第六章 参数检验与置信区间
概率论与数理统计-第6章-第6讲-两个正态总体参数的置信区间
[0.3545 , 2.5545]
本讲内容
01 两个正态总体的情形 02 两个正态总体参数的置信区间 03 *6.2.3 单侧置信区间
03 *6.2.3 单侧置信区间
P(ˆ1 ˆ2 ) 1
[θˆ1, θˆ2 ] θ 的置信区间 双侧置信区间
但在某些实际问题中，例如，对于机器设备零部件来说，平均 寿命越长越好，我们关心的是平均寿命的“下限” ；又如，在购 买家具用品时，其中甲醛含量越小越好，我们关心的是甲醛含量均 值的“上限”．这就引出了单侧置信区间的概念．
2 1
2 2
2,
求均值差
1 2 的置信度为0.95 的置信区间;
02 两个正态总体参数的置信区间
解
(1) F0.025 (16, 12) 3.16,
F0.975 (16 ,
12)
1 F0.025 (12 ,
16)
1 2.89
由公式得方差比
2 1
2 2
的置信区间为
S12 S22
F0.975 (n2
12
2 2
n1 n2
P u U u 1,
2
2
( X Y uα 2
σ12 n1
σ
2 2
n2
,X
Y
uα
2
σ12 σ22 ) n1 n2
5
02 两个正态总体参数的置信区间
(2)
2 1
2 2
2
未知，1 2 的置信区间
T
X
Y Sw
(1
1 n1
2)
1 n2
~
t (n1
n2
2)
Sw
估什么？
1 2
2 1
概率与统计学中的置信区间公式详解
概率与统计学中的置信区间公式详解在概率与统计学中，置信区间是一种常用的统计方法，用于对总体参数的估计和推断。
在进行统计分析时，我们往往只能通过对样本进行观察和测量，并根据样本数据来推断总体的特征。
而置信区间可以给出一个区间范围，来表达对总体参数的估计程度和不确定性。
本文将详解置信区间的概念与公式，并为读者提供详实的例子来解释如何计算和应用置信区间。
一、概念解析1.1 总体与样本在概率与统计学中，我们研究的对象分为总体和样本。
总体是指我们想要研究的所有个体或事件的集合，而样本是从总体中随机抽取出的一部分个体或事件组成的集合。
通过对样本的观察和测量，我们可以推断总体的特征。
1.2 参数与统计量总体的特征可以用参数来描述，参数是总体的指标或特征值。
例如，总体的平均值、方差和比例等都是参数。
而样本的特征可以用统计量来描述，统计量是样本的指标或特征值。
例如，样本的平均值、方差和比例等都是统计量。
通过样本统计量的计算，我们可以对总体参数进行估计和推断。
1.3 置信区间的含义置信区间是对总体参数的估计给出一个区间范围。
假设我们从总体中抽取了一个样本，并计算出样本的统计量，我们可以根据样本数据和统计原理构造一个区间，这个区间可以包含总体参数的真实值。
该区间被称为置信区间。
二、置信区间的计算2.1 正态分布总体的情况当总体满足正态分布的情况下，我们可以利用正态分布的性质来计算置信区间。
以总体均值为例，假设总体的标准差已知为σ，样本的样本均值为x，抽样个数为n，置信水平为1-α（通常取α=0.05），则置信区间的计算公式如下：置信区间 = x ± Zα/2 * (σ/√n)其中，Zα/2是标准正态分布的上侧α/2分位点，反映了置信水平的大小。
在常见的置信水平为95%的情况下，Zα/2大约等于1.96。
2.2 未知标准差的情况当总体的标准差未知时，我们可以利用样本标准差s来近似代替总体标准差σ，并根据样本数据构造置信区间。
数理统计中的参数估计与置信区间估计
数理统计中的参数估计与置信区间估计数理统计是概率论、数学统计和实证研究的基础，它研究的是通过观测和实验来获取数据，从而对总体的特征进行推断和估计的方法和理论。
在数理统计中，参数估计和置信区间估计是两个重要的概念和方法，用于对总体参数进行推断和估计。
一、参数估计参数估计是指通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
总体参数是指总体的某个特征或指标，如均值、方差等。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种方法。
1. 点估计点估计是指使用样本数据来估计总体参数的一个具体值，这个估计值被称为点估计量。
常用的点估计量有样本均值、样本方差等。
点估计的目标是使得估计值尽量接近真实的总体参数，即具有无偏性和有效性。
无偏性是指估计值的期望等于真实参数，有效性是指估计值的方差最小。
无偏性是一个重要的性质，它保证了估计值在大样本下趋近于真实值。
有效性则是在无偏估计的前提下，使估计值的方差最小，从而提高估计的准确性。
2. 区间估计区间估计是指通过样本数据得到总体参数的一个范围，这个范围被称为置信区间。
置信区间表示了总体参数的估计精度和可信程度。
在构造置信区间时，需要指定置信水平，常用的置信水平有95%和99%等。
置信水平为95%表示在大量重复抽样中，有95%的置信区间会包含真实的总体参数。
构造置信区间的方法有很多，如正态分布的置信区间、t分布的置信区间等。
不同的方法适用于不同的总体分布和样本信息。
在实际应用中，要根据具体的问题和数据的特点选择合适的置信区间方法。
二、数理统计中的应用参数估计和置信区间估计在数理统计中有广泛的应用，可以用于推断和估计各种领域的问题。
1. 总体均值的估计当我们要估计总体的均值时，可以使用点估计和区间估计的方法。
点估计是通过样本均值来估计总体均值，区间估计则是给出总体均值的一个范围。
2. 总体比例的估计当我们要估计总体的比例时，例如某种特征在总体中出现的比例，也可以使用点估计和区间估计的方法。
点估计是通过样本比例来估计总体比例，区间估计则是给出总体比例的一个范围。
置信区间的计算与解读
置信区间的计算与解读置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。
在实际应用中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。
通过计算置信区间，我们可以利用样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，以表明我们对估计结果的不确定性程度。
一、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。
1. 参数估计法参数估计法是基于总体参数的已知分布进行计算的。
常见的参数估计法有正态分布的置信区间和二项分布的置信区间。
正态分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从正态分布N(μ, σ^2)，样本容量为n，样本均值为x̄，样本标准差为s。
置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：x̄± Z(1-α/2) * (σ/√n)其中，Z(1-α/2)为标准正态分布的上分位数，可以在标准正态分布表中查找。
二项分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从二项分布B(n, p)，样本容量为n，样本成功次数为x，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：p̄± Z(1-α/2) * √(p̄(1-p̄)/n)其中，p̄为样本成功率，可以通过样本成功次数除以样本容量得到。
2. 非参数估计法非参数估计法是基于样本数据的分布进行计算的。
常见的非参数估计法有中位数的置信区间和百分位数的置信区间。
中位数的置信区间计算方法如下：假设样本容量为n，样本数据按升序排列，第k个观测值为中位数，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：[x(k-1)/2, x(n-k+1)/2]其中，x(k-1)/2为第k-1个观测值，x(n-k+1)/2为第n-k+1个观测值。
百分位数的置信区间计算方法类似，只需将中位数的位置换成相应的百分位数的位置。
二、置信区间的解读置信区间给出了对总体参数的估计范围，通常以置信水平来表示。
置信水平越高，估计结果的可信度越高，但估计范围也会相应增大。
应用统计学第6章参数估计(置信区间)ppt课件
P{(n1)S2 2(n1)S2 }1
22(n1)
(n1) 2
p1 p t精选版2
20
于是 所求置信区间为：
(n1)S2 (n1)S2
[2
, 2(n1)
2 1
] 2(n 的 95% 置
信解区：间由。例1，S2 =196.52，n =10，
（1）实用中应在保证足够可靠的前提 下，尽量使得区间的长度短一些 .
（2）增大样本容量n,可在保证足够可 靠的前提下,提高估计的精度.
n
n
L 2 z /2
n
ppt精选版
31
估计均值μ时的样本容量n确定
1.指定估计的精度:
dX dL2z/2
n
2.指定估计的可靠度1-α;
3.确定σ:
(1)由历史资料确定;
对给定的置信水平1,
查正态分布表得 z 2 ,
使 P{|Xn|z2}1
ppt精选版
6
从中解得：
P{X nz2
Xnz2}
1
于是所求的 置信区间为
[X nz2, X nz2]
也可简记为
X n z 2
ppt精选版
7
求置信区间的一般步骤(1-2):
给定置信水平1：
1. 寻找参数的一个良好的点估计
T (X1,X2,…Xn)
实用中应在保证足够可靠的前提下，尽
量使得区间的长度短一些 .
ppt精选版
28
置信度与置信区间长度的关系
考虑单个正态总体μ的置信区间: 当σ已知时,
Z X n
~N(0, 1)
例如，由 P(-1.96≤U≤1.96)=0.95
我们得到 均值 的置信水平为 1 的
置信区间和假设检验含义
置信区间和假设检验含义置信区间和假设检验是统计学中常用的两种方法，用于研究数据的分布和参数的估计。
本文将分别介绍置信区间和假设检验的含义。
一、置信区间置信区间（confidence interval）是指由样本所计算出的区间估计，它是一种用于估计总体参数的方法。
在统计学中，我们通常只能获得一部分数据，即样本，而不能获取整个总体数据。
这时，我们需要通过样本所得数据来推断总体数据的信息。
置信区间就是在这种情况下对总体参数进行估计的一种方法。
置信区间的定义为：在样本数据中，对于总体参数（比如均值、方差等）的估计上限和下限的区间，这种估计有一定的置信度水平（confidence level）。
置信区间通常表示为：估计值± 误差范围，其中估计值是样本所得统计量（比如样本均值），误差范围是通过样本计算得出的误差，置信度水平代表此估计具有的置信程度。
例如，我们进行一项调查，从已知的人口中随机抽取100个人，并得到他们的平均收入为7500元。
如果我们希望得到平均收入的置信区间，假设我们选择95%的置信度水平，那么置信区间为：7500 ± 1.96 × 标准误差。
其中，1.96为95%的置信度下的标准正态分布值，标准误差是样本标准差除以样本大小的平方根。
这个置信区间的意思是：在样本大小为100，样本平均收入为7500元的情况下，我们有95%的置信度相信，总体的平均收入在区间（7325元，7675元）内。
二、假设检验假设检验（hypothesis testing）是一种利用统计方法来验证研究假设的方法，同时也是一种用于检验样本数据是否代表总体数据的方法。
在假设检验中，设定了一个零假设（null hypothesis）和一个备择假设（alternative hypothesis），并在已知样本数据的基础上推断总体数据是否支持零假设。
零假设通常是基于已有的理论、经验或研究，对数据总体的某个参数提出的一种假设。
数理统计中的参数估计与置信区间估计及假设检验与拟合优度检验
数理统计中的参数估计与置信区间估计及假设检验与拟合优度检验数理统计是一门研究如何利用数据对未知参数进行估计和进行推断的学科。
本文将介绍数理统计中的参数估计与置信区间估计，以及假设检验与拟合优度检验的基本概念和相关方法。
一、参数估计与置信区间估计在数理统计中，参数是描述总体特征的量，例如总体均值、总体方差等。
参数估计就是利用样本统计量对总体参数进行估计。
常用的参数估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是选择参数值使得观测到的样本出现的概率最大化。
假设总体服从某个分布，最大似然估计通过优化似然函数来估计参数。
最大似然估计具有良好的性质，例如渐近正态性和无偏性等。
矩估计是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是利用样本矩与总体矩的对应关系来估计参数。
例如，样本均值可以用来估计总体均值，样本矩可以通过总体矩的方法进行计算得到。
矩估计具有较好的渐近正态性和无偏性。
参数估计的结果往往带有一定的不确定性，为了评估估计结果的准确性，常使用置信区间估计。
置信区间估计是指通过样本数据得到的区间，该区间包含了未知参数的真值的概率。
常见的置信区间估计方法有正态分布的置信区间估计和大样本下的置信区间估计。
二、假设检验在数理统计中，假设检验是一种推断方法，用于检验总体参数的假设是否成立。
假设检验的基本思想是通过样本数据来判断假设是否得到支持。
常用的假设检验方法有正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验和两样本均值的假设检验等。
假设检验包括建立原假设和备择假设，选择适当的检验统计量，并设定显著性水平，进行统计推断。
结果的判断依据是计算得到的检验统计量是否落在拒绝域内。
如果检验统计量落在拒绝域内，拒绝原假设，否则接受原假设。
假设检验的结果可以提供统计学上的证据，用于决策和推断。
三、拟合优度检验拟合优度检验是一种用于检验总体数据是否符合某个特定分布的方法。
在数理统计中，拟合优度检验常用于检验样本数据与给定的分布是否相符。
统计学中的参数估计和置信区间
统计学中的参数估计和置信区间统计学是研究数据收集、分析、解释和推断的科学领域。
参数估计和置信区间是统计学中重要的概念和方法，用于推断总体特征并给出一定程度上的确定性度量。
本文将介绍参数估计和置信区间的基本概念、计算方法以及在实际应用中的意义。
一、参数估计参数估计是利用样本数据推断总体参数的数值或范围。
总体参数是指代表总体特征和分布的未知数值，如总体均值、总体比例等。
通过对样本数据进行分析，可以估计总体参数的取值。
在参数估计中，最常用的是点估计和区间估计。
点估计是根据样本数据估计总体参数的一个具体值。
常见的点估计方法有最大似然估计法和矩估计法。
例如，在估计总体均值时，最大似然估计法会选择使得样本观测的概率最大化的均值作为估计值。
区间估计是对总体参数的估计给出一个范围，称为置信区间。
置信区间表示估计值落在某一区间中的概率。
一般使用置信度（confidence level）来表示区间估计的确定程度，常见的置信度有90%、95%和99%等。
二、置信区间置信区间是参数估计中常用的一种方法，用于给出总体参数估计的一个范围。
置信区间通常以（下界，上界）的形式表示，包含了真实参数值的概率。
置信区间的计算方法基于抽样分布的性质，并依赖于样本量和置信度。
置信区间的计算可以通过两种方法：基于正态分布和基于t分布。
当样本量较大时（一般大于30），可以使用基于正态分布的方法。
当样本量较小时，则需要使用基于t分布的方法。
以估计总体均值为例，给定样本数据和置信度，可以计算出样本均值、标准差以及临界值。
然后根据临界值和标准差计算置信区间。
例如，假设样本均值为X，标准差为S，置信度为95%，那么置信区间可以表示为（X-S*t, X+S*t），其中t是自由度为n-1的t分布的临界值。
三、参数估计与置信区间的应用参数估计和置信区间在实际应用中具有广泛的应用。
它们能够帮助研究人员对总体特征进行推断，并给出一定程度上的确定性度量。
在医学研究中，可以利用参数估计和置信区间来估计某种药物的疗效。
统计学中的参数估计与置信区间
统计学中的参数估计与置信区间统计学是一门研究通过搜集、整理、分析数据以得出结论的学科。
在统计学中，参数估计和置信区间是两个重要的概念。
本文将介绍参数估计的概念、方法和步骤，并解释置信区间的作用和计算方法。
一、参数估计的概念及方法参数估计是通过从样本数据中推断总体参数值的过程。
总体参数是描述整个总体分布的特征，例如平均值、方差或比例。
由于总体参数无法得知，所以需要通过样本数据进行估计。
常用的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是通过一个单一的数值来估计参数值，通常使用样本均值或样本比例作为总体均值或总体比例的估计值。
例如，通过从一个人群中随机选取样本并计算其平均年龄，就可以估计该人群的平均年龄。
区间估计是通过在一个范围内给出参数的估计值，这个范围被称为置信区间。
置信区间提供了一个参数估计值的上下界，表示了参数估计的不确定性程度。
例如，我们可以计算出一个置信区间为（57岁，63岁），意味着我们有95％的把握相信真实的年龄在这个区间范围内。
二、置信区间的计算方法置信区间的计算通常涉及到总体分布的特征、样本容量和置信水平。
置信水平指的是我们对参数估计的置信程度，通常表示为95％或99％。
对于总体均值的区间估计，常用的方法是使用t分布或正态分布。
当总体标准差未知时，样本容量较小（通常小于30）或样本分布不服从正态分布时，使用t分布。
而当总体标准差已知，且样本容量较大时，使用正态分布。
置信区间的计算步骤如下：1. 根据样本数据计算样本平均值（x）或样本比例（p）。
2. 根据总体分布特征和样本容量，选择合适的分布（t分布或正态分布）。
3. 根据置信水平选择相应的分布的临界值（例如，使用z值或t 值）。
4. 根据公式计算置信区间的上下界，公式为估计值（点估计） ±临界值 ×标准误差。
标准误差表示了样本估计值和总体参数真值之间的差异。
它是由样本容量和总体分布的特征决定的。
三、参数估计与置信区间的应用参数估计和置信区间在实际应用中具有广泛的应用。
统计学中的参数估计和置信区间
统计学中的参数估计和置信区间在统计学中，参数估计和置信区间是两个非常重要的概念。
它们是统计推断的核心，用于分析和解释数据，而且被广泛应用于不同的领域，如经济学、医学、社会科学等。
本文将详细介绍参数估计和置信区间的基本概念、公式、计算方法和应用。
一、参数估计的基本概念和公式参数估计是指从样本数据中推断总体参数的过程。
总体是指我们所研究的对象或群体，参数是指总体中某个特定的数值或结构，如总体均值、方差、比例、标准差等。
在参数估计中，我们需要选择一个合适的估计量来估计总体参数，并计算其估计值和标准误差。
常用的估计量有样本均值、样本方差、样本比例等。
以样本均值为例，如果我们从总体中随机抽取一个大小为n的样本，那么样本均值x就是总体均值μ的无偏估计量。
它的公式为：x = （Σxi）/n其中，xi为样本中第i个元素的值，Σxi是所有元素值之和，n 是样本容量。
标准误差SE(x)的公式为：SE(x) = S/√n其中，S为样本标准差，是样本值与样本均值偏差的平方和的平均值的平方根。
二、置信区间的概念和计算方法置信区间是指总体参数估计的可靠区间。
它的意义在于，我们无法得到总体参数的准确值，但可以估计它的一个区间范围。
这个区间范围是用样本数据计算得到的，并且保证在一定置信水平下总体参数落在此区间内的概率很高。
置信区间的计算方法基于中心极限定理，即如果样本容量n足够大，样本均值的抽样分布将近似于正态分布。
因此，我们可以根据正态分布的特性计算置信区间。
一般地，对于总体参数θ的置信区间，它的下限L和上限U可以表示为：L = x - zα/2* SE(x)U = x + zα/2* SE(x)其中，zα/2为正态分布的上α/2分位数，α是我们预先选定的置信水平，一般取0.95或0.99。
根据中心极限定理，当n足够大时，x的抽样分布近似于正态分布，因此置信区间可以用正态分布的分位数求出。
三、参数估计和置信区间的应用参数估计和置信区间的应用非常广泛，尤其在科学研究和工程领域中经常使用。
统计学中的参数估计与置信区间
统计学中的参数估计与置信区间统计学是关于收集、分析和解释数据的学科，其中包括了参数估计和置信区间的概念。
参数估计用于通过从样本中进行推断来估计总体参数的值，而置信区间则是对这个估计结果进行测量误差范围的一种方法。
一、参数估计参数估计是统计学中重要的概念，其目的是通过样本数据来估计总体参数的值。
总体参数是指总体分布的特征，例如均值、方差、比例等。
在实际研究中，很难直接获得总体数据，因此我们通常采用抽样方法，从总体中选取样本进行分析。
参数估计有两种方法：点估计和区间估计。
点估计是通过样本数据计算出一个单独的数值来估计总体参数的值，例如计算样本均值作为总体均值的估计值。
点估计简单直观，但无法确定其准确性。
因此，统计学家提出了置信区间的概念。
二、置信区间置信区间是一种用于衡量参数估计的不确定性的方法。
它提供了一个范围，其中包含了对总体参数值的估计。
置信区间由一个下限和一个上限组成，表示参数估计的可信程度。
通常，置信区间的置信水平设定为95%或90%。
置信区间的计算通常基于样本数据的分布特性和统计推断方法。
对于大样本，根据中心极限定理，可以使用正态分布来计算置信区间；对于小样本，根据t分布进行计算。
三、计算步骤下面以计算样本均值的置信区间为例来介绍计算步骤。
1. 收集样本数据，并计算样本均值。
2. 确定置信水平，例如95%。
3. 根据样本数据的特点，选择相应的分布进行计算。
若样本数据服从正态分布，可以使用正态分布进行计算；若样本数据不服从正态分布，可以使用t分布进行计算。
4. 根据所选分布的特点和样本大小，计算置信区间的下限和上限。
5. 解释置信区间的含义，例如可以说“置信区间为（下限，上限）表示我们有95%的信心相信总体均值在这个范围内”。
四、置信区间的应用置信区间的应用非常广泛，对于研究者和决策者来说都非常重要。
首先，置信区间可以用于总体参数估计。
通过置信区间，我们可以得到一个关于总体参数值的范围，而不只是一个点估计。
参数估计与置信区间
参数估计与置信区间在统计学中，我们常常关注其中一总体参数的估计值，比如总体均值或总体比例。
参数估计就是利用样本数据来推断总体参数的值。
而置信区间则是对参数估计结果提供置信度的一种表示方式。
首先，我们介绍一下点估计。
点估计是指利用样本统计量对总体参数进行估计。
最常见的点估计是样本均值和样本比例。
比如，我们从一个总体中取出一个容量为n的样本，计算出该样本的均值x̅，那么我们可以认为x̅是总体均值的一个估计值。
同样，如果我们从一个总体中取出一个容量为n的样本，计算出该样本成功事件的个数k和样本总数n，那么k/n可以看作是总体比例的一个估计值。
然而，点估计并不能告诉我们准确的参数值，因为样本数据有一定的随机性。
因此，我们需要对估计值进行一个可信度的评估，这就引出了置信区间的概念。
置信区间是对参数估计结果给出一个区间范围，表示含有真实参数值的可能性。
通常，置信区间的形式为：估计值±临界值×标准误差。
其中，临界值是由样本大小和置信水平所确定的，标准误差是用来衡量估计值的不确定性。
置信水平一般取常见的95%和99%。
对于均值的置信区间，常用的临界值是t分布的分位数，对于比例的置信区间，临界值是正态分布的分位数。
例如，假设我们从一共有N个人的总体中随机抽取了n个人，计算出他们的平均身高为x̅，标准差为s。
我们可以利用t分布找到相应的临界值，然后带入公式估计总体均值的置信区间为：x̅±t(α/2,n-1)*(s/√n)其中，α为置信水平。
同理，对于总体比例的置信区间，可以利用正态分布找到相应的临界值，然后带入公式估计总体比例的置信区间为：p̅±z(α/2)*√(p̅(1-p̅)/n)其中，p̅为样本的成功事件比例。
值得注意的是，当样本量较大时，我们可以使用正态分布来近似t分布，这样计算起来会比较方便。
在实际应用中，参数估计与置信区间可以帮助我们对总体参数进行准确的估计，并给出该估计值的可信程度。
参数估计与置信区间的计算与解释
参数估计与置信区间的计算与解释在统计学中，参数估计与置信区间是常用的统计方法，用于根据样本数据来推断总体的特征。
本文将介绍参数估计与置信区间的概念、计算方法以及如何解释结果。
一、参数估计参数估计是通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
总体参数是指描述总体特征的数值，比如总体均值或总体方差。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
1. 点估计点估计是通过样本数据得到一个单一的数值，作为总体参数的估计值。
常见的点估计方法包括样本均值估计总体均值，样本方差估计总体方差等。
点估计的计算方法较为简单，但存在着估计误差的问题，因此通常伴随着置信区间的计算与解释。
2. 区间估计区间估计是通过样本数据得到一个范围，作为总体参数的可能取值范围。
置信区间是区间估计的一种常见方法。
置信区间的意义在于，我们可以通过样本数据得到一个区间，以一定程度的置信度认为总体参数落在该区间内。
置信度通常以百分比表示，如95%置信度。
二、置信区间的计算置信区间通过统计方法来计算。
针对不同的总体参数和已知分布情况，置信区间的计算方法也有所不同。
下面以总体均值的置信区间为例进行说明。
1. 总体均值的置信区间假设我们有一个样本数据集，包含n个观测值。
总体均值的置信区间可以通过以下步骤计算：（1）选择置信水平。
常见的置信水平有90%、95%和99%等。
（2）选择合适的分布。
如果样本容量较大（n>30），可以使用正态分布进行计算。
如果样本容量较小，则需要考虑使用t分布进行计算。
（3）计算标准误差。
标准误差是一个测量估计值与总体参数之间差异的指标。
（4）计算置信区间的下限和上限。
根据置信水平和分布，可以使用样本均值、标准误差和分布的分位数来计算置信区间。
2. 其他总体参数的置信区间除了总体均值，其他总体参数的置信区间的计算方法也有所不同。
例如，总体方差的置信区间需要使用卡方分布，总体比例的置信区间可以使用正态分布或二项分布等。
根据具体情况，选择适当的分布进行计算即可。
置信度与置信区间
§2.2.2 置信度与置信区间如何确定测定数据的可靠程度？数据的可信程度与偶然误差的存在及出现的概率有着直接关系。
对于不含系统误差的无数个测定数据，其误差分布可用正态分布曲线(高斯曲线)来表征。
以（x- μ）为横坐标，误差出现的频率y为纵坐标，误差正态分布曲线如图所示。
曲线的形状受总体标准偏差σ控制，越小，曲线又高又窄，表明数据精密度好。
σ的数值等于曲线上的拐点到对称轴的距离，曲线的峰高等于1/[σ(2π)1/2]。
正态分布曲线与横轴所包围的面积代表了大小误差出现的概率（可由高斯方程积分获得）。
曲线下面积几率-∞～+∞100%μ±σ68.3%μ± 2σ99.5%μ± 3σ99.7%由数据可见，偶然误差出现在μ±3σ范围内的几率高达 99.7%。
置信度是指人们所做判断的可靠性，所测数据的可信程度，在数值上与几率相等。
置信度：以测量值为中心，在一定范围内，真值出现在该范围内的几率。
置信区间：在某一置信度下，以测量值为中心，真值出现的范围。
t=（X- μ）/s平均值的置信区间可表示为：s有限次测定的标准偏差；t值表测定次数n置信度50% 90% 95% 99% 99.5%2 1.000 6.314 12.706 63.6573 0.816 2.920 4.303 9.925 14.0894 0.765 3.182 5.8415 0.741 2.132 2.776 4.604 5.5986 0.727 2.015 2.571 4.032 4.773讨论：1. 置信度不变时:n增加，t变小，置信区间变小。
2. n不变时：置信度增加，t变大，置信区间变大。
本页要点：置信度与置信区间的概念。
置信度、置信区间及测定次数之间的变化关系。
置信区间的计算。
本页思考题：置信度高，测定结果的准确性也一定高吗？下页思考题：您知道 pH = 2.14 的有效数字的位数吗？网络教室→第二章→第二节→<<< < ·· Analab组课堂测试··>>>>。
第六章---参数估计ppt课件
1、条件分析：总体分布为正态，且总体方差已 知，用正态法进行估计。 2、计算标准误 3、确定置信水平为0.95，查表得
51
4、计算置信区间 D=0.95时 D=0.99时
52
解释：总体均数μ落在75.61-84.39之间的可 能性为95%，超出这一范围的可能只有5%。而 作出总体μ落在74.22-85.78之间结论时的正 确概率为99%，犯错误的可能性为1%。
38
( 二)、 分布法， 未知 1、前提条件： 总体正态分布， n不论大小，
2、使用 t分布统计量
D=0.95时 D=0.99时
39
例：总体正态， 未知，
，
，
，
，
平均数0.95的置信区间是多少？
，
，试问总体
40
解： 1、条件分析：总体正态， 未知，
小
于30，只能用 分布
2、计算标准误
3、计算自由度
9
一、点估计
(一)意义 含义：直接用样本统计量的值作为总体参数的估 计值 无偏估计量：恰好等于相应总体参数的统计量。
例8-1；假设某市六岁男童平均身高110.7cm,随机 抽取113人测得平均身高110.70cm.总体的平均数, 标准差是多少
10
(二)良好点估计的条件
无偏性： 一致性： 有效性： 无偏估计量的变异性问题。
47
1 、条件分析：总体分布为非正态， 未知， ＞30，只能用近似正态估计法。
2、计算标准误
3、确定置信水平为0.95，查表得
48
4、计算置信区间
5、结果解释：该校的平均成绩有95%的可能落 在50.2~54.0之间。
49
课堂练习
已知某总体为正态分布，其总体标准差为10。 现从这个总体中随机抽取n1=20的样本，其平 均数分别80。试问总体参数μ在0.95和0.99的 置信区间是多少。
第6章 离散型随机变量的参数估计与检验
ห้องสมุดไป่ตู้
检验总体率p与常量 检验总体率 与常量p0的差异是否有统计意义 与常量
前提 二项 分布 n≥50
信息
p ≠ p0 p > p0 p < p0
H1 p≠p0 p > p0 p < p0
H0 p=p0 =
u=
统计量
P值 值
拒H0
p p0 查双尾
P≤α p0 q0 n 查单尾 p与p 与 0 查单尾 不等
由定理知,样本率是总体率的无偏估计量. 由定理知,样本率是总体率的无偏估计量. 3,小样本时总体参数的估计 可查统计用表,得到 的置信区间 可查统计用表 得到p的置信区间 得到 的置信区间(p1,p2) 用某种中医疗法治疗青少年近视15例 其中 例1 用某种中医疗法治疗青少年近视 例,其中 10人近期有效 求该法近期有效率 人近期有效,求该法近期有效率 人近期有效 求该法近期有效率95%置信区间 置信区间 解:15例中的近期有效人数服从二项分布 例中的近期有效人数服从二项分布 m=10,n-m=5,1-α=0.95,查表得 1=0.384,p2=0.882 查表得p 查表得 近期有效总体率p的 置信区间(0.384,0.882) 近期有效总体率 的95%置信区间 置信区间
( p1 p2 ) ( p1 p2 ) p1q1 p2 q2 + n1 n2
～N(0,1)
H0:p1=p2的假定下 用联合样本率作总体率估计值 的假定下,
m1 + m 2 p= n1 + n2
u=
p1 p2 1 1 pq + n1 n2
～N(0,1)
前提 二项 分布 n1≥50 n2≥50
83 = 0.4415, q = 0.5585 188
假设检验-参数检验非参数检验-置信区间
假设检验-参数检验⾮参数检验-置信区间1. 假设检验⼩概率事件和反证法的应⽤。
H0：原假设H1：备选假设解释：假设在H0前提下，我们得到⽬前⼿头上的样本，定义为⼀个概率事件，概率为α(0.05, 0.01, 0.001)，是⼩概率事件。
通过公式计算P值，P<α, 则确认我们得到⽬前⼿头上的样本是⼀个⼩概率事件，⽽⼩概率事件在⼀次试验中是不可能发⽣的，但事实发⽣了，则原假设错误，接受备选假设。
正经解释：H0：只存在抽样误差，不存在系统误差H1：存在抽样误差和系统误差在只存在抽样误差的前提下，我们得到⽬前样本的概率为P，如果P<α，则证明不只是存在抽样误差，还存在系统误差。
在参数检验中，像t分数，F统计量，卡⽅统计量等，它的分布是什么形式的，统计学家已经算出来。
之所以有分布，是因为变异的存在，分布就是描述变异的规律。
Z分布是均值，率分布规律T分布是均值差的分布规律F分布是⽅差⽐的分布规律x2是⽅差、实际频数和理论频数的分布规律接着来：1. 参数检验思想以 t 分布为例，t 分布是说从均值为u, ⽅差为 sigma⽅的正态分布总体中，随机抽取样本量为n的样本，⽤均值差 / 标准误，抽⼀次得到⼀个 t 分数，抽⼀万次得到⼀万个 t 分数(这只是描述，实际密度函数是⼈家推导出来的)，从⽽得到 t 分布规律。
这就是说，在只有抽样误差的时候(因为这就是进⾏的反复抽样，像正态分布是对样本不停抽样，计算均值⼀样)，95% 的 t 分数是( x1, x2)之间。
提前设定⼀个拒绝⽔平(也就是概率值)，也就是犯错概率，就是阿尔法，当 t 分数落到拒绝域对应的区间，我们认为只有抽样误差的时候，我们认为 t 是不可能落在这个范围。
alpha这么⼩，如果我们还犯错，我们认了。
95%解释：1. 在只有抽样误差的时候，抽样⼀百次，95个 t 分数是( x1, x2)之间。
如果样本 t 分数不属于这95个之⼀，我们拒绝原假设。
参数估计与置信区间
参数估计与置信区间统计学中的参数估计与置信区间是一种重要的数据分析方法，用于对总体参数进行推断和估计。
通过对样本数据的分析，可以对总体参数的取值进行估计，并计算出参数的置信区间。
参数估计和置信区间不仅可以提供对总体特征的推断，还可以对研究结果进行解释和评估。
一、参数估计参数估计是一种通过样本数据推断总体特征的方法。
对于一个总体参数，如总体均值、总体比例等，我们希望通过样本数据对其进行估计。
参数估计的常用方法有点估计和区间估计。
1. 点估计点估计是通过样本数据得出总体参数的一个具体数值估计。
例如，样本均值是对总体均值的点估计，样本比例是对总体比例的点估计。
点估计可以用来估计总体参数的位置和形状。
2. 区间估计区间估计是对总体参数进行一个区间范围的估计。
常见的区间估计方法有置信区间和可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，给出总体参数的一个范围估计；可信区间是在一定可信度下，给出参数的一个范围估计。
二、置信区间置信区间是参数估计中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。
在给定的置信水平下，置信区间提供了总体参数的一个估计范围。
1. 置信水平置信水平是指在参数估计中设定的一个概率水平，通常用1-α来表示。
常用的置信水平有95%、99%等。
举例来说，如果我们选择95%的置信水平，那么置信区间将具有95%的概率包含真实的总体参数。
2. 置信区间的计算置信区间的计算通常基于抽样分布和统计理论。
以总体均值的置信区间为例，假设我们有一个样本数据，其样本均值为x，样本标准差为s，样本容量为n。
在假定总体分布形态已知的情况下，可以使用正态分布或t分布来计算置信区间。
对于总体均值的置信区间，可以使用以下公式进行计算：x-t(α/2, n-1)·(s/√n)，x+t(α/2, n-1)·(s/√n)其中，x是样本均值，s是样本标准差，n是样本容量，t(α/2, n-1)是t分布的临界值，α/2是α的一半。
第六章参数检验与置信区间
第六章 参数检验与置信区间第一节 单个正态总体的均值检验与置信区间 一、基本问题设总体X 服从正态分布N(2,σμ),样本为x 1，x 2，…，x n ,欲检验如下假设0100::μμμμ≠↔=H H并求平均值μ的置信度为（1－α）100％的置信区间。
二、基本原理1.假设检验（1）检验所用的统计量在H 0成立的条件下，∑∑==--==--=ni i n ni i nx x n s x n x n t n s x T 1210)(11,1)1(~其中μ由于正态总体平均数的估计量是样本平均数，所以0μ-x 的偏差程度，反映了μ与μ之间的差异程度。
显然值偏大，偏大，T x 0μ-这说明μ与μ0有显著性差异，即H 0不成立。
至于大到什么程度才是“偏大”，一般这要用“临界值”来判定。
SPSS 是用“临界概率”（显著性概率）来判定。
（2）判定方法根据t 分布计算出的显著性概率Sig.=P(值T T>)如果Sig.< α,其中是给定的显著性水平，则拒绝H 0,即认为μ与μ0有显著差异；如果Sig .> α,则接受H 0,即认为μ与μ0没有显著差异。
2．置信区间所谓一个未知参数θ的置信区间是指：满足P[θ1(x 1，x 2，…，x n )≤θ≤θ2(x 1，x 2，…，x n )]＝1－α 则称[θ1(x 1，x 2，…，x n ), θ2(x 1，x 2，…，x n )]是未知参数θ的置信度为1－α的置信区间，其中θ1(x 1，x 2，…，x n )，θ(x 1，x 2，…，x n )是统计量，0<α<1为小概率。
对正态总体参数μ的（1－α）100%的置信区间是[n sn t x n s n t x n n )1(,)1(22-+--αα]三、基本计算1.数据文件只有一个变量 2.选择统计方法Analyze →Compare mean →One-Sample T Test 变量进Test 栏；Test 下的小栏内填写100。
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2.置信区间 μ1－μ2的置信度为（1－α）100％的 置信区间为
[ x y t ( m n 2) d , x y t ( m n 2) d ]
2 2 2 2 ( m 1) s1m ( n 1) s2 n mn ( m n 2) mn
其中d
注：1.进一步考察哪一个总体为好。 以平均数为标准。 方法是比较两总体样本的平均数。 SPSS的处理：先拆分文件，再计算两总体样 本平均数，具体是： 先Data→ Split File→在主对话框选 ○compare group。 再DescriptiveStatistics→Descriptives…
其中 为来自X总体的样本平均数 与样本方差， Y , S 22n 为来自Y总体的样本平 均与样本方差。
X , S12m
（2）具体判断 根据t分布计算出的显著性概率 Sig.=P( T T值 ) 如果Sig.< ,其中 是给定的显著性 水平，则拒绝H0,即认为 1与 2有显著 差异； 如果Sig.> ,则接受H0,即认为 1与 2没有显著差异。
H 0 : 1 2 H1 : 1 2
并求μ1－μ2的置信度为（1－α）100％的置 信区间。
二、基本原理 1.假设检验 （1）检验所有的统计量 当H0成立时，
T X Y ( m 1) S12m ( n 1) S 22n mn ( m n 2) ~ t ( m n 2) mn
0
• （2）判定方法 • 根据t分布计算出的显著性概率 • Sig.=P( T T值 ) • 如果Sig.< ,其中是给定的显著性水平， 则拒绝H0,即认为 与 0有显著差异； • 如果Sig.> ,则接受H0,即认为 与 0 没有显著差异。
2．置信区间 所谓一个未知参数θ的置信区间是指：满足 P[θ1(x1，x2，…，xn)≤θ≤θ2(x1，x2，…， xn)]＝1－α 则称[θ1(x1，x2，…，xn), θ2(x1，x2，…， xn)]是未知参数θ的置信度为1－α的置信区间， 其中θ1(x1，x2，…，xn)，θ(x1，x2，…，xn) 是统计量，0<α<1为小概率。 对正态总体参数μ的（1－α）100%的置信区间是 s s [ x t (n 1) n , x t (n 1) n ]
3.结果说明 结合例6.1.1的结果来说明。 第二节 两个正态总体的均值检验与置信区间 一、基本问题
设样本X 1 , X 2 , X m 来自正态总体X ~ N ( 1 , 12 ), 样本Y1 , Y2 , , Yn 来自正态总体
2 2 2 Y ~ N ( 2 , 2 ), 其中 12， 2 未知，当 12＝ 2 时，欲检验如下假设
2
n
2
n
三、基本计算 1.数据文件 只有一个变量 2.选择统计方法 Analyze→Compare mean→OneSample T Test 变量进Test栏； Test下的小栏内填写100。 注：事实上是检验
H 0 : 0 0 H1 : 0 0, 置信区间也是对－0作出的。
第六章 参数检验与置信区间
第一节 单个正态总体的均值检验与置信区间 一、基本问题 , 2 ),样本x1,x2，…， 设总体X服从正态分布N( xn,欲检验如下假设 H 0 : 0 H1 : 0 并求平均值的置信度为（1－）100％的置信 区间。
二、基本原理 1.假设检验 （1）检验所用的统计量 在H0成立的条件下，
3.方差齐性检验 由于在检验时需要条件：两总体都服 从正态分布以及它们的方差相等，而正态 分布由中心极限定理比较容易满足，而它 们的方差是否相等，需要进行检验。 方法是：
2 2 欲检验H 0 : 12 2 H 1 : 12 2
在H 0成立的条件下，
2 S1*m F 2 ~ F ( m 1, n 1) S2n
• 2.结果的保存与导出的方法 • 保存用Save; • 导出用copy（对文本）或copy object（对图 表）。 • 补充：成对相依样本t检验 • 要比较同一组受试者在两次测验成绩的差异时使 用（测验成绩服从正态分布）。这时数据成对出 现（X,Y）。因此成对相依样本数据文件中的变量 是X与Y两个，选择统计方法是 • Analyze→Compare means→PairedSamples T Test
T x 0 sn n ~ t (n 1) 1 n ( xi x ) 2 n 1 i 1
1 n 其中x xi , sn n i 1
由于正态总体平均数的估计量是样本平均数， x 的偏差程度，反映了 与 0之间的差 0 所以 x 偏大， 值偏大， T 这说明 异程度。显然 与 0有显著性差异，即H0不成立。至于大到什么 程度才是“偏大”，一般这要用“临界值”来判 定。 SPSS是用“临界概率”（显著性概率）来判定。 （2）判定方法 根据t分布计算出的显著性概率 T T值 Sig.=P( ) 如果Sig.< ,其中是给定的显著性水平，则拒绝 H0,即认为 与 0有显著差异； 如果Sig.> ,则接受H0,即认为 与 0没有显 著差异。
当Sig. P( F F值 ) 时，H 0不成立；反之，H 0成立。
三、基本计算 1.数据文件 要有二个变量，一个是分组变量，另一个 是分析变量。 2.选择统计方法 Analyze→Comparemeans→Independent Samples T Test 两个变量分别进入对应的栏； 3.结果说明 结合例6.2.1的结果来说明。