清华大学2017年领军计划试题

清华大学2017年自主招生与领军计划数学试题

（1）设函数2()x

x f x e

e ax =+-，若对0,()2x

f x ∀≥≥，则实数a 的取值范围是

()(,3]A -∞ ()[3,)B +∞ ()(,2]C -∞ ()[2,)D +∞

解答：问题等价于22x x e e ax +≥+在[0,)+∞上恒成立；

记2()x

x g x e e =+，()2h x ax =+，两函数均过(0,2)，且(0)3g '=，可知(,3]a ∈-∞.

答案A.

（2）设,A B 为两个随机事件，且,0()1A B P A ⊂<<，则

()()1()A P AB P B =- ()()1()B P AB P B =-

()(|)()C P B A P B = ()(|)()D P B A P B =

解答：（A ）()1()1()P AB P AB P A =-=-，所以A 错；

（B ）()()1()1()P AB P A B P A B P B ==-=-，所以B 对；

（C ）()()

(|)1()()

P AB P A P B A P A P A =

==，所以C 错； （D ）()()()

(|)1()1()

P B A P B P A P B A P A P A --==--，所以D 错；答案B.

（3）从0,1,2,

,9中选出三个不同数字组成四位数

（其中的一个数字用两次），如5242，这样的四位数共有

()1692A 个 (B)3672个 (C)3708个 (D)3888个

解答：十个数中先选出3个数，再从中选出一个作为用两次的，再选出两个位置放这个数，

剩下两个数再排列一下，共有32

104324320C C ⨯⨯⨯=个.

下面考虑0被排在了首位的情况：

1°0在后三位还出现了一次：则在剩下9个数中再选两个，于是有2

93!216C ⨯=个.

2°0只出现在首位：则在剩下9个数中再选两个，其中一个重复两次，于是有

2923216C ⨯⨯=个.

于是符合题目要求的四位数共有43202162163888--=个. 答案D.

（4）已知集合{1,0,1}M =-，{2,3,4,5,6}N =，设映射:f M N →满足：对任意的,()()x M x f x xf x ∈++是奇函数，这样的映射f 的个数

()25A (B)45 (C)50 (D)100

解答：设()()()g x x f x xf x =++

则(1)1g -=-，(0)(0)g f =，(1)12(1)g f =+，(1),(1)g g -均为奇数，所以只需令

(0)f 为奇数，所以共有52550⨯⨯=种选择. 答案C.

（5）若关于x 的方程1

2

cos(1)0x a x -+-=只有一个实数解，则实数a 的值

()1A -等于 (B)1等于 (C)2等于 (D)不唯一

解答：显然1

2

x -与cos(1)a x -均关于1x =对称，若有1x =之外的解，则均成对出现，所

以要只有一个解，则只能在1x =处，此时1a =- 当1a =-时，1x ≠时1

21x ->，1cos(1)1a x -≤-≤，确实只有1x =一个解.答案A.

（6）设,a b 为非零向量，且2b a =，则b 与b a -夹角的最大值为（B ）

()

12

A π

(B)

6

π

(C)

4

π

(D)

3

π 解答：因为2b a =，取OD b =，则平移向量a 的起点到点O ，则向量a 的终点在以O 为

圆心，以

2

b 为半径的圆上，则b 与b a -夹角为COD ∠，根据几何意义可知，当CD 与圆O

相切时，夹角最大，此时，OC CD ⊥，则1sin 2OC COD OD ∠=

=,则6

COD π

∠=. 所以0,6πα⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

. 答案B.

（7）已知三棱锥P ABC -的底面为边长为3的正三角形，且3,4,5,PA PB PC ===则

P ABC -的体积为（C ）

()3A

解答：因为3AB AC AP =

==,过点A 向面PBC 作垂线PH ，因为斜边长相等，则射

影相等，可知H 到顶点,,P B C 距离相等，因此H 为PBC 的外心，

因为PBC 为直角三角形，所以H 为PC 的中点.

AH ⊥平面PBC

，则2

AH ==

,

所以113432P ABC A PBC V V --==⋅⋅⋅=答案C.

（8）设函数432

()2(2)2(12)41f x x x m x m x m =-++-+++，若对任意的实数

,()0,x f x ≥则实数m 的取值范围是（A ）

()[0,)A +∞ 1

()[,)2

B +∞ ()[0,1]

C 1()[,1]2

D

解答：：()

4322()02221440f x x x x x m x x ≥⇔-+-++-+≥

即()()

()()

()22

2

4

3

2

2

442221211m x x x x x x m x x x

-+≥--+-+⇔-≥--+

则，题目等价于对任意的实数,x ()()

()22

2

211m x x x

-≥--+恒成立，

当2x =时，不等式显然成立，当2x ≠时，题目等价于

对任意的实数,x ()()()

2

22

112x x m x -+≥--恒成立， 因为()()()2

221102x x x -+-≤-，而且0能取到，所以()()()

2

22

112x x x -+--的最大值为0， 因此0m ≥. 答案A.