2019-2020年高中数学选修2-1空间向量及其应用

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2019人教版高中数学【选修 2-1】第五章空间向量及其应用

2019人教版精品教学资料·高中选修数学重点列表：重点名称重要指数重点1 空间向量坐标的基本运算 ★★★ 重点2 空间两直线的平行与垂直 ★★★★ 重点3 直线和平面的平行与垂直 ★★★★ 重点4 平面和平面的平行与垂直★★★★1.直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.2.用向量证明空间中的平行关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2.③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2. 1. 用向量证明空间中的垂直关系①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 2.共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．重点1：空间向量坐标的基本运算【要点解读】1．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)；②λa＝(λa1，λa2，λa3)；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．【考向1】平行垂直关系的应用【例题】已知a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．(1)若(k a＋b)∥(a－3b)，求实数k的值；(2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，求实数k的值．【评析】利用向量平行的性质：a∥b(b≠0) ⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2可求解第(1)问的k值；利用向量垂直的性质：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0建立方程可求第(2)问的k值．【考向2】向量所成角的应用【例题】已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)若|c|＝3且c∥BC→，求c；(2)求a和b的夹角的余弦值；(3)若k a＋b与k a－2b互相垂直，求k的值．(3)由(2)知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－1.∴(k a＋b)·(k a－2b)＝k2a2－k a·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－52 .重点2：空间两直线的平行与垂直【要点解读】证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础．【考向1】平行垂直的判定【例题】设a，b是不相交的两条直线l1，l2的方向向量，试判断下列各条件下两条直线l1，l2的位置关系：(1)a ＝()2，－1，3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，－32；(2)a ＝()5，0，－2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，52；(3)a ＝()－2，1，4，b ＝()3，2，－1.【评析】先考察两个方向向量是否平行或者垂直，将空间几何问题代数化，用直线的方向向量之间的计算代替传统的空间几何推理，这是空间向量的最基本的作用，使用得当非常简便．【考向2】建立坐标系判定直线位置关系【例题】如图所示，正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且BE ＝CF ＝a (0<a <1)，则D ′E 与B ′F 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交D ．与a 值有关解：建立如图所示空间直角坐标系，则D ′(0，0，1)，E (1－a ，1，0)，B ′(1，1，1)，F (0，1－a ，0)，∴D ′E →＝(1－a ，1，－1)，B ′F →＝(－1，－a ，－1)．∴D ′E →·B ′F →＝(1－a )×(－1)＋1×(－a )＋(－1)×(－1)＝a －1－a ＋1＝0.∴D ′E →⊥B ′F →，即D ′E ⊥B ′F .故选B.重点3：直线和平面的平行与垂直【要点解读】证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题．【考向1】判断平行垂直的关系【例题】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．(1)证明AC ⊥BC 1； (2)证明AC 1∥平面CDB 1.解：∵直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长分别为AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴△ABC 为直角三角形，AC ⊥BC .∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，C 1(0，0，4)，A 1(3，0，4)，B 1(0，4，4)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0.(1)证明：∵AC →＝(－3，0，0)，BC 1→＝(0，－4，4)，∴AC →·BC 1→＝0，AC ⊥BC 1.(2)证法一：设CB 1与C 1B 的交点为E ，连接DE ，则E (0，2，2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，2，AC 1→＝(－3，0，4)，∴DE →＝12AC 1→，DE ∥AC 1. ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1， ∴AC 1∥平面CDB 1.证法二：易知AC 1→＝(－3，0，4)，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，CB 1→＝(0，4，4)．设平面CDB 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CD →＝32x ＋2y ＝0，n ·CB1→＝4y ＋4z ＝0.取y ＝3得x ＝－4，z ＝－3，∴n ＝(－4，3，－3)． ∵AC 1→·n ＝－3×(－4)＋0×3＋4×(－3)＝0.∴AC 1→⊥n . 又AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.【评析】用向量证明直线与平面平行，可以通过证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，也可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，当然，直线要在平面外．用向量证明直线和平面垂直，可以通过证明直线的方向向量和平面内的两条相交直线的方向向量分别垂直，也可以通过证明该直线的方向向量和平面的法向量平行．【考向2】寻找合适的直角坐标系【例题】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB . 证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ⊥BC .又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC . 又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC . ∴EF ⊥FH ，AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点， ∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABCD .设AC与BD交于点G，以H为坐标原点，HB，GH，HF所在射线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设BH＝1，则A(1，－2，0)，B(1，0，0)，C(－1，0，0)，D(－1，－2，0)，E(0，－1，1)，F(0，0，1)，G(0，－1，0)．(1)∵HF→＝(0，0，1)，GE→＝(0，0，1)，∴HF→∥GE→.又GE⊂平面EDB，HF⊄面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)∵AC→＝(－2，2，0)，GE→＝(0，0，1)，∴AC→·GE→＝0.∴AC⊥GE.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.重点4：平面和平面的平行与垂直【要点解读】用向量证明两个平面平行与垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量的平行与垂直．【考向1】求二面角【例题】如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12 PD.(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；(2)求二面角QBPC的余弦值．解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC为x，y，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.(2)依题意有B (1，0，1)，CB →＝(1，0，0)， BP →＝(－1，2，－1)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBC 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎨⎧x 1＝0，－x 1＋2y 1－z 1＝0.因此可取n ＝(0，－1，－2)．设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面PBQ 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BP →＝0，m ·PQ →＝0，即⎩⎨⎧－x 2＋2y 2－z 2＝0，x 2－y 2＝0.可取m ＝(1，1，1)．所以cos 〈m ，n 〉＝－155.由图可知，二面角Q BP C 为钝角，故二面角Q BP C 的余弦值为－155. 【评析】由于是常见图形，并且有典型的“墙角”结构，所以利用空间直角坐标系求解．建系之后又因为垂直关系明显，所以每个点的坐标都很容易标出，从而给证明与计算带来方便．须注意的是，此二面角是钝二面角，受部分资料为避免“观察”，直接令学生求锐二面角的值这一定势思维的影响，不少学生会写错结果，此题便是一个警示．【考向2】判定平面与平面的位置关系【例题】如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)求证：平面A 1B 1D ⊥平面ABD ； (2)求证：平面EGF ∥平面ABD .(1)∵BA →＝(a ，0，0)，BD →＝(0，2，2)， B 1D →＝(0，2，－2)，∴B 1D →·BA →＝0，B 1D →·BD →＝0.∴B 1D →⊥BA →，B 1D →⊥BD →，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD . 又BA ∩BD ＝B ，∴B 1D ⊥面ABD .∵B 1D ⊂面A 1B 1D ，∴平面A 1B 1D ⊥平面ABD .难点列表：①定义：设a ，b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,]2π．③向量求法：设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为φ，则有cos |cos |||||||a ba b θϕ⋅==⋅.直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.求二面角的大小(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．(2)如图2、3，12,n n 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)．模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则||(AB d AB a ==点面距的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.难点1：空间角度【要点解读】1.求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定．2. 利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角． 1.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【考向1】求角度【例题】数列{a n}的前n项和S n＝An2＋Bn(A，B是常数)是数列{a n}是等差数列的什么条件？【评析】在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：①张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；②证明充分性或必要性时，没有把“p”(或“q”)分别作为条件，推出“q”(或“p”)．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B 的中心，AA1＝22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝ 5.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点，依题意得A(22，0，0)，B(0，0，0)，C(2，－2，5)，A(22，22，0)，B1(0，22，0)，C1(2，2，15)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0，0)，于是cos 〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→||AC →||A 1B1→＝43×22＝23.所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23.(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322，52.设M (a ，b ，0)，则MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－a ，322－b ，52，由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧MN →·A 1B 1→＝0，MN →·A 1C 1→＝0，即()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0525222322202222b a a 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝24.因此BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，24，0.所以线段BM 的长||BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝104.【评析】(1)在空间直角坐标系中，因为两条异面直线的夹角与它们的方向向量的夹角是相等或互补的，所以可以通过求出两方向向量的夹角α(α∈(0，π))来求两异面直线的夹角θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈ ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2；但要注意θ与α的区别与联系，这里cos θ＝||cos α.(2)因为二面角的大小与它们的法向量的夹角是相等或者互补的关系，所以可通过它们的法向量的夹角来求二面角的大小．(3)直线与平面垂直，即直线的方向向量与平面内两相交直线垂直，可以确定点M 的位置，再利用空间向量的模求出线段MN 的长．【考向2】动点问题【例题】如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F BE D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论．解：(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面BDE .则A (3，0，0)，F (3，0，6)，E (0，0，36)，B (3，3，0)，C (0，3，0)，所以BF →＝(0，－3，6)，EF →＝(3，0，－26)．设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BF →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4，2，6)．因为AC ⊥平面BDE ，所以CA →为平面BDE 的法向量，CA →＝(3，－3，0)，所以cos 〈n ，CA →〉＝n ·CA→||n ||CA →＝626×32＝1313. 因为二面角为锐角，所以二面角F BE D 的余弦值为1313. (3)可设M (t ，t ，0)，则AM →＝(t －3，t ，0)．因为AM ∥平面BEF ，所以AM →·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.此时，点M 坐标为(2，2，0)，BM ＝13BD ，符合题意．难点2：空间距离【要点解读】点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上，作BH ⊥平面CMN 于H .由BH →＝BM →＋MH →及BH →·n ＝n ·BM →，得|BH →·n |＝|n ·BM →|＝|BH →|·|n |，所以|BH →|＝|n ·BM →||n |，即d ＝|n ·BM →||n |.【考向1】点到面的距离【例题】如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为4，动点P 在棱A 1B 1上．(1)当A 1P ＝12A 1B 1时，求CP 与平面D 1DCC 1所成角的正弦值；(2)当A 1P ＝34A 1B 1时，求点C 到平面D 1DP 的距离．解：如图，以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系D xyz .由题设知正方体棱长为4，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，B 1(4，4，4)，A 1(4，0，4)，D 1(0，0，4)，C (0，4，0)．(2)∵DC →＝(0，4，0)，设平面D 1DP 的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵P (4，3，4)，DD 1→＝(0，0，4)，DP →＝(4，3，4)．则⎩⎨⎧n ·DD 1→＝0，n ·DP →＝0，即⎩⎨⎧z ＝0，4x ＋3y ＋4z ＝0.令x ＝－3，则y ＝4.∴n 的一个取值为(－3，4，0)．∴点C 到平面D 1DP 的距离为d ＝|n ·DC →||n |＝165.【评析】(1)CP →与平面D 1DCC 1所成角的正弦值等于CP →与平面的法向量DA →所成角的余弦值，这两个角互为余角；(2)求C 到平面D 1DP 的距离转化为求DC →(平面D 1DP 的一条斜线段)在平面的法线上的射影的长．【考向2】二面角问题【例题】如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2 3.(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．解：取CD中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.以O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．易知OB＝OM＝3，则各点坐标分别为O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，3)，B(0，－3，0)，A(0，－3，23)．(2)设平面ACM 的一个法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)． ∵CM →＝(－1，0，3)，CA →＝(－1，－3，23)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·CM →＝0，n ·CA →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋3z 1＝0，－x 1－3y 1＋23z 1＝0.取z 1＝1，则n ＝(3，1，1)．又AB ⊥平面BCD ，∴AB →是平面BCD 的一个法向量． ∴cos〈n ，AB →〉＝n ·AB→||n ||AB →＝－235×23＝－55.∴sin〈n ，AB →〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＝255. ∴平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值为255.1．若{}123,,e e e 是空间的一个基底，123=++a e e e ，123=+-b e e e ，1=-c e 23+e e ，12323=++d e e e ，x y z =++d a b c ，则x ，y ，z 的值分别为（）A ．52，1-，12- B ．52，1，12 C ．52-，1，12- D ．52，1，12- 2．下列各组向量中不平行的是（）A ．(1,2,2)(2,4,4)a b =-=--，B ．(1,0,0)(3,0,0)c d ==-，C ．(2,3,0)(0,0,0)e f ==，D ．(2,3,5)(16,24,40)g h =-=， 3．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且1PA AD ==，求MN 、DC 的坐标．4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，面11ABB A 为矩形，11,AB BC AA D ===为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点1,O BC AB ⊥.（Ⅰ）证明：1CD AB ⊥；（Ⅱ）若OC =，求BC 与平面ACD 所成角的正弦值. 5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，CD =．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若3PM MC =，求二面角M BQ C --的大小．6．如图，在三棱锥P ABC -中，02,3,90PA PB AB BC ABC ====∠=，平面PAB ⊥平面,ABC D 、E 分别为AB 、AC 中点．（1）求证：//DE 平面PBC ；（2）求证：AB PE ⊥；（3）求二面角A PB E --的大小．7．如图1，在45A ∠=︒的平行四边形ABCD 中，DO 垂直平分AB ，且2AB =，现将ADO △沿DO 折起（如图2），使AC（Ⅰ）求证：直线AO ⊥平面OBCD ；（Ⅱ）求平面AOD 与平面ABC 所成的角（锐角）的余弦值．8．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD ＝DC.E 是PC 的中点，作EF⊥PB 交PB 于点F.（1)证明PA∥平面EDB ；（2)证明PB⊥平面EFD ；（3)求二面角C －PB －D 的大小.9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14AC AA ==，090ABC ∠=．（1）求三棱柱111ABC A B C -的表面积S ；（2）求异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值．10．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ，E 为BD 的中点．（1）求证：BM⊥平面ADM；（2）求直线AE与平面ADM所成角的正弦值．。

2019-2020年苏教版高中数学(选修2-1)3.2《空间向量的应用》word教案2篇

2019-2020年苏教版高中数学（选修2-1）3.2《空间向量的应用》word 教案2篇对于空间两个非零向量a ，b 来说，如果它们的夹角，那么我们定义它们的数量积为．特别地，当两向量垂直时，．利用该结论，可以很好地解决立体几何中线线垂直或线面垂直的问题．1．证明直线与直线垂直，可以转化为证明这两条直线上的非零向量的数量积为零．反之亦成立．例1 如图1，已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，且AD ⊥BC ，求证：AC ⊥BD ．证明：设以空间一点O 为起点，A 、B 、C 、D 为终点的向量分别记为a 、b 、c 、d ，由已知，AB ⊥CD ，且AD ⊥BC ，所以()()0()()0--=+=+⎧⎧⇒⎨⎨--=+=+⎩⎩，，．b a d c a c b d a d b c d a c b a c b d a b c d ． ∴，即．因此，AC ⊥BD评述：本题的结论是说，三棱锥中若两对对棱互相垂直，则第三对对棱也互相垂直．它的传统证法是过A 点作平面BCD 的垂线，通过三垂线定理及其逆定理来证明．以上用空间向量数量积作为工具，将几何问题代数化、程序化地解决2．证明直线与平面垂直，可以转化为证明这条直线上的非零向量与平面内两相交直线上的非零向量的数量积都为零．例2 直线l 与平面相交于点O ，求证：若直线l 与平面内的过O 点的三条射线所成的角相等，则直线l ⊥平面证明：如图2，在直线l 上任取一点P （Ｐ点不与Ｏ点重合），在平面内过O 点的三条射线上分别取点A 、B 、C ，使OA =OB =OC ≠０，设∠POA =∠POB =∠POC =，则易得，所以，所以，由于BA 、BC 是平面内的两条相交直线，因此，直线l ⊥平面．3．证明两个平面垂直，可以转化为证明这两个平面的法向量的数量积为零．例3 如图3，在正方体中，E 、F 分别是、CD 的中点，求证：平面AED ⊥平面．证明：设，且则．设是平面AED 的一个法向量，则，即．1111111()022AE x y z x z ⎛⎫=+++=+= ⎪⎝⎭m a b c a c ，即．因此，可以取．于是，．同理，设是平面的一个法向量，则，即．，所以，不防取，从而，所以平面AED ⊥平面．应用求线段长度由空间向量的数量积公式容易得到公式：，应用这个公式可以解决空间问题中两点之间的距离，即空间的距离问题可以转化为求向量的数量积加以解决．事实上公式在计算空间线段长度方面的应用非常广泛，下面举例加以说明．例1 如图1，三棱锥中，PA =PB ，CB ⊥面PAB ，M 、N 分别在PC 、AB 上，且PM =MC ，AN =3NB ，（1）求证：MN ⊥AB ；（2）当∠APB =90°，BC =2，AB =4时，求MN 的长．简解：（1）设，则，且，，，，，113()444PN PB BN =+=+-=+b a b a b ， ∴，∴∴AB ⊥MN ；（2）∵∠APB =90°，BC =2，AB =4，则且，，∴21111(2)4424MN =+-=+-a b c a b c即MN 的长为．例2 如图2，有一长方形的纸片ABCD ，长AB ＝4cm ，宽AD ＝3cm ，现沿它的一条对角线AC 把它折叠成120°的二面角，求折叠后BD 的长．简解：作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，点E 、F 为垂足，则5cm ， cm ，cm ， cm ．折叠后，DE 、EF 、FB 的长度保持不变，且222222BF FE ED BF FE BF ED FE ED =+++++22221271212148125555225⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴cm ．运用向量法求解立体几何探索性问题立体几何探索性问题是近年高考或各地模拟考试中的热点题型．向量作为一种工具，在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性．运用向量法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了．下面举例说明向量法在求解两类立体几何探索性问题中的运用．一、条件探索型所谓“条件探索型”是指给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题，这类问题的常用解法是逆推法，利用结论探求条件．例1 如图1，棱长为１的正方体，E 是BC 的中点，F 是棱CD 上的动点（非C 、D 两点），设二面角的大小为．试确定F 点的位置，使得．解析：以A 为坐标原点，建立如图1所示的直角坐标系，则．设，易知．设是平面的一个法向量，则令，则．又是平面的一个法向量，∴．结合条件知可取，故，解得或（舍）．故当是CD 的中点时，．二、存在型所谓“存在型”是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由．解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在．例2 已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点．在直线上是否存在一点Ｎ，使得？若存在，请你求出它的位置；若不存在，请说明理由．解：假设在直线上存在一点Ｎ，使得．如图2，建立空间直角坐标系，有1313331(000)00(01)2224422A B M N z B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，， ∴．∵，∴1313131220224488AB MN z z ⎛⎫⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，解得，，即时，．用法向量求距离一、求异面直线间的距离如图1，若是异面直线的公垂线段，分别为上的任决两点．令向量，则．分析：，．，．．两异面直线间的距离为（其中与垂直，分别为两异面直线上的任意两点）例1 如图2，在正方体中，为的中点且正方体棱长为2．求异面直线和间的距离．解析：以为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则．设和公垂线段上的向量为，则即．又，，所以异面直线和间的距离为．二、求点到平面的距离如图3，已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量．求证：点到平面的距离．分析：， cos AB AB AC AB AB AB AB ∴===，nnn n n ．例2 如图4，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．求点到平面的距离．解析：为正方形，．易得平面平面，面，是平面的一个法向量．设点到平面的距离为，则111()0cos602422AC A BAC A A AB a a d a A B a a ++⨯⨯====．三、求直线到平面的距离例3 如图5，已知边长为的正三角形中，分别为和的中点，面，且，设平面过且与平行．求与平面间的距离．解析：设的单位向量分别为，选取作为空间向量的一个基底．易知，，，，1231()2622PF PA AE EC =++=-++e e e ．设是平面的一个法向量，则，．即解得．直线与平面间的距离113221322223322AP d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+e e en n e e ．四、求两平行平面间的距离例4 如图6，在棱长为1的正方体中．求平面与平面间的距离．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面与平面平行．设平面的一个法向量，则即．平面与平面间的距离．。

人教版数学高二数学选修2-1 3.2《空间向量》的应用空间

《空间向量》的应用空间湖南高明生空间向量的应用空间：1．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量。

2.用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b 之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈。

⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A a B α∈∈。

n 是平面α的法向量。

⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A B αβ∈∈。

n 是平面α的法向量。

⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅=，其中B α∈，n 是平面α的法向量。

⑸点A 到直线a 的距离：2|||AB d AB a ⎛=- ⎪⎭，其中B a ∈，a 是直线a 的方向向量。

⑹两平行直线,a b 之间的距离：2|||AB d AB a ⎛=- ⎪⎭，其中,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量。

3.用向量法证明例题讲解：类型一：利用空间向量求异面直线所成的角例1．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是( ) A ．515arccosB ．4πC ．510arccosD ．2π解：以D 为原点建立坐标系)1,1,1(),1,0,1(1-=--=GF E A 01=⋅GF E A异面直线A 1E 与GF 所成的角是2π 类型二：利用空间向量求直线与平面 (法向量n )所成的角例2 在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角．解：如图建立以三角形BCD 的中心O 为原点，,OD,OA 依次为y 轴，z 轴X 轴平行于BC设正四面体ABCD 的棱长为a ，则336,,,23a a a a OF FC OD OA ==== ∴ 336(,,0),(0,,0),(0,0,),2a a a a C D A -∵E 为AD 的中点，∴36(0,,)a aE ∴ 36(,,)236a a aCE =-又因为平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =， ∴即CE 与平面BCD 成的角θ满足： 2sin cos ,3||||CE n CE n CE n θ⋅=<>==类型三：利用空间向量求锐二面角例3 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝BB 1＝1，E 为D 1C 1的中点，求二面角E —BD —C 的正切值．解：如图，建立坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)设平面DBE 的方程为：0Ax By Cz ++=（过原点D=0）则202,0A B A B C B B C +=⎧⇒=-=-⎨+=⎩ ABCDEF HoxzyABCDA 1B 1C 1D 1EFMzy∴平面DBE 的一个法向量为(2,1,1)n =- 又因为平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m = 二面角E —BD —C 的余弦值为：6cos cos ,6m n θ=<>=∴tan θ=类型四：利用空间向量求异面直线之间的距离例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离解：建立空间直角坐标系（如图），则B （0，0，0），C （1，0，0），D （1，1，0） B 1（0，0，1），则111(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)BD BC BB ==-= 设与1,BD B C 都垂直的向量为(,,)n x y z =，则由0BD n x y ⋅=+= 和10,BC n x z ⋅=-=1,x =令得1,1y z =-=，(1,1,1)n ∴=- ∴异面直线BD 与B 1C 的距离：111|||cos ,|33BB n d BB BB n n ⋅=<>=== 类型五：利用空间向量求点到平面的距离例5 设A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），求D 到平面ABC的距离解法一：∵A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），∴(7,7,7)AD =--设平面ABC 的法向量n =（x ，y ，z ），则n ·AB =0，n ·AC =0，∴⎩⎨⎧=⋅=-⋅,0)6,0,4(),,(,0)1,2,2(),,(z y x z y x即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+-.,23064022z y z x z x z y x令z =－2，则n =（3，2，－2）∴由点到平面的距离公式：GFEABCDA 1B 1C 1D 1||AD n d n ⋅===1749∴点D 到平面ABC解法二：设平面ABC 的方程为：Ax By Cz D +++=将A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７）的坐标代入，得3230242063705A B A B C D A B C D C B A B C D D B ⎧=⎪+++=⎧⎪⎪+++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+++==-⎩⎪⎩，取B ＝2，则平面ABC 的法向量n =(A,B,C)=（3，2，－2）又因为 (7,7,7)AD =-- ∴由点到平面的距离公式：||AD n dn ⋅===1749∴点D到平面ABC 类型六：用向量法证明例6 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC分析一：选基底，利用向量的计算来证明证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则1111111111()()()222EF EB B F BB B D AA BD AA AD AB =+=+=+=+-＝(－a ＋b ＋c)/211AB AB AA =+＝a ＋b1EF AB ∴⋅＝(－a ＋b ＋c)/2•(a ＋b)＝(b 2－a 2＋c •a ＋c •b)/2＝(|b|2－|a|2＋0＋0)/2＝0，1EF AB ∴⊥，即EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),B 1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),EF ∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)，1AB ＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)AC ＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)1EF AB ∴⋅＝(―1,―1,1)• (0,2,2)＝0EF AC ⋅＝(―1,―1,1)• (－2,2,0)＝0∴EF ⊥AB 1， EF ⊥AC ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC例7 已知空间四边形OABC 中，BC OA ⊥，AC OB ⊥．求证：AB OC ⊥证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ∵BC OA ⊥，AC OB ⊥，∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -= ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA = ∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0 ∴AB OC ⊥。

2019-2020学年高中数学(人教B版选修2-1)教师用书：第3章空间向量与立体几何 3.1.1

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算1．熟悉向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．(难点)2．掌握空间向量的加法、减法运算．(重点)3．掌握空间的数乘运算．(重点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的概念阅读教材P79“空间向量的概念”部分，完成下列问题.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间中，单位向量唯一．( )(2)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( )(3)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．( )(4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 教材整理2 空间向量的线性运算阅读教材P 79～P 81，完成下列问题． 1．(1)空间向量的加法、减法运算(如图3-1-1)图3-1-1OB→＝OA →＋AB →＝________；CA →＝OA →－OC →＝________. (2)运算律：①a ＋b ＝________； ②(a ＋b )＋c ＝________.【答案】 (1)a ＋b a －b (2)b ＋a a ＋(b ＋c ) 2．空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积________仍然是一个________，称为向量的数乘运算．(2)运算律：①λ(a ＋b )＝______；②λ(μa )＝_______. 【答案】 (1)λa 向量 (2)λa ＋λb (λμ)a给出下列命题：①若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；②若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；③空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但①中向量a 与b 的方向不一定相同，故①错；命题②显然正确；对于命题③，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故③错．故选D.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型](1)A ．若|a |<|b |，则a <bB ．若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0C ．空间内两平行向量相等D ．四边形ABCD 中，AB→－AD →＝DB →(2)如图3-1-2所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA′→相等的向量有________；与向量A′B′→相反的向量有_______． (要求写出所有适合条件的向量)图3-1-2【自主解答】 (1)向量的模有大小，但向量不能比较大小，A 错；相反向量的和为0，不是0，B 错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C 错；D 正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA′→相等的向量有BB′→，CC′→，DD′→.与向量A′B′→相反的向量有B′A′→，BA →，CD →，C′D′→. 【答案】 (1)D (2)BB′→，CC′→，DD′→ B′A′→，BA →，CD →，C′D′→1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．[再练一题]1．下列说法中，错误的个数为( )(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； (2)若向量AB→，CD →满足|AB →|＞|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →＞CD →；(3)若两个非零向量AB→与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →为相反向量；(4)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 (1)错误．两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．(2)错误．向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．(3)正确.AB→＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，且AB →，CD →为非零向量，所以AB →，CD →为相反向量．(4)错误．由AB →＝CD →，知|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合．【答案】 CE 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值．图3-1-3(1)BD′→＝x AD →＋y AB →＋z AA′→； (2)AE→＝x AD →＋y AB →＋z AA′→. 【精彩点拨】利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据向量对应系数相等，求出x ，y ，z 的值．【自主解答】 (1)因为BD′→＝BD →＋DD′→＝BA→＋AD →＋DD′→＝－AB →＋AD →＋AA′→，又BD′→＝x AD →＋y AB →＋z AA′→，所以x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)因为AE →＝AA′→＋A′E →＝AA′→＋12A′C′→＝AA′→＋12(A′B′→＋A′D′→) ＝AA′→＋12A′B′→＋12A′D′→＝12AD →＋12AB →＋AA′→，又AE→＝x AD →＋y AB →＋z AA′→，所以x ＝12，y ＝12，z ＝1.用已知向量表示未知向量，是向量线性运算的基础类型，解决这类问题，要注意两个方面：(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律； (2)要注意数形结合思想的运用．[再练一题]2.如图3-1-4，已知空间四边形OABC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，设OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量OG →.图3-1-4【解】 OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(MA →＋AB →＋BN →)＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12OA →＋OB →－OA →＋12BC→ ＝12OA →＋23错误! ＝16OA →＋13OB →＋13OC →＝16a ＋13b ＋13c . [探究共研型]探究1 已知空间四边形ABCD 中，AB→＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，试用a ，b ，c 表示CD →. 【提示】由空间向量的加法、减法运算可知BD→＝c －a ，CD →＝BD →－BC →＝c －a －b .探究2 如图3-1-5所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB→＝a ，AD→＝b ，AA1→＝c ，试用a ，b ，c 表示BM →.图3-1-5【提示】由图形可知：B1M →＝12B1D1→＝12(b －a )．BB1→＝AA1→＝c ，则BM →＝BB1→＋B1M →＝c ＋12b －12a .已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中点O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y 的值：图3-1-6(1)OQ→＝PQ →＋x PC →＋y PA →；(2)PA→＝x PO →＋y PQ →＋PD →. 【精彩点拨】利用空间向量的线性运算法则求解．【自主解答】 (1)∵OQ→＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，∴x ＝y ＝－12. (2)∵PA→＋PC →＝2PO →，∴PA →＝2PO →－PC →. 又∵PC→＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →.从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →.∴x ＝2，y ＝－2.利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．[再练一题]3．如图3-1-7所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB→＝a ，AD→＝b ，AA1→＝c .M 是C 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN ∶NA 1＝4∶1.用a ，b ，c 表示以下向量：图3-1-7(1)AM→；(2)AN →. 【解】 (1)AM →＝12(AC1→＋AD1→)＝12[(AB →＋AD →＋AA1→)＋(AD →＋AA1→] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA1→)＝12a ＋b ＋c . (2)AN →＝AC →＋CN →＝AC →＋45(AA1→－AC →)＝15AB →＋15AD →＋45AA1→ ＝15a ＋15b ＋45c . [构建·体系]1．下列命题中，假命题是( ) A ．向量AB→与BA →的长度相等 B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C ．只有零向量的模等于0 D ．单位向量都相等【解析】单位向量是模为1的向量，它的方向没有限制．但两个向量相等必须同时满足模相等，且方向相同，故D 错误．【答案】 D2.如图3-1-8所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA→，N 为BC 中点，则MN →等于( )图3-1-8A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23cD.23a ＋23b －12c 【解析】连接ON→(图略)，则MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .【答案】 B3．化简12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________.【导学号：15460059】【解析】原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋103－3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－52＋6b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c . 【答案】56a ＋92b －76c4．若把空间内平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置于同一点，则这些向量的终点构成的图形是________．【答案】球面5．如图3-1-9，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋x OB→＋y OA→，求x ，y 的值．图3-1-9【解】 ∵AE→＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC→) ＝－OA →＋12(OD →＋AB→) ＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA→) ＝－32OA →＋12OD →＋12OB →，∴x ＝12，y ＝－32.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG→－AB →＋AD →＝( )A ．2DB → B ．3MG →C ．3GM→ D ．2MG→ 【解析】 MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.【答案】 B2．在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，与向量A′B′→的模相等的向量有( )【导学号：15460060】A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个【解析】 |D′C′→|＝|DC →|＝|C′D′→|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →|＝|B′A′→|＝|A′B′→|.【答案】 A3．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB→，AD →，AA1→表示向量BD1→的结果为( )图3-1-10A.BD1→＝AB →－AD →＋AA1→ B.BD1→＝AD →＋AA1→－AB → C.BD1→＝AB →＋AD →－AA1→ D.BD1→＝AB →＋AD →＋AA1→ 【解析】 BD1→＝BA →＋AA1→＋A1D1→＝－AB →＋AA1→＋AD →.故选B.【答案】 B4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD1→的是( )①(A1D1→－A1A →)－AB →；②(BC→＋BB1→)－D1C1→； ③(AD→－AB →)－DD1→； ④(B1D1→－A1A →)＋DD1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】 ①(A1D1→－A1A →)－AB →＝AD1→－AB →＝BD1→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→＝BC1→－D1C1→＝BD1→； ③(AD→－AB →)－DD1→＝BD →－DD1→≠BD1→； ④(B1D1→－A1A →)＋DD1→＝BD1→＋DD1→. 【答案】 A5．在四面体O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，则OE →＝( )A.12a －14b ＋14c B ．a －12b ＋12cC.12a ＋14b ＋14c D.14a ＋12b ＋14c【解析】 OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC→) ＝OA →＋14(OB →－OA→＋OC →－OA →) ＝12OA →＋14OB →＋14OC → ＝12a ＋14b ＋14c . 【答案】 C 二、填空题6．下列说法正确的有________(填序号)． ①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段．【解析】由平行向量的定义可知①正确；由相等向量定义知②正确；有公共终点的向量的基线不一定平行或重合，故③错误；有向线段是向量的几何表示，有向线段与向量不是同一概念，故④错误．【答案】 ①②7．化简：(AB→－CD →)－(AC →－BD →)＝________. 【解析】 (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →＋BD →)－(AC →＋CD →)＝AD →－AD→＝0.【答案】 08．在空间四边形ABCD 中，AB→＝a －2c ，CD→＝5a －5b ＋8c ，对角线AC ，BD 的中点分别是E ，F ，则EF→＝________.【解析】 EF →＝12(ED →＋EB →)＝14(AD →＋CD →)＋14(AB →＋CB →)＝14AB →＋14BD →＋14CD →＋14AB →＋14CD→＋14DB →＝12(AB →＋CD →)＝3a －52b ＋3c . 【答案】 3a －52b ＋3c三、解答题9．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B1C →－B1B →＋A1B1→－A1B →.【解】如图．DA→－DB →＋B1C →－B1B →＋A1B1→－A1B → ＝(DA→－DB →)＋(B1C →－B1B →)＋(A1B1→－A1B →) ＝BA→＋BC →＋BB1→＝BD →＋BB1→＝BD1→. 10．如图3-1-11，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，图3-1-11(1)单位向量共有多少个； (2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB→相等的所有向量；(4)试写出AA1→的相反向量．【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA1→，A1A →，BB1→，B1B →，CC1→，C1C →，DD1→，D1D →.共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A →，A1D→，DA1→，BC1→，C1B →，B1C →，CB1→，共8个． (3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，DC →及D1C1→，共3个．(4)向量AA1→的相反向量为A1A →，B1B →，C1C →，D1D →，共4个．[能力提升]1．已知λ，μ∈R ，给出以下命题： ①λ<0，a ≠0时，λa 与a 的方向一定相反； ②λ≠0，a ≠0时，λa 与a 是共线向量； ③λμ>0，a ≠0时，λa 与μa 的方向一定相同； ④λμ<0，a ≠0时，λa 与μa 的方向一定相反．其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】由数乘的定义及性质可知①②③④均正确．【答案】 D2．已知点M 是△ABC 的重心，并且对空间任意一点O ，有OM →＝x OA →＋13OB →＋13OC→，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3D ．13【解析】因为M 为△ABC 的重心，设BC 的中点为D ，所以OM →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA→) ＝13OA →＋23·12(OB →＋OC →)＝13OA →＋13OB →＋13OC →，故x ＝13.【答案】 D3．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则有AB →＋12BC →－32DE →－AD→化简的结果为________.【导学号：15460061】【解析】延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD→＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.【答案】 04．如图3-1-12所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，若B1C →＝x OD →＋y OC1→，则x ，y 的值分别为多少？图3-1-12【解】设C1B1→＝a ，C1D1→＝b ，C1C →＝c ， ∵四边形B 1C 1D 1A 1为平行四边形，∴B1C →＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点， ∴C1O →＝12(a ＋b )，∴OC1→＝－12(a ＋b )，OD1→＝C1D1→－C1O →＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )．∵D 1D 綊C 1C ，∴D1D→＝c ，∴OD →＝OD1→＋D1D →＝12(b －a )＋c .若存在实数x ，y ，使B1C →＝x OD →＋y OC1→(x ，y ∈R )成立，则c －a ＝x 错误!＋y 错误! ＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋x c .∵a ，b ，c 不共线，∴错误!得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.。

人教版数学高二数学选修2-1 3.1空间向量及其运算教材解读

高中新课标数学选修（2-1）空间向量及其运算教材解读山东尹承利一、空间向量及其运算 1.空间向量及其加减与数乘运算（1）空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.零向量、单位向量、相反向量、相等向量、共线（平行）向量、方向向量等概念与平面向量的概念基本相同.（2）空间向量的加减与数乘运算①空间向量的加法、减法与数乘运算与平面向量的运算基本相同；②首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的起始点指向末尾向量的终点的向量.如A B B C C D A D++=，A BB C C D D A +++=0等．2．共线向量的充要条件（1）共线向量的充要条件：对空间任意两个向量()≠0，，a b b a b的充要条件是存在实数λ，使abλ=．（2）空间直线的向量表过式：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使O P O A t =+a． ①在l 上取A B=a，则①式可化为O PO A t A B=+． ②①和②都称为空间直线的向量表示式，由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．（3）利用向量之间的关系可以判断空间任意三点共线．其依据是：空间三点P A B ，，共线()P B t P A O P O A t A B t ⇔=⇔=+∈R ．3．共面向量的充要条件（1）共面向理：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．注：空间任意两个向量总是共面的．（2）共面向量的充要条件：如果两个向量，a b 不共线，那么向量p与向量a b ，共面的充要条件是存在惟一的有序实数对()，x y ，使p x =a y +b．（3）空间平面A B C 的向量表示式：空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对x y ，，使A Px A B y A C=+；或对空间任意一点O ，有O PO A x A B y A C=++． ③③式称为平面A B C 的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定．（4）利用向量判断四点共面．其依据是：对于空间任一点O 和不共线的三点A B C ，，，满足向量关系式O Px O A y O B z O C=++，且当且仅当1x y z ++=时，四点P A B C ，，，共面．（即课本第95页思考2） 4．空间向量的数量积运算（1）空间两个向量的夹角：已知两个非零向量，a b 在空间任取一点O ，作O A =a，O B=b，则A O B ∠叫做向量，a b 的夹角，记作，a b．如果，a bπ2=，那么向量，a b 互相垂直，记作ab⊥．注：0πa b ，≤≤．（2）向量的数量积：两个非零向量，a b 的数量积c o s a b a b a b=，，．（3）数量积的性质：①零向量与任何向量的数量积为0，即aa =00··0=；②a aaa==22·，即a =；③c o s a b a b a b=，·；④ab a b ⊥⇔·0=．（4）数量积的运算律： ①()()a ba b λλ=··；②a bb a=··（交换律）；③()a bc a b a c+=+···（分配律）．注：向量的数量积不满足结合律，即对于三个均不为零向量的向量()()a b c a b c a b c ≠，，，··．（5）利用空间两个非零向量的数量积为零，可以推证空间线、面的垂直关系．如证明三垂线定理及逆定理（课本第98页例2）、直线和平面垂直的判定定理（例3）等．二、空间向量的坐标表示 1．空间向量基本定理（1）定理：如果三个向量a b c ，，不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{}，，x y z ，使得p x =+a y b z +c，共中{}，，a b c 叫做空间的一个基底，a b c ，，都叫做基向量．注：①空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基成； ②空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来．（2）单位正交基底：如果123e e e ，，是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，则称{}123，，e e e 为空间的单位正交基底．2．空间向量运算的坐标表示设a123()=，，a a a ，b123()=，，b b b ，则（1）空间向量的直角坐标运算a b +=112233()+++，，a b a b a b ，ab -=112233()a b a b a b ---，，；λ=a 123()λλλ，，a a a ；a b=·112233++a b a b a b ．（2）两个向量平行、垂直的充要条件的坐标表示 ①λ⇔=∥a b a b 112233()a b a b a b λλλλ⇔===∈R ，，；②ab ⊥1122330⇔++=a b a b a b 。

2019-2020学年同步人教A版高中数学选修2-1素养课件：3.1 3.1.1 空间向量及其加减运

第十七页，编辑于星期六：二十三点四十九分。
(2)①由于长方体的高为 1，所以长方体 4 条高所对应的A→A1， A→1A，B→B1，B→1B，C→C1，C→1C，D→D1，D→1D这 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共有 8 个． ②由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为 5，故模为
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解析：①正确；②正确，因为A→A1与C→1C的大小相等方向相反，即互为相反向量，所以A→A1＝－C→1C；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，才有A→B＋A→D＝A→C. 综上可知，正确命题为①②. 答案：①②
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■名师点拨平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加(减)法运算．加法运算是对有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．( √ ) (2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) (3)在空间中，任意一个向量都可以进行平移．( √ ) (4)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．( × )
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(4)特殊向量
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■名师点拨 (1)单位向量、零向量都只是规定了向量的模长而没有规定向量的方向．单位向量有无数个，它们的方向不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向任意，但规定所有的零向量都相等． (2)空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同，因此可以进行类比学习．

2019-2020学年高中数学(苏教版选修2-1)教师用书：第3章空间向量与立体几何 3.1.5

3.1.5 空间向量的数量积1．理解空间向量的夹角的概念，理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点) 2．掌握空间向量的数量积及应用．(重点、难点) 3．理解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的夹角阅读教材P 91～P 92上半部分，完成下列问题． a ，b 是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA→＝a ，OB→＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉，a ，b的范围是[0，π]，如果〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .如图3-1-25，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求向量BC1→与AC →夹角的大小．图3-1-25【解】 ∵AD1→＝BC1→，∴∠CAD 1的大小就等于〈BC1→，AC →〉． ∵△ACD 1为正三角形，∴∠CAD 1＝π3，∴〈BC1→，AC →〉＝π3. ∴向量BC1→与AC →夹角的大小为π3. 教材整理2 空间向量的数量积阅读教材P 92例1以上的部分，完成下列问题． 1．数量积的定义设a ，b 是空间两个非零向量，我们把数量|a ||b |·cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．数量积的性质 (1)cosa ，b＝a·b|a||b|(a ，b 是两个非零向量)．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 是两个非零向量)． (3)|a |2＝a·a ＝a 2. 3．数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )(λ∈R )； (3)a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.( ) (2)在△ABC 中，〈AB →，BC →〉＝∠B .( ) (3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．( )(4)若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的充要条件．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知|a |＝2，|b |＝22，a·b ＝－22，则a 与b 的夹角为________.【导学号：09390075】【解析】 cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝－222×22＝－22，又∵〈a ，b 〉∈[0，π]，∴〈a ，b 〉＝3π4.【答案】 3π4教材整理3 数量积的坐标表示阅读教材P 93～P 94例3以上的部分，完成下列问题． 1．若a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0(a ≠0，b ≠0)． (3)|a |＝a·a ＝x21＋y21＋z21. (4)cos 〈a ，b 〉＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21·x22＋y22＋z22(a ≠0，b ≠0)．2．空间两点间距离公式设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB ＝错误!.1．若a ＝(－1,0,2)，b ＝(x ，y,1)，且a ⊥b ，则x ＝______. 【解析】 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝－x ＋2＝0，解得x ＝2. 【答案】 22．与向量a ＝(1,2,2)方向相同的单位向量是________．【解析】 |a |＝12＋22＋22＝3，故与a 方向相同的单位向量是a |a|＝13(1,2,2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积．(1)BC →·ED1→； (2)BF →·AB1→.【精彩点拨】法一(基向量法)：BC →与ED1→，BF →与AB1→的夹角不易求，可考虑用向量AB →，AD →，AA1→表示向量BC →，ED1→，BF →，AB1→，再求结论即可．法二(坐标法)：建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．【自主解答】法一(基向量法)：如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED1→＝BC →·(EA1→＋A1D1→)＝b ·错误!＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB1→＝(BA1→＋A1F →)·(AB →＋AA1→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.法二(坐标法)：以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B (2,0,0)，C (2,4,0)，E (1,0,1)，D 1(0,4,2)，F (0,2,2)，A (0,0,0)，B 1(2,0,2)，∴BC →＝(0,4,0)，ED1→＝(－1,4,1)，BF →＝(－2,2,2)，AB1→＝(2,0,2)， (1)BC →·ED1→＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16. (2)BF →·AB1→＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.解决此类问题的常用方法1．基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．2．坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．[再练一题]1．在上述例1中，求EF →·FC1→.【解】法一：EF →·FC1→＝错误!·错误!＝错误!(－a ＋b ＋c )·错误! ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.法二：以A 为原点建立空间直角坐标系，则E (1,0,1)，F (0,2,2)，C 1(2,4,2)，∴EF →＝(－1,2,1)，FC1→＝(2,2,0)，∴EF →·FC1→＝－1×2＋2×2＋1×0＝2.如图3-1-26所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长；(2)求AC′→与AC →的夹角的余弦值．图3-1-26【精彩点拨】求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC ′的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用．【自主解答】 (1)∵AC′→＝AB →＋AD →＋AA′→， ∴|AC′→|2＝(AB →＋AD →＋AA′→)2 ＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA′→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA′→＋AD →·AA′→) ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85. ∴|AC′→|＝85.(2)法一：设AC′→与AC →的夹角为θ，∵ABCD 是矩形，∴|AC →|＝32＋42＝5. 由余弦定理可得cos θ＝AC′2＋AC2－CC′22AC′·AC ＝85＋25－252·85·5＝8510. 法二：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA′→＝c ，依题意得AC′→·AC →＝(a ＋b ＋c )·(a ＋b ) ＝a 2＋2a ·b ＋b 2＋a ·c ＋b ·c＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60° ＝16＋9＋10＋152＝852，∴cos θ＝AC′→·AC →|AC′→|·|AC →|＝85285×5＝8510.1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a |2＝a ·a ，即|a |＝a·a 通过向量运算求|a |.2．对于空间向量a ，b ，有cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，故〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，它们相等；而当〈a ，b 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，它们互补．[再练一题]2．如图3-1-27，正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC ，AB 的中点，设AB→＝a ，AC→＝b ，AD →＝c .(1)用a ，b ，c 分别表示向量DM →，CN →； (2)求异面直线DM 与CN 所成角的余弦值．图3-1-27【解】 (1)DM →＝12(DB →＋DC →)＝12[(AB →－AD →)＋(AC →－AD →)] ＝12[(a －c )＋(b －c )]＝12(a ＋b －2c )， CN →＝12(CB →＋CA →)＝12[(AB →－AC →)－AC →] ＝12[(a －b )－b ]＝12(a －2b )．(2)设棱长为1，即|a |＝|b |＝|c |＝1且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝π3，则|DM →|＝|CN →|＝32. 又DM →·CN →＝14(a ＋b －2c )·(a －2b ) ＝14(a 2＋a ·b －2a ·c －2a ·b －2b 2＋4b ·c ) ＝－18，∴cos 〈DM →，CN →〉＝DM →·CN →|DM →||CN →|＝－1832×32＝－16.∴异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为16.已知(1)若a ∥b ，分别求λ与m 的值；(2)若|a |＝5，且与c ＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a .【精彩点拨】利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解．【自主解答】 (1)由a ∥b ，得 (λ＋1,1,2λ)＝k (6,2m －1,2)， ∴错误!解得错误! ∴实数λ＝15，m ＝3.(2)∵|a |＝5，且a ⊥c ， ∴错误!化简，得⎩⎨⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1.因此，a ＝(0,1，－2)．向量平行与垂直问题主要有两种题型1．平行与垂直的判断2．利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．[再练一题]3．如图3-1-28所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 是A 1B 1的中点．求证：A 1B ⊥C 1M .图3-1-28【证明】如图所示，以CA →，CB →，CC1→为正交基底，建立空间直角坐标系C -xyz .依题意得B (0,1,0)，A 1(1,0,2)，错误!，2)，B 1(0,1,2)，则M 错误!，错误!，2，于是错误!＝(－1,1，－2)，C1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，∴A1B →·C1M →＝－12＋12＋0＝0，∴A1B →⊥C1M →，故A 1B ⊥C 1M .[探究共研型]探究1 【提示】对于三个不为0的实数a ，b ，c ，若ab ＝ac ，则b ＝c .对于三个非零向量a ，b ，c ，若a ·b ＝a ·c ，不能得出b ＝c ，即向量不能约分．如图，在三棱锥S -ABC 中，SC ⊥平面ABC ，则SC ⊥AC ，SC ⊥BC .设CS →＝a ，CA →＝b ，CB →＝c ，则a ·b ＝a ·c ＝0，但b ≠c .探究2 数量积运算是否有除法？【提示】数量积的运算不满足除法，即对于向量a ，b ，若a ·b ＝k ，不能得到a ＝k b ⎝ ⎛⎭⎪⎫或b ＝k a ，例如当非零向量a ，b 垂直时，a ·b ＝0，但a ＝0b 显然是没有意义的．探究3 数量积运算满足结合律吗？【提示】由定义得(a ·b )c ＝(|a ||b |cos 〈a ，b 〉)c ，即(a ·b )c ＝λ1c ；a (b ·c )＝a (|b ||c |cos 〈b ，c 〉)，即a (b ·c )＝λ2a ，因此，(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立．如图3-1-29，已知正四面体OABC 的棱长为1.求： (1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； (3)|OA →＋OB →＋OC →|.图3-1-29【精彩点拨】在正四面体OABC 中，OA →，OB →，OC →的模和夹角都已知，因此可以先把相关向量用OA →，OB →，OC →线性表示，再结合空间向量数量积的运算律与运算性质求解即可．【自主解答】在正四面体OABC 中，|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝1，〈OA →，OB →〉＝〈OA →，OC →〉＝〈OB →，OC →〉＝60°.(1)OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA2→＋2OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →2－2OB →·OC →＝12＋2×12－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60° ＝1＋1－1＋1－1＝1. (3)|OA →＋OB →＋OC →|＝错误! ＝错误!＝错误!. [再练一题]4．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________.【导学号：09390076】【解析】由条件知，(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2＋16a·b －15|b |2＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a·b ＝0. 两式相减，得46a·b ＝23|b |2，∴a·b ＝12|b |2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a |＝|b |. ∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝12|b|2|b|2＝12.∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°. 【答案】 60°[构建·体系]1．已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(a ＋b )·(a －b )的值为________．【解析】 ∵a ＋b ＝(10，－5，－2)，a －b ＝(－2,1，－6)，∴(a ＋b )·(a －b )＝－20－5＋12＝－13.【答案】－132．已知向量a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)．若a ，b 成120°的角，则k ＝________.【解析】 cos 〈a ，b 〉＝a·b |a|·|b|＝2k 139＋k2＝－12，得k ＝－39. 【答案】－393．如图3-1-30，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3-1-30【解析】 AB1→＝AB →＋BB1→，BM →＝BC →＋CM →，设棱长为1.又∵AB1→·BM →＝(AB →＋BB1→)(BC →＋CM →)＝AB →·BC →＋BB1→·BC →＋AB →·CM →＋BB1→·CM →＝－12＋0＋0＋12＝0，∴cos 〈AB1→，BM →〉＝AB1→·BM →|AB1→|·|BM →|＝0，∴AB1→⊥BM →，∴直线AB 1与BM 所成的角为90°.【答案】 90°4．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.【解析】 ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12AB →，BD →＝AD →－AB →，∴AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－AD →·AB →＋12AB →·AD →－12AB →2＝4－0＋0－2＝2.【答案】 25．如图3-1-31所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．图3-1-31【解】由题意知BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－162，∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

2019-2020年新版高中数学人教A版选修2-1课件：第三章空间向量与立体几何本章整合3

综合应用专题一专题二专题三
应用1如图所示的多面体是由三棱锥A-BDE与四棱锥D-BCFE拼接而成的,其中EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF∥BC,
BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点.
(1)求异面直线BD与EG所成的角; (2)求平面DEG与平面AEFD所成的钝二面角的正弦值. 提示:求解空间角有两种常见思路,若直接能确定或易作出空间角,则直接求解;若不易作出,则考虑采用空间向量的方法,这也是空间向量应用的优势所在.
�� + �� = 0, �� + �� = 0,
令 x=1,得 n=(1,-1,1).
设平面 DEG 与平面 AEFD 所成锐二面角的大小为 θ,
则
cos
θ=��
>
|
=
|��·��| |��||��|
若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.
提示:建立恰当的空间直角坐标系,求出所涉及的点及向量的坐标,求证两条直线的方向向量数量积为零,则两条直线垂直;二面角求解,可转化为求法向量的夹角;由平面的法向量垂直于直线的方向向量来证明线面平行.
综合应用
专题一专题二专题三
(1)证明:连接 BD,设 AC 交 BD 于点 O,由题意知 SO⊥平面 ABCD.
(1)用向量法证明:平面A1BD∥平面B1CD1; (2)用向量法证明:MN⊥平面A1BD. 提示:(1)面面平行应转化为证明线面平行;(2)线面垂直应转化为线线垂直,最终结合面面平行与线面垂直的判定定理证明;此外本题也可建立空间直角坐标系转化为向量的坐标运算去求解.

2019-2020学年浙江高二人A数学选修2-1第三章 _空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算

第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算1.在空间四边形OABC中,+-等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:原式=-=.故选C.2.下列命题中正确的个数是( A )①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线;②向量a,b,c共面,即它们所在的直线共面;③若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①当b=0时,a与c不一定共线,故①错误;②a,b,c共面时,它们所在的直线平行于同一平面,不一定在同一平面内,故②错误;③当b 为零向量,a不为零向量时,λ不存在,故③错误.故选A.3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( B )(A)-a+b+c (B)a+b+c(C)a-b+c (D)-a-b+c解析:因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,=a,=b,=c,所以=+=+(+)=(+)+=a+b+c.故选B.4.已知空间向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A )(A)A,B,D (B)A,B,C(C)B,C,D (D)A,C,D解析:因为=+=2a+4b=2,所以A,B,D三点共线.故选A.5.若空间中任意四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则( A )(A)P∈AB (B)P∉AB(C)点P可能在直线AB上(D)以上都不对解析:因为m+n=1,所以m=1-n,所以=(1-n)+n,即-=n(-),即=n,所以与共线.又有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB.故选A.6.若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则( D )(A)m,n,p共线(B)m与p共线(C)n与p共线(D)m,n,p共面解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=m+n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.7.已知i,j,k是不共面向量,a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=7i+5j+λk,若a,b,c三个向量共面,则实数λ等于( D )(A)(B)9 (C)(D)解析:因为a,b,c三向量共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即7i+5j+λk=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).所以所以λ=.8.给出下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若,共线,则AB∥CD;④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中错误命题的个数是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:显然①正确;若a,b共线,则|a+b|=|a|+|b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若,共线,则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④错误.故选C.9.下列命题:①空间向量就是空间中的一条有向线段;②不相等的两个空间向量的模必不相等;③两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;④向量与向量的长度相等.其中真命题是(填序号).解析:①假命题,有向线段只是空间向量的一种表示形式,但不能把二者完全等同起来.②假命题,不相等的两个空间向量的模也可以相等,只要它们的方向不相同即可.③假命题,当两个向量的起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等,但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点.④真命题,与仅是方向相反,它们的长度是相等的.答案:④10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:①(-)-;②(+)-;③(-)-2;④(+)+.其中能够化简为向量的是.(把你认为正确的序号填上)解析:如图所示.①(-)-=-=;②(+)-=-=;③(-)-2=-2≠;④(+)+=.综上可得,只有①②能够化简为向量.答案:①②11.如图,三棱锥P-ABC中,M是AC的中点,Q是BM的中点,若实数x,y,z 满足=x+y+z,则x-y+z= .解析:因为=+=+=+(-)=+[(+)-]=++,所以x=,y=,z=.所以x-y+z=0.答案:012.有下列命题:①若∥,则A,B,C,D四点共线;②若∥,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).解析:根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且AB,AC有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2= -4·(-e1+e2)=-4b,所以a∥b,故③正确;易知④也正确.答案:②③④13.如图所示,已知几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体.(1)化简++,并在图中标出其结果;(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点(靠近C1点),设=α+β+γ,求α,β,γ的值.解:(1)取DD1的中点G,过点G作DC的平行线GH,使GH=DC,连接AH(如图),则++=.(2)因为M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点(靠近C1点),所以=+=+=(-)+(+)=++,所以α=,β=,γ=.14.如图,H为四棱锥P-ABCD的棱PC的三等分点,且PH=HC,点G在AH 上,AG=mAH.四边形ABCD为平行四边形,若G,B,P,D四点共面,求实数m的值.解:如图,连接BD,BG.因为=-且=,所以=-.因为=+,所以=+-=-++.因为=,所以==(-++)=-++.又因为=-,所以=-++.因为=m,所以=m=-++.因为=-+=-+,所以=(1-)+(-1)+.又因为B,G,P,D四点共面,所以1-=0, 即m=.15.求证:四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分.已知:如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G,H,P,Q分别是所在棱的中点.求证:EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.证明:如图,连接EG,GP,QH,HF,EH,GF.因为E,G分别为AB,AC的中点,所以EG BC.同理,HF BC,所以EG HF.从而四边形EGFH为平行四边形,故其对角线EF,GH相交于一点O,且O 为它们的中点.只要能证明向量=-,就可以说明P,O,Q三点共线且O为PQ的中点.事实上,=+,=+.因为O为GH的中点,所以+=0.易知GP CD,QH CD,所以=,=.所以+=+++=0.所以=-.故PQ经过O点,且O为PQ的中点.所以EF,GH,PQ相交于一点O,且O为它们的中点.16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则在下列各结论中正确的结论共有( C )①+与+是一对相反向量;②-与-是一对相反向量;③+++与+++是一对相反向量;④-与-是一对相反向量.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:利用图形及向量的运算可知②中是相等向量,①③④中是相反向量.故选C.17.若P,A,B,C为空间四点,且有=α+β,则α+β=1是A,B,C 三点共线的( C )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若α+β=1,则-=β(-),即=β,显然A,B,C三点共线;若A,B,C三点共线,则存在实数λ,使=λ,故-=λ(-),整理得=(1+λ)-λ,令α=1+λ,β=-λ,则α+β=1.故选C.18.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为零的实数λ,m,n,使λ+m+n=0,那么λ+m+n的值为.解析:因为A,B,C三点共线,所以存在唯一实数k,使=k,即-=k(-),所以(k-1)+-k=0,又λ+m+n=0,令λ=k-1,m=1,n=-k,则λ+m+n=0.答案:019.已知空间四边形ABCD中,=b,=c,=d,若=2,且=xb+yc+zd(x,y,z∈R),则y= .解析:如图所示,=+=-+=-+(-)=-++=-b+c+d.因为=xb+yc+zd(x,y,z∈R),所以y=.答案:20.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是ABCD所在平面外的一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC, △PCD,△PDA的重心.(1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面;(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.(1)证明:如图,分别连接PE,PF,PG,PH并延长,交对边于点M,N,Q,R,连接MN,NQ,QR,RM,因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,所以M,N,Q,R是所在边的中点,且=,=,=,=.由题意易知四边形MNQR是平行四边形,所以=+=(-)+(-)=(-)+(-)=(+).又=-=-=,所以=+,由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面.(2)解:平行.证明如下:由(1)得=,所以∥,所以EG∥平面ABCD.又=-=-=,所以∥.所以EF∥平面ABCD.又因为EG∩EF=E,所以平面EFGH与平面ABCD平行.。

2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.1.1 空间向量的线性运算

() (3)不相等的两个空间向量的模必不相等. ( )
提示:(1)√. 向量 AB与BA 互为相反向量,故模相等. (2)√.向量的加法运算满足交换律与结合律. (3)×. 两个向量不相等可能只是因为方向不同,但模可以相等.
2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且
2OA OB OC 0，那么 ( )
(2)有向线段与向量:向量可用有向线段来表示,但是有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法. (3)向量的相等:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
(4)向量的平移:空间中任意两个向量都可以平移到同一平面内,成为同一个平面内的两个向量.
2.对零向量的三点说明 (1)方向的不确定性:零向量的方向不确定,是任意的; 由于零向量的这一特性,在解题中一定要看清题目中所指的向量是“零向量”还是“非零向量”. (2)长度的固定性:零向量的长度为零,零向量与零向量相等. (3)规定:零向量与任何向量平行.
λ(a+b)=λ a+λ b
【思考】判断:
(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同, 则终点也相同. ( ) (2)零向量没有方向. ( )
(3)空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致. ( ) (4)空间向量的数乘中λ只决定向量的大小,不决定向量的方向. ( )
【解析】(1)正确.因为相等向量的方向相同长度相等, 所以表示相等向量的有向线段的起点相同,终点也相同. (2)错误.零向量的方向是任意的. (3)正确.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,所以空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致.
(4)向量 AB与BA 的长度相等. 其中正确的个数为 ( )
A.1

2019-2020学年高中数学(人教B版选修2-1)教师用书：第3章空间向量与立体几何 3.2.2

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点)2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直．(重点)3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 平面的法向量与向量表示阅读教材P102～P103“例1”，完成下列问题．1．平面的法向量已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面的向量表示→·n＝0的点M的集合构成的图形设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件AM是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．3．两平面平行、垂直的判定设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则(1)α∥β或α与β重合⇔n1∥n2；(2)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则( )A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交【解析】∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.【答案】 B2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)，则α与β的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【解析】∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.【答案】 B教材整理2 三垂线定理及其逆定理阅读教材P104第5行～P105第2行内容，完成下列问题．1．正射影已知平面α和一点A，过点A作α的垂线l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的正射影，简称射影．2．三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射线垂直，则它也和这条斜线垂直．3．三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的射影垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.( )(2)若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.( )(3)若a是平面α的斜线，直线b⊂α，且b垂直于a在另一个平面β内的射影，则a⊥b.( )(4)若a是平面α的斜线，b∥α，直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b.( )【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型]111111 (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .【精彩点拨】建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解．【自主解答】 (1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎨⎧n1·DA →＝2x1＝0，n1·AE→＝2y1＋z1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，z1＝－2y1.令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为FC1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC1→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)∵C1B1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的法向量．由n 2⊥FC1→，n 2⊥C1B1→，得⎩⎨⎧n2·FC1→＝2y2＋z2＝0，n2·C1B1→＝2x2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝0，z2＝－2y2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F.用向量方法证明空间平行关系的方法[再练一题]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是正方体六个表面的中心，证明：平面EFG ∥平面HMN .【证明】如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)．∴EF→＝(0，－1,1)， EG→＝(1,0,1)， HM→＝(0,1，－1)， HN→＝(－1,0，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG 和HMN 的法向量，由⎩⎨⎧m·EF→＝0，m·EG→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－y1＋z1＝0，x1＋z1＝0，令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．由⎩⎨⎧n·HM→＝0，n·HN→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y2－z2＝0，－x2－z2＝0.令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)．于是有m ＝n ，即m ∥n ，故平面EFG ∥平面HMN .如图3-2-14所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .图3-2-14【精彩点拨】建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A 1D 1F 的法向量，然后证明AE→与法向量共线．【自主解答】如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，1，12，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，0，∴AE →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，A1D1→＝(－1,0,0)，D1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，－1.设平面A 1D 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·A1D1→＝0，n ·D1F→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，12y －z ＝0，解得x ＝0，y ＝2z .令z ＝1，则n ＝(0,2,1)．又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，∴n ＝2AE →. ∴n ∥AE →，即AE ⊥平面A 1D 1F .1．坐标法证明线面垂直有两种思路方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决．[再练一题]2．如图3-2-15，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点，求证：直线PB 1⊥平面P AC .图3-2-15【证明】依题设，以D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则C (1,0,0)，P (0,0,1)，A (0,1,0)，B 1(1,1,2)，于是CA→＝(－1,1,0)，CP →＝(－1,0,1)，PB1→＝(1,1,1)， ∴CA →·PB1→＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0， CP →·PB1→＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故CP →⊥PB1→，CA →⊥PB1→，即PB 1⊥CP ，PB 1⊥CA ，又CP ∩CA ＝C ，且CP ⊂平面P AC ，CA ⊂平面P AC . 故直线PB 1⊥平面P AC .111111图3-2-16【自主解答】在正方体中，AA 1⊥平面ABCD ，所以AC 是A 1C 在平面ABCD 内的射影，又AC ⊥BD ，所以BD ⊥A 1C .同理D 1C 是A 1C 在平面CDD 1C 1内的射影．所以C 1D ⊥A 1C .又C 1D ∩BD ＝D ，所以A 1C ⊥平面BDC 1.1．三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题．对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明．2．当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于射影或斜线．[再练一题]3．正三棱锥P-ABC中，求证：BC⊥P A.【证明】如图，在正三棱锥P-ABC中，P在底面ABC内的射影O为正三角形ABC的中心，连接AO，则AO是P A在底面ABC内的射影，且BC⊥AO，所以BC⊥P A.[探究共研型]探究1【提示】只需求出两个平面的法向量，再看它们的法向量的数量积是否为0即可．探究 2 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.【提示】建系如图，取A (0,0，a )，则易得B (0,0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34a ，34a ，a 2，F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，32a ，a 2.∵∠BCD ＝90°，∴CD ⊥BC .又AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD .又AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC ，∴CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，32a ，0为平面ABC 的一个法向量．设平面BEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ·EF→＝0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34a ，34a ，0＝0，有x ＝y . 由n ·BF →＝0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32a ，a 2＝0，有32ay ＋a2z ＝0⇒z ＝－3y .取y ＝1，得n ＝(1,1，－3)．∵n ·CD →＝(1,1，－3)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，32a ，0＝0， ∴n ⊥CD→， ∴平面BEF ⊥平面ABC .如图3-2-17所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .图3-2-17【精彩点拨】要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0.【自主解答】由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，0，12，则AA1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC1→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，0，12.设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)．则⎩⎨⎧n1·AA1→＝0，n1·AC→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z1＝0，－2x1＋2y1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．则⎩⎨⎧n2·AC1→＝0，n2·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x2＋2y2＋z2＝0，－2x2＋12z2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．[再练一题]4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . 【证明】以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，DB1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .[构建·体系]1．已知AB→＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，－23，－23B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，23，－23C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，23，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，23，23【解析】设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，取x ＝1，则y＝－2，z ＝2.所以n ＝(1，－2,2)．由于|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，23，－23.【答案】 B2．已知直线l 的方向向量是a ＝(3,2,1)，平面α的法向量是u ＝(－1,2，－1)，则l 与α的位置关系是( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α【解析】因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ⊂α. 【答案】 D3．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD→＝(4,2,0)，AP→＝(－1,2，－1)．对于结论： ①AP ⊥AB ； ②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量； ④AP→∥BD →. 其中正确的是________．(填序号)【解析】由于AP →·AB →＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0，AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以①②③正确．【答案】 ①②③4．如图3-2-18，已知PO ⊥平面ABC ，且O 为△ABC 的垂心，则AB 与PC 的关系是________.【导学号：15460075】图3-2-18【解析】 ∵O 为△ABC 的垂心， ∴CO ⊥AB .又∵OC 为PC 在平面ABC 内的射影， ∴由三垂线定理知AB ⊥PC . 【答案】垂直5．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .【证明】建立如图所示的空间直角坐标系．D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC 交BD 于G ，连接EG ，依题意得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，a 2，a 2.因为底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，a 2，0，所以EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2，0，－a 2.又PA→＝(a,0，－a )，所以PA →＝2EG →，这表明P A ∥EG . 而EG ⊂平面EDB ，且P A ⊄平面EDB ，所以P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB →＝(a ，a ，－a )，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，a 2，a 2，所以PB →·DE→＝0＋a22－a22＝0，所以PB →⊥DE →，即PB ⊥DE .又已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.我还有这些不足：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )A．4 B．－4C．5 D．－5【解析】∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5.【答案】 D2．已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )A．(4,2，－2) B．(2,0,4)C．(2，－1，－5) D．(4，－2,2)【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故应选D.【答案】 D3．已知AB→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )A.337，－157，4 B ．407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，407，－15【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →，则错误!解得错误! 【答案】 B4．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，－3，32D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，3，－32【解析】对于B ，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，4，－12，则n ·AP →＝(3,1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，4，－12＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，3，32在平面α内．【答案】 B5．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段【解析】 M 构成的图形经过点A ，且是以n 为法向量的平面．【答案】 C 二、填空题6．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z ＝________.【解析】由题意知u ⊥v ，∴u ·v ＝3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9. 【答案】－97．已知a ＝(x,2，－4)，b ＝(－1，y,3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________.【解析】由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0.解得x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 【答案】 (－64，－26，－17)8．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.【导学号：15460076】【解析】因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－3，－74，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，－1，－74，又因为a ·AB →＝0，a ·AC→＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－43y.所以x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．【答案】 2∶3∶(－4) 三、解答题9.如图3-2-19，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF.图3-2-19【证明】以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，22，1.所以AM →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0, 2，1)，BD→＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量，则n ⊥BD→，n ⊥DF →，所以⎩⎨⎧n·BD→＝2x －2y ＝0，n·DF→＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－2.则n ＝(1,1，－2)．因为AM →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22，1. 所以n ＝－2 AM→，得n 与AM →共线．所以AM ⊥平面BDF .10．底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】法一设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，12.连接AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，0.因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →.所以OE ∥AS .又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD . 又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .法二设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，因为BD →＝(－1,1,0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，12，12，所以⎩⎨⎧n1⊥BD →，n1⊥BE→，即⎩⎨⎧n1·BD→＝－x ＋y ＝0，n1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0，令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1,1,0)．因为AS ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0,0,1)．因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .[能力提升]1．如图3-2-20，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是()图3-2-20A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)【解析】设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，1. 故AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0，1. 所以⎩⎨⎧ AE→·n＝0，AF →·n＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12z ＝0，－12x ＋z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12z ，x ＝2z. 当z ＝－2时，n ＝(－4,1，－2)，故选B.【答案】 B 2．如图3-2-21，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，D 是棱CC 1的中点，P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点．若点Q 在线段B 1P 上，则下列结论正确的是()图3-2-21A ．当点Q 为线段B 1P 的中点时，DQ ⊥平面A 1BDB ．当点Q 为线段B 1P 的三等分点时，DQ ⊥平面A 1BDC ．在线段B 1P 的延长线上，存在一点Q ，使得DQ ⊥平面A 1BDD ．不存在DQ 与平面A 1BD 垂直【解析】以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由已知得A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)，D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，P (0,2,0)，A1B →＝(1,0,1)，A1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，1，12，B1P →＝(－1,2,0)，DB1→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，－1，－12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n·A1B →＝x ＋z ＝0，n·A1D →＝y ＋12z ＝0，取z ＝－2，则x ＝2，y ＝1，所以平面A 1BD 的一个法向量为n＝(2,1，－2)．假设DQ ⊥平面A 1BD ，且B1Q →＝λB1P →＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，则DQ →＝DB1→＋B1Q →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12，因为DQ →也是平面A 1BD 的法向量，所以n ＝(2,1，－2)与DQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12共线，于是有1－λ2＝－1＋2λ1＝－12－2＝14成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ 与平面A 1BD 垂直，故选D.【答案】 D3.如图3-2-22，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．图3-2-22【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，0，∴EF →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－12，－12，平面PBC 的一个法向量n ＝(0,1,1)，∵EF →＝－12n ，∴EF →∥n ， ∴EF ⊥平面PBC .【答案】垂直4．如图3-2-23，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，∠ABC ＝∠P AD ＝90°，侧面P AD ⊥底面ABCD .若P A ＝AB ＝BC ＝12AD .图3-2-23(1)求证：CD ⊥平面P AC ；(2)侧棱P A 上是否存在点E ，使得BE∥平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由．【解】因为∠P AD ＝90°，所以P A ⊥AD .又因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，且侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以P A ⊥底面ABCD .又因为∠BAD ＝90°，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)．(1)AP→＝(0,0,1)，AC →＝(1,1,0)，CD →＝(－1,1,0)，可得AP →·CD →＝0，AC →·CD→＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD . 又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面P AC .(2)设侧棱P A 的中点是E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，12，BE →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，0，12. 设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n·CD→＝0，n·PD →＝0，因为CD→＝(－1,1,0)，PD →＝(0,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,1,2)．所以n ·BE →＝(1,1,2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE →. 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD .综上所述，当E 为P A 的中点时，BE ∥平面PCD .。

2019-2020人教A版数学选修2-1 第3章 3.1 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算课件PPT

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4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，化简向量表达式A→B－C→D＋B→C －D→A的结果为________．
2A→C [A→B－C→D＋B→C－D→A＝(A→B＋B→C)－(C→D＋D→A) ＝A→C－C→A＝2A→C.]
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合作探究提素养
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空间向量的有关概念
【例 1】 (1)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； ②若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|＝|b|； ③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A→C＝A→1C1； ④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p. 其中正确命题的序号是________．
第三章空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.2 空间向量的数乘运算
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学习目标 1．理解空间向量的概念．(难
核心素养
点)
1．通过空间向量有关概念的学习，
2 ．掌握空间向量的线性运培养学生的数学抽象核心素养．
算．(重点)
2．借助向量的线性运算、共线向量
3．掌握共线向量定理、共面向及共面向量的学习，提升学生的直观
量定理及推论的应用．(重点、想象和逻辑推理的核心素养.
难点)
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自主预习探新知
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1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起点是 A，终点是 B，也可记作： A→B ，其模记为 |a| 或 |A→B| ．

2019-2020学年度最新高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.1空间向量及其加减运算课件(36张)-优质PPT课件

AA1 )
(4) AB

AD

1 2
CC1
D1 A1
D A
C1 B1
C B
a
D
D1 A1
C1 B1
CD
C
A
BA
B
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
你能类比平面向量的定义、表示以及运算法则推出空间向量的定义、表示以及运算法则.
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念定义表示法相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法加法:三角形法则或减法平行四边形法则数乘减法:三角形法则
运算数乘:ka,k为正数,负数,零
运加法交换律 a b b a 算加法结合律律 (a b) c a (b c)
扩展（1）首尾相接的若干向量之和，等于由
起始向量的起点指向末尾向量的终点的量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
做一做、想一想
AB AD AA1 ? AB AA1 AD ?
D1 A1
C1 B1
D A
C B
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC

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3.1.1 空间向量及其加减运算
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【做一做 2】在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若�� =a, �� =b, ��1 =c,则��1��等于( )
A.a+b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 答案:D 解析:如图,
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【做一做1】下列说法错误的是( ) A.所有零向量的模相等 B.模相等的向量不一定是相等向量 C.零向量没有方向 D.一个向量与其相反向量的模相等答案:C
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(3)空间向量加法的平行四边形法则.先把已知的两个空间向量的起点平移到同一点,再以这两个向量为邻边作平行四边形,则这两条邻边所夹的平行四边形的对角线所在的向量(起点与平移后的两个向量的起点相同)就是这两个已知向量的和.如图,若 �� =a, �� =b,则�� = �� + �� =a+b.
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Hale Waihona Puke 典例透析2.向量的加减运算 (1)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.类似于平面向量,定义空间向量的加减运算如下:

2019-2020年高中数学选修2-1空间向量及运算

2019-2020年高中数学选修2-1空间向量及运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教具准备：《PowerPoint》课件．教学过程：（在演示课件的同时讲授）Ⅰ.复习引入［师］在第五章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在第五章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：=a+b，（指向被减向量），λa［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.课堂练习课本练习Ⅳ.课时小结平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本练习⒉⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？板书设计：.。

2019-2020学年新素养同步人教A版数学选修2-1课件：3.1.1-2空间向量及其加减运算空间

第十四页，编辑于星期日：点分。
课堂探究互动讲练类型一空间向量的有关概念 [例 1] 给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A→C＝A→1C1； ③若向量 a 与向量 b 的模相等，则 a，b 的方向相同或相反； ④在四边形 ABCD 中，必有A→B＋A→D＝A→C. 其中正确命题的序号是________．
方法归纳 (1)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素，即大小和方向，两者缺一不可． (2)要注意零向量的特殊性．对于零向量，应明确： ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的； ②零向量与任何向量都共线．
第十七页，编辑于星期日：点分。
(3)对于共线向量应明确： ①当 a 与 b 共线时，表示 a，b 的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线，也可能是平行直线； ②共线(平行)向量不具有传递性，如 a∥b，b∥c，那么 a∥c 就不一定成立，因为 b＝0 时，虽然有 a∥b，b∥c，但 a 不一定与 c 共线，若 a，b，c 都不是零向量，则具有传递性.
3．1.1 空间向量及其加减运算
3．1.2 空间向量的数乘运算
第一页，编辑于星期日：点分。
【课标要求】 1.经历向量及其运算由平面到空间推广的过程，了解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加法、减法和数乘运算. 3.理解空间共线向量和共面向量定理及推论.
第二页，编辑于星期日：点分。
自主学习基础认识
第十八页，编辑于星期日：点分。
跟踪训练 1 给出下列命题：①空间任意两个向量 a，b 一
定是共面的．②a，b 为空间两个向量，则|a|＝|b|⇔a＝b.③若 a∥b，
则 a 与 b 所在的直线平行．其中错误命题的序号是( )

2019-2020学年人教A版高中数学选修2-1新课改地区版课件：3.2.3 空间向量在立体几何中的应用(习题课)

＋|
―→ BD
|2
＋
2(
―C→A ·―A→B ＋
―A→B ·―B→D ＋―C→A ·―B→D
)
＝22＋
12
＋
32
＋
2[0
＋
0
＋
|
―→ CA
|·| ―B→D
|cos(180°－
60°)]
＝
4
＋
1
＋
9
＋
2×2×3×－12＝8，故|―C→D |＝2 2，即 CD 长度为 2 2.
探究点二空间位置关系与空间角的综合 [典例精析] 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为矩形，平面 ABEF⊥ 平面 ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，点 P 在棱 DF 上．
＝
－22＋21＋2t－t 22＝ 36，
解得 t＝23或 t＝2(舍)．
所以 P0，23，23，则―P→F ＝0，－23，13，
所以
PF＝
5 3.
[类题通法] (1)解决立体几何问题一般有三种方法：综合法、向量法、坐标
法．综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题．一般情况下，我们遵循的原则是以综合法为基础，以向量法为主导，以坐标法为中心． (2)向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算．
则 B(1,0,0)，E12，0，1，P0，1，12，C(1,2,0)．所以―B→E ＝－12，0，1，―C→P ＝－1，－1，12，所以 cos〈―B→E ，―C→P 〉＝|――BB→E→E |·|――CC→P→P |＝4155，所以异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值为4155. (3)因为 AB⊥平面 ADF，