排列与组合2-3 (2)

第一章 1.2 排列与组合
排列 排 列 (二 ) 1.2.1 第2课时
排列数的性质 温故知新 回顾复习排列的定义、排列数公式．
思维导航 1．在利用排列数公式计算时，由于化简的需要，可能会遇
m m 1 到对 An 与 Am 和 A 它们之间具有怎样的关系呢？ － n 1 n－1 进行运算，
－
新知导学 1．排列数的性质 m m－1 n ①An ＝_____A n－1 ；
5 ∴共有不同排法，4A2 A 2 5＝960 种．
元素不相邻问题 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出 节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排
法？
[解析] 先将 6 个歌唱节目排好，其不同的排法为 A6 6种， 这 6 个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排 4 个舞蹈节目 有 A4 7种排法，由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相 邻的排法为 A4 A6 7· 6＝604800(种)．
(2015·福州八县高二期末 )现安排甲、乙、丙、丁、戊5名
学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的课代表， 要求甲不当语文课代表，乙不当数学课代表，若丙当物理课代 表则丁必须当化学课代表，则不同的选法有( A．53种 C．85种 [答案] B B．67种 D．91种 )
2．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起 的不同排法有( )
A．70
C．36 [答案] C
B．72
D．12
[解析] 甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他 2 个同
3 学进行排列，共有 A3 3A3＝36 种排法．
3．用数字0、1、2、3、4、5可以组成没有重复数字，并
且比20000大的五位偶数共有( A．288个 C．144个 [答案] B ) B．240个 D．126个
2．定元、定位优先排．在有限制条件的排列问题中，有时 限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限 定某位置只能排(或不能排)某元素． 这种特殊元素(位置)解题时 要优先考虑． ①元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再 考虑其他元素，先特殊后一般． ②位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再 考虑其他位置，先分类后分步．
[解析] 个位是 0， 有 4A3 个位不是 0， 有 2×3×A3 4＝96 个； 4 ＝144 个，∴共有 96＋144＝240 个．
4 ．有七名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中
间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 ________. [答案] 192种
[解析] 解法 1：先去掉甲考虑其它 6 人，首先将乙、丙绑
方法三(特殊位置优先法)：按最左端优先安排分步．
6 对于左端除甲外有 A1 种排法，余下六个位置全排有 A 6 6， 5 但减去乙在最右端的排法 A1 A 5 5种， 6 1 5 故 N＝A1 6A6－A5A5＝3 720(种)．
[方法规律总结] 有限制条件的排列问题 有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接 法”． 1．至多、至少间接法 当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类 较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至 少”类词语的排列(组合)问题， 是需要分类问题， 常用间接法(即 排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有 元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排 列数，即_A ＋ A － n 1 n－1.
性质①是指从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素排成 一列．分两步骤完成：第一步从 n 个元素中选出 1 个排在一个 m－1 位置上， 第二步从余下的 n－1 个元素中选出__________ 个元素 排在余下的 m－1 个位置上，得到
[分析]
(1)甲是特殊元素，其余学生站法不受限制，故可
先将甲排好，再排其他人． (2)同(1)的分析， 甲、 乙是特殊元素可先在两端排好甲、 乙， 有 A2 2种排法，再排其他人． (3)直接排时，可按甲的站位分类：甲在最右端和甲不在两 端；也可按乙的站位分类． 用间接法求时，7 人全排列后减去甲在左端的和乙在右端 的(两种情形一样多)，再加上甲在左端且乙在右端的情形(两次 都减去了)．
[方法规律总结 ]
相离问题插空法．不相邻问题是指要求
某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将 其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙 及两端位置，故称“插空法”．
4名男生和4名女生站成一排
①男生不相邻的站法有________种．
②女生不相邻的站法有________种． ③男、女生相间的站法有 ________ 种． ( 可不必计算出数 值) [答案] ①2880 ②2880 ③1152
1 5 侧之一，另一侧由男生站，有 A1 · A · A 2 4 5种站法；②两侧全由男
生站， 老师站除两侧和正中外的另外 4 个位置之一， 有 A2 A1 A4 4· 4· 4
1 5 2 1 4 种站法，∴共有不同站法 A1 2A4A5＋A4A4A4＝2112 种．
典例探究学案
元素相邻问题
6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一
牛刀小试
1．(2015·河南周口市高二期末)6个人排成一排，其中甲、 乙不相邻的排法种数是( A．288 C．600 [答案] B ) B．480 D．640
[解析] 先排除去甲、 乙之外的 4 个人， 方法有 A4 4＝24 种， 再把甲、乙插入到 4 个人形成的 5 个空中，方法有 A2 5＝20 种， 再根据分步计数原理求得甲乙两人不相邻的排法种数是 24×20＝480 种， 故选 B．
5．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，
女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？ (1)两名女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)若4名男生身高都不等，按从高到低的一种顺序站； (4)老师不站中间，女生不站两端.
[解析] (1)2 名女生站在一起有站法 A2 2种，视为一个元素 与其余 5 个全排，有 A6 6种排法，
[解析] (1)(特殊元素优先法)先考虑甲有 A1 3种方案，再考
6 虑其余六人全排，故 N＝A1 3A6＝2 160(种)．
(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有 A2 2种方案，再安排其
5 余 5 人全排，故 N＝A2 · A 2 5＝240(种)．
(3)方法一(特殊元素优先法)：按甲是否在最右端分两类： 第一类：甲在最右端时有 N1＝A6 6 ( 种) ， 第二类：甲不在最右端时，甲有 A1 5个位置可选，而乙也有
(2013·陕西宝鸡中学高二期末)记者要为5名志愿者和他们 帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两 端，不同的排法共有( A．1440种 ) B．960种
C．720种
[答案] B
D．480种
[解析] 先将 5 名志愿者排好，有 A5 5种排法，2 位老人只 能排在 5 名志愿者之间的 4 个空隙中，先将 2 位老人排好，有 A2 2种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有 4 种插法．
5 A1 个位置，而其余全排 A 5 5， 1 5 有 N2＝A1 5A5A5(种)， 1 1 5 故 N＝N1＋N2＝A6 6＋A5A5A5＝3 720(种)．
方法二(间接法)： 无限制条件的排列数共有 A7 而甲在左端或乙在右端的排 7，
5 法都有 A6 ，且甲在左端且乙在右端的排法有 A 6 5， 6 5 故 N＝A7 － 2A ＋ A 7 6 5＝3 720(种)．
起的不同排法共有( A．720 C．240 [答案] C ) B．360 D．120
[解析]
因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在
一起视作一人，与其余四人全排列共有 A5 5种排法，但甲、乙两 人之间有 A2 2种排法，由分步计数原理可知：
2 共有 A5 · A 5 2＝240 种不同的排法，选 C．
4 排在 1 至 4 号位或 2 至 5 号位，∴有排法 2A4 4A4＝1152 种．
[点评]
相间问题是相离问题的特殊情形，它要求元素个
数相同或仅差一个．
定位定元问题 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求 不同的排列方案的方法种数．
(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；
(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； (3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端．
[方法规律总结] 1.解排列应用题的基本思路 实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题． 通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关， 有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)． 2． 相邻元素捆绑法． 如果所给问题中要求某 n 个元素必须 相邻，可将这 n 个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参 与排列．
m nAn－1 An ＝__________.
m－1
性质②是指从含有元素 a 的 n 个不同的元素中取出 m(m≤n) 个元素，排成一列． 第一类：m 个元素中含有 a，分两步完成． m 第一步，将 a 排在某一位置上，有__________ 种不同的方 法．
m－1 第二步， 从其余 n－1 个元素中取出__________ 个排在其他
有限制条件的排列问题 思维导航 2．日常生活和生产中，我们经常会遇到某元素在(或不在)
某位置、某位置排(或不排)某元素、某些元素必须相邻(或不能
相邻)等问题，这类问题解决时着眼点在哪里？
新知导学 特殊 元素的要 2．直接法：以元素为考察对象，先满足_______
一般 元素(又称为元素分析法)，或以位置为考察 求，再考虑_______
1 m 1 m－1 个位置有 Am n－1 种方法，即有 mAn－1 种不同的方法．
－ －
第二类： m 个元素中不含有 a. 从 n － 1 个元素中取出
m m __________ 个元素排在 m 个位置上有 A m n－1 种方法，∴ A n ＝ 1 m mAm ＋ A － n 1 n －1