天气学分析诊断 3.1 差分

dA dx
，由于只需知道两点的
dA
A 值即可求得 dx x 的近似值，因此称为一阶微商的两
点式差分方案。
❖ （二）三点式差分方案
由（1.1.1）式减去（1.1.2）式可得
A x x A x x dA x
dx x
移项整理即得
2
d3A dx3
x3 3!
d5A dx5
x5 5!
x
dA A x x A x x
在一个离散的等距离格点
x, x x, x 2x, x 3x, 上，
取得了各点对应的观测值
Ax, Ax x, Ax 2x,
其中 x 是格点之间的距离，简称格距。
在 x x,x 2x 诸点上，泰勒展开的
形式为
A
x
x
Ax
dA dx
x
x
d2A dx2
x
x2 2!
d 3 A x3 dx3 3!
0x
x
x
（1.1.7）式中的误差取决于
1 d3A
x dx3
x3 1 d 3 A
3!
3
dx3
x2
0 x2
x
x
所以，三点式差分方案具有二阶的精确度。
P 5 图2
dA
在如图所示的几何图象中 dx x 对应着曲线 A x 在
x 处切线 AB 的斜率，而（1.1.5）式，（1.1.6）式
和（1.1.7）式
2!
h3 f a
3!
hn n!
fan
泰勒展开的实质是用 f 在 a 点的值和 f
在 a 点的各阶导数值来表示函数 f 在另一点
a h处的值 f a h 。
用该公式来构造有限差分公式，则是用 f
在 a 点和 a h点的值 f a 和 f a h ，来表示
f 在 a 点处的一阶导数值。
❖ 一、一阶微商的几种差分方案
A
x
x
Ax
dA dx
x
x
d2A dx2
x
x2 2!
d 3 A x3 dx3 3!
x
（1.1.1）
A
x
x
Ax
dA dx
x
x
d2A dx2
x
x2 2!
d3A dx3
x3 3!
x
（1.1.2）
Ax
2x
Ax
dA dx
间导数和时间导数，例如需要计算
A x
、
2 A x2
、A
、2
A
、
J A,B和 A 。计算空间导数就是用不同的差分方法计算
t
出在 x 轴或 y 轴或垂直轴上任一固定点或网格点上的
导数值，这需要知道该点及附近诸点的 A 值。有限差
分方法不同，所算出的导数的精确度也不同。
❖ 诊断分析和数值预报中的差别：
（1.1.5），（1.1.6）和（1.1.7）式均是一阶微商 dA
的近似表达式，它们与真值 dx 之间是有误差的。
根据误差理论，各式的误差量级，取决于泰勒展 开式中被略去的第一项的量级。
（1.1.5）式和（1.1.6）式中的误差（常称截断误差） 取决于
1 d 2 A x2 1 d 2 A x x dx2 2! 2 dx2
dA A x x A x
dx x
x
dA
A x A x x
dx x
x
dA A x x A x x
dx x
2x
实际上分别表示图 2 中斜线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的斜率，
从图中可见斜线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ与 AB 之间斜率均不一样，
但以斜线Ⅲ的斜率与 AB 的斜率更为接近，这也大致
说明（1.1.7）式比两点式差分具有较高的精度。
x
（1.1.1）
A
x
x
Ax
dA dx
x
x
d2A dx2
x
x2 2!
d3A dx3
x3 3!
x
（1.1.2）
Ax
2x
Ax
dA dx
x
2x
d2A dx2
x
22 x2 2!
d 3 A 22 x3
dx3 3!
x
Ax
2x
A x
dA dx
x
2x
d2A dx2
x
22 x2 2!
d 3 A 22 x3 dx3 3!
（1.1.5）式，（1.1.6）式和（1.1.7）式分别称 为向前差分，向后差分和中心差分，可以证明中心差 分是前两种差分形式的平均。
dA A x x A x
dx x
x
dA
A x Βιβλιοθήκη Baidu x x
dx x
x
dA A x x A x x
dx x
2x
1 2
dA dx
前 x
dA dx
后 x
1 A x x A x A x A x x
2
x
x
1 A x x A x x
2
x
dA 中心 dx x
（四）五点式差分方案
五点式差分方案的表达式为
dA 4 A x x A x x
dx x 3
2x
1 A x 2x A x 2x
3
4x
（1.1.8）
❖ 把（1.1.1）－（1.1.4）式代入（1.1.8）式， 得：
§3 差分
§3.1 差分的概念
❖ 有限差分法：数值求解常微分方程或偏微分 方程的方法。
❖ 物理学和其他学科领域的许多问题在被分析 研究之后, 往往可以归结为常微分方程或偏微 分方程的求解问题。
❖ 有限差分法以变量离散取值后对应的函数值 来近似微分方程中独立变量的连续取值。
在诊断分析和数值天气预报中，经常需要计算空
x
（1.1.3） （1.1.4）
❖ （一）两点式差分方案
由第（1.1.1）式可得
dA
A x x A x
dx x
x
1 x
d2A
dx2
x
x2 2!
d3 dx3
x3 3!
略去高次微项，可得近似差分表达式
dA
A x x A x
dx x
x
（1.1.5）
由第（1.1.2）式可得
dA
A x A x x
dx x
2x
1 x
d3A
dx3
x
x3 3!
d5A dx5
x
x5 5!
略去高次项即得
dA A x x A x x
dx x
2x
（1.1.7）
由于（1.1.7）式涉及到三个计算格点 x x ， x ，
x x ，所以称之为一阶微商的三点式差分方案。
（三）两点式差分方案和三点式差分 方案的精度和物理意义
数值预报：
❖ 时间差分格式必须是计算稳定
诊断分析：
❖ 不存在时间积分以及计算不稳定问题 ；
❖ 常要求二阶精度的方案
❖ 各种差分方案的构成均建立在泰勒（Taylor）开展的 基础上
§1 简单有限差分公式
泰勒（Taylor）展开是气象上构造有限差
分方案的出发点若。
在
a
的邻域上，
存在，则 f
n x
f a h f a f 1 ah h2 f h a
dx x
x
1 x
d2A
dx2
x
x2 2!
d3 dx3
x
x3 3!
略去高次微项，可得近似差分表达式
dA A x A x x
dx x
x
（1.1.6）
对于（1.1.5）和（1.1.6）式，只知道 A 在 x x 处 和 x 处的值，或者知道 x 处和 x x 处的值，即可以求
出
x
处一阶微商的近似值