高中数学“四种条件”的判断方法专题辅导

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高中数学教师备课必备系列(简易逻辑)专题五四种命题及真假判断 Word版含解析

【基础回顾】
一．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
二．四种命题及其关系
．四种命题
即：如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。

．四种命题间的逆否关系
．四种命题的真假关系
()两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
()两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
【典型例题】
例．已知是两个命题，若“”是假命题，则（）
．都是假命题．都是真命题
．是假命题，是真命题．是真命题，是假命题
【答案】
【解析】
例．给出下列命题：其中正确命题的序号是（）
①已知,若,则,
②不存在实数,使
③是函数的一个对称轴中心
④已知函数.
．①②．②④．①③．④
【答案】
【解析】
试题分析：
④因为在锐角三角形中，，所以，；则有
，；又因为函数
在上为减函数，所以.故正确.
考点：向量的线性运算；三角函数的基本关系式；函数的图像和性质.
例．下列说法中正确的是（）
（）“”是“函数是奇函数”的充要条件。

苏教版学高中数学选修常用逻辑用语四种命题不作要求充分条件和必要条件讲义

学习目标核心素养１．结合具体实例，理解充分条件、必要条件和充要条件的意义．（重点）２．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．（重点、难点）３．培养辩证思维能力.通过充要条件的学习，培养逻辑推理素养.１．符号⇒与的含义命题真假“若p则q”为真“若p则q”为假表示方法p⇒q p q读法p推出q p不能推出q２．充分、必要条件的含义条件关系含义p是q的充分条件（q是p的必要条件）p⇒qp是q的充要条件p⇔qp是q的充分不必要条件p⇒q，且q pp是q的必要不充分条件p q，且q⇒pp是q的既不充分又不必要条件p q，且q p思考：（２）以下五种表述形式：１p⇒q；２p是q的充分条件；３q的充分条件是p；４q是p的必要条件；５p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示] （１）相同，都是p⇒q（２）等价１．“x>２”是“x２—３x＋２>0”成立的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件A[由x２—３x＋２>0得x>２或x<１，故选Ａ．]２．对于任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是（）Ａ．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件Ｂ．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件Ｃ．“ac＜bc”是“a＜b”的充分条件Ｄ．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件B[若a＝b，则ac＝bc；若ac＝bc，则a不一定等于b，故“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．]３．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分又不必要条件D[本题采用特殊值法：当a＝３，b＝—１时，a＋b＞0，但ab＜0，故不是充分条件；当a＝—３，b＝—１时，ab＞0，但a＋b＜0，故不是必要条件．所以“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分又不必要条件．]４．用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”填空．（１）“a２＋b２＝0”是“a＝b＝0”的________条件．（２）两个三角形全等是这两个三角形相似的________条件．（３）“a２>0”是“a>0”的________条件．（４）“sin α>sin β”是“α>β”的________条件．（１）充要（２）充分不必要（３）必要不充分（４）既不充分也不必要[（１）a２＋b２＝0成立时，当且仅当a＝b＝0．故应填“充要”．（２）因为两个三角形全等⇒两个三角形相似，但两个三角形相似D两个三角形全等，所以填“充分不必要”．（３）因为a２＞0a＞0，如（—２）２＞0，但—２＞0不成立；又a＞0⇒a２＞0，所以“a２＞0”是“a＞0”的必要不充分条件．（４）因为y＝sin x在不同区间的单调性是不同的，故“sin α>sin β”是“α>β”的既不充分也不必要条件．]充分条件、必要条件、充要条件的判断必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）．（１）在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；（２）对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠２或y≠6；（３）p：（a—２）（a—３）＝0，q：a＝３；（４）p：a＜b，q：错误!＜１．[思路探究] 判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断綈q是綈p的什么条件．[解] （１）在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．（２）因为x＝２且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所以p是q的充分不必要条件．（３）由（a—２）（a—３）＝0可以推出a＝２或a＝３，不一定有a＝３；由a＝３可以得出（a—２）（a—３）＝0．因此，p是q的必要不充分条件．（４）由于a＜b，当b＜0时，错误!＞１；当b＞0时，错误!＜１，故若a＜b，不一定有错误!＜１；当a＞0，b＞0，错误!＜１时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，错误!＜１时，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要条件．充分条件与必要条件的判断方法１．定义法２．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．３．逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若綈p⇒綈q，且綈q綈p，则p是q的必要不充分条件；若綈p⇔綈q，则p与q互为充要条件；若綈p綈q，且綈q綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．１．（１）设a，b是实数，则“a>b”是“a２>b２”的（）A．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件D[令a＝１，b＝—１，满足a>b，但不满足a２>b２，即“a>b”不能推出“a２>b２”；再令a ＝—１，b＝0，满足a２>b２，但不满足a>b，即“a２>b２”不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a２>b ２”的既不充分也不必要条件．]（２）对于二次函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），下列结论正确的是（）１Δ＝b２—４ac≥0是函数f（x）有零点的充要条件；２Δ＝b２—４ac＝0是函数f（x）有零点的充分条件；３Δ＝b２—４ac>0是函数f（x）有零点的必要条件；４Δ＝b２—４ac<0是函数f（x）没有零点的充要条件．Ａ．１４Ｂ．１２３Ｃ．１２３４Ｄ．１２４D[１Δ＝b２—４ac≥0⇔方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有实根⇔f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）有零点，故１正确．２若Δ＝b２—４ac＝0，则方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，因此函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）有零点，故２正确．３函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）有零点时，方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，未必有Δ＝b ２—４ac>0，也可能有Δ＝0，故３错误．４Δ＝b２—４ac<0⇔方程ax２＋bx＋c＝0（a≠0）无实根⇔函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0）无零点，故４正确．]充要条件的探求与证明Ａ．0<x<４Ｂ．0<x<２Ｃ．x>0 Ｄ．x<４（２）已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：错误!<错误!的充要条件是xy>0．[思路探究] （１）先解不等式x２—４x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x２—４x<0的解集的子集．（２）充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的（⇔），也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．[解析] （１）由x２—４x<0得0<x<４，则充分不必要条件是集合{x|0<x<４}的子集，故选Ｂ．[答案] B（２）法一：充分性：由xy>0及x>y，得错误!>错误!，即错误!<错误!.必要性：由错误!<错误!，得错误!—错误!<0，即错误!<0．因为x>y，所以y—x<0，所以xy>0．所以错误!<错误!的充要条件是xy>0．法二：错误!<错误!⇔错误!—错误!<0⇔错误!<0．由条件x>y⇔y—x<0，故由错误!<0⇔xy>0．所以错误!<错误!⇔xy>0，即错误!<错误!的充要条件是xy>0．１．探求充要条件一般有两种方法：（１）探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论（设为B），再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．（２）将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．２．充要条件的证明（１）证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．（２）证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．２．（１）不等式x（x—２）<0成立的一个必要不充分条件是（）Ａ．x∈（0,２）Ｂ．x∈[—１，＋∞）Ｃ．x∈（0,１）Ｄ．x∈（１,３）B[由x（x—２）<0得0<x<２，因为（0,２）[—１，＋∞），所以“x∈[—１，＋∞）”是“不等式x（x—２）<0成立”的一个必要不充分条件．]（２）求证：关于x的方程ax２＋bx＋c＝0有一个根是１的充要条件是a＋b＋c＝0．[证明] 假设p：方程ax２＋bx＋c＝0有一个根是１，q：a＋b＋c＝0．１证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝１是方程ax２＋bx＋c＝0的根，∴a×１２＋b×１＋c＝0，即a＋b＋c＝0．２证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝—a—b.∵ax２＋bx＋c＝0，∴ax２＋bx—a—b＝0，即a（x２—１）＋b（x—１）＝0．故（x—１）（ax＋a＋b）＝0．∴x＝１是方程的一个根．故方程ax２＋bx＋c＝0有一个根是１的充要条件是a＋b＋c＝0．充分、必要条件的应用[探究问题]１．若集合A B，那么“x∈A”是“x∈B”的什么条件？“x∈B”是“x∈A”的什么条件？[提示] 因为A B，所以x∈A成立时，一定有x∈B，反之不一定成立，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，而“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件．２．对于集合A和B，在什么情况下，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件？[提示] 当A B且B A时，“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件．３．集合A＝{x|x≥a}，B＝{x|x≥２}．若A是B的充要条件，实数a的值确定吗，若集合A是B的充分不必要条件？实数a的值确定吗？[提示] 当A是B的充要条件时，A＝B，这时a的值是确定的，即a＝２；当A是B的充分不必要条件时，A B，这时a的值不确定，实数a的取值范围是（２，＋∞）．【例３】已知p：x２—8x—２0≤0，q：x２—２x＋１—m２≤0（m>0），且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路探究] 错误!→错误!→ 错误!{m|m≥9}（或[9，＋∞））[由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，由x２—２x＋１—m２≤0（m>0），得１—m≤x≤１＋m（m>0）．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qD p.即{x|—２≤x≤１0}是{x|１—m≤x≤１＋m，m>0}的真子集，所以错误!或错误!解得m≥9．所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]１．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m 的取值范围．[解] 由x２—8x—２0≤0得—２≤x≤１0，由x２—２x＋１—m２≤0（m>0）得１—m≤x≤１＋m （m>0）因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且p q.则{x|１—m≤x≤１＋m，m>0}{x|—２≤x≤１0}所以错误!，解得0<m≤３．即m的取值范围是（0,３]．２．若本例题改为：已知P＝{x|a—４<x<a＋４}，Q＝{x|１<x<３}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．[解] 因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q⊆P.所以错误!解得—１≤a≤５即a的取值范围是[—１,５]．利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围１．化简p、q两命题，２．根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，３．利用集合间的关系建立不等关系，４．求解参数范围．１．充分条件、必要条件的判断方法：（１）定义法：直接利用定义进行判断．（２）等价法：利用逆否命题的等价性判断，即要证p⇒q，只需证它的逆否命题綈q⇒綈p即可；同理要证q⇒p，只需证綈p⇒綈q即可．（３）利用集合间的包含关系进行判断．２．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式（组）进行求解．１．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）如果p是q的充分条件，那么命题“若p则q”为真．（）（２）命题“若p则q”为假，记作“q⇒p”．（）（３）若p是q的充分条件，则p是唯一的．（）（４）若“p q”，则q不是p的充分条件，p不是q的必要条件．（）[答案] （１）√（２）×（３）×（４）×２．“x２—４x—５＝0”是“x＝５”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件B[由x２—４x—５＝0得x＝５或x＝—１，则当x＝５时，x２—４x—５＝0成立，但x２—４x—５＝0时，x＝５不一定成立，故选Ｂ．]３．若“x＜m”是“（x—１）（x—２）＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________．（—∞，１] [由（x—１）（x—２）＞0可得x＞２或x＜１，由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞２或x＜１}，∴m≤１．]４．求证：关于x的方程x２＋mx＋１＝0有两个负实数根的充要条件是m≥２．[证明] （１）充分性：因为m≥２，所以Δ＝m２—４≥0，所以方程x２＋mx＋１＝0有实根，设两根为x１，x２，由根与系数的关系知，x１·x２＝１>0，所以x１，x２同号．又x１＋x２＝—m≤—２<0，所以x１，x２同为负数．即x２＋mx＋１＝0有两个负实根的充分条件是m≥２．（２）必要性：因为x２＋mx＋１＝0有两个负实根，设其为x１，x２，且x１x２＝１，所以错误!即错误!所以m≥２，即x２＋mx＋１＝0有两个负实根的必要条件是m≥２．综上可知，m≥２是x２＋mx＋１＝0有两个负实根的充分必要条件．。

判断充要条件的四种常用方法

判断充要条件的四种常用方法一、定义法定义法即借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着是充分，即：1. 若p ⇒q 但q p ⇒/，则p 是q 的充分但不必要条件；2. 若q p p q ⇒⇒但/，则p 是q 的必要但不充分条件； 3. p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的既充分又必要条件，即充要条件；4. p q q p ⇒⇒//且，则p 是q 的既不充分又不必要条件。

特别要注意，若p ⇒q ，则有以下说法是等价：①p 是q 的充分条件；②q 是p 的必要条件；③p 的一个必要条件是q ；④q 的一个充分条件是p 。

例1. αβαβαβ+>>⎧⎨⎩>>⎧⎨⎩4422是的什么条件？并说明理由。

解：由αβαβαβ>>⎧⎨⎩⇒+>>⎧⎨⎩2244，但反之不成立。

不妨取αβαβαβ==+>>⎧⎨⎩1544，，显然满足，但不满足αβαβαβ>>⎧⎨⎩+>>⎧⎨⎩2244，即 ⇒>>⎧⎨⎩/αβ22。

由定义（即箭头方向）可知，αβαβαβ+>>⎧⎨⎩>>⎧⎨⎩4422是的必要但不充分条件。

二、传递性法根据充要关系的传递性来判断的方法叫传递法。

充分条件具有传递性，若A A A A A n n 1231⇒⇒⇒⇒⇒-…，则A A n 1⇒，即A A n 1是的充分条件。

必要条件也有传递性，若A A A A A n n 1231⇐⇐⇐⇐⇐-…，则A A n ⇒1，即A A n 1是的必要条件。

当然充要条件也有传递性。

因此，对于较复杂的（连锁式）充要关系的判断可用连锁式的传递图示法来解答最为适宜。

例2. 若A 、B 都是C 的充要条件，D 是A 的必要条件，B 是D 的必要条件，则D 是C 的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件分析：宜采用传递性法来解。

【高1数学】02-四种命题的形式、充分条件与必要条件

四种命题的形式、充分条件与必要条件基础概念一、基础知识概述本周主要学习了四种命题的形式，充分条件与必要条件等相关概念，及反证法的思想．充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系．本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系．二、重点知识归纳及讲解1、命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题．2、简单命题与复合命题：不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题．3、判断复合命题的真假：（1）“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p非p真假假真即一个命题的否命题与原命题的真假相反．（2）“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：p q p且q真真真真假假假真假假假假即当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假．（3）“p或q”形式复合命题的真假可以用下表表示：p q p或q真真真真假真假真真假假假即当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假．4、原命题：若p则q（p是原命题的条件，q是原命题的结论）；逆命题：若q则p（交换原命题的题设和结论）；否命题：若非p则非q（同时否定原命题的条件与结论）；逆否命题：若非q则非p（交换原命题的题设和结论后同时否定之）．四种命题及相互关系用图表表示为：说明：①原命题、否命题、逆命题和逆否命题是相互的．②写原命题的否命题、逆命题和逆否命题的关键是：找出所给原命题的条件p与结论q．5、反证法：欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论“非p”出发，经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而“非p”为假，即原命题为真，这样的方法叫反证法．证题的步骤：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．说明：反证法是一种间接证明命题的基本方法．在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明．反证法的基本思想：通过证明命题的否定是假命题，从而说明原命题是真命题．6、推断符号“⇒”的含义：p⇒”；由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“qp⇒/”．由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“q7、充分条件与必要条件：p⇒，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件．一般地，如果已知q8、充要条件：一般地，如果既有q p ⇒，又有p q ⇒，就记作：q p ⇔．“⇔”叫做等价符号．q p ⇔表示q p ⇒且p q ⇒．这时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，则p 是q 的充分必要条件，简称充要条件． 9、充分条件与必要条件的分类：命题按条件和结论的充分性和必要性可分为四类：若q p ⇒但p q ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒但q p ⇒/，则p 是q 的必要不充分条件；若q p ⇒且p q ⇒，则p 是q 的充要条件；若q p ⇒/且p q ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 10、从集合角度理解：①q p ⇒，相当于Q P ⊆，即或即：要使Q x ∈成立，只要P x ∈就足够了——有它就行．②p q ⇒，相当于Q P ⊇，即或即：为使Q x ∈成立，必须要使P x ∈——缺它不行．p q ⇒等价于q p ⌝⇒⌝． ③q p ⇔，相当于Q P =，即即：互为充要的两个条件刻划的是同一事物．三、难点知识剖析本节的难点主要是充要条件的判断，其解决方法主要有：1、要理解“充分条件”“必要条件”的概念，当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作q p ⇒，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假．2、要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“ ，反之也真”等．3、数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质．4、从集合观点看，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若B A =，则A 、B 互为充要条件．5、证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立（即条件的充分性），又要证明它的逆命题成立（即条件的必要性）．典型例题例1、（1）“ABC ∆中，若︒=∠90C ，则A ∠、B ∠都是锐角”的否命题为（） A ．ABC ∆中，若︒≠∠90C ，则A ∠、B ∠都不是锐角 B ．ABC ∆中，若︒≠∠90C ，则A ∠、B ∠不都是锐角 C ．ABC ∆中，若︒≠∠90C ，则A ∠、B ∠都不一定是锐角 D ．以上都不对（2）用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个是偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个是偶数（3）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我获奖了”；乙说：“甲、丙未获奖”；丙说：“是甲或乙获奖”；丁说：“是乙获奖”．四位歌手的话只有两句是对了，则是_______获奖了．解析：（1）由命题之间的关系易选B ；（2）“至少有一个”的反面是“一个都没有”，故选B ；（3）设获奖用“1”表示，未获奖用“0”表示，则依次四人的话列表如下：甲乙丙丁甲：甲获奖 1 0 0 0 乙：甲、丙未获奖 0 1 0 1 丙：甲或乙获奖 1 1 0 0 丁：乙获奖1由表可知，只有第一列符合四位歌手的话只有两句是对的，故是甲获奖了．答案：（1）B ；（2）B ；（3）甲例2、（上海）（1）222111,,,,,c b a c b a 均为非零实数，不等式01121>++c x b x a 和02222>++c x b x a 的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“N M =”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件（2）已知2|43:|>-x p ，021:2>--x x q ，则p ⌝是q ⌝的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件解析：（1）如果“0212121>==c c b b a a ”，则“N M =”，如果“0212121<==c cb b a a ”，则“N M ≠”，所以“212121c c b b a a ==”⇒/“N M =”，反之若“∅==N M ”，即说明二次不等式的解集为空集，与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．所以“N M =”⇒/“212121c c b b a a ==”，因此“212121c cb b a a ==”是“N M =”的既不充分也不必要条件．（2）解法一：∵}322|{:<>x x x p 或，}12|{:-<>x x x q 或．∴}232|{:≤≤⌝x x p ，}21|{:≤≤-⌝x x q ． ∴q p ⌝⇒⌝，p q ⌝⇒/⌝．∴p ⌝是q ⌝的充分不必要条件．解法二：由法一知，∴p q ⇒，q p ⇒/．∴q p ⌝⇒⌝，p q ⌝⇒/⌝．即：p ⌝是q ⌝的充分不必要条件．答案：（1）D （2）A例3、已知命题:p 方程012=++mx x 有两个不相等的实负根．命题:q 方程01)2(442=+-+x m x 无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．分析：先分别求满足条件p 和q 的m 的取值范围，再利用复合命题的真假进行转化与讨论．解析：由命题p 可以得到：⎩⎨⎧>>-=∆042m m ，∴2>m ．由命题q 可以得到：016)]2(4[2<--=∆m ，∴31<<m ．∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 、q 有且仅有一个为真．当p 为真，q 为假时，3312≥⇒⎩⎨⎧≥≤>m m m m 或，当p 为假，q 为真时，21312≤<⇒⎩⎨⎧<<≤m m m ，所以，m 的取值范围为}213|{≤<≥m m m 或．例4、已知2311:≤--x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q ，若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．分析：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决．解析：由2311≤--x 解得：102≤≤-x ，则}102|{:>-<=⌝x x x A p 或．又当0>m 时，由01222≤-+-m x x 得：m x m +≤≤-11，则}0,11|{:>+>-<=⌝m m x m x x B q 或． ∵p ⌝是q ⌝的充分非必要条件，∴B A ⊆，结合数轴应有⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥->101210m m m ，解得：30≤<m 为所求．例5、若0>p ，0>q ，233=+q p ．试用反证法证明：2≤+q p ．分析：此题直接由条件推证2≤+q p 是较难的，由此用反证法证之．证明：假设2>+q p ，∵0>p ，0>q ．∴833)(32233>+++=+q pq q p p q p ．又∵233=+q p ．∴代入上式得：6)(3>+q p pq ，即：)1(2)( >+q p pq ．又由233=+q p ，即2))((22=+-+q pq p q p 代入)1(得：))(()(22q pq p q p q p pq +-+>+． ∵0>p ，0>q ．∴0>+q p ．∴22q pq p pq +->，但这与0)(2≥-q p 矛盾， ∴假设2>+q p 不成立，故2≤+q p ．说明：反证法：是一种证明题目的间接方法，在有些题目的证明中用反证法非常简洁，但并不是每一题用反证都恰倒好处．那么，对于哪些题目适合用反证法呢？1）从这些条件推出所知的也很少或无法用已知条件进行直接证明的；2）当问题中能用来作为推理依据的公理、定理很少，无法直接证明或证明无从下手的；3）结论以否定的形式出现，无法引用定理来证明否定形式的结论；4）对要证明的命题，已知它的逆命题是正确的；5）要求证明的命题适合某种条件的结论唯一存在．对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高．基础练习一、选择题1、有以下5个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；（5）所有男生都爱踢足球．其中命题（5）的否命题是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）2、某个命题与正整数n 有关，如果当)(*∈=N k k n 时，该命题成立，那么可得当1+=k n 时命题也成立，现已知当5=n 时，该命题不成立，则可推出（） A ．当6=n 时，该命题不成立 B ．当6=n 时，该命题成立 C ．当4=n 时，该命题不成立 D ．当4=n 时，该命题成立3、设集合}06|{2=-+=x x x A ，}01|{=+=mx x B ，则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是（） A ．}3,21{ -∈m B ．21-=m C ．}1,21,0{ -∈m D ．}2,0{ ∈m 4、（湖北）有限集合S 中元素个数记作)(S card ，设A 、B 都为有限集合，给出下列命题：①∅=B A 的充要条件是)()()(B card A card B A card += ；②B A ⊆的必要条件是)()(B card A card ≤；③B A ⊂/的充分条件是)()(B card A card ≤；④B A =的充要条件是)()(B card A card =．其中真命题的序号是（）A ．③④B ．①②C ．①④D ．②③ 二、填空题5、有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若0=xy ，则0||||=+y x ”的逆命题；③“若b a >，则c b c a +>+”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有_________个．6、在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是_________．7、命题}3,2,1{}2{: ∈p ，}3,2,1{}2{: ⊆q ，则对复合命题的下述判断：①p 或q 为真；②p 或q 为假；③p 且q 为真；④p 且q 为假；⑤非p 为真；⑥非q 为假．其中判断正确的序号是_________（填上你认为正确的所有序号）．8、如果x 、y 是实数，那么0>xy 是||||||y x y x +=+的________条件．9、若三条抛物线3442+-+=a ax x y ，22)1(a x a x y +-+=，a ax x y 222-+=中至少有一条与x 轴有公共点，则a 的取值范围是________．10、设集合},|),{(R y R x y x U ∈∈= ，}02|),{(>+-=m y x y x A ，}0|),{(≤-+=n y x y x B ，那么点B C A P U ∈)3,2( 的充要条件是________．三、解答题： 11、已知2311:≤--x p ，)0(012:22>≤-+-m m x x q ，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．12、02:<<-m p ，10<<n ；:q 关于x 的方程02=++n mx x 有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件．13、已知关于x 的实系数二次方程02=++b ax x 有两个实数根α、β，证明：2||<α且2||<β是b a +<4||2且4||<b 的充要条件．。

高中数学充分条件、必要条件与命题的四种形式例题解析

§1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件1．当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．2．若p⇒q，但q⇏p，称p是q的充分不必要条件，若q⇒p，但p⇏q，称p是q的必要不充分条件．知识点二充要条件1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的充分且必要条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q等价．2．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A⊈B且B⊈A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×)2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)4．若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(√)5．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√)题型一充分、必要、充要条件的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(2)p：m>0，q：x2＋x－m＝0有实根；(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解(1)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1，x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．(2)因为m>0⇒方程x2＋x－m＝0的判别式Δ＝1＋4m>0，即方程有实根，方程x2＋x－m＝0有实根，即Δ＝1＋4m≥0⇏m>0，所以p是q的充分不必要条件．(3)p是q的既不充分也不必要条件．反思感悟充分条件、必要条件的两种常用的判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1下列各题中，试分别指出p是q的什么条件．(1)p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等； (2)p ：f (x )＝x ，q ：f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； (3)p ：A ⊆B ，q ：A ∩B ＝A ； (4)p ：a >b ，q ：ac >bc . 考点充要条件的概念及判断题点充要条件的判断解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵f (x )＝x ⇒f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，但f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数⇏f (x )＝x ，∴p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q ，且q ⇒p ，∴p 是q 的充要条件．(4)∵p ⇏q ，且q ⇏p ，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．题型二充分条件、必要条件、充要条件的应用命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m <10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m >－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．引申探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞)．2．若本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．解因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在．反思感悟由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系． (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．跟踪训练2 (1)“不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立”的一个充分不必要条件是“－2<x <－1”，则实数a 的取值范围是________．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案 (2，＋∞)解析不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因为当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解集是－a <x <－1. 由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，所以－2>－a ，即a >2.(2)已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________．考点充分、必要条件的综合应用题点由充分、必要条件求参数的范围答案 [－1,5]解析因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1，a ＋4≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5.命题角度2 探求充要条件例3 求关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立的充要条件．考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件解由题意可知，关于x 的一元二次不等式ax 2＋1>ax 对于一切实数x 都成立，等价于对于方程ax 2－ax ＋1＝0中，⎩⎨⎧a >0，Δ<0⇔0<a <4.反思感悟求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合，这就要求我们转化的时候思维要缜密．跟踪训练3 直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是m ＝________. 考点充要条件的概念及判断题点寻求充要条件答案－4或0解析由题意知，直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于半径2，即|2＋m |2＝2，得m ＝－4或0.充要条件的证明典例求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明充分性(由ac <0推证方程有一正根和一负根)，∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴原方程一定有两不等实根，不妨设为x 1，x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴原方程的两根异号，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性(由方程有一正根和一负根推证ac <0)， ∵一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，不妨设为x 1，x 2，∴由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，此时Δ＝b 2－4ac >0，满足原方程有两个不等实根．综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.[素养评析] (1)一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .(2)通过论证数学命题，学会有逻辑地思考问题，探索和表述论证过程，能很好的提升学生的逻辑思维品质．1．“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件答案 C解析 ∵－2<x <1⇏x >1或x <－1，且x >1或x <－1⇏－2<x <1，∴“－2<x <1”是“x >1或x <－1”的既不充分也不必要条件．2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析命题p ：1<x <2；命题q ：1≤x <2，故p 是q 的充分不必要条件． 3．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由于当“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－3]解析由于A ＝{x |x 2＋x －6<0}＝{x |－3<x <2}，B ＝{x |y ＝lg(x －a )}＝{x |x >a }，而“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则有A ⊆B ，则有a ≤－3.5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件．答案充要解析 (1)∵a ＝0，∴l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0， ∴l 1∥l 2，即a ＝0⇒l 1∥l 2. (2)若l 1∥l 2，当a ≠0时， l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a .令12a ＝1a，方程无解．当a ＝0时，l 1：x －1＝0，l 2：2x －1＝0，显然l 1∥l 2. ∴a ＝0是直线l 1与l 2平行的充要条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p 和结论q ，然后判断“p ⇒q ”及“q ⇒p ”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．一、选择题1．“ab ≠0”是“直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0.2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( ) ①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题的个数为1，故选B.3．已知向量a ，b 为非零向量，则“a ⊥b ”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 |a ＋b |2＝|a －b |2⇔a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ⇔a ·b ＝0.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0，则a 2＋b 2＝c 2是圆O 与直线l 相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析由直线与圆相切得|c |a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝c 2；a 2＋b 2＝c 2时也有|c |a 2＋b 2＝1成立，即直线与圆相切．5．若a ，b ，c 是常数，则“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当a >0且b 2－4ac <0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立，即充分性成立．反之，则不一定成立．如当a ＝0，b ＝0，且c >0时，对任意x ∈R ，ax 2＋bx ＋c >0成立．综上，“a >0且b 2－4ac <0”是“对任意x ∈R ，都有ax 2＋bx ＋c >0”的充分不必要条件．6．设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)内不是单调函数的充要条件是( ) A ．0<m <12B ．0<m <1 C.12<m <1 D ．m >1答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，－log 2x ，0<x <1.f (x )的图象在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．f (x )在(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数等价于⎩⎪⎨⎪⎧m <1，2m ＋1>1⇔0<m <1. 7．已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1λ2＝1 D ．λ1λ2＝－1答案 C解析依题意，知A ，B ，C 三点共线⇔AB →＝λAC →⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λ，λλ2＝1，即λ1λ2＝1.故选C.8．设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别是集合M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析若a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2<0，则M ≠N ，即a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇏M ＝N ；反之，若M ＝N ＝∅，即两个一元二次不等式的解集为空集时，只要求判别式Δ1<0，Δ2<0(a 1<0，a 2<0)，而与系数之比无关．二、填空题9．设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析由于方程有整数根，由判别式Δ＝16－4n ≥0.得1≤n ≤4，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1,3；当n ＝4时，方程有正整数解2.故n ＝3或4.10．设p ：1≤x <4，q ：x <m ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 [4，＋∞)解析据题意知，p ⇒q ，则m ≥4.11．给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>π2，cos 2π>cos π2，∴α>β⇏cos α<cos β；∵cos π<cos 2π，π<2π，∴cos α<cos β⇏α>β.∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确．三、解答题12．已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解化简B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}； ②当a <13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件且A 为非空集合，所以A ⊆B ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥13，a 2＋1≤3a ＋1，2a ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a <13，a 2＋1≤2，2a ≥3a ＋1，解得1≤a ≤3或a ＝－1.综上，a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．13．设a ，b ，c 是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．求证：a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .证明充分性：∵A ＝2B ，∴A －B ＝B ，则sin(A －B )＝sin B ，则sin A cos B －cos A sin B ＝sinB ，结合正弦、余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，化简整理得a 2＝b (b ＋c )；必要性：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a 2＝b (b ＋c )，得b 2＋bc ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴1＋2cos A ＝c b ＝sin C sin B，即sin B ＋2sin B cos A ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )，由于A ，B 均为三角形的内角，故必有B ＝A －B ，即A ＝2B . 综上，知a 2＝b (b ＋c )的充要条件是A ＝2B .14．已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：x >a (a 为实数)．若綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则实数a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析将x 2＋2x －3>0化为(x －1)(x ＋3)>0，所以p ：x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又綈q ：x ≤a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，所以a ≥1.15．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件。

2023数学高考真题知识题型突破02 四种条件问题(教师版)

专题02 四种条件问题【高考真题】1．(2022·北京)设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件1．答案 C 解析设等差数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，记[x ]为不超过x 的最大整数．若{a n }为单调递增数列，则d ＞0，若a 1≥0，则当n ≥2时，a n ＞a 1≥0；若a 1＜0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由a n ＝a 1＋(n －1)d ＞0，可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当n ＞N 0时，a n ＞0，所以，“{a n }是递增数列”⇒“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”；若存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0，取k *∈N 且k ＞N 0，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d>-，且k a k k d ->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，a n ＜0，与题设矛盾，假设不成立，则d ＞0，即数列{a n }是递增数列．所以，“{a n }是递增数列”⇐“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”．所以，“{a n }是递增数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”的充分必要条件．故选C ． 2．(2022·浙江)设x ∈R ，则“sin x ＝1”是“cos x ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．答案 A 解析因为sin 2x ＋cos 2x ＝1可得，当sin x ＝1时，cos x ＝0，充分性成立；当cos x ＝0时，sin x＝±1，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin x ＝1是cos x ＝0的充分不必要条件．故选A ．【知识总结】1．四种条件的定义充分不条必要件：p ⇒q 且q ⇏p ，p 叫做q 的充分不必要条件；必要不充分条件：p ⇏q 且q ⇒p ，p 叫做q 的必要不充分条件；充要条件：p ⇔q ，p 叫做q 的充要条件；既不充分也不必要条件：p ⇏q 且q ⇏p ，p 叫做q 的既不充分也不必要条件．2．充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若A ⊂≠B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A ⊃≠B ，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A ⊈B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．(3)等价法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．【同类问题】1．“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．答案 B 解析当a >b 时，若c 2＝0，则ac 2＝bc 2，所以a >b ⇏ac 2>bc 2，当ac 2>bc 2时，c 2≠0，则a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，即“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件．2．使－2<x <2成立的一个充分条件是( )A ．x <2B ．0<x <2C ．－2≤x ≤2D ．x >02．答案 B3．设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．答案 C 解析由x ＞y 推不出x ＞|y |，由x ＞|y |能推出x ＞y ，所以“x ＞y ”是“x ＞|y |”的必要不充分条件．4．“a >2，b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．答案 A 解析若a >2，b >2，则a ＋b >4，ab >4．当a ＝1，b ＝5时，满足a ＋b >4，ab >4，但不满足a >2，b >2，所以a ＋b >4，ab >4⇏a >2，b >2，故“a >2，b >2”是“a ＋b >4，ab >4”的充分不必要条件．5．使得“2x >4x ”成立的一个充分条件是________．5．答案 x <－1(答案不唯一) 解析由于4x ＝22x ，故2x >22x 等价于x >2x ，解得x <0，使得“2x >4x ”成立的一个充分条件只需为集合{x |x <0}的子集即可．6．已知p ：⎝⎛⎭⎫12x <1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．答案 B 解析由⎝⎛⎭⎫12x <1知x >0，所以p 对应的x 的范围为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q对应的x 的范围为(0，1)，显然(0，1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．7．a ＞b ＋1是2a ＞2b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．答案 A 解析当a ＞b ＋1时，得a ＞b ，则a ＞b ＋1是2a ＞2b 的充分条件；取a ＝2，b ＝1，满足2a＞2b ，不能推出a ＞b ＋1，故a ＞b ＋1是2a ＞2b 的充分不必要条件．故选A ．8．设a ，b ∈R ，p ：log 2(a －1)＋log 2(b －1)>0，q ：1a ＋1b<1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．答案 A 解析由题意得，p ：log 2(a －1)＋log 2(b －1)＝log 2(a －1)(b －1)>0＝log 21，所以(a －1)(b －1)>1，即a ＋b <ab ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，b －1>0，所以a >1，b >1，则ab >0，所以1a ＋1b <1，所以p 是q 的充分条件；因为1a ＋1b <1，所以a ＋b ab<1，若ab >0，则a ＋b <ab ，若ab <0，则a ＋b >ab ，所以p 是q 的非必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件．9．(多选)下列四个条件中，能成为x >y 的充分不必要条件的是( )A ．xc 2>yc 2B ．1x <1y<0 C ．|x |>|y | D ．ln x >ln y 9．答案 ABD 解析对于A 选项，若xc 2>yc 2 ，则c 2≠0，则x >y ，反之x >y ，当c ＝0时得不出xc 2>yc 2，所以“xc 2>yc 2”是“x >y ”的充分不必要条件，故A 正确；对于B 选项，由1x <1y<0可得y <x <0，即能推出x >y ；但x >y 不能推出1x <1y <0(因为x ，y 的正负不确定)，所以“1x <1y<0”是“x >y ”的充分不必要条件，故B 正确；对于C 选项，由|x |>|y |可得x 2>y 2，则(x ＋y )(x －y )>0，不能推出x >y ；由x >y 也不能推出|x |>|y |(如x ＝1，y ＝－2)，所以“|x |>|y |”是“x >y ”的既不充分也不必要条件，故C 错误；对于D 选项，若ln x >ln y ，则x >y ，反之x >y 得不出ln x >ln y ，所以“ln x >ln y ”是“x >y ”的充分不必要条件，故D 正确．10．(多选)(2022·南京调研)下列说法正确的是( )A ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分不必要条件B ．“1a ＞1b ”是“a ＜b ”的既不充分也不必要条件C ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆BD ．“a ＞b ＞0”是“a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)”的充要条件10．答案 BC 解析 A 项，ac ＝bc 不能推出a ＝b ，比如a ＝1，b ＝2，c ＝0．而a ＝b 可以推出ac ＝bc ，所以“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要不充分条件，故错误；B 项，1a ＞1b 不能推出a ＜b ，比如12＞－13，但是2＞－3；a ＜b 不能推出1a ＞1b ，比如－2＜3，－12＜13，所以“1a ＞1b”是“a ＜b ”的既不充分也不必要条件，故正确；C 项，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以x ∈A 可以推出x ∈B ，即A ⊆B ，故正确；D 项，a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)不能推出a ＞b ＞0，比如a ＝1，b ＝0，1n ＞0n (n ∈N ，n ≥2)满足，但是a ＞b ＞0不满足，所以必要性不满足，故错误．11．已知p ：∀x ∈R ，mx 2－2mx ＋1＞0，q ：指数函数f (x )＝m x (m ＞0，且m ≠1)为减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．答案 B 解析当m ＝0时，1＞0成立；当m ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＝4m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜1．由p 得出P ＝{m |0≤m ＜1}，由q 得出Q ＝{m |0＜m ＜1}，Q P ，故p 是q 的必要不充分条件．12．已知集合M ＝[－1，1]，那么“a ≥－23”是“∃x ∈M ，4x －2x ＋1－a ≤0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件12．答案 A 解析 ∵∃x ∈M ，4x －2x ＋1－a ≤0，∴a ≥(4x －2x ＋1)min ，x ∈[－1，1]，设t ＝2x ，则f (t )＝t 2－2t ＝(t －1)2－1，t ∈⎣⎡⎦⎤12，2，∴f (t )min ＝f (1)＝－1，∴a ≥－1，∵⎣⎡⎭⎫－23，＋∞[－1，＋∞)，∴“a ≥－23”是“∃x ∈M ，4x －2x ＋1－a ≤0”的充分不必要条件． 13．(2021·北京)设函数f (x )的定义域为[0，1]，则“函数f (x )在[0，1]上单调递增”是“函数f (x )在[0，1]上的最大值为f (1)”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件13．答案 A 解析前推后，一定成立；后推前，不一定成立．如函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －142在[0，1]上的最大值为f (1)，但f (x )在⎣⎡⎦⎤0，14上单调递减，在⎣⎡⎦⎤14，1上单调递增，故选A ． 14．(多选)已知a ∈R ，则使命题“∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，x 2－sin x －a ≥0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a <1B ．a ≤2C ．a <π2－44D ．a ≤π2－4414．答案 AC 解析 x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，令f (x )＝x 2－sin x ，则f ′(x )＝2x －cos x >0，则函数f (x )＝x 2－sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，∀x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，f (x )>f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2－44，所以原命题为真命题的充要条件为a ≤π2－44，而1<π2－44<2，则满足A 选项、C 选项的a 均有a ≤π2－44，a ≤π2－44时a <1和a <π2－44都不一定成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A ，C ．15．(多选)已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是( )A ．l ⊂α，l ⊥βB ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC ．α⊥γ，β∥γD ．l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m15．答案 ABC 解析由面面垂直的判定可以判断A ，B ，C 符合题意；对于D ，l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，也可以得到α∥β，D 不符合题意．故选ABC ．16．已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，且直线l ⊥n ，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件16．答案 A 解析当l ⊥m 时，m ，n 是平面α内的两条相交直线，又l ⊥n ，根据线面垂直的判定定理，可得l ⊥α．当l ⊥α时，因为m ⊂α，所以l ⊥m ．综上，“l ⊥m ”是“l ⊥α”的充要条件．17．在空间中，设m ，n 是两条直线，α，β表示两个平面，如果m ⊂α，α∥β，那么“m ⊥n ”是“n ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件17．答案 B 解析当m ⊥n 时，∵m ⊂α，α∥β，则n 与β可能平行，∴充分性不成立；当n⊥β时，∵α∥β，∴n⊥α，∵m⊂α，∴m⊥n，∴必要性成立，∴“m⊥n”是“n⊥β”的必要不充分条件．18．(2021·浙江)已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件18．答案B解析由a·c＝b·c可得(a－b)·c＝0，所以(a－b)⊥c或a＝b，所以“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．故选B．19．若a，b为非零向量，则“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件19．答案C解析因为a⊥b，所以a·b＝0，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，所以“a ⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充分条件；反之，由(a＋b)2＝a2＋b2得a·b＝0，所以非零向量a，b垂直，“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的必要条件．故“a⊥b”是“(a＋b)2＝a2＋b2”的充要条件．20．(2021·全国甲)等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n．设甲：q＞0，乙：{S n}是递增数列，则()A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件20．答案B解析当a1＜0，q＞1时，a n＝a1q n－1＜0，此时数列{S n}递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n}递增时，有S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n＞0，若a1＞0，则q n＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，则q n＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．21．若等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S2 020＞0，S2 021＜0”是“a1 010a1 011＜0”的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件21．答案B解析∵S2 020＝2 020（a1＋a2 020）2＝1 010(a1 010＋a1 011)＞0，S2 021＝2 021（a1＋a2 021）2＝2021a1 011＜0，∴a1 011＜0，∴a1 010＞0，则a1 010a1 011＜0，因此充分性成立；若a1 010a1 011＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1 010＞0，a 1 011＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a 1 010＜0，a 1 011＞0，因此必要性不成立．故选B ． 22．在△ABC 中，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件22．答案 A 解析在△ABC 中，若AB 2＋BC 2＝AC 2，则∠B ＝90°，即△ABC 为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出∠B ＝90°，所以AB 2＋BC 2＝AC 2不一定成立，综上，“AB 2＋BC 2＝AC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件．23．(2020·北京)已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件23．答案 C 解析 ①若k 为偶数，设k ＝2n (n ∈Z )，则α＝2n π＋β，有sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β；若k为奇数，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则α＝(2n ＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n ＋1)π－β]＝sin(2n π＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β．充分性成立．②若sin α＝sin β，则α＝2k π＋β或α＝2k π＋π－β(k ∈Z )，即α＝2k π＋β或α＝(2k ＋1)π－β(k ∈Z )，故α＝k π＋(－1)k β(k ∈Z )．必要性成立．故选C ．24．在△ABC 中，“A >B ”是“cos A <cos B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件24．答案 C 解析因为A ，B 是△ABC 的内角，且A >B ，所以0<B <A <π，因为y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，所以cos A <cos B ，故充分性成立；反之，y ＝cos x 在(0，π)上单调递减，0<A <π，0<B <π，若cos A <cos B ，则A >B ，故必要性成立，所以在△ABC 中，“A >B ”是“cos A <cos B ”的充要条件．25．直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)有公共点的充要条件是________．25．答案 a ∈[1，＋∞) 解析直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，依题意知点(0，1)在圆x 2＋y 2＝a 2内部(包含边界)，∴a 2≥1．又a >0，∴a ≥1．26．设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．26．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 p 对应的集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x －a )[x－(a ＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由q 是p 的必要而不充分条件，知A B ．所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12． 27．若关于x 的不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)27．答案 D 解析 |x －1|＜a ⇒1－a ＜x ＜1＋a ，∵不等式|x －1|＜a 成立的充分条件是0＜x ＜4，∴(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤0，1＋a ≥4，解得a ≥3． 28．已知p ：|x －1|≤2，q ：x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 28．答案 (0，2] 解析 ∵|x －1|≤2，∴－1≤x ≤3，即p ：－1≤x ≤3．∵x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)，∴x ≤1－a 或x ≥1＋a ，∴q ：1－a ＜x ＜1＋a ，∵p 是q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－a ≥－1，1＋a ≤3，解得0＜a ≤2，∴实数a 的取值范围是(0，2]．29．已知p ：x ≥a ，q ：|x ＋2a |<3，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)29．答案 A 解析因为q ：|x ＋2a |<3，所以q ：－2a －3<x <－2a ＋3，记A ＝{x |－2a －3<x <－2a ＋3}，p ：x ≥a ，记为B ＝{x |x ≥a }．因为p 是q 的必要不充分条件，所以AB ，所以a ≤－2a －3，解得a ≤－1．30．已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________．30．答案 ⎣⎡⎦⎤13，38 解析由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32．因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38．。

高考数学复习点拨判断充分、必要、充要条件的常用策略

判断充分、必要、充要条件的常用策略充分条件、必要条件与充要条件是高中的基础知识，在高考中往往以本节知识为工具考查其它方面的知识.本文主要谈一下判断充分条件、必要条件与充要条件的常用策略，供大家参考.策略1：定义法判断充分条件、必要条件与充要条件的最根本方法是根据定义，运用“⇒”号：如果q p ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.例1 ⎪⎩⎪⎨⎧>>+44xy y x 是⎪⎩⎪⎨⎧>>22y x 的什么条件，请说明理由. 解：当2>x ，2>y 时，有4>+y x ，4>xy ，所以⎪⎩⎪⎨⎧>>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>+2244y x xy y x ；反之不一定成立，例如当21<=x ，5=y 时，有46>=+y x ，45>=xy ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧>>22y x ⎪⎩⎪⎨⎧>>+44xy y x .所以⎪⎩⎪⎨⎧>>+44xy y x 是⎪⎩⎪⎨⎧>>22y x 的充分不必要条件.策略2：递推法命题在推导的过程当中具有传递性，即：若q p ⇒，r q ⇒，则r p ⇒.例2 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的_________条件.解：依题意，有D C B A ⇐⇔⇐，由命题的传递性可知D A ⇐，但A D .于是A 是D 的充分不必要条件.例3 设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分但不必要条件，丙是乙的充要条件，丙是丁的必要但不充分条件，那么丁是甲的__________条件.解，依题意，有丁丙乙甲⇐⇔⇒.由命题的传递性可知甲乙且乙甲，于是丁是甲的既不充分也不必要条件.策略3：等价转化法在判断命题p 与q 的关系的时候，若命题q 的形式比较复杂，则可把命题q 等价转化⇒⇒⇒⇒⇐ ⇒⇒⇒为比较简单的命题r ，进而通过判断命题p 与r 的关系得到命题p 与q 的关系.例4 设50:<<x p ，5|2:|<-x q ，那么p 是q 的________条件.解：73:5|2:|<<-⇔<-x r x q ，显然r p ⇒，但r p ，所以q p ⇒，但 q p ，所以p 是q 的充分但不必要条件.例5 0)2(22=-+y x 是0)2(=-y x 的________条件.解：2且0:0)2(22==⇔=-+y x p y x ，2或0:0)2(==⇔=-y x q y x ，显然q p ⇒但q p ，所以0)2(22=-+y x 是0)2(=-y x 的充分但不必要条件.策略4：逆否命题法由于原命题⇔逆否命题，逆命题⇔否命题.所以判断p 能否推出q ，等价于判断q ┐能否推出p ┐. 例6 已知条件2:≠+y x p ，条件1不都是,:-y x q ，则p 是q 的_____条件.解：因为2:≠+y x p ，1或1:-≠-≠y x q ，所以2:┐=+y x p ，1且1:┐-=-=y x q .因为q p ┐┐⇒但q ┐ p ┐，所以p 是q 的充分不必要条件. ⇒⇒⇒⇒。

充分条件必要条件4种常见考法归类(原卷版)

1.2.3 充分条件、必要条件4种常见考法归类1、对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释：(1)“若p，则q”形式的命题为真命题；(2)由条件p可以得到结论q；(3)p是q的充分条件或q的充分条件是p；(4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的；(5)q是p的必要条件或p的必要条件是q；(6)一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的．显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已．2、充要条件拓展p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．3、充分条件、必要条件、充要条件的判断方法（1）定义法①分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．③根据推式及条件得出结论．（2）等价转化法①等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．②逆否法：这是等价法的一种特殊情况．若¬p⇒¬q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若¬p⇒¬q，且¬q⇒¬p，则p是q的必要不充分条件；若¬p⇒¬q，则p与q互为充要条件；若¬p⇒¬q，且¬q⇒¬p，则p是q的既不充分也不必要条件．（3）集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A ⇒B 可得，p 是q 的充分条件， ⇒若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；⇒若A ⇒B ，则p 是q 的必要条件； ⇒若AB ，则p 是q 的必要不充分条件；⇒若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；⇒若A ⇒B 且A ⇒B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．（4）传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．（5）特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．注：充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；4、根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．考点一充分条件、必要条件、充要条件的判断考点二求条件(充分条件、必要条件和充要条件) 考点三充分条件、必要条件、充要条件的应用考点四充分性与必要性的证明考点一充分条件、必要条件、充要条件的判断1．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是矩形； (2)p ：1x =，q ：2430x x -+=.2．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？q 是p 的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答） (1)p ：x 为自然数，q ：x 为整数； (2)p ：2a <，q ：1a <；(3)p ：同位角相等，q ：两直线平行；(4)p ：四边形的两条对角线相等，q ：四边形是平行四边形．3．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2023·江苏·高一假期作业）“0x <”是“3x <”的条件． 5．（2023春·河北保定·高二定州市第二中学校考阶段练习）设x ∈R ，则“51x<”是“5x >”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2023春·浙江温州·高二校联考期中）“0a b >>”是“11a b<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2023春·河北沧州·高二统考期末）若,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2023·全国·高一假期作业）设p ：2x >或23x <；q ：2x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2023·全国·高三专题练习）32a a a ⎧⎫∈≤-⎨⎬⎩⎭是方程30ax +=有实根0x 且{}012x x x ∈-≤≤的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知命题p ：x ∀∈R ，20x x a -+>，则“(],0a ∈-∞”是“p ⌝是真命题”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．【多选】（2023春·湖南常德·高一统考期末）下列命题正确的是（）A ．“1x <”是“11x>”的充分不必要条件 B ．命题“21,1x x ∀<<”的否定是“21,1x x ∃<≥” C ．0x y +=的充要条件是1xy=- D ．若2x y +>，则,x y 至少有一个大于112．【多选】（2023秋·江西赣州·高一统考期中）下列结论正确的是（）A ．“1x >”是“1x >”的充分不必要条件B ．“a P Q ∈⋂”是“a P ∈”的必要不充分条件C ．“R x ∀∈，有210x x ++≥”的否定是“R x ∃∈，使210x x ++<”D ．“1x =是方程20ax bx c ++=的实数根”的充要条件是“0a b c ++=”13．（2023秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）已知下列所给的各组p ，q 中，p 是q 的充要条件的为（）A ．:0p a <，:0q a >B ．p ：两个三角形全等，q ：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等C ．:p a b =，22:q a b =D ．p ：两直角三角形的斜边相等，q ：两直角三角形全等考点二求条件(充分条件、必要条件和充要条件)14．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）使不等式1x >成立的一个充分不必要条件是（）A ．23x <<B ．0x >C ．25x -<<D ．1x >15．（2023·全国·高三对口高考）给出以下四个条件：⇒0ab >；⇒0a >或0b >；⇒2a b +>；⇒0a >且0b >．其中可以作为“若,R a b ∈，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是．16．（2023春·陕西商洛·高二校考阶段练习）不等式“220x x m +-≥在x ∈R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（）A ．1m <-B ．4m >C ．23m <<D ．12m -<<17．（2023·全国·高三专题练习）不等式2210ax x -+>（R a ∈）恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．a ≥1B ．a ＞1C ．102a ＜＜D ．a ＞218．（2023·重庆·统考模拟预测）命题“223,20x x a ∀-≤≤-≤”是真命题的一个必要不充分条件是（）A ．1a ≥B ．92a ≥C ．5a ≥D ．4a ≤19．（2023秋·高一课时练习）方程220x x a -+=有实根的充要条件是，方程220x x a -+=有实根的一个充分而不必要条件可以是 .20．【多选】（2023·全国·高一假期作业）设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的是（）A ．AB B ⋃=B ．UA B C ．UUAB D ．UAB U21．（2023秋·甘肃兰州·高一校考期末）命题“21,1x x m ∀>+>”是真命题的充要条件是（）A ．1m <B ．2m <C ．2m ≤D ．3m <考点三充分条件、必要条件、充要条件的应用22．（2023·上海长宁·统考二模）若“1x =”是“x a >”的充分条件，则实数a 的取值范围为．23．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）已知条件{}2:60p xx x +-=∣，条件:{10}q x mx +=∣，且p 是q 的必要条件，求m 的取值集合．24．（2023秋·湖北武汉·高一期中）已知p ：x >1或x <-3，q ：x >a (a 为实数)．若¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则实数a 的取值范围是．25．（2023·全国·高三专题练习）已知集合[]2,5A =-，[]1,21B m m =+-．若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则m 的取值范围是（）A ．(],3-∞B ．(]2,3C ．∅D ．[]2,326．（2023秋·云南大理·高一统考期末）若“不等式1x m -<成立”的充要条件为“2x <”，则实数m 的值为 . 27．（2023·江苏·高一假期作业）已知:210p x -≤≤，:11(0)q m x m m -≤≤+>，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．28．（2023秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期中）已知:()p x m m >∈R ， :1q x >或3x <-，若q ⌝的必要不充分条件是p ⌝，则m 的取值范围是 .29．（2023·高一单元测试）已知集合{|522}A x x x x =-<<-，集合{|231}B x m x m =+≤≤+． (1)当4m =-时，求()RA B ⋃；(2)当B 为非空集合时，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 30．（2023·高一单元测试）已知全集R U =，集合{}|11A x m x m =-<<+，{}|4B x x =<. (1)当4m =时，求A B ⋃和()R A B ⋂；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.31．（2023·全国·高一专题练习）设集合{13},{11,0}A x B x m x m m =-<<=-<<+>∣，命题:p x A ∈，命题:q x B ∈(1)若p 是q 的充要条件，求正实数m 的取值范围； (2)若p 是q 的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.32．（2023秋·云南昆明·高一统考期中）已知集合{}|26A x x =-≤≤， {}|11B x m x m =-≤≤+，0m >.请在⇒充分条件，⇒必要条件，⇒充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数m 存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围；(2)若x A ∈是x B ∈的________条件，判断实数m 是否存在？33．（2023春·陕西西安·高二西安市第三中学校考期末）已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A ． (1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．考点四充分性与必要性的证明34．（2023秋·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）“关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有实数根”是“0ac <”的什么条件？请证明你的结论．35．（2023秋·高一课时练习）已知x ，y ⇒R ，求证:xy =0是x 2+y 2=0的必要不充分条件.36．（2023秋·安徽淮南·高一校联考阶段练习）已知集合{}2|(1)40A x x m x =+++=，{}Z |1B x x =∈≤．(1)若“x B ∃∈，x A ∈”为假命题，求m 的取值范围；(2)求证：A 至少有2个子集的充要条件是5m ≤-，或3m ≥．37．（2023秋·河南许昌·高一校考阶段练习）求证：方程220x kx ++=与220x x k ++=有一个公共实数根的充要条件是3k =-.。

【高中数学考点精讲】考点02 充分条件与必要条件的判断

考点02 常用逻辑用语1．充要条件的四种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题第一：化简条件和结论第二：根据条件与结论范围的大小进行判断第三：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：①若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；②是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；③是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；④是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．(3)传递法：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．(4)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假2．判断充要条件需注意的三点(1)要分清条件与结论分别是什么；(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断；(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．3.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面①准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；②注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；③灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．（对于充分、必要条件的探求,一般转化为集合问题.根据“小充分、大必要”判断求解其充分、必要条件.注意理解:“充分性”即“有它就行”;“必要性”即“没它不行”.）4.根据充分、必要条件求解参数范围的方法及注意点①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．5．全称量词命题真假的判断方法（1）要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；（2）要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．6．存在量词命题真假的判断方法要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题．7.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法汇总命题名称真假判断方法一判断方法二真所有对象使命题真否定为假全称量词命题假存在一个对象使命题假否定为真真存在一个对象使命题真否定为假存在量词命题假所有对象使命题假否定为真（1）含有一个量词的命题的否定命题命题的否定（2）全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；②否定结论：对原命题的结论进行否定．（3）命题的否定与否命题的区别“否命题”是对原命题“若，则”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非”，只是否定命题的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．考点一充分条件与必要条件的判断1．（2022·全国·高一课时练习）已知四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则；反之，若，则四边形ABCD不一定是菱形．故为充分不必要条件.故选：A．2．【多选】（2022·全国·高一课时练习）设计如图所示的四个电路图，：“开关闭合”，：“灯泡亮”，则是的充要条件的电路图是（）A． B．C． D．【解析】由题知，A中电路图，开关闭合，灯泡亮，而灯泡亮，开关不一定闭合，故A中是的充分而不必要条件；B中电路图，开关闭合，灯泡亮，且灯泡亮，则开关闭合，故B中是的充要条件；C中电路图，开关闭合，灯泡不一定亮，灯泡亮，则开关一定闭合，故C中是的必要而不充分条件；D中电路图，开关闭合，则灯泡亮，灯泡亮，则开关闭合，故D中是的充要条件．故选：BD.3．（2022·全国·高一课时练习）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C．4．（2022·江西·丰城九中高一期末）已知集合，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由题意得，所以 .所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B5．（2022·山东潍坊·高一期末）设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】等价于，解得：；等价于，解得：，可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件故选：B6．（2022·河南开封·高一期末）设，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】充分性：取，满足“”，但是“”不成立，即充分性不满足；必要性：取，满足“”，但是“”不成立，即必要性不满足；所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D7．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）设p：x > y，q：，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不必要也不充分条件【解析】先验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立；再验证，若，显然满足，但不满足，所以不成立.故选：D.8．（2022·宁夏银川·高一期末）已知，，则“使得”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】若使得，则有成立；若，则有使得成立.则“使得”是“”的充要条件故选：C。

高考数学复习点拨判定充要条件的四法

判定充要条件的四法充要条件是数学中的一个重要概念，是正确进行逻辑理必不可少的基础知识.高考对充要条件的考查主要以其他知识为载体进行两类问题的考查：一类是充要条件的判别；一类是有关充要性命题的证明，尤以考查充要条件的判别为主.要正确判断“充分且不必要条件”、“必要且不充分条件”、“充要条件”、“非充分非不必要条件”应该明确：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推导结论，从结论推导条件；③确定条件是结论的什么条件.下面就介绍几种充要条件的判定方法.方法一、定义法能够保证一个事件一定发生的条件，叫做这个事件发生的充分条件；一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件；一个条件既能保证某个事件发生，同时又是这个事件发生必须具备的条件，就叫做这个事件发生的充要条件.在实际应用中，体现充要条件的文字还有“当且仅当”、“有且仅有”、“必需且只需”等语句.用逻辑符号表示为：(1)若P Q，且Q/P，则P是Q的充分且不必要条件，Q是P的必要且不充分条件；(2)若Q P，且P/Q，则P是Q的必要且不充分条件，Q是P的充分且不必要条件；(3)若P Q，且Q P(或P Q)，则P是Q的充要条件(此时Q也是P的充要条件)；(4)若P/Q，且Q/P，则P是Q的非充分非不必要条件.例1一元二次方程Ax2+2x+1=0(A≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.A＜0B.A＞0C.A＜﹣1D.A＞1解析：如果一元二次方程Ax2+2x+1=0(A≠0)有一个正根和一个负根，则两个根的积为负数，即﹣1a＜0，所以A＜0，由此可知“一元二次方程Ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根”/“A＜﹣1”，但“A＜﹣1”一元二次方程Ax2+2x+1=0(A≠0)有一个正根和一个负根”.故选C.二、命题法(1)如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分非必要的；(2)如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要非充分的；(3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件充要的；(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是非充分非必要的.例2若非空集合M≠N，则“A∈M或A∈N”是“A∈M∩N”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：因为命题“若A∈M或A∈N，则A∈M∩N”为假，它的逆命题：“若A∈M∩N，则A∈M或A∈N”为真，故“A∈M或A∈N”是“A∈M∩N”的必要非充分条件，故选B.三、双箭头表示法由于逻辑联结符号“”、“”、“”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系.例3已知P是R的充分不必要条件，S是R的必要条件，Q是S的必要条件．那么P是Q成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：画出用双箭头符号表示表示P、Q、R、S的关系：P R，S R，Q S，即P R，S R，Q S，∴P R S Q，即P Q，又R/P，则Q/P，故P是Q的充分非必要条件.故选A.四、集合法(1)若A__B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；(2)若A≠B，就是x∈A则x∈B，且A中至少有一个元素不在B中，则A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件.(3)若A=B，就是A__B且A__B，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件，即A是B的充要条件.(4)若A B，A/B，则A是B的既不充分也不必要条件.例2也可这样解：由于M≠N，所以M∪N=N，M∩N=M，又由并集的定义知：A∈M或A∈N A∈M∪N A∈N，A∈M∩N=N A∈M，而M≠N，所以“A∈M或A∈N”“A∈M∩N”，所以“A∈M或A∈N”是“A∈M∩N”的必要非充分条件，故选B.例3也可这样解：设条件P、Q、R、S相对应的集合为A、B、C、D，则根据题设条件知：A≠C，C D，D B，又由子集的传递性知A≠B，所以P是Q成立充分不必要条件，故选A.。

四种条件的判断与应用

由于互为逆否命题是相互等价的,当我
们对原命题判断较为困难时,可将其转化为
逆否命题来判断。
例3
已知 p:|3
x - 4| > 2;
q:
11
知识篇知识结构与拓展
高二使用 2019 年 10 月
1
问:
>0,
p 是 q 的什么条件?
2
x -x-2
解析:
关系列出关于参数的不等式(
或不等式组)
求解。
(
要注意区间端点值的检验。尤其是
2)
利用两个集合之间的关系求解参数的取值范
2
,
解析:
命题 “∀x ∈ [
1,
3]
x -a≤0”⇔
2
“
,
,
∀x∈ [
1,
3]
x ≤a”
9≤a。则 a≥1
0是命
,
题“
∀x∈ [
1,
3]
知识篇知识结构与拓展
高二使用 2019 年 10 月
四种条件的判断与应用
■ 河南省平顶山一高
一、利用定义判断
例1
)
。
1
1
< ”是
2
2
必要而不充分条件
B.
y≥x-1,

(
实数 x,
y-1)≤2,
q:
y 满足
y≥1-x,则

y≤1,
)
。
必要不充分条件
A.
既不充分也不必要条件
D.
1
1
解析:
由 x得 0<x<1,

高中数学的四种条件教案

高中数学的四种条件教案
一、教学目标：
1. 理解并掌握等腰三角形的性质和判定方法。

2. 掌握全等三角形的定义和判定方法。

3. 熟练运用相似三角形的性质解决问题。

4. 掌握举例法证明命题的方法。

二、教学重点难点：
1. 理解等腰三角形的性质和判定方法。

2. 掌握全等三角形的定义和判定方法。

3. 运用相似三角形的性质解决问题。

4. 掌握举例法证明命题的方法。

三、教学内容：
1. 等腰三角形的性质和判断方法
2. 全等三角形的定义和判定方法
3. 相似三角形的性质
4. 举例法证明命题
四、教学过程：
1. 导入：通过一个实际例子引入等腰三角形的定义和性质。

2. 讲解等腰三角形的性质和判断方法，并进行相关练习。

3. 讲解全等三角形的定义和判定方法，并进行相关练习。

4. 讲解相似三角形的性质，并进行相关练习。

5. 讲解举例法证明命题的方法，并进行相关练习。

6. 总结：梳理所学知识点，强调重点难点。

五、作业布置：
1. 完成相关练习题目。

2. 自行查阅相关知识，加深理解。

六、教学反思：
本节课以四种条件为主要内容，通过理论讲解和实际练习相结合的方式，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

但在教学过程中，应注重引导学生思考和解决问题的能力，加强学生的实际操作及解题技巧。

高一数学条件知识点

高一数学条件知识点数学条件知识点是高中数学学习中的基础内容，对于高一学生来说尤为重要。

本文将介绍高一数学条件知识点的相关内容，帮助学生们全面了解并掌握这些知识。

一、集合与命题1. 集合的基本概念：包括元素、空集、全集、子集等。

2. 集合的运算：交集、并集、差集和补集等。

3. 命题与命题的连接词：包括合取、析取、否定等。

二、命题的真值与等值关系1. 命题的真值表：通过真值表可以确定命题的真假。

2. 命题的等值：等值命题在逻辑上等同于另一个命题。

三、充分必要条件1. 充分条件：如果A发生，则B一定发生。

2. 必要条件：如果B发生，则A一定发生。

3. 充要条件：充分条件和必要条件同时满足。

四、特殊的条件语句1. 等价命题：具有相同真值的命题。

2. 反命题：与原命题的真值完全相反的命题。

3. 逆命题：将原命题的条件和结论互换的命题。

4. 逆否命题：先对原命题取反，再将条件和结论互换的命题。

五、假设与条件证明1. 假设：在数学证明中所作的暂时性假设。

2. 条件证明：根据给定条件进行的推理与论证。

六、数学定理与条件1. 逻辑运算定理：包括交换律、结合律、分配律等。

2. 数与集合的关系：包括全等关系、包含关系等。

3. 条件命题与某一条件成立的关系：若条件成立，则命题成立。

七、条件的应用1. 数学问题中的条件转化：将问题中的条件转化为数学命题进行求解。

2. 条件的约束：利用条件对问题中的变量进行限制，缩小问题的解空间。

以上是关于高一数学条件知识点的简要介绍，通过学习和掌握这些知识，学生们将能够更好地理解数学问题中的条件关系，提高解题能力和论证能力。

希望本文对高一数学学习有所帮助。

人教版数学高二-备课资料充分必要条件判定的四条途径

充分必要条件判定的四条途径对于充分条件、必要条件及充要条件的判定，虽然老师再三强调、反复讲解，但学生判断起来仍困难重重，错误屡见不鲜；这里介绍四条途径，对你一定会有帮助。

1、利用原命题及逆命题若仅原命题成立，则原命题的条件是结论的充分不必要条件；若仅逆命题成立，则原命题的条件是结论的必要不充分条件；若原命题与逆命题都成立，则原命题的条件是结论的充要条件；若原命题与逆命题都不成立，则原命题条件既不是结论的充分条件也不是必要条件，面对条件的判定问题，先找出包含该问题的原命题，然后，对其正确性进行判断。

例1、判断p 是q 的什么条件，:1p x =或2x =，:1q x -=分析：“p 是q 的什么条件”？能否感觉到：p 是条件，q 是结论；包含的原命题是：若p 则q （即：若1x =或2x =，则1x -=）呢？若能感觉到，则容易判断出原命题成立逆命题也成立故p 是q 的充要条件2、利用逆否命题及否命题由于原命题与逆否命题等效、逆命题与否命题等效；因而在第一条途径失效时，要选择逆否命题及否命题。

例2、判断p 是q 的什么条件，:10p x y +≠，:3q x ≠或7y ≠分析：易得原命题为：若10x y +≠，则3x ≠或7y ≠；对于这个命题正确性的判定比较困难；我们来看它的逆否命题：若3x =且7y =，则10x y +=，显然是正确命题；而否命题：若10x y +=，则3x =且7y =不成立；故p 是q 的充分不必要条件3、利用“,⇒⇔”若A B ⇒，则A 是B 的充分不必要条件，B 是A 的必要不充分条件；若A B ⇔，则A 是B 的充要条件；例3、若A 是B 的充分不必要条件，B 是C 的充分要条件，D 是C 的必要不充分条件，D 是E 充分不必要条件，问：①E 是A 的什么条件？②B 是E 的什么条件？分析：由题设可得“A B C D E ⇒⇔⇒⇒”显然，E 是A 的必要不充分条件；B 是E 的充分不必要条件；4、利用集合之间的包含关系设{|()M x A x =成立}，{|()N x B x =成立}；显然，A B ⇒当且仅当M N ⊆；即当且仅当M N ⊆时，A 是B 的充分不必要条件，B 是A 的必要不充分条件；M N =时，A 是B 的充要条件；例4、已知A 、B 都是命题，A ⌝、B ⌝分别为A 、B 的否命题，①若A B ⇒，则A ⌝是B ⌝的什么条件？②B ⌝A ⇒，则B 是A ⌝的什么条件？分析：将A 、B 看成集合，则,U U C A C B 分别为A 、B 的补集，①由A B ⇒知A B ⊆，此时，U U C A C B ⊇，于是A ⌝是B ⌝的必要不充分条件； ②由B ⌝A ⇒知U C B A ⊆，此时，U C A B ⊆，于是B 是A ⌝的必要不充分条件；。

高二数学复习指导：判断充分与必要条件的常用方法

高二数学复习指导：判断充足与必需条件的常用方法高二数学复习指导：判断充足与必需条件的常用方法【】高二数学复习指导：判断充足与必需条件的常用方法是查词典数学网为您整理的最新考试资讯，请您详尽阅读 ! 充足条件与必需条件是高中阶段特别重要的数学观点，它波及知识范围广，综合性强，能与高中任何知知趣联合，有必定的深度与难度，此类题目能有力地考察学生的逻辑思想能力.那么我们怎样掌握和解决此类问题呢 ?一、定义法关于 ?圯，能够简单的记为箭头所指为必需，箭尾所指为充足 . 在解答此类题目时，利用定义直接推导，必定要抓住命题的条件和结论的四种关系的定义 .例 1 已知 p： -2剖析条件 p 确立了 m，n 的范围，结论 q 则明确了方程的根的特色，且m，n 作为系数，所以理应联想到根与系数的关系，而后再进一步化简 .解设 x1 ，x2 是方程 x2+mx+n=0 的两个小于 1 的正根，即而关于知足条件p 的 m=-1 ，n=，方程 x2-x+=0 并没有实根，所以 pq.综上，可知p 是 q 的必需但不充足条件.评论解决条件判断问题时，务必分清谁是条件，谁是结论，而后既要试试由条件可否推出结论，也要试试由结论可否推出条件，这样才能明确做出充足性与必需性的判断.二、会合法假如将命题 p， q 分别看作两个会合 A 与 B，用会合意识解说条件，则有：①若 A? 哿 B，则 xA 是 xB 的充足条件， xB是 xA 的必需条件 ;②若 A? 芴 B ，则 xA 是 xB 的充足不用要条件， xB 是 xA 的必需不充足条件 ;③若 A=B ，则 xA 和 xB互为充要条件 ;④若 A?芫 B 且 A?芸 B ，则 xA 和 xB 互为既不充足也不用要条件 .例 2 设 x， yR，则 x2+y22 是 |x|+|y|的() 条件，是 |x|+|y|2 的 ()条件 .A. 充要条件B. 既非充足也非必需条件C. 必需不充足条件?摇D. 充足不用要条件解如右图所示，平面地区 P={(x ， y)|x2+y22} 表示圆内部分(不含界限 );平面地区 Q={(x ， y)||x|+|y|} 表示小正方形内部分(含界限 );平面地区 M={(x ， y)||x|+|y|2} 表示大正方形内部分(不含界限 ).因为 (，0)?埸 P，但 (，0)Q，则 P?芸 Q.又 P?芫 Q，于是 x2+y22是 |x|+|y|的既非充足也非必需条件，应选 B.同理 P?芴 M ，于是 x2+y22 是 |x|+|y|2 的充足不用要条件，故选 D.评论由数想形，以形辅数，这类解法正是数形联合思想在解题中的有力表现.数形联合不单能够拓宽我们的解题思路，并且也能够提升我们的解题能力.三、逆否法利用互为逆否命题的等价关系，应用正难则反的数学思想，将判断 p?圯 q 转变为判断非q?圯非 p 的真假 .例 3 (1) 判断 p：x3 且 y2 是 q： x+y5 的什么条件 ;(2)判断 p： x3 或 y2 是 q： x+y5 的什么条件 .解 (1)原命题等价于判断非 q： x+y=5 是非 p：x=3 或 y=2 的什么条件 .明显非 p 非 q，非 q 非 p，故 p 是 q 的既不充足也不用要条件.(2)原命题等价于判断非 q： x+y=5 是非 p：x=3 且 y=2 的什么条件 .因为非 p?圯非 q，但非 q 非 p，故 p 是 q 的必需不充足条件.评论当命题含有否认词时，可考虑经过逆否命题等价转变判断 .四、挑选法用特别值、举反例进行考证，做出判断，进而简化解题过程.这类方法特别合适于解选择题.例 4 方程 ax2+2x+1=0 起码有一个负实根的充要条件是() A. 0解利用特别值考证：当a=0 时， x=- ，清除 A ，D; 当 a=1 时，x=-1 ，清除 B.所以选 C.评论作为选择题，利用挑选法防止了复杂的逻辑推理过程，使解题方法更为优化，节俭了时间，提升认识题的速度，因此同学们应当注意解题方法的选择使用.五、传达法充足条件与必需条件拥有传达性，即由 P1?圯 P2，P2?圯 P3，，Pn-1?圯 Pn，可得 P1?圯 Pn .相同，充要条件也有传达性.关于比较复杂的拥有必定连锁关系的条件，两个条件间关系的判断也可用传达法来加以办理.例 5 已知 p 是 r 的充足不用要条件， s 是 r 的必需条件， q 是 s 的必需条件，那么 p 是 q 的()A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件解由题意可得 p?圯 r， r?圯 s， s?圯 q，那么可得 p?圯 r?圯s?圯 q，即 p 是 q 的充足不用要条件，应选 A.评论关于两个以上的较复杂的连锁式条件，利用传达性结合符号 ?圯与，画出它们之间的关系构造图进行判断，能够直观快捷地办理问题，使问题得以简单化.1. 求三个方程x2+4ax-4a+3=0 ，x2+(a-1)x+a2=0 ，x2+2ax-2a=0起码有一个方程有实根的充要条件.1.三个方程均无实根的充要条件是宋此后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称呼皆称之为“教谕”。

高考数学秘笈：四步解题法10——寻找条件之主要条件

高考数学秘笈：四步解题法10——寻找条件之主要条件冯跃峰所谓“寻找条件”，并不是单纯的罗列、或整理题中的条件，而是指如何恰当地运用题中的条件。

在一般情况下，题中的条件并非都与题目的结论有明显的、直接的联系，有些题目的条件在题中的地位还很隐蔽，一时还难以弄清它究竟能在题中起什么作用。

如果盲目地由条件进行推理，不仅可能都是无用功，甚至还可能造成对解题的干扰。

只有通过对实现其目标的途径作一番审视之后，察觉到要利用怎样的条件，然后从题目条件系统中依次找到所需要的条件。

由此便可发现某些条件在解题中的作用，这就是寻找条件的含义。

具体地说，“寻找条件”主要包括如下4个方面的内容：(1)确定主要条件（哪个条件与目标最接近）(2)理解条件的实际意义（含义是什么、能推出什么熟悉的、或与目标相近的结果）(3)化简或优化条件的结构（改变其表现形式、或集中元素，便于运用条件）(4)发掘隐含条件（发掘容易忽略的但又起着关键作用的条件）本讲主要介绍如何确定主要条件。

在很多情况下，题中的条件往往不止一个，这时就要抓住题中的主要条件，找到解题的突破口。

一般地说，与解题目标最接近的条件通常是最关键的，应将其作为主要条件，辅之以其它条件的配合，使目标得以实现。

我们看一个例子。

例1、设g（x）=1-2x，f（g（x））=（x≠-1），求f（）。

【分析与解】本题通常的做法是，设想目标f（）的前一步（充分条件）：立足于求出函数f（x），但这种解法过程很繁。

下面避免求f（x），选择这样的解题主线：g（x）=1-2x，f（g（x）），——→ f（）=常数。

条件已经明显罗列了，但这还不是“寻找条件”的实际意义。

我们需要在条件系统“g（x）=1-2x，f（g（x））=”中，找到与f（）相接近的条件。

显然，f（g（x））=与目标最接近，因为由它构造f（），只需找到x使g（x）=，也就是使1-2x=，即x=。

所以，直接在第2个条件中令x=，得f（g（））=，即f（1-2·）=，故f（）=。