三角函数与解三角形(师)

三角函数与解三角形一、 y=Asin （ωx+φ）函数的图像与性质重难点突破二、经验分享【知识点1 用五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象】用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取30,,,,222ππππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin （ωx+φ）的图象】 1.振幅变换：sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的(横坐标不变)，它的值域[-A ，A]，最大值是A ，最小值是-A.若A<0可先作y=-Asinx 的图象，再以x 轴为对称轴翻折.A 称为振幅. 2.周期变换：函数()sin 01y x x R ωωω=∈>≠，且的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1ω倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3.相位变换：函数()sin y x x R ϕ=+∈，(其中0ϕ≠)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)平行移动ϕ个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).一般地，函数()sin()0,0y A x A x R ωϕω=+>>∈，的图象可以看作是用下面的方法得到的：(1) 先把y=sinx 的图象上所有的点向左(ϕ>0)或右(ϕ<0)平行移动ϕ个单位； (2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1ω倍(纵坐标不变)； (3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍(横坐标不变). 【知识点3 正弦型函数和余弦型函数的性质】函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R ； （2）值域：[],A A -；（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出．三、题型分析(一) 五点法作图例1．（2019·石嘴山市第三中学高一月考）已知函数323y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在766ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的图象．（请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为)12π（2）请描述上述函数图象可以由函数y ＝sin x 怎样变换而来？【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】（1）由题意，因为x ∈7[]66x ππ∈，，所以2[0,2]3x ππ-∈，列表如下：x6π512π 23π 1112π76π 23x π-2π π32π 2π3(2)3y sin x π=-0 30 ﹣3 0描点、连线，得出所要求作的图象如下：（2）把sin y x =的图象向右平移3π个单位，可得sin()3y x π=-的图象；再把所得图象的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，可得sin(2)3y x π=-的图象；再把所得图象的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，可得3sin(2)3y x π=-的图象；(二) 函数图像变换例2．（2018·浙江高一期末）将函数f （x ）=sin （ωx +4π）（ω＞0）的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则函数f （x ）的最小正周期不可能是（ ） A ．9πB ．5π C ．πD ．2π【答案】D【解析】将函数()sin()(0)4f x x πωω=+>的图象向左平移8π个单位， 可得sin()84y x ωππω=++的图象，根据所得到的函数图象关于y 轴对称， 可得842k ωππππ+=+，即82k ω=+，k Z ∈． ∴函数的最小正周期为241k ππω=+，则函数()f x 的最小正周期不可能是2π，故选：D ．例3．（2019·宁夏高一期末）要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2cos2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度 【答案】D【解析】因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6π个单位. (三) 已知函数图像求y=Asin （ωx+φ）例4．（2019·广东高考模拟（理））把函数()y f x =的图象向左平移23π个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，并且()g x 的图象如图所示，则()f x 的表达式可以为（ ）A ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()sin 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵g （0）＝2sinφ＝1，即sinφ12=，∴φ52,6k ππ=+或φ2,6k k Z ππ=+∈（舍去） 则g （x ）＝2sin （ωx 56π+），又755122,,2,12667k k Z k ππωπω⎛⎫+=∈∴=-⨯ ⎪⎝⎭当k=1, 2ω= 即g （x ）＝2sin （2x 56π+），把函数g （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的12，得到y ＝2sin （4x 56π+），再把纵坐标缩短到到原来的12，得到y ＝sin （4x 56π+），再把所得曲线向右平移23π个单位长度得到函数g（x ）的图象， 即g （x ）＝sin[4（x -23π）56π+]＝8511sin 4x sin 4sin 43666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭故选：B ．例5．（2017·浙江高一期末）已知函数()=2sin()f x x ωϕ+(0,0)2πωω><<一部分图象如图所示，则ω=__________，函数()f x 的图象可以由()2sin g x x ω=的图象向左平移至少__________ 个单位得到．【答案】26π【解析】由函数图象可得，函数的最小正周期为236T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 结合最小正周期公式有：222T ππωπ===；令6x π=-有：()22,263x k k k Z ππωϕϕπϕπ⎛⎫+=⨯-+=∴=+∈ ⎪⎝⎭， 令0k =可得：3πϕ=，函数的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭绘制函数()2sin 2sin 2g x x x ω==的图象如图所示，观察可得函数()f x 的图象可以由()2g x sin x ω=的图象向左平移至少6π个单位得到.(四) 函数y=Asin （ωx+φ）综合应用例6．（2019·湖北高二月考）已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其相邻两条对称轴之间的距离为2π，将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，所得函数的图象关于y 轴对称，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于直线7x =π对称C ．()f x 在区间,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增 例7．（2018·浙江诸暨中学高一月考）已知函数()sin()(0,0,)2f x A wx A w πϕϕ=+>><在一个周期内的简图如图所示，则函数的解析式为__________，方程()f x m =（其中12m <<）在[0,3]π内所有解的和为__________．【答案】2sin(2)6y x π=+ 7π【解析】根据函数()()sin (0,0,)2f x A wx A w πϕϕ=+>><在一个周期内的的图象，可得2021A f sin ϕ===，（）， 即126sin πϕϕ=∴=，， 再根据五点法作图可得5126ππωπ⋅+=，求得2ω=，故函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭因为函数函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,3π内与直线()f x m =（其中12m <<）由六个交点，它们分别关于713,,666x x x πππ===对称，则1234567132227666x x x x x x ππππ+++++=⨯+⨯+⨯= 即答案为(1). 2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (2). 7π专题4.2 三角恒等变换一、题型全归纳题型一 三角函数公式的直接应用【题型要点】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α±β，α，β均不为k π＋π2，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α，2α均不为k π＋π2，k ∈Z .【例1】(2020·云南腾冲一中一模)已知tan(α－5π4)＝15，则tan α＝【答案】 32【解析】法一：因为tan(α－5π4)＝15，所以tan α－tan5π41＋tan αtan5π4＝15，即tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.法二：因为tan(α－5π4)＝15，所以tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－5π4＋5π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＋tan 5π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4tan 5π4＝15＋11－15×1＝32. 【例2】(2020·东北师大附中高三期末)已知α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B.55C.33D ．255【答案】B【解析】 (1)依题意得4sin αcos α＝2cos 2α，由α∈⎪⎭⎫⎝⎛20π，，知cos α>0，所以2sin α＝cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋4sin 2α＝1，即sin 2α＝15.又α∈⎪⎭⎫⎝⎛20π，，所以sin α＝55，选B.题型二 三角函数公式的逆用与变形应用【题型要点】(1)三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．【例1】在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22B.22C.12 D ．－12【答案】 B【解析】由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又(A ＋B )∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22. 【例2】．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ ． 【答案】－12【解析】因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 所以sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1 ①， cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0 ②，①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， 所以sin(α＋β)＝－12.题型三 两角和、差及倍角公式的灵活应用【题型要点】三角函数公式应用的解题思路(1)角的转换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎪⎭⎫⎝⎛+απ4＋⎪⎭⎫ ⎝⎛απ-4＝π2，α2＝2×α4等． (2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．【易错提醒】转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．命题角度一 三角函数公式中变“角”【例1】(2020·黑龙江大庆实验中学考前训练)已知α，β∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，43，sin(α＋β)＝－35，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛4-πβ＝2425，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ4＝ ． 【答案】－45【解析】 由题意知，α＋β∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ223，，sin(α＋β)＝－35<0，所以cos(α＋β)＝45，因为β－π4∈⎪⎭⎫ ⎝⎛432ππ，，所以cos ⎪⎭⎫⎝⎛4-πβ＝－725，cos ⎪⎭⎫⎝⎛+απ4＝cos ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+4--πββα＝cos(α＋β)cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛4-πβ＋sin(α＋β)sin ⎪⎭⎫⎝⎛4-πβ＝－45. 【例2】(2020·甘肃、青海、宁夏联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ ． 【答案】：－1 12【解析】：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan （α＋2β）－tan β1＋tan （α＋2β）tan β＝2－（－3）1＋2×（－3）＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝－1－（－3）1＋（－1）×（－3）＝12.命题角度二 三角函数公式中变“名”【例3】(2020·山西太原三中模拟)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎪⎭⎫⎝⎛︒︒5tan -tan 1. 【答案】32【解析】 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎪⎭⎫⎝⎛︒︒︒︒cos55sin -5sin cos5 ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10° ＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin （30°－10°）2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.题型五 三角函数式的求值【题型要点】三角函数求值的3种情况命题角度一 给角求值【例1】 计算2cos 10°－23cos （－100°）1－sin 10°＝ ．【答案】 2 2 【解析】2cos 10°－23cos （－100°）1－sin 10°＝2cos 10°＋23sin 10°1－sin 10°＝4⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°1－2sin 5°cos 5°＝4cos 50°cos 5°－sin 5°＝4cos 50°2cos 50°＝2 2.命题角度二 给值求值【例2】 已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 【答案】（1）－725；（2）－211【解析】 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2 α＋cos 2 α＝1，所以cos 2 α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2 α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.命题角度三 给值求角【例3】在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q .已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314，则2α－β的值为 ．【答案】 π3【解析】 法一：由已知可知cos α＝277，sin β＝3314.又α，β为锐角，所以sin α＝217，cos β＝1314. 因此cos 2α＝2cos 2α－1＝17，sin 2α＝2sin αcos α＝437，所以sin(2α－β)＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0＜2α＜π. 又cos 2α＞0，所以0＜2α＜π2，又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3. 法二：同法一得，cos β＝1314，sin α＝217.因为α，β为锐角，所以α－β∈⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝217×1314－277×3314＝2114. 所以sin(α－β)＞0，故α－β∈⎪⎭⎫⎝⎛20π，，故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎫21142＝5714. 又α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin α·sin(α－β)＝277×5714－217×2114＝12.所以2α－β＝π3.专题4.5 正弦定理和余弦定理的应用一、题型全归纳题型一 利用正弦、余弦定理解三角形【题型要点】(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． (2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．【例1】 (2020·广西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ∶B ∶C 为( ) A ．1∶1∶3 B ．1∶2∶3 C ．1∶3∶2 D ．1∶4∶1【答案】B.【解析】：法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，选B.法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a <b <c ，则A <B <C ，排除选项A ，C ，D ，故选B.【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】A 【解析】选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc ＝－14，得bc＝6.故选A. 【例3】(2020·济南市学习质量评估)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c ＋a ＝2b cos A . ①求角B 的大小；②若a ＝5，c ＝3，边AC 的中点为D ，求BD 的长． 【答案】见解析【解析】 (1)选A.由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3c 22bc＝－14，得bc＝6.故选A. (2)①由2c ＋a ＝2b cos A 及正弦定理， 得2sin C ＋sin A ＝2sin B cos A ，又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以2sin A cos B ＋sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12，因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3.②由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2a ·c cos ∠ABC ＝52＋32＋5×3＝49，所以b ＝7，所以AD ＝72.因为cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝49＋9－252×7×3＝1114，所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2·AB ·AD cos ∠BAC ＝9＋494－2×3×72×1114＝194，所以BD ＝192. 题型二 判断三角形的形状【题型要点】判定三角形形状的两种常用途径【易错提醒】“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．【例1】(2020·蓉城名校第一次联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】A【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a ＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ， 故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．【例2】在△ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为 ． 【答案】等腰或直角三角形【解析】因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ， A ＝π2或A ＝B ，故△ABC 为等腰或直角三角形．题型三 与三角形面积有关的问题命题角度一 计算三角形的面积【题型要点】1.△ABC 的面积公式 (1)S △ABC ＝12a ·h (h 表示边a 上的高)．(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .(3)S △ABC ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径).2.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；(2)若已知三角形的三边，可先求其中一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．【例1】(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC的面积为 ． 【答案】63【解析】 (1)法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC 的面积S ＝12×23×6＝6 3.【例2】(2020·福建五校第二次联考)在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 2＋b 2－c 2＝3ab ，且ac sin B ＝23sin C ，则△ABC 的面积为 ． 【答案】32【解析】因为a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C＝π6.因为ac sin B ＝23sin C ，所以结合正弦定理可得abc ＝23c ，所以ab ＝2 3.故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23sin π6＝32. 命题角度二 已知三角形的面积解三角形【题型要点】已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．【提示】正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用． 【例3】(2020·湖南五市十校共同体联考改编)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cos C ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝ ，a ＋b ＝ ． 【答案】 933【解析】 因为(3b －a )cos C ＝c cos A ，所以利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sinB ．又因为sin B ≠0，所以cos C ＝13，则C 为锐角，所以sin C ＝223.由△ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，所以ab ＝9.由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以(a ＋b )2＝113ab ＝33，所以a ＋b ＝33.【例4】(2020·长沙市统一模拟考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B )＝c sin B ＋C2.(1)求A ；(2)若△ABC 的面积为3，周长为8，求a . 【答案】见解析【解析】：(1)由题设得a sin C ＝c cos A2，由正弦定理得sin A sin C ＝sin C cos A2，所以sin A ＝cos A2，所以2sin A 2cos A 2＝cos A 2，所以sin A 2＝12，所以A ＝60°.(2)由题设得12bc sin A ＝3，从而bc ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－12. 又a ＋b ＋c ＝8，所以a 2＝(8－a )2－12，解得a ＝134.题型四 三角形面积或周长的最值(范围)问题【题型要点】求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．【例1】(2020·福州市质量检测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 成等差数列，且b ＝32. (1)求△ABC 外接圆的直径； (2)求a ＋c 的取值范围． 【答案】见解析【解析】：(1)因为角A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ， 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3.根据正弦定理得，△ABC 的外接圆直径2R ＝bsin B ＝32sin π3＝1.(2)法一：由B ＝π3，知A ＋C ＝2π3，可得0＜A ＜2π3.由(1)知△ABC 的外接圆直径为1，根据正弦定理得， a sin A ＝b sin B ＝csin C＝1， 所以a ＋c ＝sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛A -32π＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A A cos 21sin 23＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA . 因为0＜A ＜2π3，所以π6＜A ＋π6＜5π6.所以12＜sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤1，从而32＜3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA ≤3，所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛323， 法二：由(1)知，B ＝π3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－322⎪⎭⎫ ⎝⎛+c a ＝14(a ＋c )2(当且仅当a ＝c 时，取等号)，因为b ＝32，所以(a ＋c )2≤3，即a ＋c ≤3， 又三角形两边之和大于第三边，所以32＜a ＋c ≤3， 所以a ＋c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛323， 题型五 解三角形与三角函数的综合应用【题型要点】标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．【例1】 (2020·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ∈R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为12，求a 的值．【答案】见解析【解析】 (1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1.令2x ＋π6∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 22,22-，k ∈Z ，解得x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 6,3-，k ∈Z .(2)因为f (A )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πA ＋1＝2， 所以sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πA ＝1.因为0＜A ＜π，所以π6＜2A ＋π6＜13π6，所以2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )， 解得a ＝3－1.【例2】△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2a －2c cos B . (1)求角C 的大小； (2)求3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB 的最大值，并求出取得最大值时角A ，B 的值． 【答案】见解析【解析】：(1)法一：在△ABC 中，由正弦定理可知sin B ＝2sin A －2sin C cos B ， 又A ＋B ＋C ＝π，则sin A ＝sin(π－(B ＋C ))＝sin(B ＋C )，于是有sin B ＝2sin(B ＋C )－2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C －2sin C cos B ，整理得sin B ＝2sin B cos C ，又sin B ≠0， 则cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.法二：由题可得b ＝2a －2c ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， 即cos C ＝12，因为0<C <π，则C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3，则B ＋π3＝π－A ，于是3cos A ＋sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πB ＝3cos A ＋sin(π－A )＝3cos A ＋sin A ＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πA ， 因为A ＝2π3－B ，所以0<A <2π3，所以π3<A ＋π3<π，故当A ＝π6时，2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πA 的最大值为2，此时B ＝π2.三 解答题1.(2020·兰州模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求边c 的长． 【答案】见解析【解析】：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0， 所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0， 即sin B (sin A ＋cos A )＝0， 由于B 为三角形的内角， 所以sin A ＋cos A ＝0， 所以2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+4πA ＝0，而A 为三角形的内角， 所以A ＝3π4.(2)在△ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即20＝c 2＋4－4c ⎪⎪⎭⎫⎝⎛22-，解得c ＝－42(舍去)或c ＝2 2. 2.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b，求cos B 的值． 【答案】见解析【解析】：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c ，即c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B2b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb， 所以cos B ＝2sin B .从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )， 故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0， 从而cos B ＝255.3.(2020·福建五校第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值． 【答案】见解析【解析】：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ， 从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ， 即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32， 又A 为三角形的内角，所以A ＝π6.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ，所以bc ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故△ABC 面积的最大值为2＋ 3.4．(2020·广东佛山顺德第二次质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B .(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若D 为BC 边上的点，BD ＝2DC ，且∠ADB ＝2∠ACD ，a ＝3，求b 的值． 【答案】见解析【解析】：(1)证明：因为2b sin C cos A ＋a sin A ＝2c sin B ， 所以由正弦定理得2bc cos A ＋a 2＝2cb ， 由余弦定理得2bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＝2bc ，化简得b 2＋c 2＝2bc ，所以(b －c )2＝0，即b ＝c . 故△ABC 为等腰三角形．(2)法一：由已知得BD ＝2，DC ＝1， 因为∠ADB ＝2∠ACD ＝∠ACD ＋∠DAC ， 所以∠ACD ＝∠DAC ，所以AD ＝CD ＝1. 又因为cos ∠ADB ＝－cos ∠ADC ，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝－AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ，即12＋22－c 22×1×2＝－12＋12－b 22×1×1，得2b 2＋c 2＝9，由(1)可知b ＝c ，得b ＝ 3.法二：由已知可得CD ＝13a ＝1，由(1)知，AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ，又因为∠DAC ＝∠ADB －∠C ＝2∠C －∠C ＝∠C ＝∠B ， 所以△CAB ∽△CDA ，所以CB CA ＝CA CD ，即3b ＝b1，所以b ＝ 3.5.(2020·重庆市学业质量调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长． 【答案】【解析】：(1)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ，所以tan B ＝ 3. 又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，所以a ＝6.由余弦定理得，b 2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，所以b ＝27. 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714.因为D 是AC 的中点，所以AD ＝7. 所以BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎪⎪⎭⎫⎝⎛147-＝13. 所以BD ＝13.6.(2020届湘东五校联考)已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12. (1)求f (x )的最小值，并写出取得最小值时的自变量x 的集合；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0，若sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值． 【答案】见解析 【解析】：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －cos 2x 2－1＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx －1. 当2x －π6＝2k π－π2，即x ＝k π－π6(k ∈Z )时，f (x )的最小值为－2，此时自变量x 的集合为xx ＝k π－π6，k ∈Z .(2)因为f (C )＝0，所以sin ⎪⎭⎫⎝⎛-62πC －1＝0，又0＜C ＜π，所以2C －π6＝π2，即C ＝π3.在△ABC 中，sin B ＝2sin A ，由正弦定理知b ＝2a ， 又c ＝3，所以由余弦定理知(3)2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝3，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.7.渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以153海里/时的速度向正北方向航行，该船在A 点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B 点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？ 【答案】见解析【解析】：根据题意画出相应的图形，如图所示，过C 作CD ⊥AD 于点D ，由题意得：AB ＝2060×153＝53(海里)，因为∠A ＝30°，∠CBD ＝60°， 所以∠BCA ＝30°，所以△ABC 为等腰三角形，所以BC ＝5 3. 在△BCD 中，因为∠CBD ＝60°，CD ⊥AD ，BC ＝53，所以CD ＝152，则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里．8.(2020·云南四校联考)某港湾的平面示意图如图所示，O ，A ，B 分别是海岸线l 1，l 2上的三个集镇，A 位于O 的正南方向6 km 处，B 位于O 的北偏东60°方向10 km 处．(1)求集镇A ，B 间的距离；(2)随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线l 1，l 2上分别修建码头M ，N ，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3 km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M ，N 的位置，使得M ，N 之间的直线航线最短．【答案】见解析【解析】：(1)在△ABO 中，OA ＝6，OB ＝10，∠AOB ＝120°， 根据余弦定理，得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 120°＝62＋102－2×6×10×⎪⎭⎫⎝⎛21-＝196， 所以AB ＝14，故集镇A ，B 间的距离为14 km. (2)依题意得，直线MN 必与圆O 相切． 设切点为C ，连接OC (图略)，则OC ⊥MN . 设OM ＝x ，ON ＝y ，MN ＝c ，在△OMN 中，由12MN ·OC ＝12OM ·ON ·sin 120°，得12×3c ＝12xy sin 120°，即xy ＝23c ， 由余弦定理，得c 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ≥3xy ，所以c 2≥63c ，解得c ≥6 3.当且仅当x ＝y ＝6时，c 取得最小值6 3.所以码头M ，N 与集镇O 的距离均为6 km 时，M ，N 之间的直线航线最短，最短距离为6 3 km.一、选择题1、（2020新课标Ⅲ卷·理科T7）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A.19B.13C. 12 D. 23【答案】A 【解析】在ABC 中，2cos 3C =，4AC =，3BC = 根据余弦定理：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅2224322433AB =+-⨯⨯⨯可得29AB = ，即3AB =由22299161cos 22339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯故1cos 9B =. 故选：A.真题体验【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. （2020新课标Ⅲ卷·文科T11）在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则tan B =（ ） A.5 B. 25C. 45D. 85【答案】C【解析】设,,AB c BC a CA b ===22222cos 916234933c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯=∴= 22221145cos sin 1()tan 452999a cb B B B ac +-==∴=-=∴=故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题. 二、填空题1、（2020新课标Ⅰ卷·理科T16）如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，3AB AD ==，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =______________.【答案】14- 【解析】AB AC ⊥，3AB =1AC =，由勾股定理得222BC AB AC =+=，同理得6BD =6BF BD ∴==在ACE △中，1AC =，3AE AD ==，30CAE ∠=，由余弦定理得22232cos30132131CE AC AE AC AE =+-⋅=+-⨯=， 1CF CE ∴==，在BCF 中，2BC =，6BF =，1CF=，由余弦定理得2221461cos 22124CF BC BF FCB CF BC +-+-∠===-⋅⨯⨯.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.2、（2020江苏卷·T13）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185. 当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．三、解答题1、（2020新课标Ⅱ卷·理科T17）ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.2、（2020新课标Ⅰ卷·文科T18）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A C ，求C .【答案】（1（2）15︒.【解析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==； （2）30A C +=︒，sin sin(30)A C C C ∴+=︒-+1cos sin sin(30)222C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3、（2020新课标Ⅱ卷·文科T17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=． （1）求A ；（2）若3b c a -=，证明：△ABC 是直角三角形． 【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【解析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①，又b c -=②， 将②代入①得，()2223b c b c bc +--=， 即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =， 故222b a c =+， 即ABC 是直角三角形．【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题．4、（2020山东省新高考全国Ⅰ卷·T17）同（2020海南省新高考全国Ⅱ卷·T17）在①ac ②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】解法一：由sin 3sin AB 可得：ab=不妨设(),0a b m m ==>，则：2222222cos 322c a b ab C m m m m =+-=+-⨯⨯=，即c m =. 选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==，1m ∴=，此时1c m ==. 选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-，则：sin A ==，此时：sin 3c A m ==，则：c m ==选择条件③的解析： 可得1c mb m==，c b =，与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,()1?2sinA A C =+= ，∴sinA =,∴tanA =∴23A π=,∴6B C π==,若选①，ac =a ==2=若选②，3csinA =,3=,c =;若选③,与条件=c 矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．5、（2020北京卷·T17）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin 4C =, 4S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b += 22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅- 8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 27a c C A C C ==∴=11sin (118)8222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin ,sin 816A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B ===（Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+=11sin (116)622S ba C ==-⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.6、（2020江苏卷·T16）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知3,45a c B ===︒．。