人猫鸡米过河问题

人猫鸡米渡河问题的数学模型

重庆大学本科生数学模型作业报告人猫鸡米渡河问题的数学模型组员：唐新赵广志<指导教师：黄光辉人猫鸡米渡河问题的数学模型一、摘要：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。

二、问题的重述人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

关键词：人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，船需人划，穷举法三、模型假设不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件:1、船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一2、当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米四、符号说明五、问题分析安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。

每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。

否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。

因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s 表示某一岸的状况，决策变量d 表示是乘车方案，我们容易得到s 和d 的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目标。

六、模型建立与求解Ⅰ. 模型的建立：人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。

记s 的反状态为()4321'1,1,1,1x x x x s ----=，允许状态集合为()()()()(){}0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1=S （1）以及他们的5个反状态。

决策为乘船方案，记作()4321,,,u u u u d =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=D （2）记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为()kd k k s k s 11-+=+，（3）设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。

人、猫、鸡、米过河的方案

数学建模作业1.招出安全可行的人、猫、鸡、米过河的方案。

2.探究鱼体重与身长、胸围的关系。

3.速度为V 的风吹在迎风面积为S 的风车上，空气密度为ρ。

用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与V 、S 、ρ的关系。

1 解：(1)问题分析。

人不在时，猫和鸡、鸡和米任意一对都不能同时存在河的同岸。

（2）符号说明。

设人、猫、鸡、米分别对应1、2、3、4， Xi=1 为在河岸。

Xi=0 为在河对岸。

S=（X1，X2，X3，X4）为河岸情况。

s=（1-X1.1-X2，1-X3，1-X4）为河对岸情况。

Ai=1 为在船上。

Ai=0 为不在船上。

D=（A1，A2，A3，A4）为渡河方式。

Sn 第n 次渡河后河岸情况。

Dn 第n 次渡河方式。

（3）建立模型。

由问题分析、符号说明知：两岸允许的状态为：河岸河对岸（1，1，1，1）（0，0，0，0）（1，1，1，0）（0，0，0，1）（1，1，0，1）（0，0，1，0）（1，0，1，1）（0，1，0，0）可选择的渡河方式有：D=｛（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（1，0，0，0）｝由状态转移律可得：DS S nnn n )1(1-+=+所以，安全的渡河方式即为在允许的渡河方案和河岸情况下，使得Sn 由初状态S1=（1，1，1，1）经过n 次得到Sn 1+=（0，0，0，0）（4）模型求解。

得到最优可行方案为：（1，1，1，1）-（1，0，1，0）+(1,0,0,0)-(1,1,0,0)+(1,0,1,0)-（1，0，0，1）+（1，0，0，0）-（1，0，1，0）=（0，0，0，0）最优方案需要7次渡河。

因此，解决问题的最优方案是：人先带鸡过河，然后回来带米过河，把鸡带回来，再把猫带到河对岸，最后回来把鸡带到河对岸。

2.解：（1）问题分析。

鱼的体重不能单独由身长或胸围决定，应由两者综合影响，故应在三者之间建立模型关系。

趣味数学

1、人带猫、鸡、米过河，船除需要人划外，至少能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，并使渡船次数尽量减少。

答案: 1 带鸡过去空手回来 2 带猫过去带鸡回来 3 带米过去空手回来 4 带鸡过去2、甲乙两个长方形，它们的周长相等，甲的长与宽的比是3：2，乙的长与宽的比是3：5，那么甲乙的面积是多少？答案: 甲长为24宽为16，乙长为15，宽为25。

甲面积为384，乙面积为375。

答案不唯一。

三.一块合金中铜和锌的比是3：2，现在加6克锌，共得锌的合金36克，新的合金中铜和锌的比是多少? 答案: 铜锌是1：14、有只猴子在树林采了100根香蕉堆成一堆，猴子家离香蕉堆50米，猴子打算把香蕉背会家，每次最多能背50根，可是猴子嘴馋，每走一米要吃一根香蕉，问猴子最多能背回家几根香蕉？25根。

先背50根到25米处，这时，吃了25根，还有25根，放下。

回头再背剩下的50根，走到25米处时，又吃了25根，还有25根。

再拿起地上的25根，一共50根，继续往家走，一共25米，块A、5。

约翰教授从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉 P先生，把这张牌的花色告诉Q先生。

这时，约翰教授问P先生和Q 先生：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，S先生听到如下的对话： P先生：我不知道这张牌。

Q先生：我知道你不知道这张牌。

P先生：现在我知道这张牌了。

Q先生：我也知道了。

听罢以上的对话，S先生想了一想之后，就正确地推出这张牌是什么牌。

请问：这张牌是什么牌？吃25根，还剩25根到家。

1、问5条直线最多将平面分为多少份？2、太阳落下西山坡，鸭儿嘎嘎要进窝。

四分之一岸前走，一半的一半随水波；身后还跟八只鸭，我家鸭子共几多？3、 9棵树种10行，每行3棵，问怎样种？4、数学谜语：（“／”是分数线） 3／4的倒数 7／8 1／100 1／2 3．4 1的任何次方以上每条打一成语。

安全过河问题

安全过河
一、问题提出
人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽可能少。

二、模型假设
不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件。

符号说明：
三、模型的建立
人、猫、鸡、米分别记为i=1,2,3,4,当i在此岸时记为x i=1，否则记x i=0，则此岸的状态可用S=(x,1x2,x3,x4)表示。

记s的反状态为s'=(1-x,11-x2，1-x3，1-x4)，允许状态集合为D={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)} (1)
以及他们的5个反状态决策为乘船方案，记作d=(u,1u2,u3,u4)，当i在船上时记作u i=1，否则记为u i=0，允许决策集合为D={（1,1,0,0），（1,01,0），（1,0,0,1），（1,0,0,0）} （2）
记第k次渡河前的此岸的状态为s k，第k次渡河的决策为d k，则状态转移律为s k1+=s k+()1-k d k，(3)
设计安全过河方案归结为求决策序列d1，d2，···，d k∈D，使状态s k∈S按状态转移律由初始状态s1=（1,1,1,1）经n步达到s n1+=（0,0,0,0）。

四、模型的求解
从而我们得到一个可行的方案如下：
因此，该问题的最优方案是：1、人先带鸡过河，然后人再回来，把米带过河，然后把鸡运回河岸，人再把猫带过河，最后人回来把鸡带过去。

一、问题的重述人带着猫、鸡、米过河，船触需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

二、模型假设不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件。

三、符号说明,1=i 人 ,2=i猫 ,3=i 鸡 ,4=i米 1=i x在此岸 0=i x在对岸 ()4321,,,x x x x s =此岸状态 ()4321'1,1,1,1x x x x s ----=对岸状态()4321,,,u u u u d = 乘船方案1=i ui 在船上时 0=i u i 不在船上k s 第k 次渡河前此岸的状态k d第k 次渡河的决策四、问题分析安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。

每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。

否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。

因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s 表示某一岸的状况，决策变量d 表示是乘车方案，我们容易得到s 和d 的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目标。

五、模型建立与求解Ⅰ.模型的建立：人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。

记s 的反状态为()4321'1,1,1,1x x x x s ----=，允许状态集合为()()()()(){}0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1=S （1）以及他们的5个反状态。

决策为乘船方案，记作()4321,,,u u u u d =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=D （2）记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为()kd k k s k s 11-+=+， (3) 设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。

人带着猫、鸡、米过河问题

摘要：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少？模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。

问题的重述：人带着猫、鸡、米过河，船触需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

模型假设不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件。

符号说明i=1人i=2猫i=3鸡i=4米Xi=1在此岸在对岸xi=0S=(x1,x2,x3,x4)此岸状态S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4)对岸状态d=(u1,u2,u3,u4)乘船方案ui=1i在船上时ui=0i不在船上Sk第k次渡河前此岸的状态dk第k次渡河的决策问题分析安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。

每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。

否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。

因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s表示某一岸的状况，决策变量d表示是乘车方案，我们容易得到s和d的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目标。

模型建立与求解Ⅰ. 模型的建立：人、猫、鸡、米分别记为i=(1,2,3,4)，当i 在此岸时记xi=1，否则记xi=0，则此岸的状态可用S=(x1,x2,x3,x4)表示。

记s 的反状态为S’=(1-x1,1-x2,1-x3,1-x4，允许状态集合为S={(1,1,1,1,)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0)}（1）以及他们的5个反状态。

决策为乘船方案，记作d=(u1,u2,u3,u4)，当i 在船上时记ui=1，否则记ui=0，允许决策集合为D={(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)(1,0,0,0)} （2）记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为(3)设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态s1=(1,1,1,1,)经n 步达到sn+1=(0,0,0,0)。

习题参考解答

《数学建模》习题解答第一章部分习题3(5). 决定十字路口黄灯亮的时间长度.4. 在1.3节“椅子能在不平的地面上放稳吗”的假设条件中，将四角的连线呈正方形改为长方形，其余不变，试构造模型并求解.5. 模仿1.4节商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个众所周知的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少.6. 利用1.5节表1和表3给出的1790-2000年的美国实际人口资料建立下列模型： (1) 分段的指数增长模型. 将时间分为若干段，分别确定增长率r. (2) 阻滞增长模型. 换一种方法确定固有增长率r 和最大容量x m .7. 说明1.5节中Logistic 模型（9）可以表示为()()01t t r mex t x --+=，其中t 0是人口增长出现拐点的时刻，并说明t 0与r ，x m 的关系.8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x (t)，t 到t +△t 时间内人口的增量与x m -x (t)成正比（其中为x m 最大容量）. 试建立模型并求解. 作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较.9(3). 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。

甲乙之间一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。

问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。

参考答案3(5). 司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离1s ，设通过十字路口的距离为2s ，汽车行驶速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线1s 之内的汽车能通过路口，即()vs s t 21+≈其中s 1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响.4. 相邻两椅脚与地面距离之和分别定义为()()θθg f 和，将椅子旋转ο180，其余作法与1.3节相同.5. 人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。

人猫鸡米过河模型

人猫鸡米过河模型人、鸡、米、猫过河模型摘要研究目的：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少？模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。

关键词：过河模型、模仿、商人过河一．问题的提出模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

二．模型的假设与符号说明假设：1、假设船，划船的人外至多能载猫、鸡、米三者之一。

2、当人不在场时，猫一定会吃鸡，鸡一定会吃米。

3、不考虑外界其他影响。

符号说明三、问题分析考虑到猫不能和鸡在一起，鸡不能和米在一起这个因素人每次只能带一样过去，且还得开船。

四、模型建立与求解Ⅰ. 模型的建立：人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。

记s 的反状态为()4321'1,1,1,1x x x x s ----=，允许状态集合为：()()()()(){}0,1,0,1,1,1,0,1,1,,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1=S （1）以及他们的5个反状态。

决策为乘船方案，记作()4321,,,u u u u d =，当i 在船上时记1=i u ，否则记0=i u ，允许决策集合为人鸡米猫()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=D （2）记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为()kd k k s k s 11-+=+，（3）设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。

人、猫、鸡、米过河

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：J2202所属学校（请填写完整的全名）：江西环境工程职业学院参赛队员(打印并签名) ：1. 章婷2. 谢小燕3. 涂艳明指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组日期： 2012 年 8月 8 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：人带着猫、鸡、米过河模型摘要本文针对的是过河问题，且对象是不同的物体，有人、猫、鸡、米，之间的关系，在条件满足的情况下，猫可以将鸡吃掉，鸡也能将米吃点，如果模型出现这种情况，模型则是失败的。

针对这些问题，我们设计了一个方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量少。

针对这个模型，我们模仿“商人过河”的模型设计出新的方案。

关键词：人、猫、鸡、米的关系模仿“商人过河”模型一、问题的提出人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

二、问题的假设1)假设鸡不会飞走，鸡是会吃米的2)人在划船时，天气不阻碍船只的正常运行3)人不会无缘无故把猫或者鸡给杀掉，以及人不会把米扔掉三、模型的符号说明在建模的建立中，会用到一些符号，下面的表格将对本文所设计到的符号进行详细说明，见表3-1：表3-1 符号说明四、模型的建立由于本文的题目是有关人、猫、鸡、米几者之间的关系，考虑到猫会只鸡，鸡会吃米的情况，我们这对这个问题进行讨论，最后得出只有当猫与米在一起的时候，双方都是安全的。

人带猫,鸡,米过河问题

人带猫，鸡，米过河问题？姓名：刘浩学号：0504100105专业：统计学1，问题的提出模仿”商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

2问题的分析因为这是个简单问题，研究对象少所以可以用穷举法，简单运算和图论即可解题。

从状态（1,1,1,1）经过奇数次运算变为状态（0,0,0,0）的状态转移过程为什么是奇数次？我们注意到过河有两种，奇数次的为从南岸到北岸，而偶数次的为北岸回到南岸，因此得到下述转移方程，所以最后应该是事件结束时状态转移数为奇数次。

3基本假设：3,1假设船，划船的人外至多能载猫、鸡、米三者之一。

3,2当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定会吃米。

4定义符号说明：我们将人，狗，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，当一物在此岸时，相应分量记为1，在彼岸时记为0.如向量（1,0,1,0）表示人和鸡在此案，狗和米在彼岸，并将这些向量称为状态向量。

5模型的建立：我们将人，狗，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，！即（人, 狗, 鸡, 米）。

状态向量：各分量取1表示南岸的状态，例如（1，1，1，1）表示它们都在南岸，（0，1，1，0）表示狗，鸡在南岸，人，米在北岸；由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。

凡问题可以允许存在的状态称为可取状态。

对本问题来说，可取状态向量可以用穷举法列出来：（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1），（1, 0, 1, 0）；（,0, 0, 0, 0），（0, 0, 0, 1），（0, 0, 1, 0），（0, 1, 0, 0）,（0,1,0,1）.6 模型的求解：经过连线求解可以知道有以下图形：上图又可以简化为：既：7 结果分析从图看出有二解，分别是经过（0,0,0,1）到（0,0,0,0）和经过（0,1,0,0）到（0,0,0,0）而它们是等优的。

数学建模课后习题作业

选修课——数学建模部分习题详细解答【陈文滨】1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？【模型假设】（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。

【模型建立】在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

小学数学《和差问题》教案

和差问题一、趣味数学导入，激发兴趣（1）、有一个人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划外，至少能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，并使渡船次数尽量减少。

答案:1 带鸡过去空手回来2 带猫过去带鸡回来3 带米过去空手回来4 带鸡过去（2）、24个人排成6列，要求5个人为一列，你知道应该怎样来排列吗？ 5×6-24=6所以有6个人必须在交叉点上。

排成一个正六边形每条边5个，刚好6个顶点是交叉点。

二、例题讲解例1 甲、乙两班共有学生84人，如果从甲班调6人到乙班，则两班人数相等，原来甲、乙各有多少人？1、理解题意从题目中告诉我们的信息，可以通过画线段图来把题目中的已知信息和需要解决的信息清晰的表示出来。

乙：甲：2、分析题意从题目中已知的条件可以知道，从甲板调6人，两个班人数相等，可以知道甲班比乙班多6×2=12人，也就知道了甲乙两班的人数之差是12，又因为题目中告诉我们甲乙两个班的学生共有84人，可以知道甲班有（84+12）÷2=48人，乙班的人数是48-12=36人。

3、整理解题思路学生叙述解题过程【思路点拨】如上图所示，根据“如果从甲班调6人到乙班，则两班人数相等”可以推出，甲班比乙班多6×2=12人，即甲、乙两班的人数之差是12，由“甲、乙两班共有学生84人”可以知道甲、乙两班的人数之和是84，根据和差问题的关系式即可以求出两个班原来各有学生多少人。

【解答】甲、乙两班的人数之差：6×2=12（人）甲班的人数：（84+12）÷2=48（人）乙班的人数：48-12=36（人）答：原来的甲班有学生48人，乙班有学生36人。

例2 把一根长100米的绳子剪成3段，要求第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米，三段绳子各应长多少米？1、题意理解根据题意，可以通过用画线段图的方法来题目中的已知条件和未知条件很清晰的反映出来，这种解题思想需要让学生学会，并且运用到平时的解题中。

人猫鸡米渡河问题地数学模型

人猫鸡米渡河问题的数学模型摘要：人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外（船除了要载人外），只能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

本文将设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。

模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。

关键字：穷举法，Matlab运算求解。

一、问题的提出课本P19.T5:模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

二、问题的分析因为这是个简单问题，研究对象少，所以可以用穷举法，简单运算即可解题。

此问题是从状态向量A（1,1,1,1）经过奇数次运算向量B变为状态向量A（0,0,0,0）的状态。

转移过程为什么是奇数次？我们注意到过河有两种，奇数次的为从左岸到右岸，而偶数的为右岸回到左岸，因此得到下述转移过程，所以最后应该是过河完成时状态转移数为奇数次。

三、问题的假设1.1：假设船除了载人之外，至多只能载猫、鸡、米三者之一。

1.2：当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定会吃米。

四、定义符号说明：我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，当一物在左岸时，相应的分量记为1，在右岸时记为0.如向量（1,0,1,0）表示人和鸡在左岸，猫和米在右岸，并将这些向量称为状态向量。

例如（1,1,1,1）表示它们都在左岸，（0,1,1,0）表示猫，鸡在左岸，人，米在右岸；由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。

凡问题可以允许存在的状态称为可取状态。

A 向量定义为状态变量。

比如()11,0,1,0A 是一个可取状态向量，但()20,0,1,1A 是一个不可取状态向量。

此外，B 向量定义为运载变量。

把每运载一次也用一个四维向量来表示。

如()11,1,0,0B 表示人和猫在船上，而鸡和米不在船上，这自然是可取的运载，因为船可载两物，而()21,0,1,1B 则是不可取运载，依此规律类推。

人、猫、鸡、米如何安全过河

人、猫、鸡、米如何安全过河一、摘要:本模型解决的是安全过河问题，属于数学模型中比较简单的一类。

对于解决这种类型的题目，需要从多维方向思考，从而得到更方便的最优解。

本题所解就属于这种类型的，在已知的条件范围内，即当人不在场的时候，避免猫和鸡在一起，鸡和米在一起，同时，也要尽量使渡船的次数最少。

关键词：渡河小船方案人猫鸡米二、问题的重述：一个人带着猫、鸡、米乘船渡河，一直小船最多只能容纳四个物种当中的两种。

其中，小船非自动，只能由人来划。

不管人如何计划，在河的任何一岸，在人不在场的情况下，猫要吃鸡，鸡要吃米。

人应该如何安排渡河计划，才使得自己的财务不会受到损失，同时也使得渡河的次数最少？三、基本假设与符号说明：1、假设船足够大，能够同时容纳人、猫、鸡、米。

2、假设河流相对平缓，船在行驶的途中不会遇到大浪，打翻小船。

3、假设人、猫、鸡、米只能通过乘船的方式才能过河。

假设1是合理的，但是不符合题目所给的客观条件。

假设2是合理的，因为如果河流湍急，人是不会带着猫、鸡、米渡河的。

假设3是合理的，因为在正常的情况下，乘船渡河是最为安全的。

四、问题分析：安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。

每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。

否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。

人、猫、鸡、米过河，只有一艘只能容纳两种物体的小船，船只能由人在划。

根据生物链关系，当人不在场的时候，猫要吃鸡，鸡要吃米。

所以除非人在场，猫不能单独跟鸡在一起，鸡不能单独跟米在一起。

假如人不在场的时候，鸡既能被猫吃，又能吃米，所以鸡只能跟人待在一起或者单独留在此岸或彼岸。

因船的大小有限，只能同时容纳两个物体，所以，当k=1时，人必须先把鸡带到彼岸，在独自划船回到此岸载另外的猫（或者米）到彼岸，因为人在场，所以鸡不会被猫吃（或者鸡不会吃米）。

然后带着鸡划船回到此岸，把鸡单独留在此岸，带着米（或者猫）去彼岸，最后独自回来载鸡过河。

人猫鸡米渡河问题地数学模型

人猫鸡米渡河问题的数学模型摘要：人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外（船除了要载人外），只能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

本文将设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。

模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。

关键字：穷举法，Matlab运算求解。

一、问题的提出课本P19.T5:模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

二、问题的分析因为这是个简单问题，研究对象少，所以可以用穷举法，简单运算即可解题。

此问题是从状态向量A（1,1,1,1）经过奇数次运算向量B变为状态向量A（0,0,0,0）的状态。

转移过程为什么是奇数次？我们注意到过河有两种，奇数次的为从左岸到右岸，而偶数的为右岸回到左岸，因此得到下述转移过程，所以最后应该是过河完成时状态转移数为奇数次。

三、问题的假设1.1：假设船除了载人之外，至多只能载猫、鸡、米三者之一。

1.2：当人不在场时，猫一定会吃鸡、鸡一定会吃米。

四、定义符号说明：我们将人，猫，鸡，米依次用四维向量中的分量表示，当一物在左岸时，相应的分量记为1，在右岸时记为0.如向量（1,0,1,0）表示人和鸡在左岸，猫和米在右岸，并将这些向量称为状态向量。

例如（1,1,1,1）表示它们都在左岸，（0,1,1,0）表示猫，鸡在左岸，人，米在右岸；由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。

凡问题可以允许存在的状态称为可取状态。

A 向量定义为状态变量。

比如()11,0,1,0A 是一个可取状态向量，但()20,0,1,1A 是一个不可取状态向量。

此外，B 向量定义为运载变量。

把每运载一次也用一个四维向量来表示。

如()11,1,0,0B 表示人和猫在船上，而鸡和米不在船上，这自然是可取的运载，因为船可载两物，而()21,0,1,1B 则是不可取运载，依此规律类推。

小学一年级奥数课件趣题巧解

例题【一】（★ ★ ）
一天,史大伯带着心爱的小猫,划着小船去河对岸的菜场上买东西,史大大伯在菜场上买了一袋米米和一只鸡,当他走到河边时,发现由于船太小,这么多东西不能一次带过河,只能每次由史大伯带一件物品过河,鸡会吃米；如果先带小猫过河,鸡会吃米；如果先带小猫给河,鸡会吃米；如果先带大米过河,小猫会和鸡打架。大伯发愁了,怎么才能安全的把小猫、大米、鸡带过河呢？聪明的小朋友,你有什么好的方法
本讲总结
一、过河问题注意小麻烦二、一起干事情关键：每个人花的时间等于共同花的时间三、剪角问题四、年龄问题五、蜗牛爬井关键：最后一天六、剪绳子、锯木头问题
合在一起就变成一大堆。
例题【二】（★ ★ ★ ）
（3）4个人一起玩扑克牌,一共玩了40分钟,他们每玩了多少分钟？
每人玩了40分钟
知识链接
4人一起玩不是一个一个接着玩, 而是同时玩,所以他们每人都玩了 40分钟。
关键：每个人花的时间等于大家共同花的时间
例题【二】（★ ★ ★ ）
（1）1千克棉花和1千克铁块哪一种比较重
3段
例题五（★ ★ ★ ★ ）
有趣的剪绳子、锯木头问题。 2、小玲要把一根木头锯成4段,锯一次要1分钟, 锯成4段要几分钟？
需要3分钟
拓展（★ ★ ★ ★ ）
妈妈买了下面的水果共2千克,想一想,妈妈至少要付多少钱？最多要付多少钱？
至少：2千克买了的都是葡萄3+3=6（元）最多：2千克买了的都是香蕉6+6=12（元）
方法二： ①人带鸡过河 ②人回来 ③人带猫过河 ④人带鸡回来 ⑤人带大米过河 ⑥人回来 ⑦人带鸡过河
本讲主线
过河问题第一步：寻找小麻烦第二步：小麻烦随身带

人猫鸡米过河模型

人猫鸡米过河模型承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：J2202所属学校（请填写完整的全名）：江西环境工程职业学院参赛队员(打印并签名) ：1. 杨松泉2. 付建华3. 付琪指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组日期： 2012年 8月 8日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：人、鸡、米、猫过河模型摘要研究目的：本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少？模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。

关键词：过河模型、模仿、商人过河一．问题的提出模仿“商人过河”模型，做下面游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

设计一个过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

二．模型的假设与符号说明假设：1、假设船，划船的人外至多能载猫、鸡、米三者之一。

2、当人不在场时，猫一定会吃鸡，鸡一定会吃米。

人狗鸡米过河

人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，每次只能运载其中的一物和人本身，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。

问人、狗、鸡、米怎样过河？分析：问题的初始状态是人、狗、鸡、米均在本岸，要求经过一系列的过河运载(每次运载只能一人一物，而且不能把狗和鸡留在一起，也不能把鸡和米留在一起)，最后达到目标状态，即人、狗、鸡、米均在对岸。

为了将问题数学化，我们用四元数组(即由4个数所组成的数组来表示初始状态，目标状态以及中间的各种可取状态。

当一物在本岸时，用数字“1”表示；在对岸时，用数字“0”表示。

于是，人、狗、鸡、米的状态可以用每个数取0或1的四元数组来表示。

例如，(1，0，1，0)表示人在本岸，狗在对岸，鸡在本岸，米在对岸，每个数取0或1的四元数组共有16个：(1，1，1，1)(0，0，0，0)(1，1，1，0)(0，0，0，1)(1，1，0，1)(0，0，1，0)(1，0，1，1)(0，1，0，0)(1，1，0，0)(0，0，1，1)(1，0，1，0)(0，1，0，1)(1，0，0，1)(0，1，1，0)(1，0，0，0)(0，1，1，1)由于鸡和米或者狗和鸡不能留在一起，所以(1，1，0，0)，(0，0，1，1)，(1，0，0，1)，(0，1，1，0)(1，0，0，0)，(0，1，1，1)所表示的状态都是不允许的，而其他10个状态都是允许存在的，也就是说，是可取状态，它们分别是(1，1，1，1)(0，0，0，0)(1，1，1，0)(0，0，0，1)(1，1，0，1)(0，0，1，0)(1，0，1，1)(0，1，0，0)(1，0，1，0)(0，1，0，1)我们用10个顶点分别表示以上10个可取状态。

如果一个可取状态可以经过一次过河运载转移到另一个可取状态，那么在表示这两个可取状态的顶点之间联结一条边，从而构成一个图(图29-1)。

例如，(1，0，1，1)和(0，0，1，0)之间联结一条边表示如果人把米从本岸运到对岸，那么可取状态(1，0，1，1)就转移到可取状态(0，0，1，0)；反过来，如果人把米从对岸运到本岸，那么可取状态(0，0，1，0)就转移到可取状态(1，0，1，1)。

题目

1.模仿商人过河问题中的状态转移模型，作下面这个智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

设计一个安全过河方案，并使渡船次数尽量地少。

2. 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住C宿舍。

学生名要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者；（2）Q值方法。

3.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。

按照规定，市政证券的收益可以免税，其它证券的收益需按50%的税率纳税。

此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.49信用等级数字越小，信用程度越高；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A 市政 2 9 4.3B 代办机构 2 15 5.4C 政府 1 4 5.0D 政府 1 3 4.4E 市政 5 2 4.5（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？4. 减肥计划的制定某甲身高 1.7m，体重100kg，BMI高达34.6。

自述目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。

试为他按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至75kg并维持下去。

假设体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg。

在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收的热量逐渐减少，直至达到安全下限(10000kcal); 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。

人猫鸡米过河问题

人猫鸡米渡河问题的数学模型

人、猫、鸡、米过河的方案

趣味数学

安全过河问题

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人带着猫、鸡、米过河问题

习题参考解答

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数学建模课后习题作业

小学数学《和差问题》教案

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