圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】

圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题例1、动圆M 与圆C 1：()22136x y ++=内切,与圆C 2：()2214x y -+=外切,求圆心M 的轨迹方程。

例2、8=表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由22x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

2、双曲线：由22x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

典型例题例1、已知方程12122=-+-my m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是例2、k 为何值时,方程15922=---ky k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解2、12PF m PF n ==，，22m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题例1、椭圆x a yba b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ，求21PF F ∆的面积。

例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且6021=∠PF F ，31221=∆PF F S ．求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题例1、已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B. 13-C.213+ D. 13+ 例2、双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3)B.(]13，C.(3,+∞)D.[)3,+∞例3、椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围；例4、已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断 1、点与椭圆的位置关系点在椭圆内⇔12222<+b y a x点在椭圆上⇔12222=+b y a x点在椭圆外⇔12222>+by a x2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题：∆>0⇔相交∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆<0⇔相离3、弦长公式： =AB )(11212212x x k x x k -+=-+ak ∆+=21 =AB )(1111212212y y k y y k -+=-+ak ∆+=2114、圆锥曲线的中点弦问题： 1、韦达定理： 2、点差法：（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简 （2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x 2－4y 2=4的弦AB －被点M (3,-1)平分,求直线AB 的方程.例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线l :x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为22，求椭圆的方程。

题型六：动点轨迹方程：1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；2、求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：直接利用条件建立之间的关系；例1、如已知动点P 到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

例2、如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0），端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 例3、由动点P 向圆作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______例5、一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为(4)代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程:例6、如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________(5)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。

例7、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法）一、设直线与方程；（提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b与x=my+n的区别）二、设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”）三、联立方程组；四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单）五、根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y +=②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔1212x x y y +>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系（120K K +=或12K K =）； ④“共线问题”（如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等）； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）； 六、化简与计算； 七、细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0. 基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。

这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

典型例题：例1、已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ =．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B两点，设1DA l =，2DB l =，求1221l l l l +的最大值．例2、如图半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA |+|PB |的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DNDM=λ，求λ的取值范围.例3、设1F 、2F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点。

（1）设椭圆C 上点3(3,)2到两点1F 、2F 距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程；（3）设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为PM k ，PN k ，试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P及直线L 有关，并证明你的结论。

例4、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．例5、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一 象限弧上一点，且，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭圆 于A 、B 两点。

（1）求P 点坐标；（2）求证直线AB 的斜率为定值；1F 2F y 2222P 121PF PF ⋅=典型例题：例1、由①、②解得，2x a =±． 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +，∴1l =2l =．∴22212124211221664l l l l a l l l l a +++==+ ()222448162216464a a a a +==+++， ③当0a ≠时，由③得，12221216162121226428l l l l a a+=++=⨯+≤．当且仅当22a =±时，等号成立． 当0a =时，由③得，12212l l l l +=． 故当22a =±时，1221l l l l +的最大值为22． 例2、解：(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，∵|PA |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4. ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1.∴曲线C 的方程为52x +y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +2,代入52x +y 2=1,得(1+5k 2)x 2+20kx +15=0.Δ=(20k )2－4×15(1+5k 2)＞0,得k 2＞53.由图可知21x x DN DM ==λ 由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x将x 1=λx 2代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x两式相除得)15(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ 316)51(3804,320515,3510,532222<+<<+<∴<<∴>k k k k 即331,0,316)1(42<λ<∴>=λ<λλ+<∴解得DN DM① ,21DNDM x x ==λ M 在D 、N 中间，∴λ＜1②又∵当k 不存在时，显然λ=31=DN DM (此时直线l 与y 轴重合) 综合得：1/3 ≤λ＜1.例3、解：（1）由于点2221b +=得2a =4, …2分椭圆C 的方程为 22143x y +=，焦点坐标分别为(1,0),(1,0)- ……4分（2）设1KF 的中点为B （x, y ）则点(21,2)K x y + ………………………5分把K 的坐标代入椭圆22143x y +=中得22(21)(2)143x y ++=……………7分线段1KF 的中点B 的轨迹方程为 221()1324y x ++= ………………………8分（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称设0000(,)(,),(,)M x y N x y p x y --,,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程，得222200222211x y x y a b a b +=+=， ……10分PMPN k K ⋅=2200022000y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=22b a - ……………………………13分 故：PM PN k K ⋅的值与点P 的位置无关，同时与直线L 无关， ………………14分例4、解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为22143x y +=． …………（5分） （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，， 1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---，1212122()40y y x x x x ∴+-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--∴+++=+++， 2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-，227k m =-，且均满足22340k m +->， 1、当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾； 2、当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫⎪⎝⎭，．…………（14分）例5、解（1）。