高等数学基础第二次作业有答案
高等数学基础第二次作业
高一数学暑期数学基础检测（集合函数三角）班级____________ 姓名____________一、填空题：每小题题5分，共80分．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，则集合(∁U A )∩B 等于____________．2．若P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可能取值组成的集合_______．3．f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，则f (x )=____________．4．函数f (x )＝ x x －1的定义域为____________．5．函数f (x )＝x ＋1x在(0，＋∞)上最小值为____________．6．352log (24)⨯=____________．7．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________．8．函数f (x )＝(lg x )2－lg x 的零点为____________．9．已知方程210x x =-的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________．10．若sin α＝－45，且α是第三象限角，则cos α =____________．11．已知tan α＝2，则2sin α－2cos α4sin α－9cos α=____________．12．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调减区间为____________．13．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[0，π2]的值域为____________．14．sin y x x =+的值域为____________．15．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为____________．16．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2 ，C ＝15°，则A=____________．第7题二、解答题：每小题题10分，共20分．17．求证：函数()2log(1)2x f x x =++-有且只有一个零点．18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2b − c )cos A – a cos C = 0．（1）求证：π=3A ∠； （2）若a = 2，求△ABC 的面积S 的最大值．参考答案一、填空题：每小题题5分，共80分．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x <5}，则集合(C U A )∩B 等于____________．答案：{x |0≤x <2}2．若P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可能取值组成的集合_______． 答案：11{0}32-，，3．f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，则f (x )=____________．答案：f (x )＝x ＋34．函数f (x )＝x x －1的定义域为____________． 答案：{x |x ≥0且x ≠1}.5．函数f (x )＝x ＋1x在(0,＋∞)上最小值为____________． 答案：26．352log (24)⨯=____________．答案：138．函数f (x )＝(lg x )2－lg x 的零点为____________．答案：x ＝1或x ＝109．已知方程210x x =-的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝____________．答案：210．若sin α＝－45，且α是第三象限角，则cos α =____________． 答案：3-511．已知tan α＝2，则2sin α－2cos α4sin α－9cos α=____________． 答案：−212．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调减区间为____________． 答案：5π11π[,]1212k k k ππ++∈Z ，13．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈[0，π2]的值域为____________．答案：[2]14．sin y x x =+的最大值为____________．答案：215．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为____________．16．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2 ，C ＝15°，则A=____________． 答案：30°二、解答题：每小题题10分，共20分．17．求证：函数()2log(1)2xf x x =++-有且只有一个零点．答案：略18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，(2b − c )cos A – a cos C = 0．（1）求角A 的大小；（2）若a = 2，求△ABC 的面积S 的最大值．解：（1）因为(2b －c )cos A －a cos C ＝0．可得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0，即2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin B ,∵0＜B ＜π,sin B ≠0．∴cos A ＝12, ∵0＜A ＜π,∴A ＝π3;（2）由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2cb cos A ,∴a 2＝b 2＋c 2－bc ．即4＋bc ＝b 2＋c 2≥2bc ,当且仅当b ＝c 时取等号．∴bc ≤4,那么：△ABC 的面积S ＝12bc sin A ≤ 12×4×sin π3＝3． 此时△ABC 为等边三角形，∴△ABC 的面积S 的最大值为3．。
高等数学II
2010年秋季学期高等数学（II-2）第一次作业一、单项选择题（共10题、总分30分、得分30分）1. 点（ 0 ， 0 ）是函数 z=xy 的（）A、驻点B、极大值点C、极小值点D、间断点正确答案： A2. 对于函数f(x,y)=x2+y2，则点（0，0）（）A、不是驻点B、是驻点而非极值点C、是极大值点D、是极小值点正确答案： D3. 极限lim（x,y）→(0,0)x2yx4+y2A、等于0B、等于0.5C、不存在D、存在但不等于0或0.5正确答案： C4. 点 P(x0,y0) 是函数 z=f(x,y)的驻点，则（）A、P 是 f(x,y) 的极大值点B、P是f(x,y)的极小值点C、P不是f(x,y)的极值点D、不能确定P是否为f(x,y)的极值点正确答案： D5. 函数的可能极值点有（）A、（0，0），（1，1）B、（0，1），（1，1）C、（0，0），（0，1），（1，0）D、（1，1），（0，1），（1，0）正确答案： C6.设u=ln(x+y2+z3)，则=（）A、B、C、D、正确答案： A7.如果函数z=f(x,y)的偏导数y在点（x，y）连续，则函数在该点( )A、不一定可微B、一定可微C、不一定连续D、不能确定情况正确答案： B8. 函数 f(x,y)=xy(x+y-9) 的极值点是（）A、（0，0）B、（9，0）C、（0，9）D、（3，3）正确答案： D9.极限的含义是( )A、B、C、D、正确答案： C10.极限( )A、B、2C、0D、不存在正确答案： A二、判断题（共2题、总分12分、得分12分）1. 点 (0,0) 是函数 z=x2-y2的驻点。
(本题分数：6 分，本题得分：6 分。
)A、正确B、错误正确答案： A2. 函数 z=x2-y2 在点 (0,0) 取极大值 (本题分数：6 分，本题得分：6 分。
)A、正确B、错误正确答案： B三、填空题（共11题、总分33分、得分27分）1. 已知函数1正确答案：2. 函数 z = e x y 的全微分为 1正确答案： e x ydx+e x dy3. 设z=ln⁡(x+y2)，则dz|(1,0)= 1正确答案： dx4. 设u=xy+x2，则u在点(1,0)处的全微分du|(1,0)= 1正确答案： 2dx+dy5. 函数f(x,y)=xy-xy2-x2 y的可能极值点有 1正确答案： (0，0），（0，1），（1，0）；6. 函数z=x22p+y22q(pq≠0)的驻点为 1正确答案：（0，0）7.若 u=xy+y3，则= 1正确答案： 6y8.= 1正确答案： 29.设u=e x siny,x=2st,y=t+s2，则= 1 (本题分数：3 分，本题得分：0 分。
高等数学基础第二次作业有答案
3) ex
1
3
1
3
3 x 2 ex
(x2
x
3)e
3 (
x2
x2
x
3) e
2
2
⑵ y cot x x 2 ln x
解： 由导数四则运算法则 y (cot x x 2 ln x )
(cot x )
( x 2 ln x )
1 sin 2 x
2
( x ) ln x
2
x ( l nx)
1 sin 2 x
2 x ln x
cos x 2
(cos x 2 ) x (cos x 2 )( x )
y(
)
3
6
x
x
x
3
2
x
( ( c o xs) (2 ) ) x 3 x ( c o sx 2 )
x6
x
3
2
x
( sin x 2 ln 2 ) x 3x ( c o sx 2 )
x sin x
6
x
x
x 2 ln 2 3 c o sx
C. lim f ( x )
x x0
f (x0)
D. lim f ( x ) lim f ( x )
x x0
x x0
（二）填空题
⒈设函数 f ( x )
2
1
x sin , x 0
x
，则 f ( 0 )
无穷小量 ．
0,
x0
(
x )2
1 si n
0
解：
f (0)
f(0 lim
x) f (0)
lim
x
1
xl i m s i n
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高等数学基础第一次作业点评1责任教师：许院年 第1章 函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. f ( x) ( x) 2， g (x)xB.f ( x)x 2 ， g( x) xC. f ( x) ln x 3 ， g(x) 3ln xD. f ( x)x 1， g( x)x 2 1x1点评：从函数的两要素可知：两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则也 相同。
而与自变量或因变量所用的字母无关。
⒉设函数 f ( x) 的定义域为 ( , ) ，则函数f ( x) f ( x) 的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C.y 轴D.y x点评：可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数，若是奇函数就关于坐标原点对称，若是偶函数就关于 Y 轴对称。
⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. y ln(1 x 2 )B.yx cos xC. ya x a xD. yln(1 x)2f ( x) f (x) ，则函数为偶函点评：可直接用奇偶函数的定义来判断它是什么函数。
若 数；若 f ( x)f ( x) ，则函数为奇函数。
⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）．A. y x 1B. y xC.y x2D.y1, x 0 1 ,x点评：基本初等函数是指：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数。
⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. limx 21B.lim ln(1 x)2xx2x 0C.lim sin xD. lim x sin1xxxx点评：只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量，如 C ，没有无穷大量乘以有界变量为无穷小量。
⒍当 x0 时，变量（ C ）是无穷小量．A.sin xB.1xxC.x sin1D. ln( x 2)x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数 f ( x) 在点 x 0 满足（ A ），则 f ( x) 在点 x 0 连续。
高等数学(二)试题及答案
高等数学（二）05062B一、填空题（每题4分）（1）微分方程)1()1(322y x y +-='的通解____________（2）直线⎩⎨⎧=-+=-+212z y x z y x 的方向向量 （3）设),(y x z z =是由0=-xyz e z 所确定的函数,则x z ∂∂= （4）过原点P （1，2，3）且与原点与P 的连线垂直的平面方程为（5）改变积分次序⎰⎰--21222),(x x x dy y x f dx = （6）∑∞=-+1)2)1(1(n n nn 是 （收敛、发散）级数 （7）∑∞=-122)1(n n nn x 的收敛半径R= 收敛域 二、计算题（8）（10分）D xydxdy D,⎰⎰是有直线0,2,=-==y x y x y 所围成的闭区域（9）（6分）判别级数∑∞=⋅1!5n n nn n 的收敛性（10）（10分）求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体（11）（10分）求曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程（12）（10分）把2)4(1)(x x f -=展开成x 的幂级数，并求出收敛区间.（13）（8分）求微分方程xy x y 2sin tan '=⋅+的通解。
（14）（10分）设函数)(x φ连续，且满足⎰-+=x dt t x t x x 02)()()(φφ，求)(x φ（15）（8分）求由2,2+==x y x y 围成图形的面积，以及此图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积高等数学（二）05062B 解答及评分标准一、填空题（每题4分）（1）])1tan[(3C x y +-= （2）{}1,1,0 （3）xye yz z - （4）1432=++z y x （5）⎰⎰-+-101122),(y y dx y xf dy （6）发散 （7）2；)2,2(-二、计算题（8）解：{}y x y y y x D -≤≤≤≤=2,10),(……………….2分 ⎰⎰⎰⎰-=y y D xydx dy xydxdy 210……………….6分⎰⎰+-=⋅=-1022102)244(|2dy y y x y dy y y …….8分 31321023=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=y y ……………10分 （9）解：!5)!1(5)1(lim lim 111n n n n u u n nn n n n n n ⋅++=++∞→+∞→……………………3分 155)11(lim <=+=∞→e n nn ………………………………..4分 故原级数收敛…………………………………….6分（10）解： 建立空间直角坐标系，原点在球心设在第一卦限的长方体的顶点为),,(z y x则xyz V 8= 且满足2222a z y x =++……………..3分)(82222a z y x xyz L -+++=λ……………………5分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=)4()3(028)2(028)1(0282222a z y x z xy L y xz L x yz L zy x λλλ由)3)(2)(1(得z y x == 由)4(得a z y x 33===……8分当长方体为正方体且边长为a 332时体积最大……………10分 （11）解：设切点),,(000z y x ，则有 {}0006,4,2z y x n =………………2分 有条件得：664412000z y x ==，即0002z y x ==及2132202020=++z y x ……4分 解得：2,1000±==±=z y x …………………………………………………6分 曲面2132222=++z y x 的平行于平面064=++z y x 的切平面方程为： 2164±=++z y x ……………………………………………………10分（12）解：14)4(4141141410<⋅=-⋅=-∑∞=x x x x n n …………5分 两边求导2)4(1x -= 14)4(4112<⋅-∞=∑x x n n n ………………10分 （13）解：x x Q x x P 2sin )(,tan )(==])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-…………………………4分]2sin [tan tan C dx xe e xdx xdx +⎰⎰=⎰-)cos 2(cos c x x +-=……………………………………………………8分（14）解：两边求导数，得⎰-=xdt t x x 0)(2)('φφ 及 )(2)(''x x φφ-=（1）0)( )( "=+x x φφ的特征方程为01 2=+ri r i r -==21,，则：x c x c y sin cos 21+=………………………………4分（2）观察知2)(*=x φ …………………………………………6分（3）通解为：2sin cos )(21++=x c x c x φ…………………………8分 0)0(=φ，0)0('=φ 得：0,221=-=c c即：2cos 2)(+-=x x φ……………………………………………10分（15）解：)4,2(),1,1(22-⇒⎩⎨⎧+==x y x y{}2,21|),(2+≤≤≤≤-=x y x x y x D …………2分dx x x S )2(212⎰--+=………………………………3分 =29)31221(2132=-+-x x x ………………………4分 dx x dx x V ⎰⎰---+=214212)2(ππ…………………………6分 =ππ572]51)2(31[2153=-+-x x ………………………………8分版权所有，翻版必究、本事。
(完整word版)高等数学基础作业2及点评
高等数学基础第二次作业导数与微分(一) 单项选择题 4•设 f (x) =x(x -1)(x -2) (x -99)，则 f (0)B. —99D. -99!5•下列结论中正确的是( C ).A. 若f(x)在点X 。
有极限，则在点X 。
可导.B. 若f (x)在点X 0连续，则在点X 0可导.C. 若f(x)在点X 0可导，则在点X 0有极限.D. 若f(x)在点X 0有极限，则在点X 0连续.(二) 填空题3•曲线f (x)1在(1,2)处的切线斜率是n••曲线f(x)二si nx 在(一，1)处的切线方程是 y=1.2 --------------------------------5. 设 y =x 2x ，则 y 二 x 2x 21n x 2 •” 16. 设 y = x I n x ，贝U y ： x(三) 计算题••求下列函数的导数 y : 1•设 f (0) =0且极限lim 丄凶存在，则 7 x A. C. f(0) f (x) B. D. ..f (x) lim x 刃x f (0) 0 f (x 0 —2h) — f (x 0) 2.设f (x)在x 0可导，则ljm 2h B. f(x °) D. -■ f (X 。
) 3•设 f (x)二e x ，贝U 啊 f (j x) 一 f (1) (A ) A. -2f 。
) C. 2f (X o ) A. e 1 C. e 2 x B. D. 2e 1 e 4 (D). (D ). A. 99 C. 99! f(x)= x 2sin110, X 「°，则 f (0)二2•设 f (e x )二 e 2x • 5e x ，则 d f (lnx) dx 2 In x 5x点评：这组求函数的导数计算题主要是采用导数的四则运算法则和基本求导公式来解决。
⑴ y = (x x 3)e x解：y 丄(x2e x 3e x) 3 2 x 2 x xx2e x2e 3e2i3 2x222=cot X x In解:”,cosxy=( sinx= 1sin x2, 、. ，一sin xsinx-cosxcosxx In x)(2xln x x解: In x2xIn x -xIn2 xx(2In x -1)In2解: 解: 解: 解: 解:sin2 x22xIn x —)xxcosx 2(sin x 2x In 2)x3-(cosx 2x) 3x26x-xsin x In 2 2x x -3cosx -3 2xIn x -x2sin x1 2( 2x)s in x-cosx(l nx-x)八xsin2x(1 - 2x2 )sin x - xcos(In x - x2)二x4-sin xln xxsi ny 二4x3 -(cosx In=4x3-cosx Inxsin x x2sin x、x )xsin x3x(cosx 2x)3x - 3x In 3(sin x x2)32x2cosx 2x - In 3(sin x x )tan x In xy 二(e x tanx3xx e2~cos x xe x(x23)x e (sin xcosx 1) 2 cos x 2•求下列函数的导数 y : 这组求函数的导数计算题主要是采用复合函数的求导法则，可用设中间变量的方法，当 中间变量不多时，也可直接求。
高等数学二本(A)参考答案
一、填空题（每一小题2分，共10分）1．设()1(1)sin ,11,1x x f x x x a x ⎧-≠⎪=-⎨⎪+=⎩，若()x f 在()+∞∞-,上是连续函数，则a 1- ．2．设()0f x '存在，则()()0003limx f x x f x x∆→+∆-=∆ 3()0f x ' ．3．函数x xe y =的n 阶导数()=n y x e n x )(+ ．4．x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的ξ=__ 1-e ____ _． 5．反常积分2122dx x x +∞-∞++⎰=_____π_________．二、求下列极限(每一小题5分，共20分）6．x x x x 3)1212(lim -+∞→ 7．xx x 11lim 20-+→解：6．原式xx x 3)1221(lim -+=∞→ 2分 .)1221(lim 3126212e x x xx x =-+=-⋅-∞→ 5分 7．原式.011lim )11(lim 20220=++=++=→→x xx x x x x 5分8．222111lim ()12n n n n n n →∞++++++ 9．2050cos lim xx x t dtx →-⎰ 解：8．令)12111(222nn n n n x n ++++++= ，则有 n n n n n n x n +=+>12，又.11222n n n n n x n +=+< 2分 且.11lim 1lim22=+=+∞→∞→n n n nn n所以由夹逼准则得222111lim ()12n n n n n n→∞++++++.1= 5分 9．利用洛必达法则，有2050cos lim xx x t dtx →-⎰4205cos 1lim xx x -=→ 3分 .10140cos 4lim 20sin 2lim 20320===→→x x x x x x x x 5分三、求下列函数的导数或微分(每一小题5分，共20分）10．设(x y e x =，求.dy解：10．dx x x e dy x ])1([2'++= 2分.)111(22dx x x x x e x +++++= 5分11．设函数()x y y =由方程()x y x y x sin ln 32+=+确定，求.0=x dx dy解：方程两边对x 求导得.cos 32322x dx dy x y x yx dx dyx ++=++3分所以有.1)cos 3)((23522-+++-=y x x x y x y x x dx dy 且.10==x y从而.110)0cos 0)(10(00=-++-==x dx dy 5分 12．已知2ln(1)tan x t y t arc t⎧=+⎨=-⎩，求dx dy ，22d y dx .解：.21211122t t t t dx dy =++-= 3分 22d y dx .411221)(22t t t t dt dx dx dy dt d +=+== 5分 13. 求函数(1)x y x =+的导数y '.解：(1)x y x =+.)1ln(+=x x e 2分].1)1[ln()1(]1)1[ln()1ln(++++=+++='+x xx x x x x e y x x x 5分四、求下列积分(每一小题5分，共20分）14. dx xx e x ⎰++)2cos 32(解：原式dx xdx x dx e x ⎰⎰⎰++=2cos 32 2分.2sin 2ln 32C xx e x +++= 5分15. ⎰-232)1(x dx解：法(1) 原式)1()1(21)1(1)1(1223221223222x d x xdx x dx x x x ----=-+-=⎰⎰⎰212212)1(1)1(1x d x dx x -+-=⎰⎰ 3分 .1)1(11)1(122122212C x x dx x x x dx x +-=---+-=⎰⎰ 5分 法(2) 令).2,2(,sin ππ-∈=t t x 则.cos tdt dx = 2分原式.1tan sec cos cos 223C xx C t tdt t tdt +-=+===⎰⎰5分 16. arctan x xdx ⎰解：原式⎰=2arctan 21xdx 3分 .arctan arctan 211arctan 212222C x x x x dx x x x x ++-=+-=⎰ 5分 17.21e ⎰解：令.ln 1t x =+ 则dt dx x=1，且当1=x 时，1=t ；2e x =时，.3=t 3分所以有原式).13(223131-===⎰t tdt5分五、综合题(每一小题6分，共24分）18．设0>x ，证明: ()x x x x <+<-1ln 22． 证明: 法(1) 由于函数()x x f +=1ln )(在),1(∞+-内3阶可导，于是由泰勒公式得()21221)1(2!2)(!1)0()01ln(1ln ξξ+-=''+'++=+x x x f x f x ，其中).,0(1x ∈ξ 2分 ()3232322)1(32!3)(!2)0(!1)0()01ln(1ln ξξ++-='''+''+'++=+x x x x f x f x f x ，其中 ).,0(2x ∈ξ由于当0>x 时，有0)1(2212>+ξx ，.0)1(3323>+ξx 所以 ()x x x x <+<-1ln 22． 5分法(2) 令()().1ln )(,21ln )(2t t t g t t t t f +-=+-+=则)(),(t g t f 在),0(∞+内可导，且.01111)(,01111)(2>+=+-='>+=+-+='ttt t g t t t t t f 3分即)(),(t g t f 在),0(∞+内严格递增，又)(),(t g t f 在0=t 处连续，所以)(),(t g t f 在),0[∞+内严格递增，从而当0>x 时有).0()(),0()(g x g f x f >> 即().1ln 22x x x x <+<- 5分19．设()x f 在[]1,0上可导，且()10<<x f ，对于任何()1,0∈x ，都有()1≠'x f ，证明：在()1,0内，有且仅有一个数0x ，使()00f x x =． 证明：令.)()(x x f x g -= 先证)(x g 在()1,0内，有一个零点。
高起专高等数学2答案
（高起专）高等数学(2)答案1. 有一宽为24cm 的长方形铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面的面积最大？(25分)解：设折起来的边长为x cm ，倾角为α，那么梯形的下底长为242x -cm ，上底长为2422cos x x α-+cm ，高为sin x αcm ，所以断面的面积为221(2422cos 242)sin 224sin 2sin sin cos (012,0).2A x x x x x x x x ααααααπα=-++- =-+ << <≤令222224sin 4sin 2sin cos 0242cos (cos sin )0x A x x A xcox x x ααααααααα=-+=⎧⎨=-+-=⎩ 由于sin 0,0x α≠≠，上述方程组可化为22122cos 0242cos (cos sin )0x x cox x x ααααα-+=⎧⎨-+-=⎩解之得,8()3x cm πα==2. 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c ，每台电视机的销售价格为p ，销售量为x ，假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量。
根据市场预测，销售量x 与销售价格p 之间有下面的关系：(0,0)px Me M αα-= >>，其中M 为市场最大需求量，α是价格系数。
同时，生产部门根据生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c 有如下测算：0ln (0,1)c c k x k x =- >>，其中c 是只生产一台电视机时的成本，k 是规模系数。
根据上述条件，应如何确定电视机的售价p ，才能使该厂获得最大利润？(25分)解：设厂家获利为u ，则()u p c x =-。
作拉格朗日函数0(,,)()()(ln ).p L x p c p c x x Me c c k x αλμ-=-+-+-+令()000xpp c L p c k xL x Me L x αμλλαμ-⎧=-++=⎪⎪=+=⎨⎪=-+=⎪⎩解之得01ln *.1c k M k p kαα-+-=-因为最优价格必定存在，所以*p 是电视机的最优价格。
国家开放大学《高等数学基础》第1—4次作业参考答案
3.在下列方程中， y y ( x ) 是由方程确定的函数，求 y ：
（1） y cos x e 2 y
（2） y cos y ln x
（3） 2 x sin y
x2
y
（4） y x ln y
（5） ln x e y y 2
（6） y 2 1 e x sin y
D. f ( x) x 1 ， g ( x)
x2 1
x 1
2.设函数 f (x) 的定义域为 (,) ，则函数 f ( x) f ( x) 的图形关于（C）对
称．
A.坐标原点
B. x 轴
C. y 轴
D. y x
3.下列函数中为奇函数是（B）．
A. y ln(1 x 2 )
（3） y ln x
（4） y x sin x
ห้องสมุดไป่ตู้（四）证明题
设 f (x) 是可导的奇函数，试证 f (x) 是偶函数．
第三次作业
（一）单项选择题
1.若函数 f (x) 满足条件（D），则存在 (a , b) ，使得 f ( )
A. 在 (a , b) 内连续
B. 在 (a , b) 内可导
讨论 f (x) 的连续性．
参考答案：
第二次作业
（一）单项选择题
1.设 f (0) 0 且极限 lim
x 0
f ( x)
f ( x)
存在，则 lim
（B）．
x 0
x
x
A. f (0)
B. f (0)
C. f (x)
D. 0
2.设 f (x) 在 x0 可导，则 lim
h 0
2014年9月份考试高等数学(II-1)第二次作业
错
20. 设，则与相同.
(本题分数：2 分，本题得分：0 分。)
A、正确 B、错误
题目信息
难度： 2
正确答案： B
解题方案： 定义域不同
错
难度： 4
正确答案： B
解题方案： 分别求一阶导数和二阶导数，然后根据这些信息解题
选B
13. 函数在[-2,2]上的最大值为（ ）
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、 ０
B、 １
C、 ２
D、 -２
题目信息
难度： 4
正确答案： C
解题方案： 先求极值，再求端点的函数值，将极值和端点的函数值进行比较，大的为最大值，小的为最小值
选C
14. 满足的x的取值范围是（ ）
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、
B、
C、
D、
题目信息
难度： 4
正确答案： D
解题方案： 利用反三角函数定义解题
B、
C、
D、
题目信息
难度： 4
正确答案： C
解题方案： 无穷大的倒数是无穷小
选 C
12. 曲线( )
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、有四个极值
B、有两个极值
C、有三个拐点
D、对称原点
题目信息
难度： 5
正确答案： D
解题方案：
19. 函数的反函数是（ ）
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、
B、
C、
D、
高数ⅱa卷答案
高数ⅱa卷答案 Prepared on 22 November 2020广东海洋大学2014—2015学年第二学期《高等数学Ⅱ》课程试题参考答案（A 卷）一、填空题（每空3分，共21分）1.若)()(x g x f 是的一个原函数，则⎰=dx x g )(C x f +)( . 2.=⎰x x dt t dx d sin 22cos 42cos 2)cos(sin cos x x x x -⋅ . 3.已知⎰+=C x F dx x f )()(，则=--⎰dx e f e x x )(C e F x +--)( 4.设x x f sin )(=时，则='⎰dx x x f )ln （C x +)sin(ln 5.设是连续的奇函数，)(x f 则=⎰-dx x f l l )( 0 6.改变二次积分的积分次序，⎰⎰=100),(y dx y x f dy ⎰⎰101),(x dy y x f dx 7. 方程032=-'-''y y y 的通解是x x e c e c y -+=231二、计算下列积分（每小题6分，共36分）1. 解:C x x x d xdx x x +==⎰⎰ln ln )(ln ln 1ln 1 …………（6分） 2. 解:C x x x x x x dx +-+-=--+-=-+⎰⎰)21(ln 31)211131)2)(1(（ （或 C x x ++-=)12(ln 31） …………（6分） 3. 解: dx x e e x e d x xdx e x x x x ⎰⎰⎰----+-=-=cos sin )(sin sin …（3分）= )(cos sin x x e d x e x --⎰-- ………（4分）=xdx e e x x x x x sin cos sin ⎰------e ………（5分）所以，C x x e xdx e x x ++-=--⎰)cos (sin 21sin ………（6分） 4. 解: dt t dx t x t x 2333,22=-==+，则令 ……（1分）C x x x C t t t dt t t t dt t x dx +++++-+=+++-=++-=+=++⎰⎰⎰3332222321ln 323)1(231ln 332311131321）（……（6分）5. 解:2sin sin cos cos cos 2220200=-=-=⎰⎰⎰πππππππx x xdx dx x dx x （6分）6. 解:1sin 2sin 2cos 20)cos sin (1010112==+=+⎰⎰-x dx x dx x x x …（6分） 三、计算下列各题（每小题5分，共15分）.1.xy e z xy sin +=，求yz x z ∂∂∂∂，. 解：xy y ye xz xy cos +=∂∂ …………（3分） cos xy z xe x xy y∂=+∂ …………（5分） 2.）2ln(y x z +=，求 22xz ∂∂和y x z ∂∂∂2. 解：2221y x y y z y x x z +=∂∂+=∂∂， …………（2分）2222222(2(1），）y x y y x z y x x z +-=∂∂∂+-=∂∂ …………（5分） 3. )643ln(z y x u -+=，求du . 解：dz z y x dy z y x dx z y x du 643664346433-+-+-++-+=…（5分）四、计算重积分(每小题5分，共10分).1. ⎰⎰-+Ddxdy x y x )(22，其中D 是由直线2=x 、x y =及x y 2=所围成的区域.解：原式=⎰⎰-+x x dy x y x dx 22220)( ………（3分） =dx x x )310(2320-⎰ ………（4分） =332 ………（5分） 2. dxdy y x D⎰⎰+22sin ，其中}4),({2222ππ≤+≤=y x y x D .解：原式 =220sin d r r dr πππθ⎰⎰ ………（3分）= -26π ………（5分）五、求解微分方程（8分）. 解：3)1()(12)(+=+-=x x q x x p ， ………（2分） 利用公式法，得所求微分方程的通解为：])1([12312C dx e x e y dx x dx x +⎰+⎰=+-+⎰ ………（6分）)21()1(22C x x x +++= ………（8分） 六、三个正数之和为21，问三个数为何值时才使三者之积最大（10分）解：设三个正数分别为z y x ,,，依题意得：xyz u =，满足21=++z y x设)21(),,(-+++=z y x xyz z y x L λ ………（4分）因为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=02100L 0z y x L xy L xz yz L z y x λλλλ 得7===z y x ………（9分）由于只有一个驻点，所以当7===z y x 时，三者之积u 最大。
高数Ⅱ习题答案—8-5,8-6习题解答
习 题 8-548. 解：（1）令23123x z y t -+=+==，推得参数方程为22133x ty t z t=+⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩（2）一般方程为212402233212023x y x y x z x z -⎧=+⎪--=⎧⎪⎨⎨-+--=⎩⎪=⎪⎩或 法二：一般方程为212402330013x y x y z y z y -⎧=+⎪--=⎧⎪⎨⎨+-==⎩⎪+=⎪⎩或49. 解：（1）令2134x y z t -=-==，推得参数方程为1+234t x y t t z ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩（2）一般方程为21334x yy z -=-⎧⎨-=⎩或240430x y y z +-=⎧⎨+-=⎩法二：一般方程为213214x yx z -=-⎧⎨-=⎩或2402410x y x z +-=⎧⎨--=⎩50. 解：（1）令+521102x y z t +-===，推得参数方程为5212x ty z t=-+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩（2）一般方程为+5210+5112x y x z +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩ 或202110y x z +=⎧⎨-+=⎩51. 解：（1）令12020x y z t -+===，推得参数方程为1220x y t z =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩（2）一般方程为1202220x y y z -+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 或1x z =⎧⎨=⎩ 52. 解：（1）法一：将0x =代入方程组50584360x y z x y z -++=⎧⎨-++=⎩中得5084360y z y z -++=⎧⎨-++=⎩解得4,1y z ==-；从而，取得所求直线上的一点()00,4,1M -；由于所求直线是方程组中两平面的交线，因此，所求直线（或所求直线的方向向量s）均与方程组中两平面的法向量{}{}121,1,1,5,8,4n n =-=-垂直，因而，根据向量积的定义，我们就取所求直线的方向向量为s = 12n n ⨯={}1114,1,3584i j k-=-- ；故所求直线的方程为：0411441343x y z x z y --++===-=--或 法二：将0z =代入方程组50584360x y z x y z -++=⎧⎨-++=⎩中得5058360x y x y -+=⎧⎨-+=⎩解得43x =-，113y =，从而，求得所求直线上的一点0411,,033M ⎛⎫- ⎪⎝⎭；由于所求直线是方程组中两平面的交线，因此，所求直线（或所求直线的方向向量s）均与方程组中两平面的法向量{}{}121,1,1,5,8,4n n =-=-垂直，因而，根据向量积的定义，我们就取所求直线的方向向量为s = 12n n ⨯={}1114,1,3584i j k-=-- ；故所求直线的方程为：411034311334131233x y z x y z +--+-====--或 （2）法一：令1443x z y t +=-=-=，得所求直线的参数方程为： 4413x ty t z t =⎧⎪=+⎨⎪=--⎩法二：令41133413x y z t +-===-，得所求直线的参数方程为： 4431133x t y t z t ⎧=-+⎪⎪⎪=+⎨⎪=-⎪⎪⎩53. 解：（1）将0y =代入方程组521025x y z z y -+-=⎧⎨=+⎩中得2102x z z +-=⎧⎨=⎩解得3,2x z =-=；从而，取得所求直线上的一点()03,0,2M -；方程组中两平面的法向量为{}{}121,5,2,0,5,1n n =-=-，根据向量积的定义，我们取所求直线的方向向量为s = 12n n ⨯={}1525,1,5051i j k-=--- ；故所求直线的方程为：3023251555x y z x z y +--+-===-=---或 （2）令3255x z y t +-=-=-=，得所求直线的参数方程为： 3525x ty t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩54. 解：（1）将0y =代入方程组1232z x y =⎧⎨+=⎩中得122z x =⎧⎨=⎩解得1,1x z ==；从而，取得所求直线上的一点()01,0,1M ；方程组中两平面的法向量为{}{}120,0,1,2,3,0n n ==，根据向量积的定义，我们取所求直线的方向向量为s = 12n n ⨯={}0013,2,023i j k =- ；故所求直线的方程为：11320x y z --==- （2）令11320x y z t --===-，得所求直线的参数方程为： 1321x ty t z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩【注意】在54题中如果令2y =，则得到直线上的另一点()02,2,1M -，因此该直线的点向式方程为另一种形式：221320x y z +--==-（本书—习题答案） 55. 解：（1）将0z =代入方程组250670x z y z -+=⎧⎨--=⎩中得5070x y +=⎧⎨-=⎩解得5,7x y =-=；从而，取得所求直线上的一点()05,7,0M -；方程组中两平面的法向量为{}{}121,0,2,0,1,6n n =-=-，根据向量积的定义，我们就取所求直线的方向向量为s = 12n n ⨯={}1022,6,1016i j k-=- ；故所求直线的方程为：57261x y z+-== （2）令57261x y zt +-===，得所求直线的参数方程为： 5276x ty t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=⎩56.解：由已知{}123,1,1M M =--- 在直线上，因此就将它作为所求直线的方向向量s ，即令12s M M =；故所求直线的方程（过点1M 的点向式方程）：231311x y z ---==--- 或 2313x y z -=-=-57.解：由题意，已知直线的方向向量{}2,1,5s =已知可以作为所求直线的方向向量，即令=s s已知未知，因此，所求直线的方程为：22+1215x y z --==58.解：由题意，已知直线的方向向量{}1,1,2s =-已知（t 的一次幂的三个系数）可以作为所求直线的方向向量即令=s s已知未知，因此，所求直线的方程为：34+1112x y z --==- 59.解：先求已知直线2103210x y y z -+=⎧⎨-+=⎩的方向向量；由于该直线实际上是方程组中两平面的交线，因此已知直线（或已知直线的方向向量s已知）均与方程组中两平面的法向量{}{}122,1,0,0,3,2n n =-=- 垂直，因而，由向量积定义，取s 已知12n n =⨯=210032i j k -=-{}{}2,4,6=21,2,3=，又由已知，已知直线的方向向量s已知可以作为所求直线的方向向量即令=s s已知未知，故所求直线的方程为：2+2246x y z -== 或 2+2123x y z-== 60.解：由题意，已给两点()()3,4,7,2,7,6A B --构成的向量{}1,3,1AB =-可以作为所求直线的方向向量，即取=s AB未知，故所求直线的方程为：+32131x y z -==- 61.解：由题意，已知平面的法向量{}3,1,2n =-已知可以作为所求直线的方向向量，即取=s n已知未知，故所求直线的方程为：2+34312x y z --==- 62.解：先求已知直线与已知平面的交点，令1+11112x y z t --===-，得已知直线的参数 方程：1,1,12x t y t z t =+=--=+，再将参数方程代人已知平面得：()312150t -++= 推得2t =，从而获得已知直线与已知平面的交点()03,3,5M -。
高数下2答案
高等数学下2解答一、填空题（每小题3分，共计15分）1．设),(y x f z =由方程)(z y x e z y x ++-=++确定，则x z∂∂=1-。
2．函数xyz z xy u -+=32在点)2,1,0(0-P 沿方向)1 ,2 ,1(=l 的方向导数0P lu ∂∂=152。
3．L 为圆周122=+y x ，计算对弧长的曲线积分ds eL y x ⎰+22=2e π。
4．已知曲面221y x z --=上点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是(1,1,1)-。
5．设)(x f 是周期为2的周期函数，它在区间]1 ,1(-的定义为⎩⎨⎧≤<≤<-=10012)(2x xx x f ，则)(x f 的傅里叶级数在2=x 收敛于 1 。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）1．设) ,(y x f 在积分区域上连续，交换二次积分⎰⎰---=y ydxy x f dy I 311102),(的积分顺序。
解：130112133012(,)(,)(,)(,)y xI dy f x y dxdx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy--==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周122=+y x 所围成的在第一象限内的区域。
解：22()Dx y dxdy +⎰⎰ 1320d r drπθ=⎰⎰8π=3．设Ω是由球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成，求三重积分⎰⎰⎰Ω++=dxdydzz y x f I )(222在柱坐标系下的三次积分表达式。
解：222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰222222()x y dxdy f x y z dz+≤=++⎰⎰2220()rd f r z dzπθ=+⎰4．设对任意0>x ，曲线)(x f y =上点))(,(x f x 处的切线在y 轴上的截距等于⎰xdt t f x 0)(1，求)(x f 的一般表达式。
高一数学(基础练习二)答案
基础巩固题组一、选择题1．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为( ) A ．－2B ．2C ．－6D ．6解析 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，∴a ＝－6. 答案 C2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x 解析 ∵y ＝11－x 与y ＝ln(x ＋1)在(－1，1)上为增函数，且y ＝cos x 在(－1，1)上不具备单调性．∴A ，B ，C 不满足题意．只有y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－1，1)上是减函数． 答案 D3．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <aB ．b <a <cC ．b <c <aD ．a <b <c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)，即b <a <c .答案 B4．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )在区间[－2，2]上的最大值等于( ) A ．－1B ．1C ．6D ．12解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 答案 C5．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( ) A ．(8，＋∞) B ．(8，9]C ．[8，9]D ．(0，8)解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎨⎧x >0，x －8>0，x （x －8）≤9，解得8<x ≤9.答案 B6．(2018·湖州调研)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( ) A ．2B ．3C ．4D ．－1解析 根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12上单调递减，则函数f (x )在[－2，0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. 答案 C7．(2018·北京海淀区调研)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝( ) A ．4B ．2C.12D.14解析 当a >1时，则y ＝a x 为增函数，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12， 此时g (x )＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意． 当0<a <1时，则y ＝a x 为减函数， 有a －1＝4，a 2＝m ，此时a ＝14，m ＝116.此时g (x )＝34x 在[0，＋∞)上是增函数．故a ＝14. 答案 D二、填空题8．(2018·金华月考)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．解析 由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3. 答案 39．(2016·天津卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________． 解析 ∵f (x )在R 上是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 则f (2|a －1|)>f (－2)＝f (2)，因此2|a －1|<2＝212，又y ＝2x 是增函数， ∴|a －1|<12，解得12<a <32. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3210．(2018·青岛模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)11．(2018·绍兴调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，2x ＋ax ，x >1，若f (f (1))＝4a ，则实数a ＝________，函数f (x )的单调增区间为________．解析 ∵f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤1，2x ＋ax ，x >1，∴f (1)＝12＋1＝2，f (f (1))＝f (2)＝22＋2a .由f (f (1))＝4a ，∴22＋2a ＝4a ，∴a ＝2.当x ≤1时，f (x )在(－∞，0]上递减，在[0，1]上递增，且f (1)＝2；当x >1时，f (x )＝2x ＋2x 在(1，＋∞)上递增，令x ＝1时，2x ＋2x ＝2＋2＝4＞f (1)，故f (x )的单调增区间为[0，1]∪(1，＋∞)＝[0，＋∞)． 答案 2 [0，＋∞)12．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________． 解析 依题意，h (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数， ∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1. 答案 1三、解答题13．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．(1)证明 设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解 ∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，易知a ＝25. 14．已知函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0，1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x ，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2. ∵1≥x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－ax ，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a 2＜1，即a ∈(－2，0)时，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a .。
大学-高等数学(Ⅱ)试题(E)+答案
大学-高等数学(Ⅱ)试题（E ）一、填空题(本大题分5小题, 每小题2分, 共10分)1．母线平行于x 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0162222222z y x z y x 的柱面方程是 。
A. x 2 +2y = 16B.3y 2 - z 2 = 16C. 3x 2 + 2z 2 = 16D.-y 2 + 3z 2 = 16 2．函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z 在点),(00y x 存在全微分的（ ）；A.充分条件；B.必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件.3． z=xy+x 3则x z ∂∂+yz∂∂=（ ） A. x+y+2x 2 B. x+y+3x 3 C. 2x+y+3x 2 D. x+y4．函数f(x,y,z)=4(x -y)-x 2-y 2( )A. 有极大值8B. 有极小值8C. 无极值D.有无极值不确定 5．下列级数发散的是（ ）；A ．;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C ．222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+二、填空题(本大题分5小题，每小题4分，,总计20分) 1．已知级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和13+=n ns n () 2, 1=n 则此级数的通项=n u 。
2．设D ：0≤x ≤1,0≤y ≤2(1－x ),由二重积分的几何意义知=_______________.3． 设 则I = ________________。
4．设L 是xoy 面上圆周122=+y x 的顺时针方向，则⎰=L s x I d 31与⎰=Ls yI d 52的大小关系是___________________。
5．设有平面向量场A =2xy i +(x 2+3x )j ,则它沿正方形|x |+|y |=1正向的环流量为_________. 三、计算题(本大题分8小题，,总计51分) 1．(本小题6分)设zax bx y cy =++αβγδ，求∂∂∂∂z x z y,。
《高等数学(二)》 作业及参考答案
《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。
2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。
4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。
5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。
6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。
7．平面2250x y z -++=的法向量是 。
8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。
9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。
10．函数z =的定义域为 。
11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。
12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。
13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。
向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。
14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。
15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。
16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。
17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。
18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。
19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。
工科数学基础专第2次形测作业
江苏开放大学作业内容： 《工科数学基础（专）》形成性测试题（二）一、填空题（每小题4分，共计20分）1．设e x x e y +=，则='y ___x e ='y __________．2．设x y 3sin =，则=dy _____xdx dy 3cos 3=_________．3．曲线x x y =在点（1，1）处的切线斜率为_____23=k __________．4．函数x xe y =的单调递减区间为____)1,(--∞___________．5．函数 在[-1，2]的最大值为______6________．二、单项选择题（每小题4分，共计20分）1．设2)(x x f =，则 （ C ）Ａ．x 2 Ｂ．x Ｃ．2 Ｄ．12．下列函数在0=x 处可导的是（ D ） Ａ．31x y = Ｂ．x y = Ｃ．x y 1= Ｄ．23x y =3．下列等式正确的是（ C ）Ａ．x x sin )(cos =' Ｂ．21)1(x x =' Ｃ．x x 1)2(ln =' Ｄ．x xe e --=')(4．下列函数在其定义区间内为单调增函数的是（ A ）Ａ．x x y sin += B ． C ．x x y +=2 D ．22x y +=5.连续函数)(x f y =在区间],[b a 内恒有0)(<'x f ，则此函数在],[b a 上的最大值是（ A） A ．)(a f ； B ．)(b f C ．2)()(b f a f +； D ．不能确定．三、求下列函数的导数或微分（每小题10分，共计40分）1．已知)1ln(2+=x x y ，求y '．[]12)1ln()1(1)1ln()1ln()1ln(:222'222'22'+++=++++=+++=x x x x x xx x x x x y 解2．已知 ，求dy ．dxx x x dxy dy x x x x x x x x x y )cos sin 22sin 2(cos sin 22sin 2)(sin sin 2)2(2sin )(sin )2(cos ''''2''+-==+-=+-=+= 解：x x y 1+=322+-=x x y =--→1)1()(lim 1x f x f x x x y 2sin 2cos +=3．已知 ，求y '．122)12(24)12(2)12(2)12()12()12()()12(22222'2'2'2'+=++=+-+=++-+=+=x x x x x x x x x x x x x x x x y 解：4．已知3y xy e y =-，求dxdy ． )3()3(3)(3)(2''2'2'''2'''y x e y y yy y x e y y xy y y e y y xy y x y e y y y y --==--=+-=+-解：四、应用题（每题10分，共计20分）1．现有可以编制400米长篱笆的材料，拟围成一个一边可以靠河的矩形苗圃(三边用篱笆)，则如何设计尺寸才能使所围成的矩形苗圃面积最大？最大面积是多少？2''220000100,100040044002)2400()2-400米大，最大面积为所围矩形苗圃的面积最米时，故当矩形的宽和长都为，得唯一令米米，则长为（解：设矩形的宽为==+-=+-=-=x S x S xx x x S x x 122+=x x y2．做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体无盖水池，怎样做才能使用料最省？。
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高等数学基础第二次作业第3章 导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim 0（ B ）．A. )0(fB. )0(f 'C. )(x f 'D. 0⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim 000（ D ）．A. )(20x f '-B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '-⒊设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim 0（ A ）．A. eB. e 2C. e 21D. e 41⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （ D ）．A. 99B. 99-C. !99D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续． ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．A.xxsin B. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。
A. )()(lim 00x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0x f x f x x x x -+→→=（二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则=')0(f 无穷小量 ． 解： 20001()sin 0(0)(0)1(0)lim lim lim sin 0x x x x f x f x f x x x x∆→∆→∆→∆-+∆-∆'===∆=∆∆∆这里用到：无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。
⒉设x xxf e 5e )e (2+=，则=xx f d )(ln d x x 15ln 2⋅+ .解： 令2e ,()t 5,x t f t t ==+有令2ln ,(ln )ln x 5ln ,t x f x x ==+有故=xx f d )(ln d 2(ln )(ln )(ln 5ln )(ln )1(2ln 5)(ln )(ln )f x x x x x x d x dx d x dx x +⋅=⋅=+⋅d d d d ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 ．⒋曲线x x f sin )(=在)1,4π(处的切线方程是 ．⒌设xx y 2=，则='y ．⒍设x x y ln =，则=''y ．（三）计算题⒈求下列函数的导数y '：⑴xx x y e )3(+=解： 由导数四则运算法则)e )(3(e )3()e )3((2323'++'+='+='xxxx x x x y xxx x e )3(e ))3()((2323++'+'=xx x x x x x e )323(e )3(e 2323212321++=++=⑵x x x y ln cot 2+=解： 由导数四则运算法则)ln ()(cot )ln (cot 22'+'='+='x x x x x x y)(ln ln )(sin 1222'+'+-=x x x x x x x x xx x x x x ++-=⋅++-=ln 2sin 11ln 2sin 1222⑶xx y ln 2=解： 由导数四则运算法则xx x x x x x y 2222ln )(ln ln )()ln ('-'='=' xx x x x x x x x 222ln ln 2ln 1ln 2-=⋅-=⑷32cos x x y x+=解： 由导数四则运算法则6333))(2(cos )2(cos )2cos (x x x x x x x y x x x '+-'+='+=' 623)2(cos 3))2()((cos x x x x x x x +-'+'=623)2(cos 3)2ln 2sin (xx x x x x x +-+-= 423cos 32ln 2sin xx x x x xx ⋅--+-= ⑸xx x y sin ln 2-=解： 由导数四则运算法则x x x x x x x x x x y 2222sin ))(sin (ln sin )(ln )sin ln ('--'-='-='xxx x x x x 222sin cos )(ln sin ))()((ln --'-'= xxx x x x x 22sin cos )(ln sin )21(---=xx xx x x x x x x 232sin cos ln cos sin 2sin +--=⑹x x x y ln sin 4-=解： 由导数四则运算法则)ln (sin )()ln sin (44'-'='-='x x x x x x y ))(ln sin ln )((sin 43'+'-=x x x x xxxx x xx x x sin ln cos 4)1sin ln (cos 433--=⋅+-= ⑺xx x y 3sin 2+= 解： 由导数四则运算法则2222)3()3)((sin 3)(sin )3sin (x x x x x x x x x x y '+-'+='+=' 222)3(3ln 3)(sin 3))()((sin x x x x x x x +-'+'=22)3(3ln 33ln sin 33)2(cos x x x x x x x x --+= xx x x x 33ln 3ln sin 2cos 2--+=⑻x x y xln tan e +=解： 由导数四则运算法则)(ln )tan e ()ln tan e ('+'='+='x x x x y xxxx x xx 1)(tan e tan )e (+'+'= x xx x x x x xxx1cos e tan e 1cos 1e tan e 22++=+⋅+= ⒉求下列函数的导数y '：⑴21ex y -=解： 设21x u -=，21x v -=，则有uy e =， v u =， 21x v -=由复合函数求导法则x v u u x v u x v v u y y )1()()e (2'-⋅'⋅'='⋅'⋅'='211e)2(21e 2xx x vx u--=-⋅⋅=-⑵3cos ln x y =解： 设3cos x u =，3x v =，则有u y ln =， v u cos =， 3x v =由复合函数求导法则x v u x v u x v u v u y y )()(cos )(ln 3'⋅'⋅'='⋅'⋅'='323322tan 3cos sin 33)sin (1x x xx x x v u -=-=⋅'-⋅= ⑶x x x y =解： 8721472143212123212121)()())(())((x x x x x x x x x x x x y ==⋅==⋅==8187-='x y⑷3x x y +=解： 设x x u +=，则有3u y =， x x u +=由复合函数求导法则x u v u x x u u y y )()(3'+⋅'='⋅'=')211()(31)211(313232x x x x u ++=+=--⑸xy e cos 2=解： 设x u e cos =，xv e =，则有2u y =， v u cos =， xv e =由复合函数求导法则x xv u x v u v u v u y y )e ()(cos )(2'⋅'⋅'='⋅'⋅'='xx x x x x v u e 2sin e e cos e sin e 2e )sin (2-=-=⋅'-⋅= ⑹2e cos x y =解： 设2e x u =，2x v =，则有u y cos =， v u e =， 2x v = 由复合函数求导法则x v v u x v u x u v u y y )()e ()(cos 2'⋅'⋅'='⋅'⋅'='22e sin e 22e sin x x vx x u -=⋅⋅-=⑺nx x y ncos sin = 解： 由导数四则运算法则)(cos sin cos )(sin )cos (sin '+'='='nx x nx x nx x y nn n 设x u sin =，nx v =，则有 nn u x =sin ， v nx cos cos = 由复合函数求导法则)(cos sin cos )(sin )cos (sin '+'='='nx x nx x nx x y nn nx v nx u n nx v x nx x u )()(cos sin cos )(sin )('⋅'+'⋅'=n v x nx x nu n n ⋅-+=-)sin (sin cos cos 1nx x n nx x x n n n sin sin cos cos sin1-=-⑻2sin 5x y =解： 设2sin x u =，2x v =，则有uy 5=， v u sin =， 2x v =由复合函数求导法则x v u u x v u x v v u y y )()(sin )5(2'⋅'⋅'='⋅'⋅'='2sin cos 5ln 522cos 5ln 52x x x v x u=⋅⋅=⑼x y 2sin e =解： 设x u 2sin =，x v sin =，则有uy e =， 2v u =， x v sin =由复合函数求导法则x v u u x v u x v v u y y )(sin )()e (2'⋅'⋅'='⋅'⋅'='x x x x v x xu2sin e cos sin e 2cos 2e 22sin sin ==⋅⋅=⑽22e x x x y += 解： 222222e e e eeln ln x xxx x x x xxy +=+=+=由导数四则运算法则 )e ()e ()e e (2222ln ln '+'='+='x x x x xxy 设x x u ln 2=，2x v =，由复合函数求导法则x v v x u u x x x y )()e ()ln ()e (22'⋅'+'⋅'='x x x x vu 2e )ln 2(e ⋅++= 22e 2)ln 2(x x x x x x x ++= ⑾xxxy e e e +=解： xxx xxxxx x y e ln ee ln e e e e e eee+=+=+=由导数四则运算法则 )e ()e ()e e (e ln e e ln e'+'='+='xxxxx xy设x u x ln e =，xv e =，由复合函数求导法则x xv v x x u u x y )e ()e ()ln e ()e ('⋅'+'⋅'='x v xxuxx e e )e ln e (e ⋅++= x x xx x xx x e e )e ln e (e e ++= ⒊在下列方程中，y y x =()是由方程确定的函数，求'y ：⑴yx y 2e cos =解法1： 等式两端对x 求导左)(cos cos )cos ('+'='=x y x y x y x y x y sin cos -'=右y y yy y x y '='⋅'='=222e 2)e ()e (由此得y x y x y y'=-'2e 2sin cos整理得 yx x y y 2e2cos sin -=' 解法2： 等式两端求微分左)(cos d d cos )cos (d x y y x x y +== x x y y x d sin d cos -= 右y y y y yd e 2)2(d e )e (d 222===由此得y x x y y x yd e 2d sin d cos 2=- 整理得 x x xy y yd e 2cos sin d 2-=得yx xy y 2e2cos sin -=' ⑵x y y ln cos =解法1： 等式两端对x 求导 左y '=右)(ln cos ln )(cos )ln (cos '+'='=x y x y x y xxyy y x x y x y y y cos sin ln 1cos ln )(cos +'⋅-=⋅+'⋅'=由此得xy y y x y cos sin ln +'⋅-=' 整理得 yx x x yy sin ln cos +='解法2： 等式两端求微分 左y d =右)(ln d cos )(cos d ln )ln (cos d x y y x x y +== x xyy x y d cos d ln sin +-= 由此得x xyy x y y d cos d ln sin d +-= 整理得 x y x x x yy d sin ln cos d +=得 yx x x yy sin ln cos +='⑶yx y x 2sin 2=解法1： 等式两端对x 求导左x y x y x y x )(sin 2sin )2()sin 2('+'='=y y x y y y x y y '⋅+='⋅'+=cos 2sin 2)(sin 2sin 2右2222222)()(y y x xy y y x y x y x '-='-'='= 由此得222cos 2sin 2yy x xy y y x y '-='⋅+ 整理得222cos 2sin 22xy xy yy xy y +-=' 解法2： 等式两端求微分左)(sin d 2)2(d sin )sin 2(d y x x y y x +== y y x x y d cos 2d sin 2+=右222222d d 2d d )(d y yx x xy y y x x y y x -=-== 由此得22d d 2d cos 2d sin 2yyx x xy y y x x y -=+ 整理得x xy xy yy xy y d cos 2sin 22d 222+-= 得222cos 2sin 22xy xy yy xy y +-=' ⑷y x y ln +=解法1： 等式两端对x 求导左y '=右x y x y x )(ln )()ln ('+'='+= y yy y y '+='⋅'+=11)(ln 1 由此得 y yy '+='11 整理得 1-='y y y 解法2： 等式两端求微分 左y d =右y yx y x y x d 1d )(ln d d )ln (d +=+=+= 由此得 y yx y d 1d d += 整理得 x y yy d 1d -= 得1-='y y y ⑸2e ln y x y =+解法1： 等式两端对x 求导左x yy x x )e ()(ln )e (ln '+'='+=y x y x y y y '+='⋅'+=e 1)e (1 右y y y y y y x '⋅='⋅'='=2)()(22由此得y y y xy '⋅='+2e 1整理得 yx xy y e21-=' 解法2： 等式两端求微分左)e (d )(ln d )e (ln d yyx x +=+= y x xy d e d 1+= 右y y y y y d e 2)2(d e )(d 22===由此得y y y x xy d 2d e d 1=+ 整理得 x x xy y yd e21d -= 得 yx xy y e 21-='⑹y y xsin e 12=+ 解法1： 等式两端对x 求导左y y y y y y x '⋅='⋅'+='+=2)1()1(22 右x xx x y y y )(sin e sin )e ()sin e ('+'='=y y y y y y x x y x x '⋅+='⋅'+=cos e sin e )(sin e sin e 由此得y y y y y xx'⋅+='⋅cos e sin e 2 整理得yy yy xx cos e 2sin e -=' 解法2： 等式两端求微分左)1(d )(d )1(d 22+=+=y y y y d 2=右)(sin d e )e (d sin )sin e (d y y y xxx+== y y x y xxd cose d sin e += 由此得y y x y y y xxd cose d sin e d 2+= 整理得x yy yy xx d cos e 2sin e d -= 得y y yy x x cos e 2sin e -='⑺3e e y x y -=解法1： 等式两端对x 求导左y y yy y x y '='⋅'='=e )e ()e (右x x x y y )()e ()e (33'-'='-=y y y y x y x '-='⋅'-=233e )(e由此得y y y xy'-='23e e 整理得23e e yy y x+=' 解法2： 等式两端求微分 左y yy d e )e (d ==右)(d )e (d )e (d 33y y xx-=-= y y x xd 3de 2-= 由此得y y x y xyd 3de d e 2-= 整理得x yy y xd 3e e d 2+= 得23e e y y y x+='⑻yx y 25+=解法1： 等式两端对x 求导 左y '=右x yx y x )2()5()25('+'='+=y y yx y y x '⋅+='⋅'+=2ln 25ln 5)2(5ln 5 由此得y y yx'⋅+='2ln 25ln 5 整理得2ln 215ln 5y x y -='解法2： 等式两端求微分 左y d =右)2(d )5(d )25(d yxyx+=+= y x yxln2d 2ln5d 5+= 由此得y x y yxln2d 2ln5d 5d += 整理得x y yx d ln221ln55d -= 得2ln 215ln 5yx y -=' ⒋求下列函数的微分y d ： ⑴x x y cos cot +=解： )(cos d )(cot d )cos (cot d d x x x x y +=+=x x xx x x x d )sin sin 1(d sin d sin 122+-=--=⑵xx y sin ln = 解： xx x x x x x y 2sin )(sin d ln )(ln d sin )sin ln (d d -== x xx x x x x x x x x x x x d sin cos ln sin sin d cos ln d sin 22-=-= ⑶xx y +-=11arcsin 解： )11(d )11(11)11(arcsin d d 2x x xx x x y +-+--=+-= 22)1()1(d )1()1(d )1()11(11x x x x x xx ++---++--= 22)1(d )1(d )1()11(11x x x x x xx +--+-+--= x x x x x x x x d )11(1)1(2d )1(2)11(112222+--+-=+-+--= ⑷311xx y +-= 解： )11(d )11(31)11(d )11(d d 32313xx x x x x x x y +-+-=+-=+-=- 232)1()1(d )1()1(d )1()11(31x x x x x x x ++---++-=- 232)1(d )1(d )1()11(31x x x x x x x +--+-⋅+-=- x x x x x x x x d )11()1(32d )1(2)11(31322232+-+-=+-⋅+-=-⑸x y e sin 2= 解： )e (sin d e sin 2)e (sin d d 2x x x y ==)e (d e cos e sin 2x x x =x x x x x x x d e 2sin e d e cos e sin e 2==⑹3e tan x y =解： )e (d e cos 1)e (tan d d 3332x x x y == )(d e cos e 3233x x x =x x x xd e cos e 33322=⒌求下列函数的二阶导数：⑴x x y ln =解： 由导数四则运算法则)(ln ln )()ln ('+'='='x x x x x x y1ln 1ln +=⋅+=x xx x )1()(ln )1(ln '+'='+=''x x yxx 101=+= ⑵x x y sin = 解： 由导数四则运算法则)(sin sin )()sin ('+'='='x x x x x x y x x x cos sin +=)cos ()(sin )cos (sin '+'='+=''x x x x x x y )(cos cos )(cos '+'+=x x x x xx x x x x x x sin cos 2sin cos cos -=-+= ⑶x y arctan =解： 211)(arctan xx y +='=' 由导数四则运算法则 22222)1()1()1()1()11(x x x x y +'+-+'='+='' 22222)1(2)1())()1((0x x x x +-=+'+'-= ⑷23x y =解： 由复合函数求导法则和导数四则运算法则 3ln 32)(3ln 3)3(2222x x x x x y ='='='3ln ))3(23)2(()3ln 32(222'+'='=''x x x x x x y 3ln )3ln 32232(22x x x x ⋅+⋅=3ln 323ln 322222x x x +⋅=（四）证明题设)(x f 是可导的奇函数，试证)(x f '是偶函数． 证：因为)(x f 是可导的奇函数，所以对任意x 有 )()(x f x f -=-上式两端对x 求导左)()())(())((x f x x f x f x x -'-='-⋅'-='-=-右)())((x f x f '-='-=由此得)()(x f x f '-=-'-即)()(x f x f '=-'由定义可知)(x f '是偶函数。