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二次根式培优(可编辑修改word版)
a -1 2 -b2x -4yb -a a -b a -b(1-x)2a2(a -1)22 ⨯ 33 ⨯ 32 ⨯ 55 ⨯ 56 66 + 56 + 5 6 5二次根式专题一二次根式 a (a ≥ 0) 非负性的综合应用1.已知实数a, b满足+= 0 ，则a +b =.2.若y = 3 + 5 + 3 ，求( 5x) y的值.3.已知+- 2 -2 = 0 ，求x 与y 的值. 专题二利用二次根式的性质将代数式化简4.把(a -b)化成最简二次根式正确的结果是（）A. B. C. - D. -5.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则( a - 3)2+ 化简后为（）A.2B.-8C. 8 - 2aD. -2 - 2a6.化简：-+ ( x -2)2.7.已知( a )2<1，化简：.专题一二次根式的分母有理化1.阅读下列运算过程：二次根式的乘除运算==2 3，3==2 5.52数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么化简的结果是（）A．2 B．6 C．D．312.化简：，甲、乙两位同学的解法如下：甲：1== - ；4 -2x xy x-1a -bb -a(a -5)2(x + 2)22 32566 - 5( 6 + 5)( 6 - 5)6 + 5 6 5 1⨯( 2 -1) ( 2 +1)( 2 -1)2 3 + 2 1⨯( 3 - 2) ( 3 + 2)( 3 - 2)3 24 + 34 3 2 +13 + 2n 2 3 2 + 2 3 2 3 23 3 (23 - 2) + 2 22 -1 2(22 -1) + 2 22 -1 2 + 2 3 乙：1 = 6 - 5 =（ 6 + 5）（ 6 - 6 + 55）= - .下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙的解法都正确B ．甲正确，乙不正确C ．甲、乙的解法都不正确D ．乙正确、甲不正确3.观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1== 2 -11 = = = -1，= - ，3 - 21 11 同理可得：= - ，… .从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（++1 1+…+）（+1 ）的值．2013 + 2012专题二 二次根式乘除中的规律与方法4. 计算：（1） ( +1)( -1) =；（2） ( + 2)( - 2) =；（ 3） (2 + 3)(2 - 3) =；（4） ( + 2)( - 2) =；根据以上规律，请写出用 n （ n 为正整数）表示上述规律的式子：.5. 已知 a = - n +1 ， b = - （ n > 0 ），试比较 a 、b 的大小.6. 观察下列各式及其验证过程:2 = ，验证： 2 = = = =．(1) 按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4（2）针对上述各式反映的规律，写出用 n ( n 为自然数，且 n ≥ 2 )表示的等式，并证明它成立.6 + 5 2 +12 -13 - 24 + 32013 2 2 3 3 5 5 n + 3 n + 2 4152 5 2 ⨯ 4 ⨯ 6 ⨯ 8 +16 16 4 ⨯ 6 ⨯ 8⨯10 +16 (4 ⨯10)2 16 6 ⨯ 8⨯10 ⨯12 +16 (6 ⨯12)2 16 8⨯10 ⨯12 ⨯14 +16 (8⨯14)2 16 2n (2n + 2)(2n + 4)(2n + 6) +16 1 2 + 1专题 二次根式的加减运算规律与技巧1.计算： (1 + 3)(2 - 3)．2.已知 x = + ， y = - ，求 x 2 - xy + y 2 的值.3. 观察下列各算式：① =+ = 16 + 4 = 20 ；② = + = 40 + 4 = 44 ；③ = + = 72 + 4 = 76 ；④ = + = 112 + 4 = 116 ，…（1） 根据以上规律计算：；（2） 请你猜想的结果（用含 n 的式子表示）.4. 如果记 y = x 1 + x = f (x ) ，并且 f ( 1) 表示当 x =时 y 的值，即 f ( 1) == 1； f ( 22) ) 表示当 x =时 y 的值，即 f ( 2 ) =； f ( 1) 表示当 x = 2时 y 的值，即 f ( 1) = 2 = ；….求 f (1) + f ( + f ( 1) + f ( 2 3) + f ( 1) + + f ( 3100 ) + f ( ) 的值．5 2 (2 ⨯ 8)2 2006 ⨯ 2008⨯ 2010 ⨯ 2012 +16 1 1 1 + 1 2 21 +2 1 2 12 1 + 1 22) 1 1003 + 2 a b 5 3 2 2 3专题一 二次根式与乘法公式 二次根式的混合运算1.计算： (2 + 3)2013(2 - 3)2014 = .2. 计算： (- 2)3 ( + 8)3 ．3. 已知 a =， b = ，求 a 3b - ab 3 的值.专题二 二次根式与新定义运算4. 对于两个不相等的实数 a 、b ，定义一种新的运算如下： a * b =a - b(a + b > 0) ，如： 3* 2 ==3 - 2，那么6 *(5 * 4) =.5. 用“ ⊗ ”定义一种新运算：对任意实数 a 、b ，都有 a ⊗ b =- (a > b > 0) ，如： 5 ⊗ 3 = - ，求(16 ⊗ 4) ⊗ (25 ⊗ 9) 的值.专题三 二次根式与其他知识的综合应用6. 已知长方形的长为(2 + 3 2) cm ，宽为(2 - 3 2) cm ，则长方形的面积为cm ².7. 已知 a =1 1- 2a + a2 ，求- a -1a 2 - a的值.8. 先化简，再求值： b 2 - a 2 ÷ (a + 2ab + b 2)( 1 + 1 ) ，其中 a = + ， b = - . a 2- ab a a b3 12 12 -11 2 +1 a + b 5 5 5 2 + 3a 2- 2a +1 3。
(完整word版)培优专题：二次根式
二次根式培优一、 知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如 ・.a(a _0)的式子叫做二次根式，其中a -0「. a _ 0。
根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a — 0，由此我们判断下列式子有意义的条件：J ------- J --------------- 1/ _ x~— 1⑴「X - 1 • 「1 - X ——；⑵訂 2；2V x (3)「1 - x - J3 x - 2; (4) —-; (5) 73 - x (X 竺X + 1Jx - 22、也2的化简 教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：'a 二a(a - °)，在此我们可将其拓展为:(1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简丄5€3_________ | ____________③已知，2 w ，化简 2m -J4m 2 + m+1 -Jm 2 -6m + 9④ i (3 - x)2 二 _______ ；⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，则■(a b 审一上“-才二 ------------------- ⑥ 计算：&4 -肩秆十丁(茁7 _5「= ______________. (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围 ①若B 2 求m 的取值范围1其中a=5②若J(2_x)2+J(6_2x)2=4_x，贝y x的取值范围是________________________③若 a = J2b -14 +J7 —b ,求J a2— 2ab +b2的值；④已知:y=、、2x-5 、、5 -2x -3,求2xy的值。
二.二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a_0②二次根式• a是非负数，即...a 一0 例1.要使J3_x+厂1有意义，则x应满足( ).J2x-1A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄 C . 1v x v 3 D .丄v x< 32 2 2 2例 2 (1)化简J x _1 + J i -x = ____________ .(2)若.E—.E=(x+ y)2,贝U x —y 的值为()(A) —1. (B)1 . (C)2 . (D)3 .例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +「b2=0,则b —a的值为()A. 2B. 0C.—2D.以上都不是⑵已知x, y是实数，且(x y -1)2与•. 2x - y • 4互为相反数，求实数y x的倒数三，如何把根号外的式子移入根号内我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。
二次根式拓展专题培优
二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是 2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义，则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=，求x+y 的值4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ,012442=--+c b c ，求a+b+c 的值.练习： 1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是 2、若4342-=-+-b a a ，则b a 22-= 3、若a a a =-+-20152014,则22014-a = 二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是 2、把a b b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为练习：1、化简（1)a a 1- (2）22x xx --2、已知a ，b ，c 为∆ABC 的三边,化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x x +=-11，则2)1(-x =三、二次根式的运算与规律探究例题:1、观察下列各式：1131432112+⨯+=⨯⨯⨯+，1232543212+⨯+=⨯⨯⨯+,1333654312+⨯+=⨯⨯⨯+,猜测=⨯⨯⨯+201720162015201412、计算2201612018201720162015-+⨯⨯⨯的结果为练习:1、设n,k 为正整数，，，，已知,则2、小明做数学题时,发现,，,，按上述规律,第n 个等式是3、设S=++…+，求不超过S 的最大整数四、分母有理化例题：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述,其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解:,像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化．解决问题:①的有理化因式是 ，121分母有理化得 ②计算：③计算:．④已知，，则⑤已知:,,，试比较a 、b 、c 的大小。
(完整word)二次根式培优题
二次根式培优题1. 若02=+a a ,则a 的取值范围是___________.2. 若代数式1681222+-++-x x x x 的结果是5—2x ，则x 的取值范围是__________.3. 已知ABC ∆的边长为c b a 、、(c b a 、、为整数),且满足04412=+-+-b b a ，求ABC ∆的周长.4. 若x 满足23)31(2x x --=-，则x 的整数解的个数有_____个.5. 在实数范围内分解因式: (1) 32-a ; （2)742-a ； （3))0,0(2>>++y x y xy x 。
6. 已知实数a 满足()a a a =-+-220072006，那么2006-a 的值是_______.7. 若m 满足等式y x y x m y x m y x --⋅+-=-++--+19919932253，试确定m 的值.8. 要使代数式2113----x x 有意义，实数x 的取值范围是_______________。
9. 比较大小：25 , 32 , 23---.10.化简:(1) )0(48342>+-y y y ;（2)()()()0222222>--+ab b a b a(2)161213b -； （4）23322-; (5）b a 3--;(6) )0(12122>>+-b a bab a a ;(7）32416++⨯。
11。
把下列各式中根号外的因式移到根式内：(1) x y xy -； （2)aa --⋅-11)1(。
12。
计算:(1)3232245-；（2）3612-;(3）)5131(15-÷（3）()()201220112323-⨯+；（4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷7225283212；(5)()()()()13132131322+--++-(6) ()()632632+--+(7) ba b a aba b a a a +----;(8）()()233623346++++13。
第十六章 二次根式(培优卷)(原卷版)
第十六章二次根式（培优卷）一、单选题1．（2021·山东河东·七年级期末）2021=0的值为（）A．0B．2021C．-1D．12．（2021·福建南安·九年级期中）若x=y=222x xy y++的值为（）．A．2B．2021C．－D．8 3．（2021·=.=关于解答过程，下列说法正确的是（）.A．两人都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错4．（2021·河北八年级期中）墨迹覆盖了等式“=中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷5．（2021·湖北）已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1﹣2，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（）A B C D．20216．（2021·山东青州·八年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下列说法：①当输出值y x为5或25；②当输入值为64时，输出值y③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个．7．（2021·山东河东·八年级期末）我们把形如b（a，b型无理数，如12属于无理数的类型为（）．A型B C型D8．（2021·浙江滨江·八年级期中）对式子m，正确的结果是（）A B．C．D9．（2021·全国·九年级专题练习）=x、y、z为有理数．则xyz＝（）A．34B．56C．712D．131810．（2021·广西钦州·七年级期末）如图是一张正方形的纸片，下列说法：①若正方形纸片的面积是1，则正方形的长为1；②若一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π，设圆形纸片的周长为C圆，正方形纸片的周长为C正，则C圆＜C正；③若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题11．（2021·山东青州·八年级期末）已知2x=，则代数式24x++的值等于___．12．（2021·江西·景德镇一中七年级期中）_______13．（2021·山东商河·八年级期中）计算：）20142）2015＝______．14．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）==a b =______．15．（2021·浙江金华市·八年级期末）对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：--2-=※________．16．（2021·安徽八年级期中）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为2192cm 的正方形，则原长方形纸片的面积为________2cm ．17．（2020·全国·八年级课时练习）已知x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且+．18．（2021·浙江杭州市·八年级模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论 ．三、解答题19．（2021·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）（1（2）（3（41)20．（2021·洛阳市第五中学八年级期中）2）2）＝1a （a≥0）、＋1）﹣1）＝b ﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有22(+2(22+2´22+2＋1﹣1，次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1（2）计算：（3的大小，并说明理由．21．（2021·湖北沙区·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解5的过程．m，与原方程相乘得：×5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，1，与原方程相加得：+5＋1，6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．1．22．（2021·江西）1=-；==2==．试求：（1（2n为正整数）的值．（3）计算：)1L．23．（2021·四川大邑·八年级期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+ba，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+（1）若a+，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ．（2）若a，当a，m，n均为正整数时，求a的值．（3．24．（2020·江苏省初二月考）甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．2(1=222(22m m n=+=++2(m=+2(m=+细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：)2＋1＝2，S 1)2＋1＝3，S 2；）２＋1＝4，S 3；…．（1）请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA 10的长；（2）求出的值．25．（2021·北京·八年级单元测试），3，…按下面的方式进行排列：，，那么（1所在的位置应记为；（2）在的位置上的数是，所在的位置应记为；（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为．222123210S S S S +++¼+ 3,M(1,5)(2,3)(4,1)。
二次根式培优专题(一)
二次根式培优专题 （一）一、基础知识回顾1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）2a =（a ≥0）； （2）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．0,0)a b =≥≥0,0)a b =>≥ （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．二、精典考题类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）A ． 2、二次根式4122--x x 有意义时的x 的取值范围是 。
3、已知： 122+--++=x x y ，则2001)(y x += 。
类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）4、代数式243x --的最大值是 。
5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简1a -= 。
6、把34-的根号外的因式移到根号内得 ；625-的平方根是 。
（图1）a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；7、化简：= ；=-+-+-222)72()57(2)73( 。
类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简）8、把313，32，2721，7521按由大到小的顺序排列为： 类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、分母有理化）9、若32+=a ，32-=b ，则a 与b 的关系是（ ）A ．互为相反数；B ．互为倒数；C ．互为负倒数；D ．以上均不对。
八年级数学二次根式培优专题
《二次根式》培优习题训练 【知识要点】1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．2. ()()a aa 20=≥．3. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系.（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．4、性质：（1）非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．（2）.()()a aa 20=≥性质既可正用，也可反用， 反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：a a a =≥()()20（3） a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．5、（1）最简二次根式：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．（2）同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
6、（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们 的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有 理化因式确定方法如下：①单项二次根式：a =来确定，如：，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a +与a -，，分别互为有理化因式。
（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式 7、二次根式的运算：（1）二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积， 等于这两个因式积的算术平方根。
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二次根式培优练习题一．选择题（共14 小题）1．使代数式有意义的自变量 x 的取值范围是（）A． x≥ 3 B． x＞3 且 x≠4 C． x≥ 3 且 x≠4 D．x＞32．若=3﹣a，则 a 与 3 的大小关系是（）A． a＜ 3B． a≤3 C．a＞3 D．a≥33．如果等式（ x+1）0=1 和=2﹣3x 同时成立，那么需要的条件是（）A． x≠﹣ 1 B． x＜且 x≠﹣ 1 C．x≤或 x≠1 D．x≤且 x≠﹣ 14．若 ab＜0，则代数式可化简为（）A． a B．a C．﹣ a D．﹣ a5．已知 xy＜0，则化简后为（）A．B．C．D．6．如果实数 a、b 满足，那么点（ a， b）在（）A．第一象限B．第二象限 C．第二象限或坐标轴上D．第四象限或坐标轴上7．化简二次根式，结果正确的是（）A．B．C．D．8．若 a+ =0 成立，则 a 的取值范围是（）A．a≥0 B．a＞0 C．a≤0 D．a＜ 0 9．如果 ab＞ 0， a+b＜0，那么下面各式：①= ，②× =1，③÷=﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③10．下列各式中正确的是（）A．B．=±3 C．（﹣）2=4 D．3 ﹣ =2 11．在二次根式、、、、中与是同类二次根式的有（）A． 2 个 B．3 个 C．4 个 D． 5 个12．若是一个实数，则满足这个条件的 a 的值有（）A． 0 个 B．1 个 C．3 个 D．无数个13．当 a＜0 时，化简的结果是（）A．B．C．D．14 ．下列计算正确的是（） A ．B．C．D．二．填空（共13 小）15．二次根式与的和是一个二次根式，正整数 a 的最小；其和．16．已知 a、b 足=a b+1， ab 的．17．已知 | a 2007|+ =a， a 20072的是．18．如果的是一个整数，且是大于 1 的数，那么足条件的最小的整数a= ．19．已知 mn=5， m +n = ．20．已知 a＜0，那么 | 2a| 可化．21．算：的果．22．若最二次根式与是同二次根式， x= ．．若，x= ；若 2 2， x= ；若（ x 1）2 ，．23 x =（ 3）=16 x=24．化 a 的最后果．25．察分析，探求出律，然后填空：，2，，2 ，，，⋯，（第n 个数）．26．把根号外的因式移到根号内：=27．若 a 是的小数部分， a（a+6）= ．三．解答（共7 小）28．下列解程：= = = = 2；===．回答下列：（1）察上面的解程，直接写出式子=；（2）察上面的解程，直接写出式子=；（3）利用上面所提供的解法，求++++⋯+的．29．一个三角形的三分、、（1）求它的周（要求果化）；（2）你一个适当的x ，使它的周整数，并求出此三角形周的．30．如，数 a、b 在数上的位置，化：．31．先下列的解答程，然后作答：形如的化，只要我找到两个数a、b 使 a+b=m，ab=n，（）2+（）2=m，? = ，那么便有= = ±（ a＞ b）例如：化解：首先把化，里 m=7， n=12；由于 4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，? =，∴===2+由上述例的方法化：（1）；（2）；（3）．．已知x=2 ，求代数式（2+（2+ ）x+ 的．32 7+4 ）x33．数 a、b 在数上的位置如所示，化：| a| ．34．察下列各式：；；⋯，你猜想：（1）=，=．（2）算（写出推程）：（3）你将猜想到的律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来．参考答案一．选择题（共14 小题）1．C；2．B；3．D；4．C；5．B；6．C；7．D；8．C；9．B；10．A；11．B；12．B；13．A；14．D；二．填空题（共13 小题）15．6；﹣；16．±；17．2008；18．1；19．±2；20．﹣3a；21．1；22．0；23．±5；± 3；5 或﹣ 3； 24．﹣ 2；25．2；；26．；27．2；三．解答题（共7 小题）28．﹣；﹣；29．；30．；31．；32．；33．；34．5；6；；。
二次根式培优训练
二次根式培优训练第I卷（选择题）一、单选题1）A．6 B C．D．【答案】D.=======故选D【点睛】本题考查多重二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式是解题关键.2．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（）．A B C D【答案】C【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可．【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n （n-1），∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n （n-1）+n-3＝n 2-3， ∴第n （n 是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3故选：C ．【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解．第II 卷（非选择题）二、填空题3．若a ，b ，c是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________． 【答案】21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案． 【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123==∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 4．12211112a =++，22211123a =++，32211134a =++，，22111(1)n a n n =+++，其中n 为正2020a +__________．【答案】202020202021【分析】根据题目条件，先求出1a ，2a ，3a ，n a 的值，代入原式后求出各式的算术平方根，再利用裂项公式()11111n n n n =-++进行化简与计算，即可求解．【详解】解：21221131122a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，22221171236a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，2322111313412a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，⋯⋯()()()2221111111n n n a n n n n ⎡⎤++=++=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，··，3713202020211 (261220202021)⨯+=++++⨯， 1111111?··112233*********=++++++++⨯⨯⨯⨯， 111111120201?··2233420202021⎛⎫=+-+-+-++- ⎪⎝⎭，1202012021=+-， 202020202021=．故答案为202020202021．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是找出1a ，2a ，3a ，na 的值的规律，再用裂项法求出结果．5．已知y18的值为_____．【答案】【分析】首先由二次根式有意义的条件求得x ＝8，则y ＝18，然后代入化简后的代数式求值． 【详解】解：由题意得，x ﹣8≥0，8﹣x≥0，解得，x ＝8，则y ＝18， ∵x＞0，y ＞0，∴把x ＝8， y ＝18【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简求值，解题关键是根据二次根式有意义的条件确定x 、y 的值，能够熟练的运用二次根式的性质化简．6．已知y x +3，当x 分别取1，2，3，……，2021时，所对应的y 值的总和是_____． 【答案】2023．【分析】依据二次根式的性质化简，即可得到y ＝|x ﹣2|﹣x +3，再根据绝对值的性质化简，即可得到对应的y 值的总和．【详解】解：∵33|2|3y x x x x +=+=--+， ∴当x ＜2时，y ＝2﹣x ﹣x +3＝5﹣2x ， 即当x ＝1时，y ＝5﹣2＝3； 当x ≥2时，y ＝x ﹣2﹣x +3＝1，即当x 分别取2，3，…，2021时，y 的值均为1，综上所述，当x 分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y 值的总和是3+2020×1＝2023，故答案为：2023． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的性质．7．阅读下面内容，并将问题解决过程补充完整．1==== ……==由此，我们可以解决下面这个问题：1S =+++⋅⋅⋅+，求出S 的整数部分． 解：2111S =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++211<++⋅⋅⋅++1110019=++-=2111S =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++ ∴S 的整数部分是________． 【答案】见解析；18【分析】把各分母中第二个被开方数都加上1，增大分母，减小分数的值，构造大于的不等式，变形确定s 的整数界点值，根据夹逼法确定整数值 【详解】 ∵2111S =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++>⋅⋅⋅+1=；1)18=>；∴18＜S ＜19， ∴S 整数部分为18， 故答案为：>+⋅⋅⋅+；1=；1)18=>；18；【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，不等式的性质，估算的思想，熟练确定S 位于哪两个整数之间是解题的关键．8．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若()0a a ≥不是某个有理数的平方，则方程2x a =在有理数范围内无解；若b 不是某个有理数的立方，则方程3x b =在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．根据你对实数的理解，选出正确命题的序号__________．①93x =在实数范围内有解；②202050x -=在实数范围内的解不止一个；③245x x +=在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的()0a a ≥≥【答案】①②【分析】根据立方根、平方根的定义可判断①②；利用开平方法解方程后可判断③的解的情况；利用特殊值法可判断④．【详解】①93x =，则()333x =，即3x =∴93x =，在实数范围内有解，故选项①正确； ②202050x -=，则()210105x =，∴202050x -=在实数范围内的解有两个，故选项②正确； ③245x x +=，整理得：4250x x +-=，配方得：2212124x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，开方得：212x +=或212x +=(舍去)，∴212x ==， ∴原方程在在实数范围内有解，且一正一负，故选项③错误； ④当0a =0； 当8a =2>=； 当18a =12<=；故选项④错误；综上，①②正确， 故答案为：①②．【点睛】本题考查了完全平方公式，开平方解方程，是信息给予题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 三、解答题91=【答案】2 【分析】.【详解】22212(12+)(10)2x x x +∴⨯∴-+==【点睛】本题考查二次根式的化简求值，注意利用平方差公式和整体带入求得答案.10．有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程。
八年级数学二次根式培优专题
第 1 页 共 2 页《二次根式》培优习题训练【知识要点】 1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义． 2. ()()a aa 20=≥． 3. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系. （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 4、性质：（1）非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． （2）.()()a aa 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：a a a =≥()()2（3） a a a aa a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外． 5、（1）最简二次根式：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号．（2）同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同， 这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
6、（1）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
（2）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有 理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a =来确定，如：，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a +与a，（3）分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式 7、二次根式的运算： （1）二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积， 等于这两个因式积的算术平方根。
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二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题： 1、使式子x 2有意义的 x 的取值范围是x2、无论 x 取任何实数，x2 6x m 都有意义，则m的取值范围是3、已知yx2 4 8 2x 2，求 x+y 的值4、已知实数a,b,c满足2 a 3 4 b 0 ，c24b 4c 12 0 ，求a+b+c的值。
练习：1、使式子x 1有意义的 x 的取值范围是x 12、若a2 4a b 3 4 ，则 a2 2b =3、若2014 a a 2015 a ，则a 20142 =二、简单的二次根式的化简例题： 1、如果式子( x 1)2 x 2 2 x 3 ，则x的取值范围是12、把( a b)根号外的因式移到根号内的结果为b a练习：1、化简（ 1）a 1（ 2）xx 2 a2x2、已知 a,b,c 为 ?ABC的三边，化简( a b c) 2 (a b c)2 (b a c)2 (c b a)2 的结果为是3、若1 x 1 x ，则(x 1) 2=三、二次根式的运算与规律探究例： 1、察下列各式： 1 1 2 3 4 12 3 1 1 ， 1 2 3 4 5 22 3 2 1，1 3 4 5 6 323 3 1，猜 1 2014 2015 2016 20172、算2015 2016 2017 2018 1 20162的果：1、 n,k 正整数，，，，已知,2、小明做数学,,,,, 按上述律 , 第 n 个等式是3、 S=++⋯ +，求不超S 的最大整数四、分母有理化例：黑白双雄、横江湖；双合璧，天下无．是武侠小中常的描述，其意是指两人合在一起，取短，威力无比．在二次根式中也有种相相成的“ 子”如：，与的不含有根号，我就两个式子互有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以解：，像，通分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决：①的有理化因式是，1分母有理化得12② 算：③ 算：．④已知,,⑤已知 :,,, 试比较 a、b、 c 的大小 .练习：1、计算( 1 1 1 1 )( 2004 1) =2 23 3 2 20031 20042、已知则3、已知实数x,y 满足, 则的值为五、二次根式的计算综合题例题：计算：（1）6 4 3 3 2（ 2）2 6（ 3）2 3 2 217 12 2 ( 6 3)( 3 2) 3 2 5练习：计算（ 1）( 3 1)20012( 3 1)20002( 3 1)19992001（2）（3）（4）863 8 63 （ 5）1 14 59 30 2 3 66 40 2六、二次根式的求值例题： 1、先化简 , 再求值, 其中,.2、设 m>0,x 3x 1 m ,求代数式x 3x 1 的值3、若,, 求 xy.4、设 a=，求a5+2a4-17a3-a2+18a-17的值．5、正数 m,n 满足, 求的值.练习： 1、已知1x 1 ,那么1x 值是x x2、若,, 则3、当时,多项式的值为4、正实数a,b 满足, 且满足, 求的值5、如果, 求的值.。
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5.己知xy<0,则山弓化简后为（ ）A.B.-xVy C. D.6.如果实数a 、b 满足后兵-北咨，那么点（a ， b)A.第一象限B.第二象限C.第二象限或坐标轴上 7.化简二次根式」二^,结果正确的是（ ）A. &D.第四象限或坐标轴上 B. & C. 右8.若a+J^=O 成立，则a 的取值范围是（ ）A. a 》0 B. a>0 C. aWO D. a<09.如果ab>0, a+bVO,那么下面各式：①13.当aVO 时，化简」芋的结果是（)A ・C.D. -p/b二次根式培优练习题%1. 选择题（共14小题）1. 使代数式还玉有意义的自变量x 的取值范围是（）x-4 A. xN3 B. x>3 且 x 乂4C. xN3 且 xU4D ・ x>3 2. 若Jg_6a+ "=3・a,则a 与3的大小关系是（ ）A. a<3B. aW3C. a>3D. a 》3 3.如果等式（x+1） °=1和7（3X -2） 2=2" 3x同时成立，那么需要的条件是（）A. - 1B. x<—且 xK-lC. x<—或 x/lD.3 34.若ab<0,则代数式可化简为( )A. aVbB. a\/-bC. - aVbD. - aV~b 中正确的是()A.①② B.②③ C.①③ D.①②③10.下列各式中正确的是（ ）A.寸（一7）2二］B.V9=±3 C.（ - 梃）2=4 D. 3^2 - V2=2义、底罕中与、奇是同类二次根式的有（ ）V abA. 2个B. 3个C.4个D.5个12.若是一个实数,则满足这个条件的a 的值有（ ）A. 0个B. 1个C. 3个D.无数个X=1, - b,其11.在二次根式J 克、14 .下列计算正确的是（)A . J(-16)X (-9)二二-4X (-3)二1218.19. 21.如果施的值是一个整数，且是大于1的数，那么满足条件的最小的整数*. 20-己知a<0,那么l"-2a|可化简为计算:3^V3><22.若最简二次根式2奴亦与-折卢是同类二次根式，则后23. 若=5，则 x=；若）<2二（-3）之，则 x=；若（x - 1） 2=16, x=. 24. 化简的最后结果为.25. 观察分析，探求出规律，然后填空：血,2,2匝,而，，…， （第n 个数）.26.把根号外的因式移到根号内：（z ）JX=-后V l~a27.若a 是的小数部分，则a （a+6） =.三.解答题（共7小题）28.阅读下列解题过程:_I_=_*（抵*）__=_（蚯-也）_=扼《=诉-2- V5+V4 （膜 + 折）（鹏 M ） ，1 _ IX ( &)V~6 +V5(V6 +V~5)(V6 ~V5)（V6）2-（V5）2=76^5.请回答下列问题:(1)(2)观察上面的解题过程，请直接写出式子亍、二V7+V6 _ 观察上面的解题过程，请直接写出式子=；V n+V n-1(3) —1—+ __ ± __ + __ k _ + _ ± _ + + __ ± __ 的值.V2+1 V3+V2 V4+V3 V5+V4V100+V99利用上面所提供的解法，请求1 X 1 X 1 X X 1B ・ 78a 4b 2=4a 2b c - V^+5^8+5= 13 D - 7252-242=7(25+24)(25-24)=749=7 %1. 填空题（共13小题）15. 二次根式-3/云与J 疝的和是一个二次根式，则正整数a 的最小值为；其和 为・ 16. 巳知 a 、b 满足寸(2-&) 2二&+3,且\/a-b+l =a 一 b+1,则 ab 的值为 17. 已矢口 | a - 20071 +Va-2008=a,则 a - 20072 的值是 己知mn=5,二的结果为V329.一个三角形的三边长分别为建、奇声、言脂（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.30.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简：后」^项（壶）2.a b_j ------ _i——e-J -------- 1_►-2 -1 0 1 231.先阅读下列的解答过程，然后作答：形如唇疝的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m, ab=n,这样（仲24- <Vb）2=m, 揭•展二Vii，那么便有2\^=V （Va ± Vb）2=Va±Vb（a>b）例如：化简寸7+4必解：首先把J7+4必化为顼7+2/丘,这里m=7, n=12；由于4+3=7, 4X3=12,即（V4）2+ （如）2=7, V4*V3=V12，二顼7+4扼二寸7+2顶12=/ （折+扼）2=2+扼由上述例题的方法化简：（1）713-2V42；（2）J7-J如；（3 ） V 2^/3，32.己知x=2-如，求代数式（7+4扼）X2+ （2+如）x+如的值.33.实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：沽|-府-后・1 1 « > a 0 b请你猜想:（2）计算（请写出推导过程）:法、《）口异k 1<月7山刃上寸以q王/：V ]3+（3）请你将猜想到的规律用含有自然数n （n^l）的代数式表达出来参考答案%1.选择题（共14小题）1. C；2. B；3. D；4. C；5. B；6. C；7. D；8. C；9. B； 10. A； 11. B； 12. B； 13. A；14.D；%1.填空题（共13小题）15.6； - V3x； 16. ±【；17. 2008； 18. 1； 19. ±2^5； 20. - 3a； 21. 1； 22. 0； 23. ±— A 一5； ±3； 5 或-3； 24.二1V7京；25. 2^3;底;26.； 27. 2；%1.解答题（共7小题）28. W - V6; Vn - Vn-1; 29.；。
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【最新整理，下载后即可编辑】二次根式典型习题训练一、概念（一）二次根式1x、x>0）1x y+（x≥0，y•≥0）．（二）最简二次根式1y>0）化为最简二次根式结果是（）．A（y>0）By>0）C（y>0）D2．（x≥0）3．_________．4. 已知〉xy0，化简二次根式_________．（三）同类二次根式1是同类二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2、是同类二次根式的有______3．若最简根式3a是同类二次根式，求a、b的值．【最新整理，下载后即可编辑】4.n是同类二次根式，求m、n的值．（四）“分母有理化”与“有理化因式”1.+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．-的有理化因式是_______．2.把下列各式的分母有理化（1；（2；（3（4．二、二次根式有意义的条件：1．（1）当x在实数范围内有意义？（2）当x是多少时，+11x+在实数范围内有意义？（3）当x2在实数范围内有意义？（4）当__________2.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数3．已知，求xy的值．4．5.若11m +有意义，则m 的取值范围是 。
6．要是下列式子有意义求字母的取值范围（1(2) (3)三、二次根式的非负数性1=0，求a 2004+b 2004的值．2，求x y 的3.2440y y -+=，求xy 的值。
四、⎪⎩⎪⎨⎧==a a a 2 的应用 1． a ≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）．A B C D ．2．先化简再求值：当a=9时，求a ≥0x解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．3．若│1995-a│，求a-19952的值．4. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│5．化简）．B C．D．A6．把（a-1a-1）移入根号内得（）．AB C．D．五、求值问题:求x2-xy+y2的值1.当x=2．已知a=3+23.已知4．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x 的值．52.236-（）的值．（结果精确到0.01）6．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27．7．当（结果用最简二次根式表示）8. 已知2310-+=x x六、大小的比较的大小。
二次根式拓展专题培优(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义，则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=，求x+y 的值4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ，012442=--+c b c ，求a+b+c 的值。
练习： 1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是2、若4342-=-+-b a a ，则b a 22-=3、若a a a =-+-20152014，则22014-a =二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是 2、把ab b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为练习： 1、化简（1）aa1- （2）22x x x--2、已知a,b,c 为∆ABC 的三边，化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x1，则2)1-1=x+x=(-三、二次根式的运算与规律探究例题：1、观察下列各式：121312+1431⨯+，⨯=⨯⨯+5463333+⨯+，猜测⨯⨯⨯=12++，1542312⨯3⨯⨯2=+12+⨯2015120142016⨯⨯⨯+2017练习：1、设n,k为正整数，，，，已知,则2、小明做数学题时,发现,,,,按上述规律,第n个等式是3、设S=++…+，求不超过S的最大整数四、分母有理化例题：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如：，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解：，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．1分母有理化解决问题：①的有理化因式是，12得②计算：③计算：．④已知,,则⑤已知:,,,试比较a、b、c的大小.21++++3220032004232、已知则3、已知实数x,y满足,则的值为五、二次根式的计算综合题（2）（3）（4）638638-++（5）24066312305941--+++六、二次根式的求值例题：1、先化简,再求值,其中,.2 3、若,,求xy.4、设a=，求a 5+2a 4-17a 3-a 2+18a-17的值．5、正数m,n 满足,求的值.x x2、若,,则3、当时,多项式的值为4、正实数a,b满足,且满足,求的值5、如果,求的值.。
((完整版))《二次根式》培优试题及答案,推荐文档
10．方程 2 （x－1）＝x＋1 的解是____________．【提示】把方程整理成 ax＝b 的形式后，a、b 分
别是多少？ 2 1， 2 1．【答案】x＝3＋2 2 ．
【解】原式＝
÷
a b
ab( a b)( a b)
a b a 2 a ab b ab b2 a 2 b2
＝
÷
a b
ab( a b)( a b)
＝
ab
·
ab( a
b)( a
b)
＝－
a
b．
a b
ab(a b)
【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值：（每小题 7 分，共 14 分）
x x2 a2 ( x2 a2 x)
x x2 a2 ( x2 a2 x) x x2 a2 ( x2 a2 x)
1
1
＝ ．当 x＝1－ 2 时，原式＝
＝－1－ 2 ．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个
x
1 2
“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝
x
－ 2x x2 a2 ＋
1 1 1 a2 ab 1
＝－ ＋
＝
．
b2 ab a2b2
a2b2
b ab
a
b
ab
26．（ a ＋
）÷（
＋
－
）（a≠b）．
a b
ab b ab a ab
【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．
a ab b ab a a ( a b) b b( a b) (a b)(a b)
二次根式-培优.doc第一课
第1课时 二次根式培优 学生姓名 家长阅览：1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
非负性：a a ()≥0是一个非负数．2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．0,0)a b ≥≥0,0)a b =>≥ （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）A2、二次根式4122--x x 有意义时的x 的取值范围是 。
3、已知： 122+--++=x x y ，则2001)(y x += 。
类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简）4、代数式243x --的最大值是 。
5、实数在数轴上的位置如图1所示，化简1a -= 。
6、把34-的根号外的因式移到根号内得；625-的平方根是 。
7、化简：= ； =-+-+-222)72()57(2)73( 。
(完整word版)二次根式拓展专题培优
二次根式的专题提高一、二次根式的双重非负性例题：1、使式子xx 2-有意义的x 的取值范围是 2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义,则m 的取值范围是3、已知22284x x y -+-=,求x+y 的值4、已知实数a,b ，c 满足0432=-++b a ，012442=--+c b c ，求a+b+c 的值。
练习：1、使式子11--x x 有意义的x 的取值范围是 2、若4342-=-+-b a a ,则b a 22-=3、若a a a =-+-20152014，则22014-a = 二、简单的二次根式的化简例题：1、如果式子322)1(2-=-+-x x x ，则x 的取值范围是2、把a b b a --1)(根号外的因式移到根号内的结果为 练习: 1、化简（1)a a 1- （2）22xx x --2、已知a ，b ，c 为∆ABC 的三边，化简2222)()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是3、若x x +=-11，则2)1(-x =三、二次根式的运算与规律探究例题：1、观察下列各式：1131432112+⨯+=⨯⨯⨯+,1232543212+⨯+=⨯⨯⨯+，1333654312+⨯+=⨯⨯⨯+，猜测=⨯⨯⨯+201720162015201412、计算2201612018201720162015-+⨯⨯⨯的结果为 练习：1、设n,k 为正整数，,, ,已知，则 2、小明做数学题时，发现,，,,按上述规律,第n 个等式是3、设S=++…+，求不超过S 的最大整数四、分母有理化例题:黑白双雄、纵横江湖;双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述,其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子"如:，与的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式可以这样解：,像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化．解决问题：①的有理化因式是 ,121分母有理化得 ②计算：③计算：． ④已知，,则⑤已知:,,,试比较a 、b 、c 的大小。
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二次根式
专题一二次根式 a (a0) 非负性的综合应用
1. 已知实数 a,b 满足 a 1 2 b 0，则a b_______.
2. 若y 3 2x 4 5 4 2x 3 ，求
( 5x)y的值. 3.已知xy y 2 x 2 0 ，求x与 y 的值. 专题二利用二次根式的性质将代数式化简
4. 把 a
1
化成最简二次根式正确的结果是（）b
a b
A. b a
B. a b
C.a b
D. b a
5. 已知实数a在数轴上的位置如图所示，则( a 3)2 (a 5)2化简后为（）
A .2 B.-8 C. 8 2a D. 2 2a
6. 化简：(x 2)2 (1 x)2 ( x 2) 2 .
7. 已知( a )2 1 ，化简：a2(a 1)2 .
二次根式的乘除运算
专题一二次根式的分母有理化
1.阅读下列运算过程：
2 2
3 2 3 ， 2 2 5 2 5 .
3 3 3 3 5 5 5 5
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么化简2
的结果是（）6
A． 2 B ． 6 C ．
6
． 6
D
3
2. 化简： 1 ，甲、乙两位同学的解法如下：
6 5
甲：
1 6 5
= 6 - 5 ；
6 5 ( 65)( 65)
1 6 - 5 （
6
）（
6 -
）
乙： 5 5 6 - 5 .
6 5 6 5 6 5
下列法正确的是（）
A．甲、乙的解法都正确 B ．甲正确，乙不正确C．甲、乙的解法都不正确D ．乙正确、甲不正确3.察下列各式，通分母有理化，把不是最二次根式的化成最二次根式：
1 = 1 (
2 1)
1) 2 1 = 2 -1，
2 1 ( 2 1)( 2 2 1
1 =
( 1 ( 3 2)
2)
3
2
= 3 - 2，
3 2 3 2)( 3 3 2
同理可得：
1 = 4 - 3 ，⋯.从算果中找出律，并利用一律算
4 3
（
1 + 1 + 1 +⋯ + 1 ）（2013 1）的．
2 1
3 2
4 3 2013 2012
专题二二次根式乘除中的规律与方法
4. 算：（1）( 2 1)( 2 1) =______；（2） ( 3 2)( 3 2) =______；（ 3）(2 3)(2 3) =______；（4） ( 5 2)( 5 2) =______；
根据以上律，写出用n （ n 正整数）表示上述律的式子：___________.
5. 已知 a n 3 n 1 ， bn 2 n （n 0 ），比 a、b 的大小.
6.察下列各式及其程:
2 2 2 2 ，： 2 2 2
3 (23 2) 2 2(22 1) 2 2 2
．
3 3 3 3 22 1 22 1 3
(1) 按照上述两个等式及其程的基本思路，猜想 4 4
的形果并行；
15
（ 2）上述各式反映的律，写出用n ( n 自然数，且n 2 )表示的等式，并明它成立.
专题二次根式的加减运算规律与技巧
1. 算：1 3 2 - 3 ．
2.已知x2 5 ， y5 2 ，求 x2xy y2的.
3.察下列各算式：
① 2 4 6 8 16 (2 8)2 16 16 4 20 ；
② 4 6 8 10 16 (4 10)2 16 40 4 44 ；
③ 6 8 10 12 16 (6 12)2 16 72 4 76 ；
④8 10 12 14 16 (8 14)2 16 112 4 116 ，⋯
（ 1）根据以上律算：
2006 2008 2010 2012 16 （注意算技巧哦！）；
（ 2）你猜想2n(2n 2)(2n 4)(2n 6) 16 的果（用含n 的式子表示） .
4. 如果 y x f ( x) ，并且 f ( 1) 表示当 x 1 y的，即 f ( 1) 1 1
； f ( 2) 表示当 x 2
1 x 1 1 2
1
y 的，即f ( 2)
2 1 1
y 的，即f (
1 2 1
；⋯ .
2 ； f ( ) 表示当 x ) 1 2 1
1 2 2 2
1 2
求 f ( 1) f ( 2) f ( 1
) f ( 3) f (
1
) f ( 100 ) f (
1
) 的．2 3 100
二次根式的混合运算专题一二次根式与乘法公式
1. 计算： (2 3) 2013 (2 3) 2014 =______.
2. 计算： ( 3 2) 3 ( 12 8) 3．
3. 已知a 1 ， b 1 ，求 a3b ab3 的值 .
2 1 2 1
专题二二次根式与新定义运算
4. 对于两个不相等的实数a、 b ，定义一种新的运算如下： a b a b
(a b 0) ，
a b
如： 3
3 2
，那么 6 (5 4) _____.
2 5
3 2
5. 用“”定义一种新运算：对任意实数a、b ，都有a b a b (a b 0) ，如： 5 35 3 ，求 (16 4) (25 9) 的值.
专题三二次根式与其他知识的综合应用
6. 已知长方形的长为(2 5 3 2) cm，宽为(2 5 3 2) cm，则长方形的面积为______cm2.
7. 已知 a 1 ，求1
2a a2 a2 2a
1
的值 .
23 a 1 a2 a
8. 先化简，再求值：b2 a2 (a 2ab b2 )( 1 1
) ，其中 a 23 ， b23 .
a2 ab a a b。