概率实验一：随机数的生成与蒙特卡洛随机模拟方法 - 副本
通信系统仿真技术 第4章蒙特卡洛仿真与随机数产生
2014-7-16
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通信系统仿真技术(第4章 蒙特卡洛仿真与随机数产生 )
4、舍选法 当随机变量的分布函数不存在封闭形式时，反 变换法难于使用，因此，出现了舍选法。 实现步骤： ①确定f(X)的最大值为C； ②产生在[0， 1]上产生均匀分布的独立随机变 量U1和U2； ③令U1＝CU1； ④如果 CU1 f U 2 ，则输出 X＝U2，否则，拒 收U2返回(2)。
X
U k 6.0
k 1
12
其中 k 1, 2, 12
说明：U(k)在[1,0]内均匀分布同时相互独立的随 机变量，其均值为0.5，方差为1/12。 取数值12是传统参数，它反映了产生速度与 “准确性”之间的折衷。
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通信系统仿真技术(第4章 蒙特卡洛仿真与随机数产生 )
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通信系统仿真技术(第4章 蒙特卡洛仿真与随机数产生 )
几何解释
F(Z) 1 Uk
F
Z
0
Zk
Z
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通信系统仿真技术(第4章 蒙特卡洛仿真与随机数产生 )
实例1、产生指数型分布随机变量的算法；
实例2、产生几何型分布随机变量的算法；
实例3、产生伽马型分布随机变量的算法；
4.2.2由任意概率密度函数生成随机数的方法
要求：准确性和快速性。
1、解析变换法
理论依据：以概率积分变换定理为基础，通过 对均匀分布随机变量U的变换，可以得到具有任意概 率密度函数的的随机变量Z。 产生步骤： ①产生在 [0，1]上均匀分布的独立随机变量U； ②根据Z的分布函数F(Z)，输出 Z F 1 U 。
蒙特卡洛方法中随机数发生器和随机抽样方法的研究
结论
1、开发更加高效、高质量的随机数发生器和随机抽样方法，以满足不断增长 的模拟需求。
2、研究不同随机数发生器和随机抽样方法在不同场景下的性能表现，为实际 应用提供更多参考。
结论
3、结合多种随机数发生器和随机抽样方法，研究混合策略在蒙特卡洛方法中 的应用效果。
参考内容
内容摘要
在当今这个信息爆炸的时代，数据分析已经成为我们解决问题的重要手段。 而在数据分析中，如何保证样本的随机性和公正性是一个关键问题。计算机随机 分组与随机抽样正是解决这个问题的有效方法。本次演示将介绍这两种方法及其 应用。
具体而言，这种组合优化策略包括： 1、根据具体应用场景选择合适的随机数发生器和随机抽样方法，以提高模拟 效率和精度。
基于随机数发生器和随机抽样方法的组合优化策略
2、通过交叉验证、重复试验等方法评估不同随机数发生器和随机抽样方法的 性能，优选出最佳组合。
基于随机数发生器和随机抽样方法的组合优化策略
结论与展望
结论与展望
总的来说，计数型抽样检验方法在出口产品质量控制中具有重要的作用。然 而，为了更好地发挥计数型抽样检验方法的作用，我们需要进一步完善该方法在 实际应用中存在的问题。未来研究方向包括：如何制定更加科学的抽样检验计划， 如何设置合理的判定准则，如何加强生产过程中的质量控制等。
结论与展望
内容摘要
随机抽样是通过计算机程序从总体中随机选取一定数量的个体作为样本。这 个过程也是自动的、随机的，可以确保每个个体被选为样本的概率是均等的。随 机抽样方法的应用也非常广泛，如在市场调查中，研究人员可以通过随机抽样来 了解消费者的喜好；在医学中，研究人员可以通过随机抽样来研究某种疾病的发 病率等。
内容1
3、适用范围广：蒙特卡洛方法可以广泛应用于各种不同领域的系统可靠性评 估，包括核能、电力、交通等。
概率实验一随机数的生成与蒙特卡洛随机模拟方法
随机数的产生及蒙特卡 洛随机模拟方法
实验目的
学习随机数的产生及蒙特卡洛随机模拟方法 的基本过程与方法。
实验内容
1、产生随机数的计算机命令。 2、蒙特卡洛随机模拟实例。
实验作业
数学模拟的方法
在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统 的运行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计 算机上进行的，称为计算机模拟。 计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和 系数都比较容易。 在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系 统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设， 与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本 无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选 择。
一）频率的稳定性模拟
1.事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验 中事件A发生的次数。 频率 f=m/n 2.频率的稳定性
④ 产生m×n阶均值为mu方差为sigma的正态分布的随 机数矩阵 normrnd(mu,sigma,m,n) 产生一个均值为mu方差为sigma的正态分布的随机数 normrnd(mu,sigma) ⑤ 产生m×n阶期望值为mu (mu=1/λ)的指数分布的随机 数矩阵 exprnd(mu,m,n) 产生一个期望值为mu的指数分布的随机数 exprnd(mu) 注意: 产生一个参数为λ的指数分布的随机数应输入 exprnd(1/λ)
补充：随机数的产生命令
MATLAB可以直接产生满足各种分布的随机数 具体命令如下: ① 产生m×n阶[0,1]上均匀分布的随机数矩阵 rand(m,n) 产生一个[0,1]上均匀分布的随机数 rand ② 产生m×n阶[a,b]上均匀分布的随机数矩阵 unifrnd (a,b,m, n) 产生一个[a,b]上均匀分布的随机数 unifrnd(a,b) ③ 产生一个1:n的随机排列(元素均出现且不重复) p=randperm(n) 注意: randperm(6)与unifrnd (1,6,1, 6)的区别
1_随机模拟与蒙特卡洛方法
随机模拟的应用： 报童问题
利润公式：
ra (n r )b, r n, L na, r n.
随机模拟的应用： 报童问题
产生服从经验概率分布的随机数 产生一[0，1]上的均匀分布的随机数U， Y=1000*U
300 350 400 450 r 500 550 600 650 700 0 Y<25 25 Y<75 75 Y<175 175 Y<350 350 Y<650 650 Y<825 825 Y<925 925 Y<975 975 Y 1000
表 船在港口的平均停留时间 船在港口的最长停留时间 船的平均等待时间 船的最长等待时间 114
3 79 96 88 126 115 223 61 173
248 224 205 171 371 57 24 41 35 71
175 152 155 122 309 0.1 5 0.1 9 0.1 2 0.1 4 0.1 7
随机模拟与蒙特卡洛方法
随机模拟与蒙特卡洛方法
模拟：把某一现实的或抽象的系统的部分状 态或特征用另一系统(称为模型)来代替或模 仿 计算机模拟在复杂系统或过程的研究中发挥 着越来超重要的作用 随机模拟和蒙特卡洛(Monte CarIo)方法
蒙特卡洛方法的基本思想
基本思想：把各种随机事件的概率特征 与 数学分析的解联系起来，用试验的方法确定 事件的相应概率与数学期望 特点：概率模型的解是由试验得到的，而不 是计算出来的。 作用：可以解决其它方法无法解决的实际问 题、对理论研究进行补充及辅助
为了分析码头的效率，我们考虑共有
n
条船到达码头卸货的情形，原则上讲，
随机数模拟方法
知识迁移
例1 天气预报说，在今后的三天中，每一 天下雨的概率均为40%，用随机模拟方法估 计这三天中恰有两天下雨的概率约是多少？
要点分析： （1）今后三天的天气状况是随机的， 共有四种可能结果，每个结果的出现 不是等可能的. （2）用数字1，2，3，4表示下雨，数 字5，6，7，8，9，0表示不下雨，体现 下雨的概率是40%.
思考5：一般地，如果一个古典概型的基 本事件总数为n，在没有试验条件的情况 下，你有什么办法进行m次实验，并得到 相应的试验结果？在几何概型中的变量 呢？
思考6：如果一次试验中各基本事件不都 是等可能发生，如何利用上述方法获得 的试验结果？
探究（二）：随机模拟方法 思考1：对于古典概型，我们可以将随机 试验中所有基本事件进行编号，利用计 算器或计算机产生随机数，从而获得试 验结果.这种用计算器或计算机模拟试 验的方法，称为随机模拟方法或蒙特卡 罗方法（Monte Carlo）.你认为这种方 法的最大优点是什么？ 不需要对试验进行具体操作，可以广 泛应用到各个领域.
（3）用计算机产生三组随机数，代表 三天的天气状况. （4）产生30组随机数，相当于做30次 重复试验，以其中表示恰有两天下雨的 随机数的频率作为这三天中恰有两天下 雨的概率的近似值. Excel演示
（5）据有关概率原理可知，这三天中 恰有两天下雨的概率 P=3掷两粒骰子，计算出现点数之 和为7的概率，利用随机模拟方法试验 200次，计算出现点数之和为7的频率， 并分析两个结果的联系和差异. 模拟试验
思考2：随机数表中的数是0～9之间的随 机数，你有什么办法得到随机数表？ 我们可以利用计算器产生随机数，其 操作方法见教材P130及计算器使用说 明书. 我们也可以利用计算机产生随机数， 用Excel演示:
蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数
《蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数》一、引言“蒙特卡罗法”这一词汇，源自于蒙特卡罗赌场，是一种通过随机抽样和统计模拟来解决问题的方法。
而生成服从正态分布的随机数，是在数理统计、金融工程、风险管理等领域中常常遇到的问题。
在本文中，我们将探讨如何利用蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数，从而可以更深入地理解这一方法并应用于实际问题中。
二、蒙特卡罗法的基本原理蒙特卡罗法是一种基于随机抽样的方法，通过对概率模型进行模拟实验来获取近似解。
对于生成服从正态分布的随机数，我们可以利用蒙特卡罗法来模拟正态分布的概率密度函数，从而得到符合正态分布的随机数。
在生成正态分布的随机数时，我们可以采用以下步骤：1. 生成服从均匀分布的随机数2. 利用反函数法将均匀分布的随机数转化为正态分布的随机数3. 进行模拟实验，不断调整参数，直至生成的随机数符合所需的正态分布三、蒙特卡罗法生成正态分布的随机数的具体步骤1. 生成服从均匀分布的随机数我们可以利用随机数发生器生成服从均匀分布的随机数。
均匀分布的概率密度函数为f(x) = 1，x∈[0,1]。
我们可以生成若干个0到1之间的随机数作为初始值。
2. 利用反函数法将均匀分布的随机数转化为正态分布的随机数利用反函数法，我们可以将服从均匀分布的随机数转化为服从正态分布的随机数。
正态分布的累积分布函数为Φ(x) = ∫(-∞,x) (1/√(2π) * exp(-t^2/2)dt，而其反函数可以通过查表或近似计算得到。
利用反函数法，我们可以将生成的均匀分布的随机数通过正态分布的反函数转化为符合正态分布的随机数。
3. 进行模拟实验，不断调整参数，直至生成的随机数符合所需的正态分布在生成的随机数不符合所需的正态分布时，我们可以不断地调整参数、增加模拟实验的次数，直至得到符合所需的正态分布的随机数。
四、总结与回顾通过蒙特卡罗法生成服从正态分布的随机数，我们可以发现这一方法的灵活性和强大性。
Monte-Carlo(蒙特卡洛方法)解析
常用的线性同余生成器
Modulus m 2^31-1
=2147483647
2147483399 2147483563
Multiplier a 16807
在 n 次中出现的频率。假如我们取 fn ( A) 作为 p P(A) 的估计，即 pˆ fn ( A) 。
然后取 ˆ
2l afn ( A)
作为
的估计。根据大数定律，当 n 时，
pˆ
fn ( A) a.s.
p.
从而有ˆ 2l P 。这样可以用随机试验的方法求得 的估计。历史上 afn ( A)
(2) 计算 X F -1(U ) ,则 X 为来自 F(x) 分布的随机数.
例 1 ：设 X ~ U (a,b) ，则其分布函数为
0
F
(
x)
x b
a a
1,
xa a xb
xb
F -1( y) a (b a) y ， 0 y 1
生成 U (0,1) 随机数 U，则 a (b - a)U 是来自
算法实现
许多程序语言中都自带生成随机数的方法, 如 c 中的 random() 函数, Matlab中的rand()函数等。 但这些生成器生成的随机数效果很不一样, 比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差, 如果用 c , 最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数, 经过了很多优化。可以产生性质很好的随 机数, 可以直接利用。
U (a,b) 的随机数。
例 2：
设 X ~ exp( ) 服从指数分布，则 X 的分布函数为：
直接蒙特卡洛模拟方法
直接蒙特卡洛模拟方法一、什么是蒙特卡洛模拟方法蒙特卡洛模拟方法（Monte Carlo simulation）是一种基于随机数和概率统计的模拟技术，通过生成大量随机样本来模拟实验或事件的概率分布，用于解决复杂的计算问题。
它起源于第二次世界大战时，用于解决核物理领域的复杂问题。
二、蒙特卡洛模拟方法的基本原理蒙特卡洛模拟方法的基本原理是利用概率统计理论中的随机抽样和大数定律，通过生成大量的随机样本，通过对这些随机样本进行统计分析，得到研究对象的数值解或概率分布。
在蒙特卡洛模拟中，随机数的生成是关键步骤，通常使用计算机算法来生成伪随机数。
2.1 蒙特卡洛模拟方法的步骤蒙特卡洛模拟方法的主要步骤包括： 1. 定义模拟的问题和目标。
2. 建立模拟模型，包括建立数学模型和模拟算法。
3. 生成随机数，用于模拟实验的输入。
4. 进行模拟实验并记录结果。
5. 分析模拟结果，得出目标问题的解或概率分布。
6. 进行模型验证和灵敏度分析。
2.2 蒙特卡洛模拟方法的应用领域蒙特卡洛模拟方法在各个领域都有广泛的应用，包括金融、天气预测、风险评估、物理学、化学工程等。
它可以帮助我们解决那些具有不确定性的问题，以及那些使用传统解析方法难以求解的复杂问题。
三、蒙特卡洛模拟方法的优缺点蒙特卡洛模拟方法具有以下优点： - 可以解决各种具有不确定性的问题。
- 可以处理复杂问题，无需求解解析解。
- 结果具有可靠性和可重复性。
然而，蒙特卡洛模拟方法也存在一些缺点： - 模拟结果受随机数生成算法的影响。
- 计算量大，运行时间较长。
- 在处理高维问题时会面临“维数灾难”。
四、蒙特卡洛模拟方法的案例应用4.1 金融领域的蒙特卡洛模拟在金融风险评估中，蒙特卡洛模拟方法非常常见。
例如，在期权定价中，我们可以使用蒙特卡洛模拟方法来模拟股票价格的随机波动，从而计算期权的价值和风险。
示例代码：import numpy as npdef monte_carlo_option_pricing(S0, K, r, sigma, T, n_simulations):dt = T / n_simulationsS = np.zeros((n_simulations + 1, ))S[0] = S0for i in range(1, n_simulations + 1):epsilon = np.random.standard_normal()S[i] = S[i-1] * (1 + r * dt + sigma * np.sqrt(dt) * epsilon)payoff = np.maximum(S[-1] - K, 0)price = np.exp(-r * T) * np.mean(payoff)return priceS0 = 100K = 105r = 0.05sigma = 0.2T = 1n_simulations = 10000option_price = monte_carlo_option_pricing(S0, K, r, sigma, T, n_simulations) print(f"The option price is: {option_price}")4.2 物理学中的蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟在物理学中也有广泛应用。
随机数生成及蒙特卡洛方法
随机数生成及蒙特卡洛方法随机数在计算机科学和统计学中扮演着至关重要的角色。
它们被广泛应用于模拟实验、密码学、金融建模等领域，而蒙特卡洛方法则是一种利用随机数来解决复杂问题的计算方法。
本文将介绍随机数的生成方法以及蒙特卡洛方法的基本原理与应用。
一、随机数的生成方法在计算机上生成真正的随机数是一项具有挑战性的任务，因为计算机是基于确定性逻辑的。
为了产生接近于真正随机的数字序列，我们通常使用伪随机数生成器（Pseudorandom Number Generator，PRNG）。
下面是一些常见的随机数生成方法：1. 线性同余法（Linear Congruential Method）线性同余法是一种简单且高效的随机数生成方法。
它基于一个递推公式：Xn+1 = (A Xn + C) % M，其中Xn为当前随机数，A、C、M为事先选定的参数。
尽管该方法具有周期性和一致性的局限性，但对于一般应用来说已经足够。
2. 梅森旋转算法（Mersenne Twister Algorithm）梅森旋转算法是一种高质量的随机数生成方法，具有较长的周期和良好的统计特性。
它是目前应用广泛的伪随机数生成器之一，被用于各种科学计算和模拟实验中。
3. 硬件随机数除了软件生成的伪随机数之外，还可以利用计算机硬件中的随机性来生成随机数。
例如，利用鼠标移动、键盘敲击、电子噪声等硬件事件作为随机源，通过特定的算法进行处理，生成真随机数序列。
二、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种利用随机数和统计学原理来解决问题的计算方法。
它通过生成大量的随机样本，通过统计分析得出问题的数值解。
下面是蒙特卡洛方法的基本原理和应用：1. 基本原理蒙特卡洛方法的基本原理是利用概率统计的知识，通过大量的随机抽样和统计分析来近似求解问题。
它的核心思想是将问题转化为随机试验，通过统计样本来获得问题的解。
2. 应用领域蒙特卡洛方法在各个领域都有广泛的应用。
在金融领域，蒙特卡洛方法可以用于计算期权定价、风险管理等；在物理学领域，蒙特卡洛方法可以用于粒子运动模拟、相变研究等；在计算机图形学中，蒙特卡洛方法可以用于渲染算法、光线追踪等。
随机数与蒙特卡罗方法
二、伪随机数
伪随机数列：实际产生伪随机数的时候，往往利用 某一递推 xn = f ( xn −1, xn − 2 ,, xn − k ) 产生数列 x1 , x2 ,, xn ， 当n充分大时，这一数列具有独立抽样序列的性质， 我们成为伪随机数列。
随机种子：递推公式中的初值，我们称为随机种子。一旦随机 种子确定，随机序列便可以确定。
一、蒙特卡罗方法概述
蒙特卡罗算法名称的由来： 1946年物理学家冯.诺一曼利用计算机使用随机抽 样的方法模拟了裂变中的中子反应，但这是一个 与原子弹研制相关的秘密工作，他们将该方法称 为蒙特卡罗。之后这个名字变流传开来，被人们 所喜爱。
二、蒙特卡罗方法求解实际问题的步骤
1、蒲丰（Buffon）随机投针试验介绍 随机模拟的方法从方法特征来说，最早可以追溯到 18世纪后半叶的蒲丰（Buffon）随机投针试验。从中我 们可以体会出蒙特卡罗方法的一般过程。 圆周率的注记：2011年10月16日，日本长野县饭田市公 司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10 万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼 斯世界纪录。今年56岁近藤茂使用的是自己组装的计算 机，从去年10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪 录。 1777年法国学者蒲丰（Buffon）提出可以用投针实验来 求得圆周率。被称为计算π最神奇方法之一。
A A A A(mod M ) = A − [ ] × M = A − [ ]× M M M
A [ 其中 M ] 表示取整运算
A< M A≥ M
。
四、均匀随机数的产生
同余法的一般递推公式：
yn = (kyn −1 + b)(mod M ) yn x (n = 1,2,3,) = n M 初值 y0
随机数的产生与Monte-Carlo方法
随机数的产生与Monte－Carlo方法班级；学号 ;姓名一、实验目的1、掌握随机数的产生；2、应用Monte Carlo方法解决一些简单问题；3、巩固概率统计知识。
二、实验原理A．随机数的产生1、定义：设随机变量η～F(x)，来自 的样本{ηi}，称为来自分布F(x)的随机数。
2、定理：设X的分布函数为F（x），()F x严格递增，1）F(x)～U(0,1)；2）若R～U(0,1),则F-1(R)的分布函数为F(x)。
3、产生均匀随机数ηn=f(ηn-1, ηn-2, ……, ηn-k)；常用ηn=f(ηn-1) (伪随机数)具有独立性、均匀性、随机性；* 线性同余发生器设a,b,M为整数，M>0，a≡b(mod M)求余运算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-为非负整数n n n n n x M c a M x r M c ax x ,,,)(mod 1 * 一个满意的发生器x n =314159269x n-1+453806245(mod231)x 0(x 0为任意非负整数。
) 4、正态分布随机数 若R i ～ U[0,1], i=1,2,令⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21212sin ln 22cos ln 2R R V R R U ππ， 则U ～N(0,1),V ～N(0,1),且U 与V 相互独立。
若x ～N(0,1),则σx+ц～N(ц,σ2)。
5、指数分布随机数若R ～U[0,1]，则-(1/λ)ln(1-R)～E(λ)。
B ．计算机随机模拟计算机随机模拟方法，也称Monte Carlo 方法，是计算机仿真技术中的一个有效方法。
步骤：1、建立一个概率模型，使它的参数等于问题的解；2、应用计算机产生随机数来计算所求参数；3、得到所求解的近似解。
用Monte Carlo 方法计算常义定积分⎰badxx f )(的样本．为来自X X X f n a b b a U X X Ef a b dx ab x f a b dx x f i ni i b ab a,)(1)(],,[~ ),()(1)( )()(1∑⎰⎰=-≈-=-⋅-=三、实验内容及输出结果*初始值0x 取学号最后两个数字。
随机数产生与模拟
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器 ：
Maclaren 和 Marsaglia在1965年提出 的著名的组合发生器是组合同余发生 器,该算法的具体步骤如下：
本章目录 13
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器
1用第一个LCG产生
：
k 个随机数，一般取
k
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随机数的产生与模拟
用随机模拟方法解决实际问题时，首先 要解决的是随机数的产生方法，或称随 机变量的抽样方法。
本章目录 1
随机数的产生与模拟
伪随机数： 在计算机上用数学方法产生均匀随机
数是指按照一定的计算方法而产生的数 列，它们具有类似于均匀随机变量的独 立抽样序列的性质，这些数既然是依照 确定算法产生的，便不可能是真正的随 机数，因此常把用数学方法产生的随机 数称为伪随机数。
本章目录 20
随机数的产生与模拟
2非均匀随机数的产生
2 合成法 ：
当
g( y)
为离散形式时，即
p(x)
n i1 i
pi (x),其中i
0,
n
i1 i
1
pi (x) 是密度函数，其抽样过程如下：
1 产生一个正的随机整数J ，使得P{J j} p j ，j 1,2,...,n
2 产生分布为 p j (x) 的随机数。
令 rn xn 2L n 1,2,... 则rn 即为FSR方法产生的均匀随机数列。
本章目录 11
随机数的产生与模拟
1 均匀随机数的产生
组合发生器 ： 先用一个随机数发生器产生的随机数列为
基础，再用另一个发生器对随机数列进行重新 排列得到的新数列作为实际使用的随机数。这 种把多个独立的发生器以某种方式组合在一起 作为实际使用的随机数，希望能够比任何一个 单独的随机数发生器得到周期长、统计性质更 优的随机数，即组合发生器。
蒙特卡洛模拟法的步骤-概述说明以及解释
蒙特卡洛模拟法的步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述蒙特卡洛模拟法是一种基于随机数的数值计算方法，用于解决复杂的数学问题和模拟真实世界的现象。
它在各个领域都有广泛的应用，包括金融、物理学、工程学、统计学等。
蒙特卡洛模拟法的核心思想是通过生成大量的随机样本，并统计这些样本的结果来获取问题的解或现象的模拟。
它模拟随机变量的概率分布，以此推断未知参数的分布或评估某种决策的风险。
蒙特卡洛模拟法的步骤可以简单概括为以下几个关键步骤：1. 确定问题或现象的数学模型：首先，需要将问题或现象抽象为数学模型。
这个模型需要描述问题的输入、输出以及各个元素之间的关系。
2. 生成随机样本：通过使用合适的随机数生成方法，生成满足问题模型要求的随机样本。
样本的生成应充分反映问题模型的特征。
3. 计算模型输出：将生成的随机样本代入问题模型，计算出相应的模型输出。
这个输出可能是一个统计量、概率分布或者其他有意义的指标。
4. 统计分析样本结果：对计算得到的模型输出进行统计分析。
可以计算均值、方差等统计指标，也可以对结果进行可视化分析。
5. 得出结论：根据统计分析的结果，可以得出关于问题的解或现象的模拟。
结论可以包括对问题的影响因素的评估、风险的评估等。
蒙特卡洛模拟法的优势在于它能够处理复杂的数学模型和现象，而不需要依赖于精确的解析方法。
它可以通过增加样本数量来提高模拟结果的精度，因此在计算资源充足的情况下能够得到非常准确的结果。
尽管蒙特卡洛模拟法有着许多优势，但也存在一些限制和挑战。
例如，随机样本的生成可能会消耗大量的计算资源和时间；模型的结果可能受到随机样本选择的影响等。
在未来，随着计算机计算能力的不断提升，蒙特卡洛模拟法将在更多的领域得到应用，并且有望进一步发展和优化，以应对更加复杂的问题和模拟需求。
1.2 文章结构文章结构部分应该介绍整篇文章的组成和内容安排，让读者了解到接下来会讲解哪些内容。
以下是文章结构部分的内容示例：文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分。
概率实验一：随机数的生成与蒙特卡洛随机模拟方法副本
1、产生随机数的计算机命令。 2、蒙特卡洛随机模拟实例。
实验作业
数学模拟的方法
在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统 的运行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计 算机上进行的，称为计算机模拟。
计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和 系数都比较容易。
在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系 统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设， 与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本 无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选 择。
•指数分布的期望值为
•排队服务系统中顾客到达间隔、质量与可靠性 中电子元件的寿命通常服从指数分布。
例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为 10(分钟)的指数分布(指数分布的均值为10)
----- 指两个顾客到达商店的平均间隔时间是 10分钟.即平均10分钟到达1个顾客. 顾客到达 的间隔时间可用exprnd(10)模拟。
for i=1:n
if x(i)<l*sin(phi(i))/2 %满足此条件表示针与线的相交
plot(phi(i),x(i),'r.'); frame(i)=getframe; %描点并取帧
title(['Current Point ',num2str(i),' Total ',num2str(n)]);
作业：1.掷两枚不均匀硬币，每枚正面出现概率为 0.4，记录前1000次掷硬币试验中两枚都为正面频 率的波动情况，并画图。
2 : 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间 各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等 可能的. 如果两船到达码头后需在码头停留的时 间分别是1 小时与2 小 时，试求在一昼夜内，任一 船到达时，需要等待空出码头的概率. （频率估计 概率）
chap15 蒙特卡罗模拟和自助法
此外，注意到原来的数据中约3000个为女性，2000个为男性。这样，我们考
虑按照原数据的男女比例进行抽样；也就是说，抽取300个女性，200个男性。 要做到这一点，要先生成一个新变量，令gender为female时新变量的值为300， gender为male时新变量的值为200。输入命令： gen st = cond(gender,300,200) 这里，我们将新变量命名为st。对于条件函数cond(x, a, b)，其含义为：如果x 为真（或取值不是0），则返回a的值；如果x为假（或取值为0），则返回b的 值。对于本例，如果变量“gender”的值为female（1），则令变量st的值为 300；如果变量“gender”的值为male（0），则令变量st的值为200。 下面，我们就可以利用变量st作为“exp”来进行分层抽样。输入命令： bsample st, strata(gender) 这句命令的含义为，按变量gender的值进行分层抽样，且变量gender各个取 值对应的样本容量为st的值。也就是说，对于gender取值为female的观测值， 对应的抽样样本容量为300；对于gender取值为male的观测值，对应的抽样样 本容量为200。 下面，我们看一下样本的情况。输入命令： tab gender
2 简单随机抽样 对于“gender.dta”的数据，假设我们要采用简单随机抽样法抽取300
个样本，可输入命令： bsample 300 下面，我们来看一下数据文件现在的样本容量。输入命令： count
如果要只对男性进行简单随机抽样，我们可以利用条件语句。输入命
实验内容及数据来源
本实验中，我们会介绍如何生成均匀分布和正态分布
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④ 产生m×n阶均值为mu方差为sigma的正态分布的随 机数矩阵
normrnd(mu,sigma,m,n) 产生一个均值为mu方差为sigma的正态分布的随机数
normrnd(mu,sigma) ⑤ 产生m×n阶期望值为mu (mu=1/λ)的指数分布的随机 数矩阵
exprnd(mu,m,n) 产生一个期望值为mu的指数分布的随机数
实验一
随机数的产生及蒙特卡 洛随机模拟方法
实验目的
学习随机数的产生及蒙特卡洛随机模拟方法 的基本过程与方法。
实验内容
1、产生随机数的计算机命令。 2、蒙特卡洛随机模拟实例。
实验作业
数学模拟的方法
在一定的假设条件下，运用数学运算模拟系统 的运行，称为数学模拟。现代的数学模拟都是在计 算机上进行的，称为计算机模拟。
counter=counter+1; %统计针与线相交的次数
end
end
fren=counter/n; pihat=2*l/(a*fren) %用频率近似计算π
%movie(frame,1)
%播放帧动画1次
蒲丰投针实验计算圆周率π
❖ 蒙特卡罗投点法是蒲丰投针实验的推广：
❖ 在一个边长为a的正方形内随机投点，该点落在此 正方形的内切圆中的概率应为该内切圆与正方形 的面积比值，即
x=unifrnd(0,a/2,1,n); phi=unifrnd(0,pi,1,n); %样本空间Ω
for i=1:n
if x(i)<l*sin(phi(i))/2 %满足此条件表示针与线的相交
plot(phi(i),x(i),'r.'); frame(i)=getframe; %描点并取帧
title(['Current Point ',num2str(i),' Total ',num2str(n)]);
例 顾客到达某商店的间隔时间服从参数为 10(分钟)的指数分布(指数分布的均值为10)
----- 指两个顾客到达商店的平均间隔时间是 10分钟.即平均10分钟到达1个顾客. 顾客到达 的间隔时间可用exprnd(10)模拟。
5．产生 m n 阶参数为 的泊松分布的随机数矩阵： poissrnd ( ,m, n)
unifrnd (a,b,m, n) 产生一个[a，b]均匀分布的随机数：
unifrnd (a,b)
当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但 不知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大， 在何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。
2．产生mm*nn阶离散均匀分布的随机数矩阵： R = unidrnd(N) R = unidrnd(N,mm,nn)
❖ 蒲丰投针实验：
❖ 如右图所示，以M
❖ 表示针落下后的中点，
❖ 以x表示M到最近一条
❖ 平行线的距离，以φ表示针与此线的交角：
❖ 针落地的所有可能结果满足：0 x a 2, 0
❖ 其样本空间视作矩形区域Ω, 面积是: S() a 2
❖ 针与平行线相交的条件：0 x sinl 2, 0
4．产生 m n 阶期望值为 的指数分布的随机数矩阵：
exprnd (,m, n )
•若连续型随机变量X的概率密度函数为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
(
x)
1
ex
/
0
x0 x0
其中 >0为常数，则称X服从参数为 的 指数分布。
•指数分布的期望值为
•排队服务系统中顾客到达间隔、质量与可靠性 中电子元件的寿命通常服从指数分布。
在Matlab命令行中输入以下命令： liti1(0.5,10000)
练习掷一枚不均匀硬币，正面出现概率 为0.3，记录前1000次掷硬币试验中正 面频率的波动情况，并画图。
在Matlab命令行中输入以下命令： liti1(0.3,1000)
二）几何概率模拟
1.定义
向任一可度量区域G内投一点，如果所投的点落在G中 任意可度量区域g内的可能性与g的度量成正比，而与 g的位置和形状无关，则称这个随机试验为几何型随 机试验。或简称为几何概型。
❖
它是样本空间Ω子集A，面积是：S(A)
sin l
2d l
❖ 积分计算 syms l phi; int('l/2*sin(phi)',0phi,0,pi);
%ans=l
❖ 因此，针与平行线相交的概率为：p S(A) / S() 2l / a ❖ 从而有： 2l ap 特别当 a 2l 时 1 p p为统计频率
[2] 模拟随机现象．可通过具有各种概率分布 的模拟随机数来模拟随机现象．
一）频率的稳定性模拟
1.事件的频率 在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验 中事件A发生的次数。
频率 f=m/n
2.频率的稳定性 掷一枚均匀硬币，记录掷硬币试验中频率P*的波动情况。
在Matlab中编辑.m文件如下：
3.产生 m n 阶均值为 ，标准差为 的正态分布的随机数矩阵： normrnd ( , ,m, n)
产生一个均值为 ，标准差的正态分布的随机数： normrnd ( , )
•当研究对象视为大量相互独立的随机变量之和， 且其中每一种变量对总和的影响都很小时，可以 认为该对象服从正态分布。
function liti1(p,mm) pro=zeros(1,mm); randnum = binornd(1,p,1,mm) a=0; for i=1:mm
a=a+randnum(1,i); pro(i)=a/i; end pro=pro num=1:mm; plot(num,pro)
在Matlab命令行中输入以下命令： liti1(0.5,1000)
作业：1.掷两枚不均匀硬币，每枚正面出现概率为 0.4，记录前1000次掷硬币试验中两枚都为正面频 率的波动情况，并画图。
2 : 两船欲停靠同一个码头, 设两船到达码头的时间 各不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等 可能的. 如果两船到达码头后需在码头停留的时 间分别是1 小时与2 小 时，试求在一昼夜内，任一 船到达时，需要等待空出码头的概率. （频率估计 概率）
在Matlab中编辑.m文件如下：
function proguji=liti5(mm)%mm 是随机实验次数
frq=0;
randnum1=unifrnd(0,60,mm,1);
randnum2=unifrnd(0,60,mm,1);
randnum=randnum1-randnum2;
proguji=0;
计算机模拟可以反复进行，改变系统的结构和 系数都比较容易。
在实际问题中，面对一些带随机因素的复杂系 统，用分析方法建模常常需要作许多简化假设， 与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本 无法应用。这时，计算机模拟几乎成为唯一的选 择。
一、随机数的产生
一）产生模拟随机数的计算机命令
在Matlab软件中，可以直接产生满足各种分布的随 机数，命令如下： 1．产生m*n阶(a，b)均匀分布U(a，b)的随机数矩阵：
掷一枚均匀硬币，正面朝上的次数X服 从参数为１，p的二项分布,X~B(1,p)
总结：常见分布的随机数产生语句
❖ 补充：随机数的产生命令
❖ MATLAB可以直接产生满足各种分布的随机数
❖ 具体命令如下:
❖ ① 产生m×n阶[0,1]上均匀分布的随机数矩阵
❖
rand(m,n)
❖ 产生一个[0,1]上均匀分布的随机数
蒲丰投针实验的计算机模拟：
format long; a=1; l=0.6; %显示精度, 线宽和针长
figure; axis([0,pi,0,a/2]); %初始化绘图板
set(gca,'nextplot','add'); %初始化绘图方式为叠加
counter=0; n=2010; %初始化计数器和设定投针次数
random('Normal',0,1,2,4) ❖ 'name'的取值可以是(详情参见help random)： ❖ 'norm' or 'Normal' / 'unif' or 'Uniform' ❖ 'poiss' or 'Poisson' / 'beta' or 'Beta' ❖ 'exp' or 'Exponential' / 'gam' or 'Gamma' ❖ 'geo' or 'Geometric' / 'unid' or 'Discrete Uniform' ❖ ……
❖
rand
❖ ② 产生m×n阶[a,b]上均匀分布的随机数矩阵
❖
unifrnd (a,b,m, n)
❖ 产生一个[a,b]上均匀分布的随机数
❖
unifrnd(a,b)
❖ ③ 产生一个1:n的随机排列(元素均出现且不重复)
❖
p=randperm(n)
❖ 注意: randperm(6)与unifrnd (1,6,1, 6)的区别
是用偶然性方法去解决确定性计算的前导，由 此可以领略到从“概率土壤”上开出的一朵 瑰丽的鲜花——蒙特卡罗方法(MC)
❖ 蒲丰投针实验可归结为下面的数学问题：平面上画 有距离为a的一些平行线，向平面上任意投一根长 为l(l<a)的针，假设针落在任意位置的可能性相同， 试求针与平行线相交的概率P(从而求π)