高等数学基础第二次作业有答案

高等数学基础第二次作业

第3章 导数与微分

（一）单项选择题

⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim

0→存在，则=→x

x f x )

(lim 0（ B ）．

A. )0(f

B. )0(f '

C. )(x f '

D. 0

⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→h

x f h x f h 2)

()2(lim 000（ D ）．

A. )(20x f '-

B. )(0x f '

C. )(20x f '

D. )(0x f '-

⒊设x

x f e )(=，则=∆-∆+→∆x

f x f x )1()1(lim 0（ A ）．

A. e

B. e 2

C. e 21

D. e 4

1

⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （ D ）．

A. 99

B. 99-

C. !99

D. !99- ⒌下列结论中正确的是（ C ）．

A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．

B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．

C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．

D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续． ⒍当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量．

A.

x

x

sin B. x 1

C. x

x 1

sin D. 2)ln(+x

⒎若函数)(x f 在点0x 满足（ A ），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00

x f x f x x =→ B. )(x f 在点0x 的某个邻域内有定义

C. )()(lim 00

x f x f x x =+→ D. )(lim )(lim 0

x f x f x x x x -+→→=

（二）填空题

⒈设函数⎪⎩⎪

⎨⎧=≠=0,

00,1sin )(2

x x x

x x f ，则=')0(f 无穷小量 ． 解： 20001

()sin 0

(0)(0)1(0)lim lim lim sin 0x x x x f x f x f x x x x

∆→∆→∆→∆-+∆-∆'===∆=∆∆∆

这里用到：无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量。

⒉设x x

x

f e 5e )e (2+=，则

=x

x f d )

(ln d x x 15ln 2⋅

+ .

解： 令2e ,

()t 5,x t f t t ==+有

令2ln ,

(ln )ln x 5ln ,t x f x x ==+有

故

=x

x f d )(ln d 2(ln )(ln )(ln 5ln )(ln )1

(2ln 5)(ln )(ln )f x x x x x x d x dx d x dx x +⋅=⋅=+⋅d d d d ⒊曲线1)(+=

x x f 在)2,1(处的切线斜率是 ．

⒋曲线x x f sin )(=在)1,4

π

(处的切线方程是 ．

⒌设x

x y 2=，则='y ．

⒍设x x y ln =，则=''y ．

（三）计算题

⒈求下列函数的导数y '：

⑴x

x x y e )3(+=

解： 由导数四则运算法则

)e )(3(e )3()e )3((2

32

3'++'+='+='x

x

x

x x x x y x

x

x x e )3(e ))3()((2

32

3++'+'=

x

x x x x x x e )32

3(e )3(e 2323

212321++=++=

⑵x x x y ln cot 2

+=

解： 由导数四则运算法则

)ln ()(cot )ln (cot 2

2

'+'='+='x x x x x x y

)(ln ln )(sin 12

22

'+'+-

=x x x x x x x x x

x x x x x ++-=⋅++-=ln 2sin 11ln 2sin 1222

⑶x

x y ln 2

=

解： 由导数四则运算法则

x

x x x x x x y 2222ln )(ln ln )()ln ('-'='=' x

x x x x x x x x 222ln ln 2ln 1

ln 2-=⋅

-=

⑷3

2cos x x y x

+=

解： 由导数四则运算法则

6

333))(2(cos )2(cos )2cos (x x x x x x x y x x x '

+-'+='+=' 6

23)

2(cos 3))2()((cos x x x x x x x +-'+'=

6

23)

2(cos 3)2ln 2sin (x

x x x x x x +-+-= 4

23cos 32ln 2sin x

x x x x x

x ⋅--+-= ⑸x

x x y sin ln 2

-=

解： 由导数四则运算法则

x x x x x x x x x x y 2222sin ))(sin (ln sin )(ln )sin ln ('

--'-='-='

x

x

x x x x x 2

22sin cos )(ln sin ))()((ln --'-'= x

x

x x x x x 22sin cos )(ln sin )21

(---=

x

x x

x x x x x x x 232sin cos ln cos sin 2sin +--=

⑹x x x y ln sin 4

-=

解： 由导数四则运算法则

)ln (sin )()ln sin (4

4

'-'='-='x x x x x x y ))(ln sin ln )((sin 43'+'-=x x x x x

x

x

x x x

x x x sin ln cos 4)1sin ln (cos 43

3-

-=⋅+-= ⑺x

x x y 3

sin 2

+= 解： 由导数四则运算法则

2

222)

3()3)((sin 3)(sin )3sin (x x x x x x x x x x y '

+-'+='+=' 222)3(3

ln 3)(sin 3))()((sin x x x x x x x +-'+'=

2

2)

3(3

ln 33ln sin 33)2(cos x x x x x x x x --+= x

x x x x 33

ln 3ln sin 2cos 2--+=

⑻x x y x

ln tan e +=

解： 由导数四则运算法则

)(ln )tan e ()ln tan e ('+'='+='x x x x y x

x