湖南省师大附中2019届高三数学摸底考试试题理

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湖南师大附中2019届高三上学期月考(四)数学(理)试题(含解析)

4．五进制是以 5 为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制， 0 代表土， 1 代表水， 2 代表火， 3 代表木， 4 代表金，依此类推， 5 又属土， 6 属水， ……，减去 5 即得. 如图，这是一个把 k 进制数 a(共有 N 位)化为十进制数 b 的程序框图，执行该程序框图，若输入的 k，a，n 分别为 5，1 203，4，则输出的 b＝( ) A．178 B．386 C．890 D．14 303
3 ， 3 D. 2
若存在实数 k，使得函数 f(x)的值域为[－1，1]，则
D.[2，3]
12．设 A，B 是抛物线 y＝x2 上的两点，O 是坐标原点，若 OA⊥OB，则以下结论恒成立的结论个数为( ) ①|OA|·|OB|≥2；②直线 AB 过定点(1，0)；③O 到直线 AB 的距离不大于 1 A． 0 B．1 C．2 D． 3
7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 5 天的日平均温度均不低于 22 ℃” ．现有甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)： ①甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22； ②乙地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24； ③丙地：5 个数据中有一个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8. 则肯定进入夏季的地区有( ) A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(四)
数
时量：120 分钟
学(理科)
满分：150 分
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x∈R|x2－x－2＜0}，B＝{x∈Z|x＝2t＋1，t∈A}，则 A∩B＝( ) A．{－1，0，1} 2．已知复数 z＝ B．{－1，0} C．{0，1} D．{0}

湖南师大附中2019届高三摸底考试理科数学试卷

湖南师大附中 2019届高三摸底考试数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(2＋i )z ＝2－i (i 为虚数单位)，则z 等于 A ．3＋4i B ．3－4iC .35＋45iD .35－45i 2．已知P ＝{x|x 2－5x ＋4＜0}，Q ＝{}x|y ＝4－2x ，则P ∩Q 等于A ．(1，4)B ．[2，4)C ．(1，2]D ．(－∞，2]3．已知两组样本数据{x 1，x 2，…，x n }、{y 1，y 2，…，y m }的平均数分别为h 和k ，则把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为A .h ＋k 2B .nh ＋mk m ＋nC .mh ＋nk m ＋nD .h ＋k m ＋n4．已知{a n }为等比数列，a 1>0，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 4＋a 7＋a 10等于 A ．－7 B ．－5 C ．5 D ．75．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面PAD. 其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为A ．2或233B .6或233C ．2或 3D .3或 67．函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后关于y 轴对称，则φ的值是A ．0B .π6C .π3D .5π68．在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为A ．1－3π6 B ．1－3π12 C ．1－3π9 D ．1－3π189．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为 A .22π3 B .3π3 C .23π3 D .2π310．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为A .4π5B .3π4C ．(6－25)πD .5π411．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，x 2＋ax ＋1，x ＞0，F(x)＝f(x)－x －1，且函数F(x)有2个零点，则实数a 的取值范围为A ．(－∞，0]B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)12．已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)3＝4，[)－1.3＝－1，下列命题中正确的是 ①函数f(x)＝[)x －x 的值域是(]0，1； ②若{a n }是等差数列，则{}[)a n 也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{}[)a n 也是等比数列； ④若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝12有2 017个根．A ．②④B ．③④C ．①③D ．①④选择题答题卡二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 13．从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为________．(结果用最简分数表示) 14．《九章算术》是我国古代内容较为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡壔(圆柱体)的体积V ＝112×(底面的圆周长的平方×高)，则该问题中圆周率π的取值为________．(注：一丈＝10尺)15.⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x)6展开式中x 2的系数为________．(结果用数字表示) 16．如图2，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行．点A ，B 是“六芒星”(如图1)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分11分)如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点(含端点)，记∠BAD ＝α，∠ADC ＝β. (1)求2cos α－cos β的最大值；(2)若BD ＝1，cos β＝17，求△ABD 的面积．已知正项等比数列{}a n 的公比为q ，且a 3＋a 4＋a 5＝716，3a 5是a 3，a 4的等差中项．数列{}b n 满足b 1＝1，数列{}()b n ＋1－b n ·a n 的前n 项和为2n 2＋n.(1)求数列{}a n 的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式．已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．(1)设Μ为ΑΒ中点，若BP →＝13PC →.求证：ΜΡ∥平面CΝΒ1；(2)设二面角Β－CΒ1－Ν大小为θ，求sin θ的值．某卫生监督检查部门对5家餐饮店进行卫生检查，若检查不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家餐饮店检查是否合格是相互独立的，且每家餐饮店整改前合格的概率是0.5，整改后复查合格的概率是0.8.计算：(1)恰好有两家餐饮店必须整改的概率；(2)平均有多少家餐饮店必须整改；(3)至少关闭一家餐饮店的概率．(精确到0.01)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，若点P ⎝⎛⎭⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m(k ，m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重心G 满足：F 1G →·F 2G →＝－59，求实数m 的取值范围．设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2.(1)若f(x)为定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；(2)若g(x)＝e x＋x2－f(x)，当a≤2时，证明：g(x)>0.湖南师大附中 2019届高三摸底考试数学(理科)参考答案一、选择题1．D 【解析】由(2＋i)z ＝2－i ，得z ＝2－i 2＋i ＝（2－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝35－45i ，故选D.2．C 【解析】解x 2－5x ＋4＜0，即(x －1)(x －4)＜0，得1＜x ＜4，故P ＝(1，4)．Q 表示函数y ＝4－2x 的定义域，所以4－2x ≥0，所以x ∈(－∞，2]，即Q ＝(－∞，2]．故P ∩Q ＝(1，2]．故选C.3．B 【解析】因为样本数据{x 1，x 2，…，x n }的平均数为h ，{y 1，y 2，…，y m }的平均数为k ，所以第一组数据和为nh ，第二组数据和为mk ，因此把两组数据合并成一组以后，这组样本的平均数为nh ＋mkm ＋n，故选B.4．B 【解析】由等比数列的性质可得a 5a 6＝a 4a 7＝－8，又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝－2，a 7＝4或a 7＝－2，a 4＝4，因为a 7＝a 1q 6>0，所以a 4＝－2，a 7＝4，a 7＝a 4q 3＝－2q 3＝4，所以q 3＝－2，所以a 1＝a 4q3＝1，a 10＝a 7q 3＝－8，所以a 1＋a 4＋a 7＋a 10＝－5，故选B.5．B 【解析】将展开图还原为几何体(如图)，因为E ，F 分别为P A ，PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面P AD ，E ∈平面P AD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面P AD 与平面BCE 不一定垂直，④错．故选B.6．A 【解析】由题意可知，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的倾斜角为30°或60°，则k ＝b a ，∴k ＝3或33，则e ＝c a ，∴e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2或233. 7．D 【解析】f (x )＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)图像向右平移π6个单位后得到的函数是g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，又g (0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝±1，得φ－π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋5π6(k ∈Z )，故选D.8．A 【解析】满足条件的正三角形ABC 如图所示：设边长为2，其中正三角形ABC的面积S △ABC ＝34×4＝ 3.满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆，则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离大于1的概率P ＝1－3π6，故选A.9．D 【解析】设四棱锥为P －ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A ＝PB ＝PC ＝PD ＝1的外接球的半径为R ，过P 作PO 1⊥底面ABCD ，垂足O 1为正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设球心为O ，连接AO ，由于AO ＝PO ＝R ，AO 1＝PO 1＝22，OO 1＝22－R ，在Rt △AOO 1中，⎝⎛⎭⎫22－R 2＋⎝⎛⎭⎫222＝R 2，解得R ＝22，V 球＝43πR 3＝43π⎝⎛⎭⎫223＝2π3. 10．A 【解析】设直线l ：2x ＋y －4＝0.因为|OC |＝12|AB |＝d 1，其中d 1为点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线．圆C 半径最小值为12d 2＝12×45＝25，其中d 2为点O 到直线l 的距离，圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝4π5.故选A. 11．B 【解析】因为F (x )＝f (x )－x －1，且函数F (x )有2个零点，即f (x )－x －1＝0有2个实数根，所以当x ≤0时，令e x －x －1＝0，解得x ＝0，此时只有一个实数根，当x ＞0时，令f (x )－x －1＝0，即x 2＋(a －1)x ＝0，即x [x －(1－a )]＝0，此时解得x ＝1－a ，要使得函数F (x )有2个零点，则1－a ＞0，所以a ＜1，故选B.12．D 【解析】当x ∈Z 时，[)x ＝x ＋1，f (x )＝[)x －x ＝x ＋1－x ＝1；当x Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)，则[)x ＝n ＋1，f (x )＝[)x －x ＝1－a ∈(0，1)，因此f (x )＝[)x －x 的值域是(]0，1；0.9，1，1.1是等差数列，但[)0.9＝1，[)1＝2，[)1.1＝2不成等差数列；0.5，1，2是等比数列，但[)0.5＝1，[)1＝2，[)2＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时，f (x )＝1；当x Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0，1)时，f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x＋1)＝f (x )，即f (x )＝[)x －x 是周期为1的函数，由于x ∈(1，2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈(1，2 018)，则方程[)x －x ＝12有2 017个根．①④正确，故选D.二、填空题13.35 【解析】从3名男同学和2名女同学中任选2名参加体能测试，则恰有1名男同学参加体能测试的概率为C 13C 12C 25＝35. 14．3 【解析】圆柱体体积公式V ＝πr 2h ，而由题意有V ＝112×(2πr )2×h ，所以π＝3.15．30 【解析】因为⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6＝1·(1＋x )6＋1x2·(1＋x )6，则(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2＝15x 2，1x 2·(1＋x )6展开式中含x 2的项为1x2·C 46x 4＝15x 2，故x 2的系数为15＋15＝30.16．5 【解析】令正三角形边长为3，则OB →＝(1，0)，OA →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，设直线AB 与OC 的交点为点D ，若OD →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝1.又由线性规划知识知当P 在C 点时，x＋y 有最大值，此时OP →＝5OD →，故x ＋y 的最大值是5.三、解答题17．【解析】(1)由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋π3，0≤α≤π3，故2cos α－cos β＝2cos α－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3，故当α＝π6，即D 为BC 中点时，原式取最大值 3.5分 (2)由cos β＝17，得sin β＝437，故sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＝sin βcos π3－cos βsin π3＝3314，7分由正弦定理AB sin ∠ADB ＝BD sin ∠BAD ，故AB ＝sin βsin αBD ＝4373314×1＝83，9分故S △ABD ＝12AB ·BD ·sin B ＝12×83×1×32＝233.11分 18．【解析】(1)依题意，a 3＋a 4＋a 5＝716，6a 5＝a 3＋a 4，则a 5＝116，a 3＋a 4＝38，得a 5q 2＋a 5q＝38，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－13(舍)，所以q ＝12，a 1＝1， ∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.5分(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )·a n ，数列{}c n 的前n 项和为S n ，则S n ＝2n 2＋n ，所以c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1（n ≥2），解得c n ＝4n －1.7分所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·2n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·2n －2，n ≥2，b n －b 1＝()b n －b n －1＋()b n －1－b n －2＋…＋()b 3－b 2＋()b 2－b 1＝(4n －5)·2n －2＋(4n －9)·2n －3＋…＋7·21＋3，9分设T n ＝3＋7·21＋…＋(4n －9)·2n －3＋(4n －5)·2n －2，2T n ＝3·2＋7·22＋…＋(4n －9)·2n －2＋(4n －5)·2n －1，所以，－T n ＝3＋4·21＋…＋4·2n －3＋4·2n －2－(4n －5)·2n －1，因此T n ＝(4n －9)·2n －1＋5，n ≥2，又b 1＝1，所以b n ＝(4n －9)·2n －1＋6.11分19．【解析】(1)证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直．且BC ＝4，BA ＝4，BB 1＝8，AN ＝4，以BA ，BB 1，BC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图则N (4，4，0)，B 1(0，8，0)，C 1(0，8，4)，C (0，0，4)，∴M (2，0，0)．∵BP PC ＝13，∴P (0，0，1)，则MP →＝(－2，0，1)，设n 2＝(x ，y ，z )为平面NCB 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CN →＝0n 2·NB 1→＝0⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（4，4，－4）＝0（x ，y ，z ）·（－4，4，0）＝0⎩⎨⎧x ＋y －z ＝0，－x ＋y ＝0，取n 2＝(1，1，2)，∴MP →·n 2＝(－2，0，1)·(1，1，2)＝0，又PM 平面CNB 1，∴MP ∥平面CNB 16分(2)由(1)可知平面ΒCΒ1的一个法向量为BA →＝(4，0，0)，平面CΒ1Ν的法向量为n 2＝(1，1，2)，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BA →·n 2|BA →||n 2|＝（4，0，0）·（1，1，2）4×6＝66，∴sin θ＝306.12分【注】本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分．20．【解析】(1)每家餐饮店必须整改的概率是1－0.5＝0.5，且每家餐饮店是否整改是相互独立的．所以恰好有两家餐饮店必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516.4分 (2)由题知，必须整改的餐饮店数ξ服从二项分布B (5，0.5)．从而ξ的数学期望是 E ξ＝5×0.5＝2.5，即平均有2.5家餐饮店必须整改.8分(3)某餐饮店被关闭，即该餐饮店第一次检查不合格，整改后经复查仍不合格，所以该餐饮店被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该餐饮店不被关闭的概率是0.9.由题意，每家餐饮店是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家餐饮店的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12分21．【解析】(1)由e ＝22，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋2y 2a 2＝1，点P ⎝⎛⎫22，32满足|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，等价于点P 在椭圆上，∴12a 2＋32a 2＝1，∴a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.5分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>01＋2k 2>m 2x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2①.7分设△AOB 的重心为G (x ，y )，由F 1G →·F 2G →＝－59，可得x 2＋y 2＝49.② 由重心公式可得G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 23，y 1＋y 23，代入②式，整理可得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4，③ 将①式代入③式并整理，得m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2，10分则m 2＝（1＋2k 2）21＋4k 2＝1＋4k 41＋4k 2＝1＋44k 2＋1k 4.又由Δ>0可知k ≠0，令t ＝1k 2>0，∴t 2＋4t >0， ∴m 2>1，∴m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).12分22．【解析】(1)解法1：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a方程2x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8.(ⅰ)若Δ<0，即－2<a <2，在f (x )的定义域内f ′(x )>0，故f (x )单调递增．(ⅱ)若Δ＝0，则a ＝2或a ＝－ 2.若a ＝2，x ∈(－2，＋∞)，f ′(x )＝（2x ＋1）2x ＋2. 当x ＝－22时，f ′(x )＝0，当x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－22∪⎝⎛⎭⎫－22，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增．若a ＝－2，x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＝（2x －1）2x －2>0，f (x )单调递增． (ⅲ)若Δ>0，即a >2或a <－2，则2x 2＋2ax ＋1＝0有两个不同的实根x 1＝－a －a 2－22，x 2＝－a ＋a 2－22. 当a <－2时，x 1<－a ，x 2<－a ，从而f ′(x )在f (x )的定义域内没有零点，故f (x )单调递增．当a >2时，x 1>－a ，x 2>－a ，f ′(x )在f (x )的定义域内有两个不同的零点，即f (x )在定义域上不单调．综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.6分解法2：很显然f ′(x )不可能有连续零点，若f (x )为定义域上的单调函数，则f ′(x )≤0或f ′(x )≥0恒成立，又f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，因为x ＋a >0，所以f ′(x )<0不可能恒成立，所以f (x )为定义域上的单调函数时，只可能f ′(x )≥0恒成立，即1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，即1x ＋a ＋2(x ＋a )－2a ≥0，即2a ≤1x ＋a ＋2(x ＋a )，而1x ＋a ＋2(x ＋a )≥22，所以2a ≤22，a ≤2，即实数a 的取值范围为a ≤ 2.解法3：由解法2可知x ∈(－a ，＋∞)，1x ＋a ＋2x ≥0恒成立，得2x 2＋2ax ＋1x ＋a≥0恒成立，即2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，(ⅰ)当a ≤0时，－a －⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2≥0，所以2x 2＋2ax ＋1>2a 2－2a 2＋1＝1，所以当a ≤0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立；(ⅱ)当a >0时，－a －⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a 2<0，所以(2x 2＋2ax ＋1)min ＝－a 22＋1，所以－a 22＋1≥0时2x 2＋2ax ＋1≥0恒成立，解得0<a ≤2，综上：实数a 的取值范围为a ≤ 2.(2)因为g (x )＝e x ＋x 2－f (x )＝e x －ln(x ＋a )，当a ≤2，x ∈(－a ，＋∞)时，ln(x ＋a )≤ln(x ＋2)，故只需证明当a ＝2时，g (x )>0.当a ＝2时，函数g ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增，又g ′(－1)<0，g ′(0)>0，故g ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1，0)，当x ∈(－2，x 0)时，g ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，g (x )取得最小值g (x 0)．由g ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，故g (x 0)＝e x 0－ln(x 0＋2)＝1x 0＋2＋x 0＝x 20＋2x 0＋1x 0＋2＝（x 0＋1）2x 0＋2>0，所以g (x )≥g (x 0)>0. 综上，当a ≤2时，g (x )>0.12分。

湖南师大附中2019届高三上学期摸底考试(7月)数学(文)试卷解析

炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三摸底考试解析版数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)设全集U ＝{}1，2，3，4，5，M ＝{}2，3，4，N ＝{}4，5，则()∁U M ∪N ＝(D )A .{}1B .{}1，5C .{}4，5D .{}1，4，5(2)复数z 与复数i (2－i )互为共轭复数(其中i 为虚数单位)，则z ＝(A ) A ．1－2i B ．1＋2i C ．－1＋2i D ．－1－2i(3)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为(A )A .13B .14C .15D .16(4)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b ＝6，A ＝π3，则角B 等于(A )A .π4B .3π4 C . π4或3π4D . 以上都不对 (5)为得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象(D )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π8个单位D ．向左平移π8个单位 (6)设a ＝7－12，b ＝⎝⎛⎭⎫17－13，c ＝log 712，则下列关系中正确的是(B ) A ．c<b<a B ．c<a<b C ．a<c<b D ．b<c<a【解析】由题意得，c ＝log 712<0，又b ＝⎝⎛⎭⎫17－13＝713>7－12＝a>0，所以c<a<b ，故选B .(7)函数y ＝x sin x ＋cos x 的图象大致为(D )【解析】由题意得，函数y ＝x sin x ＋cos x 是偶函数，当x ＝0时，y ＝1，且y′＝sin x ＋x cosx －sin x ＝x cos x ，显然在⎝⎛⎭⎫0，π2上，y ′>0，所以函数单调递增，故选D .(8)运行下图所示的程序框图，若输出结果为137，则判断框中应该填的条件是(B )A ．k>5B ．k>6C ．k>7D ．k>8【解析】第一次执行完循环体得到：S ＝1＋12＝32，k ＝2；第二次执行完循环体得到：S ＝32＋12×3＝53，k ＝3；第三次执行完循环体得到：S ＝53＋13×4＝74，k ＝4；第四次执行完循环体得到：S ＝74＋14×5＝95，k ＝5；第五次执行完循环体得到：S ＝95＋15×6＝116，k ＝6；第六次执行完循环体得到：S ＝116＋16×7＝137，k ＝7；输出结果为137，因此判断框中应该填的条件是k>6.(9)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都相等，则异面直线AB 1和A 1C 所成的角的余弦值大小为(A )A .14B ．－14C .12D ．－12【解析】延长BA 到D ，使得AD ＝AC ，则ADA 1B 1为平行四边形， ∴AB 1∥A 1D ，∴∠DA 1C 就是异面直线AB 1和A 1C 所成的角，又△ABC 为等边三角形，设AB ＝AA 1＝1，∠CAD ＝120°，则CD ＝AC 2＋AD 2－2AC·AD cos ∠CAD＝1＋1－2×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝3， A 1C ＝A 1D ＝2，在△A 1CD 中，cos ∠DA 1C ＝22＋22－322×2×2＝14.故选A .(其它的平移方法均可)(10)如图所示，网格纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A )A ．2＋23＋ 6B ．4＋23＋ 6C ．4＋43＋ 6D ．2＋3＋ 6【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥P －ABC ，其中侧面PAB ⊥底面ABC ，在平面PAB 内，过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，连接CD ，CD ⊥AD ，该几何体的表面积是S ＝12×1×2×2＋34×(22)2＋12×22×3＝2＋23＋ 6.(11)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)与抛物线y 2＝2px(p>0)有相同的焦点F ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点M(－3，t)，|MF|＝1532，则双曲线的离心率为(C )A .22B .33C .52D . 5 【解析】依题意有－p 2＝－3，p ＝6，又|MF|＝1532，∴⎝⎛⎭⎫15322＝t 2＋62，∴t ＝±32，∴b a (－3)＝－32，b a ＝12，且a 2＋b 2＝c 2，e ＝52.故选C . (12)设D 是函数y ＝f(x)定义域内的一个子区间，若存在x 0∈D ，使f(x 0)＝－x 0，则称x 0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D 上存在次不动点，若函数f(x)＝ax 2－2x －2a －32在区间⎣⎡⎦⎤－3，－32上存在次不动点，则实数a 的取值范围是(B ) A ．(－∞，0) B .⎣⎡⎦⎤－14，0 C .⎣⎡⎦⎤－314，0 D .⎣⎡⎦⎤－314，－14 【解析】由题意，存在x ∈⎣⎡⎦⎤－3，－32，使g(x)＝f(x)＋x ＝ax 2－x －2a －32＝0，解得a ＝x ＋32x 2－2，设h(x)＝x ＋32x 2－2，则由h′(x)＝－x 2－3x －2（x 2－2）2＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝－2，且h(x)在(－3，－2)上递减，在⎝⎛⎭⎫－2，－32上递增，又h(－3)＝－314，h(－2)＝－14，h ⎝⎛⎭⎫－32＝0，所以h(x)在x ∈⎣⎡⎦⎤－3，－32的值域为⎣⎡⎦⎤－14，0，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13)已知向量a ＝(－1，1)，向量b ＝(3，t )，若b ∥(a ＋b )，则t ＝__－3__．(14)若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝__－79__．【解析】∵sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝－79.(15)点P (a ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为__－3__．【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3.(16)已知直线l 经过点P ()－4，－3，且被圆()x ＋12＋()y ＋22＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是__x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0__．【解析】圆心()－1，－2，半径r ＝5，弦长为m ＝8，设弦心距是d ，则由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫m 22，得d ＝3，若直线l 斜率不存在，则直线l 的方程为x ＋4＝0，此时圆心到l 的距离是3，符合题意；若直线l 斜率存在，则设直线l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0，所以圆心到l 的距离是d ＝||－k ＋2＋4k －3k 2＋1＝3，解得k ＝－43，此时直线l 的方程是4x ＋3y ＋25＝0.综上，直线l 的方程是x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0.所以答案应填：x ＋4＝0或4x ＋3y ＋25＝0.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)数列{}a n 的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1()n ≥1. (Ⅰ)求{}a n 的通项公式； (Ⅱ)求S n .【解析】(Ⅰ)由a n ＋1＝2S n ＋1可得a n ＝2S n －1＋1()n ≥2，2分两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n ()n ≥24分又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，6分故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.8分(Ⅱ) S n ＝1×（1－3n ）1－3＝3n 2－12.12分(18)(本小题满分12分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如下图．(Ⅰ)求分数在[50，60)的频率及全班人数；(Ⅱ)求分数在[80，90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间矩形的高；(Ⅲ)若要从分数在[80，100)之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100)之间的概率．【解析】(Ⅰ)分数在[50，60)的频率为0.008×10＝0.08，2分由茎叶图知：分数在[50，60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.4分(Ⅱ)分数在[80，90)之间的频数为25－22＝3；频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为325÷10＝0.012.7分(Ⅲ)将[80，90)之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100)之间的2个分数编号为b1，b2，8分在[80，100)之间的试卷中任取两份的基本事件为：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)共10个，10分其中，至少有一个在[90，100)之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100)之间的概率是710＝0.7.12分(19)(本小题满分12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，AD ＝DC ＝2，AD ⊥DC ，AC ＝CB ，AB ＝4，平面ADC ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面ADC ；(Ⅱ)求点A 到平面DMC 的距离．【解析】(Ⅰ)∵AD ＝DC ＝2且AD ⊥DC ， ∴AC ＝CB ＝22，又AB ＝4，满足AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC .4分∵平面ABC ⊥平面ADC ，BC 平面ABC ，平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴BC ⊥平面ADC .6分(Ⅱ)取AC 中点N ，连接MN ，DN ，DM ，CM在Rt △ADC 中，DN ⊥AC 且DN ＝2，又平面ABC ⊥平面ADC ， ∴DN ⊥平面ABC .在△ABC 中，MN ∥BC 且MN ＝12BC ＝2，由(Ⅰ)知BC ⊥平面ADC ，则MN ⊥平面ADC ，又∵DN 平面ADC ，∴MN ⊥DN ，即DM ＝DN 2＋MN 2＝2，8分在△ABC 中，AC ＝BC ＝22，AB ＝4，∴CM ＝2，∴S △DMC ＝34×4＝ 3.10分设点A 到平面DMC 的距离为h ，则由V A －DMC ＝V D －AMC ，得13×S △DMC ×h ＝13×S △AMC ×DN ，解得h ＝263，∴点A 到平面DMC 的距离为263.12分(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2x －2y ＋6＝0相切．(Ⅰ)求椭圆C 标准方程；(Ⅱ)已知点A ，B 为动直线y ＝k (x －2)(k ≠0)与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使EA →2＋EA →·AB →为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．【解析】(Ⅰ) 由e ＝63，得c a ＝63，即c ＝63a ， ①又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2＋y 2＝a 2，且与直线2x －2y ＋6＝0相切，所以a ＝622＋（2）2＝6，代入①得c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.4分(Ⅱ)由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1y ＝k （x －2）得(1＋3k 2)x 2－12k 2x ＋12k 2－6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝12k 21＋3k 2，x 1·x 2＝12k 2－61＋3k 2，8分根据题意，假设x 轴上存在定点E (m ，0)，使得 EA →2＋EA →·AB →＝EA →·(EA →＋AB →)＝EA →·EB →为定值，则有EA →·EB →＝(x 1－m ，y 1)·(x 2－m ，y 2) ＝(x 1－m )·(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋(4k 2＋m 2)＝(k 2＋1)·12k 2－61＋3k 2－(2k 2＋m )·12k 21＋3k2＋(4k 2＋m 2) ＝（3m 2－12m ＋10）k 2＋（m 2－6）3k 2＋110分要使上式为定值，即与k 无关，则应3m 2－12m ＋10＝3(m 2－6)，即m ＝73，此时EA →·EB →＝m 2－6＝－59为定值，定点为⎝⎛⎭⎫73，0.12分 (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12ax 2－(a 2＋b )x ＋a ln x (a ，b ∈R )．(Ⅰ)当b ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(Ⅱ)当a ＝－1，b ＝0时，证明：f (x )＋e x >－12x 2－x ＋1(其中e 为自然对数的底数)．【解析】 (Ⅰ)当b ＝1时，f (x )＝12ax 2－(1＋a 2)x ＋a ln xf ′(x )＝ax －(1＋a 2)＋a x ＝（ax －1）（x －a ）x 1分当a ≤0时，x －a >0，1x>0，ax －1<0f ′(x )<0此时函数f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间2分当a >0时，令f ′(x )＝0x ＝1a或a①当1a ＝a (a >0)，即a ＝1时，此时f ′(x )＝（x －1）2x≥0(x >0)此时函数f (x )单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间3分②当0<1a<a ，即a >1时，此时在⎝⎛⎭⎫0，1a 和(a ，＋∞)上函数f ′(x )>0，在⎝⎛⎭⎫1a ，a 上函数f ′(x )<0，此时函数f (x )单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a 和(a ，＋∞)；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，a .4分③当0<a <1a，即0<a <1时，此时函数f (x )单调递增区间为(0，a )和⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，1a .6分 (Ⅱ)证明：当a ＝－1，b ＝0时，f (x )＋e x >－12x 2－x ＋1，只需证明：e x－ln x －1>0，(法一)设g (x )＝e x －ln x －1(x >0)，问题转化为证明x >0，g (x )>0，由g ′(x )＝e x －1x ， g ″(x )＝e x ＋1x2>0，∴g ′(x )＝e x －1x为(0，＋∞)上的增函数，且g ′⎝⎛⎭⎫12＝e －2<0，g ′(1)＝e －1>0.8分 ∴存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得g ′(x 0)＝0，e x 0＝1x 0， ∴g (x )在(0，x 0)上递减，在(x 0，＋∞)上递增.10分∴g (x )min ＝g (x 0)＝e x 0－ln x 0－1＝1x 0＋x 0－1≥2－1＝1，∴g (x )min >0，∴不等式得证.12分 (法二)先证：x －1≥ln x (x >0)，令h (x )＝x －1－ln x (x >0)，∴h ′(x )＝1－1x ＝x －1x＝0x ＝1，∴h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )min ＝h (1)＝0，∴h (x )≥h (1)x －1≥ln x ．8分 ∴1＋ln x ≤1＋x －1＝x ln(1＋x )≤x ，∴e ln(1＋x )≤e x ，10分∴e x ≥x ＋1>x ≥1＋ln x ，∴e x >1＋ln x ，故e x －ln x －1>0.12分请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2αy ＝sin 2α(α是参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝1sin θ－cos θ.(Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C 1上的任意一点P 到曲线C 2的最小距离，并求出此时点P 的坐标. 【解析】(Ⅰ) 由题意知，C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，1分 C 2的直角坐标方程为y ＝x ＋1. 5分(Ⅱ)设P (1＋cos 2α，sin 2α)，则P 到C 2的距离d ＝22|2＋2cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4|，当cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－1，即2α＝3π4＋2k π(k ∈Z )时，d 取最小值2－1，此时P 点坐标为⎝⎛⎭⎫1－22，22.10分(23)(本小题满分10分)选修4－5: 不等式选讲设函数f (x )＝|2x －a |＋a .(Ⅰ) 若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下，若存在实数n ，使得f (n )≤m －f (－n )恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(Ⅰ)由f (x )≤6，得a －6≤2x －a ≤6－a (a <6)，即其解集为{x |a －3≤x ≤3}，3分由题意知f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，所以a ＝1.5分 (Ⅱ) 原不等式等价于，存在实数n ，使得m ≥f (n )＋f (－n )＝|1－2n |＋|1＋2n |＋2恒成立，即m ≥[|1－2n |＋|1＋2n |＋2]min ，8分而由绝对值三角不等式，|1－2n |＋|1＋2n |≥2，从而实数m ≥4.10分。

2019届湖南师范大学附属中学高三第二次高考模拟数学(理)试题(附答案解析)

2019届湖南师范大学附属中学高三第二次高考模拟数学(理)试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（） A ．M N =B ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅2．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（） A ．2)B ．2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,0)-3．如果等差数列128,,,a a a L 的各项都大于零，公差0d ≠，则正确的关系为（） A ．1845a a a a > B ．1845a a a a < C ．1845a a a a +>+D ．1845a a a a =4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（） A ．256B ．256-C ．32D ．32-5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（）A ．100B ．1000C ．90D ．9006．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（）A ．34B ．78C ．1516D ．23247．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（） A ．112B ．115C ．118D ．1148．下列图象可以作为函数()2xf x x a=+的图象的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知点集{}(,)M x y xy =，则平面直角坐标系中区域M 的面积是（） A ．1B ．34π+C ．πD ．22π+10．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u ur r r ，则x ，y 的值分别为（）A ．15，45B ．43，13- C ．45，15D ．13-，4311．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===,而对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（）A B ．3C ．D ．212．已知0a >，函数()()ln 1x af x e x a -=-+- (x >0)的最小值为0，则实数a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．φ13．定积分()11xx ee dx ---=⎰________.14．()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）15．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线222:4C x y -=有相同的右焦点2F ，点P 是椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的公共点，若22PF =，则椭圆1C 的离心率等于_______.16．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且11a b m =，224a b =，338a b =，4416a b =，则m =________.17．已知在ABC V 中，D ，E 分别为边AB ，BC 的中点，2AB AC AB AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r.（1）若2AB AC AB CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，且ABC V 的面积为AC 的长；（2）若BC =，求线段AE 长的最大值.18．如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，1AD =，2BC =，E 为CD 上一点，F 为BE 的中点，且1DE =，2EC =，现将梯形沿BE 折叠(如图2)，使平面BCE ⊥平面ABED .（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE .（2）能否在边AB 上找到一点P (端点除外)使平面ACE 与平面PCF 所成角的余弦值？若存在，试确定点P 的位置，若不存在，请说明理由. 19．近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与x y c d =⋅（,c d 均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 与x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n （n ∈+N ）年才能开始盈利，求n 的值. 参考数据：其中其中lg i i v y =，7117i i v v ==∑，参考公式：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，L ，(,)n n u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率e =，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线20x y +-=相切. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ，N 时，能在直线53y =上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM NQ =u u u u r u u u r ？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21．已知函数()ln f x x =，()x g x e =. （1）设函数21()()2h x f x x ax =++(a R ∈)，讨论a R ∈的极值点个数；（2）设直线l 为函数()f x 的图像上一点00(,())A x f x 处的切线，试探究：在区间(1,)+∞上是否存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切.22．在平面直角坐标系中，将曲线1C 向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为4cos ρα=.（1）求曲线2C 的参数方程；（2）直线l的参数方程为122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，求曲线2C 上到直线l 的距离最短的点的直角坐标.23．设()f x x 1x 1=-++ . (1)求()f x x 2≤+ 的解集; (2)若不等式()a 12a 1f x a+--≥,对任意实数a 0≠恒成立,求实数x 的取值范围.参考答案1．C 【解析】【分析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解. 【详解】由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数，所以集合,M N 的关系为N M .故选：C . 【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2．A 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，复数2(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，所以23020a a >⎧⎨->⎩，解得02a <<，即实数a 的取值范围是2). 故选：A . 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力. 3．B 【解析】【分析】先根据等差中项的性质，可排除C ，再利用作差比较，即可得到答案. 【详解】根据等差数列的性质，可得1845a a a a +=+，所以C 不正确；又由218451111(7)(3)(4)120a a a a a a d a d a d d -=+-++=-<，所以1845a a a a <.故选B . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及作差比较法的应用，着重考查了推理与运算能力. 4．B 【解析】【分析】根据题设条件，求得113a a +的值，进而得出68a a +的值，再利用指数幂的运算，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前13项和为52，可得1131313()522a a S +==，解得1138a a +=，又由等差数列的性质，可得681138a a a a +=+=，所以688(2)(2)256a a +-=-=.故选：A . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和等差数列的求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力. 5．A 【解析】根据频率分布直方图得到支出在[)50,60的同学的频率，利用频数除以频率得到n . 【详解】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为：0.03100.3⨯=301000.3n ∴== 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、频数和总数的问题，属于基础题. 6．B 【解析】【分析】【详解】由三视图可知：该几何体为正方体挖去了一个四棱锥A BCDE -，该几何体的体积为1111711132228⎛⎫-⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 故选B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽. 7．D 【解析】先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，随机选取两个不同的数，共有2828C =种，其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种，所以概率为212814P ==. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中利用组合数的公式求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 8．C 【解析】当a <0时,如取a =−4,则()24xf x x =- 其定义域为：{x |x ≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a >0时，如取a =1，其定义域为R ，它是奇函数，图象是②。

2019届湖南省长沙市湖南师范大学附中高三下学期考前演练(六)数学(理)试题解析

绝密★启用前2019届湖南省长沙市湖南师范大学附中高三下学期考前演练（六）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若复数z 满足33i z z +=+，则z 的实部为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：A设出复数的代数形式，结合条件建立方程，解方程可得实部. 解：设,,z a bi a b R =+∈，则22i 33i a z z a b b +=+++=+，所以223,3a b b a =++=，解得3,1b a ==.故选：A. 点评：本题主要考查复数的相关概念，待定系数法是首选方法，侧重考查数学运算的核心素养.2．已知集合()12log 1A x y x ⎧⎫⎪⎪==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，201x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则（） A ．A B B ．B AC ．A B =D ．A B =∅I答案：C分别化简集合,A B ,根据集合的关系得出选项. 解：由()12log 10x -≥得011x <-≤，即(1,2]A =；由201x x -≤-得12x <≤，即(1,2]B =; 所以A B =. 故选：C. 点评：本题主要考查集合间的关系，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3．()932x -的展开式中不含3x 项的系数的和为（）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C利用二项式展开式的通项公式先求出含3x 项的系数，再求出所有项的系数，然后可得结果. 解：()932x -的展开式的通项公式为()99331992()=12r rrrrr rr TC x C x --+=--，令33r =可得90933992(1)T C x x =-=-，令1x =可得所有项的系数和为：()93211-=.所以展开式中不含3x 项的系数的和为：1(1)2--=. 故选：C. 点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式特定项求解的关键是通项公式，系数和的求解方法是赋值法，侧重考查数学运算的核心素养.4．正方形ABCD 的边长为2，在正方形内任取一点P ，则它到A ，B 两点的距离均小于2的概率为（） A ．142π- B ．182π- C ．184π-D ．12π- 答案：C表示出到A ，B 两点的距离均小于2的区域面积，利用几何概型可求答案. 解：如图，到A ，B 两点的距离均小于2的区域为图中阴影部分，由2,2AE BE AB ===可得45EAF ∠=︒.在扇形EAF 中，弓形EF 表示的面积为：()()2211222sin242442πππ⨯⨯-⨯=-, 所以阴影部分的面积为：()122[121]12422ππ⨯⨯⨯-+-=-；而正方形的面积为4，所以所求概率为112484π-π=-. 故答案为：C. 点评：本题主要考查几何概型，准确求出满足条件的几何度量是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.5．以下命题：（1）已知三个不同的平面α，γ，β，若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ；（2）若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行；（3）若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直；（4）设直线m 与平面α相交但不垂直，则在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直.错误的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案：D结合图象及反例，逐项验证，（1）中,αβ可能平行也可能相交，（2）（3）中两条直线可能平行，也可能相交，还可能异面，（4）中平面α内有无数直线与直线m 垂直. 解：对于（1），若αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能平行也可能相交，所以不正确；对于（2），若直线a ，b 与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能平行，也可能相交，还可能异面，如图，所以不正确；对于（3），由（2）可知两条直线可能垂直，所以不正确；对于（4），直线m 与平面α相交但不垂直，则在平面α内有无数直线与直线m 垂直，且这些直线相互平行，所以不正确；故选：D. 点评：本题主要考查空间直线及平面位置关系的判定，利用空间图形结合空间想象力可得，侧重考查直观想象的核心素养.6．若函数()tan sin f x a x x =+在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C．⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ D．,⎛-∞ ⎝⎦答案：A先求解导数，利用()0f x '≥恒成立结合分离参数法可求. 解：()sin sin cos a xf x x x=+Q ， ()2cos 0cos a f x x x '∴=+≥对,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 3cos a x ∴≥-对,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 31cos 38a π∴≥-=-，故选：A. 点评：本题主要考查三角函数的单调性，利用单调性求解参数时，常利用导数进行转化，转化为恒成立问题进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.7．若实数x ，y 满足22x -≤≤，22y -≤≤，则1z x x y =-+-的取值范围为（） A ．[]0,1 B ．[]0,3C ．[]0,5D ．[]0,7答案：D对绝对值进行分类讨论去掉绝对值，结合线性规划的知识求解. 解：当1,x x y ≥≥时，则有12222x x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩，21z x y =--，作出可行域如图，由图可得z 在点()1,1A 处取到最小值，在点()2,2B -处取到最大值，所以[0,5]z ∈；当1,x x y ≥<时，则有12222x x y x y ≥⎧⎪<⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩，1z y =-，作出可行域如图，由图可得(0,1]z ∈；当1,x x y <≥时，则有12222x x y x y <⎧⎪≥⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩，1z y =-，作出可行域如图，由图可得(0,3]z ∈；当1,x x y <<时，则有12222x x y x y <⎧⎪<⎪⎨-≤≤⎪⎪-≤≤⎩，21z y x =-+，作出可行域如图，由图可得(2,2),(1,1)A B -，所以(0,7]z ∈；综上可得，[0,7]z ∈. 故选：D. 点评：本题主要考查利用线性规划知识求解最值，把含义绝对值的目标式进行转化是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，() 2.1D X =，()()46P X P X =<=，则p =（） A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3答案：A利用二项分布的方差公式可得p 的值，利用条件()()46P X P X =<=进行取舍，然后可得结果. 解：由题意X 服从二项分布(10,)B p ，()10(1) 2.1D X p p =-=，即310p =或710p =；由()()46P X P X =<=得()()644466101011C p p C p p -<-，即12p >；所以0.7p =. 故选：A. 点评：本题主要考查二项分布，明确二项分布的期望及方差的计算公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.9．等边三角形ABC 的边长为6，D 、E 为BC 边上两点，且2DE =，则AD AE ⋅u u u r u u u r的取值范围为（）。

湖南师大附中2019届高三第四次模拟考试数学(理)试题

湖南师大附中2019届高三第四次模拟考试数学(理科)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，先求得集合，进而得到集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，可知，则，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知复数，给出下列四个结论：①；②；③的共轭复数；④的虚部为.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由题意，根据复数，利用模的公式和复数的运算、及共轭复数的概念等，即可逐一判定，得到答案.【详解】由已知，则，，，的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，复数的模、共轭复数的概念及复数的运算法则，其中熟记复数的相关概念和复数的运算法则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. -1 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件求得，再由向量在方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案.【详解】利用向量垂直的充要条件有：，∴，则向量在方向上的投影为,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把进制数（共有位）化为十进制数的程序框图，执行该程序框图，若输入的，，分别为5，1203，4，则输出的（）A. 178B. 386C. 890D. 14303【答案】A【解析】【分析】根据题设的程序框图，得到该程序的计算功能，即可求解，得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出.故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，得到该程序框图的计算功能是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.若，则（）A. 0B. 1C. 32D. -1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．6.若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，判定目标函数过点时取得最小值，即可求解，得到答案.【详解】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数过点时取得最小值，由得，则，解得.故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．7.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①【答案】B【解析】试题分析：由统计知识①甲地：个数据的中位数为，众数为可知①符合题意；而②乙地：个数据的中位数为，总体均值为中有可能某一天的气温低于，故不符合题意，③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．若由有某一天的气温低于则总体方差就大于，故满足题意，选C考点：统计初步8.平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，得到，在根据正方形的性质，即可求解.【详解】如图所示，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，平面平面，∴，又∵，则直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角为为.故选D.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解问题，其中解答中，着重考查了.9.对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（）A. 2022B. 1011C. 2020D. 1010【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，得到，进而求得，作差即可求解.【详解】由，得，①，②①-②得，即，，所以.故选B.【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得，进而得，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10.在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】。

湖南省湖南师范大学附属中学2019届高三数学上学期月考试题(五)文(含解析)

湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（五）数学试题文本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数6－5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是(C)A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2－iD ．4＋i【解析】复数6－5i 对应的点为A (6，－5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2，3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2，－1)，故点C 对应的复数为2－i ，选C.2．设命题p ：－6≤m ≤6，命题q ：函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则p 是q 的(B)A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】函数f (x )＝x 2＋mx ＋9(m ∈R )没有零点，则Δ＝m 2－36<0，即－6<m <6，显然，q 可以推出p ，而p 不能推出q ，故选B.3．点P (a ，3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离等于4，且在2x ＋y －3<0表示的平面区域内，则a 的值为(C)A ．3B ．7C ．－3D ．－7【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3×3＋1|5＝4，2a ＋3－3<0，解得a ＝－3.选C.4．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝x 13，则在(－2，0)上，下列函数中与f (x )的单调性相同的是(C)A ．y ＝－x 2＋1B ．y ＝|x ＋1|C ．y ＝e |x |D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0x 3＋1，x <0【解析】由已知得f (x )在(－2，0)上单调递减，所以答案为C.5．如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(D) A ．57＋24π B ．57＋15π C ．48＋15π D ．48＋24π【解析】本题为圆锥与直四棱柱的组合体．注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形面积5×6π2＝15π；圆锥底面圆，S ＝πr 2＝9π；直四棱柱侧面积，3×4×4＝48，总面积为48＋24π.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线离心率等于(A)A.355 B.62C.32D.55【解析】圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0圆心为C (3，0)，半径为2，由已知C 到直线y ＝bax 的距离为2，可得9a 2＝5c 2，可得e ＝355.故选A.7．将参加夏令营的400名学生编号为：001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且随机抽得的号码为003，这400名学生分住在三个营区，从001到180在第一营区，从181到295在第二营区，从296到400在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为(A)A ．18，12，10B ．20，12，8C ．17，13，10D ．18，11，11【解析】根据系统抽样特点，抽样间隔为40040＝10，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N .由题意可知，第一营区可分为18个小组，每组抽取1人，共抽取18人，由第二营区的编号为181到295，可知181≤10k ＋3≤295，k ∈N ，可得18≤k ≤29，因此第二营区应有12人，第三营区有10人，所以三个营区被抽中的人数分别为18，12，10.8．已知△ABC 中，∠A ＝30°，AB 、BC 分别是3＋2，3－2的等差中项与等比中项，则△ABC 的面积等于(D)A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34【解析】由条件AB ＝3，BC ＝1，由3sin C ＝1sin 30°，得sin C ＝32.∴C ＝60°或120°，∴B ＝90°或30°，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32sin B ＝32或34.故选D.9．右图中，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，x 3等于(C)A ．11B ．10C ．8D ．7【解析】x 1＝6，x 2＝9，|x 1－x 2|＝3≤2不成立，即为“否”，所以再输入x 3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x 3－x 1|<|x 3－x 2|知，点x 3到点x 1的距离小于点x 3到x 2的距离，所以当x 3<7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|成立，即为“是”，此时x 2＝x 3，所以p ＝x 1＋x 32，即6＋x 32＝8.5，解得x 3＝11>7.5，不合题意；当x 3≥7.5时，|x 3－x 1|<|x 3－x 2|不成立，即为“否”，此时x 1＝x 3，所以p ＝x 3＋x 22，即x 3＋92＝8.5，解得x 3＝8>7.5，符合题意，故选C.10．A (a ，1)，B (2，b )，C (4，5)为坐标平面内三点，O 为坐标原点，若OA →与OB →在OC →方向上的投影相同，则a ，b 满足的关系式为(A)A ．4a －5b ＝3B ．5a －4b ＝3C ．4a ＋5b ＝14D ．5a ＋4b ＝14【解析】由OA →与OB →在OC →方向上的投影相同可知：OA →·OC →|OC →|＝OB →·OC →|OC →|4a ＋5＝8＋5b 4a－5b ＝3.故选A.11．已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围为(B)A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)【解析】做出f (x )的图象，可知m ≤0时，直线y ＝mx 与f (x )只有一个交点，不符题意；当m >0时y ＝mx 与y ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≤0)总有一个交点，故y ＝mx 与y ＝12x 2＋1(x >0)必有两个交点，即方程12x 2＋1＝mx (x >0)必有两不等正实根，即方程x 2－2mx ＋2＝0必有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－8>0x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝2>0，解得m ∈(2，＋∞)，选B.12．已知方程x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则a 2＋b 2的取值范围是(D)A ．(5，＋∞)B ．[5，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞)【解析】设f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由抛物线的离心率为1，知f (1)＝1＋a ＋b ＋c ＝0故c ＝－1－a －b ，所以f (x )＝(x －1)[x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1]．另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故g (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1有两个分别属于(0，1)和(1，＋∞)的零点．故有g (0)>0且g (1)<0，即a ＋b ＋1>0且2a ＋b ＋3<0.运用线性规划知识可求得a 2＋b 2∈(5，＋∞)．故选D.选择题答题卡第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．13．设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8交于A 、B 两点，C 为圆心，且△ABC 面积等于4，则实数m ＝__－12或－72__．【解析】设CA ，CB 的夹角为θ，∴S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，∴θ＝π2，此时圆心C 到直线l 的距离为2，∴|4m －1|（m －1）2＋（2m ＋1）2＝2m ＝－12或m ＝－72.14．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是__－4<m <2__．【解析】因为(x ＋2y )⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋⎝⎛⎭⎪⎫4y x ＋x y≥4＋24y x ·x y＝8，所以m 2＋2m <8，解得－4<m <2.15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，过点A 向∠BAD 所在区域等可能任作一条射线AP ，已知事件“射线AP 与线段BC 有公共点”发生的概率为13，则BC 边的长为．【解析】因为P ＝∠BAC ∠BAD ＝13，∠BAD ＝90°，则∠BAC ＝30°，所以BC AB ＝tan 30°＝33.因为AB ＝3，则BC ＝ 3.16．函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k A ，k B ，规定φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2叫做曲线y ＝f (x )在点A 、B 之间的“平方弯曲度”．设曲线y ＝ex＋x 上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1－x 2＝1，则φ(A ，B )的取值范围是__⎝ ⎛0，2__．【解析】y ＝e x ＋x 的导数为y ′＝e x＋1，k A ＝e x 1＋1，k B ＝e x 2＋1，φ(A ，B )＝|k A －k B ||AB |2＝|e x 1－e x 2|（x 1－x 2）2＋（e x 1－e x 2＋x 1－x 2）2＝|e x 1－e x 2|1＋（e x 1－e x 2＋1）2，x 1－x 2＝1，可得x 1＞x 2，e x 1＞e x 2，可令t ＝e x 1－e x 2，可设f (t )＝t 1＋（t ＋1）2，t ＞0，f ′(t )＝1＋（t ＋1）2－2t （t ＋1）（1＋（t ＋1）2）2＝2－t2（1＋（t ＋1）2）2，当0＜t ＜2时，f ′(t )＞0，f (t )递增；当t ＞2时，f ′(t )＜0，f (t )递减．则当t ＝2处f (t )取得极大值，且为最大值21＋（2＋1）2＝2－12.则φ(A ，B )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2－12. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分12分)越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：(1)作出散点图：(2)根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(精确到0.01)； (3)根据经验，观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为100，则该学生是否需要进行心理疏导？其中b ^＝错误!错误!＝91，错误!＝错误!－错误!错误!. 【解析】(1)4分(2)x －＝16(6＋5＋4＋3＋2＋1)＝3.5，y －＝16(55＋63＋72＋80＋90＋99)＝76.5，x － y －＝267.75，b ^＝1 452－6×267.7591－6×3.52≈－8.83，a ^＝76.5＋8.83×3.5≈107.41，所以线性回归方程为y ＝－8.83x ＋107.418分(3)x ＝2时，y ＝－8.83×2＋107.41≈89.74，∵10089.74≈1.11<1.12，为轻度焦虑，故该学生不需要进行心理疏导.12分18．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，AB ＝2AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且PE ED ＝BFFA＝λ(λ>0)．(1)证明：EF ∥平面PBC ；(2)是否存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°？若存在，试求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解析】(1)作EH ∥AD 交PA 于点H ，连接HF ，∵EH ∥AD ，∴PE ED ＝PHHA.1分又∵PE ED ＝BF FA ＝λ，∴PH HA ＝BFFA，∴FH ∥PB .2分又∵EH ∥AD ，FH ∩HE ＝H ， ∴平面EFH ∥平面PBC .4分∵EF 平面EFH ，∴EF ∥平面PBC .6分(2)存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.7分其理由如下：假设存在实数λ，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°， ∵AB ∥CD ，∴∠AFE 为异面直线EF 与CD 所成角，∴∠AFE ＝60°.8分过点E 作EQ ⊥AD 交AD 于点Q ，连接FQ ， ∵PA ＝AD ，AB ＝2AD ， ∴设AD ＝1，又∵PE ED ＝BFFA＝λ，AF ＝DE ＝21＋λ，AQ ＝λ1＋λ，EQ ＝11＋λ，10分 ∵FQ 2＝AF 2＋AQ 2＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ1＋λ2＝2＋λ2（1＋λ）2， ∵EF 2＝EQ 2＋FQ 2＝2＋λ2（1＋λ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ2＝3＋λ2（1＋λ）2， ∴Rt △FAE 中，cos ∠AFE ＝cos 60°＝AF EF ，∴14＝23＋λ2，∴λ＝ 5.∴存在实数λ＝5，使得异面直线EF 与CD 所成角为60°.12分19．(本题满分12分)在等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{}a n 的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{}a n 中落入区间(9m ，92m)内的项的个数记为b m ，求数列{}b m 的前m 项和S m .【解析】(1)因为{}a n 是一个等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝84，所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，即a 4＝28，设数列{}a n 的公差为d ，则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9.2分由a 4＝a 1＋3d ，得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1.4分所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋9(n －1)＝9n －8，n ∈N *.6分(2)对m ∈N *，若9m <a n <92m ，则9m ＋8<9n <92m＋8，7分因此9m －1＋89≤n ≤92m －1＋89，8分故得b m ＝92m －1－9m －1，9分于是S m ＝b 1＋b 2＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1) ＝9×（1－81m）1－81－1×（1－9m）1－9＝92m ＋1－10×9m＋180.12分20．(本题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点是F 1、F 2，左右顶点是A 1、A 2，离心率是22，过F 2的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且△F 1PQ 的周长是42，直线A 1P 与A 2Q 交于点M .(1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l 上；(ⅱ)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：|PF 2||PN |是定值．【解析】(1)设椭圆的焦距是2c ，据题意有：⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝22，4a ＝42a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的方程是x 22＋y 2＝1.3分(2)(ⅰ)由(1)知A 1(－2，0)，A 2(2，0)，F 2(1，0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋1，代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，易知Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8m 2＋8>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，y 1>y 2，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2y 2－y 1＝－（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝－22m 2＋2m 2＋2，5分直线A 1P 的方程是：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2) ①，直线A 2Q 的方程是：y ＝y 2x 2－2(x －2) ②，7分设M (x ，y )，既满足①也满足②，则x ＝2·x 2y 1＋x 1y 2＋2（y 2－y 1）x 1y 2－x 2y 1＋2（y 2＋y 1）＝2·2my 1y 2＋（y 1＋y 2）＋2（y 2－y 1）2（y 1＋y 2）＋（y 2－y 1）＝2·－2m m 2＋2－2m m 2＋2－222m 2＋2m 2＋2－22m m 2＋2－22m 2＋2m 2＋2＝2·4m ＋222m 2＋222m ＋22m 2＋2＝2，故直线A 1P 与A 2Q 交点M 在一条定直线l ：x ＝2上.10分(ⅱ)设N (2，t )，P (x 1，y 1)，x 1∈(－2，2)，则|PN |＝2－x 1， ∴|PF 2||PN |＝（x 1－1）2＋y212－x 1＝（x 1－1）2＋1－x 222－x 1＝12（x 1－2）22－x 1＝22.12分21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x －x (a ≠0)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若a >0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上的任意两点(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，求证：f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k .【解析】(1)f ′()x ＝2x －a x －1＝2x 2－x －ax()x >0，1分 ①当a ≤－18时，2x 2－x －a ≥0恒成立，即f ′()x ≥0恒成立，故函数f ()x 的单增区间为()0，＋∞，无单减区间.2分 ②当－18<a <0时，f ′()x >02x 2－x －a >0，解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a 4，∵x >0，∴函数f ()x 的单增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋8a 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋8a 4，1＋1＋8a 4.4分 ③当a >0时，由f ′()x >0解得：x >1＋1＋8a 4或x <1－1＋8a4.∵x >0，而此时1－1＋8a4≤0，∴函数f ()x 的单增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋8a 4，＋∞，单减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋8a 4.6分 (2)证明：∵f ′()x ＝2x －a x－1，∴f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23＝2()x 1＋2x 23－3a x 1＋2x 2－1，由题，k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝()x 21－x 22－a ()ln x 1－ln x 2－()x 1－x 2x 1－x 2＝()x 1＋x 2－a lnx 1x 2x 1－x 2－1，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23－k ＝2()x 1＋2x 23－()x 1＋x 2－3a x 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2 ＝x 2－x 13－3ax 1＋2x 2＋a lnx 1x 2x 1－x 2，8分注意到x 2－x 13>0，故欲证f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k ，只须证明a lnx 1x 2x 1－x 2>3a x 1＋2x 2.因为a >0，故即证lnx 1x 2x 1－x 2>3x 1＋2x 2ln x 1x 2<3()x 1－x 2x 1＋2x 2ln x 1x 2<3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋29分令x 1x 2＝t ∈()0，1，g ()t ＝ln t －3()t －1t ＋2，则g ′()t ＝1t－9()t ＋22＝()t －1()t －4t ()t ＋22>0，故g ()t 在()0，1上单调递增．所以g ()t <g ()1＝0，即ln t <3()t －1t ＋2，即：ln x 1x 2<3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23>k .12分请考生在第22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

2019届湖南师大附中高三高考模拟卷(二) 理综化学(解析版)

湖南师大附中2019届高考模拟卷(二)理科综合能力测试时量：150分钟满分：300分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

其中第Ⅱ卷33－38题为选考题，其他题为必考题。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H ～1 B ～11 C ～12 O ～16 Na ～23 Cu ～64第Ⅰ卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

7．用N A 表示阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是(A)A ．78 g 过氧化钠中含有N A 个阴离子B ．2.24 L 甲烷气体中含有0.4N A 个C —H 键C ．0.1 mol 熔融NaHSO 4能电离产生1N A 个SO 2－4离子D ．将1 mL 0.1 mol/L FeCl 3溶液滴入沸水中可生成含有1.0×10－4N A 个Fe(OH)3胶粒的胶体8．下列说法正确的是(B)A ．糖类俗称碳水化合物，其组成都符合通式C m (H 2O)nB ．天然蛋白质是高分子化合物，其水解产物氨基酸具有两性C ．生物柴油和传统柴油成分相同，可以实现能源替代，大力发展生物柴油对控制城市大气污染具有重要的战略意义D ．淀粉发酵酿酒的原理可以表达为(C 6H 10O 5)n ＋4nH 2O ――→酒化酶3nC 2H 5OH ＋3nO 2↑9．2018年12月26日，北京交通大学东校区2号楼实验室内学生进行垃圾渗滤液污水处理科研试验时发生爆炸。

经核实，事故造成3名参与实验的学生死亡。

实验规则千万条，安全第一条，下列说法正确的是(C)A ．实验室发生火灾时，应尽快用水扑灭B ．实验室中金属钠应置于煤油中保存，白磷应置于干燥容器中妥善保管C ．皮肤被碱灼伤时，应先用大量水冲洗，并用一定浓度的硼酸溶液淋洗D ．蒸馏时，为了避免有机溶剂挥发危害人体健康，应用塞子堵住尾接管的排气口10．关于下列溶液的说法不正确的是(C)A ．亚硫酸氢钠和碳酸氢钠的中性混合溶液中：c(Na ＋)>c(HRO －3)＋c(RO 2－3)(R 表示“C”或“S”)B ．等体积等物质的量浓度的NaClO(aq)与NaCl(aq)中离子总数：N 前<N 后C ．常温下，将一定量的醋酸钠和盐酸混合后，溶液呈中性，则混合溶液中： c(Na ＋)>c(Cl －)>c(CH 3COOH)D ．常温下，物质的量浓度相等的①(NH 4)2CO 3、②(NH 4)2SO 4、③(NH 4)2Fe(SO 4)2三种溶液中水的电离程度：①＞③＞②【解析】A.由物料守恒可知c(Na ＋)＝c(HRO －3)＋c(RO 2－3)＋c(H 2RO 3)，故A 正确；B.两溶液中c(Na ＋)相等，NaCl 溶液中c(H ＋)大于NaClO 溶液中的c(H ＋)，由电荷守恒可知NaCl 溶液中离子总数大于NaClO 溶液中离子总数；C.该中性溶液为CH 3COONa 、CH 3COOH 和NaCl 的混合溶液，由溶液呈中性可知水的电离不受影响，即CH 3COONa 和CH 3COOH 对水电离造成的影响相互抵消，则CH 3COOH 的量即为所加HCl 的量，故c(Cl －)＝c(CH 3COOH)；D.NH ＋4、CO 2－3都促进水的电离，而且两者相互促进，NH ＋4、Fe 2＋都能促进水的电离。

2019届湖南师大附中高三月考试卷(六) 数学(理)(word版)

湖南师大附中2019届高三月考试卷(六)数学(理科)审题：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{4，2，a －1}，B ＝{0，－2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 满足的集合为(D )A ．{1}B ．{－1}C ．{－1，1}D ． 2．已知复数z 满足z ＋||z ＝3＋i ，则z ＝(D )A ．1－iB ．1＋i C.43－i D.43＋i3．下列说法正确的是(D ) A ．命题“x 0∈[]0，1，使x 20－1≥0”的否定为“x ∈[]0，1，都有x 2－1≤0”B ．命题“若向量a 与b 的夹角为锐角，则a ·b >0”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角△ABC 中，sin A<cos B ”为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”4．我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)．问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为(C)A ．90，86B ．94，82C ．98，78D ．102，745．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f(log 0.53)，b ＝f ()log 25，c ＝f ()2＋m 则a ，b ，c 的大小关系为(B)A ．a<b<cB ．a<c<bC ．c<a<bD ．c<b<a6．学校组织学生参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有(D)A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种7．已知(x ＋1)5＋(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，则a 7＝(B) A ．9 B ．36 C ．84 D ．2438．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤2，x ≤－1，则x ＋yy 的取值范围是(B)A.⎣⎡⎦⎤12，23B.⎝⎛⎦⎤0，23C.⎝⎛⎦⎤－1，－13D.⎣⎡⎦⎤32，2 9．正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为(C)A.13B.12C.33D.3210．如图所示，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是(C)A ．(2，6)B ．(6，8)C ．(8，12)D ．(10，14)11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(3，0)，B(1，2)，D(3，2)，动点P 满足OP →＝λOA →＋μOB →，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，2]，λ＋μ∈[1，2]，则点P 落在三角形ABD 里面的概率为(A)A.12B.33C.32D.2312．已知函数f(x)＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，46π3，若函数F(x)＝f(x)－3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1<x 2<x 3<…<x n ，则x 1＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －1＋x n ＝(C)A.1 276π3 B ．445π C ．455π D.1 457π3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点F 且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为．14．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x 3＋f′⎝⎛⎭⎫23x 2－x ，f(x)，则f′(1)＝__0__． 15．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为__80π3__．16．已知在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，AC ⊥CD ，AC ＝CD ，则四边形ABCD 的面积的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分． 17．(本题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设b n ＝a n2n －1＋2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【解析】(1)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n ，2分则a n ＋12n －32·a n2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝⎛⎭⎫a n 2n －1＋2.∴b n ＋1＝32b n ，(n ≥2)，4分当n ＝1时，2S 1＝a 2－22＋1，且S 1＝a 1＝1，则a 2＝5， ∴b 1＝a 120＋2＝3，b 2＝a 221＋2＝92，满足b 2＝32b 1，∴b n ＋1＝32b n ，(n ∈N *)．故数列{b n }是首项为3，公比为32的等比数列，即b n ＝3·⎝⎛⎭⎫32n －1.6分 (2)由(1)知b n ＝a n 2n －1＋2＝3⎝⎛⎭⎫32n －1，∴a n ＝3n －2n ，则1a n ＝13n －2n ，8分当n ≥2时，⎝⎛⎭⎫32n>2，即3n －2n >2n， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －1<32.11分当n ＝1时，1a 1＝1<32，上式也成立．综上可知，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.12分18．(本题满分12分)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为θ()θ≤90°，试求cos θ的取值范围．【解析】(1)在梯形ABCD 中，因为AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，所以AB ＝2，2分所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos 60°＝3，所以AB 2＝AC 2＋BC 2，所以BC ⊥AC.4分因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ， BC 平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE.6分(2)建立以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系如图所示，令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，1，0)，M (λ，0，1)，所以AB →＝(－3，1，0)，BM →＝(λ，－1，1)，设n 1＝(x ，y ，z)为平面MAB 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0，得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，取x ＝1，所以n 1＝(1，3，3－λ)，9分因为n 2＝(1，0，0)是平面FCB 的一个法向量．所以cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋（3－λ）2×1＝1（λ－3）2＋4.因为0≤λ≤3，所以当λ＝0时，cos θ有最小值77，当λ＝3时，cos θ有最大值12.所以cos θ∈⎣⎡⎦⎤77，12.12分19．(本题满分12分)如图，已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的左、右顶点为A 1，A 2，上、下顶点为B 1，B 2，记四边形A 1B 1A 2B 2的内切圆为C 2.(1)求圆C 2的标准方程；(2)已知圆C 2的一条不与坐标轴平行的切线l 交椭圆C 1于P ，M 两点．(ⅰ)求证：OP ⊥OM ；(ⅱ)试探究1OP 2＋1OM 2是否为定值．【解析】(1)因为A 2，B 1分别为椭圆C 1：x 24＋y 2＝1的右顶点和上顶点，则A 2，B 1坐标分别为(2，0)，(0，1)，可得直线A 2B 1的方程为：x ＋2y ＝2.2分则原点O 到直线A 2B 1的距离为d ＝21＋22＝25，则圆C 2的半径r ＝d ＝25，故圆C 2的标准方程为x 2＋y 2＝45.4分(2)(i)可设切线l ：y ＝kx ＋b(k ≠0)，P(x 1，y 1)，M(x 2，y 2)，将直线PM 方程代入椭圆C 1可得⎝⎛⎭⎫14＋k 2x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，由韦达定理得： ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2kb 14＋k 2，x 1x 2＝b 2－114＋k2，则y 1y 2＝(kx 1＋b)(kx 2＋b)＝k 2x 1x 2＋kb(x 1＋x 2)＋b 2＝－k 2＋14b 214＋k 2，6分又l 与圆C 2相切，可知原点O 到l 的距离d ＝|b|k 2＋12＝25，整理可得k 2＝54b 2－1，则y 1y 2＝1－b 214＋k 2，所以OP →·OM →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，故OP ⊥OM.8分(ii)由OP ⊥OM 知S △OPM ＝12||OP ||OM ，①当直线OP 的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时1OP 2＋1OM 2＝54； ②当直线OP 的斜率存在时，设OP ：y ＝k 1x 代入椭圆方程可得x 24＋k 21x 2＝1，则x 2＝41＋4k 21，故OP 2＝x 2＋y2＝(1＋k 21)x 2＝4（1＋k 21）1＋4k 21，10分同理OM 2＝4⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫－1k 121＋4⎝⎛⎭⎫－1k 12＝4（k 21＋1）k 21＋4，则1OP 2＋1OM 2＝1＋4k 214（1＋k 21）＋k 21＋44（1＋k 21）＝54. 综上可知：1OP 2＋1OM 2＝54为定值.12分 20．(本题满分12分)中国大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中开设大学先修课程已有两年，两年共招收学生2 000人，其中有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人，学习先修课程的优等生有60人．这两年学习先修课程的学生都参加了考试，并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分)，结果如下表所示：否有关系，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？(2)的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人，求他获得某高校自主招生通过的概率； ②设今年全校参加大学先修课程的学生获得某高校自主招生通过的人数为ξ，求Eξ.参考数据：参考公式：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.【解析】(1)列联表如下：2分等高条形图如图：4分通过图形可判断学习先修课与优等生有关系，又K 2＝2 000（60×1 560－140×240）2300×1 700×200×1 800≈39.216>6.635，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系.6分 (2)①p ＝20300×0.9＋55300×0.8＋105300×0.6＋70300×0.5＋50300×0.4＝0.6.8分②设获得某高校自主招生通过的人数为ξ，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫150，35， P(x ＝k)＝C k 150⎝⎛⎭⎫35k ⎝⎛⎭⎫25150－k，k ＝0，1，2，…，150，10分所以Eξ＝150×35＝90.12分21．(本题满分12分)设函数f(x)＝x 22－aln x －12，a ∈R .(1)若函数f(x)在区间[]1，e (e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上有唯一的零点，求实数a 的取值范围；(2)若在[1，e](e ＝2.718 28…为自然对数的底数)上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝x －a x ＝x 2－ax，其中x ∈[1，e]，①当a ≤1时，f ′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意．②当a ≥e 2时，f ′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，e]上有唯一的零点，符合题意.3分③当1<a<e 2时，1≤x<a 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，又∵f(1)＝0，∴f(a)<f(1)＝0，∴函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点，当a<x ≤e 时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，∴当f(e)<0时符合题意，即e 22－a －12<0，∴a>e 2－12时，函数f(x)在区间[1，a]上有唯一的零点；∴a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≤1或a>e 2－12.6分 (2)在[1，e]上存在一点x 0，使得f ()x 0<x 202－a ＋1x 0－x 0－12成立，等价于x 0＋1x 0－aln x 0＋a x 0<0在[1，e]上有解，即函数g(x)＝x ＋1x －aln x ＋ax在[]1，e 上的最小值小于零．g ′()x ＝1－1x 2－a x －a x 2＝x 2－ax －a －1x 2＝()x ＋1()x －a －1x 2，8分①当a ＋1≥e 时，即a ≥e －1时，g ()x 在[]1，e 上单调递减，所以g ()x 的最小值为g ()e ，由g ()e ＝e ＋1＋a e －a<0可得a>e 2＋1e －1，∵e 2＋1e －1>e －1，∴a>e 2＋1e －1；②当a ＋1≤1时，即a ≤0时，g ()x 在[]1，e 上单调递增，所以g ()x 的最小值为g ()1，由g ()1＝1＋1＋a<0可得a<－2；10分③当1<a ＋1<e 时，即0<a<e －1时，可得g ()x 的最小值为g ()a ＋1，∵0<ln ()a ＋1<1，∴0<aln ()a ＋1<a ，g ()a ＋1＝a ＋1＋1a ＋1－aln ()a ＋1＋aa ＋1＝a ＋2－aln(a ＋1)>2，所以g ()1＋a <0不成立．综上所述：可得所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞.12分(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l ：θ＝α(α∈[0, π), ρ∈R )与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求|OM|的最大值．【解析】(1)曲线C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝22，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0.5分 (2)联立θ＝α和ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ－2＝0，得ρ2＋2ρ(cos α－sin α)－2＝0，设A(ρ1, α)，B (ρ2, α)，则ρ1＋ρ2＝2(sin α－cos α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，由|OM|＝|ρ1＋ρ22|，得|OM|＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4≤2，当α＝3π4时，|OM|取最大值 2.10分23．(本题满分10分)选修4—5: 不等式选讲已知函数f ()x ＝||x ＋a ＋||x －2.(1)当a ＝1时，求不等式f ()x ≥7的解集；(2)若f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝1时， f ()x ＝⎩⎨⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x<2，2x －1，x ≥2，当x ≤－1时，由f ()x ≥7得－2x ＋1≥7，解得x ≤－3；当－1<x<2时， f ()x ≥7无解；当x ≥2时，由f ()x ≥7得2x －1≥7，解得x ≥4，所以f ()x ≥7的解集为(]－∞，－3∪[)4，＋∞.5分(2)f ()x ≤||x －4＋||x ＋2a 的解集包含[]0，2等价于||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2在[]0，2上恒成立，当x ∈[]0，2时，||x ＋a －||x ＋2a ≤||x －4||－x －2＝2等价于(||x ＋a －||x ＋2a )max ≤2恒成立，而||x ＋a －||x ＋2a ≤||（x ＋a ）－（x ＋2a ）＝||a ，∴||a ≤2，故满足条件的a 的取值范围是[]－2，2.10分。

湖南师大附中2019届高三上学期月考试卷(一)(教师版)数学(理)(含答案)

湖南师大附中2019届高三月考试卷(一)数学(理科)时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z ＝x ＋y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，若y1－i＝x ＋i ，则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由已知，y ＝(1－i)(x ＋i)＝x ＋1＋(1－x )i ，则y ＝x ＋1，且1－x ＝0，即x ＝1，y ＝2.所以z －＝x －y i ＝1－2i ，所对应的点(1，－2)位于第四象限，选D.2．已知向量a 与b 的夹角是π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(3a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为(B)A.32 B ．－32 C.23 D ．－23【解析】由已知，(3a ＋λb )·a ＝0，即3a 2＋λb ·a ＝0，所以3＋2λ＝0，即λ＝－32，选B.3．下列说法中正确的是(C)A ．若样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为5，则样本数据2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为10B ．用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加某项活动，若抽取的学号为5，16，27，38，49，则该班学生人数可能为60C ．某种圆环形零件的外径服从正态分布N (4，0.25)(单位：cm)，质检员从某批零件中随机抽取一个，测得其外径为5.6 cm ，则这批零件不合格D ．对某样本通过独立性检验，得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则在该样本吸烟的人群中有95%的人可能患肺病【解析】对于A ，若x 1，x 2，…，x n 的平均数为5，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1的平均数为2×5＋1＝11，所以说法错误；对于B ，由抽取的号码可知样本间隔为11，则对应的人数为11×5＝55人．若该班学生人数为60，则样本间隔为60÷5＝12，所以说法错误．对于C ，因为μ＝4，σ＝0.5，则(u －3σ，u ＋3σ)＝(2.5，5.5)，因为5.6(2.5，5.5)，则这批零件不合格，所以说法正确．对于D ，有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指对该样本所得结论：“吸烟与患肺病有关系”有95%的正确性，所以说法错误．选C.4．已知⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n (n ∈N *)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是(A)A ．－84B ．84C ．－24D ．24【解析】由已知，2n ＝128，得n ＝7，所以T r ＋1＝C r 7(2x 2)7－r ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·27－r C r 7x14－3r. 令14－3r ＝－1，得r ＝5，所以展开式中含1x项的系数为(－1)527－5C 57＝－84，选A.5.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )在R 上单调递增，若a ，b ，c成等差数列，且b ＞0，则下列结论正确的是(A)A ．f (b )＞0，且f (a )＋f (c )＞0B ．f (b )＞0，且f (a )＋f (c )＜0C ．f (b )＜0，且f (a )＋f (c )＞0D ．f (b )＜0，且f (a )＋f (c )＜0【解析】由已知，f (b )＞f (0)＝0.因为a ＋c ＝2b ＞0，则a ＞－c ，从而f (a )＞f (－c )＝－f (c )，即f (a )＋f (c )＞0，选A.6．设x 为区间[－2，2]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的y 值落在区间⎣⎡⎦⎤12，3内的概率为(C)A.34B.58C.12D.38【解析】因为当x ∈[－2，0]时，y ＝2x ∈⎣⎡⎦⎤14，1；当x ∈(0，2]时，y ＝2x ＋1∈(1，5]．所以当y ∈⎣⎡⎦⎤12，3时，x ∈[－1，1]，其区间长度为2，所求的概率P ＝24＝12，选C. 7．已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x ＋1，给出下列四个结论：(B)①函数f (x )的最小正周期是2π；②函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上是减函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称；④函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.①因为ω＝2，则f (x )的最小正周期T ＝π，结论错误．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π8，5π8时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，5π8上是减函数，结论正确．③因为f ⎝⎛⎭⎫π8＝2为f (x )的最大值，则f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，结论正确．④设g (x )＝2sin 2x ，则g ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x ≠f (x )，结论错误，选B.8.已知命题p ：若a ＞2且b ＞2，则a ＋b ＜ab ；命题q ：x >0，使(x －1)·2x＝1，则下列命题中为真命题的是(A)A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )【解析】若a ＞2且b ＞2，则1a <12且1b <12，得1a ＋1b <1，即a ＋b ab <1，从而a ＋b ＜ab ，所以命题p 为真．因为直线y ＝x －1与函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象在(0，＋∞)内有唯一交点，则方程x －1＝⎝⎛⎭⎫12x 有正数解，即方程(x －1)·2x ＝1有正数解，所以命题q 为真，选A.9．已知实数x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则z ＝2|x |－|y |的最大值为(D) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【解析】令|x |＝a ，|y |＝b ，则⎩⎨⎧a ＋b ≤1，a ≥0，b ≥0，且z ＝2a －b .作可行域，平移直线l ：b ＝2a －z ，由图知，当直线l 过点(1，0)时，直线l 的纵截距最小，从而z 为最大，且z max ＝2×1－0＝2，选D.10．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，AB ⊥AD ，BD ⊥CD .将该四边形沿对角线BD 折成一个直二面角A ―BD ―C ，则四面体ABCD 的外接球的体积为(B)A.23πB.32π C ．2π D ．3π【解析】如图，因为平面ABD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，则CD ⊥平面ABD ，从而CD ⊥AB . 因为AB ⊥AD ，则AB ⊥平面ACD ，从而AB ⊥AC ，所以BC 是外接球的直径．在Rt △BDC 中，BC ＝BD 2＋CD 2＝3，则球半径R ＝32.所以外接球的体积V ＝43π⎝⎛⎭⎫323＝32π，选B.11．设双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，若双曲线上存在点M 满足|MF 1|＝2|MO |＝2|MF 2|，则双曲线的离心率为(C)A ．6B ．3 C. 6 D. 3【解析】过点M 作x 轴的垂线，垂足为A ，因为|MO |＝|MF 2|，则A 为OF 2的中点，所以|AF 2|＝c2，|AF 1|＝3c 2.设|MF 2|＝m ，则|MF 1|＝2m .在Rt △MAF 1中，|MA |2＝4m 2－94c 2.在Rt △MAF 2中，|MA |2＝m 2－c 24，则4m 2－94c 2＝m 2－c24，即3m 2＝2c 2.因为|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则m ＝2a ，所以3×(2a )2＝2c 2，即c 2＝6a 2，所以e ＝ca＝6，选C.12．对于给定的正整数n ，设集合X n ＝{1，2，3，…，n }，A X n ，且A ≠记I (A )为集合A 中的最大元素，当A 取遍X n 的所有非空子集时，对应的所有I (A )的和记为S (n )，则S (2 018)＝(D)A ．2 018×22 018＋1B ．2 018×22 017＋1C ．2 017×22 017＋1D ．2 017×22 018＋1【解析】对于集合X n ，满足I (A )＝1的集合A 只有1个，即{1}；满足I (A )＝2的集合A 有2个，即{2}，{1，2}；满足I (A )＝3的集合A 有4个，即{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}；…；满足I (A )＝n 的集合A 有2n －1个，所以S (n )＝1＋2·2＋3·22＋…＋n ·2n －1.由错位相减法，得S (n )＝(n －1)2n ＋1，所以S (2 018)＝2 017×22 018＋1，选D. 二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝__－79__．【解析】sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫α－π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α－π3－1＝－79.14．如图，在△ABC 中，AD →＝13DC →，P 是线段BD 上一点，若AP →＝mAB →＋16AC →，则实数m 的值为__13__．【解析】因为AD →＝13DC →，则AC →＝4AD →，所以AP →＝mAB →＋23AD →.因为B ，P ，D 三点共线，则m ＋23＝1，所以m ＝13.15．已知函数f (x )＝|2x －1|－a ，若存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，使得f (x 1)＝f (x 2)＝－1，则a 的取值范围是__(1，2)__．【解析】令f (x )＝－1，则|2x －1|＝a －1.据题意，直线y ＝a －1与函数y ＝|2x －1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a －1＜1，即1＜a ＜2.16．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且S n ＝4－⎝⎛⎭⎫1＋2n a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是a n ＝__n2n －1__．【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1－⎝⎛⎭⎫1＋2n a n ，则⎝⎛⎭⎫2＋2n a n ＝⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1，即a n n ＝a n －12（n －1），所以数列{a n n }是首项为1，公比为12的等比数列，则a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，即a n ＝n2n －1. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分． 17．(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°.(1)若BC ＝22，求∠CBD 的大小；(2)设△BCD 的面积为S ，求S 的取值范围．【解析】(1)在△ABD 中，因为AB ＝4，AD ＝2，∠BAD ＝60°，则BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝16＋4－2×4×2×12＝12，所以BD ＝2 3.(3分)在△BCD 中，因为∠BCD ＝120°，BC ＝22，BD ＝23，由BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，得sin ∠CDB ＝BC sin ∠BCD BD ＝22sin 120°23＝22，则∠CDB ＝45°.(5分)所以∠CBD ＝60°－∠CDB ＝15°.(6分) (2)设∠CBD ＝θ，则∠CDB ＝60°－θ.在△BCD 中，因为BC sin （60°－θ）＝BDsin 120°＝4，则BC ＝4sin(60°－θ)．(8分)所以S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝43sin(60°－θ)sin θ＝43⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θsin θ＝3sin 2θ－23sin 2θ＝3sin 2θ－3(1－cos 2θ)＝3sin 2θ＋3cos 2θ－3 ＝23sin(2θ＋30°)－ 3.(11分)因为0°＜θ＜60°，则30°＜2θ＋30°＜150°，12<sin(2θ＋30°)≤1，所以0<S ≤ 3.故S 的取值范围是(0，3]．(12分) 18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝120°，D 为BC 的中点．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)若二面角A －PB －C 的大小为45°，求三棱锥P －ABC 的体积．【解析】(1)在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝4＋16－2×2×4×cos 120°＝28，则BC ＝27. 因为D 为BC 的中点，则BD ＝CD ＝7.(2分)因为AD →＝12(AB →＋AC →)，则AD →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(4＋16＋2×2×4×cos 120°)＝3，所以AD ＝ 3.(4分) 因为AB 2＋AD 2＝4＋3＝7＝BD 2，则AB ⊥AD .(5分)因为P A ⊥底面ABC ，则P A ⊥AD ，所以AD ⊥平面P AB ，从而AD ⊥PB .(6分)(2)解法一：因为AD ⊥平面P AB ，过点A 作AE ⊥PB ，垂足为E ，连结DE . 则DE ⊥PB ，所以∠AED 为二面角A －PB －C 的平面角．(8分) 在Rt △DAE 中，由已知，∠AED ＝45°，则AE ＝AD ＝ 3.(9分) 在Rt △P AB 中，设P A ＝a ，则PB ＝AB 2＋P A 2＝4＋a 2.(10分) 因为AB ×AP ＝PB ×AE ，则2a ＝4＋a 2×3，即 4a 2＝3(4＋a 2)，解得a 2＝12，所以P A ＝a ＝2 3.(11分)所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×2×4×sin 120°×23＝4.(12分)解法二：分别以直线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设P A ＝a ，则点B (2，0，0)，D (0，3，0)，P (0，0，a )．所以BD →＝(－2，3，0)，BP →＝(－2，0，a )．(8分) 设平面PBC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·BP →＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋3y ＝0，－2x ＋az ＝0. 取x ＝3，则y ＝2，z ＝23a ，所以m ＝⎝⎛⎭⎫3，2，23a .(9分)因为n ＝(0，1，0)为平面P AB 的法向量，则|cos 〈m ，n 〉|＝cos 45°＝22，即|m ·n ||m |·|n |＝22. 所以27＋12a2＝22，解得a 2＝12，所以P A ＝a ＝2 3.(11分) 所以V P －ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×2×4×sin 120°×23＝4.(12分)19．(本小题满分12分)有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7得到如下频数分布表：送餐单数38 39 40 41 42 甲公司天数10 10 15 10 5 乙公司天数10 15 10 10 5(1)从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；(2)假设同一个公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题： (ⅰ)求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；(ⅱ)小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日均工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由．【解析】(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则P (A )＝C 330C 350＝29140.(3分)(2)(ⅰ)设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当n ＝38时，X ＝38×6＝228；当n ＝39时，X ＝39×6＝234；当n ＝40时，X ＝40×6＝240；当n ＝41时，X ＝40×6＋7＝247；当n ＝42时，X ＝40×6＋14＝254. 所以X 的分布列为X 228 234 240 247 254p 15 310 15 15 110(7分)E ()X ＝228×15＋234×310＋240×15＋247×15＋254×110＝238.6.(9分)(ⅱ)依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.2＋40×0.3＋41×0.2＋42×0.1＝39.8，(10分) 所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.8＝239.2元，(11分) 因为238.6<239.2，所以小张应选择甲公司应聘．(12分) 20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，且直线y ＝bax 与圆x 2＋y 2－10x ＋20＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设斜率为k 且不过原点的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1，k ，k 2成等比数列，推断|OA |2＋|OB |2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解析】(1)因为抛物线y 2＝43x 的焦点为(3，0)，则c ＝3，所以a 2－b 2＝3.(2分)因为直线bx －ay ＝0与圆(x －5)2＋y 2＝5相切，则5bb 2＋a2＝5，即a 2＝4b 2.(4分)解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程是x24＋y 2＝1.(5分)(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线l 的方程代入椭圆方程，得x 2＋4(kx ＋m )2＝4，即(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.(7分)由已知，k 2＝k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2，则k 2x 1x 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )，即km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以－8k 2m 24k 2＋1＋m 2＝0，即(1－4k 2)m 2＝0.因为m ≠0，则k 2＝14，即k ＝±12，从而x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝2m 2－2.(10分)所以|OA |2＋|OB |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝x 21＋(kx 1＋m )2＋x 22＋(kx 2＋m )2＝(k 2＋1)(x 21＋x 22)＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋2km (x 1＋x 2)＋2m 2. ＝54[4m 2－2(2m 2－2)]－2m 2＋2m 2＝5为定值．(12分) 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －a (x －1)，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若存在x 0∈(1，＋∞)，使f (x 0)＜0，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )有两个不同零点x 1，x 2，证明：x 1＋x 2＞x 1x 2. 【解析】(1)解法一：f ′(x )＝e x －a .(1分)①若a ≤0，因为e x >0，则f ′(x )>0，此时f (x )在R 上单调递增．当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)＝e ＞0，不合题意．(2分)②若a ＞0，由f ′(x )>0，得e x >a ，即x ＞ln a ，则f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (ln a )＝e ln a －a (ln a －1)＝a (2－ln a )．(4分)据题意，⎩⎪⎨⎪⎧ln a >1，a （2－ln a ）<0，则ln a ＞2，即a >e 2，所以a 的取值范围是(e 2，＋∞)．(5分)解法二：当x ∈(1，＋∞)时，由f (x )＜0，得e x<a (x －1)，即a >e x x －1.(1分)设g (x )＝e xx －1(x >1)，据题意，当x ∈(1，＋∞)时，a ＞g (x )能成立，则a >g (x )min .(2分)因为g ′(x )＝e x （x －1）－e x （x －1）2＝（x －2）ex（x －1）2(x >1)，(3分)则当x ＞2时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当1＜x ＜2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．(4分) 所以g (x )min ＝g (2)＝e 2，故a 的取值范围是(e 2，＋∞)．(5分)(2)由题设，f (x 1)＝f (x 2)＝0，即⎩⎨⎧e x 1＝a （x 1－1），e x 2＝a （x 2－1），则e x 1·e x 2＝a 2(x 1－1)(x 2－1)，即e x 1＋x 2＝a 2(x 1x 2－x 1－x 2＋1)．(7分)要证x 1＋x 2＞x 1x 2，只要证e x 1＋x 2<a 2，即证x 1＋x 2<2ln a ，即证x 1<2ln a －x 2.(8分) 不妨设x 1＜x 2，由(1)可知，a >e 2，且x 1＜ln a ＜x 2，从而2ln a －x 2＜ln a .因为f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，所以只要证f (x 1)>f (2ln a －x 2)，即证f (x 2)>f (2ln a －x 2)．(9分) 设h (x )＝f (x )－f (2ln a －x )，则h ′(x )＝f ′(x )＋f ′(2ln a －x )＝e x －2a ＋e 2ln a －x ＝e x ＋a 2e x －2a ≥2e x·a 2ex －2a ＝0，所以h (x )在R 上单调递增．因为x 2＞ln a ，则h (x 2)>h (ln a )＝f (ln a )－f (ln a )＝0，即f (x 2)－f (2ln a －x 2)>0，即f (x 2)>f (2ln a －x 2)，所以原不等式成立．(12分)(二)选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t(t 为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)，点P 在曲线C 1上，其极角为π4，点Q 为曲线C 2上的动点，求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值．【解析】(1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入，得曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0.(3分)由⎩⎨⎧x ＝1－255t ，y ＝1＋55t ，得x ＋2y ＝3，所以直线l 的普通方程为x ＋2y －3＝0.(5分)(2)由题设，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，其直角坐标为(2，2)．(7分)设点Q (2cos α，sin α)，则PQ 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos α，1＋12sin α.(8分) 点M 到直线l 的距离d ＝|1＋cos α＋2＋sin α－3|5＝105⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤105.所以点M 到直线l 的距离的最大值为105.(10分) 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|，其中a 为实常数．(1)若函数f (x )的最小值为3，求a 的值；(2)若当x ∈[1，2]时，不等式f (x )≤|x －4|恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≥|(x＋a)－(x－2)|＝|a＋2|，(3分)当且仅当(x＋a)(x－2)≤0时取等号，则f(x)min＝|a＋2|.令|a＋2|＝3，则a＝1或a＝－5.(5分)(2)当x∈[1，2]时，f(x)＝|x＋a|＋2－x，|x－4|＝4－x.由f(x)≤|x－4|，得|x＋a|＋2－x≤4－x，即|x＋a|≤2，即―2≤x＋a≤2，即―x－2≤a≤－x＋2.所以(－x－2)max≤a≤(－x＋2)min.(8分)因为函数y＝－x－2和y＝－x＋2在[1，2]上都是减函数，则当x＝1时，(－x－2)max＝－3；当x＝2时，(－x＋2)min＝0，所以a的取值范围是[－3，0]．(10分)。

湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考(四)数学(理)试题(解析版)

湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)数学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，先求得集合，进而得到集合，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，可知，则，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知复数，给出下列四个结论：①；②；③的共轭复数；④的虚部为.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】由题意，根据复数，利用模的公式和复数的运算、及共轭复数的概念等，即可逐一判定，得到答案. 【详解】由已知，则，，，的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，复数的模、共轭复数的概念及复数的运算法则，其中熟记复数的相关概念和复数的运算法则是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 3.若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. -1 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量垂直的充要条件求得，再由向量在方向上的投影的计算公式，即可求解，得到答案. 【详解】利用向量垂直的充要条件有：，∴，则向量在方向上的投影为,故选B.【点睛】本题主要考查了向量垂直的应用，以及向量的投影的计算问题，其中熟记向量垂直的充要条件和向量的投影的计算公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得.如图，这是一个把进制数（共有位）化为十进制数的程序框图，执行该程序框图，若输入的，，分别为5，1203，4，则输出的（）A. 178B. 386C. 890D. 14303【答案】A【解析】【分析】根据题设的程序框图，得到该程序的计算功能，即可求解，得到答案.【详解】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出.故选A.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，得到该程序框图的计算功能是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.若，则（）A. 0B. 1C. 32D. -1【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．6.若实数，满足且的最小值为3，则实数的值为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，判定目标函数过点时取得最小值，即可求解，得到答案.【详解】画出可行域如图阴影部分所示，当目标函数过点时取得最小值，由得，则，解得.故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．7.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8则肯定进入夏季的地区有（）A. ①②③B. ①③C. ②③D. ①【答案】B【解析】试题分析：由统计知识①甲地：个数据的中位数为，众数为可知①符合题意；而②乙地：个数据的中位数为，总体均值为中有可能某一天的气温低于，故不符合题意，③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．若由有某一天的气温低于则总体方差就大于，故满足题意，选C考点：统计初步8.平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，得到，在根据正方形的性质，即可求解.【详解】如图所示，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，平面平面，∴，又∵，则直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角为为.故选D.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解问题，其中解答中，着重考查了.9.对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（）A. 2022B. 1011C. 2020D. 1010【答案】B【解析】【分析】由题意，根据，得到，进而求得，作差即可求解.【详解】由，得，①，②①-②得，即，，所以.故选B.【点睛】本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得，进而得，新作差化简、运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10.在锐角中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】。

2020届高考数学(理)一轮必刷题专题47 两直线的位置关系、距离公式(解析版)

考点47 两直线的位置关系、距离公式1．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1BB ，设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（）A ．2BC ．1D ．12【答案】C 【解析】将长方体中含有1ABD 的平面取出，过点A 作1AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 到AP ，使M P AM =，则P 是A 关于1BD 的对称点，如图所示，过P 作1PE BC ⊥，垂足为E ，连接PB ，1PC ，依题意1AB =，1AD ，12BD =，160ABD ∠=︒，30BAM ∠=︒，30PBE ∠=︒，12PE =，2BE =，所以11PC =. 故选C .2．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）已知双曲线的左右焦点分别为，以它的一个焦点为圆心，半径为的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于两点，则四边形的面积为（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D 【解析】因为双曲线的左右焦点分别为双曲线的渐近线方程为，即其中一条渐近线方程为以它的一个焦点为圆心，半径为的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A ，B 两点根据焦点到渐近线的距离及双曲线中的关系可得所以解得，进而可求得切点则四边形的面积为故选：D3．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）设点P 为直线l ：40x y +-=上的动点，点(2,0)A -，()2,0B ，则||||PA PB +的最小值为（）A． BC．D【答案】A 【解析】依据题意作出图像如下：设点()2,0B 关于直线l 的对称点为()1,B a b ，则它们的中点坐标为：2,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，且1PB PB = 由对称性可得：()011224022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得：4a =，2b =所以()14,2B因为1||||||||PA PB PA PB +=+，所以当1,,A P B 三点共线时，||||PA PB +最大此时最大值为1AB ==故选：A4．（贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试二理）双曲线的两条渐近线分别为，，为其一个焦点，若关于的对称点在上，则双曲线的渐近线方程为（） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】不妨取，设其对称点在，由对称性可得：，解得：，点在，则：，整理可得：，双曲线的渐近线方程为：.故选：D .5．（广东省广州市普通高中毕业班2019届高三综合测试二理）已知点A 与点(1,2)B 关于直线30x y ++=对称，则点A 的坐标为（） A ．(3,4) B ．(4,5)C ．(4,3)--D ．(5,4)--【答案】D 【解析】设(),A x y ,则123052224(1)11x y x y y x ++⎧++=⎪=-⎧⎪∴⎨⎨-=-⎩⎪⋅-=-⎪-⎩，选D.6．（甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试理）抛物线28y x =的焦点到双曲线2214y x -=的渐近线的距离是（） ABC．5D【答案】C 【解析】依题意，抛物线的焦点为()2,0，双曲线的渐近线为2y x =±，其中一条为20x y -=，由点到直线的距离公式得5d ==.故选C. 7．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直x 轴的直线交椭圆E 于,A B 两点，点A 在x 轴上方.若3AB =，2ABF ∆的内切圆的面积为916π，则直线2AF 的方程是（） A ．ln()x a <- B ．2320x y +-=C ．4340x y +-=D ．3430x y +-=【答案】D 【解析】设内切圆半径为r ，则2916r ππ=，∴34r =，()1,0F c -，∴内切圆圆心为3,04c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由3AB =知3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2,0F c ，所以2AF 方程为3430x cy +-=，由内切圆圆心到直线2AF 距离为r ，34=得1c =，所以2AF 方程为3430x y +-=. 故选D 项8．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试一理）已知F是椭圆22:196x yC+=的右焦点，直线0x-=与C相交于,M N两点，则MNF∆的面积为（）AB．CD．【答案】C【解析】22196x yx⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得223xxy y⎧=⎪⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎩⎪=-⎪⎩，即)22,,33M N⎛⎫--⎪⎪⎝⎭163MN∴==右焦点)F到直线0x+=11623ABCS∴=⨯=故选C项.9．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）圆22430x y x+-+=关于直线3y x=对称的圆的方程是（）A．(()2211x y+-=B．()2221x y+-=C．()2211x y+-=D．()(2211x y-+-=【答案】D【解析】由题意得，圆22430x y x+-+=方程即为()2221x y-+=，∴圆心坐标为()2,0，半径为1．设圆心()2,0关于直线y x =的对称点的坐标为(),a b ，则1232232b a b a ⎧⋅=-⎪⎪-⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴所求圆的圆心坐标为(， ∴所求圆的方程为()(2211x y -+=．故选D ．10．（湖南省三湘名校（五市十校)2019届高三下学期第一次联考数学理）如图，O 是坐标原点，过(,0)E p 的直线分别交抛物线22(0)y px p =>于A 、B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x p =相交于点N .则22||ME NE -=（）A ．2pB ．2pC ．22pD ．24p【答案】C 【解析】过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B ，两点为任意的，不妨设直线AB 为x ＝p ，由2y 2pxx p⎧=⎨=⎩，解得y ＝，则A （p），B （p），∵直线BM 的方程为y，直线AM 的方程为y ＝x ，解得M （﹣p），∴|ME |2＝（2p ）2+2p 2＝6p 2，设过点M 与此抛物线相切的直线为y＝k （x +p ），由()2y 2=k px x p ⎧=⎪⎨+⎪⎩，消x 整理可得ky 2﹣2py ﹣+2p 2k ＝0， ∴△＝4p 2﹣4k （﹣+2p 2k ）＝0，解得k＝2， ∴过点M 与此抛物线相切的直线为yp＝2（x +p ），由()=2x p x p =⎧⎪⎨+⎪⎩，解得N （p ，2p ）， ∴|NE |2＝4p 2，∴|ME |2﹣|NE |2＝6p 2﹣4p 2＝2p 2，故选：C ．11．（江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学理）已知(A，B ，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，则M 的横坐标范围是( ) A ．||1x ≥ B ．||1x >C ．||2x ≥D．||2x ≥【答案】A 【解析】设P （00x ,y ），则Q （20x ，20y ），当0y ≠0时， kAP =kPM 00x y =-，直线PM ：y﹣000x y y +=-x ﹣0x ），①直线QB ：y ﹣002y 2x =（x ，② 联立①②消去y 得x =，∴x =，由|0x |＜1得x 2＞1，得|x|＞1，当0y ＝0时，易求得|x|＝1，故选：A ．12．（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟数学理）若双曲线222:14x y C m-=的焦距为则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为 ( ) A ．2 B ．4CD．【答案】B 【解析】因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为所以2420m +=，即216m =；所以其中一个焦点坐标为()，渐近线方程为2y x =，所以焦点到渐近线的距离为d 4==.故选B13．（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测一模数学理）直线与轴的交点为,点把圆的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A 【解析】令代入可得，圆心坐标为，则与圆心的距离为，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2。

2019湖南师大附中届高三上学期月考试卷(六)数学(理)试题含答案

炎德·英才大联考湖南师大附中2019届高三月考试卷(六) 理科数学命题人：高三数学备课组审稿人：高三数学备课组全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知全集U R =，集合{|11}A x x x =<->或，则UA =A ． (,1)(1,)-∞-+∞B ． (,1][1,)-∞-+∞C ． (1,1)-D ． [1,1]-2. 若3sin(),25παα-=-为第二象限角，则tan α=A. 43-B. 43C. 34-D. 343. 在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数()f x 在区间(,)a b 内有零点，则()()0f a f b <B. 若1a b +=，则3是3a 与3b 的等比中项C. 若12,e e 是不共线的向量，且122,m e e =-1236n e e =-，则m ∥nD. 已知角α终边经过点(3,4)-，则4cos 5α=-4. 已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =A. 12AB AD -+ B.12AB AD -C. 12AB AD +D. 12AB AD -5. 已知21tan(),tan()544παββ+=-=, 则tan()4πα+的值为A ． 16B ． 2213C ． 322D ．13186. 在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量,a b 的大小与方向如图所示，则向量,a b 所成角的余弦值是A.B.C. 5D.137. 若公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且52,9,a a 成等差数列，则20S =A. 2121-B.2021-C.1921-D. 2221-8. 函数ln ||()x f x=的图象大致是 A.B. C.D.9. 已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，满足1494S a S +=，给出下列四个结论：①70a =；②140S =；③58S S =；④7S 最小. 其中一定正确的结论是A. ①③B. ①③④C. ②③④D. ①② 10. 若直线y ax =是曲线2ln 1y x =+的一条切线，则实数a =A. 12e- B. 122e-C.12eD.122e11. 将函数2()2cos ()16f x x ππ=+-的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为A.13B.23C.76D.5612. 已知等边ABC ∆的边长为2，则|23|AB BC CA ++=A.B.C. D. 12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南师大附中2019届高三月考试题(七) 数学(理)(含参考答案)

湖南师大附中2019届高三月考试卷（七）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，若为纯虚数，则（）A. 5B.C. 2D.【答案】B【解析】【分析】化简已知复数，由纯虚数的定义可得a值，再由复数的模长公式可得结果．【详解】化简可得== -1+3i，∵z是纯虚数，∴﹣1＝0，解得＝1，∴|1-2i|故选B.【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及纯虚数的概念及复数的模长公式，属于基础题．2.下列说法错误．．的是（）A. 在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定B. 若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，【答案】B【解析】【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】对于A，y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，故A正确；对于B，变量，满足关系，则变量x与负相关，又变量与正相关，则与负相关，故B错误；对于C，由残差图的意义可知正确；对于D，∵y＝ce kx，∴两边取对数，可得lny＝ln（ce kx）＝lnc+lne kx＝lnc+kx，令z＝lny，可得z＝lnc+kx，∵z＝0.3x+4，∴lnc＝4，k＝0.3，∴c＝e4．即D正确；故选B.【点睛】本题考查了两个变量的线性相关及回归方程的有关知识，考查了残差图的意义，涉及对数的运算性质，属于基础题型．3.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得f（x）的奇偶性及f（1）的值即可得出答案．【详解】∵f（﹣x）f（x），∴f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除C，D；又x=1时，<0，∴排除B，故选：A．【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入，，则输出的等于（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得a＝4，b＝1，n＝1a＝6，b＝2不满足条件a≤b，执行循环体，n＝2，a，b＝4，不满足条件a≤b，执行循环体，n＝3，a，b＝8，不满足条件a≤b，执行循环体，n＝4，a，b＝16，不满足条件a≤b，执行循环体，n＝5，a，b＝32，满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为5．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.已知动圆经过点，且截轴所得的弦长为4，则圆心的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】设出圆心C坐标，结合题意利用垂径定理及两点间的距离公式得到关于x、y的方程即可．【详解】设圆心C（x，y），弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝2，∴|CA|2＝|CB|2＝|CE|2+|BE|2，∴（x﹣2）2+y2＝22+x2，化为y2＝4x．故选D．【点睛】本题综合考查了抛物线的标准方程，考查了垂径定理、两点间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．6.已知数列满足：，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知得，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．【详解】∵数列满足：，，∴，∴当n≥2时，a n＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1＝=，∴．故选C.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的运用，是基础题.7.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（）A. 24B. 48C. 96D. 120【答案】C【解析】分析：讨论两种情况，第一类相同颜色，第二类不同颜色，分别利用分步计数乘法原理求解，然后求和即可.详解：若颜色相同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，只有一种涂法，共有种；若颜色不同，先涂有种涂法，再涂有种涂法，再涂有种涂法，当和相同时，有一种涂法，当和不同时，只有一种涂法，共有种，根据分类计数原理可得，共有种，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率..8.下列选项中为函数的一个对称中心为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数，令，求得，可得函数的对称轴中心为，当时，函数的对称中心为，故选A.9.已知，给出下列四个命题：：，；：，；：，；：，；其中真命题是（）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】B【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可.【详解】不等式组的可行域如图，当z=x+y过A（﹣2，0）点时，z最小，可得：﹣2+0＝﹣2，当z=x+y过B或C点时，z最大，可得：z=2，故P1：，为真命题；P 3：，为假命题；又表示可行域内的点与（-3，0）连线的斜率，∴由A（﹣2，0）点，可得0，故P2：∀（x，y）∈D，0错误；由（﹣1，1）点，x2+y2＝2故p4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项和正确．故选：B．【点睛】本题考查线性规划的应用，命题的真假的判断，正确画出可行域以及理解目标函数的几何意义是解题的关键.10.在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案．【详解】如图，延长EF与A1B1的延长线相交于M，连接AM交BB1于H，延长FE与A1D1的延长线相交于N，连接AN交DD1于G，可得截面五边形AHFEG．∵ABCD﹣A1B1C1D1是边长为6的正方体，且E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，∴EF＝3，AG＝AH，EG＝FH．∴截面的周长为．故选：D．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征及立体几何中的截面问题，补全截面图形是关键，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．11.如图，已知，，，，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C的坐标，利用向量相等建立关于m、n的方程，求解即可．【详解】以OA所在的直线为x轴，过O作与OA垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为，且，∴，∴A（1，0），B（），又令，则=，∴=7，又如图点C在∠AOB内，∴=，sin=,又，∴C（），∵，（m，n∈R），∴（）=（m,0）+（）=(m，）即 m，，解得n=，m=，∴，故选：A．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．12.箱子里有16张扑克牌：红桃、、4，黑桃、8、7、4、3、2，草花、、6、5、4，方块、5，老师从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉了学生甲，把这张牌的花色告诉了学生乙，这时，老师问学生甲和学生乙：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，老师听到了如下的对话：学生甲：我不知道这张牌；学生乙：我知道你不知道这张牌；学生甲：现在我知道这张牌了；学生乙：我也知道了.则这张牌是（）A. 草花5B. 红桃C. 红桃4D. 方块5【解析】【分析】甲第一句表明点数为A，Q，5，4其中一种；乙第一句表明花色为红桃或方块，甲第二句表明不是A；乙第二句表明只能是方块5，即可得出结论．【详解】因为甲只知道点数而不知道花色，甲第一句说明这个点数在四种花色中有重复，表明点数为A，Q，5，4其中一种；而乙知道花色，还知道甲不知道，说明这种花色的所有点数在其他花色中也有，所以乙第一句表明花色为红桃或方块，甲第二句说明两种花色中只有一个点数不是公共的，所以表明不是A；乙第二句表明只能是方块5；故选D.【点睛】本题考查简单的合情推理，考查分析解决问题的能力，比较基础．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为__________．【答案】【解析】【分析】用（x，y）表示甲乙摸球的号码，将甲获胜的基本事件一一列出．再从中找出乙摸1号球的基本事件，利用古典概型概率公式求解即可．【详解】用（x，y）表示甲乙摸球的号码，则甲获胜包括5个基本事件：（2，1），（2，1），（2，0），（2，0），（1，0）．在甲获胜的条件下，乙摸1号球包括2个基本事件：（2，1），（2，1）．则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率P．故答案为．【点睛】本题考查了条件概率及古典概型概率计算公式，考查了利用列举法找基本事件的方法，属于中档题．14.设双曲线：的右焦点为，直线为双曲线的一条渐近线，点关于直线的对称点为，若点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】先求得点F到渐近线的距离，根据对称性，则可得PE、PF,再利用双曲线的定义得到a、b的关系，进而求得结果.【详解】如图：由点关于直线的对称点为，可知FH OH，又F(1,0)到渐近线l:y=的距离为，即FH=b，OH=a，∴PF=2b，PE=2a，由双曲线的定义可知2b-2a=2a，∴b=2a，又c2＝b2+a2＝5a2，∴e．故答案为．【点睛】本题考查双曲线C的离心率，考查双曲线的定义及简单几何性质的应用，关键是将对称问题转化为垂直平分的条件，属于中档题．15.对于大于或等于2的自然数的次幂进行如图的方式“分裂”.仿此，若的“分裂”中最小的数是211，则的值为__________．【答案】15【解析】【分析】根据所给的数据，找到规律：在n2中所分解的最大的数是2n﹣1；在n3中，所分解的最小数是n2﹣n+1．根据发现的规律可求．【详解】根据所给的数据，找到规律：在中所分解的最大的数是2m﹣1；在中，所分解的最小数是﹣m+1．若m3的“分裂”中最小数是211，则﹣m+1＝211m＝15或﹣14（负数舍去）．故答案为：15．【点睛】本题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解，考查了识图能力与归纳推理能力，属于中档题.16.设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．【答案】1【解析】【分析】由题意先代入x=1求得a的范围，要满足题意，则a是必要条件，又为整数，只需再验证a=1时，不等式恒成立即可，构造函数g（x），x∈，通过求导求得最小值，证明结论成立. 【详解】由题意对任意的，不等式恒成立，则x=1时，不等式也成立，代入x=1得e+3,又为整数，则a，这是满足题意的一个必要条件，又为整数，只需验证a=1时，对任意的，不等式恒成立，即证，变形为对任意的恒成立，令g（x），x∈，则g′（x），在（0，1）上小于0，在（1，）上大于0，故g（x）在（0，1）递减，在（1，）递增，∴g（x）g（1）=3>0，∴对任意的恒成立，故a=1满足题意.故答案为1．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，关键是探寻到一个使命题成立的必要条件，这也是解决此类题的常用手段，属于难题．三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角、、的对边依次为、、，满足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的周长为，求的内切圆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由，利用正弦定理可得，再根据二倍角公式及两角和的正弦公式进行化简，可得,，从而可求角的大小；（Ⅱ）设的内切圆半径为,即可求面积，根据面积相等及余弦定理，结合基本不等式可求出内切圆半径的最大值，从而可得内切圆面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）因为,即,而,则,又,所以.（Ⅱ）令的内切圆半径为,有,则,由余弦定理得,化简得,而,故,解得或.若,则至少有一个不小于3,这与的周长为3矛盾;若,则当时, 取最大值.综上,知的内切圆最大面积值为.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.如图，四边形是边长为2的菱形，且，平面，，，点是线段上任意一点.（1）证明：平面平面；（2）若的最大值是，求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）推导出AC⊥BM，AC⊥BD，从而AC⊥平面BMND，由此能证明平面EAC⊥平面BMND．（2）由AE＝CE＞1，cos∠AEC＝1，∠AEC∈（0，π），得到当AE最短时∠AEC最大，即AE⊥MN，CE⊥MN时∠AEC最大，∠AEC是二面角A﹣MN﹣C的平面角，大小是120°，可得AE．取MN得中点H，连接H与AC、BD的交点O，由题意知OH⊥平面ABCD，建系，利用向量法结合∠AEC=120°求得ND，利用V M﹣NAC＝V M﹣EAC+V N﹣EAC能求出三棱锥M﹣NAC的体积．【详解】（1）因为平面，则.又四边形是菱形，则，所以平面.因为在平面内，所以平面平面.（2）设与的交点为，连结.因为平面，则，又为的中点，则，所以，.当最短时最大，此时，，，.取的中点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，且a<,则点，，，，.设平面的法向量，则，取，则，同理求得平面的法向量.因为是二面角的平面角，则，解得或,又a<，因为，，，则.【点睛】本题考查了面面垂直的证明及几何体的体积的求法，考查了利用向量解决空间角的问题，考查运算求解能力，是中档题．19.在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手（1号至6号）登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名. （1）求同学甲选中3号且同学乙未选中3号选手的概率；（2）设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）设A表示事件：“甲选中3号歌手”，事件B表示“乙选中3号歌手”，事件C表示“丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出概率．（2）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【详解】设表示事件“甲同学选中3号选手”，表示事件“乙同学选中3号选手”，表示事件“丙同学选中3号选手”，则（1），，所以.（2），可能的取值为0，1，2，3，，，，.所以的分布列为：的数学期望.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意可能事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，为椭圆短轴的一个端点，为椭圆的右焦点，线段的延长线与椭圆相交于点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，若直线与的斜率之积为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得b=2，由，得到，代入椭圆方程，结合a2＝b2+c2，联立解出即可．（2）解法一：先考虑斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，将条件坐标化，把根与系数的关系代入可得：，代入中，化简得，又，可得所求范围，再考虑斜率不存在时，求得点A，B坐标，计算数量积，与k存在时的范围取并集即可.解法二：设直线OA斜率为k，将直线OA的方程与椭圆联立，求得A的坐标，利用写出B的坐标，代入化简后，利用基本不等式求得最值.【详解】（1）设椭圆的方程为，右焦点，因为为椭圆短轴的一个端点，则.因为，则点.因为点在椭圆上，则，即.又，则，得，所以椭圆的标准方程是.（2）解法一：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，得，即.设点，，则，.因为，则，即，即，即，所以，即，化简得.所以.因为，，则，所以.又，则，即，则，所以.当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，则.因为，不妨设，则.联立与，得点，，或点，，此时.综上分析，的取值范围是.解法二：因为，设，则.设点，，则，即，所以.由，得，即，所以.同理，.所以.因为，当且仅当，即时取等号，则.即，且，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了向量数量积的运算，涉及基本不等式的性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.已知函数，其中为常数.（1）讨论函数的单调性；（2）若有两个相异零点，求证：.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）对f′（x）中的k分类讨论，根据f′（x）的正负判断函数的单调性即可. （2）由题意得lnx1﹣kx1＝0，lnx2﹣kx2＝0，两式作差可得，lnx1﹣lnx2＝k（x1﹣x2）,k＝，要证lnx1+lnx2＞2即k（x1+x2）＞2，将k代换后，化简变形得，设t1，构造函数g（t），利用新函数的导数求出单调区间，证得g（t）＞g（1）＝0即可．【详解】（1），①当时，，在区间上单调递增；②当时，由，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）因为，是的两个零点，则，，所以，.要证，只要证，即证，即证，即证，只要证.设，则只要证.设，则，所以在上单调递增.所以，即，所以，即.【点睛】本题主要考查导数在求函数单调区间中的应用和利用导数证明不等式的成立，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设动直线：分别与曲线，相交于点，，求当为何值时，取最大值，并求的最大值.【答案】（1）曲线的极坐标方程是，曲线的直角坐标方程是；（2）当时，取最大值，且.【解析】【分析】（1）将C1的参数方程消去可化为普通方程，再利用互化公式可得C1的极坐标方程．同理利用互化公式将C2的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）法一：将直线的参数方程分别代入曲线、的普通方程，求得，利用及三角函数的值域可得结果.法二：将（ρ≥0），代入C1,C2的极坐标方程，分别解得：．由结合三角函数的值域可得结果．【详解】（1）曲线的普通方程为，即.将，代入，得，所以曲线的极坐标方程是.由，得.将，代入，得，所以曲线的直角坐标方程是.（2）解法一：设直线的倾斜角为，则的参数方程为（为参数，且）.将的参数方程代入曲线的普通方程，得，则.将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得，则.所以，据题意，直线的斜率存在且不为0，则，所以当，即时，取最大值，且.解法二：设直线的倾斜角为，则的极坐标方程为.设点，的极坐标分别为，，则，.所以.据题意，直线的斜率存在且不为0，则，所以当，即时，取最大值，且.【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线的参数方程的应用与极径的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数.（1）解不等式：；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式证明．【详解】（1）不等式化为.当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即.综上，原不等式的解集为.（2）由题意得，所以成立.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题．。

湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟(三)数学(文)试题含解析

湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）文科数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是（） A. A C φ⋂= B. A C C ⋃= C. B C B ⋂= D. AB C =【答案】C 【解析】【分析】先求集合C ，再根据集合与集合的关系判断即可．【详解】由题设，{0,2,4}C =，则B C ⊆，故B C B ⋂= 选C .【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，属于基础题．2.若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z=（） A. i B. i - C. 2iD. 2i -【答案】B 【解析】【分析】由纯虚数的定义可得m ＝0，故11z i=，化简可得．【详解】复数z ＝m （m +1）+（m +1）i 是纯虚数，故m （m +1）＝0且（m +1）≠0，解得m ＝0，故z ＝i ，故111i z i i i⋅===-⋅i ．故选：B ．点睛】本题考查复数的分类和复数的乘除运算，属基础题．3.设命题2:,420p x R x x m ∀∈-+≥ (其中m 为常数)，则“1m ≥”是“命题p 为真命题”（）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分且必要D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】命题p ：x ∈R ，x 2﹣4x +2m ≥0（其中m 为常数），由△＝16﹣8m ≤0，解得m 范围即可判断出结论．【详解】若命题p 为真，则对任意x R ∈，2420x x m -+≥恒成立，所以1680m ∆=-≤，即21m m ≥⇒≥.因为2m ≥，则“1m ≥”是“命题p 为真”的必要不充分条件，选B .【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.若33sin()23πα+=，则cos2α=（） A. 12-B. 13-C.13D.12【答案】B 【解析】【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可. 【详解】因为33sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3cos α=，所以21cos22cos -1=-3αα= . 故选：B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.5.某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为（）A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元【答案】D 【解析】【分析】先求出2017年的就医费用，从而求出2018年的就医费用，由此能求出该教师2018年的家庭总收入．【详解】由已知得，2017年的就医费用为8000010%8000⨯=元，2018∴年的就医费用为8000475012750+=元，∴该教师2018年的家庭总收入127508500015%=元．故选：D ．【点睛】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法，考查折线图和条形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2a ，6a ，14a 成等比数列，则5S =（） A.352B. 35C. 252D. 25【答案】C 【解析】【分析】根据条件求首项，再根据等差数列求和公式得结果,【详解】因为2a ，6a ，14a 成等比数列，所以226214111151133,()()()2222a a a a a a a =+=++∴=，因此5311255542222S =⨯+⨯⨯⨯=,选C. 【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本求解能力，属基础题.7.函数(1)()lgx f x -=的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先判断奇偶性,再利用单调性进行判断，【详解】由题()f x 是偶函数，其定义域是(,1)(1,)-∞-+∞，且()f x 在(1,)+∞上是增函数，选B .【点睛】此题主要考查对数函数的图象及其性质，是一道基础题；8.在长为10cm 的线段AB 上任取一点C ，作一矩形，邻边长分別等于线段AC 、CB 的长，则该矩形面积小于216cm 的概率为（）A.23B.34C.25D.13【答案】C 【解析】【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解．【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -，那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<，所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C【点睛】本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题．9.已知向量a ，b 满足2a =，且()40a b a λλ+=>，则当λ变化时，a b ∙的取值范围是（） A. (,0)-∞ B. (,1)-∞- C. (0,)+∞ D. (1,)-+∞【答案】D 【解析】【分析】由向量数量积得1a b λ⋅=-即可求解【详解】由已知，(1)4a b λ-=，则2(1)4a a b λ-=⋅，因为||2,0a λ=>，则11a b λ⋅=->-，选D .【点睛】本题考查向量数量积，向量的线性运算，是基础题10.设点1F ，2F 是双曲线2213y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，则12PF F ∆的面积是（）A. 3B. 315C. 45D. 10【答案】B 【解析】据题意，1243PF PF =，且122PF PF -=，解得128,6PF PF ==. 又124F F =，在12PF F ∆中由余弦定理，得222121212127cos 28PF PF F F F PF PF PF +-∠==.从而12sin F PF ∠==11.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50︒海里方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65︒，那么B 、C 两点间的距离是（） A. 2 B. 3C. 202D. 3【答案】A 【解析】如图，在中，,,则；由正弦定理得，得,即B 、C 两点间的距离是10n mile ．考点：解三角形．12.已知()f x 与函数sin y a x =-关于点(12，0)对称，()g x 与函数xy e =关于直线y x =对称，若对任意(]10,1x ∈，存在2[,2]2x π∈使112()()g x x f x -≤成立，则实数a 的取值范围是（）A. 1(,]sin1-∞B. 1[,)sin1+∞ C. 1(,]cos1-∞ D. 1[,)cos1+∞ 【答案】C 【解析】【分析】先求f （x ）和g(x)的解析式，设()()ln h x g x x x x =-=-求其最大值-1，原题等价于存在,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得sin(1)1a x -≥-，分离参数a,构造函数求其最值即可求解【详解】依题意得：()sin(1)f x a x =-，()ln g x x =，设()()ln h x g x x x x =-=-，(0,1]x ∈，1()10h x x'=-≥，所以()h x 在(0,1]单调递增，所以max ()(1)ln111h x h ==-=-，故原题等价于存在,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得sin(1)1a x -≥-， sin(1)0x -≤，1sin(1)a x ∴≤-，故只需max1sin(1)a x ⎛⎫≤ ⎪-⎝⎭，而1y sin(1)x =-在,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，而max 111sin(1)cos1sin 12x π⎛⎫== ⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，所以1cos1a ≤，故选C .【点睛】本题考查函数的对称性及解析式求法，考查不等式恒成立及有解问题，考查转化化归能力，是中档题二、填空题（将答案填在答题纸上）. 13.已知函数()ln f x x x =-的图像在点()()1,1f 处的切线过点()0,a ，则a =_____．【答案】32【解析】【分析】求得函数f （x ）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a 的值．【详解】1()2f x x x'=，1(1)2k f '∴==-，又因为(1)1f =，切点是()1,1，切线方程是：11(1)2y x -=--，13122a =+=. 故答案为32【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两点的斜率公式，以及方程思想和运算能力，属于基础题．14.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是_____【答案】()()22211x y -+-= 【解析】试题分析：由于圆的半径为1且与轴相切，所以可以假设圆心(,1)C a .又圆与直线相切.所以可得4315a -=.解得12,2a a ==-，由圆心在第一象限.所以2a =.所以圆的方程为22(2)(1)1x y -+-=.考点：1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.15.若函数()2sin()(0,0)f x x ωϕϕϕπ=+><<的图象经过点,26π⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴间的距离为2π.则()4f π的值为______． 3 【解析】【分析】根据函数f （x ）的图象与性质求出T 、ω和φ的值，写出f （x ）的解析式，求出f （4π）的值．【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，所以2ππω=，2ω∴=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为函数图象经过点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 0ϕπ<<，π6∴=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 3426f πππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，熟记性质准确计算是关键，是基础题．16.已知正四面体ABCD 中，M 是棱AD 的中点，O 是点A 在平面BCD 上的射影，则异面直线BM 与OA 所成角的余弦值为_______．2【解析】【分析】设点M 在平面BCD 上的射影为N ，得O 、N 、D 三点共线，且N 是OD 的中点，得异面直线BM 与OA 所成角等于异面直线BM 与MN 所成角，即BMN ∠.在Rt BMN ∆中求解即可【详解】设点M 在平面BCD 上的射影为N ，则O 、N 、D 三点共线，且N 是OD 的中点，则异面直线BM 与OA 所成角等于异面直线BM 与MN 所成角，即BMN ∠. 设正四面体的棱长为2，则3BM =6262OA ==6MN = 所以Rt BMN ∆中，623cos 33MN BMN BM ∠===. 故答案为23【点睛】本题考查异面直线所成的角及正四面体的基本性质，准确计算是解题关键，是基础题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知344,n n S a n N =-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2211log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）212n n a -=（2）45p E mgh W ''==【解析】分析：（1）由1n =求得1a ，由2n ≥时，1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推式，得其为等比数列，从而易得通项公式；（2）根据（1）的结论，数列{}n b 的前n 项和可用裂项相消法求得．详解：（1）∵342n n S a =- ① 当1n =时，11342a a =-，∴12a = 当2n ≥时，11342n n S a --=- ② 由①-②得：1344n n n a a a -=- ∴14n n a a -=∴{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列∴1212?42n n n a --== （2）∵()()22111111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭∴12111111121335212121n n nT b b b n n n ⎛⎫=+++=⨯-+-++-= ⎪-++⎝⎭ 点睛：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，11{}n n a a +的前n 项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．18.随着经济的发展，个人收入的提高.自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：（1）假如小李某月的工资、薪金所得等税前收人总和不高于8000元，记x 表示总收人，y 表示应纳的税，试写出调整前后y 关于x 的函数表达式；（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：先从收入在[)3000,5000及[)5000,7000的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率；（3）小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少？【答案】（1）调整前y 关于x 的表达式为()()0,350035000.03,350050004550000.1,50008000x y x x x x ⎧≤⎪=-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩，调整后y 关于x 的表达式为()0,500050000.03,50008000x y x x ≤⎧=⎨-⨯<≤⎩（2）47（3）220元【解析】【分析】（1）对收入x 的范围分类，求出对应的表达式即可。