一元二次不等式的解法精品PPT课件
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一元二次不等式的解法-PPT课件
b x x a
一元一次不等式 b b x x x x ax+b>0的解集 a a 一元一次不等式 x x b b x x a a ax+b<0的解集
3、2 一元二次不等式的解法
解不等式 (写出相应的一元二次方程及一元二次不等式的解集） 方程 的解集为 不等式 的解集为 求不等式 的解集 2 不等式 的解集为 x x 6 0 2 x 2 x 3 观察函数 y x x 6 0 的图象
yx x6
2
-2
的解集
不等式 2
ax bx cx x x x 1 2
＜0的解集
3、2 一元二次不等式的解法
例1 求不等式 解:注意到
4 x 4 x 1
2
＞0的解集
1 x x 2
2 4 x 4 x 1= 2x 1 2≥0
所以原不等式的解集为
x 例2 求不等式 解：不等式可化为
2 (3) 4 x 4 x 1 <0 2 2、若代数式 6 的值恒取非负数,则实数x的 x x 2 取值范围是 2 1
1 x x 2 0 , 开口向上 ， 图象与 x 轴无交点 ，x R 3
x 3 x 5>0
2
x x 或 x 3 2
0
3
x
3、2 一元二次不等式的解法
讨论一元二次不等式 与 （a>0) 如果相应的一元二次方程 分 别有两个不等实根、两个相等实根、无实根， 其对应的二次函数 的 图象与x轴的位置关系如何？ 二次函数的图象开口向上且分别与x轴交于两 点、一点及无交点．
一元一次不等式 b b x x x x ax+b>0的解集 a a 一元一次不等式 x x b b x x a a ax+b<0的解集
3、2 一元二次不等式的解法
解不等式 (写出相应的一元二次方程及一元二次不等式的解集） 方程 的解集为 不等式 的解集为 求不等式 的解集 2 不等式 的解集为 x x 6 0 2 x 2 x 3 观察函数 y x x 6 0 的图象
yx x6
2
-2
的解集
不等式 2
ax bx cx x x x 1 2
＜0的解集
3、2 一元二次不等式的解法
例1 求不等式 解:注意到
4 x 4 x 1
2
＞0的解集
1 x x 2
2 4 x 4 x 1= 2x 1 2≥0
所以原不等式的解集为
x 例2 求不等式 解：不等式可化为
2 (3) 4 x 4 x 1 <0 2 2、若代数式 6 的值恒取非负数,则实数x的 x x 2 取值范围是 2 1
1 x x 2 0 , 开口向上 ， 图象与 x 轴无交点 ，x R 3
x 3 x 5>0
2
x x 或 x 3 2
0
3
x
3、2 一元二次不等式的解法
讨论一元二次不等式 与 （a>0) 如果相应的一元二次方程 分 别有两个不等实根、两个相等实根、无实根， 其对应的二次函数 的 图象与x轴的位置关系如何？ 二次函数的图象开口向上且分别与x轴交于两 点、一点及无交点．
一元二次不等式PPT优秀课件
6.2一元二次不等式
本节主要内容：一元二次不等式的解法， 一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的联系.要求能熟练、准确、迅速 地解一元二次不等式，会用分类讨论的方 法求解含参数的一元二次不等式，能够判 断一元二次不等式恒成立的条件.注意等价 转化的思想、函数与方程的思想、数形结 合的思想以及分类讨论的思想在解决问题 中的应用.
一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的关系如下
判别式 b2 4ac
二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象
△>0
y
x1 x2
x1
x2
O
x
△=0 y
x1 x2
O
x
方程ax2 bx c 0 (a 0)的根
有x1,2两不等实根 b b2 4ac
2
时
x
a
x
2
a
当 a 2 时，原不等式的解集是 x x 2 ；
a
2
时，原不等式的解集为
x
2 a
x
a ；
0a
2
时，原不等式的解集为
x
a
x
2 a
；
a 2 时，原不等式的解集是 R ；
2
a
0
时，不等式的解集为
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
本节主要内容：一元二次不等式的解法， 一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的联系.要求能熟练、准确、迅速 地解一元二次不等式，会用分类讨论的方 法求解含参数的一元二次不等式，能够判 断一元二次不等式恒成立的条件.注意等价 转化的思想、函数与方程的思想、数形结 合的思想以及分类讨论的思想在解决问题 中的应用.
一元二次不等式与相应的二次函数的图象、 方程之间的关系如下
判别式 b2 4ac
二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象
△>0
y
x1 x2
x1
x2
O
x
△=0 y
x1 x2
O
x
方程ax2 bx c 0 (a 0)的根
有x1,2两不等实根 b b2 4ac
2
时
x
a
x
2
a
当 a 2 时，原不等式的解集是 x x 2 ；
a
2
时，原不等式的解集为
x
2 a
x
a ；
0a
2
时，原不等式的解集为
x
a
x
2 a
；
a 2 时，原不等式的解集是 R ；
2
a
0
时，不等式的解集为
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
高考一元二次不等式及其解法 课件(共51张PPT)
(4)根据对应二次函数的图象,写出不等
式的解集.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
例1
解下列不等式：
(1)2x2＋4x＋3>0; (2)－3x2－2x＋8≥0;
(3)12x2－ax>a2(a∈R).
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
【思路分析】
首先将二次项系数转化
为正数,再看二次三项式能否因式分解, 若能,则可得方程的两根,大于号取两边, 小于号取中间;若不能,则再看“Δ”,利
法二比较简单.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
【解】
(1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立,
若 m＝0,显然－1<0; 若 m≠0,
m<0 则 ⇒－4<m<0. 2 Δ＝m ＋4m<0
所以－4<m≤0.
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
(2)要使 f(x)<－m＋5 在[1,3]上恒成立,就是 12 3 要使 m(x－ ) ＋ m－6<0 在 x∈[1,3]上恒 2 4 成立. 有以下两种方法： 12 3 法一：令 g(x)＝m(x－ ) ＋ m－6,x∈[1,3]. 2 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max＝g(3)＝7m－6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
－∞，－1 ∪(1,＋∞). ∴不等式的解集为 2
－∞，－1 ∪(1,＋∞) 答案： 2
栏目 导引
第六章
不等式与推理证明
5.已知(ax－1)(x－1)>0的解集是{x|x<1 或x>2},则实数a的值为________.
人教版九年级上册数学课件：一元二次不等式的解法(共29张PPT)
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
Y △＜0
△=0 △＞0
O
X
探究：利用二次函数图像解一元二次不等式
根据 y x2 2x 3 图象回答下列问题．
• 当 x 取何值时，y=0？
y
1、当 x 取何值时，y＜0？
2、当 x 取何值时，y＞0？
-1
能否用含有x的不等式来描
3
x
述两个问题？
y＝x2－2x－3
探利究用：二次你函能数用图二像解次一函元数二y次=不x2等-2式x-3的
图象求解不等式 x2-2x-3>0和x2-2x-
3 ＜ y04 吗？ 3 2
N1
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
-2
-3
利用二次函数图像解一元二次不等式
－3x2 ＋6x － 2＞0
方 程3 x 2 6 x 2 0的 解 是
y
1
3 3
x
x1 1
3 3
,
x2 1
3 3
原不等式的的解集是
o 1
3 3
x 1
3 3
{x1
3 3
x 1
3 3
}
3) 4x2 －4x ＋ 1＞0
解 ： 0
方 程4 x 2 4 x 1 0的 解 是
探究
已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图；
y
(1)x方=程-1-,xx2+=34x+4=0的解
4
是__ ___
一元二次不等式及其解法-课件ppt
一元二次不等式解法
一元一次不等式的解法：
任何一个一元一次不等式，经过不等式的同解变形后。
都可以化成
的形式。
ax b....(a 0)
其解集为：
x
|
x
b a
.....(a
0)
x
|
x
b a
.....(a
0)
一次不等式的解法_---------
例1 解不等式
2(x 1) x 2 7x 1
x2 3x 2 0...(1)
(a)..
x
22xLeabharlann 30...(2)x2 3x 2 0...(3)
(b)..
x
2
2x
3
0...(4)
-1 1 2 3
-1 1 2 3
解不等式(a)得： x | x 1或x 2 x | 1 x 3
x | 1 x 1或2 x 3.
解不等式(b)得：x |1 x 2 x | x 1或x 3
无解
x2 -2x+3 >0
xR
形如 (x a)(x b) 0
x
、
a
0
不等式
xb
的解法
1、形如的一元二次不等式 (x a)(x b) 0 的解法
该形式的不等式，即可按照前面的方法求解，也可 按下述方法求解，根据积的符号法则化成一次不等 式组。下面以一题为例，向大家展示这种解法：
例： 解不等式 (x+4)(x-1) < 0
32
解：两边都乘以6，得
12(x 1) 2(x 2) 21x 6
14x 8 21x 6
移项，整理后，得
7x 14
两边除以-7，得解集
一元一次不等式的解法：
任何一个一元一次不等式，经过不等式的同解变形后。
都可以化成
的形式。
ax b....(a 0)
其解集为：
x
|
x
b a
.....(a
0)
x
|
x
b a
.....(a
0)
一次不等式的解法_---------
例1 解不等式
2(x 1) x 2 7x 1
x2 3x 2 0...(1)
(a)..
x
22xLeabharlann 30...(2)x2 3x 2 0...(3)
(b)..
x
2
2x
3
0...(4)
-1 1 2 3
-1 1 2 3
解不等式(a)得： x | x 1或x 2 x | 1 x 3
x | 1 x 1或2 x 3.
解不等式(b)得：x |1 x 2 x | x 1或x 3
无解
x2 -2x+3 >0
xR
形如 (x a)(x b) 0
x
、
a
0
不等式
xb
的解法
1、形如的一元二次不等式 (x a)(x b) 0 的解法
该形式的不等式，即可按照前面的方法求解，也可 按下述方法求解，根据积的符号法则化成一次不等 式组。下面以一题为例，向大家展示这种解法：
例： 解不等式 (x+4)(x-1) < 0
32
解：两边都乘以6，得
12(x 1) 2(x 2) 21x 6
14x 8 21x 6
移项，整理后，得
7x 14
两边除以-7，得解集
3.3一元二次不等式及其解法PPT优秀课件
8
8
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例3．解不等式x2+4x+4>0.
解：因为△=42－4×1×4=0， 原不等式化为(x+2)2>0， 所以不等式的解集是{x∈R| x≠－2}.
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
y
解此方程得x1=－2，x2=3.
3
2
建立直角坐标系xOy，画出
1 x
-2 -1 O 1 2 3
f(x)的图象，它是一条开口向
-1 -2
上的抛物线，与x轴的交点是
-3
M(－2，0)，N(3，0)， 1 25 ( ,- ) 24
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
解：由函数f(x)的解析式有意义得
2x2 x 3≥ 0
3
2x
x2
0
即
(2x3)(x1)≥0
(x3)(x1)
0
解得
x
≤
3 2
或
x
≥
1
1 x 3
因此1≤x<3，所求函数的定义域是[1，3).
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
一元二次不等式的解法 ppt课件
2
2x2－3x－2 ≤ 0
{x| 1 x2}
2
-1
2
2
2020/4/10
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是：
（1）化成标准形式 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)
（2）求⊿，并求出方程ax2+bx+c=0 的实根
（3）根据图象写出解集（可记忆为：大于零取
2020/4/10
引例：
解一元二次方程: x2x60
解之得: x12,x23
2020/4/10
观察二y次 x2 函 x 数 6的图像
y
-2 o
-6
2020/4/10
3x
看一看：函数图象与x轴的位置关系 说一说
方程 x2x60的解 x2或 x3
不等x2式 x60的解集
xx 2 或 x 3
不等x2式 x60的解集
如果题目中给出的不等式中二次项系 数小于0，哪怎么办呢？ 对了，我们只要在不等式两边同乘-1， 然后把不等式的方向改变一下，就可 化为以上四种形式中的一种。
2020/4/10
2020/4/10
2x2－3x－2 > 0
－2x2＋3x＋2 > 0
{x| x1,或x2} 2
2x2－3x－2 < 0
{x| 1 x2}
方程x2-2x+3=0无实数根 所以原不等式的解集为ф
2020/4/10
• 作业：解下列不等式： • （1）3x2－7x+2<0 • （2）－6x2－x+2≤0 • （3）4x2+4x+1<0 • （4）x2－3x+5>0
相关主题
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中要想象图像或划出草图.
（2）对于a<0的一元二次不等式可转化为
a>0的情形求解.
（3）一元二次不等式的解法是今后学习其他
不等式的基础，要求大家熟练掌握解法，准
确运算结果.
利用一元二次函数图象解一 元二次不等式
其方法步骤是:
先求出Δ和相应方程的解， 再画出函数图象，根据图象 写出不等式的解。
若a<0时,先变形!
一元二次不等式的解法
(一) “三个一次”的关系
复习一元一次方程和一元一次 不等式的解法
2x-7=0 2x-7>0 2x-7<0
x=3.5 x>3.5 x<3.5
y
o 3.5 x
观察得出结论： -7 ①2x-7=0的解是函数y=2x-7的图象与 x轴交点的横坐标 ②2x-7>0的解集是函数y=2x-7的图象 在x轴的上方的点的横坐标的集合 ③2x-7<0的解集是函数y=2x-7的图象 在x轴的下方的点的横坐标的集合
参考答案：
(1) {x | 1 x 2}
(2)
{x
3
|x
1
或
x
2}
2
3
(3)
(4) R
本课小节：
解一元二次不等式的步骤: (1)化成标准形式(a>0) (2)解方程ax2+bx+c=0 (3)由图象写解集
小节
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是：
R
的解集（
a>0)
{x | x1 x x2}
ax2+bx+c<0
的解集（
这张表是我们今后求解一 元二次不等式的主要工具， 必须熟练掌握，其关键是抓 住相应的二次函数的图像。
记忆口诀：
大于0取两边，小于0取中间 .
首先，我们可以把任何一个一元二次 不等式转化为下列四种形式中的一种：
(1)ax2 bx c 0(a 0) (2)ax2 bx c 0(a 0) (3)ax2 bx c 0(a 0) (4)ax2 bx c 0(a 0)
以上四个不等式中我们规定了 a 0
如果题目中给出的不等式中二次项系 数小于0，哪怎么办呢？ 对了，我们只要在不等式两边同乘-1， 然后把不等式的方向改变一下，就可 化为以上四种形式中的一种。
三、例题讲解
例1 解不等式2x2－3x－2>0 o －1/2 ●
●
2
x
解： 因为∆>0， 方程2x2－3x－2＝0 的解是
b2 4ac
(x 1)(x 2) 2
32 4 2 (2) 25 0
x1
1 2
,
x2 2
所以不等式的解集是 {x | x 1 或x 2}.
2
2x2－3x－2 > 0
－2x2＋3x＋2 > 0
{x | x 1 ,或x 2} 2
2x2－3x－2 < 0
{x | 1 x 2}
谢 谢 大 家！ 再 见！
请同学们完成下表:
方程或不等式 （a>0）
Δ>0
解
集
Δ=0
｛x|x=x1 或 ax2＋bx＋c=0、
(1)化成标准形式 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)
(2)判定⊿与0的关系，并求出方程ax2+bx+c=0 的实根
(3)写出不等式的解集
课堂练习
课本P20.1、2、3
练习 课本P20.1、2、3
1.
（1）x | 13〈x〈2
（，2）x
|
x
2 3
或x
1 2
，
（3） ф
）
解法步骤总结：一化正→二算Δ→ 三求根→四写解集
例2.解不等式： -3x2+6x>2
解：∵ -3x2+6x>2
∴ 3x2-6x+2<0
因为，△>0，方程3x2-6x+2=0的y解
是
3
3
x1 1 3 , x2 1 3
所以，原不等式的解集是 o ●
●
x
{x |1 3 x 1 3}
3
3
三、例题讲解 例3解不等式 4x2－4x＋1 > 0
2
2x2－3x－2 ≤ 0
{x | 1 x 2}
2
-1
2
2
解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0) 的步骤是：
（1）化成标准形式 ax2+bx+c>0(a>0) ax2+bx+c<0 (a>0)
（2）求⊿，并求出方程ax2+bx+c=0 的实根
（3）根据图象写出解集（可记忆为：大于零取 两边，小于零取中间
x 2 x 3
问：
方程ax2＋bx＋c=0、 不等式ax2＋bx＋c <0、 或ax2＋bx＋c >0
与函数y= ax2＋bx＋c的图象有什么关 系？
方程的解即函数图象与x轴交点的横标， 不等式的解集即函数图象在x轴下方或上 方图象所对应x的范围。
利用二次函数图象能解一元 二次不等式！
问：y= ax2＋bx＋c（a>0）与x轴 的交点情况有哪几种？
引例：
解一元二次方程: x2 x 6 0
解之得: x1 2, x2 3
观察二次函数y x2 x 6的图像
y
-2 o
-6
3x
看一看：函数图象与x轴的位置关系 说一说
方程x2 x 6 0的解是 x 2或x 3
不等式x2 x 6 0的解集是
x x 2或x 3
不等式x2 x 6 0的解集是
2 . (1) 当x 2 3或x 2 3时，y 0
(2) 当x〉2 3或x〈2 3时，y〉0
(3) 当2 〈3 x〈2 3时，y〈0
3. x | x 4或x 3
y
五、小结
o ●x1
● x2 x
（1）一元二次不等式的解集与一元二次方程
的解及其相应的二次函数的图像相对于轴的
位置密切相关.解题时要注意解题格式，头脑
解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的是
x1
x2
1 2，
y
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1
2
o●
x
观察4x2－4x＋1 <0的解
无解
例4：解不等式- x2+2x-3>0
解：整理，得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程x2-2x+3=0无实数根
所以原不等式的解集为ф
作业：解下列不等式： （1）3x2－7x+2<0 （2）－6x2－x+2≤0 （3）4x2+4x+1<0 （4）x2－3x+5>0
Δ>0 Δ=0 Δ<0
∆＝b2-4ac 二次函数
∆>0 y
∆=0 y
∆<0 y
y=ax2+bx+c 的图像 (a>0)
o ●x1
● x2 x
o
●
xo
x
ax2+bx+c=0
b x1,2 2a
x1
x2
b 2a
的根（a>0)
ax2+bx+c>0
{x
|
x
x1或x
x2}
{x |
x R, x
b} 2a