“等腰三角形”重难点剖析

“12.3等腰三角形”重难点剖析
丁浩勇（安徽省无为县刘渡中心学校 238341）
等腰三角形有着广泛的应用，一定要熟练掌握它的相关知识． 知识点一：等腰三角形的性质
【例1】如图1，已知AB AC AD AE ==，．求证：BD CE =． 分析：由于△ABC 和△ADC 是等腰三角形，且它们底边上的高重合，添加辅助线根据“三线合一”容易得出BD CE =．
证明：过点A 作BC AM ⊥，垂足为M ．
∵AB AC AD AE ==，，BC AM ⊥，∴EM DM CM BM ==,（三线合一）．∴BD CE =． 点拨：等腰三角形的“三线合一”性质是证明线段（或角）相等的一种容易被忽视的方法．本题也可以根据全等三角形来证，但用“三线合一”要简便．
知识点二：等腰三角形的判定
【例2】如图2，在△ABC 中，AC AB =，BC AD ⊥于点D ，DE ∥AB ． 求证：△EAD 是等腰三角形．
分析：由等腰三角形的性质可知21∠=∠，又由DE ∥AB 得32∠=∠，所以31∠=∠，由“等角对等边”得△EAD 是等腰三角形．
证明：∵AC AB =，BC AD ⊥，∴21∠=∠（三线合一）． ∵DE ∥AB ，∴32∠=∠．∴31∠=∠． ∴ED EA =，即△EAD 是等腰三角形． 点拨：判定一个三角形是等腰三角形的方法有 （1）等腰三角形的定义； （2）等腰三角形的判定定理；
（3）在一个三角形中，如果①一边上的高、②一边上的中线、③一边所对的角平分线，这三个条件中的任意两条线段重合，就可以推出此三角形是等腰三角形．
知识点三：等边三角形的性质
【例3】已知：如图3，△ABC 是等边三角形，过顶点B 作边AC 的垂线，垂足为D ，E 是BC 延长线上一点，且CDE E ∠=∠．求证：
DE DB =．
分析：要证DE DB =，只要E DBC ∠=∠即可． 证明：∵△ABC 是等边三角形，且BD ⊥AC ， ∴︒=∠︒=∠30,60DBC ACB ．
又∵CDE E ∠=∠，∴︒=∠=∠=∠302
1ACB CDE E ．∴E DBC ∠=∠．∴DE DB =．
M
B
D
C
E
A
图1
图2
B
C
A D
E
2 3 1
A
B
C D
图3
E
点拨：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的“三线合一”性质同样适用于等边三角形，且它的顶角平分线分得的两个角都等于︒30．
知识点四：等边三角形的判定
【例4】已知：如图4，在等边△ABC 中，D 是AC 边上的一点，且21∠=∠，CE BD =． 求证：△ADE 是等边三角形．
分析：由ACE ABD ∆≅∆，得︒=∠=∠60BAD CAE ，
AE AD =．从而△ADE 是等边三角形．
证明：∵△ABC 是等边三角形，∴︒=∠=60,BAC AC AB ．
在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=CE BD AC AB 21
∴ACE ABD ∆≅∆．∴AE AD =，︒=∠=∠60BAD CAE ．∴△ADE 是等边三角形． 点拨：判定三角形是等边三角形时，一般采用 1.一般三角形，找三条边相等或三个角相等； 2.等腰三角形，找一个角为︒60即可．
2 1 A
E
C
B
D
图4。