第九章几种典型的晶格统计模型-USTC
《几种简单的晶体结构模型》 讲义
《几种简单的晶体结构模型》讲义一、晶体结构的基本概念在探讨晶体结构模型之前，咱们得先搞清楚啥是晶体。
晶体啊，简单来说，就是内部原子、离子或者分子在空间有规则排列的固体物质。
这种规则排列可不是随便排的，而是遵循着一定的周期性和对称性。
那晶体结构又是什么呢？它指的就是晶体中原子、离子或分子的具体排列方式。
就好像咱们搭积木，积木怎么摆，摆成啥样，这就是结构。
要研究晶体结构，就得了解几个重要的概念。
比如晶格，这可以想象成是一个虚拟的架子，原子啥的就在这个架子的节点上排排站。
还有晶胞，它是能够反映晶体对称性和周期性的最小重复单元。
二、几种简单的晶体结构模型1、简单立方晶体结构咱们先来说说简单立方晶体结构。
这就好比是在一个正方体的每个顶点上都放一个原子。
想象一下，一个正方体，八个顶点，每个顶点一个原子，是不是挺简单明了？这种结构里，原子之间的距离都相等，而且每个原子都被八个相邻的原子包围着。
简单立方晶体结构在实际材料中不常见，但它是理解其他更复杂结构的基础。
2、体心立方晶体结构接下来是体心立方晶体结构。
这就有点不一样了，除了正方体的八个顶点有原子外，正方体的中心还有一个原子。
在这种结构里，原子的紧密程度比简单立方要高一些。
每个原子周围有八个近邻原子，同时还有六个次近邻原子。
很多常见的金属，像铁、铬、钨等，在低温时就会呈现体心立方结构。
3、面心立方晶体结构再看看面心立方晶体结构。
这就更复杂一点啦，正方体的八个顶点有原子，六个面的中心也各有一个原子。
面心立方结构中的原子排列非常紧密，原子间的空隙相对较小。
像铜、铝、金等金属，通常都具有面心立方结构。
4、密排六方晶体结构最后咱们说说密排六方晶体结构。
这可有点特别，它的原子排列是在一个正六棱柱的顶点和上下底面的中心，还有棱柱内部还有三个原子。
这种结构也具有较高的原子紧密程度，在一些金属，比如镁、锌、钛等中经常能看到。
三、晶体结构对材料性能的影响不同的晶体结构会对材料的性能产生很大的影响。
晶格的基本类型
下面我们计算与转动对应的变换矩阵。
当OX绕Ox1转动角度时，图中
X ( x1 , x2 , x3 )
X ( x1, x2 , x3 )
若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R， 则
x1 x1
x3
X ( x1, x2 , x3 )
X ( x1 , x2 , x3 )
O
x2
x1
x1 x 2 x 3
x1 x2 x3
A
1 0 0
0 1 0
001
A 1
(4)旋转--反演对称
若晶体绕某一固定轴转 2π 以后，再经过中心反演,晶体自 n
身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。
旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。
旋转--反演对称轴用 1, 2, 3, 4, 6 表示。 +号表示或的意思
补充内容： 晶体的对称性
1. 对称性与对称操作
对称性：经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。 对称操作：使晶体自身重合的动作。 对称素： 对称操作所依赖的几何要素。 1). 对称操作与线性变换
经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1, x2 , x3 ) 变为
X ( x1, x2 , x3 ) 可以用线性变换来表示。
理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对 称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理 性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。
如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面。
（5）n度螺旋轴：若绕轴旋转2/n角以后，再沿轴方向平 移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中T是 轴方向的周期， l是小于n的整数。 n只能取1、2、3、4、6。
几种常见的晶体模型及晶胞的计算
几种常见的晶体结构模型和晶胞的计算
知识建构
晶体结构与性质
氨的转化与生成氨晶的体转结化构与与生性成质
知识建构
一、 密置层
一、金属晶体
二维空间 非密置层
密置层
配位数(直接相切) 4
6
堆积方式
简单立方堆积 体心立方密堆积
面心立方最密堆积
结构示意图
六方最密堆积
晶胞
配位数
6
8
每个晶胞完整
拥有微粒数
1
2
R与a的关系
2R=a
12
12
4
2
2R=a
氨晶的体转结化构与与生性成质 知识建构 一、金属晶体
堆积方式
简单立方堆积 体心立方密堆积(A2) 面心立方最密堆积(A1) 六方最密堆积(A3 )
结构示意图
晶胞
每个晶胞完整拥
1
2
有微粒数
R与a的关系
2R=a
空间利用率
4
2
2R=aHale Waihona Puke b知识建构NaCl型
CsCl型
ZnS型
CaF2型
晶胞
F-
Ca2+
配位数
每个晶胞完整 拥有微粒数
Na+:6 Cl-:6 Na+:4 Cl-:4
Cs+:8 Cl-:8 Cs+:1 Cl-:1
Zn2+:4 S2-:4 Zn2+:4 S2-:4
Ca2+:8 F-:4 Ca2+:4 F-:8
符合物质
BaF2、PbF2、CeO2等
思考：1.NaCl晶胞中，距离最近且相等的Cl-的数目是多少？ZnS中的S2-？CaF2中的Ca2+？ 12 思考：2. CsCl晶胞中，距离最近且相等的Cl-的数目是多少？Cs+？ CaF2中的F-？ 6
第九章几种典型的晶格统计模型
由这两式可得临界温度为：
并且 在两种情形下，我们还有：
对序参量M我们有：
因此其对应的临界指数β=1/2。 内能和比热为：
当B0时， ,故我们有
磁化率： 故临界指数γ=1。再利用
，我们发现在
时，
因此临界指数δ=3。这些临界指数与维数无关，且与朗道平均场理论结果完全一致。
2）Bethe-Peierls方法（考虑了最近邻相互作用）：
• 自旋波和涡旋态： 上面我们讨论了涨落的后果，下面我们讨论自由能极小产生的后果。
我们上面的讨论假设了 是一个光滑函数，即相邻自旋缓慢地变化，这是一种自旋波式的描 述。但如果系统中出现涡旋态，上面的描述是不准确的，因为对涡旋态而言，自旋经过一个闭 合路径将产生2πq的突变(q为整数，称为涡旋的绕数或涡旋量子数)。为此我们把 分为两部 分：涡旋态部分为 ，自旋波部分为 ，即有
N∞时，配分函数变为：
由此可得亥姆霍茨自由能：
上式中根号恒为正，对所有实h和T>0自由能为h和T的解析函数。故一维Ising模型不存在非零温 相变，或称相变温度为T=0。
关联函数：
这里已利用了T>0时， 故
令j=i+n，有
令所有 相等得
故T=0时，有 系统处于完全有序态。 T>0时，有 因此关联长度为 当T0时，K>>1, 于是关联长度：
系统中所有自旋倾向于一致排列，故任意两个相邻自旋的夹角都很小，所以我们可以做展开：
把晶格格点坐标看作连续变量，我们有：
于是：
由此我们可以把哈密顿量写为：
上面第一项与自旋无关，可视为常量，因此可以略去。所以哈密顿量可写为：
这里
下面我们针对XY模型来考察系统对涨落的稳定性（通过关联函数）和自由能的情况。 • 两点关联函数：考察系统在低温下是否有长程（有）序。
常见晶体模型及晶胞计算
常见晶体模型及晶胞计算
一、晶体模型
晶体模型是用来描述晶体结构的数学模型，它是由晶体中的原子，原子之间的相互作用以及构成晶体结构的基本构件构成的。
晶体模型有很多种，主要包括普通晶体模型、块体晶体模型、多解晶构模型、时效晶体模型、闪锌晶体模型等。
1.普通晶体模型：普通晶体模型包括立方晶体模型、六方晶体模型和六点晶体模型，它依据晶体原子的八面体集合和块体构件来描述晶体的结构。
2.块体晶体模型：块体晶体模型是指块体晶体的特殊形状，即一种多晶体结构模型，它以晶胞的形状来描述晶体结构，每一晶胞都包含若干个晶体原子。
3.多解晶构模型：多解晶构模型是一种描述晶体结构的复杂模型，它以自动运算机技术，以多样的晶胞几何位置，把晶体分解成若干个块体，用最小的能量来构建晶体结构，从而避免晶体自组织构建的耗能现象。
4.时效晶体模型：时效晶体模型也称为“时效条件”。
它描述了晶体原子的动力学过程，它有助于理解晶体中不同原子间的相互作用，以及晶体在不断降温、淬火和轧缩的过程中的变化。
常见晶体模型及晶胞计算PPT课件
) = 1︰1 ,化学为 CsCl
。
思考：NaCl、CsCl同属AB型离子晶体， NaCl晶体中 Na+的配位数与CsCl晶体中Cs+的配位数是否相等？
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CaF2的晶体结构
（1）每个Ca2+周围等距且紧邻的F-有 Ca2+配位数为 。
8
8
（2）每个F-周围等距且紧邻的Ca2+有 个， F-配位数为 。
堆积模型
采纳这种堆积 的典型代表
空间利用率
配位数
简单立方
Po（钋）
52%
6
体心立方 （钾型）
K、Na、Fe
68%
8
六方最密 （镁型）
Mg、Zn、Ti
74%
12
面心立方最密 （铜型）
Cu, Ag, Au
74%
12
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晶胞
原子晶体
金刚石
该晶胞实际分摊到的碳原子数为 (4 + 6 ×1/2 + 8 ×1/8) = 8个。
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小结：高考常见题型 （一） 晶胞中微粒个数的计算， 求化学式
（二） 确定配位数
（三） 晶体的密度及微粒间距离 的计算
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练习
1、（2013·江苏，21A（1）） 元素X 位于第四周期，其基态原子的内层轨道全部排满电子，且最外层电子数 为2。元素Y基态原子的3p 轨道上有4个电子。
每个晶胞含 4 个原子
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铜型
12
6
3
54
12
6
3
54
12
6
3
54
第三层的另一种排列方式，是将球 对准第一层的 2，4，6 位，不同于 AB 两层的位置，这是 C 层。
常见的晶体模型
八面体空隙
四面体空隙
面心立方最密堆积
六方最密堆积
八面体空隙
四面体空隙
在简单立方堆积中，只有一种空隙，即由八个相邻的 负离子 所包围的立方体空隙， 负离子数︰立方体空隙数= 1︰1
NaCl晶体结构示意图：
ClNa+
CsCl晶体结构示意图：
Cs+ Cl -
闪锌矿ZnS型
纤锌矿型结构 α－ZnS
写出该分子的化学式
。
第十题 3．Mn3O4可写成[Mn2＋][Mn3＋]2O4，是一种正常的尖 晶石结构，晶胞如右图所示，晶胞参数a＝0.86nm。 （（12））右A位图置包的括离8 子个是MMnn2＋3O4；，占据的是四__面__体___空隙， 占有率是 1/8 ；B位置的离子是 Mn3＋ ，占据的 是 八面体 空隙，占有率是 1/2 。 （3）估算该Mn3O4的密度。
闪锌矿型 岩盐型 萤石型
本题
PtN PtN PtN2 PtN2
8-3 试在图上挑选一个氮原子，不添加原子，用粗 线画出所选氮原子的配位多面体。
8-4 请在本题的附图上添加六个氮原子（添加的氮请 尽可能靠前）。
第11题 磷化硼是一种受到高度关注的耐磨涂料，它 可用作金属的表面保护层。磷化硼可由三溴化硼和三 溴化磷在氢气中高温反应合成。
ρ＝ N8MAa＝3 4.8g/cm3
的白球表示氮原子，为便于观察，该图省略了一些氮原
子）。结构分析证实，氮是四配位的，而铂是六配位的； Pt—N键长均为209.6pm，N—N键长均为142.0 pm（对 比：N2分子的键长为110.0pm）。
8-1 氮化铂的上述四种立方晶体在结构上有什么共同点？ 铂原子面心立方最密堆积
8-2 分别给出上述四种氮化铂结构的化学式。
七大晶系图解
晶体的七大晶系是十分专业的问题，它有时是鉴别晶体的关键，鉴藏矿晶的人多少应该知道一些。
概论已知晶体形态超过四万种，它们都是按七种结晶模式发育生长，即七大晶系。
晶体是以三维方向发育的几何体，为了表示三维空间，分别用三、四根假想的轴通过晶体的长、宽、高中心，这几根轴的交角、长短不同而构成七种不同对称、不同外观的晶系模式：等轴晶系，四方晶系，三方晶系，六方晶系，斜方晶系，单斜晶系，三斜晶系上图是七大晶系的理论模型，在同一水平面上，请大家仔细分辨它们的区别。
面向观众的轴称x 轴，与画面平行的横轴称y 轴，竖直的轴称z 轴，也可叫“主轴”请看图一，等轴晶系简介等轴晶系的三个轴长度一样，且相互垂直，对称性最强。
这个晶系的晶体通俗地说就是方块状、几何球状，从不同的角度看高低宽窄差不多。
如正方体、八面体、四面体、菱形十二面体等，它们的相对晶面和相邻晶面都相似，这种晶体的横截面和竖截面一样。
此晶系的矿物有黄铁矿、萤石、闪锌矿、石榴石，方铅矿等。
请看这种晶系的几种常见晶体的理论形态：等轴晶系的三个晶轴（x 轴y 轴z 轴）一样长, 互相垂直常见的等轴晶系的晶体模型图金刚石晶体八面体和立方体的聚形的方铅矿黄铁矿四方晶系简介四方晶系的三个晶轴相互垂直，其中两个水平轴（x 轴、y 轴）长度一样，但z 轴的长度可长可短。
通俗地说，四方晶系的晶体大都是四棱的柱状体，（晶体横截面为正方形，但有时四个角会发育成小柱面，称“复四方”），有的是长柱体，有的是短柱体。
再，四方晶系四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都一样，但和顶端不对称（不同形）；所有主晶面交角都是九十度交角。
请看模型图：四方晶系的晶体如果z 轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（x 、y）发育大于竖轴z 轴，那么该晶体就是四方板状，最有代表性的就是钼铅矿。
请看常见的一些四方晶系的晶体模型：这个晶系常见的矿物有锡石、鱼眼石、白钨矿、符山石、钼铅矿等。
请看实物图片：符山石的晶体锡石的长柱状晶体（顶端另有斜生的小晶体）。
矿物晶体学：七大晶系图解和晶体标本之欧阳治创编
晶体的七大晶系图解和晶体标本概论晶体都是按七种结晶模式发育生长，即七大晶系。
晶体是以三维方向发育的几何体，为了表示三维空间，分别用三、四根假想的轴通过晶体的长、宽、高中心，这几根轴的交角、长短不同而构成七种不同对称、不同外观的晶系模式：等轴晶系，四方晶系，三方晶系/六方晶系，斜方晶系，单斜晶系，三斜晶系。
上图是七大晶系的理论模型，面向观众的轴称x 轴，与画面平行的横轴称y轴，竖直的轴称z轴，也可叫“主轴”。
在同一水平面上，请大家仔细分辨它们的区别。
一，等轴晶系简介等轴晶系的三个轴长度一样，且相互垂直，对称性最强。
这个晶系的晶体通俗地说就是方块状、几何球状，从不同的角度看高低宽窄差不多。
如正方体、八面体、四面体、菱形十二面体等，它们的相对晶面和相邻晶面都相似，这种晶体的横截面和竖截面一样。
此晶系的矿物有黄铁矿、萤石、闪锌矿、石榴石，方铅矿等。
等轴晶系的三个晶轴(x轴y轴z轴)一样长,互相垂直。
请看这种晶系的几种常见晶体的理论形态：常见的等轴晶系的晶体模型图金刚石晶体聚形的方铅矿黄铁矿二，四方晶系简介四方晶系的三个晶轴相互垂直，其中两个水平轴（x 轴、y轴）长度一样，但z轴的长度可长可短。
通俗地说，四方晶系的晶体大都是四棱的柱状体，（晶体横截面为正方形，但有时四个角会发育成小柱面，称“复四方”），有的是长柱体，有的是短柱体。
再，四方晶系四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都一样，但和顶端不对称（不同形）；所有主晶面交角都是九十度交角。
请看模型图：四方晶系的晶体如果z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（x 、y）发育大于竖轴z轴，那么该晶体就是四方板状，最有代表性的就是钼铅矿。
请看常见的一些四方晶系的晶体模型：这个晶系常见的矿物有锡石、鱼眼石、白钨矿、符山石、钼铅矿等。
请看实物图片：符山石的晶体锡石的长柱状晶体（顶端另有斜生的小晶体）。
请注意看柱体的棱角发育成窄小晶面，此种晶体又叫“复四方”——四个主柱面，四个小柱面。
七大晶系详细图解
七大晶系详细图解已知晶体的形态已经超过了四万种，但是万物都会有规律，晶体自然也是有的。
它们都是按七种结晶方式模式发育的，即七大晶系。
晶体即是一种以三维方向发育的的几何体，为了表示三维空间，分别用三、四跟人为添加的轴来表示晶体的长宽高以及中心。
三条轴分别用X、Y、Z（U）（Z轴也可叫做“主轴”）来表示，而为了更好表示轴之间的度数，我们用α、β、γ来表示轴角。
就这样出现了七种不同的晶系模式：立方晶系（也称等轴晶系）、四方晶系、三方晶系、六方晶系、正交晶系（也称斜方晶系）、单斜晶系、三斜晶系。
其中又按照对称程度又分为高级晶族、中级晶族、低级晶族。
高级晶族中只有一个立方晶系；中级晶族有六方、四方、三方三个晶系；低级晶族有正交、单斜、三斜三个晶系。
一、立方晶系立方晶系的三个轴的长度是一样的，即X=Y=Z，且互相垂直，即α=β=γ=90°，对称性最强。
具有4个立方体对角线方向三重轴特征对称元素的晶体归属立方晶系。
属于立方晶系的有：面心立方晶胞、体心立方晶胞、简单立方晶胞。
这个晶系的晶体并不是只有狭义的正方体一种形状，四面体、八面体、十二面体形状的晶体都属于立方晶系。
它们从不同角度看高低宽窄都差不太多，相对晶面和相邻晶面都相似，横截面和竖截面一样。
最典型立方晶系的晶体为：氯化钠。
常见立方晶系晶体模型图：晶体实物图：二、四方晶系四方晶系四方晶系的三条晶轴互相垂直，即α=β=γ=90°。
其中两个水平轴（X 轴、Y轴）长度一样，Z轴的长度可长可短，通俗的说：四方晶系的晶体大多是四棱的柱状体，有的是长柱体，有的是短柱体，即其晶胞必具有四方柱的形状。
横截面为正方形，四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都是一样的，但和顶端不对称。
所有主晶面交角都是90。
特征对称元素为四重轴。
如果Z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（X轴、Y轴）发育大于Z轴，那么晶体就会呈现四方板状，最有代表的就是磷酸二氢钠和硫酸镍β了。
固体物理学-晶格结构的分类
注：四方也不可能有底心（或面心），假如有，则破坏了“点
阵点最少”的原则，还可画出只有一个点阵点的格子。
Solid State Physics
三角和六角晶系的关系
（1）围绕z 轴旋转一周，三角晶系晶体的横轴可以重合三次，六角晶系的横轴则重合六次
（2）三角晶系有两种格子，其中一种和六方格子相同（注意对称轴不同）
另外一种则为三角晶胞（菱面三角晶胞），通常也采用六角晶胞来进行描述，
称为R心六角晶胞
（3）六角格子中，部分属于六角晶系，部分属于三角晶系
Solid State Physics
“底心四方”
“面心四方”
Solid State Physics
单斜（P）
单斜（C）
晶胞类型： a b c
三斜（P）
固体物理
Solid State Physics
1.7 晶格结构的分类
Solid State Physics
晶胞的选取
晶格对称性
基矢的模=晶轴上的周期(晶格常数)
晶胞的基矢方向=晶轴方向
十四种布喇菲格子
格点分布特点
晶胞基矢的特征
七大晶系
റ
、、
റ
റ 为布喇菲原胞三个矢，
റ
՜
՜
、、 分别为 与 ՜
晶胞类型：a b c
90
90
90
在这些型式中，其对称性由高到低的排列顺序为：
立方﹥六方﹥三方﹥四方﹥正交﹥单斜﹥三斜
Solid State Physics
立方
a
a
a
三方
六方
四方
c
a
a a
几种常见的晶体模型
Ⅱ. 体心立方堆积
密置层的堆积方式 第一层 ：
第二层 ：对第一层来讲最紧密的堆积方式是将球对准 1，3，5 位。 ( 或对准 2，4，6 位，其情形是一样的 )
12
6
3
54
12
6
3
54
，
AB
关键是第三层，对第一、二层来说，第三层可以有两 种最紧密的堆积方式。
Ⅲ.六方最密堆积
配位数12堆积模型晶胞详解简单立方堆积典型代表po配位数为间利用率52面心立方最密堆积又称为a型或铜型典型代表cuagau配位数为12空间利用率74方堆积又称为a型或钾型典型代表nakfe配位数为密堆积又称为a型或镁型典型代表mgznti配位数为12空间利用率74此课件下载可自行编辑修改供参考
几种常见的晶体模型
1．原子晶体
2．分子晶体
3．离子晶体
离子晶体中的配位数是指一个离子周围最邻近 的异电性离子的数目。
F
决定离子晶体结构的因素有：几何因素、电荷
Ca
因素、键性因素。
几种碳酸盐的热分解温度和阳离子半径
碳酸盐
MgCO3
CaCO3
SrCO3
BaCO3
热分解温度 /℃
402
900
1172
1360
阳离子半径 /pm
3
54
12
6
3
54
12
6
3
54
第四层再排 A，于是形成
ABC ABC 三层一个周期。
A
这种堆积方式可划分出面心
立方晶胞。
C
B
12
A
6
3
C
54
B
A
配位数 12 ( 同层 6， 上下层各 3 )
布拉维晶格在三维平面上的七大晶系14种晶格
布拉维晶格在三维平面上有七大晶系，14种晶格分别为三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、四方晶系、立方晶系、三方晶系、六角晶系。
依照简单、体心、面心及底心一、等轴晶系（立方晶系）等轴晶系的三个轴长度一样，且相互垂直，对称性最强。
这个晶系的晶体通俗地说就是方块状、几何球状，从不同的角度看高低宽窄差不多。
如正方体、八面体、四面体、菱形十二面体等，它们的相对晶面和相邻晶面都相似，这种晶体的横截面和竖截面一样。
此晶系的矿物有黄铁矿、萤石、闪锌矿、石榴石，方铅矿等。
请看这种晶系的几种常见晶体的理论形态：等轴晶系的三个晶轴(x轴y轴z轴)一样长,互相垂直常见的等轴晶系的晶体模型图等轴晶系的各种宝石金刚石晶体翠榴石黄铁矿萤石八面体和立方体的聚形的方铅矿二、四方晶系四方晶系的三个晶轴相互垂直，其中两个水平轴（x轴、y轴）长度一样，但z轴的长度可长可短。
通俗地说，四方晶系的晶体大都是四棱的柱状体，（晶体横截面为正方形，但有时四个角会发育成小柱面，称“复四方”），有的是长柱体，有的是短柱体。
再，四方晶系四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都一样，但和顶端不对称（不同形）；所有主晶面交角都是九十度交角。
请看模型图：四方晶系的晶体如果z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（x、y）发育大于竖轴z轴，那么该晶体就是四方板状常见的一些四方晶系的晶体模型符山石的晶体锡石的长柱状晶体（顶端另有斜生的小晶体）。
请注意看柱体的棱角发育成窄小晶面，此种晶体又叫“复四方”——四个主柱面，四个小柱面这是短柱状锆石，柱体几乎不发育。
象个四方双锥体或假八面体三、三方晶系和六方晶系三方晶系和六方晶系有许多相似之处，一些矿物专著和科普书刊往往将二者合并在一起，或干脆就称晶体有六大晶系。
与前面讲的五个晶系最大的不同是三方/六方晶系的晶轴有四根，即一根竖直轴（z轴）三根水平横轴（x、y、u轴）。
竖轴与三根横轴的交角皆为90度垂直，三根横轴间的夹角为120度（六方晶系为60度，也可说成三横轴前端交角120度。
晶胞类型
密排六
方晶格
晶胞是一个正六棱柱，原子除排列于柱体每个顶点和上下两个底面中心外，正六棱柱的中心还有三个原子
镁（Mg）、锌（Zn）、铍（Be）等
金属晶格类型比较表
名称
结构特点
晶胞示意图
典型金属
体心立
方晶格
晶胞是一个立方体，原子位于立方体八个顶点和立方体中心
钨（W）、钼（Mo）、钒（V）、铌（Nb）、α铁（α-立方体，原子位于立方体八个顶点和六个面中心
金（Au）、银（Ag）、铜（Cu）、铝（Al）、铅（Pb）、Y-铁（Y-Fe）等
晶格胞元构型设计
晶格胞元构型设计晶格胞元构型设计概述晶格胞元是用来描述晶体结构的基本单元，它是由一组原子或离子组成的最小单位。
在材料科学中，研究晶格胞元的构型设计对于探索新材料具有重要意义。
本文将介绍晶格胞元构型设计的相关知识。
晶体结构基础知识晶体是由周期性排列的原子、离子或分子组成的固体，具有明显的长程有序性。
其中，晶体结构是指原子、离子或分子在空间中排列的方式和规律。
根据原子、离子或分子排列方式和规律不同，可以将晶体结构分为三类：简单立方晶系、面心立方晶系和密堆积。
简单立方晶系简单立方晶系是指所有原子均位于正方形网格上，并且相邻两个原子之间距离相等。
这种结构最简单，但也最不稳定。
面心立方晶系面心立方晶系是指所有原子都位于正方形网格上，并且在每个正方形的中心都有一个额外的原子。
这种结构比简单立方更稳定。
密堆积密堆积是指原子按照一定的规律排列，使得它们之间距离最小。
这种结构最稳定。
晶格胞元晶格胞元是用来描述晶体结构的基本单元，它是由一组原子或离子组成的最小单位。
晶格胞元可以分为两类：基本晶胞和超晶胞。
基本晶胞基本晶胞是指最小的、能够重复填充整个空间的晶格单元。
在一个基本晶胞中，所有原子都有相同的环境。
超晶胞超晶胞是指多个基本晶胞构成的单元。
它们可以通过平移、旋转或反射等操作得到。
构型设计方法在实际应用中，为了获得具有特定性质的材料，需要对其进行构型设计。
下面介绍几种常见的构型设计方法。
随机搜索法随机搜索法是一种简单但有效的构型设计方法。
该方法通过随机生成大量不同的结构并计算其能量，从而找到最稳定的结构。
遗传算法遗传算法模拟生物进化过程中遗传变异、交配和选择等过程，在众多可能性中筛选出最优解。
该方法可以在大规模搜索空间中找到最优解，但需要较长的计算时间。
分子动力学模拟分子动力学模拟是一种基于牛顿力学原理的计算方法，可以模拟原子在时间和空间上的运动。
该方法可以预测材料的物理性质和化学反应等过程。
元素替代法元素替代法是通过将晶格胞元中的一个或多个原子替换为其他元素，从而改变材料性质的方法。
矿物晶体学：七大晶系图解和晶体标本之欧阳美创编
晶体的七大晶系图解和晶体标本概论晶体都是按七种结晶模式发育生长，即七大晶系。
晶体是以三维方向发育的几何体，为了表示三维空间，分别用三、四根假想的轴通过晶体的长、宽、高中心，这几根轴的交角、长短不同而构成七种不同对称、不同外观的晶系模式：等轴晶系，四方晶系，三方晶系/六方晶系，斜方晶系，单斜晶系，三斜晶系。
上图是七大晶系的理论模型，面向观众的轴称x轴，与画面平行的横轴称y轴，竖直的轴称z轴，也可叫“主轴”。
在同一水平面上，请大家仔细分辨它们的区别。
一，等轴晶系简介等轴晶系的三个轴长度一样，且相互垂直，对称性最强。
这个晶系的晶体通俗地说就是方块状、几何球状，从不同的角度看高低宽窄差不多。
如正方体、八面体、四面体、菱形十二面体等，它们的相对晶面和相邻晶面都相似，这种晶体的横截面和竖截面一样。
此晶系的矿物有黄铁矿、萤石、闪锌矿、石榴石，方铅矿等。
等轴晶系的三个晶轴(x轴y轴z轴)一样长,互相垂直。
请看这种晶系的几种常见晶体的理论形态：常见的等轴晶系的晶体模型图金刚石晶体聚形的方铅矿黄铁矿二，四方晶系简介四方晶系的三个晶轴相互垂直，其中两个水平轴（x轴、y轴）长度一样，但z轴的长度可长可短。
通俗地说，四方晶系的晶体大都是四棱的柱状体，（晶体横截面为正方形，但有时四个角会发育成小柱面，称“复四方”），有的是长柱体，有的是短柱体。
再，四方晶系四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都一样，但和顶端不对称（不同形）；所有主晶面交角都是九十度交角。
请看模型图：四方晶系的晶体如果z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（x 、y）发育大于竖轴z轴，那么该晶体就是四方板状，最有代表性的就是钼铅矿。
请看常见的一些四方晶系的晶体模型：这个晶系常见的矿物有锡石、鱼眼石、白钨矿、符山石、钼铅矿等。
请看实物图片：符山石的晶体锡石的长柱状晶体（顶端另有斜生的小晶体）。
请注意看柱体的棱角发育成窄小晶面，此种晶体又叫“复四方”——四个主柱面，四个小柱面。
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9.3 XY模型 KT相变
在上章里，我们通过系统对涨落的稳定性和自由能极小(是否有利于形成domain wall而破坏长程 序)的观点分析了连续自旋系统何时会有相变，并证明其下临界维数是2，即d<=2维不可能发生 相变。
这里我们讨论一种连续自旋系统---XY模型（对这个系统取维数d=2）---发生的一种特殊的相变，
：自旋取+1（向上）的自旋数目； ：自旋取-1（向下）的自旋数目； ：两自旋取+1的近邻自旋对数目； ：两自旋取-1的近邻自旋对数目； ：自旋取+1与自旋取-1的近邻对数目。
我们有：
上面的“2”由于每个 和 为独立变量，我们有：
被记了两次。因此五个变量里只有两个是独立的，选取
故哈密顿量可写为： 配分函数为：
考虑“浸没”在晶格里的自旋集团，它由中心自旋 和 个最近
邻组成，它们间的相互作用为
，最近邻自旋和系统中其
它自旋间的相互作用只通过一个平均场m’来计入，因此这样一
个含
个自旋的哈密顿量可写为：
该自旋集团的配分函数为（这里α’=m’β）：
对第一个求和号求和后得：
的平均值为： 的平均值为：
这些平均值在物理上应相等，故由
低温下的XY模型：关联函数呈幂率衰减（幂指数和温度有关），但无长程序； 通常的离散自旋系统(如Ising模型)在临界点：关联函数呈幂率衰减，有长程序； 高温顺磁态：关联函数呈指数衰减，无长程序。
N∞时，配分函数变为：
由此可得亥姆霍茨自由能：
上式中根号恒为正，对所有实h和T>0自由能为h和T的解析函数。故一维Ising模型不存在非零温 相变，或称相变温度为T=0。
关联函数：
这里已利用了T>0时， 故
令j=i+n，有
令所有 相等得
故T=0时，有 系统处于完全有序态。 T>0时，有 因此关联长度为 当T0时，K>>1, 于是关联长度：
1）变数变换法(仅对h=0情形)： • 自由边界条件： 系统配分函数为：
引入新变数：
配分函数为：
上面的因子“2”来源于每个η的取值对应于自旋的两种位型。
• 周期性边界条件：
，于是
2）转移矩阵法： 设外场 ，周期性边界条件。配分函数为：
定义矩阵： 具体为：
由此配分函数写为
其中
是矩阵T的两个本征值，具体为：
系统中所有自旋倾向于一致排列，故任意两个相邻自旋的夹角都很小，所以我们可以做展开：
把晶格格点坐标看作连续变量，我们有：
于是：
由此我们可以把哈密顿量写为：
上面第一项与自旋无关，可视为常量，因此可以略去。所以哈密顿量可写为：
这里
下面我们针对XY模型来考察系统对涨落的稳定性（通过关联函数）和自由能的情况。 • 两点关联函数：考察系统在低温下是否有长程（有）序。
第九章 几种典型的晶格统计模型
9.1 Ising模型 平均场近似
Ising模型是单轴离散自旋模型，它是最简单的铁磁-顺磁相变模型，自旋只能取+1或-1，哈密 顿量为： 或写为：
这里我们只考虑最近邻相互作用及
的情形。系统在正则系综里的配分函数为：
下面来求配分函数。引入变量晶格配位数 (每个自旋的最近邻数) 和：
这里g为有相同 和 的自旋哈密顿量的简并度。 此时仍难以求解。下面介绍两种近似方法（均为平均场近似方法）：
1）Bragg-Williams方法： 为方便定义一个量I:
I=1时所有自旋取+1值；I=-1时所有自旋取-1值。于是磁化强度可写为：
再定义I’为： 类似易知I’=1时所有自旋取+1值；I’=-1时所有自旋取-1值。故哈密顿量为
1) 两点的自旋关联函数为：
我们首先证明对任意的两点
上式可写为：
当
很小时，我们通过把
展开到二阶项再求平均，或把上面的指数
函数展开到二阶可发现二者相等。严格一些的证明，可以先考察哈密顿量（近似到二阶，并把
第一项略去）：
这个哈密顿量有二次型的形式：
，对这种形式的哈密顿量，根据杨展如书第一
章的(1.10.6)-(1.10.12)式（可以通过把实对称矩阵A对角化获得），我们有
Bragg-Williams假定（忽略自旋间的短程关联）： 于是哈密顿量： 配分函数为 对g(I)我们有：
带入Z的表达式有：
当N∞时，ln Z可用其中最大的一项的对数来代替，故由斯特林公式有：
上式由
可解得 ，结果为(磁化强度方程)：
B=0时用图解法解这个方程，可得
其中第二式
不对应于自由能极小值。
由这两式可得临界温度为：
称为KT相变(Kosterlitz-Thouless 相变)。XY模型的自旋为
，即在自旋空间里是二维的，
我们在坐标空间也取维数为2，即d=2。
• 哈密顿量： 设XY模型里自旋写为 哈密顿量为：
，即自旋的振幅为1，相角为 。在二维晶格上，系统的约化
上面的求和只对相邻晶格格点进行。我们仅考虑
即铁磁相互作用，这时在低温下
并且 在两种情形下，我们还有：
对序参量M我们有：
因此其对应的临界指数β=1/2。 内能和比热为：
当B0时， ,故我们有
磁化率： 故临界指数γ=1。再利用
，我们发现在
时，
因此临界指数δ=3。这些临界指数与维数无关，且与朗道平均场理论结果完全一致。
2）Bethe-Peierls方法（考虑了最近邻相互作用）：
上式两边对 和 求导，然后令 于是由这两式我们以获得
，下面我们来求
。
2) 求
：
转到傅里叶空间里求，为此把
展开为：
于是约化哈密顿量可写为： 现在把 通过与8.10节类似的讨论我们有：
作傅里叶变换： ，利用上面得到的哈密顿量我们有：
转到坐标空间有：
注意到展开式： 其中 是贝塞尔函数。把上式对θ求积分，我们有
再考虑到在低温下对k的积分实际上只限于小于
的|k|值，这里a为晶格常数，于是有
由此得：
下面我们讨论r趋于无限时的渐进行为，由于对所有实数z有
，上述积分可近似写为：
即 这说明角度之间的偏离随着距离的增加而增加，因此不可能有长程序。而两点关联函数最终 可写为：
即在低温下关联函数呈幂率衰减。
由此我们可以对比低温下XY模型与通常的离散自旋系统在临界点的性质和高温顺磁态的性质：
由此方程可确定平均场m’的大小。
自发磁化(h=0):
或：
若令：
，则
其解为：
可得
由这些式子可得（h=0时）：
因此若ξ=1，则
；其它情形则
取c=1可求得临界温度满足的方程：
解为：
；另有
两种近似下的热容：
9.2 一维Ising模型的严格解
含外场B的Ising哈密顿量为： 或写为约化形式：
介绍两种求解方法：