高一数学必修一总结

必修一精品归纳知识与方法

集合的重点内容

1．集合的三个重要性质：确定性，互异性，无序性

确定性：一个元素属于集合A，或者不属于集合A两者必有一个成立，也就是说一个元素能否属于集合A是明确的

互异性：集合中的元素是不会重复的

无序性：排列的顺序是不受限制的

2.集合的三种表示方法：列举法，描述法，图示法

列举法：只用于有限集合，能一个个列出来的

描述法：用于描述集合中的元素具有的共同特征

图示法：考试的时候写答案不要写这个蛋疼的玩意儿，这个鬼东西是让你分清元素用的。

3.含有n个元素的集合有2的n次方的子集，有2的n次方-1个真子集，有2的n次方-2个非空真子集

4.集合运算的相关概念

并集：通俗来讲，就是当求所有集合的相加起来而得到的新集合时，新集合的元素来源于之前集合的所有元素，有相同元素的话只出现一次就好了。举个例子：设A={4，5，6，8}，B={3，5，，7，8}，求AUB

交集：集合与集合之间有相同元素所组成的新集合

补集：首先给你一个集合A，它在全集U里面，那么处于A所剩余的U就叫做U的补集（用图示法比较容易懂）

课本P13页阅读与思考公式提取：

Card（AUB）=card(A)+card(B)-card(AnB)用来算集合的个数的。集合的内容就讲到这里。

函数及其表示

现在我们来讲一下函数这个东西。光是第一节就有很多内容了，不要给函数的表示这几个字给骗了，我宁愿叫“函数的所有性质”之类的。前面的映射什么的我们直接省略掉，直接上重点！！

1.函数的组成：一个完整的函数都是有定义域，解析式，值域组成的。注意，值域是由定义域和解析式组成的。做题的时候尤其要考虑定义域！！定义域优先考虑，没有它什么都是白搭！！

2.现在我们来学习几种函数解析式的求法：换元法，消元法待定系数法，赋值法等等等等。。。

换元法；例一已知f（x）=x²+x，求f（x+2）

解：把x+2当成自变量带进去算就是了，答案是：f（x+2）=x²+5x+6 例二：已知f（x+2）=x²+5x+6，求f（x）。

例三;已知f（x+1）=x²+2x-9，求f（x）

配凑法：例四已知f（√x+1）=x+2√x，求f（x）

解：原式=（√x）²+2√x+1-1=（√x+1）²-1所以f（x）=x²-1（x≥1）此题也可以用换元法做（不管那个方法都要考虑定义域，新元的定义域往往会变）

待定系数法：例五已知f（x）是一元二次函数，若经过原点且f（x+1）=f（x）+x+1.求f（x）

解：因为f(x)是一元二次函数

所以设 f(x) = ax² + bx + c ( a ≠ 0)

因为f(x + 1) = f( x ) + x + 1

a(x + 1)+ b(x + 1) + c = ax+bx+c+x+1

2ax + a + b = x + 1

所以 2a = 1 ,a + b = 1

所以 a = 1/2 ,b = 1/2

又因为f(0) = 0

所以 c = 0

所以 f(x)=x/2 + x/2

消元法：这种方法实质上就是解函数方程，关键是构造出方程组

例六：

例七：

函数解析式的求法到这里告一段落，接下来我们来看下如何求解函数的值域，函数值域的求法更加多样化，有配方法，判别式法，分离常数法，最值法，换元法，不等式法一大堆我们一一解答

配方法：对可以化成二次函数模型的函数常用这个方法

例八：（1）y=-2x²+5x+6

（2）y=-sin²x-3cosx+3（0,6）

最值法：利用函数最大值与最小值来判断，代表函数为三角函数。不讲

判别式法：实质是方程思想，通过对二次方程的实根的判别求值域。例九：求函数y=（2x+1）/（x²-2x+2）的值域

解：可得到yx²-2（y+1）x+2y-1=0，把这个函数看成是关于x的二次函数。算△≥0，即可以解出值域答案：3-√13/2≤y≤3+√13/2 详细的内容参照《判别式法》独立课件与相关练习

分离常数法：这种方法多用于分数型函数的值域

例十：（1）y=(3cosx+1)/(cosx+2)的最值

解：y=(3cosx＋1)/(cosx＋2)

y=[(3cosx＋6)－5]/(cosx＋2)

y=3－[5/(cosx＋2)]

因为：1≤cosx＋2≤3

则：5/3≤5/(cosx＋2)≤5

得：－2≤3－[5/(cosx＋2)]≤4/3

即：y∈[－2，4/3]

（2）y=2x+3/3x-2

基本不等式法：主要是用于能够化成基本不等式样子的函数，要求熟练掌握基本不等式

例十二：（1）y=x+1/x （2）y=3x/x²+4

解第二个：分子分母同时除以x，得到y=3/{x+（4/X）},

则当x＞0，x+（4/X）≥4；当x＜0的时候，则x+（4/X）=-[-x+(4/-x)]≤-4所以答案为[-3/4,3/4]

图像法：如果函数的图像比较容易作出，则可根据图像直观的得出函数的值域，尤其是求分段函数的值域，我们结合题目看看

现在我们来讲一下函数的单调性，函数单调性，说白了就是一个函数在某个区间内一直单调递增或者单调递减。证明函数的单调性通常有三种方法：定义法（高一菜鸟级方法），导数法（高二学会高三必备），图像法（此方法只用于题目图比较好做的，看人品）先看一道题目

例十一：证明函数f（x）=ax/x²-1（a＞0）在（-1，1）上是减函数。

方法一（定义法）：设-1＜X1＜X2＜1，则f（x1）-f（x2）= ax1/x1²-1- ax2/x2²-1=（ax1x2²-ax1-ax2x1²+ax2）/（x1²-1）（x2²-1）=a（x2-x1）（x1x2+1）/（x1²-1）（x2²-1）

因为-1＜X1＜X2＜1，所以x2-x1＞0，x1x2+1＞0，（x1²-1）（x2²-1）＞0。又a＞0，所以命题得证{用定义法证明函数单调性的一般步骤可简单为：设值，作差，变形，定号，作结。变形的目的在于确定差的符号因此变形是最重要的的一个步骤} 方法二（导数法）：f’(x)=a(x²-1)-ax（2x）/（x²-1）²=-a （x²+1）/（x²-1）²，显然当-1＜x＜1时候，f’（x）＜0，所以命题已证