《鲁棒控制》-6-线性矩阵不等式

⎫ ⎪ ⎬
(∗)
y=x
⎪⎭
假设: ( A, B2 ) 可镇定, D12 为列满秩，且 C1T D12 = 0 。
令 ● 存在 K ，使得
u = Kx
Tzw ∞ < γ
● iff 如下代数 Riccati 不等式有可行解 P > 0
( ) AP + PAT − B2 D1T2D12 −1 B2T + B1B1T + γ −2PC1T C1P ≤ 0
A 为稳定矩阵
y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
系统为非膨胀的（nonexpansive）: 当 x (0) = 0 时，
T
∫0
yT
(t
)y
(t
)
dt
≤
T
∫0
uT
(t
)u
(t
)
dt
● 系统为非膨胀的 iff
H ∗ (s) H (s) ≤ I, ∀ Re s > 0 (百度文库界实条件)
即
rate, etc.) • Multi-model/multi-objective state feedback design • Robust pole placement • Optimal LQG control • Robust H∞ control
• Multi-objective H∞ synthesis • Design of robust gain-scheduled controllers • Control of stochastic systems • Weighted interpolation problems
（2） 存在标量τ ≥ 0 ，使得如下 LMI 可行：
−
⎡ T0 ⎢⎣u0T
u0 v0
⎤ ⎥ ⎦
+τ
⎡ T1 ⎣⎢u1T
u1 v1
⎤ ⎥ ⎦
≤
0
● 对于 F1 ( x) = xTT1x ≥ 0 ，存在 x ，使得 F1 ( x ) > 0 ，则如下命题等价： （1） 对于使得 F1 ( x) ≥ 0 的所有 x ，成立
H (s) ≤1 ∞
● iff 如下代数 Riccati 方程有解 P > 0
( )( ) ( ) AT P + PA + CTC + PB + CT D I − DT D −1 PB + CT D T = 0
● iff 如下代数 Riccati 不等式有可行解 P > 0
( )( ) ( ) AT P + PA + CTC + PB + CT D I − DT D −1 PB + CT D T ≤ 0
F0 ( x) = xTT0 x > 0
（2） 存在标量τ > 0 ，使得： −T0 +τT1 < 0
● 如下命题等价：
（1） 存在对称矩阵 P > 0 ，使得对于满足π Tπ ≤ ξ TCTCξ 的所有π 和ξ ≠ 0 ，成
立：
⎡ξ ⎤T ⎡ AT P + PA
⎢⎣π ⎥⎦
⎢ ⎣
BT P
PB 0
⎤ ⎥ ⎦
条件 S2 等价为存在标量τi ≥ 0,i = 1, 2,", m ，使得
∑ −
⎡ T0 ⎢⎣u0T
u0 ⎤
v0
⎥ ⎦
+
m
τi
i =1
⎡ Ti ⎢⎣uiT
ui vi
⎤ ⎥ ⎦
≤
0
条件 Sˆ1 : 对满足 xTTi x ≥ 0,i = 1, 2,", m 的所有非零 x ，有 xTT0 x > 0
条件 Sˆ 2 : 存在标量τi ≥ 0,i = 1, 2,", m ，成立
m
∑ T0 − τiTi > 0 i =1
●条件 Sˆ 2 是条件 Sˆ1 的充分条件。
● 对于 F1 ( x) = xTT1x + 2u1T x + v1 ≥ 0 ，存在 x ，使得 F1 ( x ) > 0 ，则如下命题等价：
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（1） 对于使得 F1 ( x) ≥ 0 的所有 x ，成立 F0 ( x) = xTT0 x + 2u0T x + v0 ≥ 0
% PL
⎥>0 ⎥ ⎥
⎢⎣ 0
−W ⎥⎦
⎤ PAL ⎥
⎥
0⎥
#
⎥ ⎥
−PL ⎥⎦
（7）延迟系统的镇定
对于系统
L
x (t ) = Ax (t ) + ∑ Ai x (t −τi ) + Bu (t ), i =1
● 如果存在 P > 0, Pi > 0(i = 1,", L) ，使得
⎡⎢(
A
+
BK
)T
(≤ 0)
为线性矩阵不等式（LMI）。
当存在实向量 x ，使得 F ( x) < 0(≤ 0) ，则称 LMI F ( x) < 0(≤ 0) 可行或存在可
行解。
LMI 的可行解全体构成一凸集。
令 X 是一实对称矩阵，对于任意给定实数矩阵 A 和实对称矩阵 Q ，则矩阵
不等式
AT X + XA + Q < 0
( )( ) ( ) AT P + PA + PB − CT
D + DT
−1
PB − CT
T
≤0
● iff LMI 可行
P
>
0,
⎡ ⎢ ⎣
AT P + PA BT P − C
PB −D
− −
CT DT
⎤ ⎥ ⎦
≤
0
（4）非膨胀性（有界实引理） 考虑系统
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t ) y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
假设 D + DT > 0 。 令
H (s) = C (sI − )A −1 B + D
系统无源（passive）: 当 x (0) = 0 时，
∫T 0
uT
(t
)y
(t
)
dt
≥
0
● 系统无源 iff
⎥ ⎥⎦
∑ ⎡
⎢
AT
P
+
PA
+
L
Pi
⎢
i =1
W =⎢ ⎢ ⎢
A1T P #
⎢⎣
ALT P
PA1 "
−P1 " #% 0"
● 如果 P > 0, Pi > 0(i = 1,", L), W < 0 ，则系统稳定。
● 如下 LMI 有可行解时，系统稳定。
⎡P
0⎤
⎢ ⎢
P1
⎥ ⎥
F
(
P,
Pi
)
=
⎢ ⎢
⎢
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证：
⎡I ⎢⎣−S21S1−11
0⎤ ⎡S11
I
⎥ ⎦
⎢ ⎣
S21
S12 ⎤ ⎡ I
S22
⎥ ⎦
⎢⎣−
S21S1−11
0⎤T
I
⎥ ⎦
=
=
⎡S11
⎢ ⎣
0
S22
−
S12 S21S1−11S12
⎤ ⎥ ⎦
⎡I ⎢⎣0
−S1−11S12 I
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡S11
P > 0, AT P + PA < 0
是可行的。
（2）可镇定性与 LMI
x (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
( A, B) 为可镇定对 iff LMI
是可行的。
P > 0, AT P + PA < BBT
（3）无源性（正实性引理） 考虑系统
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V
(
x, t
)
=
xT
(t
)
Px
(t
)
+
L
∑
∫τi 0
xT
(t
−
s)
Pi
x
(t
−
s )ds
i =1
则
d V ( x,t ) = yT (t )Wy (t )
dt 其中
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⎡ x(t) ⎤
y
(
t
)
=
⎢ ⎢ ⎢
x
(t
− #
τ
1
)
⎥ ⎥ ⎥
,
⎢ ⎢⎣
x
(
t
−
τ
L
)
是一线性矩阵不等式。事实上，实对称矩阵 X 可表示为
因此
m
∑ X =
xi Hi ，
Hi
=
H
T i
i =1
∑ ∑ ∑ ( ) AT
m i =1
xi Hi
+
⎛ ⎜⎝
m i =1
xi
H
T i
⎞ ⎟⎠
A+Q
=
Q+
m i =1
xi
AT
Hi
+
H
T i
A
其中
m
∑ = F0 + xi Fi i =1
F0 = Q,
Fi
⎢ ⎣
0
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢⎣
S11 S21
S12 S22
⎤ ⎥⎦
⎡I ⎢⎣0
−S12 I
S −1 22
⎤T ⎥ ⎦
0
⎤
S22
−
S21S1−11S12
⎥ ⎦
=
⎡ ⎢
S11
⎣
−
S12
S −1 22
S21
S21
0 ⎤⎡ I
S22
⎥ ⎦
⎢⎣−
S −1 22
S
21
0⎤
I
⎥ ⎦
第六章 线性矩阵不等式
6.1 线性矩阵不等式和 Schur 引理
假设 F ( x) 是关于实向量 x = [ x1 x2 " xn ]T 的一仿射实函数矩阵，其具有
如下性质：
F (x) = FT (x)
则称
= F0 + x1F1 + x2F2 +" + xn Fn Fi = FiT
F (x) < 0
条件 S1 : 对满足 Fi ( x) ≥ 0,i = 1, 2,", m 的所有 x ，有 F0 ( x) ≥ 0
条件 S2 : 存在标量τi ≥ 0,i = 1, 2,", m ，使得对所有 x ，有
m
F0 ( x) − ∑τiFi ( x) ≥ 0 i =1
● S-过程是通过检验条件 S2 来检验条件 S1 。 ● 条件 S1 与条件 S2 一般不等价。 ● 当条件 S1 与条件 S2 等价时，称此 S-过程是无损的，否则称为有损的。 ● 当 S-过程为有损时，条件 S2 是条件 S1 的充分条件。
⎡ξ ⎢⎣π
⎤ ⎥⎦
<
0
（2） 存在标量τ ≥ 0 和对称矩阵 P > 0 ，使得：
⎡ AT P + PA +τ CT C
⎢ ⎣
BT P
PB −τ I
⎤ ⎥ ⎦
<
0
6.2 控制问题与线性矩阵不等式
（1）稳定性与 LMI
X (t ) = AX (t )
A 为稳定矩阵 iff Lyapunov 不等式（LMI）
P
+
P
(
A
+
BK
)
+
L
∑
Pi
PA1
⎢
i =1
W =⎢
A1T P
−P1
⎢ ⎢
#
#
⎢⎣
ALT P
0
则 u (t ) = Kx (t ) 镇定该系统。
τi > 0
"
PAL
⎤ ⎥
⎥
" 0 ⎥<0
%
#
⎥ ⎥
" −PL ⎥⎦
●令
Q = P−1, Qi = P−1Pi P−1 (i = 1,", L) ,Y = KP−1
H (s) + H ∗ (s) ≥ 0, ∀ Re s > 0 (正实条件)
● iff 如下代数 Riccati 方程有解 P > 0
( )( ) ( ) AT P + PA + PB − CT D + DT −1 PB − CT T = 0
● iff 如下代数 Riccati 不等式有可行解 P > 0
如果存在 Q > 0,Qi > 0(i = 1,", L) 和Y ，使得
∑ ⎡
⎢
AQ
+ QAT
+
BY
+YT
BT
+
L
Qi
⎢
i =1
T =⎢
QA1T
⎢ ⎢
#
⎢⎣
QALT
则 u (t ) = YQ−1x (t ) 镇定该系统。
A1Q "
−Q1 " #% 0"
●当
F (Q,Qi ,Y ) = diag{Q,Qi , −T} > 0 可行时， u (t ) = YQ−1x (t ) 镇定该系统。
=
AT Hi
+
H
T i
A
● Schur 补引理 （1） S < 0;
给定对称矩阵
S
=
⎡ S11
⎢ ⎣
S21
（2） 当 S11 < 0 时， S22 − S1T2S1−11S12 < 0; （3） 当 S22 < 0 时， S11 − S12S2−21S1T2 < 0 。
S12 S22
⎤ ⎥ ⎦
，如下命题等价：
● iff LMI 可行
P
>
0,
⎡ ⎢ ⎣
AT
P + PA + CT BT P + DTC
C
PB + CT DT D −
D I
⎤ ⎥ ⎦
≤
0
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（5） H∞ 控制
ω
z
u
G
x
K
⎡ A B1 B2 ⎤
G = ⎢⎢C1
D11
D12
⎥ ⎥
⎢⎣ I 0 0 ⎥⎦
x = Ax + B1ω + B2u z = C1x + D11ω + D12u
ALQ
⎤ ⎥
⎥
0 ⎥<0
#
⎥ ⎥
−QL ⎥⎦
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可转换为 LMI 求解的控制问题
• Robust stability of systems with LTI uncertainty (µ-analysis) • Robust stability in the face of sector-bounded nonlinearities (Popov
criterion) • Quadratic stability of differential inclusions • Lyapunov stability of parameter-dependent systems • Input/state/output properties of LTI systems (invariant ellipsoids, decay
=
⎡ ⎢
S11
⎣
−
S12
S −1 22
S1T2
0
0⎤
S22
⎥ ⎦
● S-过程(S-procedure)
设 Fi ( x) (i = 0,1,", m) 是关于 x ∈ Rn 的二次函数： Fi ( x) = xTTi x + 2uiT x + vi , i = 0,1,", m
其中 Ti = TiT 。
● iff LMI 可行
( ) P
>
0,
⎡ ⎢
AP
+
PAT
−
B2
D1T2 D12
−1 B2T + B1B1T
⎢⎣
PC1T
C1P
⎤ ⎥
≤
0
γ 2I ⎥⎦
（6）延迟系统的稳定性
对于系统
L
x (t ) = Ax (t ) + ∑ Ai x (t −τi ), τi > 0 i =1
考虑 Krasovskii 型 Lyapunov 函数：