圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】

圆锥曲线的七种常考题型

题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：

（1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用

（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题

例1、动圆M 与圆C 1：()2

2

136x y ++=内切,与圆C 2：()2

2

14x y -+=外切,求圆心M 的

轨迹方程。

例2、8=表示的曲线是

题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2

2

x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2

2

x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题

例1、已知方程1212

2=-+-m

y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是

例2、k 为何值时,方程

1592

2=---k

y k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解

2、12PF m PF n ==，，2

2

m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题

例1、椭圆x a y

b

a b 222

210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ，

求21PF F ∆的面积。

例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且

6021=∠PF F ，

31221=∆PF F S ．求该双曲线的标准方程

题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法

1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；

2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；

3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题

例1、已知1F 、2F 是双曲线122

22=-b

y a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作

正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 324+

B. 13-

C.

2

1

3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122

22>>=-b a b

y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其

上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3)

B.(]13，

C.(3,+∞)

D.[)3,+∞

例3、椭圆G ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在

点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围；

例4、已知双曲线22

221(00)x y a b a b

-=>>，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线

与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞

题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系

点在椭圆内⇔122

22<+b y a x

点在椭圆上⇔122

22=+b y a x

点在椭圆外⇔122

22>+b

y a x

2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：

∆>0⇔相交

∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆<0⇔相离

3、弦长公式： =

AB )(11212212x x k x x k -+=-+a

k ∆

+=2

1 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+

a

k ∆+=211

4、圆锥曲线的中点弦问题： 1、韦达定理： 2、点差法：

（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简 （2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系

典型例题

例1、双曲线x 2－4y 2=4的弦AB －被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.

例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l :x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为2

2

，求椭圆的方程。

题型六：动点轨迹方程：

1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

2、求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立

之间的关系

；

例1、如已知动点P 到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．

（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）

，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，

以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为

(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 例3、由动点P 向圆

作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600

，则动点

P 的轨迹方程为