；
(3)如图2，若AD＝2，P是线段ED上的动点，求2AP＋ PD的最小值.
(3)解：如图2，过点P作PH⊥AD于点H， ∵四边形DEBF是菱形，△ADE≌△ODE. ∴∠ADE＝∠ODE＝∠ODF＝30°.
八年级数学利用轴对称求线段和最小或差最大最值问题(含答案)
利用轴对称求线段和最小或差最大最值问题1.已知A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建造一座桥MN，使从A到B的路径AM-MN-NB 最短，则应按照下列哪种方式来建造（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）( )A. B.C. D.答案：D解题思路：2.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB 的值最小时，点P的坐标为( )A. B.C.（1，0）D.（5，0）答案：B解题思路：3.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为( )A. B. C.（2，0） D.（3，0）答案：B解题思路：4.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为( )A. B.1 C.2 D.答案：A解题思路：5.如图，两点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=6，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值为( )A. B. C. D.答案：C解题思路：6.如图，已知两点A，B在直线的异侧，A到直线的距离AC=6，B到直线的距离BD=2，CD=3，点P在直线上运动，则的最大值为( )A. B.3 C.1 D.5答案：D解题思路：7.如图，已知两点A，B在直线的异侧，A到直线的距离AC=5，B到直线的距离BD=2，DC=4，点P在直线上运动，则的最大值为( )A.1B.5C.3D.2答案：B解题思路：8.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（3，-4），在x轴上有一点P，当的值最大时，点P的坐标是( )A. B.（-1，0）C.（0，0）D.（3，0）答案：B解题思路：。
与轴对称相关的线段和最短问题
与轴对称相关的线段之和最短问题监利县第一初级中学刘光杰QQ 1519819521一．问题的引入：在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42，有这样一个问题在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。
通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。
本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。
若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。
二．数学模型：1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小为方便归类，将以上三种情况统称为“两边之和大于第三边型”4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形PAQB的周长最小。
为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小6. .如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三.两边之和大于第三边型 (一)直线类1．如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？作点B 关于直线CD 的对称点B'，连接AB'，交CD 于点M 则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M 点时，费用最小 如右图，在直角△AB'E 中， AE = AC+CE = 10+30 = 40 EB' = 30所以：AB' = 50总费用为：50×3 = 150万2．如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC 。
八年级数学上册第十三章轴对称经典大题例题(带答案)
八年级数学上册第十三章轴对称经典大题例题单选题1、如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（）A．在∠B的平分线与DE的交点处B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处答案：C分析：根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断．解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，则水池修建的位置应该为P点．故选：C．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM=1，则PM+PN的最小值为（）A．3B．2√3C．3.5D．3√3答案：A分析：作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM+ PN的最小值．解：如图所示，作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，∴PN+PM=PN+PM′，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，此时，∵Rt△AM′N中，∠A=30°，∴M′N=12AM′=12(7−1)=3，∴PM+PN的最小值为3，故选择A．小提示：本题主要考查了最短路线问题，30°直角三角形性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3、若点P (a +1,2−2a )关于x 轴的对称点在第四象限，则a 的取值范围为（ ）A ．a >−1B ．a <1C ．−1<a <1D ．a <−1答案：C分析：根据关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出对称点，再由第四象限内点的坐标符号为（+，-），据此列不等式解答．解：∵点P (a +1,2−2a )关于x 轴的对称点坐标为（a +1，2a -2），且在第四象限，∴a +1>0，且2a -2<0，解得-1<a <1，故选：C ．小提示：此题考查了轴对称的性质，各象限内点的坐标特点，熟记各象限内点的坐标符号特点是解题的关键．4、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为EF ．已知AB =AC =3,BC =4，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么CF 的长度是（ ）A ．2B ．127或2C ．127D ．125或2答案：B分析：分两种情况：若∠BFD=∠C或若∠BFD=∠A，再根据相似三角形的性质解题∵△ABC沿EF折叠后点C和点D重合，∴FD=CF，设CF=x，则FD=CF=x,BF=4−x，以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD=∠C，则BFBC =FDAC，即4−x4=x3，解得x=127；②若∠BFD=∠A，则BFAB =FDAC，即4−x3=x3，解得x=2．综上，CF的长为127或2，故选：B．小提示：本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5、如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF=8，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．5答案：C分析：根据等腰三角形的性质可得CD=BD，从而得到S△ABC=2S△ABD，从而得到12AC⋅BF=2×12AB⋅DE，即可求解．解：∵AB=AC,AD⊥BC，∴CD=BD，∴S△ABC=2S△ABD，∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S△ABC=12AC⋅BF,S△ABD=12AB⋅DE，∴12AC⋅BF=2×12AB⋅DE，∵BF=8，∴DE=4．故选：C小提示：本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41°B．42°C．43°D．44°答案：B分析：设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解．设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故选：B．小提示：本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．7、如图，在△ABC中，∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．其中正确的有（）A．①②B．①③④C．①③D．②③④答案：B分析：证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．解：∵△ABC中，AD，BE分别为B C、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正确，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；延长CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=1AC，2∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B．小提示：本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜8、如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30∘，则CE的长是（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm答案：B分析：根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．∵△ABC是等边三角形，∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=12AC=12×4=2cm，∵∠E = 30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．小提示：本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．9、如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2=15，则△PMN的周长为（）A．16B．15C．14D．13答案：B分析：根据轴对称的性质可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根据三角形的周长定义，求出△PMN的周长为P1P2，从而得解．解：∵点P关于OB、OA的对称点P1，P2，∴P1M=PM，P2N=PN，∴△PMN的周长=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2，∵P1P2=15∴△PMN的周长为15．故选：B．小提示：本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．10、△ABC为等边三角形，点E为边AB的中点，点Q为边BC上一动点，以EQ为边作等边△EQF（点F在EQ 的右侧），连接AF、FC，点P在射线CB上，且满足PE=EQ，有以下四个结论①∠FQC＝∠QEB；②FQ＝FC；③PB+QC=AE；④当AF⊥AB时，BC＝4PB，其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，根据三角形内角和定理和平角的定义得出∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，进而可得∠FQC＝∠QEB，故①正确；根据点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，可得AE＝EB＝BH＝HC，△EBH是等边三角形，然后求出PB＝HQ即可得出PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；通过证明△PEH≌△FEH可得∠EHP＝∠EHF＝60°，求出∠EHF＝∠CHF，再证△EHF≌△CHF，求出FC ＝EF即可得出FQ＝FC，故②正确；当CQ＝HQ时，BC＝4PB，由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误．解：取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，∵△ABC为等边三角形，△EQF为等边三角形，∴∠EQF＝∠EBQ＝60°，∵∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，∴∠FQC＝∠QEB，故①正确；∵EG⊥BC，PE=EQ，∴PG＝GQ，∵点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，∠ABC＝60°，∴AE＝EB＝BH＝HC，∴△EBH是等边三角形，∵EG⊥BH，∴BG＝GH，∴PB＝HQ，∴PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；∵EG⊥BC，PE=EQ，△EBH是等边三角形，∴∠BEG＝∠HEG，∠PEG＝∠QEG，∠BEH＝∠EHB＝60°，EH＝EB，∴∠PEB＝∠QEH，∵在等边三角形△EQF中，∠FEQ＝60°，EF＝EQ＝FQ，∴∠PEH＝∠FEH，PE＝FE，又∵EH＝EH，∴△PEH≌△FEH（SAS），∴∠EHP＝∠EHF＝60°，∴∠FHC＝60°，即∠EHF＝∠CHF，∵AE＝EB＝BH＝HC，EH＝EB，∴EH＝HC，又∵HF＝HF，∴△EHF≌△CHF（SAS），∴FC＝EF，∴FQ＝FC，故②正确；④∵BH＝CH，BG＝GH，BP＝HQ，∴当CQ＝HQ时，BC＝4PB，由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误；综上，正确的有3个，故选：C．小提示：本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键．填空题11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若CD=1，则AD的长为________．答案：2分析：根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=∠A=30°，求得∠CBD=30°，即可求出答案．解：∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠CBD=30°，∵CD=1，∴AD=BD=2CD=2，所以答案是：2．小提示：此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．12、在“锐角、五角星、等边三角形、圆、正六边形”这五个图形中，是轴对称图形的有________个，按对称轴条数由多到少排列是_______________．答案： 5 圆、正六边形、五角星、等边三角形、锐角分析：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，进行求解即可．解：锐角时轴对称图形，对称轴为1条；五角星是轴对称图形，对称轴有5条；等边三角形是轴对称图形，对称轴有3条；圆是轴对称图形，对称轴有无数条；正六边形是轴对称图形，对称轴有6条，所以答案是：5；圆，正六边形，五角星，等边三角形，锐角．小提示：本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13、如图，在ΔABC中，AB=7cm，BC=5cm，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上的任意一点，则ΔBCF周长的最小值是________cm．答案：12分析：当F点于D重合时，ΔBCF的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出ΔBCF的周长．∵DE垂直平分AC，∴点C与A关于DE对称，∴当F点于D重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），∴ΔBCF的周长为：CΔBCF=BD+CD+BC，∵DE是垂直平分线，∴AD=CD，又∵AB=7cm，∴BD+AD=BD+CD=7cm，∴CΔBCF=7+5=12cm，所以答案是：12．小提示：本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键．14、如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE=108°，则图1中的∠DEF的度数是______．答案：24°##24度分析：先根据平行线的性质，设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得a的值．∵AD∥BC，∴设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2a，图3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2a﹣a＝108°．解得a＝24°．即∠DEF＝24°，所以答案是：24°．小提示：本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．15、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B=_________°．答案：30分析：根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.解：∵EF垂直平分BC，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.所以答案是：30.小提示：本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.解答题16、如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）：(1)画出△ABC中BC边上的高AD；(2)画出先将△ABC向左平移5格，再向下平移2格后的△A1B1C1；(3)画一个△BCP（要求各顶点在格点上，P不与A点重合），使其面积等于△ABC的面积．并回答，满足这样条件的点P共______个．答案：(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；2分析：（1）根据三角形高的定义求解可得；（2）根据平移的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）过点A作平行于BC的直线，同样结合网格的特点在直线BC的另一侧也可以找出符合条件的格点P，共（1）解：如图：作BF⊥BC，再过A点作BF的平行线，交BC于点D，（2）解：如图：（3）解：如图符合条件的格点共有4个，小提示：本题用到的知识点为：三角形一边上的高为这边所对的顶点向这边所引的垂线段，对称的性质；图形的平移要归结为各顶点的平移，平行线间距离处处相等．17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD．答案：见解析分析：连接AD，首先根据垂直平分线的性质得到∠DAB=∠B=30°，然后根据AB=AC，求出∠B=∠C=30°，∠DAC=90°，最后根据30°角所对的直角边是斜边的一半即可证明出CD=2BD．证明：连接AD，∵直线MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B，又∵∠B=30°，∴∠DAB=30°，又∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，∴∠DAC=90°，又∵∠C=30°，∴CD=2AD，又∵AD=BD，∴CD=2BD．小提示：此题考查了等腰三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是连接AD求出∠DAB=∠B=30°．18、如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D．求证：∠2=∠1+∠C．答案：见解析分析：延长AD交BC于点F，由BE是角平分线、AD⊥BE可知△ABF是等腰三角形且∠2＝∠AFB，根据∠AFB＝∠1＋∠C可得证．证明：如图，延长AD交BC于点F，∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，∴AB=FB，∴∠2=∠AFB，∵∠AFB=∠1+∠C，∴∠2=∠1+∠C．小提示：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．。
八年级数学利用轴对称解几何动点最值问题分类总结(将军饮马)
利用轴对称解几何动点最值问题分类总结（将军饮马）轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。
比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。
初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。
下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
方法：1.定点过动点所在直线做对称。
2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
（2）一点两线的最值问题:（两个动点+一个定点）问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。
核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。
变异类型：1.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
2.如图，点A是∠MON外的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。
（3）两点两线的最值问题:（两个动点+两个定点）问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。
利用轴对称性质求几何最值
轴对称中几何动点最值问题的应用初二一班轴对称的作用是“搬点移线”，可以把图形中比较分散、缺乏联系的元素集中到“新的图形”中，为应用某些基本定理提供方便。
比如我们可以利用轴对称性质求几何图形中一些线段和的最大值或最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。
初中阶段利用轴对称性质求最值的题目可以归结为：两点一线，两点两线，一点两线三类线段和的最值问题。
下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
（1）两点一线的最值问题:（两个定点+ 一个动点）问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
例1以三角形载体的最短距离问题. 如图,等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点, 若AE=2,EM+CM的最小值为( )A．4 B.8 C. D.练习1如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15° B.22.5° C.30° D. 45°2如图，Rt△ABC中，AC=BC=4，点D，E分别是AB，AC的中点，在CD上找一点P，使PA+PE 最小，则这个最小值是 _____________.3如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED 的最小值是_____________.例2以菱形为载体的最短距离问题：如图所示，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是_________。
中考数学复习---《利用对称求最值问题》知识点总结与专项练习题(含答案)
中考数学复习---《利用对称求最值问题》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.基本知识点：①两点之间线段最短；②点到直线的距离最短。
2.求最值问题的类型问题基本图形解题图形解题思路与步骤如图①：如图，存在直线l 以及直线外的点P和点Q，直线l 上存在一点M，使得MP＋MQ 的值最小。
解题思路：找点作对称解题步骤：①从问题中确定定点与动点。
②作其中一个定点关于动点所在直线的对称点。
通常情况下其中一个定点的关于动点所在直线的对称点存在，找出即可。
③连接对称点与另一个定点。
与动点所在直线的交点即是如图②：如图，已知∠MON 以及角内一点P，角的两边OM 与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小。
微专题1．（2022•德州）如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 在BC 上，CE ＝2．点M 是对角线BD 上的一个动点，则EM +CM 的最小值是（ ）A ．62B ．35C ．213D ．413【分析】要求ME +MC 的最小值，ME 、MC 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME ，MC 的值，从而找出其最小值求解．【解答】解：如图，连接AE 交BD 于M 点， ∵A 、C 关于BD 对称， ∴AE 就是ME +MC 的最小值，如图③：如图：已知∠AOB 以及角内两点点P 与点Q ，角的两边上分别存在M 、N 使得四边形PQMN 的周长最小。
动点的位置。
然后解题。
∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，∵AB＝，∴AE＝＝2，∴ME+MC的最小值是2．故选：C．2．（2022•资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（）A．42B．25+2 C．213D．210【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可．【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，∵A与A'关于BC对称，∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴，∵A与A'关于BC对称，∴AB＝BA'＝4，∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，在Rt△OFA'中，，故选：D．3．（2022•菏泽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是对角线BD上的一个动点，CF＝BF，则MA+MF的最小值为（）A．1 B．2C．3D．2【分析】当MA+MF的值最小时，A、M、F三点共线，即求AF的长度，根据题意判断△ABC为等边三角形，且F点为BC的中点，根据直角三角形的性质，求出AF的长度即可．【解答】解：当A、M、F三点共线时，即当M点位于M′时，MA+MF的值最小，由菱形的性质可知，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵F点为BC的中点，AB＝2，∴AF⊥BC，CF＝FB＝1，∴在Rt△ABF中，AF＝＝．故选：C．4．（2022•广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）A．2 B．3C．1.5 D．5【分析】如图，取AB的中点T，连接PT，FT．首先证明四边形ADFT是平行四边形，推出AD＝FT＝2，再证明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得结论．【解答】解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT．∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵DF＝CF，AT＝TB，∴DF＝AT，DF∥AT，∴四边形ADFT是平行四边形，∴AD＝FT＝2，∵四边形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，∴E，T关于AC对称，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PT+PF，∵PF+PT≥FT＝2，∴PE+PF≥2，∴PE+PF的最小值为2．故选：A．5．（2022•赤峰）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A （﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）3A．3 B．5 C．22D．32【分析】根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值，求出此时的最小值即可．【解答】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P ，此时PD +PE 有最小值为DE '，∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0）， ∴OA ＝OC ＝3，∠DBC ＝60°， ∴△BCD 是等边三角形， ∴DE '＝OC ＝3，即PD +PE 的最小值是3， 故选：A ．6．（2022•安顺）已知正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 上一点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，交AF 于点H ，交BF 于点G ，N 为EF 的中点，M 为BD 上一动点，分别连接MC ，MN ．若91=∆∆FCEDCG S S ，则MC +MN 的最小值为 ．【分析】由正方形的性质，可得A 点与C 点关于BD 对称，则有MN +CM ＝MN +AM ≥AN ，所以当A 、M 、N 三点共线时，MN +CM 的值最小为AN ，先证明△DCG ∽△FCE ，再由＝，可知＝，分别求出DE ＝1，CE ＝3，CF ＝12，即可求出AN ．【解答】解：如图，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴A点与C点关于BD对称，∴CM＝AM，∴MN+CM＝MN+AM≥AN，∴当A、M、N三点共线时，MN+CM的值最小，∵AD∥CF，∴∠DAE＝∠F，∵∠DAE+∠DEH＝90°，∵DG⊥AF，∴∠CDG+∠DEH＝90°，∴∠DAE＝∠CDG，∴∠CDG＝∠F，∴△DCG∽△FCE，∵＝，∴＝，∵正方形边长为4，∴CF＝12，∵AD∥CF，∴＝＝，∴DE＝1，CE＝3，在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，∴EF＝＝3，∵N是EF的中点，∴EN＝，在Rt△ADE中，EA2＝AD2+DE2，∴AE＝＝，∴AN＝，∴MN+MC的最小值为，故答案为：，7．（2022•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是．【分析】延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，则四边形EFGC是平行四边形，得CE＝FG，则AF+CE＝AF+FG，可知当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，利用勾股定理求出AG的长即可．【解答】解：延长BC到G，使CG＝EF，连接FG，∵EF∥CG，EF＝CG，∴四边形EFGC是平行四边形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G三点共线时，AF+CE的值最小为AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值为10，故答案为：10．8．（2022•贺州）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长最小值为．【分析】如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．利用勾股定理求出FT＝，EF＝5，证明PE+PF＝PF+PT≥FT，可得结论．【解答】解：如图，在DC上截取DT，使得DT＝DE，连接FT，过点T作TH⊥AB于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADT＝90°，∵∠AHT＝90°，∴四边形AHTD是矩形，∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，∴FT＝＝＝，∵DG平分∠ADC，DE＝DT，∴E、T关于DG对称，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，∵EF＝＝＝5，∴△EFP的周长的最小值为5+，故答案为：5+．9．（2022•娄底）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为．【分析】连接AQ，作AH⊥BC于H，利用SAS证明△ABQ≌△CBQ，得AQ＝CQ，当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，再求出AH的长即可．【解答】解：连接AQ，作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），∴AQ＝CQ，∴当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，∵AB＝2，∠ABC＝45°，∴AH＝，∴CQ+PQ的最小值为，故答案为：．10．（2022•眉山）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝43，则PE+PB的最小值为．【分析】作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度；然后求出B′B和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，∴B′B＝2BF＝4，∵BE＝BF，∠CBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF＝B'F，∴△BEB'是直角三角形，∴B′E＝＝＝6，∴PE+PB的最小值为6，故答案为：6．11．（2022•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为．【分析】如图，过点E作EH⊥BC于点H．利用相似三角形的性质求出FH，EF，设BF ＝x，则DE＝10﹣x﹣＝﹣x，因为EF是定值，所以AF+CE的值最小时，AF+EF+CE 的值最小，由AF+CE＝+，可知欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小，最小值为线段A′B的长，由此即可解决问题．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝5，∵BC＝AD＝10，∴AC＝＝＝5，∵EF⊥AC，∴∠COF＝90°，∴∠EFH+∠ACB＝90°，∵∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠EFH＝∠BAC，∴△EHF∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∴FH＝，EF＝，设BF＝x，则DE＝10﹣x﹣＝﹣x，∵EF是定值，∴AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，∵AF+CE＝+，∴欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交xz轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小，最小值为线段A′B的长，∵A′（0，﹣5），B（，5），∴A′B＝＝，∴AF+CE的最小值为，∴AF+EF+CE的最小值为+．解法二：过点C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，连接C′F．∵EF＝CC′，EF∥CC′，∴四边形EFC′C是平行四边形，∴EC＝FC′，∵EF⊥AC，∴AC⊥CC′，∴∠ACC＝90°，∵AC′＝＝＝，∴AF+EC＝AF+FC′≥AC′＝，∴AF+EF+CE的最小值为+．故答案为：+．12．（2022•自贡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF＝1，则GE+CF的最小值为．【分析】解法一：利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GE+CF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出．解法二：设AE＝x，则BF＝3﹣x，根据勾股定理可得：EG+CF＝+，由勾股定理构建另一矩形EFGH，根据线段的性质：两点之间线段最短可得结论．【解答】解：解法一：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH＝1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF＝1，此时GE+CF的值最小，∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH＝CF，∴G'H＝EG'+EH＝EG+CF，∵AB＝4，BC＝AD＝2，G为边AD的中点，∴DG'＝AD+AG'＝2+1＝3，DH＝4﹣1＝3，由勾股定理得：HG'＝＝3，即GE+CF的最小值为3．解法二：∵AG＝AD＝1，设AE＝x，则BF＝AB﹣EF﹣AE＝4﹣x﹣1＝3﹣x，由勾股定理得：EG+CF＝+，如图，矩形EFGH中，EH＝3，GH＝2，GQ＝1，P为FG上一动点，设PG＝x，则FP＝3﹣x，∴EP+PQ＝+，当E，P，Q三点共线时，EP+PQ最小，最小值是3，即EG+CF的最小值是3．故答案为：3．13．（2022•泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为一边作正方形DEFG．设DE＝d1，点F、G与点C的距离分别为d2、d3，则d1+d2+d3的最小值为（）A．2B．2 C．22D．4【分析】连接AE，那么，AE＝CG，所以这三个d的和就是AE+EF+FC，所以大于等于AC，故当AEFC四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE，∵四边形DEFG是正方形，∴∠EDG＝90°，EF＝DE＝DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴d1+d2+d3＝EF+CF+AE，∴点A，E，F，C在同一条线上时，EF+CF+AE最小，即d1+d2+d3最小，连接AC，∴d1+d2+d3最小值为AC，在Rt△ABC中，AC＝AB＝2，∴d1+d2+d3最小＝AC＝2，故选：C．14．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP 长的最小值是（）A．233B．235C．33D．237【分析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△PAB的面积是定值，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．因为△PAB的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM，求出OT的值，可得结论．【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△PAB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．。
轴对称最值问题线段和最小或差最大北师版含答案
轴对称最值问题（线段和最小或差最大）（北师版）一、单选题（共8道，每道12分）1. 已知A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上建造一座桥 MN 使从A 到B 的路 径AM-MN-N 最短，则应按照下列哪种方式来建造（假定河的两岸是平行直线，桥 要与河岸垂直）（）答案：D 解题思路:1 •思路分析特征：定点：乩B劫点(定直线》,为定值弘f 垂克于口 A. B.目标：和最小操作：平移，对称到异侧2. 解题过程如圈所示：I将点A冋下平移到D,使得连接码交河岸h于点汕过点下作胚V垂直于河岸比交河岸4于点妞通过作图可知，最克时,AM II DX,即AM))卫工故选D试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题2.如图，已知A (1, 3), B (5, 1),长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+Q的值最小时，点P的坐标为()A.C. (1, 0)D. (5, 0)答案：B解题思路:班.)捋征:定点=皿，BAF十日2十Q*动点〔定直线）,昭2目标,和最小操作?平移，对称到异侧2+解题过程適过题意可知.尸！2的长固定.所以若要AP^PQ-QB的值最小, 则AP-BQ最小即可.如图，3Q向左平移两个单位到3頁此时就转化为要求肿+FP却可.作出点召奁于工轴的对祢点刨，此时连接曲”, 与工轴的交点即为所求的点P.根据题意可得，点歹的坐标为（3, T）,/- AB ft的亶銭解析式为’严二点尸的坐标为（工Qh故选B试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题3. 在平面直角坐标系中，矩形OACB勺顶点O在坐标原点，顶点A, B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3 OB=4 D为边OB的中点.若E, F为边OA上的两个动点，且EF=2,贝y当四边形CDEF勺周长最小时，点F的坐标为（）A.-；C. (2, 0)D. (3, 0) 答案：B匚思路分析左（，）特征：定点占C, D册伽勃点（定直纸）,EF=2目标；和最小操作：平移，对称到异侧2.解题过程遹过题意可知,EF和CD的长固定.所漏要四边形的周长最小，则DFYF最小即可.如图，CF向左平移两个单位到C f E,此时就转化为要求DE^E即可.xlD\作出点D关于忙轴的对称点小此时连接CQ, 与工轴的交点即为点£ 根据题意可得，点U的坐标为（1. 4）.点口的坐标为（0, -2）, 2D的直线解析式为’尸6T二点E的坐标为*二点尸的坐标为冷叨故选B试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题4. 如图，当四边形PABN勺周长最小时，a的值为（）出12)'昭1)7A.「B.1C.2D. “答案：A1-思路分析特征；定点:；缶B功点〔定直线),PN=Q目标！和最小操作：平移，对称到异侧2.解题过程通过题意可知，Hv和.站的长固定，且FXW,所以若要四边形E迪v的周长最卜则AF-RN最小即可.如图.BX向左平福两个单位到B f F•此时就转化为要求加十屛P即可.作出点剔关于艾轴的对称点.别，此时连接期", 与工轴的交点即为点只根据题意可得，点戲的坐标为0 -1),.■- AB'1的直线解析式为，」=Tr+S二点尸的坐标为(-.0),4. 7…& M —»4故选A试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题5. 如图，两点A, B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8 B到MN的距离BD=6 CD=4 P在直线MN上运动，则J' 的最大值为()A. 4厉一6B. 8-2713答案：C解题思路：N1 ■思路分析特征,定点；A, B动点〔定直线）：F （.MN ）目标’差最大W ：对称到同侧2.解题过程根据题意，若^\PA-PB\的值最大，延长■仏与一垃V 的交点 即为点P,此时最大值即为线段的长.如图，过点丘作BEVAC 交M 于点EBD=6, CD 二L\AE=2f二4,二 Q = M .故造C 试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题6. 如图，已知两点A, B 在直线'的异侧，A 到直线'的距离AC=6 B 到直线'的距离 BD=2 CD=3点P 在直线 ' 上运动，则!' 的最大值为（）AA. -B.3C.1D.5答案：D解题思路:1 ■思路分析特征i定点；A, S动点（定直线）:尸3目标：差最大操作:对称到同侧2.解题过程如图，作点丘关于直钱/的对称点羽，连接越X 拠，的长度即为所求.过点F作B f E丄川C交AC于点£.WiC=6+RDW、CD=3f：.AE=4f B r S=3 f「MS=5.故选D试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题7. 如图，已知两点A, B在直线'的异侧，A到直线E的距离AC=5 B到直线'的距离BD=2 DC=4点P在直线■'上运动，则丄的最大值为（）A.1B.5C.3D.21•思路分祈特征’定点：A, B动点〔定直线)；P G)目标「差最大操作’对称到同侧2・解题过程如圈*作点迟关于直线』的对祢点贽，连接叭曲啲长度即为所求.过点0作占逍丄AC^ AC于点E.VJC=5, £D 二 2・BC=4,・B曉 4,■\J5=5 ・故选B试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题8. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A (0, 1), B ( 3, -4 ),在x轴上有一点P,当-'：的值最大时，点P的坐标是()O•3A.(細5 B.(-1, 0)C.(0, 0)D.(3, 0)■思路分析特征=定点：4 B动点(定直钱):F Q4由〉目标：差最大操作’对称劃同侧-■解题过程如图，作点A关于x轴的对称点A , 连按目左并延长与屛由的交点即为点P.9 1), B G, -4\二g-1),二/留的直线解析式为；J=P T,二点F的坐标为C'l, 0).故选B试题难度：三颗星知识点：轴对称最值问题学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：解决几何最值问题的理论依据有哪些？问题2：解决几何最值问题的主要方法是___________ ，通过变化过程中 ________________ 的分析，利用_________________________ 等手段把所求量进行转化，构造出符合几何最值问题理论依据的_______________ 进而解决问题.问题3:如图，已知A （1, 3）, B（ 5, 1）,长度为2的线段PQ在x轴上平行移动,AP+PQ+Q的值最小时，P点的坐标为（）9 5A. 「B.二C.（1, 0）D.（5, 0）本题的特征是什么？目标是什么？如何操作？问题4:如图，两点A, B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8 B到MN的距离BD=6 CD= 4, P在直线MN上运动，贝V『八丹I的最大值为（）A. 必-6B.齐2岳C 2虧D 2^3本题的特征是什么？目标是什么？如何操作？问题5:轴对称最值问题一线段和最小和线段差最大问题中，他们的理论依据分别是什么？问题6:轴对称最值问题一线段和最小和线段差最大问题中，操作时有什么不同?。
初中数学几何模型与最值问题05专题-费马点中的对称模型与最值问题(含答案)
初中数学最值问题专题5 费马点中的对称模型与最值问题【专题说明】【例题】1、如图，在△ABC 中，△ACB =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．【分析】如图，以AD 为边构造等边△ACD ，连接BD ，BD 的长即为P A +PB +PC 的最小值．至于点P 的位置？这不重要！如何求BD ？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点D 作DH △BA 交BA 的延长线于H 点，根据勾股定理，222BD BH DH =+即可得出结果．C2、如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．3、如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN的周长的最小值为___________.4、如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．5、如图所示，30AOB ∠=，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．ABCDME6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接P C，P E．当△P CE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是C P上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7、已知，如图，二次函数()2230y ax ax a a =+-≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点(B 点在A点右侧)，点H 、B 关于直线l ：y x =+对称.(1)求A 、B 两点的坐标，并证明点A 在直线l 上； (2)求二次函数解析式；(3)过点B 作直线//BK AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连结HN 、NM 、MK ，求HN +NM +MK 的最小值.专题5 费马点中的对称模型与最值问题 答案【专题说明】【例题】1、如图，在△ABC 中，△ACB =90°，AB =AC =1，P 是△ABC 内一点，求P A +PB +PC 的最小值．【分析】如图，以AD 为边构造等边△ACD ，连接BD ，BD 的长即为P A +PB +PC 的最小值．至于点P 的位置？这不重要！如何求BD ？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点D 作DH △BA 交BA 的延长线于H 点，根据勾股定理，222BD BH DH =+即可得出结果．C2、如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以AD 、AM 为边构造等边△ADF 、等边△AMG ，连接FG ，易证△AMD △△AGF ，△MD =GF △ME +MA +MD =ME +EG +GF过F 作FH △BC 交BC 于H 点，线段FH 的长即为所求的最小值．ABCDMEHFGE MDCBA3、如图，P 是AOB ∠内一定点，点M ，N 分别在边OA ，OB 上运动，若30AOB ∠=︒，3OP =，则PMN 的周长的最小值为___________.【解析】如图，作P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ．连接OC ，OD ．则当M ，N 是CD 与OA ，OB 的交点时，△P MN 的周长最短，最短的值是CD 的长．△点P 关于OA 的对称点为C ， △P M =CM ，O P=OC ，△COA =△P OA ； △点P 关于OB 的对称点为D ， △P N =DN ，O P=OD ，△DOB =△P OB ，△OC =OD =O P=3，△COD =△COA +△P OA +△P OB +△DOB =2△P OA +2△P OB =2△AOB =60°， △△COD 是等边三角形， △CD =OC =OD =3．△△P MN 的周长的最小值=P M +MN +P N =CM +MN +DN ≥CD =3．4、如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（）A．B．C．D．【解析】分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：a=1，b=3，则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），连结P Q分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB=D P+DC+CQ+AB=P Q+AB==4+2=6，故选B．5、如图所示，30AOB ∠=，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【解析】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP 、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PMPM =，2PN P N =，1212PMN PM MN P N PP ∴∆=++=，且1AOP AOP ∠=∠，2BOP BOP ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128OP OP OP ===，12PP O ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2﹣x ﹣与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接P C ，P E ．当△P CE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K是线段CB的中点，点M是C P上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）△y=x2﹣x﹣，△y=（x+1）（x﹣3）．△A（﹣1，0），B（3，0）．当x=4时，y=．△E（4，）．设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=．△直线AE的解析式为y=x+．（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．△直线CE的解析式为y=x﹣．过点P作P F△y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），则F P=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．△△E P C的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．△当x=2时，△E P C的面积最大．△P（2，﹣）．如图2所示：作点K关于CD和C P的对称点G、H，连接G、H交CD和C P与N、M．△K是CB的中点，△k（，﹣）．△点H与点K关于C P对称，△点H的坐标为（，﹣）．△点G与点K关于CD对称，△点G（0，0）．△KM+MN+NK=MH+MN+GN．当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．△GH==3．△KM+MN+NK的最小值为3．（3）如图3所示：△y ′经过点D ，y ′的顶点为点F ，△点F （3，﹣）．△点G 为CE 的中点，△G （2，）．△FG =．△当FG =FQ 时，点Q （3，），Q ′（3，）．当GF =GQ 时，点F 与点Q ″关于y =对称，△点Q ″（3，2）．当QG =QF 时，设点Q 1的坐标为（3，a ）．由两点间的距离公式可知：a +=，解得：a =﹣．△点Q 1的坐标为（3，﹣）．综上所述，点Q 的坐标为（3，），Q ′（3，）或（3，2）或（3，﹣）． 7、已知，如图，二次函数()2230y ax ax a a =+-≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点(B 点在A=+对称.点右侧)，点H、B关于直线l：y x(1)求A、B两点的坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；BK AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN、NM、(3)过点B作直线//MK，求HN+NM+MK的最小值.【解析】(1)依题意,得ax2+2ax−3a=0(a≠0)，两边都除以a得x2+2x−3=0，解得x1=−3,x2=1，△B点在A点右侧，△A点坐标为(−3,0),B点坐标为(1,0)，答：A.B两点坐标分别是(−3,0),(1,0).证明：△直线l:y x+-=，△点A在直线l上．当x=−3时,y(3)0(2)△点H、B关于过A点的直线l:y x+对称，△AH=AB=4，过顶点H作HC△AB交AB于C点，则AC=12,2AB HC==△顶点H(1,-，代入二次函数解析式,解得a=，△二次函数解析式为2y x=，答：二次函数解析式为2y x=+.(3)直线AH的解析式为y=+，直线BK的解析式为y=-y xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得3xy=⎧⎪⎨=⎪⎩K)，则BK=4，△点H、B关于直线AK对称,K，△HN+MN的最小值是MB，过K作KD△x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，则QM=MK,QE=EKAE△QK，△根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，△BK△AH，△△BKQ=△HEQ=90△，由勾股定理得QB8==△HN+NM+MK的最小值为8，。
八年级数学上册轴对称解答题(培优篇)(Word版含解析)
八年级数学上册轴对称解答题（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1.如图1, ZiABC 中，AB=AC・ ZBAC = 905, D、E 分别在BC、AC 边上，连接AD、BE 相交于点F,且ZCAD =丄ZABE.2⑵如图2,连接CF,若EF = EC,求ZCFD的度数：(3)如图3,在⑵的条件下,若AE = 3,求BF的长.【答案】(1)答案见详解：(2)45。
，(3)4.【解析】【分析】(1)设ZCAD二x,则ZABE=2x, ZBAF二90° -x, ZAFB=180° -2x-(90° -x)= 90° -x,进而得到ZBAF二ZAFB,即可得到结论：(2)由ZAEB=90°-2x t进而得到ZEFC= (90°-2x) +2=45。
-x,由BF=AB,可得：ZEFD=ZBFA=90° 根据ZCFD=ZEFD-ZEFC> 即可求解；⑶设EF=EC二x,则AOAE+EC二3+x・可得BE二BF+EF=3+x+x=3+2x,根据勾股左理列出方程，即可求解.【详解】(1)设ZCAD二x,1VZCAD=-ZABE, ZBAC=90S2AZABE=2x, ZBAF=90° -x,V ZABE+ZBAF+ZAFB=180° ,A ZAFB=180° -2x-(90° ・x)= 90° %AZBAF=ZAFB t•••BF = AB；VAB=AC,ABF = AC：(2)由(1)可知：ZCAD二x, ZABE二2x, ZBAC=90^,•••ZAEB=90°-2x,VEF = EC,AZEFC=ZECF,•/ Z EFC+ Z ECF= ZAEB=90°-2x,AZEFC= (90°-2x) -2=45° -x,VBF=AB,AZBFA=ZBAF=(180a -ZABE)-s-2=(180° -2x)-s-2=90° -x,AZEFD=ZBFA=90° ・x,A ZCFD=ZEFD-ZEFC=(90° -x) -(45。
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利用轴对称求线段和最小或差最大最值问题
1.已知A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建造一座桥MN，使从A到B的路径AM-MN-NB 最短，则应按照下列哪种方式来建造（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
2.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB 的值最小时，点P的坐标为( )
A. B.
C.（1，0）
D.（5，0）
答案：B
解题思路：
3.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为( )
A. B. C.（2，0） D.（3，0）
答案：B
解题思路：
4.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为( )
A. B.1 C.2 D.
答案：A
解题思路：
5.如图，两点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=6，CD=4，P在直线MN上运动，则的最大值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解题思路：
6.如图，已知两点A，B在直线的异侧，A到直线的距离AC=6，B到直线的距离BD=2，CD=3，点P在直线上运动，则的最大值为( )
A. B.3 C.1 D.5
答案：D
解题思路：
7.如图，已知两点A，B在直线的异侧，A到直线的距离AC=5，B到直线的距离BD=2，DC=4，点P在直线上运动，则的最大值为( )
A.1
B.5
C.3
D.2
答案：B
解题思路：
8.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（3，-4），在x轴上有一点P，当的值最大时，点P的坐标是( )
A. B.（-1，0）
C.（0，0）
D.（3，0）
答案：B
解题思路：。