广东工业大学考试试卷线性代数

广东工业大学考试试卷 ( A )
考试时间: 2007 年 6月18日 (第 16周 星期 一)
一、 填空题(每小题4分，共20分)
1. 若三阶矩阵A 的行列式 |A| = a, 则 |3A| = __________,
2.若a
522315
21-=0, 则a =______.
3.已知四阶行列式D 的第三列元素依次为-1,2,0,1, 它们的余子式分别为5,3,-7,4,则 D = _______.
4. 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=-+2
201
32132132
1x x x x kx x
x x kx 有唯一解时，k 应满足 _______ 。

5. 设321,,ααα是线性无关向量组，则向量组
3233123211,,32ααβααβαααβ+=+=++=
线性关系是 ____________ .
二、选择题(每小题5分, 共 20分) 1.0111
1≠--k k 的充要条件是（ ）
（A ）0≠k （B ）2≠k （C ）0≠k 且2≠k （D ）0≠k 或2≠k
2．设A ，B 都是n 阶方阵，则下列等式中成立的有（ ）
(A)|A+B|=|A|+|B| (B)AB=BA (C)|AB|=|BA| (D)(A+B)-1=A -1+B -1
3.当非齐次线性方程组b X A n n m =⨯⨯1满足条件（ ）时，此方程组有解
（A ）n b A R ≥),( (B) )(),(A R b A R = (C) n b A R ≤),( (D) )(),(A R b A R ≥
4. 线性方程组⎩⎨⎧=++-+=-+-+0
x x 2x 2x 2x 20
x 2x x x x 5432154321的基础解系中所含向量的个数为（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 ( D) 4
三、 计算题 (共60分)
1. (10分)计算行列式D 的值: D = y
y x x -+-+111111111
1111
111
2. (15分)向量组 A : ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1222α, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013α, ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4224α.
（1）求向量组A 的秩；
（2）求向量组A 的一个最大线性无关组；
（3）把不属于最大无关组的向量用这个最大无关组线性表示.
3. （10分）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=111112111A ,判断A 是否可逆；如果A 可逆，求1-A 。

4. (10分)讨论线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-4
1
434
3232121a x x a x x a x x a x x 有解的充要条件, 并在有解的情况下,求它的一般解.
5. (15分)巳知矩阵A = ⎝
⎛1113 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫-----77835321314111161, 利用矩阵的初等行变换求: （1) A 的行最简形; （2) A 的秩R(A); （3) 对于AX=0, 给出方程组的基础解系.
考试时间:2008年6月20日 (第17周 星期五 )
一、单项选择题（每小题4分，共20分）
1、对任意n 阶方阵A 、B ，总有 （ D ）.
(A) ||||||A B A B +=+； (B) ()T T T AB A B =；
(C) 222()2A B A AB B +=++； (D) ||||AB BA =.
2、设A 、B 、C 都是n 阶方阵，则下列命题正确的是（ D ）.
（A ） 若00,0A B AB ≠≠≠且则；
（B ） 若AB=CB ，则A=C ；
（C ） 若AB 不可逆，则A ，B 都不可逆；
（D ） 若AB 可逆，则A ，B 都可逆.
3、设向量组123:,,A ααα的秩为2，则下面说法正确的是（ ）
(A)123,ααα向量可由 线性表示；
(B)向量组123,,ααα线性无关；
(C)部分组23,αα是123,,ααα 的一个最大无关组
(D)以上说法都不对
4、设123,,ηηη是齐次线性方程组AX O =的一个基础解系，则（ B ）也是它的基础解系
（A ）132132,,ηηηηηη---； （B ）1223123,,ηηηηηηη+-++；
(C)123,;ηηη- (D)122331123,,ηηηηηηηηη+++++,.
5、设A 是n 阶正交矩阵，则下列结论不正确的是（ D ）
（A ）1T A A -=; （B ）A 的行列式等于1
（C ）A 的行向量都是单位向量且两两正交；
（D ）A 的列向量都是单位向量且两两正交.
二、填空题：（每小题4分，共24分）
1、设矩阵A=400011023⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，则1A -= （ ）
2、若D=333231232221
131211
a a a a a a a a a =1，则D 1=1111121321212223313132
33233233233a a a a a a a a a a a a ---= （ ） 3、设A 为3阶方阵，且|A|=2，则1*13A A -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
=（ ）. 4、设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)T T T t ααα===，问当t 满足（ ）时，123,,ααα线性相关.
5、已知三阶矩阵A 的特征值为-1，1，12
，则行列式1|2|A E -+=（ ）. 6、设20001013A a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与400020002B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
相似，则a =( ).
三、（11分）已知4阶行列式2
63411051
3132413
D ---=----， D 的(,)i j 元的代数余子式记作ij A ， 求11121314A A A A +++
四、（11分） 求解矩阵方程AX B =，其中A =110101100-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
，B=
112053-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭。

五、（13分）设有线性方程组 1231231
232123(2)320x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪+++=⎨⎪+-=⎩
问：λ取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷解？并在有无穷多解时求通解。

六、(8分) 已知向量
组
（）线性无关，
设
，
，
,，讨论向量组的线性相关性。

考试时间: 第 19 周星期 三 ( 7 月 8 日)
一． 填空题()40104=⨯
1．
五阶行列式中含有因子433521a a a 的项为__________________________。

2． 设5阶行列式3=ij a ，作如下变换：交换第一，三两行，用2乘所有元素，再用（—3）乘以第二列加于第四
列，结果为_________________。

3． 已知4阶行列式D 中第三列元素依次为：—1，2，3，1，它们的余子式分别为5，3，—7，4，则D=_________________。

4． 设A 为3阶矩阵，2=A ，则*--⎪⎭
⎫ ⎝⎛A A 5211=____________________。

5． ____________cos sin sin cos 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--αααα，___________________0032000101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-。

6．
_______________1111________,101=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n λ。

7． 非齐次方程组b x A n m =⨯有解的充要条件为________________，无解的充要条件为_____________________，
齐次方程组0=⨯x A n m 有非零解的充要条件为____________________，只有零解的充要条件为_____________________
8． 要使向量组)1,1,1(),0,,2(),1,2,(321-===αααk k 线性相关，则k 的值为___________________，若线性无关，
则k 的值为___________________________。

9． 把向量)6,5,3(-=β表示成向量组)1,1,0(),1,1,1(),1,0,1(321--==-=ααα的线性组合为
_____________________________。

10． 已知n 阶矩阵A 的特征植为λ，若A 可逆，则1-A
的特征植为_______________，A I +的特征植为
_____________________。

二．计算题()60512=⨯
1． 计算行列式m
x x x x m x x x x m
x D n n
n n ---=
2121
21 2．已知⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=1000011000
111000001200032A ，求1-A 。

3．求向量组()()()(),10,6,1,4,2,10,6,2,1,5,3,1,3,1,1,14321-=-=-=-=a a a a ()3,1,2,35--=a 的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。

4．求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=-++=-+-62421635113254321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解。

5．求矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=314020112A 的特征植与特征向量。