三角函数与解三角形(师)

三角函数与解三角形

一、 y=Asin （ωx+φ）函数的图像与性质重难点突破

二、经验分享

【知识点1 用五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象】

用“五点法”作sin()y A x ωϕ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取3

0,,,,222

π

πππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin （ωx+φ）的图象】 1.振幅变换：

sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短

(0

函数()sin 01y x x R ωωω=∈>≠，且的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1

ω

倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3.相位变换：

函数()sin y x x R ϕ=+∈，(其中0ϕ≠)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)平行移动ϕ个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).

一般地，函数()sin()0,0y A x A x R ωϕω=+>>∈，的图象可以看作是用下面的方法得到的：

(1) 先把y=sinx 的图象上所有的点向左(ϕ>0)或右(ϕ<0)平行移动ϕ个单位； (2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的

1

ω

倍(纵坐标不变)； (3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合

而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R ； （2）值域：[],A A -；

（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由

)(2

22

2Z k k x k ∈+

≤+≤-

π

πϕωπ

π解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(2

3222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．

（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2

k k z π

ϕπ=±∈时为偶函数；对于

函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2

k k z π

ϕπ=±

∈时为奇函数．

（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π

ω

=

．

（6）对称轴和对称中心

与正弦函数sin y x =比较可知，当()2

x k k z π

ωϕπ+=±

∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最

小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2

x k k z π

ωϕπ+=±

∈解出，其对称中心的横坐标

()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2

x k k z π

ωϕπ+=±

∈解出．

三、题型分析

(一) 五点法作图

例1．（2019·石嘴山市第三中学高一月考）已知函数323y sin x π⎛

⎫

=-

⎪⎝

⎭

（1）用五点作图在下面坐标系中做出上述函数在766ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，的图象．（请先列表，再描点，图中每个小矩形

的宽度为

)12

π

（2）请描述上述函数图象可以由函数y ＝sin x 怎样变换而来？

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】

（1）由题意，因为x ∈7[]6

6

x ππ

∈，，所以2[0,2]3

x π

π-

∈，

列表如下：

x

6

π

512

π 23

π 1112

π

76

π 23

x π

-

2

π π

32

π 2π

3(2)3

y sin x π

=-

0 3

0 ﹣3 0

描点、连线，得出所要求作的图象如下：

（2）把sin y x =的图象向右平移

3π

个单位，可得sin()3

y x π=-的图象；