清华大学2017年领军计划试题

清华大学2017年自主招生与领军计划数学试题
（1）设函数2()x
x f x e
e ax =+-，若对0,()2x
f x ∀≥≥，则实数a 的取值范围是
()(,3]A -∞ ()[3,)B +∞ ()(,2]C -∞ ()[2,)D +∞
解答：问题等价于22x x e e ax +≥+在[0,)+∞上恒成立；
记2()x
x g x e e =+，()2h x ax =+，两函数均过(0,2)，且(0)3g '=，可知(,3]a ∈-∞.
答案A.
（2）设,A B 为两个随机事件，且,0()1A B P A ⊂<<，则
()()1()A P AB P B =- ()()1()B P AB P B =-
()(|)()C P B A P B = ()(|)()D P B A P B =
解答：（A ）()1()1()P AB P AB P A =-=-，所以A 错；
（B ）()()1()1()P AB P A B P A B P B ==-=-，所以B 对；
（C ）()()
(|)1()()
P AB P A P B A P A P A =
==，所以C 错； （D ）()()()
(|)1()1()
P B A P B P A P B A P A P A --==--，所以D 错；答案B.
（3）从0,1,2,
,9中选出三个不同数字组成四位数
（其中的一个数字用两次），如5242，这样的四位数共有
()1692A 个 (B)3672个 (C)3708个 (D)3888个
解答：十个数中先选出3个数，再从中选出一个作为用两次的，再选出两个位置放这个数，
剩下两个数再排列一下，共有32
104324320C C ⨯⨯⨯=个.
下面考虑0被排在了首位的情况：
1°0在后三位还出现了一次：则在剩下9个数中再选两个，于是有2
93!216C ⨯=个.
2°0只出现在首位：则在剩下9个数中再选两个，其中一个重复两次，于是有
2923216C ⨯⨯=个.
于是符合题目要求的四位数共有43202162163888--=个. 答案D.
（4）已知集合{1,0,1}M =-，{2,3,4,5,6}N =，设映射:f M N →满足：对任意的,()()x M x f x xf x ∈++是奇函数，这样的映射f 的个数
()25A (B)45 (C)50 (D)100
解答：设()()()g x x f x xf x =++
则(1)1g -=-，(0)(0)g f =，(1)12(1)g f =+，(1),(1)g g -均为奇数，所以只需令
(0)f 为奇数，所以共有52550⨯⨯=种选择. 答案C.
（5）若关于x 的方程1
2
cos(1)0x a x -+-=只有一个实数解，则实数a 的值
()1A -等于 (B)1等于 (C)2等于 (D)不唯一
解答：显然1
2
x -与cos(1)a x -均关于1x =对称，若有1x =之外的解，则均成对出现，所
以要只有一个解，则只能在1x =处，此时1a =- 当1a =-时，1x ≠时1
21x ->，1cos(1)1a x -≤-≤，确实只有1x =一个解.答案A.
（6）设,a b 为非零向量，且2b a =，则b 与b a -夹角的最大值为（B ）
()
12
A π
(B)
6
π
(C)
4
π
(D)
3
π 解答：因为2b a =，取OD b =，则平移向量a 的起点到点O ，则向量a 的终点在以O 为
圆心，以
2
b 为半径的圆上，则b 与b a -夹角为COD ∠，根据几何意义可知，当CD 与圆O
相切时，夹角最大，此时，OC CD ⊥，则1sin 2OC COD OD ∠=
=,则6
COD π
∠=. 所以0,6πα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. 答案B.
（7）已知三棱锥P ABC -的底面为边长为3的正三角形，且3,4,5,PA PB PC ===则
P ABC -的体积为（C ）
()3A
解答：因为3AB AC AP =
==,过点A 向面PBC 作垂线PH ，因为斜边长相等，则射
影相等，可知H 到顶点,,P B C 距离相等，因此H 为PBC 的外心，
因为PBC 为直角三角形，所以H 为PC 的中点.
AH ⊥平面PBC
，则2
AH ==
,
所以113432P ABC A PBC V V --==⋅⋅⋅=答案C.
（8）设函数432
()2(2)2(12)41f x x x m x m x m =-++-+++，若对任意的实数
,()0,x f x ≥则实数m 的取值范围是（A ）
()[0,)A +∞ 1
()[,)2
B +∞ ()[0,1]
C 1()[,1]2
D
解答：：()
4322()02221440f x x x x x m x x ≥⇔-+-++-+≥
即()()
()()
()22
2
4
3
2
2
442221211m x x x x x x m x x x
-+≥--+-+⇔-≥--+
则，题目等价于对任意的实数,x ()()
()22
2
211m x x x
-≥--+恒成立，
当2x =时，不等式显然成立，当2x ≠时，题目等价于
对任意的实数,x ()()()
2
22
112x x m x -+≥--恒成立， 因为()()()2
221102x x x -+-≤-，而且0能取到，所以()()()
2
22
112x x x -+--的最大值为0， 因此0m ≥. 答案A.
（9）设正实数,,,x y z w 满足220
20x y z w yz wx z y --+=⎧⎪
-=⎨⎪≥⎩
，则z y 的最小值为 D
()62A + ()622B + ()632C + ()642D +
解答：设z t z yt y =⇒=，则22(2)
21x w y t y t wx t +=+⎧⎪
=⎨⎪≥⎩
，
由均值不等式可得，22
(2)22(2)8y t xw y t xw +≥⇔+≥， 又因为2
2y t wx =，
所以222
(2)16y t y t +≥，则2
(2)16642,642t t t t +≥⇔≥+≤-，
又因为1t ≥，所以642t ≥+， 答案D.
（10）给定圆O 及圆内一点P ，设,A B 是圆O 的两个动点，满足
90APB ︒∠=，则AB 的中点的轨迹为 (A)
()A 一个圆 ()B 一个椭圆 ()C 一段双曲线 ()D 一段抛物线
解答：如图，建立平面直角坐标系，不妨假设圆O 的方程为222,
x y R +=()(),00P m m R ≤<，则OM AB ⊥,所以222AM OA OM =-,
因为AM PM =，所以222PM OA OM =-， 设(),M x y ，则22222()x m y R x y -+=--
化简得：2222m x y mx 22R +-+=，即2
222
x y 224m R m ⎛⎫-+=-
⎪⎝
⎭， 所以轨迹为一个圆. 答案A.
（11）方程23100x y z ++=的非负整数解的个数是
()883A ()884B ()885C ()886D 解答：令2x y t +=，先研究3100t z +=的解的个数，然后对于t 的每一个可能的取值0t ，分别研究02x y t +=的解的个数.将未知问题（三元）转化为已知问题（二元）去解决。

具体来说：3100t z +=的非负整数解有34组，其中32,134n t n n =-≤≤，
所以，总组数(258...50)8842
S =-++++=. 答案B .
（12）设整数123,,a a a 满足124(1,2,3),k a k ≤≤=且对任意整数x ，2
123234a x a x a ++是
24的倍数，满足条件的有序数组123(,,)a a a 的个数为
()12A ()24B ()36C ()48D
解答：令0x =，易得36|a ，所以3a 可能的取值有4种；下面分析2
1224|23a x a x +即
可；
令2x =，易得24|a ；令1x =，易得13|a ； 因此，设123,4a p a q ==，其中18,16p q ≤≤≤≤，,p q Z ∈ 更进一步讨论，有：2
24|612px qx +，即2
4|2px qx +，
因为奇数的平方模4余1，偶数的平方模4余0，所以只需4|2p q +，即可满
足题意；
当2p =时，1,3,5q =； 当4p =时，2,4,6q =； 当6p =时，1,3,5q =； 当8p =时，2,4,6q =； 因此总共有44348⨯⨯=种情况. 答案D .
（13）设,,A B C 是三角形的三个内角，则sin sin sin A B C +的最大值
3
()2A 等于 ()B
()2
C 等于
()D 不存在 解答：积化和差：
cos()cos()111sin sin sin sin sin cos 2222
B C B C A B C A A A --++=+
≤++≤
取等条件显然能取到，从而选C . 答案C .
（14）设222cos
sin ,()2,55
w i P x x x ππ
=+=++则234()()()()P w P w P w P w = ()9A ()10B ()11C ()12D
解答：4221
122
()()()()12124P w P w P w P w w w w w w w
==++++++++ 2
3
4
4
632244w w w w w w =++++=++； 22823
2
1()(
)44P w P w w w w w
=++=++；
所以2342342211()()()()164()()()P w P w P w P w w w w w w w w w
=+++++++
3311
12()11w w w w
=++
++=，答案C .
（15）设126,,
,a a a 是1,2,3,4,5,6的排列，且满足1234565101050a a a a a a -+-+-=，
则这种排列的个数是
()5A ()6B ()7C ()8D
解答：首先若（126,,,a a a ）满足题意，则（651,,,a a a ）也满足题意，所以答案一定是
偶数；
由题意，165|a a -，所以166,1a a ==（或对换），此时有：
25341()2()0a a a a --+-=，所以25a a -为奇数，下面分类讨论：
若342a a -≥，有255a a -≥，矛盾；
若341a a -=，则253a a -=，从而25345,2,4,3a a a a ====； 若341a a -=-，则251a a -=-，此时对应两种情况； 若342a a -=-，则253a a -=-，此时无解； 其它情况无解；
综上，满足题意的排列有6种. 答案B .
（16）设{1,2,3,4}(1,2,3,4)k a k ∈=，对于有序数组1234(,,,)a a a a ，记1234(,,,)N a a a a 为
1234,,,a a a a 中所包含的不同整数的个数，例如(1,1,2,2)2N =，(1,2,3,1) 3.N =当1234(,,,)a a a a 取遍所有的44个有序数组时，1234(,,,)N a a a a 的平均值为
173()
64A 87()32B 175()64C 11
()4
D 解答：首先1234(,,,)N a a a a 的取值有4种情况。

①当1234(,,,)=4N a a a a 时，说明1234,,,a a a a 的取值各不相同，因为
{1,2,3,4}(1,2,3,4)k a k ∈=，所以共有4!24种不同情况；
②当1234(,,,)=3N a a a a 时，说明1234,,,a a a a 取3个不同的数值，先把对1234
,,,a a a a 分成三组，任取两个字母为一组，剩余两个字母各自一组，共有2
4C 种，然后再从{1,2,3,4}任取三个数字有3
4C 种，所以共有2
334
43144C C A 种不同情况；
③当1234(,,,)=2N a a a a 时，说明1234,,,a a a a 取2个不同的数值， 第一种情况：1234,,,a a a a 有3个字母取值相同，根据上述分析有3
2
2
44
248C C A 种
不同情况；
第二种情况：1234,,,a a a a 分别有2个字母取值相同，根据上述分析有
2
22442362
C C A 种不同情况；
④当1234(,,,)=1N a a a a 时，说明1234,,,a a a a 仅取1个数值，所以有1
4
4C 种不同情
况；
所以1234(,,,)N a a a a 的平均值为4
244+1443+48+362+4700175
==425664
（）. 答案C.
（17）设{(,,)|231,0,0,0}V x y z x y z x y z =++≤≥≥≥，则V 的体积为
1()
12A 1()18B 1()24C 1
()36
D 解答：由题知在空间直角坐标系o xyz 中，几何体V 在第一象限，且与,,x y z 轴的交点分
别为1
1(1,0,0),(0,,0),(0,0,)23
A B C ，因为,,OA OB OB
OC OC
OA ,所以几何体V
的体积为
111111||1=3322336
OAB S OC . 答案D.
（18）已知2()f x x ax b =++在区间(1,1)-内有两个零点，则22a b -的取值范围为
()(2,0)A - ()(0,2)B ()(0,4)C ()(2,2)D -
解答：二次函数2()f x x ax b =++在区间(1,1)-内有两个零点充要条件是
2=401
1
2
(1)10(1)10a b a
f a b f a b 在直角坐标系O ab 中，画出上述区域
所求22
t a b，对于抛物线2
11
22
b a t，与纵轴的交点在点,O C之间，
因为边界不能取到，所以
1
10
2
t解得02
t. 答案B.
（19）在ABC
∆中，
123
,,,
AC BC P P P
=为AB上的点，且
123
111
248
PB P B P B AB
===，
设(1,2,3)
k k k
I P B PC k
=⋅=则
123
()A I I I
<<
132
()B I I I
<<
321
()
C I I I
<<
213
()
D I I I
<<
解答：
3
P为AB中点，
2
P为
3
P B中点，
1
P为
2
P B中点，如图所示，
2
11111331131
()3
I PB PC PB PP PC PB PP PB
=⋅=⋅+=⋅=-
22
222223322321
()4
I P B PC P B P P PC P B P P P B PB
=⋅=⋅+=⋅=-=-
333
I P B PC
=⋅=
故
213
I I I
<<，D正确. 答案D.
（20）一根直细杆放在数轴上占用的范围是区间[0,4]，若该细杆的质量线密度为()x
ρ=
()Aπ()2
Bπ()3
Cπ()4
Dπ
解答：
00
=
⎰⎰,记2+2cos,0,
x t tπ
=≤
≤则质量等于
()02
2cos4sin2.
x tdt
ππ
π
==-=
⎰⎰⎰
答案B.
（21）设函数2
()(1)(2)
x
f x e x x
=--，则
()()
A f x有两个极大值点()()
B f x有两个极小值点
()1()
C x f x
=是的极大值点()1()
D x f x
=是的极小值点
解答：直接求导数，得到
()()
()()()()
()
'22
2
22
2
()(1)(2)(1)2(1)(2)
13
''()13321
52
x
x
x
x
f x e x x x x x
e x x
f x e x x x x x
e x x x
⎡⎤
=--+-+--
⎣⎦
=--
⎡⎤
=--+-+-
⎣⎦
=-+
由导数可知函数()
f x由3个极值点，并且
()
(
''''''
10,0,0,
f f f
<>>
综上可知1
x=是函数()
f
x的极大值点，x
=()
f x的极小值点；
答案BC.
（22）一道四选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同.
赵说：我选的是A；
钱说：我选的是,,
B C D之一；
孙说：我选的是C；
李说：我选的是D.
已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是
()A赵()
B钱()
C孙()
D李
解答：假设赵说了假话，则钱孙李说的真话，钱孙李分别选了B,C,D,因为选的恰不相同，推出赵选A，即赵没说假话，矛盾.
假设钱说了假话，则钱选的是A，而赵选A说的是真话，也矛盾;
假设孙说了假话，则赵钱李说的是真话，一种可能是孙选的是B ，钱选的是C ，没有矛盾.
同理，假设李说了假话，则赵钱孙说了真话，一种可能性是李选了B ，钱选了D ，也没有矛盾.
综上，答案是CD.
（23）某人投100次篮球，设投完前n 次篮球时的命中率为n r .已知11000,0.85,r r ==则存在0100m <<，使得
()0.5m A r = ()0.6m B r = ()0.7m C r = ()0.8m D r =
解答：AD.
（24）设12,e e 为两个单位向量，,x y 是实数，若1212,,13
e e xe ye π
〈〉=
+=，则
()A x 的最大值为1 ()B x
()C x y +()D x y + 解答：221212,,113
e e xe ye x y xy π
〈〉=
+=⇔++=;
2
2222
331==1244x x x x y xy y ⎛⎫++++
⇒≤ ⎪⎝⎭
,
从而x ，取到极大值时(),x y =⎝⎭
; ()()()222
221331==
++1444
x y xy x y x y x y ++-+⇒≤
从而x y +的最大值为3，取到极大值时(),x y =⎝⎭
; 答案:BD
（25）设复数,w z 满足：221,4w z w z +=+=，则wz 的
()A 的最小值为
54 ()B 的最小值为3
2 ()C 的最大值为
52 ()D 的最大值为114
解答：由题可设，
cos sin w z i ①，
2
24cos
4sin
w z i ②
把①两边平方得2
22cos 2
sin 2w
z wz i
把②式代入上式，有2(cos 2
4cos )(sin 2
4sin )wz i
所以 222||(cos 2
4cos )(sin 2
4sin )wz 22
22
cos 2
8cos 2cos
16cos sin 2
8sin 2sin
16sin
1168cos(2)
因为1cos(2
)1178
2||
178wz ，所以
35||22
wz 且由,的任意性可知，35
22
，均能取到. 答案BD.
（26）已知椭圆22
:48C x y +=，直线1
2
y x =-
与椭圆C 交于,A B 两点，000(,)(22)P x y x -<<为椭圆C 上的动点，设直线,PA PB 分别与直线1
2
y x =相交于,M N 两点，则
()A 椭圆C 上满足2
OQ OM ON =的点Q 恰有2个 ()B 椭圆C 上满足2
OQ OM ON =的点Q 恰有4个 ()C y 轴上满足 ''OQ N OMQ ∠=∠的点'Q 恰好有2个
()D y 轴上满足 ''OQ N OMQ ∠=∠的点'Q 恰好有4个
解答：椭圆22
:182
x y C +=，求得(2,1),(2,1)A B --，设直线:1(2)AP y k x -=+，因为000(,)(22)P x y x -<<所以1
02
k <<
（点A 处切线斜率）， 易得2412(
,)1212k k
M k k
++--， 联立AP l 与椭圆方程，化简得： 2
2
2
(41)8(21)(16164)0k x k k x k k +++++-=
由韦达定理，得2288241P k k x k --+=+，再求得22441
41P k k y k -++=+
故2222
882441
(,)4141
k k k k P k k --+-++++ 利用两点式，可得直线BP 方程：
12
428(21)
y x k k k +-=
+-+ 与直线12y x =
联立，求得2412(,)1212k k N k k
--++ 1212
))51212k k
OM ON k k
+-=⋅=-+
因此需满足OQ =4个点满足此要求。

欲满足'
'
OQ N OMQ ∠=∠，即满足'
OQ N ∆∽'
OMQ ∆，即2
'OQ OM ON =，
也即'OQ =，y 轴上满足此要求的点'
Q 恰好有2个
综上，选BC. 答案BC.
（27）已知F 为椭圆2
2
:44C x y +=的左焦点，设P 是椭圆C 的右准线上一点，过P 作椭
圆C 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则
min 1
()2A AB =
min ()1B AB =
()C FAB ∆的面积为定值 ()D FAB ∆的周长为定值
解答：221
4x y +=，离心率2，右准线x =,椭圆的右焦点为1F ，由圆锥曲线的切线
性质（切线方程），若A 是椭圆上的点，P 是椭圆右准线上点，且AP 是椭圆切线，则有
11AF PF ⊥成立，
同理11BF PF ⊥，即1,,A F B 共线，AB 为焦点弦， 焦点弦最短为通径，故2
min
21b AB a
==，B 正确，A 错误， 对FAB ∆来说，三角形的周长为11||||||||48AF BF AF BF a +++==，为定值，D 正确；显然||||A B y y +不是定值，故三角形面积不是定值，C 错误. 答案BD.
（28）设,x y 满足55(3)40x y x x y ++++=，则点(,)x y
()A 只有有限个 ()B 有无限个
()C 位于同一条直线上 ()D 位于同一条抛物线上
解答：将55(3)40x y x x y ++++=进行代数变形，有
55
3)(3)0x y x y x y （
令函数5()
f t t t ，易证()f t 是奇函数，且在R 上单调递增。

因为55
3)(3)0
(3)
()
0x y x y x y
f x y f x （
由()f t 是奇函数，(3)()()f x y f x f x 由()f t 单调递增，3x y
x ,得4y
x . 答案C.
（29）设函数()cos()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的奇函数，若()y f x =的图象
关于直线4
x π
=
对称，且()f x 在区间[0,
]12
π
上是单调函数，则
()A ϕ的值不唯一 ()B ϕ的值唯一 ()C ω的值不唯一 ()D ω的值唯一
解答：根据题意
(12)4
4
T
k π
=
+（k ∈N ）
， 又()f x 在区间[,
]1212ππ
-
上单调，有
6
2T π
≤
，因此T π=或3
T π=， 当T π=时，2ω=，2
π
ϕ=±；
当3
T π
=时，6ω=，2
π
ϕ=±
． 答案AC.
（30）已知ξ为随机变量，则
211()()()22
A P P ξξ≤≤≤ 22
()[()]()B E E ξξ≤
()()(1)C D D ξξ=- 22()()[(1)]D D D ξξ=-
解答：（A ）22111
242
ξξξ≤
⇔≤⇒≤，正确； （B ）2
2
2
2
()()[()]0[()]()D E E E E ξξξξξ=-≥⇒≤,正确；
（C ）2()(())D E E ξξξ=-，2(1)(1(1))D E E ξξξ-=---，相等，正确； （D ）反例：1(1)(1)2
P P ξξ===-=时，22
()0[(1)]D D ξξ=<-． 答案ABC.
（31）已知实数,a b 满足：当1x ≤时，恒有2
2x ax b ++≤，则
()2A a ≥- ()2B a ≤ ()1C b ≥- ()1D b ≤
解答：
令0,1x =±，有21212
b a b a b ⎧≤⎪
++≤⎨⎪
-+≤
，线性规划如图所示：
C 选项反例：0
2
a b =⎧⎨=-⎩． 答案ABD.
（32）设122017,,,x x x 均为正数，且
12
2017
11
1
1111x x x +++
=+++，则122017
,,
,x x x 中
()A 小于1的数最多只有一个 ()B 小于2的数最多只有两个
122017()max{,,,}2016C x x x ≥ 122017()max{,,,}2017D x x x ≥
解答：（A ）若12,(0,1)x x ∈，则12111,(,1)112x x ∈++，12
11
111x x +>++矛盾，故选 项正确；
（B ）若12,(0,2)x x ∈，则
12111
,(,1)113
x x ∈++，不矛盾， 例如取123
2x x ==
，11152015
i x =+⨯（3,4,
,2017i =）
，故选项错误； （C ）若2016i x <（1,2,2017i =）
，则11
12017
i x >+，求和后与条件矛盾，故选项正确；
（D ）反例，取2016i x =（1,2,2017i =）
． 答案AC.
(33)．数列{},n x {},n y {},n z 中，)(211n n n n x z y x -+=
+①，)(2
1
1n n n n y x z y -+=+②，)(2
1
1n n n n z y x z -+=+③．
A ．{}n n n x y z ++一定是等比数列
B ．当112x =-
，254x =时1(1)2
n
n n x =-+ C ．当{}n x 各项为正数时，111x y z ==
D ．当存在正整数m 使得m m m x y z ==时，111x y z == 解答： 数列{},n x {},n y {},n z 可以为零数列，A 选项不正确；
于是1111111()2n
n n n x y z x y z +++⎛⎫
++=++ ⎪⎝⎭
所以1111111()2n n n n y z x y z x ++++=
++-，递推有11111()2n n n n y z x y z x -+=++-④ 将④代入①得11111
()2n n n
x x y z x +=
++-⑤ ⑤可写为111111111111()()3232n n n n x x y z x x y z +-⎡⎤
-⋅
++=--⋅++⎢⎥⎣⎦
于是11111111111()(1)323n n n x y z x x y z x --++⎛
⎫=
⋅+++-- ⎪⎝⎭⑥ 同理11111111111()(1)323n n n x y z y x y z y --++⎛
⎫=
⋅+++-- ⎪⎝⎭
11111111111()(1)323n n n x y z z x y z z --++⎛
⎫=⋅+++-- ⎪⎝⎭
1n =时，上述各式也成立
将112x =-
，254x =代入①，得112y z +=，所以11132
x y z ++= 代入⑥中得1
(1)2
n
n n x =-+
，故B 选项正确 当{}n x 各项为正数时，假设111,,x y z 不全相等， （i ）若1x 最小，则111
103
x y z x ++-
< 现取111211111211()323n n x y z x x y z x +++⎛
⎫=
⋅+++- ⎪⎝⎭
当n →∞时，111211
()032n
x y z ⋅
++→ 故总有充分大的N ，当n N >时，210n x +<这与题设矛盾． （ii ）若1x 不是最小数，则111103x y z x ++⎛⎫
--< ⎪⎝⎭
从而111x y z == 现取1112211112111()323n n x y z x x y z x ++++⎛
⎫=
⋅++-- ⎪⎝⎭
当n →∞时，11121
11
()032n x y z +⋅
++→
故总有充分大的N '，当n N '>时，220n x +<这与题设矛盾． 所以当{}n x 各项为正数时，111x y z ==，故C 选项正确
当存在正整数m 使得m m m x y z ==时，易得111x y z ==，故D 选项正确. 答案BCD.
（34）设0,0.a b >>若2
2
32,a a b b +=+则
()A a b < ()B b a < ()2C a b < ()2D b a <
解答：假设20a b ≥>，则24a b ≥，从而2224232a a b b b b +≥+>+，矛盾，因此2a b <．
假设0b a ≥>，则22b a >，从而2223232b b a a a a +≥+>+，矛盾，因此2b a a <<． 答案BCD.
（35）在扇形OAB 中，90,1,OAB OA ︒
∠==点C 为AB 上的动点且不与,A B 重合，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，则
()A DE 的长为定值 ()B DOE ∠的大小为定值
()C ODE ∆面积的最大值为13tan
88π
()D 四边形ODCE 面积的最大值为
2
4
解答：,AE CE BD CD ==，将OBD ∆逆时针旋转90°，如图所示
由对称性，易证OED ∆≌'OED ∆， 显然45DOE ∠=︒，
根据余弦定理2
2
2
2cos 45DE OD OE OD OE =+-⋅︒，B 正确；
sin ,sin OD OBC OE OAC =∠=∠，且由内角和公式135OBC OAC ∠+∠=︒，
记OBD α∠=，则2
2
2
sin sin (135)2sin sin(135)cos 45DE αααα=+︒--︒-︒，
化简得：2
1cos 21cos(2702)2
[cos135cos(2135)]222
DE ααα--︒-=
++︒--︒， 即，21
2
DE =
，故22DE =，A 正确；
ODE ∆的面积2121
sin 45sin sin(135)(sin cos sin )244
OD OE ααααα⋅︒=
︒-=+ 1sin 21cos 21112()(sin 2cos 2)sin(2)42288884
ααπ
ααα-=
+=+-=+- 当324απ=
，即3
8
απ=时，ODE ∆的面积取到最大值1288+
232tan
38tan 1341tan 8
π
ππ=
=--
，解得3tan 18π=+，C 正确； 四边形ODCE 面积：
1111
sin cos sin(135)cos(135)2222CD OD CE OE αααα⋅+⋅=+︒-︒-
22111sin 2cos 2sin cos (sin cos ))222444
ααπααααα-=+⋅-==- 当324απ=
，即3
8
απ=时，四边形ODCE
面积取到最大值4，D 正确； 答案ABCD.
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